Pavel Cejnar
Ústav částicové a jaderné fyziky MFF UK
Přednáška 4 , v níž se teprve naplno ukáže, jak je kvantový svět divný…
Kvantové divy Principy kvantové fyziky Fyzika jako dobrodružství poznání MFF UK v Praze, letní semestr 2016
Přehnaná ostraha
0% 12.5% 25% 50% 50% 2 kolmé lineární polarizační filtry odstíní všechny fotony 3. mezilehlý filtr jiné polarizace dovolí části fotonů projít
Bezinterakční měření
25% … foton→ F (nevíme nic) 25% … foton→ G (bomba funguje!)
Detekce objektu bez jeho přímé interakce s měřicí částicí (fotonem)… Testování bomby (Elitzur, Vaidman 1993): Funkční bomba vybuchne i při odrazu jediného fotonu. Lze funkčnost bomby nedestruktivně otestovat? Ano! 50% …výbuch
Roger Penrose (1994) Shadows of the Mind: A Search for the Missing Science of Consciousness
Účinnost bezinterakčního testování lze zvětšovat na 100%−ε (kde ε → 0) Z dalších možných aplikací: neškodný röntgen, špehování, špionáž… P. Cejnar, M. Dušek, Kvantové hlavolamy III, Vesmír 77 (1998)
Bezinterakční měření Stále nechápu, jak jste mohl zjistit, že lord Hastings měl k obědu olomoucký tvarůžek, aniž jste ho při tom přece mohl vidět.
Milý Watsone, vidím, že se nedostatečně věnujete studiu tajů kvantové mechaniky.
1) Kvantová nelokalita 2) Kvantová informace & počítání
Kvantová nelokalita v laboratoři Paradox EPR lze realizovat experimentálně:
A
B
1 2
xA x
B
1 2
yA y
… stav lineární polarizace 2 fotonů emitovaných v kaskádě přechodů v atomu vápníku:
y
p k
x x y polarizační stav 1 fotonu
J 0
B
551.3 nm
J 1 422.7 nm
J 0
Ca PhD práce Alaina Aspecta, obhájená v Orsay r.1983, realizovala EPR experiment
Kvantová nelokalita v laboratoři Paradox EPR lze realizovat experimentálně:
A
B
1 2
xA x
B
1 2
Alice provede měření na částici A: výsledek 0 =>
xA x
výsledek 1 =>
yA y
B B
yA y
B
„Spooky action at a distance!“
Tím Alice ovlivnila stav částice B, a to na jakoukoliv vzdálenost. Pokud na částici B bude Bob měřit, jeho výsledky jsou již předem dány.
Můj generátor náhodných čísel vytvořil sekvenci
0110001101010111011011100110101 To je úžasné, můj generátor napsal stejnou řadu
0110001101010111011011100110101
Kvantová nelokalita ??? EPR schéma nelze využít k nadsvětelné komunikaci !!! Výsledky měření
A
Alice jsou náhodné, posílá tedy Bobovi jen šum. Alice by se mohla pokusit poslat skutečnou zprávu tak, že by ji zakódovala do změn soustavy svých polarizačních měření na jednotlivých fotonech (např. volba x, y by znamenala 0 , zatímco B x’, y’ ≡ 1). Bob by sice vždy dostal foton polarizovaný přesně podle výsledku Alice, B ale jeho stav by nedokázal v jednom polarizačním sin y měření určit… cos y
B
1 2 1 2
B
1 2
yA y
x´ A x´ B
1 2
y´ A y´
xA x
x cos x´ sin y´ y sin x´ cos y´
x´ cos x y´ sin x
Otáčením své soustavy jsem Ti poslala zprávu:
0110001101010111011011100110101 Měřením ve své soustavě jsem dostal jinou řadu
1100100111011101011101101100011
Skryté parametry ??? Není za kvantovou fyzikou nějaká lokální teorie „klasického typu“? … teorie se „skrytými“
A
B
α ≡ úhel natočení
β
a ≡ výsledek měření Pravděpodobnosti:
κ≡
P (a | )
úhel natočení ≡ výsledek měření ≡ sada skrytých parametrů společných oběma fotonům
P( )
Podmíněná pravděpodobnost Pst.jevu X, pokud také nastal jev Y
P( X Y ) P( X | Y ) P(Y ) Nezávislost jevů
(tj. zatím neznámými)
X X Y
P( X | Y ) P( X ) Y P(X Y ) P( X ) P(Y )
b
P (b | )
parametry, která by v budoucnu nahradila kvantovou mechaniku (ta by v tomto pohledu byla neúplná). Taková teorie
by nemusela být deterministická, ale měla by odrážet skutečné „elementy reality“…
Příklad popisu průchodu fotonu Mach-Zehnderovým interferometrem pomocí skrytého parametru s : jeho hodnota určuje, zda foton děličem svazku projde (s=0) nebo se odrazí (s=1), při průchodu děličem se hodnota s změní. Model vysvětluje pozorované chování…
Skryté parametry ??? Není za kvantovou fyzikou nějaká lokální teorie „klasického typu“? … teorie se „skrytými“
A
B
α ≡ úhel natočení
β
a ≡ výsledek měření Pravděpodobnosti: požadavek
lokality:
(tj. zatím neznámými)
κ≡
úhel natočení ≡ výsledek měření ≡ sada skrytých parametrů společných oběma fotonům
b
P (b | ) P (a | ) P( ) P (a b | ) P (a | ) P (b | )
Podmíněná pravděpodobnost Pst.jevu X, pokud také nastal jev Y
P( X Y ) P( X | Y ) P(Y ) Nezávislost jevů
X X Y
P( X | Y ) P( X ) Y P(X Y ) P( X ) P(Y )
parametry, která by v budoucnu nahradila kvantovou mechaniku (ta by v tomto pohledu byla neúplná). Taková teorie
by nemusela být deterministická, ale měla by odrážet skutečné „elementy reality“…
Odvození z nezávislosti měření Alice a Boba (veškeré korelace jsou neseny pouze skrytým parametrem κ):
P (a b | )
P (a b ) P( )
P ( b| ) P ( )
P ( a| ) P (a | b ) P (b )
P( ) P (a | ) P (b | )
Bellovy nerovnosti Libovolná lokální teorie se skrytými parametry musí splňovat jisté vlastnosti: a ={+1,−1} b ={+1,−1}
α α'
A
B
β β'
Jak Alice, tak Bob mají 2 soustavy měření polarizace: úhly natočení {α,α’},{β,β’}
−2 ≤ B(α,α’,β,β’) ≤ +2
Skryté par.: a b
a' b'
J. Bell (1964), Physics 1,195 J. Clauser, M. Horne, A. Shimony, R. Holt (1969), Phys.Rev.Lett. 23, 880 B
John Bell (1928-1990)
Bellovy nerovnosti V kvantové mechanice jsou Bellovy nerovnosti narušeny
a ={+1,−1} A
b ={+1,−1} B
α α'
β β'
Jak Alice, tak Bob mají 2 soustavy měření polarizace: úhly natočení {α,α’},{β,β’}
−2 ≤ B(α,α’,β,β’) ≤ +2 −2√2 ≤ B(α,α’,β,β’) ≤ +2√2
Skryté par.:
QM:
J. Bell (1964), Physics 1,195 J. Clauser, M. Horne, A. Shimony, R. Holt (1969), Phys.Rev.Lett. 23, 880
John Bell (1928-1990)
Bellovy nerovnosti – experimentální testy • Freedman and Clauser, 1972. This was the first actual Bell test, using Freedman's inequality, a variant on the CH74 inequality. • Aspect, 1981-2. A. Aspect and his team at Orsay, Paris, conducted three Bell tests using calcium cascade sources. The first and last used the CH74 inequality. The second was the first application of the CHSH inequality. The third (and most famous) was arranged such that the choice between the two settings on each side was made during the flight of the photons (as originally suggested by John Bell). • Tittel and the Geneva group, 1998. The Geneva 1998 Bell test experiments showed that distance did not destroy the "entanglement". Light was sent in fibre optic cables over distances of several kilometers before it was analysed. As with almost all Bell tests since about 1985, a "parametric down-conversion" (PDC) source was used. • Weihs' experiment under "strict Einstein locality" conditions 1998. G.Weihs and a team at Innsbruck, led by A. Zeilinger, conducted an ingenious experiment that APS/Alan Stonebraker closed the "locality" loophole, improving on Aspect's of 1982. The choice of detector was made using a quantum process to ensure that it was random. This test violated the CHSH inequality by over 30 standard deviations, the coincidence curves agreeing with those predicted by quantum theory. • Pan et al.'s 2000 experiment on the GHZ state. This is the first of new Bell-type experiments on >2 particles; this one uses the so-called GHZ state of 3 particles. • Rowe et al. 2001 are the first to close the detection loophole. The detection loophole was first closed in an experiment with two entangled trapped ions, carried out in the ion storage group of D.Wineland at the NIST in Boulder. The experiment had detection efficiencies well over 90%. • Gröblacher et al. 2007 test of Leggett-type non-local realist theories. A specific class of non-local theories suggested by A.Leggett is ruled out. Based on this, the authors conclude that any possible non-local hidden variable theory consistent with quantum mechanics must be highly counterintuitive. • Salart et al. 2008 separation in a Bell Test. This experiment filled a loophole by providing an 18 km separation between detectors, which is sufficient to allow the completion of the quantum state measurements before any information could have traveled between the two detectors. • Ansmann et al. 2009 overcoming the detection loophole in solid state. This was the first experiment testing Bell inequalities with solid-state qubits (superconducting Josephson phase qubits were used). This experiment surmounted the detection loophole using a pair of superconducting qubits in an entangled state. However, the experiment still suffered from the locality loophole because the qubits were only separated by a few millimeters. • Giustina et al. 2013, Larsson et al. 2014 overcoming the detection loophole for photons. The detection loophole for photons has been closed for the first time in a group by A.Zeilinger, using highly efficient detectors. This makes photons the first system for which all of the main loopholes have been closed, albeit in different experiments. • Christensen et al. 2013 overcoming the detection loophole for photons. Setup similar to that of Giustina et al., who did just four long runs with constant measurement settings (one for each of the four pairs of settings). The present experiment was not pulsed so that formation of "pairs" from the two records of measurement results had to be done after the experiment which in fact exposes the experiment to the coincidence loophole. This led to a reanalysis of the experimental data in a way which removed the coincidence loophole, and fortunately the new analysis still showed a violation of the appropriate CHSH or CH inequality. The experiment was pulsed and measurement settings were reset in a random way, though only once every 1000 particle pairs, not every time. • Hensen et al., Giustina et al., Shalm et al. 2015 loophole-free Bell tests. The first three significant-loophole-free Bell-tests were published within three months by independent groups in Delft, Vienna and Illinois. All three tests simultaneously addressed the detection loophole, the locality loophole, and the memory loophole. This makes them “loophole-free” in the sense that all remaining conceivable loopholes like superdeterminism
require truly exotic hypotheses that might never get closed experimentally.
Zdroj: Wikipedia
Bellovy nerovnosti – rozum tomu bránicí!
Sdružená pravděpodobnost pro počty početí v obou městech pro konstantní hodnoty skrytých parametrů se musí faktorizovat (lokalita!):
P (a b | ) P (a | ) P (b | )
α ... program v Praze β ... program v Brně a … počet početí/týden v Praze b … počet početí/týden v Brně κ … skryté parametry (počasí, fotbal, burza…)
TV1/TV2
Každý týden náhodně zvolen jeden program, který bude v daném městě vysílán
TV1/TV2
ČERNOŠICE
PRAHA
Narušení Bellových nerovností v QM je totéž, jako by počty početí v jednom městě závisely na programu vysílaném v druhém městě (korelace by ale byly tak subtilní, že by se z nich program v druhém městě nedal určit)…
TV1 & TV2
BRNO
M. Dušek, P. Cejnar Kvantové hlavolamy V, Vesmír 77 (1998)
Vyklíčilo podezření, že sledování televize způsobuje pokles porodnosti. Který z programů je hlavním viníkem, mělo být určeno na základě statistického šetření ve 2 městech, v nichž je každý týden vysílán jen jeden náhodně zvolený program … [podle: J.Bell 1979]
Pilotní vlna – nelokální teorie se skrytým parametrem Důsledek Bellových nerovností: teorie se skrytými parametry, která dává stejné predikce jako kvantová mechanika, musí být nelokální! Louis de Broglie (1892-1987)
Příklad: de Broglie – Bohmova teorie „pilotní vlny“ (1927, 1952)
David Bohm (1917 – 1992)
„kvantového potenciálu“
Trajektorie částic ve dvouštěrbinovém experimentu podle teorie pilotní vlny (Wikipedia)
1) Kvantová nelokalita 2) Kvantová informace & počítání
Kvantový kanál Existence kvantového kanálu mezi Alicí a Bobem umožňuje řadu triků …
1 2
0A 0 B
1 2
1A 1 B
spojení schopné udržet kvantovou koherenci přenášených částic
A
B
E
EVA
Určení „kvantovosti“ (koherence) kanálu je možné pomocí testování narušení Bellových nerovností na určitém počtu zkušebních párů částic generovaných v provázaném stavu – klasický (nekoherentní) kanál B. nerovnosti splňuje. Klasický kanál:
Kvantový kanál:
−2 ≤ B(α,α’,β,β’) ≤ +2 −2√2 ≤ B(α,α’,β,β’) ≤ +2√2
Kvantový kanál může být zabezpečen proti odposlouchávání – měření 3. stranou (Evou) způsobuje kolaps stavového vektoru (ztrátu provázanosti částic) – lze ho v principu zjistit (např. pomocí testu B. nerovností)
Kvantový kanál – kryptografie Existence kvantového kanálu mezi Alicí a Bobem umožňuje řadu triků … kryptografie bez použití provázaných stavů spojení schopné udržet kvantovou koherenci přenášených částic
A
kóduje zprávu do polarizačních stavů fotonu, např.
B
x , x' 0 y , y' 1 EVA
E
cílem komunikace je přenos tajného klíče k šifrování
klasický kanál
A→B shoda soustav
A→B
shoda bitů
OK
OK
-
OK
-
OK
OK
-
OK
OK
y'
x
y
y'
OK
OK
OK
-
NO!
polar. soustavy
-
A←B
A←B
vybrané bity
V případě absence odposlouchávání by bity ● byly použity k přenosu klíče.
Kvantový kanál – husté kódování Existence kvantového kanálu mezi Alicí a Bobem umožňuje řadu triků …
1 2
0A 0 B
1 2
1A 1 B
spojení schopné udržet kvantovou koherenci přenášených částic
A
B Bob má tak k dispozici provázaný pár částic v jednom ze 4 Bellových stavů
Alice na své částici provede jednu z následujících operací
1 Oˆ A(1) 0 0 ( 3) ˆ OA 1
0 ˆ ( 2) 1 0 OA 1 0 1 1 ˆ ( 4) 0 1 OA 0 1 0 a pošle ji Bobovi …
1 2
0A 0 B
1 2
1A 1 B
(1)
1 2
0A 0 B
1 2
1A 1 B
(2)
1 2
1A 0 B
1 2
0A 1 B
(3)
1 2
1A 0 B
1 2
0A 1 B
(4)
Tyto stavy jsou ortogonální – dokonale rozlišitelné. Jejich měřením může Bob od Alice získat 4 bity informace
4 bity informace přeneseny pomocí 1 bitu ( jedné 2-stavové částice )…
Kvantová teleportace
Star Trek
Kvantová teleportace Přenos kvantového stavu z jedné částice na jinou, např. přenos spinového stavu částice se spinem ½ (např. elektronu)
Na základě klasické informace o výsledku měření na částicích 1+2 může Bob rekonstruovat stav částice 1 na částici 3
Nejedná se o přenos nadsvětelnou rychlostí !
Kvantová teleportace Přenos kvantového stavu z jedné částice na jinou, např. přenos spinového stavu částice se spinem ½ (např. elektronu)
Na základě klasické informace o výsledku měření na částicích 1+2 může Bob rekonstruovat stav částice 1 na částici 3
• Plné rozlišení všech 4 Bellových stavů není možné pomocí tzv.„lineárních optických prvků“: rozlišeny jsou vždy jen 2 stavy, zbylé 2 ne. => Mez na úspěšnost teleportace 50 % (příp. 75 % s 25 % rizikem chyby). Existují návrhy teleportace s použitím „nelineárních prvků“ nebo >2 provázaných částic … • Bylo navrženo schéma teleportace spojité vlnové funkce, které vyžaduje klasický přenos 2 reálných čísel mezi Alicí a Bobem …
Kvantová teleportace
klasický kanál
“Quantum teleportation over 143 kilometres using active feedforward” X-S Ma, T Herbst, T Scheidl, D Wang, S Kropatschek, W Naylor, B Wittmann, A Mech, J Kofler, E Anisimova, V Makarov, T Jennewein, R Ursin, A Zeilinger, Nature 489, 269 (2012).
kvantový kanál veden vzduchem !
Kvantové počítání 1960-70s: Analýzy fyzikálních omezení klasických počítačů 1980-81: První úvahy o prospěšnosti QM pro teorii počítání Richard Feynman, Jurij Manin, … Richard Feynman (1918-1988)
Kvantové počítání 1960-70s: Analýzy fyzikálních omezení klasických počítačů 1980-81: První úvahy o prospěšnosti QM pro teorii počítání Richard Feynman, Jurij Manin, … 1985: 1989:
Kvantový Turingův stroj Elementární kvantové operace David Deutsch
1994:
Kvantový faktorizační algoritmus Peter Shor
N P1 P2
{
Richard Feynman (1918-1988)
N P1 , P2 x P1 , P2 N
RSA šifrování: Nejprve si bude Alice muset vyrobit pár veřejného a soukromého klíče: Zvolí dvě různá velká náhodná prvočísla p a q. Spočítá jejich součin n = pq. Spočítá hodnotu Eulerovy funkce φ(n) = (p − 1)(q − 1). Zvolí celé číslo e menší než φ(n), které je s φ(n) nesoudělné. Nalezne číslo d tak, aby platilo de ≡ 1 (mod φ(n)), kde symbol ≡ značí kongruenci zbytkových tříd. Jestli e je prvočíslo, tak d = (1+r*φ(n))/e, kde r = [(e-1)φ(n)^(e-2)]. Veřejným klíčem je dvojice (n, e), přičemž n se označuje jako modul, e jako šifrovací či veřejný exponent. Soukromým klíčem je dvojice (n, d), kde d se označuje jako dešifrovací či soukromý exponent. V praxi se klíče uchovávají v mírně upravené formě, která umožňuje rychlejší zpracování. Veřejný klíč poté Alice uveřejní, respektive zcela otevřeně pošle Bobovi. Soukromý klíč naopak uchová v tajnosti. (Wikipedie)
Kvantový bit Dvoustavový kvantový systém
0 1
= qubit, Qbit, qbit, „kvabit“ … Dva vybrané stavy atomu – „uvězněné ionty“ (de)excitované laserem 1
2
3
6
12
cos 2 eisin 2
≈μm
Spinu elektronu, protonu, lichého jádra…(s=½) – využití jaderné magnetické rezonance Interakce atomů a záření v dutinovém rezonátoru
Molekula se 7 qbity - jádra 13C,19F
Kvantový bit Dvoustavový kvantový systém
0 1
= qubit, Qbit, qbit, „kvabit“ … Makroskopické proudy v supravodivých smyčkách
cos 2 eisin 2
Spiny elektronů (jader) v polovodičové mříži
SQUID: Superconducting Quantum Interference Device
Kvantový registr Obecný stav n-tice qbitů = superpozice všech číselných hodnot
0 000 1 001 2 010 2n 1 111 0
1
2
2 n 1
Příprava homogenní superpozice: čas t
0 0
0 1
0 2
0 n
H H
H H
0 1 0 1 0 1
0 1
4 4 5 5
Kvantový výpočet Krokovaná kvantová evoluce stavu počítače a následné měření
Uˆ NUˆ N 1 Uˆ 2Uˆ1 (0) ( N ) 0 ( N ) 0 1 ( N ) 1 2n 1 ( N ) 2n 1 …. opakování výpočtu a statistické vyhodnocení výstupů Uˆ ( N ) klasický výstup
Příprava homogenní superpozice a sekvence 1- & 2-qbitových operací: čas t 0
0 1
0 2
0 n
H H
H
U5
U1 U2
U3 …………………
U4
H
…………………
měření
0
Kvantové testování funkcí Zjištění nějaké vlastnosti funkce f (x) rychleji než klasickým způsobem Výpočet hodnoty diskrétní funkce
Např.:
x
x
x x
n n
0 0
m m
x
x x
n n
f ( x) f ( x)
x
Unitární operace
H
0
0 => f ≠ const
H
měř 1 => f = const
0
Not
H
Test konstantnosti 2-bitové funkce (Deutsch-Joszův algoritmus, 1992)
Jediným voláním funkce jsme schopni zjistit její globální vlastnost !
f x= 0 1
f (x) = 0 1
1 0
≠ const
0 0
1 1
= const
… analogie bezinterakčního měření
m m
Kvantové testování funkcí Zjištění nějaké vlastnosti funkce f (x) rychleji než klasickým způsobem Výpočet hodnoty diskrétní funkce
Unitární operace
Zjištění periody funkce (Shorův faktorizační algoritmus, 1994)
… analogie bezinterakčního měření
Další kvantové algoritmy Prohledávání databází Úlohy optimalizace ? Rozpoznávání obrazců ? Problémy splnitelnosti Simulace fyzikálních & chemických (biologických) systémů Mnohočásticový problém
(jaderná fyzika, chemie…)
Počet bázových stavů systému (dimenze stavového prostoru) roste exponenciálně s počtem částic. Např. 2D spinová mřížka: dimenze prostoru = 2N N 2 2 dim 16 N 3 3 dim 512 N 4 4 dim 65.536 N 5 5 dim 33.554.432 N 6 6 dim 68.719.476.736 N 7 7 dim 562.949.953.421.312
Možné aplikace při navrhování nových materiálů, chemicky/biologicky aktivních molekul…
Asparu-Guzik, Kassal… (2008)
© United Feature Syndicate, S. Adams
Proč to vlastně funguje?
Podle Everettovy mnohosvětové interpretace QM jsou jednotlivé členy kvantové superpozice „realizovány“ v různých „světech−vesmírech“. Paralelní vesmíry jsou ve vzájemném kontaktu po dobu udržení koherence provázané kvantové superpozice. Vyšší efektivita kvantové počítání je důsledkem paralelismu provázaných výpočtů probíhajících v různých vesmírech …
Jestli to ovšem vůbec kdy zafunguje … SHIFT HAPPENS.
MFF UK v Praze laboratoře Trója květen 3046
