KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Baris Ruang Kolom Ruang Nol
TIM KALIN
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah menyelesaikan mahasiswa diharapkan :
pertemuan
ini
– Dapat mencari ruang baris, ruang kolom, ruang null dari suatu ruang vektor
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL Surabaya, 3 September 2012
2 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 2
Ruang Baris Ruang Kolom Ruang Nol RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL
3
A=
a11
a12
a13 ……. a1n
a21
a22
a23 ……. a2n
a31
a32
a33 ……. a3n
………………..………….. am1
am2
am3 ……. amn
r1 = ( a11
a12
a13 ……. a1n ) ∈ Rn
disebut
r2 = (a21
a22
a23 ……. a2n ) ∈ Rn
vektor baris (A)
…………………………… rm = (am1 RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL
am2
am3 ……. amn) ∈ Rn 4
c1 =
a11
c2 =
a12
…. cn =
a1n
a21
a22
a2n
a31
a32
a3n
…
…
…
am1
am2
amn
c1, c2, …, cn ∈ Rm disebut vektor kolom (A)
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL
5
Ruang Baris / Row Space:
Ruang Kolom / Column Space:
Ruang Nol / Null Space:
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL
6
RUANG BARIS Diketahui matriks A eselon 4 x 5 sebagai berikut : 1 −5 0 0 0 0 0 0
Vektor baris dari A : r1 = (1, −5, 2, 7,3) r 2 = (0, 0,1, −3, 2) r 3 = (0, 0, 0,1, 6) r 4 = (0, 0, 0, 0, 0)
2 7 3 1 −3 2 0 1 6 0 0 0
Karena memuat vektor NOL maka keempat vektor tersebut bergantung linier
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL
7
Subruang yang dibangun / direntang oleh 4 vektor diatas disebut ruang baris dari matriks A ditulis baris(A), dalam hal ini baris(A) = 4. Dimensi dari ruang baris disebut rank baris dari matriks A, dalam hal ini rank baris dari A adalah 3.
Surabaya, 3 September 2012
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL
8 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 8
RUANG KOLOM Diketahui matriks eselon, E= 10 −05 12 −73 32 0 0
0
0 1
0
0 0
6 0
ketiga vektor kolom yang memuat elemen pivot merupakan vektor yang bebas linier. Ketiga vektor tersebut adalah : 1 2 7 0 1 −3 k1 = , k3 = , k4 = 0 0 1 0 0 0
Surabaya, 3 September 2012
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL
9 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 9
• Vektor kolom yang tidak memuat elemen pivot merupakan kombinasi linier dari. Vektorvektormembentuk basis dari ruang kolom disebut rank kolom, dalam hal ini adalah 3. • Subruang di Rm yang dibangun oleh n vektor disebut ruang kolom ditulis kolom (A) dalam hal ini = 5.
Surabaya, 3 September 2012
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL
10 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 10
Jika A adalah matriks (m × n), maka Rank (A) = dimensi basis ruang baris (A) = dimensi basis ruang kolom (A)
Nullity (A) = dimensi basis ruang nol (A)
Rank (A) + Nullity (A) = n
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL
11
DEFINISI: 1. Jika A adalah sembarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom A mempunyai dimensi yang sama 2. Dimensi bersama dari ruang baris dan ruang kolom dari suatu matriks A disebut rank(A), dimensi ruang kosong atau kekosongan(A)
Surabaya, 3 September 2012
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL
12 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 12
Daftar Teorema
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL
13
1. Ax = b konsisten ↔ b ∈ Ruang Kolom (A) 2. Salah satu solusi Ax = b adalah xo; {v1, v2, v3 ,….., vk } basis dari Ruang Nol (Ruang Solusi Ax = 0); maka semua solusi Ax = b dapat dinyatakan sebagai x = xo + c1v1+ c2v2 + c3v3…. + ckvk 3. O.B.E. tidak mengubah Ruang Nol (A) 4. O.B.E. tidak mengubah Ruang Baris (A) RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL
14
5. Matriks A ekivalen-baris dengan matriks B; maka •
Himpunan vektor kolom di A bebas linier ↔ himpunan vektor kolom di B yang bersesuaian bebas linier
•
Himpunan vektor kolom di A merupakan basis dari Ruang Kolom (A) ↔ himpunan vektor kolom di B yang bersesuaian merupakan basis dari Ruang Kolom (B)
6. Matriks R berbentuk eselon-baris; maka •
vektor-vektor baris dari R dengan “1 utama” membentuk basis dari Ruang Baris (R) dan
•
vektor-vektor kolom yang berisi “1 utama” membentuk basis dari Ruang Kolom (R)
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL
15
Contoh(1): • Anggap Ax=b adalah sistem linier. Tunjukkan bahwa b berada dalam rauang kolom A
− 1 3 2 x1 1 1 2 − 3 x = − 9 2 2 1 − 2 x3 − 3 sehingga _ x1 = 2, x2 = −1, x3 = 3 • Karena sistem tersebut konsisten, maka b berada dalam ruang kolom A RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL
16
Contoh(2): X1 + 3X2 – 2X3 + 2X5 = 0 2X1 + 6X2 – 5X3 – 2X4 – 3X6 = -1 5X3 + 10X4 + 15X6 = 5 2X1 + 6X2 + 6X4 + 4X5 + 18X6 = 6 Penyelesaian : *) Augmented Matriksnya 1 2 0 2
3 6 0 6
-2 -5 5 0
0 2 -2 4 10 0 8 4
0 -3 15 18
0 -1 5 6 RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL
17
*) Matriks Eselon Tereduksi
1 0 0 0
3 0 0 0
0 1 0 0
4 2 0 0
2 0 0 0
0 0 1 0
0 0 1/3 0
x1 = −3r − 4s − 2t , x4 = s, x6 =1 / 3
*) Ditulis dalam bentuk vektor : x1 −3r − 4s − 2t 0 −3 −4 −2 x 1 0 0 r 2 0 x3 0 −2s 0 −2 0 = = = r + s +t s x4 0 0 1 0 x 0 0 0 1 t 5 1 1 /3 / 3 x6 0 0 0
Surabaya, 3 September 2012
RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL
18 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 18
Contoh(3): • Cari suatu basis untuk matriks berikut: 1 2 0 2
−2
0
0
−5 5
−3 15
−2 10
6
18
8
3 6 ⇒ 0 6
1 0 0 0
−2
0
0
1 0
3 1
2 1
0
0
0
3 0 0 0
• Vektor baris tak nol nya adalah : u = (1,-2,0,0,3), v = (0,1,3,2,0), w = (0,0,1,1,0) vektor tsb membentuk suatu basis untuk ruang baris , sehingga membentuk basis untuk sub-ruang dari R5 RUANG BARIS,RUANG VEKTOR, RUANG NULL
19