KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector
TIM KALIN
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah menyelesaikan mahasiswa diharapkan :
pertemuan
ini
– Dapat menghitung eigen value dan eigen vector suatu matriks – Dapat mengetahui contoh aplikasi dari eigen value dan eigen vektor suatu matriks
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR Surabaya, 3 September 2012
2 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 2
eigenvalues eigenvectors EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR
3
Definisi: Matriks A (n×n); x ∈ Rn
Ax = λx
dan
maka λ disebut eigenvalue A, dan x disebut eigenvector dari A yang “berpasangan” dengan λ Jika diketahui matriks A (n×n), bagaimana mencari eigenvalue(s) dari matriks A ? 1. Bentuk persamaan karakteristik determinan ( λI – A ) = 0 (akan terbentuk persamaan derajat n) 2. Cari akar-akar persamaan karakteristik di atas, ada n akar; akar-akar ini merupakan eigenvalue(s) dari matriks A EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR
4
Jika diketahui matriks A (n×n), maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yakni, Ax = λ x Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A. Vekto x =
1
adalah vektor eigen dari A =
2 Yang bersesuain dengan nilai eigen λ = 3, karena: Ax = 3
0
1
8
-1
2
EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR
=
3
= 3x
6
5
3
0
8
-1
Jika diketahui matriks A (n× ×n), bagaimana mencari eigenvalue(s) dari matriks A ? 1.
Bentuk persamaan karakteristik determinan ( λI – A ) = 0 (akan terbentuk persamaan derajat n)
2.
Cari akar-akar persamaan karakteristik di atas, ada n akar; akar-akar ini merupakan eigenvalue(s) dari matriks A
Contoh: A =
3
0
8
–1
→
(λI – A) = λ–3
0–0
0–8
λ+1
Det ( λI – A ) = 0 → ( λ – 3 ) ( λ + 1 ) + 0 = 0 maka λ1 = 3 & λ2 = –1
EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR
6
=
λ–3
0
–8
λ+1
Contoh: A =
3
2
-1
0
det (λ λI – A) = det
→
(λI – A) = λ–3
0-(-1) λ–3
-2
1
λ
= λ2 – 3 λ + 2 = 0 λ = 1 dan λ = 2
EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR
7
= 0
0–2 λ-0
=
λ–3
-2
1
λ
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR
8
Definisi: Matriks A (n × n); x ∈ Rn dan
Ax = λx
maka λ disebut eigenvalue A, dan x disebut eigenvector dari A yang “berpasangan” dengan λ
Jika diketahui matriks A (n×n), bagaimana mencari eigenvector(s) dari matriks A ? Setelah eigenvalue λk dari matriks A diperoleh, maka eigenvector(s) xk yang “berpasangan” dengan λk ditentukan dari persamaan ( λI – A ) xk = 0
EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR
9
Jika diketahui matriks A (n×n), bagaimana mencari eigenvector(s) dari matriks A ? Setelah eigenvalue λk dari matriks A diperoleh, maka eigenvector xk yang “berpasangan” dengan λk ditentukan dari persamaan ( λI – A ) xk = 0
Contoh: dari soal terdahulu A = eigenvector x1 : (λ λ 1I – A ) x1 = 0
3
0
8
–1
λ1 = 3 & λ2 = –1
→ (3I – A ) x1 = 0
Untuk λ1 = 3 3–3
0–0
x11
0–8
3+1
x12
0
0
x11
–8
4
x12
=
0 0
=
0
→ x12 = 2x11
0
→ x11 = skalar s
eigenspace = himpunan eigenvector x1 = { ( s , 2s ) }
EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR
10
Jika diketahui matriks A (n×n), bagaimana mencari eigenvector(s) dari matriks A ? Setelah eigenvalue λk dari matriks A diperoleh, maka eigenvector xk yang “berpasangan” dengan λk ditentukan dari persamaan ( λI – A ) xk = 0
Contoh: dari soal terdahulu A = eigenvector x2 : (λ λ 2I – A ) x2 = 0
3
0
8
–1
λ1 = 3 & λ2 = –1
→ (–1 I – A ) x2 = 0
Untuk λ1 = -1
EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR
–1 – 3
0–0
x21
0–8
–1 + 1
x22
–4
0
x21
–8
0
x22
=
0 0
=
0
→ x21 = 0
0
→ x22 = skalar s
eigenspace = himpunan eigenvector x2 = { ( 0 , s ) } 11
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR
12
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR
13
Contoh: Carilah Eigen Value (λ λ) dari: 1.
2.
3.
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR
14
Diagonalisasi: Matriks A (n × n) akan dicari matriks P yang invertibel sedemikian sehingga P–1AP = matriks diagonal Matriks A disebut diagonalizable Matriks P disebut mendiagonalisasi (diagonalizes) matriks A Teorema: Matriks A (n × n) Matriks A disebut diagonalizable ↔ A memiliki n eigenvectors yang linearly independent EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR
15
Algoritma untuk menentukan matriks P Matriks A (n × n) diagonalizable, maka langkah-langkah untuk menentukan P sbb.: 1. Bentuk fungsi karakteristik determinan ( λI – A ) = 0 2. Tentukan eigenvalues dari A: λ1, λ2, λ3, …., λn 3. Tentukan eigenspaces yang berpasangan dengan eigenvalues λ1, λ2, λ3, …., λn tersebut 4. Tentukan basis-basis dari eigenspaces di atas 5. Matriks P diperoleh dengan menuliskan basis-basis tersebut sebagai vektor kolom EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR
16
Contoh:
EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR
17
Diagonalisasi Akan dibuktikan bahwa
Eigen Vector
EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR
18
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR
19
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR
20
Karena A adalah matrix 3x3 dan hanya ada 2 vektor basis, maka A tidak diagonalizable EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR
21
Diagonalisasi Ortogonal: Matriks A (n × n) akan dicari matriks P yang ortogonal (P–1 = PT) sedemikian sehingga P–1AP = PTAP = matriks diagonal
Matriks A disebut orthogonally diagonalizable
Matriks P disebut mendiagonalisasi secara ortogonal (orthogonally diagonalizes) matriks A EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR
22
Algoritma untuk menentukan matriks P Matriks A (n × n) orthogonally diagonalizable, maka langkahlangkah untuk menentukan P sbb.: 1. Bentuk fungsi karakteristik determinan ( λI – A ) = 0 2. Tentukan eigenvalues dari A: λ1, λ2, λ3, …., λn 3. Tentukan eigenspaces yang berpasangan dengan eigenvalues λ1, λ2, λ3, …., λn tersebut 4. Tentukan basis-basis dari eigenspaces di atas 5. Aplikasikan metode Gram-Schmidt untuk mendapatkan basis-basis ortonormalnya 6. Matriks P diperoleh dengan menuliskan basis-basis hasil langkah 5 tersebut sebagai vektor kolom
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR
23
Teorema: Jika matriks A (n× ×n), maka yang berikut ini ekivalen a) Matriks A simetrik b) Matriks A orthogonallly diagonalizable c) Matriks A memiliki n eigenvectors yang ortonormal
Jika a) benar maka b) dan c) benar, dsb Jika a) salah maka b) dan c) salah, dsb
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR
24
Contoh: A =
4
2
2
2
4
2
2
2
4
determinan ( λI – A ) = 0 → ( λ – 2 )2 ( λ – 8 ) = 0 eigenvector x1 : (λ λ 1I – A ) x1 = 0
→ ( 2I – A ) x1 = 0
–2
–2
–2
0
→ 1
1
1
0
–2
–2
–2
0
0
0
0
0
–2
–2
–2
0
0
0
0
0
–1
+ x13
eigenspace (λ λ 1) – x12 – x13
=
x12
x12
1
x
0
EIGEN VALEU DAN EIGEN 13 VEKTOR
–1 0
25
1
Contoh: A =
4
2
2
2
4
2
2
2
4
determinan ( λI – A ) = 0 → ( λ – 2 )2 ( λ – 8 ) = 0 eigenvector x2 : (λ λ 2I – A ) x2 = 0
→ ( 8I – A ) x2 = 0
4
–2
–2
0
–2
4
–2
–2
–2
4
→
2
–1
–1
0
0
0
1
–1
0
0
0
0
0
0
eigenspace (λ λ 2) x23
=
x23 1
x23
1
x
1
EIGEN VALEU DAN EIGEN 23 VEKTOR
26
Basis eigenspace (λ λ 1) –1 ,
-1
1
0
0
1
–1/√ √2 ,
dengan Gram-Schmidt
→
& normalisasi
1/√ √2
–1/√ √6
0
2/√ √6
Basis eigenspace (λ λ 2) 1
dengan Gram-Schmidt
1
& normalisasi
→
1/√ √3 1/√ √3 1/√ √3
1
Maka matriks P yang
–1/√ √2
–1/√ √6
1/√ √3
orthogonally diagonalizes
1/√ √2
–1/√ √6
1/√ √3
0
2/√ √6
1/√ √3
matriks (A) adalah EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR
27
–1/√ √6
A =
4
2
2
2
4
2
2
2
4
Maka matriks P yang
–1/√ √2
–1/√ √6
1/√ √3
orthogonally diagonalizes
1/√ √2
–1/√ √6
1/√ √3
0
2/√ √6
1/√ √3
matriks (A) adalah
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR
28
CONTOH: Sistem persamaan perpindahan penduduk, C = 0,85C + 0,10 S untuk n ≥ 0 n +1
n
n
S n +1 = 0,15Cn + 0,90 S n
Dalam hal ini :
C xn = n Sn
Matriks transisinya :
0,85 0,10 A= 0,15 0,90
Persamaan karakteristik dari A :
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR Surabaya, 3 September 2012
29 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 29
Persamaan karakteristik dari A : 17 9 3 1 − λ −λ− = 0; 20 10 20 10 (17 − 20 λ )( 9 − 10 λ ) − 3 = 0 200 λ 2 − 350 λ + 150 = 0 4λ 2 − 7λ + 3 = 0
( λ − 1 )( 4 λ − 3 ) = 0 → λ1
= 1, λ 2 = 0, 75
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR Surabaya, 3 September 2012
30 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 30
*) Untuk λ1, pers. (A-λI)= 0 −0,15 0,10 x 0 0,15 −0,10 y = 0 → x1 = S ( 2,3) ,
*) Untuk λ2 = 0,75, pers. (A-λI)=0 0,10 0,10 x 0 0,15 0,15 y = 0 → x 2 = S ( −1,1) ,
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR Surabaya, 3 September 2012
31 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 31
1 0 2 − 1 1 1 1 −1 −1 A = PDP , P = ,D = 3,P = 3 1 − 3 2 5 0 4
untuk k >>
k
3 ≈0 4 0 1 2 − 1 1 1 k1 Ak = 3 3 1 0 5 −3 2 4
1 2 −1 1 0 1 1 1 2 2 = = 5 3 1 0 0 −3 2 5 3 3
Dengan k yang cukup besar, 0, 4 1 2 2 C0 x k = Ak x 0 ≈ = C + S ( ) 0 0 5 3 3 S0 0, 6 EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR Surabaya, 3 September 2012
32 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 32
• Untuk waktu yang lama (k >>) karena vector (0,4,0,6) dengan λ=1, pembagian penduduk antara kota dan pinggiran tidak mengalami perubahan lagi, yaitu menjadi 40% berada di kota dan 60% berada di pinggiran
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR Surabaya, 3 September 2012
33 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 33
LATIHAN: 1. a.
b.
2. a.
b.
A =
A =
A =
A =
Surabaya, 3 September 2012
19
-9
-6
25
-11
-9
17
-9
-4
-1
4
-2
-3
4
0
-3
1
3
5
0
0
1
5
0
0
1
5
0
0
0
0
0
0
3
0
1
Tentukanlah apakah A dapat didiagonalisasi. Jika ya, maka carilah matriks P yang mendiagonalisasi A secara ortogonal.
EIGEN VALEU DAN EIGEN VEKTOR
34 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
Page 34
