KAPITA SELEKTA PEMBELAJARAN ALJABAR KELAS VIII SMP

Modul Matematika SMP Program BERMUTU

KAPITA SELEKTA PEMBELAJARAN ALJABAR KELAS VIII SMP

Penulis: Setiawan Rachmadi Widdiharto Penilai: Sunandar Krisdiyanto HP Editor: Ratna Herawati Lay out: Joko Purnomo

Departemen Pendidikan Nasional Direktorat Jenderal Peningkatan Mutu Pendidik dan Tenaga Kependidikan

Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan (PPPPTK) Matematika 2009

KATA PENGANTAR Puji syukur kita panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas bimbingan-Nya akhirnya PPPPTK Matematika dapat mewujudkan modul program BERMUTU untuk mata pelajaran matematika SD sebanyak sembilan judul dan SMP sebanyak sebelas judul. Modul ini akan dimanfaatkan oleh para guru dalam kegiatan di KKG dan MGMP. Kami mengucapkan terima kasih yang tak terhingga kepada semua pihak yang telah membantu terwujudnya modul-modul tersebut. Penyusunan modul melibatkan beberapa unsur yaitu PPPPTK Matematika, LPMP, LPTK, Guru SD dan Guru Matematika SMP. Proses penyusunan modul diawali dengan workshop yang menghasilkan kesepakatan tentang judul, penulis, penekanan isi (tema) modul, sistematika penulisan, garis besar isi atau muatan tiap bab, dan garis besar isi saran cara pemanfaatan tiap judul modul di KKG dan MGMP. Workshop dilanjutkan dengan rapat kerja teknis penulisan dan penilaian draft modul yang kemudian diakhiri rapat kerja teknis finalisasi modul dengan fokus editing dan layouting modul. Semoga duapuluh judul modul tersebut dapat bermanfaat optimal dalam memfasilitasi kegiatan para guru SD dan SMP di KKG dan MGMP, khususnya KKG dan MGMP yang mengikuti program BERMUTU sehingga dapat meningkatkan kinerja para guru dan kualitas pengelolaan pembelajaran matematika di SD dan SMP. Tidak ada gading yang tak retak. Saran dan kritik yang membangun terkait modul dapat disampaikan ke PPPPTK Matematika dengan alamat email [email protected] atau alamat surat: PPPPTK Matematika, ii

Jalan Kaliurang Km 6 Condongcatur, Depok, Sleman, D.I. Yogyakarta atau Kotak Pos 31 Yk-Bs 55281 atau telepon (0274) 881717, 885725 atau nomor faksimili: (0274) 885752. Sleman, Oktober 2009 a.n. Kepala PPPPTK Matematika Kepala Bidang Program dan Informasi

Winarno, M.Sc. NIP 195404081978101001

iii

DAFTAR ISI Halaman Judul..................................................................................................... Kata Pengantar..................................................................................................... Daftar Isi………………………………………….....………………………… Bab I Pendahuluan A. Latar Belakang …………………………………………….............. B. Tujuan ………………………..……………………………............... C. Ruang Lingkup ………………………………………….................... D. Saran Penggunaan ………………………………………...................

i ii iv

Bab II Operasi Aljabar dan Pemfaktoran Bentuk Aljabar ……………........ A. Pengantar .............................................................................................. B. Tujuan Pembelajaran ............................................................................ C. Kegiatan Belajar – 1 : Operasi Aljabar ….....……………................... D. Kegiatan Belajar – 2 : Pemfaktoran Bentuk Aljabar ……....................

6 6 6 7 11

Bab III Relasi, Fungsi dan Persamaan Garis Lurus ........................................ A. Pengantar ....................................................................... ....................... B. Tujuan Pembelajaran .................................................... ........................ C. Kegiatan Belajar – 1 : Relasi ................................................................. D. Kegiatan Belajar – 2 : Fungsi ................................................................ E. Kegiatan Belajar – 3 : Grafik Fungsi Aljabar ....................................... F. Kegiatan Belajar – 4 : Gradien dan Persamaan Garis Lurus .................

26 26 26 27 38 57 65

Bab IV A. B. C.

74 74 74

Sistem Persamaan Linear Dua Peubah ............................................... Pengantar ................................................................................................ Tujuan Pembelajaran .............................................................................. Kegiatan Belajar – 1 : Teknik Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Peubah.................................................................................. D. Kegiatan Belajar – 2 : Membuat dan Menyelesaikan Model Matematika yang berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Dua Peubah dan Penafsirannya...................................................................

1 2 3 4

75

81

86 Bab V Penutup .................................................................................................... 86 A. Rangkuman .............................................................................................. 97 B. Soal Refleksi Diri ..................................................................................... . Daftar Pustaka .................................................................................................... 99 Kunci Jawab Soal Latihan ................................................................................ 100

Kapita Selekta Pembelajaran Aljabar Kelas VIII SMP

iv

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Perkembangan usia siswa dari usia Sekolah Dasar (SD) ke Sekolah Menengah Pertama (SMP) juga mempengaruhi perkembangan kognitif siswa yakni dari number sense ke symbolic sense. Perubahan ini cukup dirasakan oleh beberapa teman guru matematika di lapangan ketika menyampaikan materi pembelajaran Matematika utamanya terkait dengan pembelajaran materi aljabar. Dari Laporan Hasil Training Need Assessment (TNA) dan Recruitment PPPPTK Matematika Yogyakarta th. 2007 menyebutkan bahwa materi diklat aljabar menempati urutan pertama dalam kategori sangat diperlukan. Diantara poin-poin yang dimaksud antara lain: Penyelesaian Matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linier satu variabel (59,70%), Pemodelan matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linier satu variabel (53,70%), Pemecahan masalah yang terkait dengan aljabar (53, 00%), Relasi dan Fungsi (53,70%) dan Penentuan gradien, persamaan, dan grafik garis lurus (50,70%). Sementara itu, merujuk pada salah tujuan pembelajaran matematika di SMP dalam rangka mewujudkan hasil belajar berupa kecakapan matematika salah satu diantaranya adalah: memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model Matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh. (Permendiknas No. 22 th 2006 tentang Standar Isi). Kecakapan matematika merupakan kemampuan yang utamanya berkaitan dengan kemampuan kognitif (intelektual). Bila ditinjau dari perkembangan kognitifnya, karakteritik siswa usia Sekolah Menengah Pertama (SMP) berada pada tahap operasi formal. Hal itu sesuai dengan pendapat ahli psikologi kognitif Piaget bahwa perkembangan kognitif mereka yang berusia 11 tahun sampai dewasa


1


berada pada tahap operasi formal, sedang mereka yang berusia sekitar 7-11 tahun berada pada tahap operasi kongkret (Wadsworth, 1984). Meski pengelompokan perkembangan kognitif dari Piaget itu mendapat kritik karena beberapa penelitian dapat membuktikan bahwa tugas-tugas yang terkait perkembangan kognitif ala Piaget dapat diselesaikan oleh anak-anak pada tahap perkembangan yang lebih awal (Wardhani, 2004), namun pendapat Piaget itu telah berdampak besar dalam praktik-praktik pembelajaran. Prinsip Piaget yang sampai saat ini tetap dianggap penting yaitu perkembangan selalu mendahului pembelajaran. Jadi, agar kecakapan matematika dapat dikuasai optimal oleh siswa maka proses pembelajaran dan pedagoginya harus memperhatikan tahap perkembangan kognitif yang telah dicapai siswa. PPPPTK Matematika Yogyakarta yang salah satu tugas dan fungsinya adalah pemberdayaan pendidik (guru) Matematika berusaha untuk memfasilitasi peningkatan keprofesionalan tugas tersebut. Tahun 2008, telah menerbitkan 40 buah Paket Fasilitasi Peningkatan KKG/MGMP untuk guru Matematika dari jenjang SD

hingga SMA. Seiring dengan upaya tersebut, melalui program

BERMUTU (Better Education Reformed Through Management and Teachers Upgrading) berusaha meningkatkan tugas dan profesi guru. Modul ini diharapkan mampu menunjang program tersebut dalam memberikan alterantif-alternatif penyelesaian dengan masalah-masalah yang muncul untuk Pembelajaran materi aljabar kelas VIII. Ada baiknya para rekan-rekan guru Matematika SMP merujuk pula materi pada Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP th. 2008 tentang Pembelajaran Aljabar Kelas VII SMP/MTs yang diterbitkan oleh PPPPTK Matematika dengan penulis Al. Krismanto, M.Sc. Sebagai pemahaman awal, atau penguatan materi, bahan di modul ini sebagian juga diambil dari Paket tersebut. B. Tujuan Modul ini bertujuan agar para pembaca, khususnya para guru anggota MGMP Matematika SMP lebih memahami permasalahan dalam memberikan beberapa alternatif penyelesaiannya tentang permasalahan aljabar khususnya materi di kelas VIII untuk ketercapaian kompetensi siswa dalam;


2


melakukan operasi aljabar, menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya, memahami relasi dan fungsi, menentukan nilai fungsi, membuat sketsa grafik fungsi aljabar sederhana pada sistem koordinat Cartesius, menentukan gradien, persamaan dan grafik garis lurus, membuat model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linier dua variabel, dan menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linier dua variabel dan penafsirannya.

C. Ruang Lingkup Bahan ini memuat hal-hal sebagai berikut. 1. Operasi Aljabar dan Pemfaktoran Bentuk Aljabar Bagian ini diawali dengan mengingat kembali konsep dan pengetahuan dasar operasi perkalian pada bilangan bulat, kemudian diterapkan dalam bentuk aljabar. Selanjutnya di bahas tentang perkalian dua suku dari suku dua yang diharapkan sebagai starting point untuk masuk pada pemfaktoran bentuk aljabar beserta masalah pembelajaran dan alternatif mengatasinya. 2. Relasi, Fungsi dan Persamaan Garis Lurus Pada bagian ini diawali dengan pembahasan mengenai relasi antar elemenelemen dari dua atau lebih himpunan. Sengaja pembahasannya agak detail lebih dari sekedar keperluan guru untuk menerangkan materi relasi di SMP, hal ini dimaksudkan memberi bekal pemahaman guru terhadap materi relasi yang merupakan

dasar

untuk

pengembangan

materi

fungsi.

Selanjutnya

dikembangkan ke konsep fungsi yang pada hakikatnya adalah relasi khusus. Pembahasan fungsi disengaja agak detail mengingat urgensi dan esensi fungsi baik dalam matematika maupun cabang ilmu pengetahuan yang lain.


3


Kemudian dari fungsi-fungsi khusus ada pembahasan khusus mengenai fungsi linear yang dengan kaca geometri merupakan representasi dari garis lurus. Pada bagian akhir dari bab ini siswa difasilitasi mampu mempelajari persamaan garis lurus, dari berbagai situasi. 3. Sistem Persamaan Linier Dua Variabel Pada bagian ini dengan diawali dengan menyodorkan konteks, yang menggiring pada sistem persamaan linear dengan tiga peubah. Selanjutnya dibahas teknik-teknik penyelesaian sistem persamaan linear dua peubah, yang dapat diselesaikan baik dengan cara eliminasi, substitusi, ekuasi dan menentukan koordinat potong kedua grafik linear tersebut. Bab ini diakhiri dengan beberapa persoalan yang model matematikanya merupakan sistem persamaan linear dua peubah. Beberapa di antaranya dapat digolongkan soalsoal yang non rutin, yang dapat digunakan untuk mengetahui kemampuan siswa dalam masalah problem solving.

D. Saran Penggunaan Modul ini merupakan bahan ajar yang berisi permasalahan aljabar dan pembelajarannya. Untuk memahaminya, selain membaca dan mendiskusikannya dengan teman-teman di MGMP, perlu dicobakan, kemudian mencari contohcontoh lain agar alternatif saran yang ditawarkan dapat diolah kembali dan dikembangkan. Tugas hendaknya dikerjakan dan kemudian dipertukarkan dengan teman dalam MGMP, agar pendapat dan komentar dapat saling memberdayakan, disamping memperbaiki saran yang ditawarkan dalam modul ini. Itikad baik dan kejujuran teman “se-tim” dan keterbukaan setiap anggota tim dalam memberikan komentar dan penilaian sangat membantu untuk meningkatkan kompetensi anggota MGMP. Jika teman dalam MGMP memberikan nilai minimal 75% dari hasil jawaban Anda, maka Anda dianggap memahami paket ini.


4


Bagi siapa pun yang ingin memberikan saran perbaikan paket ini atau ingin berkomunikasi tentang bahan ini atau yang terkait, dapat berhubungan a. melalui PPPPTK Matematika, alamat e-mail: [email protected] alamat website: www.p4tkmatematika.com b. melalui e-mail penulis, dengan alamat: [email protected] dan [email protected]


5

BAB II OPERASI ALJABAR DAN PEMFAKTORAN BENTUK ALJABAR A. Pengantar Pada bab ini Anda akan mempelajari masalah operasi aljabar dan pemfaktoran bentuk aljabar. Sebagaimana telah kita ketahui bersama bahwa operasi aljabar dalam matematika merupakan hal yang sangat esensial dalam pembelajaran matematika. Seperti halnya pada operasi bilangan, terhadap bentuk aljabar dapat pula dilakukan operasi

penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian,

maupun penarikan akar pangkat dan perpangkatan. Dengan penjumlahan muncul suku-suku dan dengan perkalian muncul pengertian faktor yang merupakan unsur dari perkalian tersebut. B. Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini Anda diharapkan mampu menjelaskan tentang operasi aljabar, bagaimana proses pembelajarannya, beberapa alternatif penyelesaian yang dihadapi oleh siswa terkait dengan operasi bentuk aljabar, pemfaktoran, pemfaktoran sebagai operasi balikan dari penjabaran, beberapa metode alternatif dalam penjabaran, serta langkah-langkah mengatasi kesulitan yang dihadapi siswa terkait dengan pemfaktoran bentuk aljabar. Untuk membantu Anda agar menguasai kemampuan tersebut, pembahasan bab ini akan disajikan dalam 2 (dua) Kegiatan Belajar (KB) sebagai berikut. 1. KB – 1 : Operasi Aljabar Tujuan pembelajaran dari Kegiatan Belajar 1 ini adalah bahwa setelah mengikuti kegiatan belajar ini guru mampu a. Menyederhanakan bentuk aljabar dengan benar.


6


b. Menjelaskan proses penyederhanaan bentuk aljabar. c. Melakukan penyederhanaan bentuk alajabar dengan berbagai cara. 2. KB – 2 : Pemfaktoran Bentuk Aljabar. Tujuan pembelajaran dari Kegiatan Belajar 2, ini adalah bahwa setelah mengikuti kegiatan belajar ini guru mampu a. Menyelasaikan persoalan aljabar dengan memfaktorkan b. Menerapkan berbagai cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan dengan memfaktorkan C. Kegiatan Belajar 1: Operasi Aljabar

Ketika ada seorang siswa mengerjakan soal a + a = a2 ,apa yang Anda lakukan? Bagaimana halnya apabila ab  2a = 3a + b; apa tindakan Anda? Komunikasi dengan simbol merupakan suatu bentuk bahasa. Karena itu belajar aljabar dapat dipandang sebagai belajar bahasa simbol dan relasi antara bilangan. Jadi perlu memahami konsep dan kesepakatan-kesepakatan dasar yang digunakan dalam bahasa matematika, yaitu aljabar. Merujuk pada permasalahan tersebut di atas terutama yang terkait dengan operasi bentuk aljabar, beberapa alternatif langkah yang dapat digunakan antara lain sebagai berikut: 1) Dengan

pendekatan

kontekstual,

mantapkan

dan

ingat

kembali

pembelajaran tentang operasi bilangan bulat 2) Sembari mengingat, perjelas beberapa pengertian tentang variabel, konstanta, koefisien, bentuk aljabar, suku-suku sejenis dan sifat-sifatnya. 3) Lakukan operasi-operasi bentuk aljabar, kemudian untuk meningkatkan ketrampilan siswa, perbanyak latihan. Secara garis besar, deskripsi pembelajarannya kurang lebih sebagai berikut. Diskusikan ketika ada seorang siswa sedang sakit kemudian memeriksakan diri


7


atau berobat ke dokter atau rumah sakit, maka akan diberikan resep (Kusrini, 2003). Pada botol atau kemasan obat tersebut biasanya tertulis sehari 3  1 tablet, yaitu aturan memakainya. Kita bisa menanyakan kepada siswa apa maksud penulisan itu. Ungkapan ” 3  1 tablet” maksudnya adalah dalam sehari obat itu harus diminum 3 kali setiap minum masing-masing 1 tablet. Demikian halnya apabila obat batuk 2  2 sendok teh artinya dalam sehari obat batuk harus diminum 2 kali, setiap minum masing-masing 2 sendok teh. Arti dari aturan pemakaian obat di atas sebenarnya sama dengan arti perkalian dalam matematika. ” 3  1” atau ”2  2” dapat diartikan: 3

1

2 2

=1+1+1 =2+2

Angka-angka yang berada di kotak dapat diganti dengan lambang sebarang bilangan bulat, misalnya a. Sehingga bila diganti dengan huruf a, maka:

2  a atau ditulis 2a, dan 2a = a + a 3  a atau ditulis 3a, dan 3a = a + a + a

Perhatikan: 1  a dapat ditulis a

4  a atau ditulis 4a, dan 4a = a + a + a + a dan seterusnya. Dalam matematika, perkalian untuk bilangan yang sama, seperti “2  2” dapat ditulis 22. Selanjutnya coba ditanyakan pada siswa bahwa pada resep dokter ”obat batuk sehari 2  2 sendok teh”, dapatkah ditulis 22 ?. Jawabnya tidak dapat. Mengapa? Coba jelaskan! Selanjutnya pada matematika, 2  2  2 dapat ditulis 23 2  2  2  2 dapat ditulis 24, 2  2  2  2  2 dapat ditulis 25, dan seterusnya.


8


Penulisan tersebut berlaku juga untuk sembarang bilangan bulat, misalkan a. Dengan demikian berlaku hal berikut: Perhatikan: a1 dapat ditulis a

a3 = a  a  a a5 = a  a  a  a  a, dan seterusnya

Setelah siswa sudah mulai teringat kembali dengan operasi bilangan-bilangan tersebut, mulailah siswa diarahkan pada beberapa pengertian yang sebenarnya sudah dipelajari pada Kelas VII. Ajak siswa untuk memperhatikan lagi huruf a, dalam 2a, 3a atau a3 . Huruf a tersebut

dinamakan variabel atau peubah,

3

sedangkan 2, 2a, 3a, atau a disebut bentuk aljabar. Contoh bentuk-bentuk aljabar lain dengan variabel a dan b adalah 3a2, a + 3, -2a, a2 + b, 3b2  a +2, dan sebagainya. Perhatikan bentuk aljabar berikut: 4a3 + 3a2 – a2 + 9a + 7, dalam bentuk aljabar ini; 4a3, 3a2, -a2, 9a, dan 7 dinamakan suku. Dengan demikian bentuk aljabar tersebut terdiri atas 5 suku. Bentuk aljabar yang demikian disebut polinom atau suku banyak . Pada suku 4a3; 4 disebut koefisien dari a3 dan 3 disebut pangkat atau eksponen dari a. Begitu juga dengan 3a2; 3 disebut koefisien dari a2 dan 2 disebut pangkat atau eksponen dari a. Perhatikan kembali pada bentuk aljabar di atas. Pada suku: 3a2 dan – a2 , pangkat dari a dari kedua suku tersebut adalah sama yakni 2. Sehingga kedua suku tersebut dinamakan suku sejenis. Dua atau lebih suku dikatakan sejenis apabila memuat variabel atau peubah yang sama dan pangkat yang sama. Bila dalam bentuk aljabar terdapat suku-suku yang sejenis maka suku-suku tersebut dapat disederhanakan dengan dijumlahkan atau dikurangkan. Contoh: Sederhanakan 1). 3a2 + 5a2 2). 2x3 + 4x3 Penyelesaian: 1). 3a2 + 5a2 = (a2 + a2 + a2) + (a2 + a2 + a2 + a2 + a2) = 7a2


9


atau dengan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan 3a2 + 5a2 = (3 + 4) a2 = 7a2 2). -2x3 + 4x3 = (-2+4) x3 = 2x3 Dengan beberapa contoh di atas, untuk memantapkan ketrampilan yang telah dimiliki, siswa bisa diarahkan pada bentuk perkalian dan pembagian operasi sederhana bentuk aljabar. Contoh: Sederhanakan 1). a2  2a 2).

3a 5 a2

3). ab2 

a2 3ab

Penyelesaian: 1). a2  2a = (a  a)  (a + a) = (a + a)  (a  a) = a ( a  a) + a (a  a) = (a2  a) + (a2  a) = a3 + a3 = 2 a3 3a 5 2). a2

=

3(a  a  a  a  a ) (a  a)

= 3 (a  a  a) = 3 a3 a2 (a  a) 3). ab  = a  (b  b)  3ab 3ab 2

= (a  b) 

a 2b a = 3 3


10


Selanjutnya, untuk memantapkan ketrampilan yang sudah dimiliki siswa mulai diarahkan pada bentuk aljabar yang lebih kompleks yang memuat dua variabel, misalnya 5xy, –7xy, 15xy, adalah contoh suku sejenis. Demikian juga bentuk aljabar -2a2b, 3a2b, adalah juga contoh dari suku sejenis. Kemudian diberikan latihan-latihan operasi yang melibatkan bentuk aljabar ini. Refleksi Diri KB - 1

Setelah Anda melaksanakan KB-1 ini, kerjakan Latihan nomor: 1 s.d 5 di bagian Refleksi diri KB – 1 ini dengan sungguh-sungguh. Cek hasil pekerjaan Anda dengan kunci jawaban di bagian Lampiran dari Modul ini, kemudian buat skor hasil pekerjaan Anda dengan rumus Skor refleksi diri S c =

Jumlah soal yang dikerjakan dengan benar  100% 5

Jika skor refleksi diri Anda lebih atau sama dengan 75%, selamat Anda telah memahami KB-1, dan Anda dapat melanjutkan ke KB – 2 Bab II, dan bagi Anda yang belum mencapai 75% dipersilahkan membaca lagi lebih cermat dan diskusikan dengan kolega Anda masalah yang dirasa kurang jelas dan dicoba lagi megerjakan soal-soal di bawah ini sekali lagi. Soal Latihan KB – 1.

Sederhanakan bentuk aljabar berikut: 1. 5a – 3b – 6a + 2b 2. 2x + 3(y – x) 3. 3p4 + 2p3 – p +2 4. 2ab + a2 – ab 5. 5xy2 + 2x – 7xy2 – 5x + 7 D. Kegiatan Belajar – 2: Pemfaktoran Bentuk Aljabar

Apabila anak diminta memfaktorkan bentuk x2 + x + 6 pada umumnya tidak mengalami kesulitan, namun untuk memfaktorkan 2x2 + 13 x – 24 mereka masih sering menemui hambatan, bagaimana tindakan Anda?


11


Dalam semesta bilangan cacah (Krismanto, 2008), faktor suatu bilangan adalah pembagi bulat (dalam hal ini bilangan asli) dari bilangan tersebut. 12 = 1 12, maka 1 dan 12 masing-masing adalah faktor bilangan 12. 12 = 2  6, maka 2 dan 6 masing-masing adalah faktor bilangan 12. 12 = 3  4, maka 3 dan 4 masing-masing adalah faktor bilangan 12. Telah diketahui bahwa faktor bulat positif bilangan 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, dan 24. Mendaftar

faktor bulat positif dapat dilakukan dengan cara yang

memudahkan dalam penyusunannya, yaitu menentukan pembagi bulat dan hasilnya (yang sekaligus juga faktor) secara berdampingan: 1

24

2

12

3

8

4

6

Bentuk aljabar pun dapat difaktorkan. Keterampilan memfaktorkan merupakan salah satu keterampilan yang diperlukan dalam menyelesaikan masalah dalam bentuk aljabar. Contoh: 6a2b mempunyai 24 faktor bulat positif: 1

6a2b

a

6ab

b

6a2

2

3a2b

2a

3ab

2b

3a2

3

2a2b

3a

2ab

3b

2a2

6

a2b

6a

ab

6b

a2

Sementara itu guna mengantarkan siswa ke pemfaktoran bentuk aljabar, siswa juga diingatkan tentang pengertian dari faktor persekutuan terbesar (FPB). Untuk maksud tersebut misalnya ditanyakan, berapa FPB dari 8 dan 12? Faktor-faktor dari 8 : 1 , 2, 4, 8 Faktor-faktor dari 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Faktor persekutuan dari 8 dan 12 adalah 1, 2, dan 4. Karena 4  2, dan 4  1, maka 4 adalah FPB dari 8 dan 12.


12


Terkait dengan pemfaktoran bentuk aljabar, Marsigit (2009) menyebutkan beberapa bentuk aljabar yang difaktorkan: 1. Faktorisasi bentuk ax + b atau ax – b Contoh: 4a + 6; x2  2x 2. Faktorisasi bentuk x2 + 2xy + y2 Contoh: b2 + 6b + 9; 9x2 – 30x + 25 3. Faktorisasi bentuk x2 – y2 Contoh : 4x2 – 4y2; 9m2 – 64 4. Faktorisasi bentuk ax2 + bx + c Contoh : x2 + 5x + 6; 6x2 + x– 15

1. Faktorisasi bentuk ax + b atau ax – b

Bagaimanakah cara melakukan pemfaktoran pada bentuk aljabar ax + b atau ax – b? Cara untuk memfaktorkan atau faktorisasi betuk aljabar ini adalah

sebagai berikut. 1. Carilah faktor persekutuan setiap suku. 2. Bagilah bentuk aljabar tersebut dengan faktor persekutuan terbesar dari setiap sukunya. Contoh:

Faktorkan. 1). 4a + 6 2). x2  2x Penyelesaian :

a. Perhatikan faktor persekutuan dari 4a dan 6 adalah 2. Telah juga diketahui bahwa FPB dari 4 dan 6 adalah 2 sehingga masing-masing suku dibagi dengan 2 diperoleh: 4a 6  2a dan  3 . 2 2 Dengan demikian pemfaktoran dari 4a + 6 adalah 2 (2a + 3) atau


13


4a + 6 = 2 (2a + 3) b. Perhatikan faktor persekutuan dari x2 dan –2x adalah x. Telah juga diketahui bahwa FPB dari 1 dan -2 adalah 1 sehingga masing-masing suku dibagi dengan 1  x = x diperoleh:  2x x2  x dan  2 x x Dengan demikian pemfaktoran dari . x2  2x adalah x (x – 2) atau x2  2x = x (x – 2) 2. Faktorisasi bentuk x2 + 2xy + y2

Pemfaktoran bentuk x2 + 2xy + y2 dapat dilakukan dengan mengarahkan siswa dengan cara sebagai berikut: x2 + 2xy + y2 = x2 + xy + xy + y2 = x (x + y) + y (x + y) = (x + y) (x + y) = (x + y)2 Jadi x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 . Sehingga x2 + 2xy + y2 merupakan bentuk kuadrat sempurna. Pada uraian tersebut terlihat karakteristiknya bahwa suku pertama (x2) dan suku ketiga (y2) dari hasil pengkuadratan suku dua merupakan bentuk kuadrat. Adapun suku kedua merupakan dua kali akar kuadrat dari suku pertama dan akar kuadrat dari kuadrat suku ketiga. Dengan cara yang sama bisa diperoleh bahwa x2  2xy + y2 = (x  y)2 Contoh:

Faktorkan 1). b2 + 6b + 9 2). 9x2 – 30x + 25 Penyelesaian:

1). b2 + 6b + 9 = b2 + 3b + 3b + 32 ; (ingat 6b = 3b + 3b) = b(b+3) + 3 (b+3); ( b2+3b) bisa difaktorkan sebagai b(b + 3)) = (b + 3)2


14


Atau dengan melihat karakteristik uraian seperti di atas: b2 + 6b + 9 = b2 + 2 .

b 2 9 + 32

= b2 + 2.b.3 + 32 ; (ingat bentuk x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 ) = (b + 3)2

2). 9x2 – 30x + 25 ; dengan karakteristik uraian di atas dapat dituliskan 9x2 – 30x + 25 = 9x2  2 .

9 x 2 25 + 52

= 9x2  2. 3x2. 5 + 52 (ingat bentuk x2 2xy + y2 = (x  y)2 ) = (3x – 5)2

3. Faktorisasi bentuk x2 – y2

Bentuk x2  y2 dinamakan bentuk selisih dua kuadrat. Faktorisasi bentuk x2  y2 adalah sebagai (x + y) (x – y) atau x2  y2 = (x + y) (x – y) Pemfaktoran bentuk x2  y2 dapat dilakukan dengan mengarahkan siswa dengan cara sebagai berikut: x2  y2 = x2 + xy  xy  y2 = (x + y) x + (x + y) (-y) = (x + y) (x – y) Contoh :

Faktorkan: 1). 4x2 – 4y2 2). 9m2 – 64 Penyelesaian:

1). 4x2 – 4y2 = 4x2 + 4xy – 4xy  4y2 = (2x + 2y) (2x) + (2x + 2y) (-2y) = (2x + 2y) (2x – 2y) Atau 4x2 – 4y2 = 4 (x2 – y2)


15


= 4 (x + y) (x  y) 2). 9m2 – 64 = (3m)2 – 82 = (3m + 8) (3m – 8) 4. a. Faktorisasi bentuk ax2 + bx + c

Untuk faktorisasi bentuk ini ada baiknya dimulai dari perkalian tentang suku sejenis terlebih dahulu. Pembahasan tentang suku sejenis dan perkalian bentuk aljabar di atas, apabila siswa telah cukup menguasai akan membantu pada pemfaktoran. Terkait dengan masalah pemfaktoran sebagai trigger di atas, beberapa langkah alternatif yang bisa dilakukan adalah sebagai berikut. i. Mantapkan dahulu dengan pemahaman tentang suku sejenis, suku tak sejenis, dan perkaliannya. ii. Perjelas tentang perkalian dua suku dari suku dua dengan beberapa cara antara lain: splitting method, smiley face method, dsb. iii. Dengan memperhatikan jabaran tersebut, arahkan pada pemahaman bahwa pemfaktoran adalah proses balikan dari perkalian/menjabarkan. iv. Apabila bentuk aljabar yang difaktorkan ax2 + bx + c, lakukan untuk nilai a =1 dahulu yang difaktorkan. v. Pastikan bahwa langkah pada poin d telah dikuasai, baru melanjutkan untuk proses pemfaktoran dengan a  1. Secara sederhana langkah-langkah tersebut di atas apabila dideskripsikan adalah sebagaimana berikut ini. Ulangi sepintas tentang operasi bentuk aljabar diatas, sebagai starting point untuk masuk ke perkalian dua suku dari suku dua. Untuk perkalian dua suku dari suku dua ada beberapa alternatif metode yang bisa dilakukan antara lain sebagaimana disampaikan oleh Chambers (2008) berikut ini: Cara: 1.The ”splitting (x + 3)(x + 2) = x (x + 2) + 3 (x + 2 ) method” = x2 +2x + 3x + 6

= x2 + 5x + 6


16


FOIL : a mnemonic for ” first, outer, inner, last”, the four pairs of terms that need to be multiplied

2. FOIL 3. The “smiley face method”

(x + 3) (x + 2)

4. The method”

“grid x +2

x

+3

x2

3x

2x

5. The “area method”

6

x

3

x

2

Keterangan:

1. Untuk “Splitting method” atau metode pemisahan, salah satu suku dua dipisahkan sebagai

penjabaran penjumlahan dari suku dua yang ada,

dalam hal ini suku dua (x + 3). Kemudian baru dikalikan dengan mengikuti hukum distributif. 2. “FOIL method” yang merupakan akronim dari “First, Outer, Inner, Last”, atau bisa pula dinyatakan sebagai PLDA yakni “Pertama, Luar,

Dalam, Akhir”

Maksudnya, ketika dua suku dari suku dua itu diposisikan

untuk dikalikan maka, lakukan perkalian yang pertama dengan pertama (dari masing-masing suku dua), perkalian suku yang luar dengan luar, perkalian suku yang dalam dengan dalam, dan perkalian suku yang akhir dengan akhir”.


17


3. The “smiley face method”, atau metode “gambar senyum” yang lebih melihat pada ilustrasi atau gambar dari alur perkalian yang menyerupai senyuman seseorang. 4. The “grid method”, metode table/kotak. Metode ini menggunakan table dalam melaksanakan perkalian dua suku dari suku dua yang diketahui. Masing-masing suku ditaruh pada lajur kolom dan baris dari table yang dimaksud, kemudian pada hasil kali dari suku-suku tersebut ditaruh pada sel-sel yang bersesuaian. 5. The “area method”, metode ini dengan pendekatan geometris yakni luas persegi panjang. Perkalian dua suku dari suku (x + 3) dan (x + 2) yang digambarkan sebagai luas dari persegi panjang dengan panjang (x + 3) dan lebar (x + 2). Dengan pendekatan yang hampir serupa, Raharjo (dalam Limas No. 17, Desember th. 2006) untuk perkalian dua suku dari suku dua ini dijelaskan seperti berikut ini: Mengulang kembali makna luas persegi panjang, sebab makna perkalian dua bilangan bebas bersesuaian dengan luas bangun dua dimensi (dimensi panjang dan lebar) sedangkan jika yang dikalikan 3 bilangan bebas akan bersesuaian dengan volum bangun tiga dimensi (dimensi panjang, lebar, dan tinggi) Perhatikan bahwa jika 3 bangun persegi panjang yang masing-masing luasnya 2 petak persegi berikut jika digabungkan menjadi satu akan berbentuk persegi panjang yang luasnya 6 petak persegi yakni 6 = 3 × 2 D

C 2

Luas gabungan = 2 + 2 + 2

2 petak 2 petak 2 petak persegi persegi persegi

=3×2

A

B 3 Luas ABCD = 6 petak = 3 × 2


18


Dengan melihat pola yang ditunjukkan, diperoleh kesimpulan umum (generalisasi) bahwa untuk setiap persegi panjang yang panjang dan lebarnya berturut-turut adalah p dan  , maka C

D

Luas persegi panjang ABCD adalah  A

L = p× 

B p

Sekarang misal kita mempunyai sebuah persegi panjang ABCD yang disekat menjadi 4 bagian dengan ukuran masing-masing diketahui seperti berikut.

D

C

2

II

IV

x

I

III

B

A

x

3

Maka Luas ABCD = AB × BC = (x + 3)(x + 2) Luas I = x2 Luas II = 2x Luas III = 3x Luas IV = 6 Luas ABCD = Luas (I + II + III + IV) (x + 3)(x + 2) = x2 + 2x + 3x + 6 = x2 + 5x + 6

Kesimpulannya menjabarkan

(x + 3)(x + 2) = x2 + 5x + 6 ……………(1) memfaktorkan

Perhatikan bahwa proses pengubahan bentuk (1) di atas dari kiri ke kanan secara aljabar disebut menjabarkan, sedangkan dari kanan ke kiri disebut memfaktorkan. Pertanyaan yang kita ajukan ke siswa adalah “bagaimana kita

dapat mengubah bentuk di atas (dari kiri ke kanan dan sebaliknya dari kanan ke kiri) jika gambar geometrinya tidak ada?”. Itulah yang dalam topik aljabar disebut menjabarkan dan memfaktorkan.


19


4. b. Faktorisasi bentuk ax2 + bx + c (untuk a =1)

Merujuk pada pengertian menjabarkan dan memfaktorkan di atas, Marsudi (Limas, 2006) menyebutkan bahwa untuk maksud faktorisasi bentuk ini dapat didekati dengan prosedural maupun non prosedural. A. Menjabarkan (kiri ke kanan) (x + 3)(x + 2) = x(x + 2) + 3(x + 2)

......... sifat distributif pekalian(×) terhadap +

= x2+ 2x + 3x + 6 …………sifat distributif × terhadap + …….hasil pengumpulan suku-suku sejenis. = x2 + 5x + 6 B. Memfaktorkan (kanan ke kiri) 1. Secara Prosedural (berdasarkan aturan matematika yang benar) x2 + 5x + 6 = 1x2 + 5x + 6 Kalikan = 6 =1×6 = 2 × 3............ kedua faktor inilah yang jumlahnya sama dengan koefisien x. Sehingga 5x harus dipecah menjadi 2x dan 3x jumlah faktor yang = koef. x

= = = =

x2 + 2x + 3x + 6 (x2 + 2x) + (3x + 6) x(x + 2) + 3(x + 2) (x + 3)(x + 2)

…………kelompokkan dalam 2 suku ………… keluarkan FPB masing-masing suku …………...keluarkan faktor yang sama, dalam hal ini (x + 2) dari kanan.

Dengan demikian secara aljabar tebukti benar bahwa x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) 2. Secara non-Prosedural (trik/cara cepat) x2 + 5x + 6 = 1x2 + 5x + 6, akan difaktorkan dlm bentuk (x

)(x

).

Kalikan = 6 =1×6 = 2 × 3.......... kedua faktor inilah yang jumlahnya sama dengan koefisien x. Sehingga bentuk pemfaktorannya menjadi jumlah faktor yang = koef. x

(x + 2)(x + 3). Yaitu


20


= (x )(x ) = (x + 2)(x + 3) = (x + 3)(x + 2)

… sifat komutatif perkalian (bolak balik sama)

Dengan demikian maka x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) Sementara itu untuk bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1, Marsigit (2009) menyebutkan bahwa faktorisasi bentuk ax2 + bx + c adalah (x+ p) (x+q) dengan b = p + q dan c = p  q. Dari contoh di atas; x2 + 5x + 6; dalam hal ini a = 1, b = 5 dan c = 6; b = p + q --- 5 = p + q c = p  q --- 6 = p  q

, selanjutnya dicari dua bilangan yang

jumlahnya 5 dan hasil kalinya sama dengan 6 5 = 1 + 4 ---- 1  4  6 5 = 2 + 3 ---- 2  3 = 6, jadi nilai p yang q yang dimaksud adalah p = 2 dan q = 3. Dengan demikian faktorisasi dari x2 + 5x + 6 adalah (x + 2) (x + 3), atau x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) 4. c. Faktorisasi bentuk ax2 + bx + c (untuk a  1)

Biasanya pemfaktoran ini yaitu dengan koefisien x2 sama dengan 1 sebagaimana disajikan di atas relatif agak lancar, yang bermasalah yaitu jika koefisien x2 (suku kuadrat) lebih dari 1. Contoh:

Faktorkan = 6x2 + x – 15 Penyelesaian: Alternatif pertama, Raharjo (dalam Limas No 17. Desember 2006) , kita

tawarkan ke siswa adakah diantara siswa yang dapat mengubah bentuk menjabarkan

(2x – 3)(3x + 5) = 6x2 + x– 15 memfaktorkan Kapita Selekta Pembelajaran Aljabar Kelas VIII SMP

21


namun bukan dari kiri ke kanan melainkan dari kanan ke kiri? Biasanya tak seorangpun mampu melakukannya kecuali siswa berbakat yang sudah mendapatkan informasi dari pihak luar. Jika hal seperti ini yang terjadi guru dapat memberikan contoh cara memfaktorkan yang bersifat prosedural dan non prosedural seperti berikut. 1. Secara Prosedural 6x2 + 1x – 15 = 6x2 + .... –15 Kalikan

hasil = 90 = 1 × 90 = 2 × 45 = 3 × 30 = 5 × 18 = 6 × 15 = 9 × 10

Bagian tengah yakni 1x akan dipecah sehingga pemfaktoran dapat dilakukan dengan lancar.

Carilah mana diantara pemfaktoran 90 ini yang faktorfaktornya mempunyai jumlah/selisih = 1 (yaitu koefisien dari x)

Agar 9 dan 10 mempunyai jumlah sama dengan 1 maka yang 9 kita tandai negatif dan yang 10 kita tandai positif, sehingga menjadi –9 dan 10. Maka nilai sukudua bagian tengah yaitu 1x pecah menjadi –9x dan 10x. Sehingga 6x2 + 1x – 15 = 6x2 + .... –15 = 6x2 – 9x + 10x – 15 = (6x2 – 9x) + (10x – 15) = 3x(2x – 3) + 5(2x – 3) = (3x + 5)(2x – 3) = (2x – 3)(3x + 5)

… keluarkan faktor persekutuan terbesarnya Keluarkan faktor yang sama yakni (2x – 3) ke

kanan (sifat distributif kanan)

2. Secara non-Prosedural (Cara cepat/trik saja) Karena sukudua 6x2 + 1x – 15 koefisien x nya 6, maka untuk kelancaran proses pemfaktoran, bentuk identitas (pernyataan yang selalu benar untuk setiap nilai variabel x yang diberikan) yang dimaksud nantinya adalah seperti berikut


22


6x2 + 1x – 15 =

(6 x

)(6 x 6

)

Teknik yang dimaksud selengkapnya adalah 6x2 + 1x – 15 = Kalikan

(6 x

)(6 x 6

) Carilah mana diantara pemfaktoran 90 ini yang faktor-faktornya mempunyai jumlah/selisih = 1 (yaitu koefisien dari x)

hasil = 90 = 1 × 90 = 2 × 45 = 3 × 30 = 5 × 18 = 6 × 15 = 9 × 10.

Karena diantara faktor-faktor dari 90 yang berselisih 1 adalah 9 dan 10 maka agar keduanya berjumlah sama dengan 1 faktor yang 9 diberi tanda negatif dan faktor yang 10 diberi tanda positif yakni masingmasing menjadi –9 dan 10. Sehingga proses pemfaktoran berikutnya adalah seperti berikut.

)(6 x ) 6 (6 x  9)(6 x  10) = 6 3(2 x  3). 2(3x  5) = 6

6x2 + 1x – 15 =

(6 x

= (2x – 3)(3x +5)

Alternatif kedua, Krismanto (2008) adalah sebagai berikut:

= 6x2 + 1x – 15 =

1 (6.6x2 + 6.1x – 6.15) 6


23


=

1 ((6x)2 + 1(6x) – 90); 6

=

1 ((6x – 9) (6x + 10)) 6

=

1 ( 3(2x – 3). 2(3x + 5)) 6

bayangkan ada bentuk p2 + 1p – 90

= (2x – 3) (3x + 5)

Alternatif ketiga, Marsigit (2009) menyebutkan bahwa langkah –

langkah untuk memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a  1 adalah sebagai berikut : i. Ubah bentuk ax2 + bx + c menjadi ax2 + (p + q)x + c = ax2 + px + qx + c dengan p + q = b dan p  q = a  c ii. Bentuk aljabar ax2 + px + qx + c dapat dipandang sebagai jumlah dua bentuk aljabar yaitu ax2 + px dan qx + c iii. Tentukan FPB suku-suku ax2 dan px. Kemudian tuliskan ax2 + px dalam bentuk hasil kali faktor-faktornya. iv. Tentukan pula FPB suku-suku qx dan c. Kemudian tuliskan qx + c dalam bentuk hasil kali faktor-faktornya. v. Setelah melakukan langkah c dan d, akan diperoleh sebagai berikut: ax2 + bx + c = (a 1 x(a 2 x + b 2 ) + b 1 (a 2 x + b 2 ) = (a 1 x + b 1 ) (a 2 x + b 2 ) Dengan a 1  a 2 = a dan (a 1  b 2 ) + (a 2  b 1 ) = b Dari contoh di atas dapat diselesaikan sebagai berikut: 6x2 + 1x – 15 Pertama, dicari nilai p dan q dengan ketentuan p + q = 1 dan p  q = 6  (15) = 90. Nilai p dan q yang dimaksud adalah 9 dan 10 sehingga 6x2 + 1x – 15 = 6x2 – 9x + 10x – 15


24


Dengan demikian bentuk 6x2 + 1x – 15 dapat ditulis sebagai jumlah dari (6x2 – 9x) dan (10x – 15). Selanjutnya tentukan FPB dari 6x2 – 9x dan FPB dari 10x – 15. FPB dari 6x2 – 9x adalah 3x, dan FPB dari 10x – 15 adalah 5. Jadi, bentuk 6x2 + 1x – 15 dapat ditulis sebagai; 6x2 + 1x – 15 = 6x2 – 9x + 10x – 15 = 3x(2x – 3) + 5(2x – 3) = (3x + 5) (2x – 3). Refleksi Diri KB - 2

Setelah Anda melaksanakan KB-2 ini, kerjakan Latihan nomor: 1 s.d 7 di bagian akhir Refleksi Diri KB – 2 ini dengan sungguh-sungguh. Cek hasil pekerjaan Anda dengan kunci jawaban di bagian Lampiran dari Modul ini, kemudian buat skor hasil pekerjaan Anda dengan rumus Skor refleksi diri S c =


Jika skor refleksi diri Anda lebih atau sama dengan 75%, selamat Anda telah memahami KB – 2 Bab II, dan Anda dapat melanjutkan ke Bab III, dan bagi Anda yang belum mencapai 75% dipersilahkan membaca lagi lebih cermat dan diskusikan dengan kolega Anda masalah yang dirasa kurang jelas dan dicoba lagi megerjakan soal-soal di bawah ini sekali lagi. Soal Latihan KB – 2.

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut ini dengan menggunakan berbagai cara: 1. 8a – 2 2. 15pq2 + 5pq 3. x2 + 10x + 25 4. 9m2 + 12 mn + 4n2 5. 4a2b2 – 25 6. 16p2 – 7(p – q)2 7. 3m2 – 16 my – 12y2


25

BAB III RELASI, FUNGSI DAN PERSAMAAN GARIS LURUS A. Pengantar Pada bab ini Anda akan mempelajari masalah relasi, fungsi dan persamaan garis lurus. Sebagaimana telah kita ketahui bersama bahwa fungsi suatu pengertian khusus dalam matematika merupakan hal yang sangat esensial dalam pembelajaran matematika. Bahwa konsep fungsi dikembangkan atas dasar konsep relasi khususnya relasi binar, sehingga pembahasan mengenai relasi dibuat agak mendetail dengan tujuan untuk memudahkan guru untuk mengambil konteks dalam pembelajaran matematika. B. Tujuan Pembelajaran Setelah Anda mempelajari bab ini, diharapkan mampu menjelaskan relasi binar dari elemen-elemen dari satu atau lebih himpunan, menjelaskan konsep fungsi yang merupakan relasi khusus dan menentukan nilai fungsi, dan menjelaskan bagaimana mendesain grafik fungsi serta menentukan gradien dan persamaan garis lurus. Untuk membantu Anda agar menguasai kemampuan tersebut, pembahasan bab ini dikemas dalam 4 (empat) kegiatan belajar sebagai berikut. 1. KB-1: Relasi Setelah mengikuti kegiatan belajar 1 ini, guru diharapkan dapat: a. Menjelaskan konsep relasi binar antar elemen-elemen dari satu atau lebih himpunan b. Menyajikan berbagai cara penyajian suatu relasi


26


2. KB-2: Fungsi Setelah mengikuti kegiatan belajar 2 ini, guru diharapkan dapat: a. Menjelaskan konsep fungsi dan kaitannya dengan relasi b. Mengidentifikasi sifat-sifat fungsi dan mengklasifikasikan sesuai dengan karakteristik yang dimilikinya. 3. KB-3: Grafik fungsi aljabar Setelah mengikuti kegiatan belajar 2 ini, guru diharapkan dapat menjelaskan cara mengkonstruksi suatu grafik fungsi dan mengaplikasikannya untuk menyelesaikan berbagai persoalan yang terkait dengan fungsi. 4. KB-4: Gradien dan Persamaan Garis Lurus Setelah mengikuti kegiatan belajar 4 ini, diharapkan guru mampu menjelaskan cara menentukan kemiringan suatu garis dan menentukan persamaan garis lurus.

C. Kegiatan Belajar-1: Relasi

Disajikan suatu himpunan {(Muhammad Ali, tinju), (Ronaldo,sepak bola), (Roger Federer, tenis), (Valentino Rossi, motoGP), (Kimi Raikkonen, F1)}, himpunan pasangan berurut ini menyajikan relasi antar dua elemen dari satu atau lebih himpunan, deskripsikan relasi di atas. Agar dapat mendeskripsikan suatu relasi antar elemen-elemen dari dua atau lebih himpunan sebagaimana relasi di atas, maka Anda perlu mencermati uraian di bawah ini dengan sebaik-baiknya. 1. Pengertian Relasi Dari data pribadi siswa yang dapat diambil dari Bimbingan dan Konseling, dicatat hobi dari beberapa siswa diantaranya: Ali gemar bermain badminton,


27


Budi gemar bermain sepakbola, Citra gemar bermain basket dan tenis meja, Desy gemar bermain basket dan tenis meja, sedang Elly tak satupun cabang olehraga yang digemarinya. Kalau kita pandang hubungan antar elemen-elemen dari semesta ini pada hakikatnya hubungan ini dalam matematika kita kenal dengan nama relasi. Unsur-unsur yang menjadikan hubungan antar elemen ini dikatakan relasi adalah: a. adanya dua himpunan yang tidak kosong yakni : A = {Ali, Budi, Citra, Desy, Elly} B = {badminton, sepakbola, basket, tenis meja} b. adanya aturan pengawanan antar elemen-elemen, yakni suatu kalimat terbuka “a gemar bermain b”. Pembahsan relasi di sini adalah menyangkut relasi-relasi di dalam suatu himpunan maupun dengan anggota dari himpunan lain. Relasi yang menyangkut dua anggota disebut relasi binar (diadic), relasi yang menyangkut tiga elemen disebut relasi terner (triadic), sedang yang menyangkut empat elemen disebut relasi kuarterner (tetradic), dan yang menyangkut lebih dari empat elemen disebut relasi polyadic. Di bawah ini diberikan beberapa contoh tentang relasi-relasi tersebut : (1) Contoh relasi binar (diadic) : (a) “x lebih dari atau sama dengan y” (b) “Abdor adalah ayah dari Andini” (2) Contoh relasi terner (triadic) : (a) “garis a sejajar b karena b sejajar c” (b) “Ali benci pada Budi yang kerenanya Elly tak mempedulikannya lagi” (3) Contoh relasi kuarterner (tetradic) : (a) “p, q, r, dan s adalah sisi-sisi empat persegi panjang PQRS” (b) “Anik, Budi, Citra dan Desy duduk mengitari meja makan”


28


(4) Contoh relasi polyadic : (a) “Ketujuh penjahat itu saling berkelahi karena merasa dicurangi dalam pembagian hasil kejahatannya” (b) “Para guru matematika SMP se Kabupaten Bantul saling berdiskusi dengan dipandu Guru Inti MGMP-nya”. Selanjutnya fokus pembahasan kita pada relasi binar, yaitu relasi yang menyangkut pasangan elemen dari satu atau lebih himpunan. Untuk dapat mendefinisikan relasi (relasi binar) diperlukan : a) suatu himpunan A yang tidak kosong b) suatu himpunan B yang tidak kosong c) suatu kalimat terbuka, yang kita singkat sebagai P(x,y), dimana P(a,b) dapat bernilai benar atau salah untuk tiap pasangan berurut (a,b). Jika P(a,b) benar maka kita tulis aRb atau R(a,b), dan sebaliknya jika salah kita tulis aRb atau R(a,b). Contoh 1 A = {2, 3, 4, 5, 6} B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} Dan ambillah kalimat terbuka P(x,y) yang merumuskan relasi dari A ke B dengan : “x adalah faktor dari y”, maka : 2R2, 2R4, 2R6, 3R3, 3R6, 4R4, 5R5, 6R6 sedangkan 2R5, 3R5, 5R6… . Contoh 2 P = {Ali, Budi, Citra, Desy, Elly} Q = {badminton, sepakbola, bolabasket, tenis meja} Ambillah dari contoh di muka suatu kalimat terbuka yang mendefinisikan relasinya : “x gemar bermain y”. sehingga: Ali R badminton, Budi R sepakbola, Citra R tenis meja , dan sebagainya, tetapi: Ali R badminton, Desy R sepakbola serta Elly R sepakbola. Relasi tersebut jika disajikan dengan himpunan pasangan berurut menjadi {(Ali, badminton), (Budi, sepak bola), (Citra, basket), (Citra, tenis meja), (Desi, basket), (Desi, tenis meja)}


29


2. Relasi Determinatif Suatu relasi R dikatakan determinatif antar anggota-anggota S, apabila aRb merupakan kalimat deklaratif (pernyataan) untuk setiap a dan b dalam S. Sebagai contoh relasi yang ditentukan oleh kalimat terbuka “x habis dibagi y” merupakan relasi determinatif untuk semesta bilangan asli A, tetapi tidak determinatif untuk semesta manusia. Andaikan a dan b bilangan asli A, maka “a R b” merupakan kalimat deklaratif, sebagai contoh “3R12” adalah suatu kalimat deklaratif, tetapi untuk p dan q pada semesta manusia, misalnya Siti dan Pardi, maka “Siti habis dibagi oleh Pardi” merupakan kalimat yang bukan deklaratif. Sehingga relasinya bukan relasi determinatif untuk semesta manusia. 3. Cara Menyajikan Suatu Relasi. Suatu relasi R dari himpunan A ke himpunan B, dapat disajikan dengan : a. Diagram panah Diagram 2

     

3 4 5 6. A “adalah faktor dari”

1 2 3 4 5 6

di

samping

ini

menyajikan diagram relasi dari himpunan : A = { 2, 3, 4, 5, 6} ke himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } yang ditentukan oleh kalimat terbuka “x adalah faktor dari y”

B

Gb. 3.1

b. Himpunan Pasangan Berurut Pada relasi di atas, yaitu relasi binar dari himpunan A = {2, 3, 4, 5, 6} ke himpunan

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} yang didefinisikan melelalui kalimat


30


terbuka “x adalah faktor dari y”, jika disajikan dalam himpunan pasangan berurutan akan menjadi R = {(2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (5,5), (6,6)} c. Dengan Diagram Cartesius Jika relasi R = {(2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (5,5), (6,6)} dari contoh di atas disajikan dalam diagram Cartesius maka grafiknya akan tampak sebagai berikut :

6 





 

5  4  3  2 



  

1   2

 4

 3

 5

 6

Gb. 3.2

4. Daerah Asal dan Hasil dari Relasi Perhatikan contoh 2 di atas, relasi R dari himpunan P = {Ali, Budi, Citra, Desy, Elly} ke himpunan Q = {badminton, sepakbola, bolabasket, tenis meja} yang disajikan dalam himpunan pasangan berurut R = {(Ali, badminton), (Budi, sepak bola), (Citra, basket), (Citra, tenis meja), (Desi, basket), (Desi, tenis meja)}, maka yang disebut daerah asal (domain) dari relasi R adalah DR =


31


{Ali, Budi, Citra, Desi}, sedangkan daerah hasil (range) dari R adalah {{badminton, sepakbola, bolabasket, pingpong}. Dengan demikian dapat kita definisikan domain (D) dan range (H), dari suatu relasi R dari himpunan A ke himpunan B adalah sebagai berikut: D = {a | a  A, (a,b)  R} dan H = {b | b  B, (a,b)  R} Sebagai contoh jika relasi R pada himpunan A = { 1, 2, 3, 4, 5} yang disajikan dalam diagram Cartesius sebagai berikut:



5 4 A

Dari relasi R di samping Daerah asal D = { 1, 3, 5 }

 

3

dan daerah hasil H = { 1, 3,

R

4, 5 } Catatan:

2 1

Yang 

2

3

dengan

relasi pada himpunan A



adalah 1

dimaksud

4

A

5

relasi

binar

dari

himpunan A ke himpunan A itu sendiri

Gb. 3.3

5. Relasi Invers Setiap relasi R dari himpunan A ke himpunan B memiliki invers R 1 dari B ke A yang didefinisika sebagai berikut : R 1 = {(b,a)| (a,b)  R}


32


Jadi dapat juga dikatakan bahwa R 1 adalah himpunan semua pasangan berurut yang bersifat bahwa jika urutan elemen dalam pasangan itu ditukar, maka pasangan berurut baru tersebut adalah anggota R Contoh 1 Jika A = { 2, 3, 4, 5} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}, sedangkan relasi : R = {(2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (5,5), (6,6)}, maka : R 1 = {(2,2), (3,3), (4,2), (4,4), (5,5), (6,2), (6,3), (6,6)} Dan kalimat terbuka yang menentukan relasi R 1 adalah “x mempunyai faktor y” Contoh 2 Himpunan A = { a, b, c} dan B = { 0, 1}, maka : A  B = {(a,0), (b,0), (c,0), (a,1), (b,1), (c,1)}, dan jika R = {(a,0), (b,0), (b,1), (c,1)} maka R 1 = {(0,a), (0,b), (1,b), (1,c)} dan dari B  A = {(0,a), (1,a), (0,b), (1,b), (0,c), (1,c)}, maka R 1  B  A Dalam hal ini : domain dari R adalah range dari R 1 , dan range dari R 1 adalah domain dari R Catatan : Suatu relasi yang domain dan range-nya sama (A = B), maka relasi dari ke A tersebut cukup dikatakan sebagai relasi pada A. Contoh 3 Jika A = { 2, 3, 4, 6}, maka tentukan relasi R pada A, yang ditentukan

oleh

kalimat

terbuka “x adalah faktor dari y”, diagram panahnya dapat

A

B

1 

 2

2  3

 3  4

4  6 

 6

disajikan di samping ini : “adalah faktor dari” Gb. 3.4


33


Sehingga R = {(2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (6,6)} Catatan : Suatu relasi pada A dikatakan sebagai relasi identitas dan dinyatakan dengan  A , apabila  A = {(a,a)| a  A} Contoh : Jika A = { 1, 2, 3, 4, 5} maka  A = {1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5)} Relasi identitas ini sering juga disebut sebagai diagonal.

6. Komposisi Relasi Misalkan R1 suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan R2 adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C, maka relasi R dari himpunan A ke C, yang terdiri atas (a, c)  R sedemikian hingga (a, b)  R1 dan (b, c)  R2 , dinamakan

relasi komposit dari A ke C dan ditulis dengan notasi R  R2  R1 Jadi: R2  R1  {( x, y} | x  A, y  C sedemikian hingga ( x, p )  R1 dan ( p, y )  R2 }

Catatan:

Syarat terjadinya relasi komposit R2◦R1 adalah range ( R1)  domain (R2)   Contoh 1

Jika A = { 1,2,3,4}, B = { a, b, c, d} dan { 5,6,7,8 } dan relasi R1 = {(1,a),(1,b),(2,a),(3,d),(4,d)} dan R2 = {(b,5),(c,6),(c,8),(d,8)}, maka

Tentukan : R2  R1 Jawab : Jika relasi-relasi di atas kita sajikan dalam suatu diagram panah:


34


A

B

C

1 

 a

 5

2 

 b

 6

3 

 c

 7

4 

 d

 8

R1

R2 R2  R1

Gb. 3.5

Jadi R2  R1 = {(1,5), (3,8),(4,8)} Contoh 2

Diketahui relasi - relasi Q dan R adalah relasi-relasi pada bilangan real, yang didefinisikan sebagai berikut : Q = {(x,y)}| x 2  y 2  4} dan R = {(y,z)|z = 2y + 3} Tentukan : R  Q Jawab : Relasi R  Q merupakan komposisi relasi dari relasi Q yang dilanjutkan dengan relasi R, dengan kalimat terbuka yang menyatakan aturan perkawanannya diperoleh dengan mengeliminir y dari persamaan rumus relasi keduanya.

 y   4  x2

x  Q

2  z  2 4  x  3

R RQ Gb. 3.6

Jadi relasi R  Q = {(x,z)| z  2 4  x 2  3 }. Kapita Selekta Pembelajaran Aljabar Kelas VIII SMP

35


7. Refleksi Diri

Setelah Anda melaksanakan KB-1 ini, kerjakan soal 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dari Refleksi Diri di bawah ini, dengan sungguh-sungguh, kemudia cocokkan hasilnya dengan kunci jawab di belakang, kemudian buat skor hasil pekerjaan Anda dengan rumus Skor refleksi diri Sc =


Jika skor refleksi diri Anda lebih atau sama dengan 75%, selamat Anda telah memahami bab ini, dan Anda dapat melanjutkan Kegiatan Belajar-2, dan bagi Anda yang belum mencapai 75% dipersilahkan membaca lagi lebih cermat dan diskusikan dengan kolega Anda masalah yang dirasa kurang jelas dan dicoba lagi megerjakan soal-soal di bawah ini sekali lagi. Soal Latihan:

1. Misalkan R adalah relasi dari himpunan A = { 1, 2, 3, 4} ke himpunan B = { 1, 3, 5} yang didefinisikan oleh kalimat terbuka "x lebih kecil dari y", maka : a. nyatakan R dalam himpunan pasangan berurut. a. sajikan R pada diagram Cartesius A  B. 2. Misalkan R adalah relasi dari himpunan C = { 2, 3, 4, 5} ke D = { 3, 6, 7, 10} yang didefinisikan oleh kalimat terbuka "y habis dibagi oleh x", maka : a. nyatakan R dalam himpunan pasangan berurut. b. sajikan R pada diagram Cartesius C  D. 3. Misalkan E = { a, b, c, d} dan R suatu relasi pada E, yang diagramnya sebagai berikut a. Tentukan nilai dari pernyataan : (i) c R b, (ii) d R a (iii) a R c (iv) b R b d c b a

   



b.

R

elemen yang berkawan dengan b.

   a



   b

 c

Carilah { x| (x,b)  R} yaitu semua

c.

Carilah { x| (d , x)  R}

  d Kapita Selekta Pembelajaran Aljabar Kelas VIII SMP

36


4. Pandang relasi R = {(1,5),(4,5),(1,4),(4,6),(3,7),(7,6)}, maka : Tentukanlah : a.

domain dari relasi R

b.

range dari relasi R

c. relasi invers dari R ( R 1 ) 5. Relasi R pada F = { 1, 2, 3, 4, 5 }, yang disajikan dengan diagram berikut : Carilah :

5  4 



R



3  2 





 4

 5



1   1

 2

 3

a.

domain dari R

b.

range dari R

c.

invers dari relasi R

d.

sketsa R 1 pada F  F

Gb. 2.9 6. Diketahui relasi R pada himpunan bilangan real yang didefinisikan oleh R = {(x,y)| 4 x 2  9 y 2  36} maka : R

Tentukanlah : 2

-3

a. domain dari R 3

R

b. range dari R c. relasi invers dari R ( R 1 )

-2 Gb. 2.10

7. Misalkan relasi R pada bilangan asli N = { 1, 2, 3, …} yang didefinisikan oleh kalimat terbuka "x + 2y = 10", maka tentukan a. domain dari R b. range dari R c. relasi invers dari R (relasi R 1 )


37


8. Misalkan R1 dan R2 adalah relasi-relasi pada bilangan real yang disajikan dalam bentuk himpunan pasangan berurut : R1 = {(x,y)| y  x 2 } R2  {( x, y ) | y  x  2 a. Buatlah sketsa R1  R2 pada diagram Cartesius. b. Carilah domain dari R1  R2 ! c. Caliah jangkauan (range) dari R1  R2 !

D. Kegiatan Belajar-2: Fungsi

Sebelum Anda mencermati uraian tentang fungsi, maka terlebih dulu cobalah untuk mencari jawab persoalan di bawah ini:

Jika diketahui dua himpunan A = { 1, 2, 3, 4, … } dan himpunan B = { 2, 4, 6, 8, …} maka dipastikan bahwa di satu sisi Anda pasti mengenal bahwa A adalah himpunan bilangan asli dan B adalah himpunan genap positif yang artinya B  A, tetapi di sisi lain, dengan mencermati relasi antar elemen dari A dan B maka Anda pasti dapat menunjukkan bahwa jumlah elemen kedua himpunan itu “sama”, nampaknya hal ini suatu kontroversi, jelaskan mengapa demikian!

Agar Anda dapat menjelaskan masalah di atas sebaik-baiknya maka cermatilah uraian mengenai relasi fungsional di bawah ini, yang merupakan suatu relasi khusus dari apa yang telah kita pelajari.

1. Pengertian Fungsi a. Fungsi ke dalam (Into)

Konsep fungsi terdapat hampir dalam setiap cabang matematika, sehingga fungsi merupakan materi pembelajaran yang sangat esensial, begitu besar


38


fungsi dan manfaatnya, baik dalam matematika itu sendiri maupun dalam ilmu-ilmu yang lain. Ada sedikit perbedaan pengertian fungsi dalam kehidupan sehari-hari dengan pengertian fungsi dalam matematika.

Dalam

kehidupan

sehari-hari fungsi adalah sinonim dari guna atau manfaat, sedang pengertian fungsi dalam matematika adalah mengacu adanya relasi binar yang khusus antara dua himpunan. Pengertian Gottfried W. Leibniz (1646-1716) Gb. 3.7

ini

pertama

kali

diperkenalkan oleh Gottfried W. Leibniz (1646-1716) pada tahun 1694.

Senada dengan relasi maka pada fungsi terdapat tiga unsur yang harus dipenuhi, yakni : 1)

suatu himpunan tidak kosong, katakanlah A

2)

suatu himpunan tidak kosong lain, katakanlah B

3)

suatu

kalimat

terbuka,

yang

juga

disebut

aturan

yang

mengakibatkan tiap elemen di A, menentukan dengan tepat elemen tunggal di B Relasi khusus ini sering disebut dengan relasi fungsional, yang sering disingkat dengan fungsi saja, sering disebut juga dengan istilah pemetaan (mapping).  x

a 

 y

b 

 z  u

c  d  A

 v f

B

Gb. 3.8 Kapita Selekta Pembelajaran Aljabar Kelas VIII SMP

39


Fungsi Gb.3.8 di atas secara formal biasa didefinisikan sebagai berikut: Definisi : Suatu fungsi f dari himpunan A ke dalam himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A dengan tepat satu elemen di B.

Fungsi f dari himpunan A ke dalam B ini biasa ditulis dengan notasi: f : A  B dibaca "fungsi f memetakan A ke dalam B"

Unsur tunggal di dalam B yang dihubungkan dengan a  A oleh f dinyatakan dengan f(a) dan disebut peta atau bayangan a oleh f, atau disebut juga nilai f pada a. Dan dalam hal ini a adalah prapeta dari f(a). Notasi yang digunakan untuk menyatakan suatu fungsi f yang memetakan setiap anggota x dari himpunan A ke anggota y dari himpunan B, adalah: f : x  y dibaca "f memetakan x ke y" Catatan :

Untuk menuliskan fungsi yang mendeskripsikan hubungan antar elemennya agar dari setiap x diperoleh f(x), B. Abrahamson (1971), menganjurkan menuliskannya dengan f : x  f(x). (Lambang "  " digunakan untuk membedakan "  " pada f : A  B)

Pandanglah pemetaan f : A  B, sebagaimana di atas, dalam hal ini : (1) Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari f (2) Himpunan B disebut daerah kawan (codomain) dari f (3) Himpunan semua peta unsur A dalam B disebut daerah hasil (range) dari f, dan ditulis dengan notasi f(A).

Sehingga f(A) = {f(a) |  A } Karena fungsi pada hakikatnya adalah relasi khusus, maka representasi fungsi dapat dilakukan dengan diagram panah, himpunan pasangan berurut


40


maupun dengan diagram Cartesius yang sering kita sebut dengan grafik suatu fungsi. Contoh 1

Misalkan A = { 2, 1, 0, 1, 2} dan B = { 0, 1, 2, 3, 4}, suatu pemetaan f dari A ke dalam B, sedemikian hingga f(x) = x 2 , maka Tentukan : a. himpunan pasangan berurut yang menyajikan fungsi tersebut b. daerah hasil dari f c. diagram Cartesiusnya Jawab : a. Himpunan pasangan berurutnya adalah {(2,4),(1,1),(0,0),(1,1),(2,4)} b. Daerah hasil dari f adalah f(A) = { 0, 1, 4} c. Diagram Cartesiusnya adalah: 

4  B 3 



2   1  . 2

 1

 0

  1

 2

A

Gb. 3.9

Catatan:

Diagram Cartesiusnya berupa noktah-noktah yang dilewati oleh kurva putus-putus tersebut, dan jika daerah asalnya himpunan semua bilangan real pada interval tersebut, maka diagram Cartesiusnya akan menjadi kurva mulus yang ditentukan oleh kurva putus-putus tersebut.


41


Contoh 2

Jika A = { Paris, London, Oslo, Jakarta, Tokio}dan B = { Norwegia, Inggris, Indonesia, Perancis, Jepang}, maka relasi yang memasangkan negara-negara dengan ibukotanya, dari A ke B, adalah suatu fungsi yang diagram panahnya dengan jelas sebagai berikut:

 Norwegia

Paris  London 

 Inggris

Oslo 

 Indonesia

Jakarta 

 Perancis

Tokio 

A

 Jepang

"ibukota negara" Gb. 3.10

B

Contoh 3

Diketahui suatu fungsi f : A  R di mana A = { x | 3  x  2, x  R } yang ditentukan oleh rumus f(x) = x 2  1 , maka tentukan : 1) f(1), f(0), dan prapeta dari 5 2) dengan menyajikannya dalam diagram Cartesius tentukan daerah hasil dari f Jawab : 1) f(1) = (1) 2  1  2 f(0) = 0 2  1  1

Prapeta dari 5, adalah mencari f(x) = 5  x 2  1  5  x 2  4  x  2 Sehingga prapeta dari 5 adalah 2 atau 2.


42


2) Y 10 



Dibuat grafik y  x 2  1 5 



y  x2 1





3





O



f(2) = 2 2  1  5

Jadi daerah hasil dari f



adalah

1  

f(3) = (3) 2  1  10



 2 X

f(A) = { y | 1  y  10, yR}

Gb. 3.11

Catatan :

Jika domain dan kodomain dari suatu fungsi kedua-duanya adalah himpunan yang sama, katakanlah fungsi f : A  A, maka f seringkali disebut operator atau transformator pada A. 2.

Fungsi Surjektif, Injektif dan Bijektif. a. Fungsi Surjektif

Misalkan f suatu fungsi dari A ke dalam B, maka daerah hasil f(A) dari fungsi f adalah himpunan bagian dari kodomain B atau f(A)  B . Jika f(A) = B

artinya setiap anggota B muncul sebagai peta dari sekurang-kurangnya satu elemen A, maka kita katakan "f adalah suatu fungsi A pada B". Fungsi pada (onto function) biasa juga kita kenal dengan nama fungsi surjektif.

Dengan demikian dapat kita definisikan suatu fungsi surjektif, sebagai berikut: Suatu fungsi f : A  B, adalah fungsi pada (onto) atau surjektif, jika untuk setiap bB, terdapat paling sedikit satu eleman aA, yang dipenuhi b = f(a)


43


Contoh 1

Fungsi f dari himpunan A = { 2, 1, 0, 1, 2} ke dalam B = { 0, 1, 4} yang didefinisikan oleh rumus fungsi f(x) = x 2 adalah suatu fungsi yang surjektif, karena setiap elemen di B merupakan sekurang-kurangnya peta dari satu elemen di A. 2 

 0

1 

 1

0  1 

 4

2  A

f(x) = x

B

2

Gb. 3.12

Contoh 2

Misalkan fungsi f didefinisikan oleh diagram panah : Fungsi f di samping ini a  b  c  A

f

 1

bukan

 2

karena :

 3

f(A) = { 1, 2}  B

fungsi

surjektif

B

Gb. 3.13

Fungsi surjektif f : A  A yang didefinisikan oleh rumus f(x) = x, yang berarti f menentukan tiap-tiap elemen dalam A dengan elemen yang bersangkutan itu sendiri, disebut fungsi satuan atau fungsi identitas, dan sebagaimana telah diuraikan didepan f sering dikatakan sebagai transformator atau operator pada A Contoh

Fungsi f : R  R yang didefisikan oleh rumus f(x) = x adalah fungsi identitas pada R.


44


Y y=x 1 





 1

0

X

Gb. 3.14

b. Fungsi Injektif.

Suatu fungsi f : A  B sedemikian hingga untuk setiap anggota A yang

 b1  f (a1 )

a1 

berbeda mempunyai peta yang berbeda



a2 

pula di B, dikatakan f sebagai fungsi

 b2  f ( a 2 ) A

f

yang injektif atau fungsi satu-satu. Jadi :

B

Gb. 3.15

Fungsi f : A  B disebut fungsi injektif (satu-satu), jika untuk setiap a1 , a2  A dan a1  a 2 berlaku f (a1 )  f (a2 ) .

Dari ketentuan bahwa suatu fungsi f : A  B merupakan fungsi injektif, jika untuk setiap pasang anggota a1 , a2  A berlaku : a1  a2  f (a1 )  f (a2 )

Rumus ini bernilai logis sama dengan pernyataan : f (a1 )  f (a2 )  a1  a2

Pernyataan terakhir inilah yang biasa digunakan untuk menunjukkan apakah suatu fungsi itu injektif ataupun bukan. Contoh 1

Selidikilah injektif tidaknya fungsi di dalam bilangan asli A (f : A  A), yang didefinisikan dengan rumus f(x) = 2x


45


Jawab: untuk setiap x1 , x2  A yang memenuhi f ( x1 )  f ( x2 ), maka 2 x1  2 x2  x1  x2

Sehingga dari f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2 , maka f adalah fungsi yang surjektif di dalam R Contoh 2

Relasi dari himpunan negara N ke himpunan bendera nasional B, yang didefinisikan dengan kalimat terbuka "negara x bendera nasionalnya adalah y ", adalah suatu fungsi sebab setiap negara pasti mempunyai bendera nasional, dan bendera nasionalnya hanya satu, tetapi bukan suatu fungsi injektif sebab ada dua negara yang berbeda misalnya Indonesia dan Monaco tetapi mempunyai bendera nasional yang sama yaitu sama-sama merah putihnya. Contoh 3

Fungsi f : R  R dimana R = {bilangan real}, yang didefinisikan sebagai f(x) = x 2 bukan suatu fungsi injektif, sebab untuk x1 , x2  R sedemikian hingga : 2

2

2

2

f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2  x1  x2  ( x1  x2 )( x1  x2 )  x1  x2 atau x1   x2

Hal ini menunjukkan adanya dua elemen yang berlainan, yang mempunyi peta yang sama. c. Fungsi Bijektif.  p

a 

 q

b  c d A

 r f Gb. 3.16

Jika suatu fungsi f : A  B sedemikian hingga f suatu fungsi yang surjektif dan injektif sekaligus, sebagaimana ilustrasi di

 s

samping, maka dikatakan f adalah suatu

B

fungsi bijektif atau korespondensi satusatu.

Definisi : Fungsi f : A  B disebut suatu fungsi bijektif jika f sekaligus fungsi surjektif dan fungsi injektif.


46


Contoh 1

Fungsi f : R  R yang didefinisikan dengan f(x) = 2x - 3 adalah fungsi bijektif sebab untuk setiap y peta dari x pasti akan dipenuhi : 2x  3 = y  x =

1 2

( y  3) yang ini menunjukkan prapeta dari y di B. Dengan

demikian f adalah fungsi yang surjektif. Sedang untuk setiap pasang x1 , x2  R,

yang dipenuhi

f ( x1 )  f ( x2 ) ,

akibatnya : 2 x1  3  2 x2  3  x1  x2

Hal ini menunjukkan f suatu fungsi yang injektif, dan dari f injektif dan surjektif sekaligus ini, dapat disimpulkan bahwa f adalah fungsi bijektif. Contoh 2

Suatu fungsi f di dalam bilangan real R, yang didefinisikan oleh f(x) = x 2 bukan fungsi bijektif sebab untuk f(x) = 4 misalnya, akan diperoleh : f(x) = 4  x 2  4  x 2  4  0  ( x  2)( x  2)  0  x  2 atau x = 2 ini menunjukkan f bukan fungsi injektif yang berarti f bukan fungsi yang bijektif. 3.

Fungsi-fungsi Khusus.

Di dalam matematika, banyak sekali dijumpai beberapa macam fungsi, yang beberapa di antaranya memiliki ciri-ciri yang khas, fungsi-fungsi khusus tersebut di antaranya adalah : a. Fungsi Konstanta.

Suatu fungsi f : A  B yang untuk semua a  b c  d A

f Gb. 3.17

 p a  q  ar  as a B

elemen di A berkaitan hanya dengan sebuah unsur di B disebut fungsi konstanta. Sebagaimana ilustrasi di samping yang memasangkan

setiap

elemen

di

dalam

himpunan A dengan hanya satu elemen saja di B,


47


Contoh

Suatu fungsi f di dalam himpunan real R, atau f : R  R, yang didefinisikan oleh rumus f(x) = 3, adalah sebuah fungsi konstanta . Dari kurva di samping terlihat Y

jelas:

f(x) = 3

f(3) = 3

f(x) = 3

f(0) = 3

X

O

f(1) = 3 Gb. 3.18

f(5) = 3

b. Fungsi Identitas

Suatu fungsi f : A  A yang didefinisikan oleh rumus f(x) = x, yaitu fungsi yang menetapkan setiap elemen dalam A dengan elemen yang bersangkutan itu sendiri, maka f disebut fungsi satuan (identity function), atau transformasi satuan pada A. Dan kita nyatakan dengan I atau I A Contoh 1

Fungsi identitas I A pada A = { a, b, c} adalah I A = {(a,a),(b,b),(c,c)}. Contoh 2

Fungsi identitas pada himpunan bilangan real R, adalah : I R = {(x,x) | x  R}

f(x a

 P(a,a) f(x) = x

 O

a

X

Gb. 3.19

c. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi f : A  B disebut fungsi genap jika f(x) = f(x), dan


48


Fungsi f : A  B disebut fungsi ganjil jika f(x) = f(x), sedang fungsi yang tidak memenuhi salah satu dari pernyataan di atas dikatakan fungsi yang tidak genap maupun tidak ganjil. Contoh

1. Fungsi f : x  x 2 adalah fungsi genap, sebab f(x) = (x) 2 = x 2  f ( x) 2. Fungsi f : x  x3  2 x adalah fungsi ganjil, sebab f(-x) = ( x)3  ( x) =  x 3  x  ( x 3  x )   f ( x ) 3. Fungsi f : x  x 2  x adalah bukan fungsi genap maupun ganjil, sebab f(x) = ( x) 2  ( x)  x 2  x di mana bentuk terakhir ini tidak sama dengan f(x) maupun f(x). d. Fungsi Modulus

Berdasarkan definisi dari modulus atau nilai mutlak, bahwa nilai mutlak suatu bilangan real x didefinisikan sebagai :  x jika x  0 |x| =  - x jika x  0 Contoh :

|3|=3 |3| = 3 Fungsi M : x  M (x) disebut fungsi modulus jika M(x) = |f(x)| Contoh

Fungsi f di dalam bilangan real R yang didefinisikan oleh f(x) = |x  3| Tentukan kurva grafiknya. Y

Jawab :

f(x) = |x3|

f(x) = |x  3|



3 O



 3

Gb. 3.20

X

x - 3 jika x - 3  0  f(x) =  - (x - 3) jika x - 3  0 x - 3 jika x  3  f (x)   - x  3 jika x  3


49


4.

Fungsi Komposit

Misalkan fungsi f memetakan himpunan A ke dalam B, dan fungsi g memetakan himpunan B kedalam C sebagaimana ilustrasi di bawah ini:

 y=f(x)

x 

A

f

B

g(y)=g(f(x))

g

C

g◦f Gb. 3.21

Untuk a  A maka petanya f(a) berada di B yang juga merupakan domain dari fungsi g, oleh sebab itu pasti diperoleh peta dari f(a) di bawah pemetaan g yaitu g(f(a)). Dengan demikian kita mempunyai suatu aturan yang menentukan setiap elemen aA dengan tepat satu elemen g(f(a))C. Fungsi baru inilah yang disebut fungsi komposit dari f dan g, yang dinyatakan dengan notai g◦f (dibaca "g

bundaran f"). Secara singkat jika f: A  B, dan g: B  C maka kita definisikan suatu fungsi komposisi g◦f: A  C sedemikian hingga (g◦f)(a) = g(f(a)). Catatan: 1. Perhatikan bahwa fungsi komposit g◦f adalah penggandaan fungsi yang mengerjakan f dahulu, baru kemudian mengerjakan g. 2. Akan diperoleh fungsi komposit g◦f haruslah dipenuhi syarat, bahwa range dari f (Rf)  domain dari g (Dg) ≠  Contoh 1

Misalkan f : A  B dan g : B  C yang didefinisikan sebagaimana diagram panah di bawah ini


50


a 

 x

 r

b 

 y

 s

c 

 z

 t

A

B

f

g

C

Gb. 3.22

g  f  : A  B ditentukan oleh :

g  f (a ) = g(f(a)) = g(x) = s g  f (b) = g(f(b)) = g(y) = r

g  f (c)

= g(f(c)) = g(x) = s

Contoh 2

Fungsi f : R  R dan g : R  R didefinisikan oleh rumus f(x) = x + 2 dan g ( x)  3x 2 Tentukan : a) g  f (1) dan  f  g (1) b) rumus untuk g  f  dan  f  g  Jawab : a.

g  f (1)

f b.

= g(f(1)) = g(1 + 2) = g(3) = 3(32) = 27

 g (1) = f(g(1)) = f(3.12) = f(3) = 3 + 2 = 5

g  f  : x  g  f ( x ) = g(f(x)) = g(x + 2) = 3(x + 2)2 = 3x2 + 12x + 12 Sehingga g  f  : x  3x2 + 12x + 12

f

 g: x 

f

 g ( x ) = f(g(x)) = f(3x2) = 3x2 + 2

Sehingga  f  g  : x  3x2 + 2 Catatan : Dari jawab b. didapat fungsi g  f dan f  g tidak sama, sehingga

dapat ditarik kesimpulan

bahwa komposisi fungsi

tidak bersifat

komutatif.


51


5. Fungsi Invers a.

Invers Suatu Fungsi

Misalkan f suatu fungsi dari A ke dalam B dan misalkan untuk suatu a  A petanya adalah f(a) = bB, maka invers dari b (dinyatakan dengan f 1 (b)) adalah elemen-elemen dalam A yang memiliki bB sebagai petanya. Secara singkat, jika f : A  B sedemikian hingga f : x  f (x ) maka yang dimaksud dengan invers fungsi b : f 1 (b) = {x | xA, f(x) = b } (notasi f 1 dibaca "f invers") Contoh

Misalkan fungsi f : A  B didefinisikan sebagaimana diagram panah gambar 3.23 berikut : maka : f 1 (x)= b f

1

(y)= a

a 

 x

b 

 y

c 

 z

f 1 (z) = c

A

f

B

Gb. 3.23

6.

Fungsi Invers

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke dalam B. Pada umumnya f 1 (b) untuk suatu bB dapat terdiri lebih dari satu elemen atau mungkin tidak ada. Jika f: A  B adalah suatu fungsi yang bijektif, maka untuk setiap bB, invers f 1 (b) akan terdiri dari sebuah elemen tunggal dalam A. Dengan demikian kita mendapatkan suatu aturan yang menetapkan untuk setiap bB dengan suatu elemen tunggal f 1 (b) dalam A. Oleh sebab itu f 1 adalah suatu fungsi dari B ke dalam A, dan kita tulis fungsi f 1 : B  A , fungsi f 1 ini disebut "fungsi invers dari fungsi f".


52


Catatan: Suatu fungsi f : A  B akan diperoleh fungsi invers f 1 : B  A

hanya apabila f suatu fungsi yang bijektif (injektif dan surjektif sekaligus) Mengacu definisi di atas, maka f ◦ f 1 : x  x demikian juga f 1 ◦ f: x  x, yang ini berarti:

ff

1

 f

1

 f I

Contoh 1

Jika fungsi f : A  B didefinisikan dengan diagram

a 

 x

b 

 y

c 

 z

A

f

B

Gb. 3.31

maka fungsi invers f 1 : B  A didefinisikan oleh diagram panah: x 

 a

y 

 b

z 

 c

B

f 1

A

Gb. 3.32

Dari diagram panah di atas, terlihat bahwa:  

f 1 (f(x)) = f 1 (b) = x = I(x), dan f( f 1 (y)) = f(a) = y = I(y), yang ini mempertegas sifat f 1 ◦ f = f◦ f 1 = I

Contoh 2

Misalkan fungsi f : A  B yang didefinisikan dengan f(x) = 2x  3. Karena fungsi f adalah fungsi yang bijektif, maka akan diperoleh fungsi inversnya.


53


Untuk menentukan

rumus fungsi invers f 1 ditempuh langkah-langkah

sebagai berikut : Misalkan 2x  3 = y

x 

 2x  3

1 ( y  3) y  2

maka 2x = y + 3

y

R

f

sehingga x =

1 ( y  3) 2

R

Gb. 3.32

Oleh karena itu fungsi invers f 1 (y) =

1 2

( y  3)

Jadi fungsi invers f 1 : R  R ditentukan oleh f 1 (x) = 12 ( x  3)

7. Refleksi Diri KB-2

Setelah Anda melaksanakan KB-2 ini, kerjakan latihan soal di bawah ini dengan sungguh-sungguh, kemudia cocokkan hasilnya dengan kunci jawab di belakang, kemudian buat skor hasil pekerjaan Anda dengan rumus Jumlah soal yang dikerjakan dengan benar  100% Skor refleksi diri Sc = 11 Jika skor refleksi diri Anda lebih atau sama dengan 75%, selamat Anda telah memahami KB-2, dan Anda dapat melanjutkan KB-3, dan bagi Anda yang belum mencapai 75% dipersilahkan membaca lagi lebih cermat dan diskusikan dengan kolega Anda masalah yang dirasa kurang jelas dan dicoba lagi megerjakan soal-soal di bawah ini sekali lagi

Soal Latihan KB-2

1. Diketahui A = {a, b, c} dan B = {p, q, r}. Apakah relasi-relasi berikut ini merupakan fungsi dari A ke dalam B ? a.

R1 = {(a,q), (c,p)}

b.

R2 = {(a,q), (b,r), (c,p)}

c.

R3 = {(a,p), (b,r), (c,p)}


54


2. Gunakan sebuah rumus untuk mendefinisikan fungsi-fungsi a.

Untuk tiap-tiap bilangan real f1 menetapkan dengan pangkat tiganya!

b.

Untuk tiap-tiap bilangan real f2 menetapkan dengan bilangan 3

c.

Untuk tiap-tiap bilangan real positif, f3 menetapkan kuadratnya, sedangkan bilangan real yang lain f3 menetapkannya dengan bilangan 5.

3. Misalkan f(x) = x2 dengan domain { x | 2  x  8, x  R} tentukanlah : a.

f(4)

b.

f(3)

c.

f(t  3), dan tentukan nilai t agar masih tetap pada domainnya.

4. Diketahui fungsi f : R  R yang didefinisikan dengan rumus : 1 jika x rasional f(x) =  0 jika x irasional a.

Tulis kalimat terbuka yang menentukan f

b.

Tentukan f( 1 12 ) , f(3,141414…}, f(3), f()

5. Diketahui fungsi f : R  R yang ditentukan oleh rumus : 3x  1 untuk x  3  f(x) = x 2  2 untuk - 2  x  3 2x  3 untuk x  - 2 

maka tentukanlah : a. f(2)

b. f(4)

c. f(1)

d. f(3)

6. Misalkan A = {a, b, c} dan B = {x,y} Berapa banyak fungsi berlainan yang dapat didefinisikan dari A ke dalam B? 7. Jika B = { 2, 1, 0, 1, 2} dan suatu fungsi f : B  R didefinisikan oleh rumus g( x )  x 2  1

Carilah daerah hasil dari g !


55


8. Misalkan A = { a, b, c, d, e } dan B himpunan huruf-huruf dalam alfabet. Misalkan f, g, h dari A ke dalam B didefinisikan oleh : a. f(a) = r; f(b) = c; f(c) = s; f(d) = t; f(e) = e b. g(a) = a; g(b) = c; g(c) = e; g(d) = r; g(e) = e c. h(a) = z; h(b) = y; h(c) = x; h(d) = y; h(e) = z Nyatakanlah apakah tiap-tiap fungsi di atas injektif atau bukan? 9. Nyatakanlah apakah tiap-tiap fungsi berikut ini satu-satu atau bukan ! a. Untuk tiap-tiap penduduk bumi, ditetapkan dengan bilangan yang berkaitan dengan usianya. b. untuk tiap-tiap negara di dunia ini, ditetapkan dengan bilangan yang menyatakan jumlah penduduknya. c. Untuk tiap-tiap buku yang ditulis oleh seorang pengarang tunggal, ditatapkan dengan nama pengarangnya. d. Untuk tiap-tiap negara di bumi ini yang mempunyai perdana menteri, ditetapkan dengan nama perdana menterinya.. 10. Jika A = [ 1, 1] maka tentukan yang manakah fungsi – fungsi f : A  R di bawah ini yang bijektif, jika f didefinisikan dengan : a. f(x) = x  3

d. f(x) = x3

b. f(x) = 2x + 1

e. f(x) = x4

c. f(x) = x2 11. Jelaskan fungsi – fungsi di bawah ini apakah injektif, surjektif dan bahkan bijektif a. Masing – masing orang di bumi dikaitkan dengan bilangan yang menyatakan umurnya. b. Masing – masing negara di bumi dikaitkan dengan populasi warganya. c. Buku – buku dengan pengarang tunggal dikaitkan dengan pengarangnya. d. Masing – masing negara di dunia dikaitkan dengan kepala negaranya. e. Masing

-

masing

negara

di

dunia

dikaitkan

dengan

kepala

pemerintahannya.


56


E. Kegiatan Belajar-3: Grafik Fungsi Aljabar

Diketahui persegi ABCD dengan panjang sisi 16 cm, Titik E pada AB sehingga BE = x cm, dan pada BC terletak titik F sehingga CF = 2x cm. Nyatakan luas DEF dengan L. Anda dapat menentukan x agar luas L minimum dengan memanfaatkan grafik L(x). Agar Anda dapat membuat sketsa grafik L(x) di atas maka cermatilah uraian tentang grafik fungsi di bawah ini:

1. Grafik Suatu Fungsi

Grafik fungsi f: A  B adalah diagram Cartesius dari {(a,b)| a  A, b = f(a)} pada bidang A  B Contoh: 1

Buatlah sketsa grafik fungsi f : A  B di mana A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan

f : x  x +1 Jawab: Jika dari fungsi tersebut disajikan dalam himpunan pasangan terurut, akan dihasilkan {(1,2), (2,f : A  B di mana A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan f : x  x +1), (3,4), (4,5), (5,6)}. B 

6 

5 

4 3 2 1

Grafik pemetaan x  x + 1



berupa noktah-noktah dari



diagram Cartesiusnya di samping.

1

O

1

2

3

4

5

A

Gb. 3.21 Kapita Selekta Pembelajaran Aljabar Kelas VIII SMP

57


Contoh 2

Misalkan Anda diminta membuat sketsa grafik fungsi pada bilangan real, yang ditentukan oleh f ( x)  x 2 Langkah pertama ditentukan beberapa anggota f, yang di antaranya adalah : (3,9), (2,4), (1,1), (0,0), (1,1), (2,4), (3,9). Grafik f(x)

dari

pasangan-

pasangan berurut di atas sebagaimana

adalah

noktah-noktah di samping. Sehubungan daerah asal f 



adalah himpunan bilangan real,

maka

grafik

fungsinya berupa kurva mulus 

melalui

noktah-noktah bantuan di



O

yang

atas. Dan daerah hasil dari

 X

f

adalah

himpunan

bilangan real yang tidak

Gb. 3.23

negatif.

Contoh 3

Fungsi kuadrat f yang ditentukan oleh f ( x )  x 2  2 x yang daerah asalnya ialah

A = {x | 3  x  5, xR }

Tentukan: a. Gambarlah grafik fungsi kuadrat tersebut b. Pembuat nol fungsi (pembuat nol fungsi adalah nilai pengganti

x sedemikian hingga f(x) bernilai nol) c. Sumbu simetri d. Titik balik atau titik puncak parabol.


58


Jawab : a. Untuk menggambar grafik tersebut, maka dipilih beberapa nilai x yang sesuai dan dihitung nilai f yang bersangkutan . Daftar berikut ini menunjukkan cara yang mudah untuk menghitung nilai f. x

3

2

1

0

1

2

3

4

5

x2

9

4

1

0

1

4

9

16

25

 2x

6

4

2

0

2

4

6

8

 10

f(x)

15

8

3

0

1

0

3

8

15

Gambarlah titik-titik (3, 15),(2,8), (1,3), (0,0), (1,1), (2,0), (3,3), (4,8), (5,15)} Kemudian gambarlah kurva mulus yang melalui titik-titik itu. b. Pembuat nol dari fungsi

25

Y

fungsi f, adalah mencari x sedemikian hingga f(x) = 0.

20 

x 2  2 x  0  x ( x  2)  0 

1515

Jadi pembuat nolnya adalah 0 dan 2

10





x = 0 atau x = 2



5

c. Dari kurva yang diperoleh di samping,



sumbu



O 

X 

5

terlihat

bahwa

simetrinya

adalah

garis x = 1. d. Daerah hasil fungsi f ialah

f(A)= {y| 1  x  15, yR}.

10 Gb. 3.24

Grafik di atas menunjukkan bahwa jika x bertambah dari 3 sampai 5, maka nilai fungsi turun dari 15 sampai 1, kemudian naik dari 1 sampai 15. Titik A(1,1) tempat perubahan nilai fungsi dari turun menjadi naik disebut titik balik atau puncak parabol, dan karena tidak titik lain yang mempunyai


59


ordinat kurang dari 1, maka titik A disebut titik balik minimum. Nilai fungsi yang bersesuaian dengan titik balik minimum itu ialah 1 untuk x = 1 disebut nilai minimum fungsi. Contoh 4

Fungsi kuadrat f pada himpunan bilangan real R ditentukan oleh rumus f(x) =

8  2 x  x 2 dengan daerah asalnya { x | 3  x  5, xR}. a. Gambarlah grafik fungsinya b. Tentukan pembuat nol fungsinya c. Tentukan persamaan sumbu simetrinya d. Tentukan koordinat titik puncaknya e. Perikan nilai puncaknya. Jawab. a. Langkah pertama kita buat tabel untuk memudahkan perhitungan x

3

2

1

0

1

2

3

4

5

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

2x

6

4

2

0

2

4

6

8

10

 x2

9

4

1

0

1

4

9

16

25

f(x)

7

0

5

8

9

8

5

0

7

20 Y

Kita gambarkan titik-titik (3,7), (2,0),(1,5),(0,8),(1,9),(2,8),(3,5),

15

(4,0), (5,7) 10   





kemudian digambar kurva mulus



5 O



melalui 



5

sebagaimana

X

titik-titik gambar

tersebut 3.25

di

samping 

Daerah hasil dari fungsi fungsi f adalah :

10 Gb. 3.25


60


f(A) = {y | 7  x  9, yR}

f : x  8  2x  x 2 b. Pembuat nol dari fungsi f adalah menentukan x sedemikian hingga

f(x) =0 atau 8  2 x  x 2  0  (4  x)(2  x)  0  x  4 atau x  2 . Pembuat nol dari f yaitu 2 dan 4 tidak lain adalah perpotongan kurva tersebut dengan sumbu-X. c. Dengan memperhatikan grafiknya maka sumbu simetrinya adalah x = 1 d. Grafik f

menunjukkan jika x bertambah dari 3 sampai 5 maka f

bertambah dari 7 sampai 9 dan kemudian berkurang dari 9 sampai 7. Dalam keadaan seperti ini maka A(1,9) dinamakan titik balik maksimum. e. Nilai f adalah 9 untuk x = 1 dinamakan nilai maksimum fungsi tersebut. Nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi disebut juga nilai ekstrim. Secara umum dari persamaan fungsi :

f(x) = ax 2  bx  c, a  0 dapat diubah dalam bentuk : f(x) = a ( x 2  ba x  ac ) = a( x 2  2. 2ba x 

b2 b2   ac ) 4a 2 4a 2

= a( x 2  2. 2ba x 

b2 b2 ) c 4a 4a

= a( x 

) 

b 2 2a

b 2  4ac  4a

Melihat bentuk ini fungsi f akan mencapai ekstrim jika ( x  2ba ) 2  0 atau pada

x   2ba , dengan nilai fungsinya sebesar

b 2  4ac .  4a

Sehingga untuk setiap fungsi kuadrat f : x  ax 2  bx  c akan dicapai ekstrim pada x   2ba yang juga merupakan persamaan sumbu simetrinya,


61


dengan nilai f sebesar

b 2  4ac , yang akan merupakan nilai maksimum jika a  4a

< 0 dan akan merupakan nilai minimum jika a > 0. Contoh 5

Suatu persegi panjang kelilingnya 10 meter. Tentukan : a. Luas persegi panjang jika panjang = 2,4 meter b. Ukuran persegi panjang agar luasnya 4 m 2 c. Luas maksimum persegi panjang tersebut, berikut panjang dan lebar serta ulasannya. Jawab : a. Jika panjang persegi panjang tersebut

x

adalah 5x

x

meter,

maka

lebarnya

menjadi (5x) meter, sehingga luas persegi panjangnya :

Gb. 3.25

L(x) = x(5  x) m 2

Sehingga rumus fungsi yang menyatakan luasnya adalah : L(x) = x(5  x) = 5x x 2 Jika panjang 2,4 meter, maka luas persegi panjangnya : L(2,4) = 5.(2,4)  (2,4) 2 = 6,24 Jadi luas persegi panjang yang panjangnya 2,4 meter adalah 6,24 m 2 b. Ukuran persegi pajang yang luasnya 4 m 2 , dapat dicari sebagai berikut :

L(x) = 5 x  x 2  4  x 2  5x  4  0  ( x  1)( x  4)  0  x  1 atau x  4

Jadi agar luasnya 4 m 2 , maka panjangnya 1 meter dan lebarnya (5  1) = 4 m, atau panjangnya 4 meter dengan lebar (5  4) = 1 meter.


62


c.

Nilai maksimumnya adalah nilai ekstrim L(x) = 5 x  x 2 , yang besarnya adalah

2.

b 2  4ac 52  4.(1).0  =  4a  4.(1)

25 4

 6,25

Refleksi Diri KB-3

Setelah Anda melaksanakan KB-3 ini, kerjakan soal di bawah ini dengan sungguh-sungguh, kemudia cocokkan hasilnya dengan kunci jawab di belakang, kemudian buat skor hasil pekerjaan Anda dengan rumus Skor refleksi diri Sc =


Jika skor refleksi diri Anda lebih atau sama dengan 75%, Selamat!. Anda telah memahami KB-3, dan Anda dapat melanjutkan KB-4, dan bagi Anda yang belum mencapai 75% dipersilahkan membaca lagi lebih cermat dan diskusikan dengan kolega Anda masalah yang dirasa kurang jelas dan dicoba lagi megerjakan soal-soal di bawah ini sekali lagi.

Soal Latihan KB-3

1. Sketslah grafik fungsi – fungsi dari R ke dalam R yang didefinisikan oleh :

a.

f:xx

b.

f : x  2x  3

c.

f:x

d.

f : x  2x  5

e.

f : x  3x + 1

1 x4 2

2. Arsirlah daerah – daerah di bawah ini pada diagram Cartesiusnya. a. {(x,y)| y > x }

d. {(x,y)| y  x  3}

b. {(x,y)| y < x}

e. {(x,y)| y  3x  6}

c. {(x,y)| y > x + 2}


63


3. Suatu fungsi f : A  R di mana A = { x | 3  x 3, x  R } didefinisikan dengan

f(x) = 4 – x2, maka tentukanlah

a.

Koordinat titik maksimumnya

b.

Nilai maksimum dari f

c.

Pembuat nol dari f

d.

Daerah hasil dari f

e.

Persamaan sumbu simetri parabolnya.

4. Suatu fungsi f : A  R di mana A = { x | 5  x  3, x  R }, ditentukan oleh

f(x) = x2+ 2x3. Tentukanlah : a.

Koordinat titik minimumnya

b.

Nilai minimum fungsi f

c.

Pembuat nol fungsi f

d.

Daerah hasil fungsi f

e.

Persamaan sumbu simetri parabolanya.

5. Sebuah roket ditembakkan vertikal ke atas. Tinggi sesudah t detik ialah 30  5t2 meter. Rumus fungsi h ialah h(t) = 30t 5t2. Daerah asal fungsi f ialah { t | 0  t  6 }. Setelah di buat grafiknya, tentukanlah : a.

Setelah berapa detikkah ketinggian roketnya maksimum ?

b.

Berapa tinggi maksimum roket ?

c.

Selang waktu di mana tinggi roket lebih dari 25 meter.

6.

Gambar di samping menyajikan lembaran A

seng

yang

berbentuk

persegi panjang dengan lebar 40

x

D

B

x C

cm, dan akan dibuat talang air. Agar talang air ini dapat dilalui air sebanyak – banyaknya, dengan Gb. 3.34

bantuan

grafik

fungsi

maka

tentukan ukuran panjang dan lebar penampang talang tersebut.


64


F. Kegiatan-4: Gradien, Persamaan dan Grafik Garis Lurus

D

B G G

A Gb. 26

C

Suatu benda G jika didorong keatas pada permukaan CD terasa lebih berat jika dibanding dengan jika benda G tersebut di dorong ke atas pada bidang AB. Mengapa demikian? Hal ini disebabkab kemiringan CD lebih besar dari kemiringan AB.

Untuk dapat mengukur kemiringan suatu kurva, maka dipersilakan Anda mencermati uraian tentang masalah itu di bawah ini. Pada pemaparan masalah gradien, persamaan dan grafik garis lurus pada modul ini dengan pendekatan fungsi linear. 1. Fungsi Linear

Fungsi f pada bilangan real R ( f : R  R), yang ditentukan oleh rumus

f(x) = mx + n, dengan m dan n konstanta dan m  0 disebut fungsi linear. Grafik fungsi linear f(x) = mx + n pada bidang Cartesius berupa garis lurus. Dari fungsi linear {(x,y)| y = mx + n, m, n konstanta , m  0 }, maka y = mx +

n biasa disebut rumus fungsi, dan pada masalah ini rumus fungsi berupa persamaan yang karena grafiknya berupa garis lurus, maka persamaan y  mx  n disebut juga persamaan garis lurus, yang buktinya kita paparkan di

bawah ini. Bukti : Akan kita tunjukkan bahwa y = mx + n adalah persamaan garis lurus.


65


Y

C ( x3 , y 3 ) 

y3  y 2 E

B ( x2 , y 2 ) 

 x3  x 2 y 2  y1

Misalkan A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) dan C ( x3 , y3 )

terletak pada y = mx + n, oleh karena itu akan berlaku:

A( x1 , y1 )   D x 2  x1  O Gb. 3.27

X

A( x1 , y1 ) pada y = mx + n maka y1  mx1  n ……………(1) B ( x2 , y 2 ) pada y = mx + n maka y 2  mx2  n ……………(2)

C ( x3, y3) pada y = mx + n maka y3  mx3  n …………….(3) y y 1 Jika (2) – (1)  y 2  y1  m( x2  x1 )  m  2 x x 2 1 dan (3) – (2)  y3  y 2  m( x3  x2 )  m  Berarti

y 2  y1 x2  x1

y3  y 2 x3  x 2

=

y3  y 2 x3  x 2

dan karena ADB = BEC yang secara

geometris berarti ADB dan BEC sebangun, yang ini akan berakibat BAD = CBE yang mana kesimpulan ini membawa akibat A, B dan C kolinear (segaris).

Dan hal yang sama akan berlaku untuk setiap tiga titik yang terletak pada y = mx + n. pasti kolinear, yang dengan kata lain y = mx + n adalah persamaan garis lurus.

y=mx+n

f(x) = mx + n 

f(b) f(b)-f(a) f(a)

f(a) = am + n

 O

f(b) = bm + n

b-a

a Gb. 3.17

b

X



f(b) - f(a) = m(b  a) m=

f (b) f ( a ) ba


66


Nilai rasio inilah yang dinamakan gradien (koefisien arah) garis tersebut, yang menentukan kecondongan (kemiringan) garis terhadap sumbu-X. 2. Persamaan Garis Lurus

Y

Misalkan titik P(x,y) pada

 P(x,y)

garis g

yn Q(0,n)





Garis ini memotong sumbu y di titik Q(0,n), dan memiliki

x X

O

kecondongan sebesar m Dari m =

Gb. 3.18

m

f (b ) f ( a ) ba

maka

yn x0

Jika disajikan dalam himpunan, garis g dapat dituliskan dalam bentuk himpunan G = {(x,y) |

y n x

 m, x  0}  {(0, n)}

= {(x,y) | y = mx + n untuk x  0, atau x = 0} = {(x,y) | y = mx + n} Jadi persamaan y = mx + n adalah suatu persamaan garis yang melalui (0,n) dengan gradien m. Akibatnya : 1) Persamaan garis bergradien m dan melalui O(0,0) adalah : Y

y = mx + 0

y = mx O

 X Gb. 3.30


67


Yang berarti : y = x adalah garis bagi kuadran I/III y =  x adalah garis bagi kuadran II/IV

2) Persamaan garis yang melalui P( x1 , y1 ) dengan gradien m, adalah dicari dengan : persamaan Y

garis

dengan

gradien m adalah : P ( x1 , y1 )

y = mx + n ………….(1)

y  y1  m( x  x1 )

persamaannya adalah :

 O

yang melalui titik P( x1, y1 )

Gb. 31

y1  mx1  n ……….(2)

X

Jika (2) - (1) maka : y  y1  m( x  x1 )

Jadi persamaan garis yang melalui titik P( x1 , y1 ) dan gradiennya m adalah

: y  y1  m( x  x1 )

Contoh :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik C(2,3) dan membuat sudut sebesar 45 o dengan sumbu X Jawab : A(x1,y1)

C(2,3) 

B(x2,y2)

y1 – y2

45o x 1 – x2 Gb. 3.32


68


Gradien dari garis tersebut adalah m 

y1  y2 dan karena garis tersebut x1  x2

membuat sudut 45o dengan sumbu-X positif, maka nilai y1 – y2 = x1 – x2.

m = 1, maka persamaan garis yang diketahui salah satu titik dan

Nilai

gradiennya adalah : y  y1  m( x  x1 )

y  3 = 1(x - 2)  y = x - 1 3) Persamaan garis yang melalui dua titik P ( x1 , y1 ) dan Q( x2 , y2 ) , dapat dicari sebagai berikut : Persamaan garis yang melalui P ( x1 , y1 ) dengan gradien m adalah y  y1  m( x  x1 ) , dan jika garis tersebut juga melalui Q( x2 , y2 ),

maka: y2  y1  m( x2  x1 ) sehingga m 

y2  y1 x2  x1

Jadi persamaan garis yang melalui titik-titik ( x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 ) adalah y2  y1 

y2  y1 ( x2  x1 ) x2  x1

Sehingga diperoleh persamaan garis yang melalui dua titik P( x1 , y1 ) dan Q( x2 , y2 ) adalah :

y - y1 x  x1  y 2  y1 x2  x1

Contoh Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,5) dan (1,4). Jawab : Persamaan garis yang melalui ( x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 ) adalah : y  y1 x  x1  , sehingga persamaan garis yang melalui (2,5) dan y2  y1 x2  x1 (1,4):


69


y 5 x2   4  5 1 2 y 5 x2  9 1 (y  5) = 9(x  2) y = 9x  13

4)

Persamaan Umum Garis Lurus Persamaan garis dapat dinyatakan dalam persamaan : ax + by + c = 0, di mana a dan b tidak boleh kedua-duanya nol, persamaan ini dinamakan persamaan umum garis lurus. c a Jika persamaan ini kita ubah menjadi y   x  , (b  0) , sehingga b b darinya dapat ditarik suatu kesimpulan bahwa : ax + by + c = 0 adalah suatu persamaan garis dengan gradien m  

a , dan memotong sumbu b

c y di titik (0, ) . b Contoh Tentukan gradien dan perpotongan dengan sumbu y, suatu garis yang persamaannya 3x + 2y - 7 = 0 Jawab : a = 3, b = 2 dan c  7 , sehingga : gradien m  

c 7 7 3 a   dan n      2 2 b b 2

3 Jadi garis 3x + 2y - 7 = 0, mempunyai gradien m   dan 2 7 memotong sumbu y di (0, ). 2


70


3. Pertidaksamaan Linear Garis y = mx + n akan

Y

membagi

bidang

Cartesius

menjadi tiga bagian yakni :

y = mx + n

{(x,y) | y < mx + n} {(x,y) | y = mx + n}, dan {(x,y) | y > mx + n}, atau daerah

 (0,n)

di sebelah bawah, garis itu X

O

sendiri dan daerah di sebelah

Gb. 3.21

atas garis y = mx + n.

Contoh Arsirlah daerah yang menjadi tempat kedudukan titik-titik yang dapat ditunjukkan dengan {(x,y) | y  3x  6} Jawab : Langkah pertama gambarlah garis dengan persamaan y = 3x  6. Cara yang baik untuk menggambar garis dengan cepat ialah dengan menggambar titik potongnya dengan sumbu-sumbu koordinat, kemudian menggambar garis melalui kedua titik itu. y = 3x  6 Y

O



 (2,0)

x

0

2

y

6

0

(x,y)

(0,6)

(2,0)

X

Untuk mencari daerah yang menentukan nilai dari salah satu

 (0,6)

titik pada salah satu daerah. Misalkan kita gunakan O(0,0) :

Gb. 3.34

(0,0)



y

=

3x



6

 0  3.0  6, (dipenuhi)


71


Jadi daerah yang diminta adalah daerah yang memuat O(0,0), sebagaimana daerah yang 4. Refleksi Diri KB-4 Setelah Anda melaksanakan KB-2 ini, kerjakan latihan nomor di bawah ini dengan sungguh-sungguh, kemudia cocokkan hasilnya dengan kunci jawab di belakang, kemudian buat skor hasil pekerjaan Anda dengan rumus Skor refleksi diri Sc =


Jika skor refleksi diri Anda lebih atau sama dengan 75%, selamat Anda telah memahami KB-4, dan Anda dapat melanjutkan ke Bab IV, dan bagi Anda yang belum mencapai 75% dipersilahkan membaca lagi lebih cermat dan diskusikan dengan kolega Anda masalah yang dirasa kurang jelas dan dicoba lagi megerjakan soal-soal di bawah ini sekali lagi

Soal Latihan KB-4 1. Tulis persamaan garis lurus yang melewati titik di bawah ini dan dengan gradiennya a. ( 2, 3), m = 2

d. p,q), m = r

b. (7,6), m = 2

e. (5,4 ), m = 

c. ( 2,3), m = 

4 5

1 4

2. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui pasangan titik –titik di bawah ini. a. (12,3), (2,5)

d. (0,2), (8,1)

b. (4,0), (0,4)

e. (3,5), (1,5)

c. (5,7), (5,3)


72


3

Tentukan persamaan garis berat AD dari segitiga dengan titik – titik sudut A(13,7), B(8,1) dan C(2,5). Dengan menggunakan rumus koordinat titik tengah PQ adalah T (

xP  xQ yP  yQ , ) 2 2

4. Tunjukkan bahwa persamaan garis yang lewat (a,0) dan (0,b) adalah x y   1, (a  0, b  0) a b

(Persamaan ini biasa dikenal dengan nama

persamaan garis bentuk titik potong ganda).


73

BAB IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA PEUBAH A. Pengantar Kenyataan di lapangan masih banyak dijumpai kesukaran guru dalam mengembangkan permasalahan yang dibawa ke sistem persamaan linear dua peubah. Pada bab ini Anda diharapkan lebih mengenal lagi sistem persamaan linear tiga peubah, dalam hal ini dibahas berbagai teknik penyelesaian sistem persamaan tiga peubah, juga dibahas bagaimana membuat dan menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua peubah dan penafsirannya.

B. Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini diharapkan Anda mampu menjelaskan berbagai teknik menyelesaikan sitem persamaan linear dua peubah dan membuat serta menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan dua peubah dan penafsirannya. Sistem persamaan linear dua peubah ini dikemas dalam dua kegiatan belajar (KB) sebagai berikut: 1. KB-1: Teknik menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah Setelah mengikuti kegiatan belajar 1 ini, diharapkan guru dapat menjelaskan berbagai teknik penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua peubah baik secara numerik maupun grafik


74


2. KB-2: Membuat dan menyelesaikan model matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua peubah dan penafsirannya. Setelah menyelesaikan kegiatan belajar 2 ini, diharapkan guru dapat menjelaskan strategi menyelesaikan persaoalan yang model matematikanya berupa sistem persamaan linear dua peubah.

C. Kegiatan Belajar-1: Teknik Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Peubah 1. Perhatikan permasalahan berikut: (1) Bu Atun membeli 2 kg gula pasir dan 5 kg beras seharga Rp 25.600,00 di warung bu Tini. Bu Yayuk membeli 3 kg gula pasir dan 4 kg beras di warung yang sama. Ia membayar Rp 27.200,00. Berapa yang harus dibayar bu Reni jika di warung tersebut ia membeli 4 kg gula pasir dan 7 kg beras, dan ketiga ibu membeli barang dengan kualitas sama? (2)

A

B E1

C

R1

R2

E2

R3 F

E

D

Jika R1, R2, dan R3 berturutturut 3Ω, 6Ω, dan 12Ω dan E1 = 60 Volt, E2 = 72 Volt, Berapa besar dan bagaimana arah arus antara AB dan BC masing-masing?

Kedua permasalahan di atas ini penyelesaiannya akan membawa Anda ke suatu sistem persamaan, sebagai misal kalau pada permasalahan pertama kita misalkan harga gula pasir x rupiah per kg, dan beras y rupiah per kilogramnya, maka diperoleh model matematika: ⎧2 x + 5 y = 26.600 ⎨ ⎩3 x + 4 y = 27.200 Dan persoalannya adalah Anda diminta menentukan nilai 4x + 7y Sistem persamaan di atas dikenal dengan sebutan sistem persamaan linear dua peubah


75


2. Beberapa Hal Tentang Sistem Persamaan Linear a. Sistem persamaan linear (SPL) dua peubah merupakan pokok bahasan yang banyak digunakan dalam matematika di tingkat menengah maupun lanjut, misalnya sistem persamaan linear tiga peubah dan program linear. b. Sistem persamaan linear disebut juga persamaan linear simultan (simultaneous linear equations). SPL paling sederhana ialah SPL dua persamaan dua variabel,

⎧ a1 x + b1 y = c1 ⎩a 2 x + b2 y = c2

bentuk umumnya: ⎨

( )

c. Penyelesaiannya ialah pasangan bilangan x, y sedemikian sehingga jika x digantikan pada x dan y digantikan pada y terbentuk pernyataan yang secara

simultan benar untuk kedua persamaan. Tiga masalah dalam penyelesaian sistem persamaan linear 1) ada tidaknya penyelesaian 2) metode untuk menentukan 3) deskripsi selengkapnya tentang penyelesaian tersebut. Manipulasi

sistem

persamaan

berikut

tidak

mengubah

ada

tidaknya

penyelesaian-penyelesaian sistem persamaan: •

penambahan ruas-ruas persamaan (persamaan-persamaan) ke ruas-ruas persamaan lain dalam sistemnya

•

perkalian setiap ruas pada suatu persamaan dengan sebarang bilangan bukan 0 (nol)

•

pengubahan urutan persamaan dalam sistemnya.

d. Secara numerik, diantara penyelesaian secara elementer dikenal: •

metode substitusi

•

metode eliminasi

•

metode ekuasi (penyamaan)

yang sesungguhnya ketiga-tiganya mengarah pada eliminasi salah satu variabelnya.


76


Contoh:

⎧3 x − y = 3 ⎩x + 2 y = 8

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan: ⎨ Jawab: 1)

⎧3 x − y = 3 (1) ⎩ x + 2 y = 8 (2)

dengan substitusi: ⎨

(1) 3x – y = 3 ⇔ y = 3x – 3 ………. (3) Substitusikan y pada (3) ke (2) diperoleh: → x + 2 (3x – 3) = 8 ⇔ 7x = 14 ⇔ x = 2. Jika x = 2 disubstitusikan ke (3) diperoleh y n= 3(2) – 3 = 3 Himpunan penyelesaiannya ialah {(2, 3)}.

2)

dengan eliminasi:

3x − y = 3 × 2 ⇔ 6 x − 2 y = 6 x + 2 y = 8 ×1 ⇔ x + 2 y = 8 +

⇔ 3x − y = 3 x + 2 y = 8 × 3 ⇔ 3x + 6 y = 24

3x − y = 3 × 1

−

–7y = – 21 ⇔ y = 3

7x = 14 ⇔ x = 2 Himpunan penyelesaiannya ialah {(2, 3)}

3)

dengan ekuasi (penyamaan) 3x – y = 3 ⇔ x = 1 y + 1 3

3x – y = 3 ⇔ y = 3x – 3 x + 2y = 8 ⇔ y = – 1 x + 4 2

x + 2y = 8 ⇔ x = –2y + 8

Berarti 3x – 3 = – 1 x + 4 2

Berarti 1 y + 1 = – 2y + 8 3

⇔31x=7 2

⇔21 y=7 3

⇔x=2

⇔y=3

Himpunan penyelesaiannya ialah {(2, 3)}


77


e.

Penyelesaian secara Geometrik (Geometri Analitik) Penyelesaian secara geometrik haruslah dilandasi dengan pemahaman menggambar grafik persamaan linear dan gambar yang disajikan haruslah teliti. Penyelesaian cara ini pada dasarnya mencari titik persekutuan antara dua garis yang persamaannya disajikan dalam setiap persamaan dalam sistem tersebut. Ada tiga kemungkinan: 1)

Garis

sejajar

⇔

tidak

ada

titik

persekutuan

⇔

Himpunan

Penyelesaiannya φ (tidak mempunyaii penyelesaian)

g1

g2

Contoh:

⎧2 x + 4 y − 7 = 0 grafiknya merupakan dua ⎩x + 2 y − 8 = 0

Sistem persamaan linear ⎨

garis lurus yang sejajar, sehingga tidak ada penyelesaian sistem persamaannya. 2)

Garis

berpotongan

⇔

Ada

satu

titik

potong

→

Himpunan

penyelesaiannya beranggota sebuah pasangan bilangan (mempunyai penyelesaian tunggal)

g1 P g2 3)

Garis berimpit ⇔ Setiap titik yang terletak pada garis pertama pasti terletak pada garis kedua dan sebaliknya → Himpunan penyelesaiannya adalah himpunan yang pasangan absis dan ordinatnya dari titiknya memenuhi salah satu persmaan.

g1 g2


78


⎧ 2x − y = 7 ⎩4 x − 2 y = 14

Contoh : ⎨

Grafiknya adalah dua garis berimpit, sehingga himpunan penyelesaian sistem persamaan di atas adalah {(x, y) | 2x – y = 7, x, y ∈ R}

3. Tinjauan Umum

a1x + b1y = c1 (1) ⇔ a1 a2 x + a2b1y = a2c1 a2x + b2y = c2 (2) ⇔ a1a2x + a1b2y = a1c2 –––––––––––––––– (–) a c −a c a c − a 2 c1 (a2b1 – a1b2)y = a2c1 – a1c2 ⇔ y = 2 1 1 2 = 1 2 a 2 b1 − a1b2 a1b2 − a 2 b1 c b − c 2 b1 Analog diperoleh: x = 1 2 a1b2 − a 2 b1 c b − c 2 b1 Jadi: x = – 1 2 y= a1b2 − a 2 b1

a1c 2 − a 2 c1 a1b2 − a 2 b1

Nilai-nilai x dan y ada, jika dan hanya jika a1b2 – a2b1 ≠ 0 atau

Tetapi jika nilai a1b2 – a2b1 = 0 atau

a1 b1 . ≠ a 2 b2

a1 b1 maka ada tidaknya nilai-nilai x = a 2 b2

dan y tergantung dari pembilang pecahan itu. Jika a1c2 – a2c1 ≠ 0 atau a1 c1 ≠ a2 c2

maka nilai y tidak terdefinisi. Demikian juga c1b2 – c2b1 ≠ 0 atau

b1 c1 nilai x tidak terdefinisi. Penyebab terjadinya hal tersebut secara ≠ b2 c 2

singkat disebabkan oleh

a1 b1 c1 . = ≠ a 2 b2 c2

Jika a1c2 – a2c1 = 0 atau

a1 c1 , maka terdapat hubungan –0 × y = 0, yang = a2 c2

dipenuhi oleh setiap nilai y. Demikian juga jika a1b2 – a2b1 = 0 atau


79


a1 b1 , maka ada hubungan (a1b2 – a2b1)x = c1b2 – c2b1 yang berdasar = a 2 b2

nilai itu berarti 0 × x = 0, sehingga dipenuhi oleh setiap nilai x. Dengan demikian maka setiap pasangan terurut (x, y) yang memenuhi pada persamaan pertama juga memenuhi pada persamaan yang kedua. a Dari uraian di atas hal itu terjadi jika ( 1 = a2 a ( 1 = a2

b1 b2

dan

b1 c1 ). = b2 c2

b1 a c dan 1 = 1 ) atau b2 a2 c2

Secara singkat hal itu terjadi karena

a1 b1 c1 . = = a 2 b2 c 2 ⎧⎪ a x + b y = c 1 1 Kesimpulan dari uraian di atas: Dari sistem persamaan ⎨ 1 ⎪⎩a 2 x + b2 y = c 2

(i)

jika

a1 b1 maka ada satu penyelesaian, ≠ a 2 b2

(ii) jika

a1 b1 c1 maka tidak ada penyelesaian = ≠ a 2 b2 c2

(iii) jika

a1 b1 c1 , maka ada tak berhingga penyelesaian = = a 2 b2 c 2

Ketiga kemungkinan di atas jika dikaitkan dengan grafiknya adalah bahwa keduanya merupakan garis-garis lurus yang: (i) berpotongan pada sebuah titik (ii) sejajar (iii) berimpit

4. Refleksi Diri KB-1 Setelah Anda melaksanakan KB- ini, kerjakan latihan di bawah ini dengan sungguh-sungguh, kemudia cocokkan hasilnya dengan kunci jawab di belakang, kemudian buat skor hasil pekerjaan Anda dengan rumus


80


Skor refleksi diri Sc=

Jumlah soal yang dikerjakan dengan benar × 100% 5

Jika skor refleksi diri Anda lebih atau sama dengan 75%, selamat Anda telah memahami KB-1, dan Anda dapat melanjutkan ke KB-2, dan bagi Anda yang belum mencapai 75% dipersilahkan membaca lagi lebih cermat dan diskusikan dengan kolega Anda masalah yang dirasa kurang jelas dan dicoba lagi megerjakan soal-soal di bawah ini sekali lagi Tentukan himpunan penyelesaian setiap sistem persamaan berikut, dengan menggunakan salah satu dari keempat teknik menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah, tulis juga alasanmu mengapa Anda memilih teknik itu! ⎧2 x − 3 y = 4 a. ⎨ ⎩x + 2 y = 9 ⎧2 x − 3 y = 7 b. ⎨ ⎩3x − y = 7 ⎧2 x + 3 y = 2 c. ⎨ ⎩4 x + 5 y = 6 ⎧2 x + 4 y − 5 = 0 d. ⎨ ⎩x + 2 y − 6 = 0 ⎧x − 3 y = 2 e. ⎨ ⎩6 y − 2 x + 4 = 0

D. Kegiatan Pembelajaran-2: Membuat dan Menyelesaikan Model Matematika Sistem Persamaan Linear Dua Peubah Cermatilah wacana:

Dengan memiliki uang sebesar Rp 6.200,00, Anik dapat membeli 5 buah mangga dan 8 jeruk atau membeli 3 buah mangga dan 11 buah jeruk. Berapa harga masing-masing?


81


Persoalan di atas model matematikanya merupakan sistem persamaan linear dua peubah.

1. Mengembangkan model matematika berbentuk sistem persamaan linear dua peubah Anda sering menemui soal-soal yang berbentuk cerita dan soal tersebut menuntut Anda untuk membuat model matematikanya yang berbentuk persamaan linear dua peubah. Baru dari sisni dapat dicari penyelesaiannya. Untuk menentukan solusi dari masalah itu adalah dengan menggunakan langkah baku dalam pemecahan masalah yaitu: a. Bacalah soal itu dengan cermat sampai selesai dan mengerti akan kandungannya, misalnya apa yang ditanyakan dari persoalan tersebut b. Susunlah model matematikanya dalam bentuk sistem persamaan linear dua peubah c. Selesaaikanlah sistem persamaan linear dua peubah tersebut dengan menggunakan salah satu teknik penyelesaian yang telah Anda pelajari di depan. d. Tulis jawaban dari soal tersebut, yang sebelumnya perlu Anda cek dengan cara mencocokkan kembali ke dalam soalnya Di bawah ini diberikan contoh persoalan yang model matematikanya merupakan sistem persamaan linear dua peubah.

Contoh 1. Selisih dua bilangan cacah adalah 12, sedangkan jumlahnya 88. Tentukan bilangan-bilangan itu! Penyelesaian Misalkan bilangan pertama = x dan bilangan kedua = y Sistem persamaan linearnya: x – y = 12 x + y = 88 Penyelesaian sistem persamaan linearnya:


82


x – y = 12 x + y = 88 2x

+ = 100 ⇔ x = 50

Substitusikan x = 50 ke persamaan ke dua, diperoleh: 50 + y = 88 ⇔ y = 38 Mencocokkan jawabnya: 50 – 38 = 12 ( benar) 50 + 38 = 88 (benar) Jadi bilangan pertamanya adalah 50 dan bilangan ke dua adalah 38.

2. Suatu pecahan jika disederhanakan bernilai

3

, jika pembilang pecahan

4

mula-mula dikurangi 9, maka nilainya berubah menjadi

1 2

. Pecahan

manakah itu? Penyelesaian Misalkan pembilang = x dan penyebut pecahan itu = y, sehingga: x 3 = ⇔ 4x = 3 y y 4 ⇔ 4x – 3y = 0 Dari kalimat kedua diperoleh persamaan: x−9 1 = ⇔ 2( x − 9) = y y 2 ⇔ 2x – y = 18 Sehingga model matematikanya berupa sistem persamaan: ⎧4 x − 3 y = 0 ⎨ ⎩2 x − y = 18

× 1 ⎧4 x − 3 y = 0 ⎨ × 3 ⎩6 x − 3 y = 54 -2x = -54 ⇔ x = 27

Substitusikan x = 27 ke persamaan kedua diperoleh: 2(27) – y = 18 ⇔ y = 54 – 18 = 36 Jika Anda cocokkan jawab ini dengan persoalannya: Pembilang = 27 dan penyebut 36


83


Nilai pecahan semula = Pecahan baru =

27 3 = (benar) 36 4

27 − 9 18 1 = = (benar) 36 36 2

Jadi pecahan itu adalah

27 36

2. Refleksi Diri Kegiatan Belajar-2 Setelah Anda melaksanakan KB-2 ini, kerjakan latihan di bawah ini dengan sungguh-sungguh, kemudia cocokkan hasilnya dengan kunci jawab di belakang, kemudian buat skor hasil pekerjaan Anda dengan rumus Skor refleksi diri Sc =

Jumlah soal yang dikerjakan dengan benar × 100% 8

Jika skor refleksi diri Anda lebih atau sama dengan 75%, selamat Anda telah memahami KB-2, dan Anda dipandang telah cukup memahami modul ini, dan bagi Anda yang belum mencapai 75% dipersilahkan membaca lagi lebih cermat dan diskusikan dengan kolega Anda masalah yang dirasa kurang jelas dan dicoba lagi megerjakan soal-soal di bawah ini sekali lagi

1. Carilah dua dua buah bilangan yang jumlahnya 67 dan selisihnya 45. 2. Jumlah harga 3 batang pensil dan 4 buah buku adalah Rp 13.750,00 sedangkan harga 2 batang pensil dan 5 buku tulis adalah Rp 15.000,00 . Tentukan haraga masing-masing! 3. Dua buah bilangan berselisih 10, dua kali bilangan yang kecil 37 lebihnya dari bilangan besar. Bilangan-bilangan manakah itu? 4. Dua bilangan berbanding 3 : 4. jika yang pertama dikurangi 5 dan yang kedua ditambah 20, maka jumlah kedua bilangan baru adalah 127. Bialangan-bilangan manakah itu? 5. Sebuah bilangan ditulis dengan dua angka . Bilangan itu 7 kali dari jumlah angka-angkanya.Carilah bilangan itu!


84


6. Pada garis AB terletak titik P, sedemikian hingga PA : PB = 2 : 3, Jika P digeser 5 cm ke arah A, maka PB = 2 12 PA, Tebtukan panjang AB! 7. Dua nodal berjumlah Rp 2.000.000,00 sedangkan jumlah bunganya setiap tahun sebesar Rp 68.000,00. Jika modal yang besar suku bunganya 3% setahun dan modal yang kecil mempunyai interes 4% setahun. Tentukan besar modal itu masing-masing. 8. Tiga tahun yang akan datang umur seorang ayah 3 kali umur anaknya, sedangkan 8 tahun yang lalu umur ayah tersebut 14 kali umur anaknya tersebut. Berapa tahun lagi umur ayah itu mencapai setengah abad?


85

BAB V PENUTUP A. Rangkuman Setelah Anda pelajari secara keseluruhan modul ini, sebelum Anda merefleksikan hasil belajar Anda dengan mengerjakan soal-soal yang telah disiapkan di bawah ini, maka terlebih dahulu uraian modul ini dapat disarikan sebagai berikut: 1. Operasi Aljabar dan Pemfaktoran Bentuk Aljabar Untuk operasi bentuk aljabar, beberapa alternatif langkah yang dapat digunakan antara lain sebagai berikut. a. Dengan pendekatan kontekstual, mantapkan dan ingat kembali pembelajaran tentang operasi bilangan bulat. b. Sembari mengingat, perjelas beberapa pengertian tentang variabel, konstanta, koefisien, bentuk aljabar, suku-suku sejenis dan sifat-sifatnya. c. Lakukan operasi-operasi bentuk aljabar, kemudian untuk meningkatkan ketrampilan siswa, perbanyak latihan. Sementara itu, untuk pemfaktoran bentuk aljabar, beberapa bentuk aljabar yang difaktorkan. a. Faktorisasi bentuk ax + b atau ax – b b. Faktorisasi bentuk x2 + 2xy + y2 c. Faktorisasi bentuk x2 – y2 d. Faktorisasi bentuk ax2 + bx + c


86


2. Relasi, Fungsi dan Persamaan Garis Lurus a. Relasi Relasi binar antar elemen-elemen dari satu atau lebih himpunan, untuk dapat menentukan suatu relasi diperlukan : 1) suatu himpunan A yang tidak kosong, 2) suatu himpunan B yang tidak kosong, 3) suatu kalimat terbuka, yang kita singkat sebagai P(x,y), dimana P(a,b) dapat bernilai benar atau salah untuk tiap pasangan berurut (a,b). Untuk menyajikan relasi relasi binar dari himpunan A ke himpunan B, dapat dilakukan dengan: a) Diagram panah Diagram

• • • • • •

3• 4• 5•

A

samping

ini

menyajikan diagram relasi dari

2•

6•.

di

“adalah faktor dari”

1 2 3 4 5 6

himpunan : A = { 2, 3, 4, 5, 6} ke himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } yang ditentukan oleh kalimat terbuka “x adalah faktor dari y”

B

Gb.5.1

b) Himpunan Pasangan Berurut Berangkat dari relasi di atas, yaitu relasi dari himpunan A = {2, 3, 4, 5, 6} ke himpunan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} yang didefinisikan melalui kalimat terbuka

“x adalah faktor dari y”, jika disajikan dalam himpunan

pasangan berurutan akan menjadi R = {(2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (5,5), (6,6)}


87


c) Dengan Diagram Cartesius Jika relasi R = {(2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (5,5), (6,6)} dari contoh di atas disajikan dalam diagram Cartesius maka grafiknya akan tampak sebagai berikut :

6 •

•

•

•

5 • 4 •

•

3 • 2 •

R•

• • •

1 • • • 2 3 Gb. 5.2

• 4

• 5

• 6

b. Fungsi Suatu fungsi f dari himpunan A ke dalam himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A dengan tepat satu elemen di B Fungsi f dari himpunan A ke dalam B ini biasa ditulis dengan notasi: f : A → B dibaca "fungsi f memetakan A ke dalam B"


88


Unsur tunggal di dalam B yang dihubungkan dengan a ∈ A oleh f dinyatakan dengan f(a) dan disebut peta atau bayangan a oleh f, atau disebut juga nilai f pada a. Dan dalam hal ini a adalah prapeta dari f(a). Notasi yang digunakan untuk menyatakan suatu fungsi f yang memetakan setiap anggota x dari himpunan A ke anggota y dari himpunan B, adalah : f : x → y dibaca "f memetakan x ke y" Pandanglah pemetaan f : A → B, sebagaimana di atas, dalam hal ini : (1)

Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari f

(2)

Himpunan B disebut daerah kawan (codomain) dari f

(3)

Himpunan semua peta unsur A dalam B disebut daerah hasil (range) dari f, dan ditulis dengan notasi f(A).

Sehingga f(A) = {f(a) | ∈ A }

1) Fungsi – fungsi Khusus a) Fungsi Surjektif Misalkan f suatu fungsi dari A ke dalam B, maka daerah hasil f(A) dari fungsi f adalah himpunan bagian dari kodomain B atau f(A) ⊂ B , fungsi ini kita kenal dengan nama fungsi into (ke dalam). Jika f(A) = B artinya setiap anggota B muncul sebagai peta dari sekurangkurangnya satu elemen A, maka kita katakan "f adalah suatu fungsi A pada B". Fungsi pada (onto function) biasa juga kita kenal dengan nama fungsi surjektif. Contoh Fungsi f dari himpunan A = { −2, −1, 0, 1, 2} ke dalam B = { 0, 1, 4} yang didefinisikan oleh rumus fungsi f(x) = x 2 adalah suatu fungsi yang surjektif, karena setiap elemen di B merupakan sekurangkurangnya peta dari satu elemen di A.


89


−2 •

• 0

−1 • 0 • 1 •

• 1 • 4

2 • A

B

f(x) = x 2 Gb. 5.3

b) Fungsi Injektif. Suatu a1 • a2 •

A

f

:

A

→B

• b1 = f ( a 1 )

sedemikian hingga untuk setiap

•

anggota

• b 2 = f (a 2 ) f

fungsi

A

yang

berbeda

mempunyai peta yang berbeda pula di B, dikatakan f sebagai fungsi yang injektif atau fungsi

B

Gb. 5.4

satu-satu. Jadi :

Fungsi f : A → B disebut fungsi injektif (satu-satu), jika untuk setiap a1 , a2 ∈ A dan a1 ≠ a2 akan berlaku f (a1 ) ≠ f (a 2 ) . Dari ketentuan bahwa suatu fungsi f : A → B merupakan fungsi injektif, jika untuk setiap pasang anggota a1 , a2 ∈ A berlaku :

a1 ≠ a 2 ⇒ f (a1 ) ≠ f (a 2 ) Rumus ini bernilai logika sama dengan pernyataan :

f (a1 ) = f (a 2 ) ⇒ a1 = a 2


90


Pernyataan terakhir inilah yang biasa digunakan untuk menunjukkan apakah suatu fungsi itu injektif ataupun bukan. Contoh Selidikilah injektif tidaknya fungsi di dalam bilangan asli A (f : A → A), yang didefinisikan dengan rumus f(x) = 2x Jawab : untuk setiap x1 , x2 ∈A yang memenuhi f ( x1 ) = f ( x2 ), maka

2 x1 − 3 = 2 x2 − 3 ⇔ x1 = x2 Sehingga dari f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2 , maka f adalah fungsi yang surjektif di dalam R.

c) Fungsi Bijektif. Jika suatu fungsi f : A → B a • b• c• d• A

• p •q • r •s f Gb. 5.5

B

sedemikian hingga f suatu fungsi yang surjektif dan injektif sekaligus, sebagaimana ilustrasi di samping, maka dikatakan f adalah suatu fungsi bijektif atau korespondensi satusatu.

Definisi Fungsi f : A → B disebut suatu fungsi bijektif jika f sekaligus fungsi surjektif dan fungsi injektif. Contoh Fungsi f : R → R yang didefinisikan dengan f(x) = 2x - 3 adalah fungsi bijektif sebab untuk setiap y peta dari x pasti akan dipenuhi : 2x − 3 = y ⇔ x =

1 2

( y + 3) yang ini menunjukkan prapeta dari y di

B. Dengan demikian f adalah fungsi yang surjektif.


91


Sedang untuk setiap pasang x1 , x2 ∈R, yang dipenuhi f ( x1 ) = f ( x2 ) , akibatnya:

2 x1 − 3 = 2 x2 − 3 ⇔ x1 = x2 Hal ini menunjukkan f suatu fungsi yang injektif, dan dari f injektif dan surjektif sekaligus ini, dapat disimpulkan bahwa f adalah fungsi bijektif.

c. Persamaan Garis Lurus Misalkan titik P(x,y) pada garis g

Y

Garis ini memotong sumbu y di

• P(x,y)

titik

y−n α

Q(0,n) •

dan

memiliki

kecondongan sebesar m Dari m =

x X

O

Q(0,n),

m=

f (b )− f ( a ) b−a

maka

y−n x−0

Gb. 5.6 Apabila garis g disajikan dalam bentuk himpunan, maka: G = {(x,y) |

y −n x

= m, x ≠ 0} U {(0, n)}

= {(x,y) | y = mx + n untuk x ≠ 0, atau x = 0} = {(x,y) | y = mx + n} Jadi persamaan y = mx + n adalah suatu persamaan garis yang melalui (0,n) dengan gradien m. Akibatnya :

Y

1) Persamaan garis bergradien m dan melalui O(0,0) adalah : y = mx + 0 y = mx

O

α

X Gb. 5.7


92


Yang berarti : y = x adalah garis bagi kuadran I/III y = − x adalah garis bagi kuadran II/IV 2) Persamaan garis yang melalui P( x1 , y1 ) dengan gradien m, adalah dicari dengan : persamaan garis dengan gradien m Y

adalah : • P( x1 , y1 )

y = mx + n ………….(1)

y − y1 = m( x − x1 )

yang melalui titik P( x1, y1) persamaanya adalah :

y1 = mx1 + n ……….(2)

α

O

X

Gb. 5.8

Jika (2) - (1) maka :

y − y1 = m( x − x1 ) Jadi persamaan garis yang melalui titik P( x1 , y1 ) dan gradiennya m adalah :

y − y 1 = m(x − x 1 ) Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik C(2,3) dan membuat sudut sebesar 45 o dengan sumbu X

A(x1,y1)

Jawab : C(2,3) •

B(x2,y2)

y1 – y2

45o x1 – x2

Gradien dari garis tersebut adalah m =

y1 − y 2 dan karena garis tersebut x1 − x 2

membuat sudut 45o dengan sumbu-X positif, maka nilai y1 – y2 = x1 – x2,


93


sehingga nilai m = 1, sehingga persamaan garis yang diketahui salah satu titik dan gradiennya adalah :

y − y1 = m( x − x1 ) yang berarti : y − 3 = 1(x - 2) ⇒ y = x - 1 3) Persamaan garis yang melalui dua titik P( x1 , y1 ) dan Q( x2 , y2 ) , dapat dicari sebagai berikut : Persamaan garis yang melalui

P( x1 , y1 ) dengan gradien m adalah

y − y1 = m( x − x1 ) . Dan jika garis tersebut juga melalui Q( x2 , y2 ), maka:

y2 − y1 = m( x2 − x1 ) sehingga m =

y2 − y1 x2 − x1

Jadi persamaan garis yang melalui titik-titik ( x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 ) adalah : y2 − y1 =

y2 − y1 ( x2 − x1 ) x2 − x1

Sehingga diperoleh persamaan garis yang melalui dua titik P( x1 , y1 ) dan

Q( x2 , y2 ) adalah : y - y1 x − x1 = y 2 − y1 x 2 − x1 Contoh Tentukan persamaan garis yang melalui (2,5) dan (1,−4) Jawab : Persamaan garis yang melalui ( x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 ) adalah: y − y1 x − x1 = , sehingga persamaan garis yang melalui (2,5) dan y2 − y1 x2 − x1 (1,−4) : y −5 x−2 = − 4 − 5 1− 2 Kapita Selekta Pembelajaran Aljabar Kelas VIII SMP

94


y −5 x−2 = −1 −9

−(y − 5) = −9(x − 2) y = 9x − 13

3. Sistem Persamaan Linear dengan Dua Peubah a. Secara numerik, di antara penyelesaian secara elementer dikenal: 1) metode substitusi 2) metode eliminasi 3) metode ekuasi (penyamaan) yang sesungguhnya ketiga-tiganya mengarah pada eliminasi salah satu variabelnya. Contoh:

⎧3 x − y = 3 ⎩x + 2 y = 8

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan: ⎨ Jawab: 1)

⎧3 x − y = 3 (1) ⎩ x + 2 y = 8 (2)

dengan substitusi: ⎨

(1) 3x – y = 3 ⇔ y = 3x – 3 …….…. (3)

Substitusikan y pada (3) ke (2) diperoleh: → x + 2 (3x – 3) = 8 ⇔ 7x = 14 ⇔ x = 2. Jika x = 2 disubstitusikan ke (3) diperoleh y n= 3(2) – 3 = 3 Himpunan penyelesaiannya ialah {(2, 3)}. 2) dengan eliminasi:

⇔ 3x − y = 3 x + 2 y = 8 × 3 ⇔ 3x + 6 y = 24

3x − y = 3 × 2 ⇔ 6 x − 2 y = 6 x + 2 y = 8 ×1 ⇔ x + 2 y = 8

3x − y = 3 × 1

+

7x = 14 ⇔ x = 2

−

–7y = – 21 ⇔ y = 3



95


3) dengan ekuasi (penyamaan) 3x – y = 3 ⇔ x = 1 y + 1 3

3x – y = 3 ⇔ y = 3x – 3 x + 2y = 8 ⇔ y = – 1 x + 4 2

x + 2y = 8 ⇔ x = –2y + 8

Berarti 3x – 3 = – 1 x + 4 2

Berarti 1 y + 1 = – 2y + 8 3

⇔31x=7 2

⇔21 y=7 3

⇔x=2

⇔y=3


b. Penyelesaian secara geometrik (geometri analitik) Penyelesaian secara geometrik haruslah dilandasi dengan pemahaman menggambar grafik persamaan linear dan gambar yang disajikan haruslah teliti. Penyelesaian cara ini pada dasarnya mencari titik persekutuan antara dua garis yang persamaannya disajikan dalam setiap persamaan dalam sistem tersebut. Ada tiga kemungkinan: (a). Garis sejajar ⇔ tidak ada titik persekutuan ⇔ Himpunan Penyelesaiannya φ (b). Garis berpotongan ⇔ Ada satu titik potong → Himpunan penyelesaiannya beranggota sebuah pasangan bilangan. (c). Garis berimpit ⇔ Setiap titik yang terletak pada garis pertama pasti terletak pada garis kedua dan sebaliknya → Himpunan penyelesaiannya adalah himpunan yang pasangan titiknya memenuhi salah satu persmaan.

⎧ 2x − y = 7 ⎩4 x − 2 y = 14

Contoh : ⎨

Grafiknya adalah dua garis berimpit, sehingga himpunan penyelesaian sistem persamaan di atas adalah {(x, y) | 2x – y = 7, x, y ∈ R}


96


B. Soal Refleksi Diri Setelah Anda pelajari modul ini untuk refleksi diri, kerjakan latihan di bawah ini dengan sungguh-sungguh, kemudia cocokkan hasilnya dengan kunci jawab di belakang, kemudian buat skor hasil pekerjaan Anda dengan rumus Skor refleksi diri Sc = Jika skor refleksi diri

Jumlah soal yang dikerjakan dengan benar × 100% Jumlah semua soal latihan

Anda lebih atau sama dengan 75%, selamat Anda telah

memahami modul ini, dan bagi Anda yang belum mencapai 75% dipersilahkan membaca lagi lebih cermat dan diskusikan dengan kolega Anda masalah yang dirasa kurang jelas dan dicoba lagi megerjakan soal-soal di bawah ini sekali lagi

Kerjakan soal-soal di bawah ini sebaik-baiknya. 1. Sederhanakan bentuk aljabar berikut: a. 5p4 + 7p3 – p +2 b. 2ab + a2 – ab c. 3xy3 + 2x – 7xy2 – 5x + 7 2. Faktorkanlah bentuk aljabar berikut: a. x2 + 15x + 56 b. 6x2 − 11x − 10 c.16p2 – 81(p – q)2 3. Relasi R pada bilangan asli A = { 1, 2, 3, …} yang ditentukan oleh kalimat terbuka: “x + 2y = 10, maka tentukannlah: a. domain dari R b. range dari R c. relasi invers dari R (relasi R-1) d. diagram Cartesius dari R


97


4. Tentukan fungsi f pada bilangan real R sedemikian hingga f(1 – 2x) = x3 + 1 (Petunjuk: misalkan 1 – 2x = y, kemudia nyatakan x dalam y, yang dilanjutkan dengan ) 5.

Fungsi kuadrat f pada himpunan bilangan real ditentukan oleh rumus f(x) = x2 – 2x – 3, dengan daerah asal { x| -2 ≤ x ≤ 4, x ∈ R} a. Buatlah tabelnya b. Gambarlah grafiknya c. Tentukanlah daerah hasilnya d. Tentukan pembuat nol fungsinya!

6. Tentukan persamaan garis lurus yang ditunjukkan oleh diagram di bawah ini: Y g 4

3

O

X

7.

⎧10 x + 2 y = 38 Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear: ⎨ ⎩− 3x + 5 y = 11

8.

Dua bilangan berbanding sebagai 3 : 4. Jika yang pertama dikurangi 5 dan kedua ditambah 20, maka jumlah kedua bilangan yang baru menjadi 127. Bilangan yang manakah itu?


98

DAFTAR PUSTAKA Chambers, Paul 2008. Teaching Mathematics, Developing as a Reflective Secondary Teachers: Sage Publications Inc. Hirjan dkk. 1977. Matematika. Bandung: Balai Pendidikan Guru Tertulis Kusrini dkk, 2003 Matematika Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Kelas 1. Proyek Peningkatan Mutu SLTP Jakarta. Krismanto, Al. 2004. Aljabar. Bahan Ajar Diklat Jenjang Dasar di PPPG Matematika Yogyakarta, Yogyakarta: PPPG Matematika ___________, Pembelajaran Aljabar Kelas VII SMP/MTs, Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika, Yogyakarta: PPPPTK Matematika Marsigit, 2009. Mathematics 2 for Junior High School Year VIII, Jakarta: Yudhistira. Nedi Sunaedi dkk. 1992. Aljabar. Seri Matematika untuk Sekolah Menengah Umum Tingkat Pertama. Bandung: Penerbit Pakar Raya Raharjo, Marsudi. 2006. Solusi Masalah Pemfaktoran Bentuk Kuadrat, Buletin Limas PPPG Matematika Yogyakarta No. 17 Desember 2006. Setiawan. 2008. Persamaan, Pertidak Samaan, dan Fungsi Aljabar. Yogyakarta: PPPPTK Matematika Spiegel, Murray R. 1999. Theory and Problem of College Algebra (Edisi Terjemahan oleh Kasir Iskandar). Jakarta: Penerbit Erlangga Suhardjo. 1984. Teori Himpunan. Surakarta: Buku Pegangan Kuliah Jurusan MIPA UNS Sumadi dkk. 1996. Matematika SMU. Solo: Penerbit Tiga Serangkai Wardhani, Sri & Widyantini, Theresia. 2004. Perkalian Dua Suku Dua, Petunjuk dan Lembar Kerja Alat Peraga Matematika SMP, PPPG Matematika Yogyakarta Wadsworth, Barry J, 1984. Piaget’s Theory of Cognitive Development, CA. Allyn Bacon.


99

KUNCI SOAL LATIHAN Bab II Operasi Aljabar dan Pemfaktoran Bentuk Aljabar Kegiatan Belajar – 1 Halaman 10 1. 2a – b 2. 3y – x 3. 3p4 + 2p3 – p + 2 4. ab + a2 5. -2y2 – 3x + 7 Kegiatan Belajar – 2 Halaman 24 1. 2(4a– 1) 2. 5pq (3q + 1) 3. (x + 5) (x + 5) 4. (3m + 2n) (3m + 2n) 5. (2ab – 5) (2ab + 5) 6. 9p2 + 14pq – q2 7. (3m – 2) (m – 6)

Bab III Relasi, Fungsi dan Persamaan Garis Lurus Kunci Jawab KB-1 1. a. { (1,3), (1,5), (2,3), (2,5), (3,5), (4,5)} b.

5

•

•

• R

4 B 3

•

•

•

1

2

2 1 3

4

5

A


100


2. a. R = {(3,3), (6,3), (10,2), (10,5)} b. R 10

•

•

7 •

6 3

•

•

2

3

5

4

3. a. (i) salah (ii) benar (iii) salah (iv) benar b. {a,b} c. {a,b} 4. a. Domain dari relasi R = {1, 3, 4, 7} b. Range dari relasi R = {5, 6, 7} c. Relasi invers dari R adalah R-1 = {(4,1), (5,1), (5,4), (6,4), (6,7), (7,3)} 5. a. Domain dari R = {2, 4, 5} b. Range dari R = {1, 2, 4} c. R-1 = { (1,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4)} d. • 5 R-1 4 • • 3 2

•

•

1 1

2

3

4

5

6. a. Domain dari R = {x| -3 ≤ x ≤ 3, x ∈ R} b. Range dari R = {y| -2 ≤ y ≤ 2, y ∈ R} c. R-1 = {(x,y) | 4x2 + 4y2 = 36} 1 x (10 – x) = 5 − 2 2 R = {(2,4), (4,3), (6,2), (8,1)} a. Domain dari R = {2,4,6,8}

7. y =


101


b. Range dari R = (1,2,3,4} c. Relasi invers, R-1 = {(2x, (x,y)} | 2x + y = 10} 8. a.

f(x) R1

• (2,4)

•

(-1,1)

•

R1∩ R2

O

•

R2

• X

b. Domain dari R1 ∩ R2 adalah {x | -1 ≤ x ≤ 2, x ∈ R} c. Range dari R1 ∩ R2 adalah {y | 0 ≤ y ≤ 4, x ∈ R}

Kunci jawab KB-2 1. a. Bukan fungsi b. Fungsi c. Fungsi 2. a. f: x → x3 b. f:x → 3 c. f:x → x2, untuk x ∈ R dan x > 0 5, untuk x ∈ R dan x ≤ 0 3. a. f(4) = 16 b. f(-3) = 9 c. {t | -2 ≤ t – 3 ≤ 8, t ∈ R} = {t | 1 ≤ t ≤ 11, t ∈ R} 4. a. “fungsi f menyatakan : x rasional ke 1 dan x irrasional ke 0” b. f(1 12 ) = 1; f(3,141414...) = 1; f( 3 ) = 0; f(π) = 0 5. a.f(2) = 2 b. f(4) = 11 c. f(-1) = −1 d. f(-3) = −3


102


6. a• b•

•x •y

c•

a• b• c•

B

A

•x •y

a• b•

•x •y

c• A

a• b•

•x •y

c•

•x •y

c•

a• b• c•

B

A

•x •y

c• B

A

a• b•

B

A

a• b• B

c•

B

A

a• b•

•x •y

B

A

•x •y B

A

Ada 8 buah fungsi. 7. Daerah hasil dari f = {1, 2, 5} 8. a. fungsi injektif b. bukan fungsi injektif c. bukan fungsi injektif 9. a. bukan fungsi satu-satu b. bukan fungsi satu-satu

c. fungsi satu-satu d. fungsi satu-satu

10. a. bijektif b. bijektif c. bukan fungsi bijektif

d. bijektif e. bukan fungsi bijektif

11. a. fungsi into biasa b. fungsi injektif c. fungsi surjektif

d. fungsi surjektif e. fungsi bijektif


103


Kunci Jawab KB-3 1. a.

d.

Y f(x) =

Y

(-8,0)

X

b.

e. Y

X

Y

f(x) = 2x – 5

f(x) = 2x - 3 ( 2 12 ,0 ) ( 1 12 ,0 )

X

X

(0,-3)

(0,-5)

Y (0,1)

(−

1 3

,0 )

x+4

(0,4)

f(x) = x

c.

1 2

f(x) = 3x + 1

X


104


2. a.

d.

y=x

3

−3

b.

y= −x

e.

3 c.

y=x + 2

2

−6

−2 3. f(x) • •

•

•

•

f(x) = 4 – x2

•

X

a. Koordinat titik maksimumnya (0,4) b. Nilai maksimum dari f adalah 4 c. Pembuat nol dari f adalah -2 dan 2 d. Daerah hasil dari f adalah {y| -5 ≤y≤5 ,y∈R} e. Persamaan sumbu simetri parabolanya x = 0

•


105


4. a. Koordinat titik minimumnya (-1, -4) b. Nilai minimum dari f adalah -4 c. Pembuat nol dari f adalah -3 dan 1 d. Daerah hasil dari f adalah { y | -4 ≤ y ≤ 12, y ∈ R} 5. a. Ketinggian roket maksimum setelah 3 detik b. Tinggi maksimumnya adalah 45 m c. Tinggi roket lebih dari 25 m pada interval waktu 1 ≤ t ≤ 5 detik 6. Ukuran panjang dan lebar penampang talang agar debit air yang lewat maksimum adalah 20 cm × 10 cm. Kunci Jawab KB-4 1. . a. y = 2x – 7 b. y = 2x + 8 1 c. y = − x + 2 12 4 d. y = rx − pr+ q 4 e. y = − x 5 2. . a. 4x – 5y – 33 = 0 b. x – y + 4 = 0 c. x = 5 d. 3x + 8y – 16 = 0 3. . 5x + 6y – 47 = 0 x y 4. + =1 a b Bab IV Sistem Persamaan Linear Dua Peubah Kunci Jawab KB-1 a. {(5,2)} b. {(2,-1)} c. {(2,-2)} d. φ, karena grafik kedua garis itu sejajar e. {(x,y)| x – 3y = 2}, karena grafik kedua garis tersebut berimpit Kunci Jawab KB-2 1. Bilangan itu adalah 56 dan 11 2. Harga satu batang pensil Rp 1.250,00 dan sebuah buku Rp 2.500,00 3. Bilangan-bilangan itu adalah 57 dan 47 4. Bilangan-bilangan itu adalah 48 dan 64 5. Bilangan itu adalah 21, 42, dan 63 6. Panjang AB = 15 cm 7. Modal-modal itu adalah Rp 1.200.000,00 dan Rp 800.000,00 8. Umur ayah akan mencapai setengah abad setelah 14 tahun lagi.


106


Bab V Kunci Jawab Refleksi Diri 1. a. 5p4 + 7p3 – p + 2 b. ab + a2 c. 3xy3 – 3x – 7xy2 + 7 2. a. (x + 7) (x + 8) b. (2x – 5) (3x + 2) c. -65p2 + 162pq – 81q2 3. a. Domain dari R adalah D = { 2, 4, 6, 8 } b. Range dari R adalah = { 1, 2, 3, 4 } c. R-1 = { (1,8), (2,6), (3,4), (4,2) } d. 4 •

•

3 •

•

2 •

R

1 • • 2

• 4

• • • 6

• 8

4. f ( x ) = 18 (9 − 3 x − 3 x 2 − x 3 ) 6. a. Tabel pertolongan untuk membuat grafik: x x2 -2x -3 f(x)

-2 4 4 -3 5

-1 1 2 -3 0

0 0 0 -3 -3

b. Grafik fungsi f(x) = x2 – 2x – 3 f(x •

1 1 -2 -3 -4

2 4 -4 -3 -3

3 9 -6 -3 0

4 16 -8 -3 5

• f(x) = x2 – 2x –

•

•

•

X

• •


107


c. Daerah hasilnya adalah { y | -4 ≤ y ≤ 5, y ∈ R } d. Pembuat nol fungsinya adalah -1 dan 3 7. 3x – 4y – 12 = 0 8. {(3,4)} 9. Bilangan – bilangan itu adalah 48 dan 64


108

KAPITA SELEKTA PEMBELAJARAN ALJABAR KELAS VIII SMP

Recommend Documents