Definisi Integral Garis Fungsi Bernilai Real Penghitungan Nilai Integral Garis
KALKULUS MULTIVARIABEL II Integral Garis Fungsi Bernilai Real (Minggu ke-7)
Supama dan Hadrian Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia
Supama dan Hadrian
Integral Garis Fungsi Bernilai Real
Definisi Integral Garis Fungsi Bernilai Real Penghitungan Nilai Integral Garis
1
Definisi Integral Garis Fungsi Bernilai Real
2
Penghitungan Nilai Integral Garis Integral Garis Terhadap Panjang Busur Integral Garis Terhadap Axis Tertentu Contoh Soal
Supama dan Hadrian
Integral Garis Fungsi Bernilai Real
Definisi Integral Garis Fungsi Bernilai Real Penghitungan Nilai Integral Garis
Integral Garis Fungsi f ∶ K ⊆ R2 → R di Sepanjang Kurva Mulus C
Diberikan kurva mulus C pada R2 dengan rumus parameter x = x(t)
y = y(t)
a ≤ t ≤ b,
dengan C merupakan kurva yang terorientasi secara positif. Titik awal kurva C adalah A = (x(a), y(a)) dan titik ujung kurva C adalah B = (x(b), y(b)).
Supama dan Hadrian
Integral Garis Fungsi Bernilai Real
Definisi Integral Garis Fungsi Bernilai Real Penghitungan Nilai Integral Garis
Diberikan fungsi f ∶ K ⊆ R2 → R2 , dengan kurva C termuat pada K. Akan ditentukan integral fungsi f di sepanjang kurva C dari titik A hingga titik B. Ditinjau partisi P = {t0 , t1 , t2 , . . . , tn } pada [a, b] dengan a = t0 < t1 < t2 < ⋯ < tn = b. Partisi P membagi kurva C ke dalam n kurva bagian Ci , dengan Ci merupakan kurva dengan titik awal Pi−1 = (x(ti−1 ), y(ti−1 )) dan titik ujung Pi = (x(ti ), y(ti )). Untuk setiap i = 1, 2, . . . , n dipilih t∗i ∈ [ti−1 , ti ]. Didefinisikan titik Qi = (x(t∗i ), y(t∗i )).
Supama dan Hadrian
Integral Garis Fungsi Bernilai Real
Definisi Integral Garis Fungsi Bernilai Real Penghitungan Nilai Integral Garis
Kurva C
Terdapat dua kasus: 1
Integral terhadap panjang busur
2
Integral terhadap axis tertentu
Supama dan Hadrian
Integral Garis Fungsi Bernilai Real
Definisi Integral Garis Fungsi Bernilai Real Penghitungan Nilai Integral Garis
Integral Garis Terhadap Panjang Busur Misalkan ∆si menyatakan panjang kurva Ci dan ∥P ∥ menyatakan norma partisi P . Diperhatikan jumlahan Riemann berikut n
∑ f (Qi )∆si .
i=1
Jika f kontinu pada D ⊆ K dengan kurva C termuat pada D, maka jumlahan Riemann di atas memiliki limit untuk ∥P ∥ menuju nol. Nilai limit tersebut disebut integral garis dari fungsi F sepanjang C dari A ke B terhadap panjang busur, yaitu n
∫ f (x, y) ds = lim ∑ f (Qi )∆si . C
Supama dan Hadrian
∥P ∥→0 i=1
Integral Garis Fungsi Bernilai Real
Definisi Integral Garis Fungsi Bernilai Real Penghitungan Nilai Integral Garis
Representasi Integral Garis Fungsi Pada Bidang Jika fungsi f bernilai positif pada C maka nilai integral ∫ f (x, y) ds C
merupakan luas tirai tegak melengkung yang diperlihatkan pada gambar berikut.
(Varberg dkk., 2007)
Supama dan Hadrian
Integral Garis Fungsi Bernilai Real
Definisi Integral Garis Fungsi Bernilai Real Penghitungan Nilai Integral Garis
Integral Garis Terhadap Axis Tertentu Misalkan ∆xi = x(ti )−x(ti−1 ) dan ∥P ∥ = norma partisi P . Diperhatikan jumlahan Riemann berikut n
∑ f (Qi )∆xi .
i=1
Jika f kontinu pada D ⊆ K dengan kurva C termuat pada D, maka jumlahan Riemann di atas memiliki limit untuk ∥P ∥ menuju nol. Nilai limit tersebut disebut integral garis dari fungsi f sepanjang C dari A ke B terhadap x, yaitu n
∫ f (x, y) dx = lim ∑ f (Qi )∆xi . C
Supama dan Hadrian
∥P ∥→0 i=1
Integral Garis Fungsi Bernilai Real
Definisi Integral Garis Fungsi Bernilai Real Penghitungan Nilai Integral Garis
Dengan cara analog dapat didefinisikan integral garis dari fungsi f sepanjang C dari A ke B terhadap y, yaitu n
∫ f (x, y) dy = lim ∑ f (Qi )∆yi . C
∥P ∥→0 i=1
Untuk integral fungsi f ∶ K ⊆ R3 → R terhadap panjang busur dan terhadap axis tertentu didefinisikan analog dengan integral fungsi pada bidang.
Supama dan Hadrian
Integral Garis Fungsi Bernilai Real
Definisi Integral Garis Fungsi Bernilai Real Penghitungan Nilai Integral Garis
Integral Garis Terhadap Panjang Busur Integral Garis Terhadap Axis Tertentu Contoh Soal
Kurva C Diberikan Dalam Bentuk Fungsi Parameter Fungsi Pada Bidang Jika diketahui bahwa setiap titik (x, y) pada kurva C merupakan fungsi dalam parameter t, yaitu x = x(t) dan y = y(t) untuk a ≤ t ≤ b, maka diferensial busur ds dapat dinyatakan sebagai √ ds = (x′ (t))2 + (y ′ (t))2 dt. Diperoleh bahwa b
∫ f (x, y) ds = ∫ f (x(t), y(t)) C
√
(x′ (t))2 + (y ′ (t))2 dt.
a
Supama dan Hadrian
Integral Garis Fungsi Bernilai Real
Definisi Integral Garis Fungsi Bernilai Real Penghitungan Nilai Integral Garis
Integral Garis Terhadap Panjang Busur Integral Garis Terhadap Axis Tertentu Contoh Soal
Fungsi Pada Ruang Jika diketahui bahwa setiap titik (x, y, z) pada kurva C merupakan fungsi dalam parameter t, yaitu x = x(t), y = y(t), dan z = z(t) untuk a ≤ t ≤ b, maka diferensial busur ds dapat dinyatakan sebagai √ ds = (x′ (t))2 + (y ′ (t))2 + (z ′ (t))2 dt. Diperoleh bahwa ∫ f (x, y, z) ds C b
= ∫ f (x(t), y(t), z(t))
√
(x′ (t))2 + (y ′ (t))2 + (z ′ (t))2 dt.
a
Supama dan Hadrian
Integral Garis Fungsi Bernilai Real
Definisi Integral Garis Fungsi Bernilai Real Penghitungan Nilai Integral Garis
Integral Garis Terhadap Panjang Busur Integral Garis Terhadap Axis Tertentu Contoh Soal
Kurva C Diberikan dengan Setiap Komponen Merupakan Fungsi Eksplisit dari Salah Satu Komponen Lain Fungsi Pada Bidang Jika diketahui kurva C, beranggotakan titik (x, y(x)) untuk α ≤ x ≤ β, maka diferensial busur dapat dinyatakan sebagai √ ds = 1 + + (y ′ (x))2 dx. Diperoleh bahwa β
∫ f (x, y) ds = ∫ f (x, y(x)) C
√
1 + (y ′ (x))2 dx.
α
Supama dan Hadrian
Integral Garis Fungsi Bernilai Real
Definisi Integral Garis Fungsi Bernilai Real Penghitungan Nilai Integral Garis
Integral Garis Terhadap Panjang Busur Integral Garis Terhadap Axis Tertentu Contoh Soal
Fungsi Pada Ruang Jika diketahui kurva C, beranggotakan titik (x, y(x), z(x)) untuk α ≤ x ≤ β, maka diferensial busur dapat dinyatakan sebagai √ ds =
1 + (y ′ (x))2 + (z ′ (x))2 dx.
Diperoleh bahwa β
∫ f (x, y, z) ds = ∫ f (x, y(x), z(x)) C
√
1 + (y ′ (x))2 + (z ′ (x))2 dx.
α
Supama dan Hadrian
Integral Garis Fungsi Bernilai Real
Definisi Integral Garis Fungsi Bernilai Real Penghitungan Nilai Integral Garis
Integral Garis Terhadap Panjang Busur Integral Garis Terhadap Axis Tertentu Contoh Soal
Akan diberikan untuk kasus integral fungsi pada bidang di sepanjang kurva mulus terhadap x (Kasus yang lain analog). Jika diketahui bahwa setiap titik (x, y) pada kurva C merupakan fungsi dalam parameter t, yaitu x = x(t) dan y = y(t) untuk a ≤ t ≤ b, maka ds = x′ (t) dt sehingga diperoleh bahwa b
′ ∫ f (x, y) dx = ∫ f (x(t), y(t))x (t) dt. C
a
Supama dan Hadrian
Integral Garis Fungsi Bernilai Real
Integral Garis Terhadap Panjang Busur Integral Garis Terhadap Axis Tertentu Contoh Soal
Definisi Integral Garis Fungsi Bernilai Real Penghitungan Nilai Integral Garis
Jika diketahui kurva C, beranggotakan titik (x, y(x)) untuk α ≤ x ≤ β, maka β
∫ f (x, y) dx = ∫ f (x, y(x)) dx. α
C
Jika diketahui kurva C, beranggotakan titik (x(y), y) untuk u ≤ y ≤ v, maka v ′ ∫ f (x, y) dx = ∫ f (x(y), y)x (y) dy. C
u
Supama dan Hadrian
Integral Garis Fungsi Bernilai Real
Definisi Integral Garis Fungsi Bernilai Real Penghitungan Nilai Integral Garis
Integral Garis Terhadap Panjang Busur Integral Garis Terhadap Axis Tertentu Contoh Soal
Contoh 1 Diketahui C adalah kurva pada bidang dengan (x, y) ∈ C jika dan hanya jika x2 + y 2 = 1 dan y ≥ 0. Tentukan nilai 2 ∫ (2 + x y) ds. C 2
Diketahui C adalah kurva pada ruang dengan rumus parameter x = t, y = t2 , z = t4 , 0 ≤ t ≤ 1. Tentukan nilai 2 2 ∫ (y − z ) dx + (x − z) dy + xy dz. C
Supama dan Hadrian
Integral Garis Fungsi Bernilai Real