Aturan Rantai dan Fungsi Implisit
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I Aturan Rantai dan Fungsi Implisit
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Aturan Rantai dan Fungsi Implisit
Aturan Rantai Turunan Fungsi Implisit
Aturan Rantai
Ingat kembali aturan rantai pada fungsi satu peubah! Jika y = f (x(t)), di mana baik f maupun t adalah fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan dy dy dx = dt dx dt
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Aturan Rantai dan Fungsi Implisit
Aturan Rantai Turunan Fungsi Implisit
Aturan Rantai Versi Pertama
Teorema A Misalkan x = x(t) dan y = y (t) dapat didiferensialkan di t, dan misalkan z = f (x, y ) dapat didiferensialkan di (x(t), y (t)), maka z = f (x(t), y (t)) dapat didiferensialkan di t dan dz ∂z dx ∂z dy = + dt ∂x dt ∂y dt
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Aturan Rantai dan Fungsi Implisit
Aturan Rantai Turunan Fungsi Implisit
Contoh 1 Andaikan z = x 3 y , di mana x = 2t dan y = t 2 . Tentukan
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
dz dt .
Aturan Rantai dan Fungsi Implisit
Aturan Rantai Turunan Fungsi Implisit
Contoh 1 Andaikan z = x 3 y , di mana x = 2t dan y = t 2 . Tentukan Penyelesaian: ∂z dx ∂z dy dz = + dt ∂x dt ∂y dt 2 = (3x y )(2) + (x 3 )(2t) = 6(2t)2 (t 2 ) + (2t)(2t)3 = 24t 4 + 16t 4 = 40t 4 Atau bisa juga dengan substitusi langsung, yaitu z = x 3 y = (2t)3 (t 2 ) = 8t 5 sehingga
dz dt
= 40t 4 . Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
dz dt .
Aturan Rantai dan Fungsi Implisit
Aturan Rantai Turunan Fungsi Implisit
Contoh 2 Ketika sebuah silinder lingkaran tegak yang padat dipanaskan, jari-jari r dan tingginya h akan meningkat, sehingga luas permukaannya S juga meningkat. Andaikan pada waktu sesaat ketika r = 10 cm dan h = 100 cm, r meningkat 0.2 cm/jam dan h meningkat 0.5 cm/jam. Seberapa cepatkah peningkatan S pada waktu tersebut?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Aturan Rantai dan Fungsi Implisit
Aturan Rantai Turunan Fungsi Implisit
Contoh 2 Ketika sebuah silinder lingkaran tegak yang padat dipanaskan, jari-jari r dan tingginya h akan meningkat, sehingga luas permukaannya S juga meningkat. Andaikan pada waktu sesaat ketika r = 10 cm dan h = 100 cm, r meningkat 0.2 cm/jam dan h meningkat 0.5 cm/jam. Seberapa cepatkah peningkatan S pada waktu tersebut? Penyelesaian: Luas permukaan total silinder adalah S = 2πrh + 2πr 2 , jadi dS ∂S dr ∂S dh = + dt ∂r dt ∂h dt = (2πh + 4πr )(0.2) + (2πr )(0.5) = (2π · 100 + 4π · 10)(0.2) + (2π · 10)(0.5) = 58π cm2 /jam Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Aturan Rantai dan Fungsi Implisit
Aturan Rantai Turunan Fungsi Implisit
Contoh 3 Andaikan w = x 2 y + y + xz di mana x = cos θ, y = sin θ, dan z = θ2 . Tentukan tersebut di θ = π3 .
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
dw dθ
dan hitunglah nilai
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Aturan Rantai dan Fungsi Implisit
Aturan Rantai Turunan Fungsi Implisit
Contoh 3 Andaikan w = x 2 y + y + xz di mana x = cos θ, y = sin θ, dan z = θ2 . Tentukan tersebut di θ = π3 .
dw dθ
dan hitunglah nilai
Penyelesaian: ∂w dx ∂w dy ∂w dz dw = + + dθ ∂x dθ ∂y dθ ∂z dθ = (2xy + z)(−sin θ) + (x 2 + 1)(cos θ) + (x)(2θ)
di θ =
π 3
√ dw 1 π2 3 π =− − + dθ 8 18 3 Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Aturan Rantai dan Fungsi Implisit
Aturan Rantai Turunan Fungsi Implisit
Aturan Rantai Versi Kedua Jika z = f (x, y ), dimana x = x(s, t) dan y = y (s, t), maka masuk ∂z akal apabila kita menanyakan ∂z ∂s dan ∂t Teorema B Misalkan x = x(s, t) dan y = y (s, t) mempunyai turunan parsial pertama di (s, t) dan misalkan z = f (x, y ) dapat dideferensialkan di (x(s, t), y (s, t)). Maka z = (x(s, t), y (s, t)), mempunyai turunan parsial pertama yang dinyatakan dengan ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s dan
∂z ∂x ∂z ∂y ∂z = + ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Aturan Rantai dan Fungsi Implisit
Aturan Rantai Turunan Fungsi Implisit
Contoh 4 Jika z = 3x 2 − y 2 , di mana x = 2s + 7t dan y = 5st, tentukan dan nyatakan dalam s dan t.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
∂z ∂t
Aturan Rantai dan Fungsi Implisit
Aturan Rantai Turunan Fungsi Implisit
Contoh 4 Jika z = 3x 2 − y 2 , di mana x = 2s + 7t dan y = 5st, tentukan dan nyatakan dalam s dan t. Penyelesaian: ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t = (6x)(7) + (−2y )(5s) = 42(2s + 7t) − 10s(5st) = 84s + 294t − 50s 2 t
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
∂z ∂t
Aturan Rantai dan Fungsi Implisit
Aturan Rantai Turunan Fungsi Implisit
Contoh 5 Jika w = x 2 + y 2 + z 2 + xy , di mana x = st, y = s − t, dan z = s + 2t, tentukan
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
∂w ∂t .
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Aturan Rantai dan Fungsi Implisit
Aturan Rantai Turunan Fungsi Implisit
Contoh 5 Jika w = x 2 + y 2 + z 2 + xy , di mana x = st, y = s − t, dan z = s + 2t, tentukan
∂w ∂t .
Penyelesaian: ∂w ∂w dx ∂w dy ∂w dz = + + ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt = (2x + y )(s) + (2y + x)(−1) + (2z)(2) = (2st + s − t)(s) + (2s − 2t + st)(−1) + (2s + 4t)(2) = 2s 2 t + s 2 − 2st + 2s + 10t
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Aturan Rantai dan Fungsi Implisit
Aturan Rantai Turunan Fungsi Implisit
Turunan Fungsi Implisit Andaikan F (x, y ) = 0 mendefinisikan y secara implisit sebagai sebuah fungsi untuk x, misalnya y = g (x), tetapi fungsi g tersebut sulit atau tidak mungkin untuk ditentukan. Kita masih dapat menentukan dy dx . Dengan mendiferensialkan kedua ruas dari F (x, y ) = 0 terhadap x dengan Aturan Rantai, kita memperoleh ∂F dx ∂F dy + =0 ∂x dx ∂y dx Dengan menyelesaikan
dy dx
akan dihasilkan rumus dy ∂F /∂x =− dx ∂F /∂y
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Aturan Rantai dan Fungsi Implisit
Aturan Rantai Turunan Fungsi Implisit
Contoh 6 Tentukan dy /dx jika x 3 + x 2 y − 10y 4 = 0 dengan menggunakan a. Aturan Rantai b. Pendiferensialan implisit
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Aturan Rantai dan Fungsi Implisit
Aturan Rantai Turunan Fungsi Implisit
Contoh 6 Tentukan dy /dx jika x 3 + x 2 y − 10y 4 = 0 dengan menggunakan a. Aturan Rantai b. Pendiferensialan implisit Penyelesaian: a. Misalkan F (x, y ) = x 3 + x 2 y − 10y 4 , maka dy ∂F /∂x 3x 2 + 2xy =− =− 2 dx ∂F /∂y x − 40y 3 b. Diferensialkan kedua ruas terhadap x 3x 2 + x 2
dy dy + 2xy − 40y 3 =0 dx dx
Selesaikan dy dx dan akan diperoleh hasil sama seperti dengan Aturan Rantai. Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Aturan Rantai dan Fungsi Implisit
Aturan Rantai Turunan Fungsi Implisit
Jika z adalah sebuah fungsi implisit dari x dan y yang didefinisikan oleh persamaan F (x, y , z) = 0, maka pendiferensialan kedua ruas terhadap x, dengan mempertahankan agar nilai y tetap, akan menghasilkan ∂F ∂x ∂F ∂y ∂F ∂z + + =0 ∂x ∂x ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z Jika kita menyelesaikan ∂x dan memperhatikan bahwa ∂y ∂x = 0, maka kita akan memperoleh persamaan berikut. Perhitungan yang sama juga berlaku untuk rumus kedua
∂z ∂F /∂x ∂z ∂F /∂y =− , =− ∂x ∂F /∂z ∂y ∂F /∂z
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Aturan Rantai dan Fungsi Implisit
Aturan Rantai Turunan Fungsi Implisit
Contoh 7
Jika F (x, y , z) = x 3 e y +z − y sin (x − z) = 0 mendefinisikan z ∂z . secara implisit dari fungsi x dan y , tentukan ∂x
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Aturan Rantai dan Fungsi Implisit
Aturan Rantai Turunan Fungsi Implisit
Contoh 7
Jika F (x, y , z) = x 3 e y +z − y sin (x − z) = 0 mendefinisikan z ∂z . secara implisit dari fungsi x dan y , tentukan ∂x Penyelesaian: ∂F /∂x 3x 2 e y +z − y cos (x − z) ∂z =− = − 3 y +z ∂x ∂F /∂z x e + y cos (x − z)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I