Kalkulus Multivariabel I Kalkulus Vektor: Medan Vektor Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 11
Medan Vektor
Medan Vektor
Medan Vektor
Perhatikan sebuah fungsi F yang menghubungkan sebuah vektor F(p) dengan setiap titik p dalam ruang berdimensi-n. Contoh yang khas dalam ruang berdimensi dua adalah 1 1 F(p) = F(x, y ) = − y i + xj 2 2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 11
Medan Vektor
Medan Vektor
Berdasarkan sejarahnya, kita menyebut fungsi seperti ini sebagai medan vektor. Bayangkan setiap titik p pada sebuah daerah ruang dikenai sebuah vektor F(p) yang memancar dari p. Kita tidak dapat menggambar seluruh vektor ini, tetapi sebuah contoh yang cukup mewakili dapat memberikan gambaran pemahaman yang baik tentang medan vektor. Gambar 3.1 merupakan gambaran untuk medan vektor F(x, y ) = − 12 y i + 12 xj.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 11
Medan Vektor
Medan Vektor
Medan vektor ini merupakan medan kecepatan dari putaran roda pada laju konstan sebesar 21 radian per satuan waktu (lihat Contoh).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 11
Medan Vektor
Medan Vektor
Contoh: Tunjukkan bahwa setiap vektor dari medan vektor 1 1 F (x, y ) = − y i + xj 2 2 menyinggung sebuah lingkaran yang berpusat di titik asal dan mempunyai panjang setengah jari-jari lingkaran tersebut.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 11
Medan Vektor
Medan Vektor
Penyelesaian: Jika r = xi + y j adalah vektor posisi dari titik (x, y ), maka 1 1 r.F(x, y ) = − xy + xy = 0 2 2 Jadi, F(x, y ) tegak lurus terhadap r, dan dengan demikian menyinggung lingkaran yang berjari-jari |r| tersebut. Maka s 2 1 1 1 2 |F(x, y )| = + = |r| − y x 2 2 2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 11
Medan Vektor
Gradien dari Medan Skalar
Gradien dari Medan Skalar
Misalkan f (x, y , z) menentukan sebuah medan skalar dan andaikan f dapat didiferensialkan. Maka gradien dari f , dilambangkan dengan ∇f , adalah medan vektor yang dinyatakan dengan F(x, y , z) = ∇f (x, y , z) =
∂f ∂f ∂f i+ j+ k ∂x ∂y ∂z
Sebuah medan vektor F yang merupakan gradien dari medan skalar f disebut medan vektor konservatif, dan f adalah fungsi potensial-nya.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 11
Medan Vektor
Gradien dari Medan Skalar
Contoh: Misalkan F adalah gaya yang dihasilkan dari hukum kuadrat invers, yakni, misalkan r xi + y j + zk F(x, y , z) = −c 3 = −c 2 |r| (x + y 2 + z 2 )3/2 di mana c adalah konstanta. Tunjukkan bahwa f (x, y , z) =
c = c(x 2 + y 2 + z 2 )−1/2 (x 2 + y 2 + z 2 )1/2
adalah fungsi potensial untuk F, dan oleh karenanya F bersifat konservatif (untuk r 6= 0).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 11
Medan Vektor
Gradien dari Medan Skalar
Penyelesaian: ∂f ∂f ∂f i+ j+ k ∂x ∂y ∂z c = − (x 2 + y 2 + z 2 )−3/2 (2xi + 2y j + 2zk) 2 = F(x, y , z)
∇f (x, y , z) =
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 11
Medan Vektor
Latihan
Latihan
1. Tentukan ∇f a. f (x, y , z) = x 2 − 3xy + 2z b. f (x, y , z) = sin(xyz) c. f (x, y , z) = y 2 e −2z
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 11
Medan Vektor
Latihan
2. Sebuah benda dengan massa m, yang berputar dalam orbit melingkar dengan kecepatan sudut yang konstan ω, dikenai gaya sentrifugal yang dinyatakan dengan F(x, y , z) = mω 2 r = mω 2 (xi + y j + zk) Tunjukkan bahwa 1 f (x, y , z) = mω 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 adalah sebuah fungsi potensial untuk F.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 11
Medan Vektor
Pustaka
Pustaka
Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga. Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem of Advanced Calculus. Schaum Outline Series. New York: Mc Graw-Hill. Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus , Jilid 2. Jakarta : Erlangga. Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 Solved Problems in Calculus. New York: Mc Graw-Hill.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 11