KALKULUS MATERI UAS TPB IPB BAB I INTEGRAL

Tim Olimpiade Sains IPB

tosi-ipb.blogspot.com KALKULUS MATERI UAS TPB IPB

Pokok Bahasan: BAB I INTEGRAL BAB II FUNGSI TRANSENDEN BAB III TEKNIK PENGINTEGRALAN BAB IV PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

BAB I INTEGRAL

A. Integral Tak Tentu Aturan 1.

𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝐶, dengan a adalah konstanta

2.

𝑥 𝑟 𝑑𝑥 =

3.

[𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ] 𝑑𝑥 =

4.

sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶

5.

cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶

6.

sec 2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶

7.

csc 2 𝑥 𝑑𝑥 = −cot 𝑥 + 𝐶

𝑥 𝑟+1 𝑟+1

+ 𝐶, dengan 𝑟 ≠ −1 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

Contoh 1.1: 1 4 𝑥6 1 𝑥5 𝑥3 𝑥2 2 3𝑥 − 𝑥 + 7𝑥 + 𝑥 − 3 𝑑𝑥 = 3 − +7 + − 3𝑥 + 𝐶 2 6 2 5 3 2 5

=

𝑥6 𝑥5 7 3 𝑥2 − + 𝑥 + − 3𝑥 + 𝐶 2 10 3 2

Latihan 1.1 1.

3

𝑥 − 5𝑥 2 𝑑𝑥

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001

1

Tim Olimpiade Sains IPB 2. 3. 4.

tosi-ipb.blogspot.com

4𝑦 + 5𝑦 − 2 𝑑𝑦 2 𝑡+3𝑡 2

𝑑𝑡

𝑡

𝑢2 − sec 2 𝑢 𝑑𝑢

Latihan 1.2 Gunakan metode substitusi untuk menyelesaikan soal-soal berikut. 1. 2. 3. 4.

5.

sin 𝑥 𝑥

𝑑𝑥

, misalkan u= 𝑥

𝑧 sec 2 (3𝑧 2 − 1) 𝑑𝑥 , misalkan u=3𝑧 2 − 1 3

𝑟 2 − 2𝑟 + 1 𝑑𝑟

cos 3𝜃 sin 2 3𝜃

𝑑𝜃

1 1 sin(𝛾 ) cos(𝛾 ) 𝛾2

𝑑𝛾

B. Integral Tentu Aturan 1. Jika f kontinu pada [a,b], maka f terintegralkan pada [a,b] 2.

𝑎 𝑎

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0

3.

𝑏 𝑎

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = −

4.

𝑏 𝑎

𝑘𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘

5.

𝑏 [𝑓 𝑎

6.

𝑏 𝑎

𝑎 𝑏

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, dengan k adalah konstanta

𝑥 ± 𝑔 𝑥 ] 𝑑𝑥 =

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =

𝑐 𝑎

𝑏 𝑎

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ±

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 +

𝑏 𝑐

𝑏 𝑎

𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, dengan a < c < b

7. Jika 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka

𝑏 𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0

8. Jika 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka

𝑏 𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥

9. Jika 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 10.

𝑎 −𝑎

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 2

11.

𝑎 −𝑎

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0, untuk f fungsi ganjil [𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)]

12.

𝑏+𝑝 𝑎 +𝑝

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =

𝑎 0

𝑏 𝑎

𝑏 𝑎

𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, untuk f fungsi genap [𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥)]

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, jika f periodik dengan periode p


2



Latihan 1.3 3

(3𝑥 + 1)3 𝑑𝑥

1. 0 1

𝑥+2 𝑑𝑥 (𝑥 2 + 4𝑥 + 1)2

2. 0

𝜋/6

3. 0 2

sin 𝜃 𝑑𝜃 cos 3 𝜃

1 1+ 𝑦

4. 1

2

1 𝑑𝑦 𝑦2

𝜋

5.

sin 𝜃 + cos 𝜃 𝑑𝜃 −𝜋 1

6.

𝑥3 𝑑𝑥 2 4 −1 (1 + 𝑥 )

7. Hitung tiap integral berikut. a) b) c)

4 0 4 0

𝑥 − 1 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥

4 (𝑥 0

− 𝑥 ) 𝑑𝑥

Petunjuk: pertama sketsa grafiknya 8. Andaikan 𝑓 𝑥 = 𝑓(−𝑥), 2 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 0

𝑓(𝑥) ≤ 0,

𝑔 −𝑥 = −𝑔(𝑥),

2 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 0

= −4 dan

= 5. Hitung tiap integral berikut.

a)

2 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 −2

b)

2 −2

c)

2 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 −2

d)

2 [𝑓 −2

𝑥 − 𝑓 −𝑥 ] 𝑑𝑥

e)

2 [2𝑔 0

𝑥 + 3𝑓 𝑥 ] 𝑑𝑥

f)

0 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 −2

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

9. Jika f kontinu dan

4 𝑓 0

𝑥 𝑑𝑥 = 10, carilah

10. Jika f kontinu dan

9 𝑓 0

𝑥 𝑑𝑥 = 4, carilah


2 𝑓 0

2𝑥 𝑑𝑥 .

3 𝑥𝑓 0

𝑥 2 𝑑𝑥.

3



Aturan (Lanjutan) 13. (Pendiferensialan suatu Integral Tentu / TDK 1). Andaikan f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan andaikan x sebuah (peubah) titik dalam [a,b], maka 𝑥

𝐷𝑥

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥) 𝑎

Latihan 1.4 Untuk soal no.1 s/d 4, carilah G’(x) 1. 𝐺 𝑥 =

𝑥 (2𝑡 −6

2. 𝐺 𝑥 =

𝜋/4 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢, 𝑥

3. 𝐺 𝑥 =

𝑥 2 +1 1

4. 𝐺 𝑥 =

𝑥3 𝑥 𝑑2

5. Carilah 𝑑 𝑥 2

+ 1) 𝑑𝑡 −𝜋/2 < 𝑥 < 𝜋/2

2 + sin 𝑣 𝑑𝑣

1 + 𝑡 4 𝑑𝑡 𝑥 0

sin 𝑦 1

1 + 𝑧 4 𝑑𝑧 𝑑𝑦

C. Penggunaan Integral (Luas Daerah Bidang Rata dan Nilai Rata-rata fungsi ) 1. Luas Daerah Bidang Rata (i) Daerah di atas sumbu x y y = f(x) 𝐴=

𝑏 𝑎

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

, missal u= a (ii)

b

x

Daerah di kanan sumbu y Jika 𝑔(𝑦) berada di kanan sumbu y untuk selang [a,b], maka luas antara 𝑔(𝑦) dan sumbu y 𝑏

𝐴=

𝑔(𝑦) 𝑑𝑦 𝑎

(iii) Daerah antara dua kurva y

y = f(x)

𝐴=

𝑏 [𝑓(𝑥) 𝑎

− 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥

y = g(x)

a Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001

b

x 4



𝐴=

𝑑 [𝑓(𝑦) 𝑐

− 𝑔(𝑦)]𝑑𝑦

Latihan 1.5 1. Carilah luas daerah yang di batasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥 3 , 𝑦 = 0, 𝑥 = −1, 𝑥 = 2 2. Dengan menggunakan integral, tentukan luas segitiga yang titik-titik sudutya adalah (-1, 4), (2, -2), dan (5, 1) 3. Carilah bilangan a sedemikian sehingga garis 𝑦 = 𝑎 membagi daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥 2 dan 𝑦 = 4 menjadi 2 daerah dengan luas sama. 2. Nilai Rata-rata fungsi (i) Nilai rata-rata f pada interval [a,b] diberika oleh, 𝑏 1 𝑓𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑏−𝑎 𝑎 (ii) Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral. Jika f kontinu pada, maka terdapat suatu bilangan c antara a dan b sedemikian sehingga 𝑏

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓 𝑐 (𝑏 − 𝑎) 𝑎

Latihan 1.6 1. Tentukan nilai rata-rata fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 2 , pada selang [0,2] 2. Cari c dari Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral untuk 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 pada [-4,-1] Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001

5



D. Jumlah Riemann (definisi integral tentu) Pandang sebuah fungsi f yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b]. untuk menghitung integralnya, dapat dihampiri dengan memilah luasan di bawah kurva menjadi poligonpoligon. Terdapat tiga cara untuk menghitung luasan tersebut. (i) Menggunakan titik ujung kanan pada tiap poligon

𝑛

𝐴 = lim

𝑛 →∞

(ii)

𝑓(𝑥𝑖 ) ∆𝑥,

dengan ∆𝑥 =

𝑖=1

𝑏−𝑎 dan 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥 𝑛

Menggunakan titik ujung kiri pada tiap poligon 𝑛

𝐴 = lim

𝑛 →∞

𝑓(𝑥𝑖−1 ) ∆𝑥 𝑖=1

(iii) Menggunakan titik tengah pada tiap poligon

𝑛

𝑓(𝑥𝑖∗ ) ∆𝑥, dengan 𝑥𝑖∗ =

𝐴 = lim

𝑛 →∞


𝑖=1

𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 2 6



Beberapa jumlah khusus: 𝑛

𝑐 = 𝑛𝑐 𝑖=1 𝑛

𝑖= 𝑖=1

𝑛(𝑛 + 1) 2

𝑛

𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1) 6

𝑖2 = 𝑖=1 𝑛

𝑛(𝑛 + 1) 2

𝑖3 = 𝑖=1 𝑛

2

𝑛 𝑛 + 1 (6𝑛3 + 9𝑛2 + 𝑛 − 1) 30

𝑖4 = 𝑖=1

Latihan 1.7

1. Gunakan definisi integral tentu untuk menghitung nilai integral berikut. 2

(𝑥 2 − 𝑥) 𝑑𝑥

𝑎) 0

2

(2𝑥 2 + 1) 𝑑𝑥

𝑏) −1

2. Hitung tiap limit berikut dengan mengenalinya sebagai integral tentu. 𝑛

𝑎) lim

𝑛 →∞

𝑖=1 𝑛

𝑏) lim

𝑛 →∞

4𝑖 4 ∙ 𝑛 𝑛 1+

𝑖=1

2𝑖 𝑛


2

2 𝑛

7


tosi-ipb.blogspot.com BAB II FUNGSI TRANSENDEN

A. Logaritma Natural danEksponen Aturan 𝑥

1) ln 𝑥 = 1

2)

1 𝑑𝑡, 𝑡

𝑥>0

𝑑 1 𝑑 𝑓 ′ (𝑥) ln 𝑥 = , atau ln 𝑓(𝑥) = 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑓(𝑥)

3) sifat logaritma: a) ln 𝑥𝑦 = ln 𝑥 + ln 𝑦 𝑥 b) ln = ln 𝑥 − ln 𝑦 𝑦 c) ln 𝑥 𝑟 = 𝑟 ln 𝑥 4) ln e = 1, dengan e adalah bilangan riil positif 5) 𝑒 ln 𝑥 = 𝑥, 𝑥 > 0 𝑑 𝑥 𝑑 𝑓(𝑥) 𝑒 = 𝑒 𝑥 , atau 𝑒 = 𝑒 𝑓(𝑥) ∙ 𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 7) fungsi eksponen umum 6)

𝑎) 𝑎 𝑥 = 𝑒 𝑥 ln 𝑎 𝑑 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑥 ln 𝑎 𝑑𝑥 𝑎𝑥 𝑐) 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = +𝐶 ln 𝑥 𝑏)

Latihan 2.1 1. Hitunglah: a) 𝐷𝑥 ln(𝑥 3 − 2𝑥) b) 𝐷𝑥 ln sin 𝑥 2

c) 𝐷𝑥 𝑦 untuk 𝑦 = 𝑥 𝑥 ,dan 𝑒 𝑥𝑦 + 𝑦 = 2 2. Hitunglah : 𝑎)

1 𝑑𝑥 3𝑥

𝑏)

1 𝑑𝑥 7𝑥 − 2


8



𝑡3 𝑑𝑡 𝑡4 − 1

𝑐)

1

𝑑)

𝑦(1 − 𝑦)

𝑑𝑦

B. Invers Trigonometri Aturan 1. 𝐷𝑥 sin−1 𝑥 =

1

1

𝑑𝑥 = sin−1 𝑥 + 𝐶 1 − 𝑥2 1 − 𝑥2 1 1 2. 𝐷𝑥 cos −1 𝑥 = − , atau 𝑑𝑥 = − cos −1 𝑥 + 𝐶 1 − 𝑥2 1 − 𝑥2 1 1 3. 𝐷𝑥 tan−1 𝑥 = , atau 𝑑𝑥 = tan−1 𝑥 + 𝐶 1 + 𝑥2 1 + 𝑥2 , atau

Latihan 2.2 1. Carilah dy/dx untuk soal-soal berikut. a) 𝑦 = sin−1 (𝑥 2 ) 1

b) 𝑦 = tan−1 (𝑒 𝑥 ) 2

2. Hitung integral berikut. 𝜋 /2

𝑎) 0

sin 𝑥 𝑑𝑥 1 + cos 2 𝑥

𝑏)

1 𝑑𝑥 1 + 4𝑥 2

𝑐)

𝑒𝑥 𝑑𝑥 1 + 𝑒 2𝑥


9


tosi-ipb.blogspot.com BAB III TEKNIK PENGINTEGRALAN

A. Integral Parsial Aturan 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −

𝑣 𝑑𝑢, pengintegralan parsial integral taktentu

𝑏

𝑏

𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣

𝑏 𝑎

−

𝑎

𝑣 𝑑𝑢, pengintegralan parsial integral tentu 𝑎

Contoh 3.1: 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥.

Tentukan

Penyelesaian Missal 𝑢 = 𝑥 dan 𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥. Jadi 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 dan 𝑣 =

cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥,

sehingga 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 − 𝑢

𝑑𝑣

𝑢

𝑣

sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑣

𝑑𝑢

= 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶

Latihan 3.1 1.

𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥

2.

𝑥 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥

3.

sin−1 𝑥 𝑑𝑥

B. Substitusi Trigonometri Bentuk

Substitusi

𝑎2 − 𝑥 2

𝑥 = 𝑎 sin 𝜃 ,

𝑎2 + 𝑥 2

𝑥 = 𝑎 tan 𝜃 ,

𝑥 2 − 𝑎2

𝑥 = 𝑎 sec 𝜃 ,

Kesamaan 𝜋 𝜋 ≤𝜃≤ 2 2 𝜋 𝜋 − <𝜃< 2 2 𝜋 0≤𝜃≤ 2 3𝜋 atau 𝜋 ≤ 𝜃 ≤ 2 −

1 − sin2 𝜃 = cos 2 𝜃 1 + tan2 𝜃 = sec 2 𝜃

sec 2 𝜃 − 1 = tan2 𝜃

Latihan 3.2 Dengan menggunakan substitusi trigonometri, selesaikan integral berikut. 1.

1 𝑥2

𝑥2 − 9

𝑑𝑥


10


2. 3.


𝑥 3 9 − 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥3 𝑥2 + 9

𝑑𝑥

C. Pengintegralan Fungsi Rasional (i) Jika 𝑓 𝑥 = 𝑝(𝑥)/𝑞(𝑥) dan derajat 𝑝(𝑥) ≥ derajat 𝑞(𝑥), maka bagilah terlebih dahulu 𝑝(𝑥) dengan 𝑞(𝑥), sehingga 𝑓 𝑥 =

𝑝(𝑥) 𝑟(𝑥) =𝑠 𝑥 + 𝑞(𝑥) 𝑞(𝑥)

dengan p, q, s dan r adalah polinom. Contoh 3.2: 𝑥3 + 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥−1 =

𝑥2 + 𝑥 + 2 +

2 𝑑𝑥 𝑥−1

𝑥3 𝑥2 + + 2𝑥 + 2 ln 𝑥 − 1 + 𝐶 3 2

(ii) Jika 𝑞(𝑥) hasil kali faktor linier yang berdeda tanpa ada faktor yang berulang 𝑞 𝑥 = 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 ⋯ (𝑎𝑘 𝑥 + 𝑏𝑘 ) maka 𝑟(𝑥) 𝐴1 𝐴2 𝐴𝑘 = + + ⋯+ 𝑞(𝑥) 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑎𝑘 𝑥 + 𝑏𝑘 Contoh 3.3: Carilah

5𝑥 + 3 𝑑𝑥 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥

Penyelesaian Uraikan penyebut 𝑥 𝑥 + 1 (𝑥 − 3), sehingga

𝑥3

5𝑥 + 3 𝐴 𝐵 𝐶 = + + 2 − 2𝑥 − 3𝑥 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 − 3

Kita berusaha menemukan A, B, C. kita hilangkan pecahan 5𝑥 + 3 = 𝐴 𝑥 + 1 𝑥 − 3 + 𝐵 𝑥 𝑥 + 1 + 𝐶 𝑥 (𝑥 + 1) Substitusi nilai x = 0, x = -1, x = 3, kita peroleh 3 = 𝐴 −3 ,

−2 =𝐵 4 ,

18 = 𝐶(12)

atau A = -1, B = -1/2, C = 3/2, sehingga Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001

11



5𝑥 + 3 𝑑𝑥 = − 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥

1 1 𝑑𝑥 − 𝑥 2

1 3 𝑑𝑥 + 𝑥+1 2

1

1 𝑑𝑥 𝑥−3

3

= − ln 𝑥 − 2 ln 𝑥 + 1 + 2 ln 𝑥 − 3 + 𝐶 (iii) Penyebut 𝑞(𝑥) adalah hasil kali faktor linier, beberapa diantaranya berulang Untuk tiap faktor 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑘

dalam penyebut, penjabarannya adalah

𝐴1 𝐴2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑎𝑥 + 𝑏

2

𝐴3 𝑎𝑥 + 𝑏

+

3

+ ⋯+

𝐴𝑘 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑘

Contoh 3.4 : Hitunglah

𝑥 𝑥−3

2

𝑑𝑥

Penyelesaian Penjabaran pecahan parsialnya 𝑥 𝑥−3

2

=

𝐴 𝐵 + 𝑥−3 𝑥−3

2

Setelah penyebut-penyebut dihilangkan 𝑥 = 𝐴 𝑥−3 +𝐵 Jika kitta substitusi dengan nilai x = 3 dan nilai x lain sebarangg, misal x = 0, kita peroleh B = 3 dan A = 1 sehingga 𝑥 𝑥−3

2

𝑑𝑥 =

1 𝑑𝑥 + 3 𝑥−3

1 𝑥−3

2

𝑑𝑥

3

= ln 𝑥 − 3 − 𝑥+3 + 𝐶 Contoh 3.5: Hitunglah integral berikut. 3𝑥 2 − 8𝑥 + 13 𝑑𝑥 𝑥 + 3 (𝑥 − 1)2 Penyelesaian Kita jabarkan 3𝑥 2 − 8𝑥 + 13 𝐴 𝐵 𝐶 = + + 𝑥 + 3 (𝑥 − 1)2 𝑥 + 3 𝑥 − 1 𝑥−1

2

Setelah pecahan-pecahan dihilangkan 3𝑥 2 − 8𝑥 + 13 = 𝐴 𝑥 − 1

2

+ 𝐵 𝑥 + 3 𝑥 − 1 + 𝐶(𝑥 + 3)

Dengan substitusi x = 1, x = 3, dan x = 0 kita peroleh C = 2, A = 4 dan B = -1, sehingga 3𝑥 2 − 8𝑥 + 13 𝑑𝑥 = 4 𝑥 + 3 (𝑥 − 1)2 Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001

𝑑𝑥 − 𝑥+3

𝑑𝑥 +2 𝑥−1

𝑑𝑥 𝑥−1

2

12


tosi-ipb.blogspot.com 2

= 4 ln 𝑥 + 3 − ln 𝑥 − 1 − 𝑥−1 + 𝐾 (iv) Jika 𝑞(𝑥) mengandung faktor kuadratik yang tak dapat diuraikan, tak ada yang berulang Misalkan salah satu fakto 𝑞(𝑥) adalah 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dengan 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, maka akan terdapat suku 𝐴𝑥 + 𝐵 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑎𝑥 2 Contoh 3.6: 2𝑥 2 − 𝑥 + 4 𝑑𝑥 𝑥 3 + 4𝑥

Hitunglah

Penyelesaian Karena 𝑥 3 + 4𝑥 = 𝑥(𝑥 2 + 4) tidak dapat difaktorkan lebih jauh, kita tuliskan, 2𝑥 2 − 𝑥 + 4 𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶 = + 2 𝑥 3 + 4𝑥 𝑥 𝑥 +4 Setelah pecahan-pecahan dihilangkan 2𝑥 2 − 𝑥 + 4 = 𝐴 𝑥 2 + 4 + (𝐵𝑥 + 𝐶)𝑥 = (𝐴 + 𝐵)𝑥 2 + 𝐶𝑥 dengan menyamakan koefisien A + B = 2,

C = -1,

4A = 4 atau A = 1, B = 1, dan C = -1

Sehingga 2𝑥 2 − 𝑥 + 4 𝑑𝑥 = 𝑥 3 + 4𝑥

1 𝑑𝑥 + 𝑥 1

𝑥−1 𝑑𝑥 𝑥2 + 4 1

𝑥

= ln 𝑥 + 2 ln(𝑥 2 + 4) − 2 tan−1 (2 ) + 𝐾 Latihan 3.3 1. 2.

𝑥2 𝑑𝑥 𝑥+1 𝑦 𝑑𝑦 𝑦+1

3.

𝑥2 + 1 𝑑𝑥 𝑥2 − 1

4.

𝑥 2 − 2𝑥 − 1 𝑑𝑥 (𝑥 − 1)2 (𝑥 2 + 1)


13


tosi-ipb.blogspot.com SOAL LATIHAN (BAB I, BAB II, DAN BAB III)

1. Gunakan definisi integral tentu untuk menghitung integral berikut. a)

4 0

b)

2 −1

𝑥 2 − 1 𝑑𝑥

c)

2 −1

𝑥 2 + 𝑥 + 1 𝑑𝑥

2𝑥 + 3 𝑑𝑥

2. Hitunglah 1 𝑛 →∞ 𝑛

1 𝑛

𝑎) lim

𝑛

𝑏) lim

𝑛 →∞

𝑖=1 𝑛

𝑐) lim

𝑛→∞

𝑖=1

9

+

2 𝑛

9

3 𝑛

+

9

+ ⋯+

𝑛 𝑛

9

𝜋 𝜋𝑖 sin 𝑛 𝑛 2𝑖 2𝑖 1+ + 𝑛 𝑛

2

2 𝑛

3. Hitunglah integral berikut jika ada. −2

𝑦2 +

𝑎) −4 2

𝑏)

𝑥2

0

𝑥 −1

1 𝑑𝑥 𝑦3 2

𝑑𝑥

1

𝑦2 + 1

𝑐)

10

(2𝑦)𝑑𝑦

0

𝑑)

cos(1/𝑥) 𝑑𝑥 𝑥2

𝑒)

sin 𝑥 cos(cos 𝑥) 𝑑𝑥

𝑓)

cos(1/𝑥) 𝑑𝑥 𝑥2 𝑎

𝑥 𝑥 2 + 𝑎2 𝑑𝑥

𝑔) −𝑎 𝜋

𝑥 5 + sin 𝑥 𝑑𝑥

𝑕) −𝜋 8

𝑥 2 − 6𝑥 + 8 𝑑𝑥

𝑖) 0


14



2

𝑗)

𝑥 𝑑𝑥 0

4. Jika f kontinu pada [0, 1], buktikan 1

1

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =

𝑓(1 − 𝑥) 𝑑𝑥

0

0

5. Jika f terdiferensialkan sedemikian sehingga 𝑥

𝑥

𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑥 sin 𝑥 + 0

0

𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 1 + 𝑡2

untuk semua x, carilah rumus eksplisit untuk f(x) 6. Jika 𝑓 𝑥 =

𝑔(𝑥) 1 0 1+𝑡 2

7. Jika 𝑓 𝑦 =

𝑦 0

8. Jika 𝑦 =

𝑑𝑡 dengan 𝑔 𝑥 =

cos 𝑥 0

1 + sin 𝑡 2 𝑑𝑡, carilah 𝑓′(𝜋/2).

𝑦 2 sin 𝑡 2 𝑑𝑡, carilah 𝑑𝑓(𝑦)/𝑑𝑦.

𝑥 cos 𝜃 𝑥 𝜃

𝑑𝜃, carilah dy/dθ.

9. Sebuah daerah R dibatasi oleh garis 𝑦 = 3𝑥 dan parabola 𝑦 = 𝑥 2 . Tentukan luas daerah R dengan cara: a) Memakai x sebagai peubah pengintegralan b) Memakai y sebagai peubah pengintegralan 10. Jika f kontinu dan

3 1

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 8, perlihatkan bahwa f akan bernilai 4 paling sedikit satu

kali pada interval [1, 3] tersebut. 11. Tentukan bilangan b sedemikian sehingga nilai rata-rata 𝑓 𝑥 = 2 + 6𝑥 − 3𝑥 2 pada interval [0, b] sama dengan 3. 12. Di kota tertentu suhu (dalam oF), t dalam setelah pukul 9.00 dihampiri oleh fungsi 𝜋𝑡 12 Tentukan suhu rata-rata selama periode mulai dari pukul 9.00 sampai 21.00. 𝑇 𝑡 = 50 + 14 sin

13. Suhu batang logam sepanjang 5 m pada jarak x m dari salah satu sisi batang adalah 4x (oC). Berapa rata-rata suhu batang tersebut. 14. Kerapatan linier batang sepanjang 8 m adalah 12/ 𝑥 + 1 kg/m, dengan x diukur dalam meter dari salah satu ujung batang. Tentukan rata-rata kerapatan batang tersebut. 15. Jika 𝑓𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑎, 𝑏 adalah nilai rata-rata f pada selang [a, b] dan a < c < b, tunjukkan bahwa 𝑓𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑎, 𝑏 =


𝑐−𝑎 𝑏−𝑐 𝑓𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑎, 𝑐 + 𝑓 𝑐, 𝑏 𝑏−𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎

15



16. Jika sebuah benda jatuh bebas mulai bergerak dari keadaan diam, maka simpangannya 1

dapat dinyatakan sbagai 𝑠 = 2 𝑔𝑡 2 . Misalkan kecepatan setelah waktu T adalah vT. Tunjukkan bahwa jika menghitung rata-rata kecepatan terhadap t akan kita peroleh 1

𝑣𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 = 2 𝑣 𝑇 , akan tetapi jika menghitung rata-rata kecepatan terhadap s maka akan 2

diperoleh 𝑣𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 = 3 𝑣 𝑇 . 17. Carilah dy/dx dari fungsi berikut. 𝑒 3𝑥 𝑎) 𝑦 = 1 + 𝑒𝑥 𝑏) 𝑦 = cos(𝑒 𝜋𝑥 ) 𝑐) 𝑦 = cos(ln 𝑥) 𝑑) 𝑦 = log 3 (𝑥 2 − 4) 𝑒) 𝑦 = 10tan 𝑥 𝑓) 𝑦 = 23

𝑥2

𝑔) 𝑥 𝑦 = 𝑦 𝑥 𝑕) 𝑦 = arccos 𝑖) 𝑦 =

𝑏 + 𝑎 cos 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, 𝑎 + 𝑏 cos 𝑥

𝑎>𝑏>0

𝑥2 − 4 2𝑥 + 5

18. Hitung integral berikut. log10 𝑥 2 + 𝑥2𝑥 𝑑𝑥 𝑥

𝑎)

𝑥 5 + 5𝑥 +

𝑏)

𝑑𝑥 𝑥[4 + ln 𝑥 2 ]

𝑐)

tan 𝑥 ln(cos 𝑥) 𝑑𝑥

𝑑)

𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑥 + 1 ln(𝑒 𝑥 + 1)

𝑒)

𝑥5𝑥 𝑑𝑥

𝑓)

cos 𝑥 ln(sin 𝑥) 𝑑𝑥

𝑔)

𝑥 tan−1 𝑥 𝑑𝑥

𝑕)

sin 𝑥 𝑑𝑥


16

Tim Olimpiade Sains IPB 𝑖)


2

𝑥 5 𝑒 𝑥 𝑑𝑥

19. Hitung integral berikut dengan substitusi trigonometri. 𝑑𝑢

𝑎)

𝑢 5 − 𝑢2 𝑦 2 𝑑𝑦

𝑏)

(𝑎2 − 𝑦 2 )3 𝑑𝑢

𝑐)

9𝑢2

+ 6𝑢 − 8

𝑢2 𝑑𝑢

𝑑)

4𝑢 − 𝑢2

20. Hitung integral berikut dengan metode fraksi parsial. 1

𝑎) 0

𝑥 3 − 4𝑥 − 10 𝑑𝑥 𝑥2 − 𝑥 − 6 1 𝑑𝑥 𝑥 + 5 2 (𝑥 − 1)

𝑏) 2

𝑐) 1

𝑥2 + 3 𝑑𝑥 𝑥 3 + 2𝑥 𝑥 2 − 2𝑥 − 1 𝑑𝑥 𝑥 − 1 2 (𝑥 2 + 1)

𝑑)

2𝑥 3 + 5𝑥 𝑑𝑥 𝑥 4 + 5𝑥 2 + 4

𝑒)

𝑥−3 𝑥 2 + 2𝑥 + 4

𝑓)

1

𝑔)

𝑥 𝑥+1

𝑕)

𝑒 2𝑥

2

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 + 3𝑒 𝑥 + 2

21. Buktikan integral berikut. 𝑏

𝑎)

𝑏

𝑓 𝑦 𝑑𝑦 = 0 𝜋 /2

𝑏) 0

𝑓 𝑏 − 𝑦 𝑑𝑦 0

sin𝑛 𝑦 𝜋 𝑑𝑦 = , untuk setiap bilangan positif 𝑛 sin𝑛 𝑦 + cos 𝑛 𝑦 4


17



BAB IV PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Pada bab ini hanya akan dibahas persamaan diferensial terpisahkan orde satu. Orde suatu persamaan diferensial adalah turunan tertinggi dalam persamaan.

A. Persamaan Diferensial Terpisahkan Bentuk umum

𝑑𝑦 =𝑔 𝑥 𝑓 𝑦 𝑑𝑥

atau

1 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 atau 𝑕 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑓(𝑦)

Contoh 4.1: Carilah penyelesaian dari PD berikut. 𝑎)

𝑑𝑦 = 3𝑥 2 − 6𝑥 + 5 𝑑𝑥

𝑑𝑦 1 + 𝑦3 𝑏) + =0 𝑑𝑥 𝑥𝑦 2 (1 + 𝑥 2 ) 𝑐)

𝑑𝑦 − 𝑥𝑦 = 𝑥 𝑑𝑥

𝑑) 𝑦 1 − 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥 2 1 − 𝑦 𝑑𝑦 = 0

Penyelesaian 𝑎) 𝑑𝑦 = 3𝑥 2 − 6𝑥 + 5 𝑑𝑥 → sudah terpisahkan 𝑑𝑦 =

(3𝑥 2 − 6𝑥 + 5) 𝑑𝑥

𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5 + 𝐶 𝑏)

𝑑𝑦 1 + 𝑦3 =− 2 𝑑𝑥 𝑥𝑦 (1 + 𝑥 2 ) 𝑑𝑦 1 + 𝑦3 1 =− 𝑑𝑥 𝑦 2 𝑥(1 + 𝑥 2 ) 𝑦2 1 𝑑𝑦 = − 𝑑𝑥 → sudah terpisahkan 3 1+𝑦 𝑥(1 + 𝑥 2 ) 𝑦2 𝑑𝑦 = − 1 + 𝑦3 1 3

1 𝑑𝑥 𝑥(1 + 𝑥 2 )

1 𝑑(1 + 𝑦 3 ) = 1 + 𝑦3

1 𝑥 − + 𝑑𝑥 𝑥 1 + 𝑥2

1 1 ln 1 + 𝑦 3 = − ln 𝑥 + ln(1 + 𝑥 2 ) + 𝑐 3 2 2 ln 1 + 𝑦 3 + 6 ln 𝑥 − 3 ln(1 + 𝑥 2 ) = 6𝑐 Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001

18



1 + 𝑦3 2𝑥 6 ln = 6𝑐 (1 + 𝑥 2 )3 1 + 𝑦3 2𝑥 6 = 𝑒 6𝑐 (1 + 𝑥 2 )3 1 + 𝑦3 2𝑥 6 =𝐶 (1 + 𝑥 2 )3 𝑐)

𝑑𝑦 = 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑥(𝑦 + 1) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥 → sudah terpisahkan 𝑦+1 𝑑𝑦 = 𝑦+1

𝑥𝑑𝑥

1 ln 𝑦 + 1 = 𝑥 2 + 𝐶 2 𝑑) 𝑦 1 − 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥 2 1 − 𝑦 𝑑𝑦 = 0 𝑦 1 − 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 2 1 − 𝑦 𝑑𝑦 1−𝑥 1−𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 2 −𝑥 𝑦 −

1 1 + 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑥

1 − 1 𝑑𝑦 𝑦

1 + ln 𝑥 + 𝑐 = ln 𝑦 − 𝑦 𝑥 1 + 𝑦 + 𝑐 = ln 𝑦 − ln 𝑥 𝑥 1 𝑦 + 𝑦 + 𝑐 = ln 𝑥 𝑥 1 𝑦 = 𝐶𝑒 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 Latihan 4.1 1. Carilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut. 𝑎)

𝑑𝑦 1 + 𝑦 = 𝑑𝑥 2 + 𝑥

𝑑𝑦 𝑦 2 + 𝑥𝑦 2 𝑏) = 𝑑𝑥 𝑥 2 𝑦 − 𝑥 2


19

Tim Olimpiade Sains IPB 𝑐)


𝑑𝑦 − sin 𝑥 cos 𝑦 = 𝑑𝑥 tan 𝑦 cos 𝑥

𝑑𝑢 = 2 + 2𝑢 + 𝑡 + 𝑡𝑢 𝑑𝑡 𝑑𝑧 𝑒) + 𝑒 𝑡+𝑧 = 0 𝑑𝑡 2. Carilah solusi khusus dari persamaan diferensial berikut. 𝑑)

𝑑𝑦 = 𝑦 2 + 1, 𝑦 1 = 0 𝑑𝑥 𝑑𝑃 𝑏) = 𝑃𝑡, 𝑃 1 = 2 𝑑𝑡 𝑎)

𝑐) 𝑦 ′ tan 𝑥 = 𝑎 + 𝑦,

𝑦 𝜋/3 = 𝑎,

0 < 𝑥 < 𝜋/2

B. Penerapan Persamaan Diferensial Pada bab ini akan dibahas tiga permasalahan yang menggunakan pemecahan persamaan diferensial, yaitu: Hukum Pendinginan Newton, peluruhan radioaktif, dan dinamika populasi.

1.

Hukum Pendinginan Newton Dari pengamatan eksperimen diketahui laju perubahan suhu permukaan suatu objek sebanding dengan suhu relatifnya (perbedaan antara suhu objek dan suhu lingkungan sekitarnya). Hal ini dikenal sebagai hukum Pendinginan Newton. Jika 𝜃(𝑡) adalah suhu objek pada waktu t, maka kita mempunyai 𝑑𝜃 = −𝑘(𝜃 − 𝑆) 𝑑𝑡 dimana S adalah suhu lingkungan sekitar. Persamaan di atas adalah persamaan diferensial orde satu. Jika pada kondisi awal 𝜃 0 = 𝜃0 , maka solusi diberikan oleh 𝜃 𝑡 = 𝑆 + (𝜃0 − 𝑆)𝑒 −𝑘𝑡 Oleh karena itu, kita dapat mencari k jika diketahui dua keadaan. Misalkan pada saat t1 suhu benda θ(t1) dan pada saat t2 suhu benda θ(t2), sehingga 𝜃 𝑡1 − 𝑆 = 𝑒 −𝑘 (𝑡1 −𝑡2 ) 𝜃 𝑡2 − 𝑆


20



yang berarti 𝑘 𝑡1 − 𝑡2 = − ln

𝜃 𝑡1 − 𝑆 , dengan 𝜃(𝑡) > 𝑆 𝜃 𝑡2 − 𝑆

Persamaan ini memungkinkan untuk menemukan k jika interval waktu

𝑡1 − 𝑡2

diketahui. Contoh 4.2: Waktu Kematian Misalkan mayat ditemukan di sebuah kamar motel di tengah malam dan suhunya adalah 800 𝐹. Suhu ruangan dijaga konstan pada 600 𝐹. Dua jam kemudian suhu mayat itu turun ke 750 𝐹. Carilah waktu kematiannya. Penyelesaian : Pertama kita menggunakan suhu pengamatan mayat itu untuk menemukan konstanta k. kita punya 1 75 − 60 𝑘 = − ln = 0,1438 2 80 − 60 Untuk menemukan waktu kematian kita perlu ingat bahwa suhu mayat pada saat tepat sebelum meninggal adalah 98,60 𝐹 (dengan asumsi bahwa orang yang meninggal itu tidak sakit! [98,60F = 370C]). Lalu kita punya 1 98,6 − 60 𝑡𝑑 = − ln = −4,57 Jam 𝑘 80 − 60 yang berarti bahwa kematian terjadi sekitar pukul 07:26 malam [asumsikan tengah malam pukul 00:00 (untuk mempermudah perhitungan, gunakan 24:00)] 2. Peluruhan Radioaktif Banyak bahan radioaktif meluruh sebanding dengan jumlah radioaktif. Sebagai contoh, jika X adalah bahan radioaktif dan N(t) adalah jumlah yang tersisa pada waktu t, maka laju perubahan N(t) terhadap waktu t diberikan oleh 𝑑𝑁 = −𝜆𝑁 𝑑𝑡 dimana λ adalah konstanta positif (λ > 0).


21



Jika 𝑁 0 = 𝑁0 adalah kuantitas awal bahan X, maka kita mempunyai 𝑁 𝑡 = 𝑁0 𝑒 −𝜆𝑡 Jelas, untuk menentukan N(t), kita perlu menemukan konstanta λ. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan apa yang disebut waktu paruh 𝑇1 dari bahan X. 2

Waktu paruh adalah rentang waktu yang diperlukan untuk meluruhkan setengah dari materi. Jadi, kita mempunyai 𝑁 𝑇1 = 12𝑁0 dan dari perhitungan diperoleh 𝜆𝑇1 = 2

2

ln 2. Oleh karena itu, jika kita tahu 𝑇1 , kita bisa mendapatkan λ dan sebaliknya. 2

Banyak pada buku kimia yang menjelaskan waktu paruh dari beberapa bahan radioaktif. Sebagai contoh, waktu paruh Karbon-14 adalah 5568 ± 30 tahun. Oleh karena itu, konstanta λ yang terkait dengan Karbon-14 adalah 1,244 𝑥 10−4 . Sebagai catatan, Carbon-14 adalah alat penting dalam penelitian arkeologi yang dikenal sebagai radiokarbon. Contoh 4.3: Sebuah isotop radioaktif memiliki waktu paruh 16 hari. Anda ingin memiliki 30 g setelah 30 hari. Berapa banyak radioisotop mula-mula? Penyelesaian: Ketika waktu paruh diberikan dalam satuan hari, kita akan mengukur waktu dalam hari. Misal N(t) adalah jumlah radioaktif pada waktu t dan jumlah radioaktif mulamula adalah 𝑁0 . Maka kita punya 𝑁 𝑡 = 𝑁0 𝑒 −𝜆𝑡 dimana λ adalah konstanta. Kita menggunakan waktu paruh 𝑇1 untuk menentukan λ. 2

Kita memiliki 𝜆=

1 1 ln 2 = ln 2 𝑇1 16 2

Oleh karena itu, 𝑁 30 = 30 = 𝑁0 𝑒 −𝜆(30) Kita peroleh 30

𝑁0 = 30𝑒 𝜆(30) = 30𝑒 16 ln 2 = 110,04 g


22



3. Dinamika Populasi Berikut adalah beberapa pertanyaan alam yang terkait dengan masalah populasi: • Bagaimana populasi penduduk suatu negara tertentu dalam sepuluh tahun? • Bagaimana

kita

melindungi

sumber

daya

dari

kepunahan?

Untuk menggambarkan penggunaan persamaan diferensial sehubungan dengan masalah ini kita mempertimbangkan model matematika termudah yang ditawarkan untuk mengatur dinamika populasi dari suatu spesies tertentu. Hal ini biasa disebut model eksponensial, yaitu tingkat perubahan penduduk sebanding dengan populasi yang ada. Dengan kata lain, jika P(t) adalah tingkat populasi, kita tuliskan 𝑑𝑃 = 𝑘𝑃 𝑑𝑡 dimana k adalah konstanta. Hal ini cukup mudah untuk melihat bahwa jika k > 0, maka terdapat pertumbuhan, dan sebaliknya jika k < 0. Ini adalah persamaan linier yang mempunyai pemecahan 𝑃 𝑡 = 𝑃0 𝑒 −𝑘𝑡 dimana 𝑃0 adalah populasi awal, misalkan 𝑃 0 = 𝑃0 . Oleh karena itu, kita simpulkan sebagai berikut: • jika k > 0, maka populasi bertambah dan terus berkembang hingga tak terbatas, yaitu lim 𝑃(𝑡) = +∞

𝑡→∞

• jika k < 0, maka penduduk akan menyusut dan cenderung 0. Dengan kata lain kita sedang menghadapi kepunahan.

Jelas, kasus pertama, k > 0, tidak memadai. Alasan utama untuk ini ada hubungannya dengan keterbatasan lingkungan. Pertumbuhan penduduk dibatasi oleh beberapa faktor. Ketika suatu populasi jauh dari batas, pertumbuhan itu dapat tumbuh dengan pesat. Namun, ketika mendekati batas-batasnya, ukuran populasi dapat berfluktuasi, bahkan berantakan. Model lain adalah diusulkan untuk memperbaiki cacat dalam model eksponensial. Hal ini disebut model logistik (disebut juga model VerhulstPearl). Persamaan diferensial untuk model ini adalah 𝑑𝑃 𝑃 = 𝑘𝑃 1 − 𝑑𝑡 𝑀


23



di mana M adalah ukuran pembatas populasi (juga disebut daya dukung). Jelas, bila P lebih kecil dibandingkan dengan M. Solusi konstan diperoleh jika P = 0 dan P = M. Solusi dapat diperoleh dengan memisahkan variabel 𝑑𝑃

= 𝑘𝑑𝑡

𝑃 𝑃 1−𝑀 dan integralkan 𝑑𝑃

=

𝑃 𝑃 1−𝑀

𝑘𝑑𝑡

teknik fraksi parsial memberikan 𝑑𝑃

=

𝑃 𝑃 1−𝑀

1 1/𝑀 + 𝑑𝑃 𝑃 1−𝑃 𝑀

yang memberikan ln |𝑃| − ln 1 −

𝑃 = 𝑘𝑡 + 𝐶 𝑀

dengan manipulasi aljabar diperoleh 𝑃 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 , karena 𝑃 > 0 dan 𝑃/𝑀 < 1 1−𝑃 𝑀 di mana C adalah konstanta. Penyelesaian untuk P, kita dapatkan 𝑀𝐶𝑒 𝑘𝑡 𝑃= 𝑀 + 𝐶𝑒 𝑘𝑡 Jika kita mempertimbangkan kondisi awal 𝑃 0 = 𝑃0 (dengan asumsi bahwa 𝑃0 tidak sama dengan baik 0 atau M), kita dapatkan 𝐶=

𝑃0 𝑀 𝑀 − 𝑃0

yang, setelah diganti ke ekspresi untuk P(t) dan disederhanakan, kita peroleh 𝑃(𝑡) =

𝑀𝑃0 𝑃0 + (𝑀 − 𝑃0 )𝑒 −𝑘𝑡

Sangat mudah untuk melihat bahwa lim 𝑃(𝑡) = 𝑀

𝑡→∞


24



Namun, hal ini masih belum memuaskan karena model ini tidak memberitahu kita ketika suatu populasi menghadapi kepunahan. Bahkan dimulai dengan populasi kecil akan selalu cenderung daya dukung M.

Latihan 4.2 1. Suatu populasi dimodelkan dengan persamaan diferensial 𝑑𝑃 𝑃 = 1,2𝑃 1 − 𝑑𝑡 4200 a) Untuk nilai P berapakah populasi bertambah? b) Untuk nilai P berapakah populasi berkurang? c) Bagaimana solusi kesetimbangannya?

2. Suatu larutan glukosa disalurkan ke dalam aliran darah dengan laju konstan r. pada saat glukosa ditambahkan, glukosa tersebut diubah menjadi zat lain dan dibuang dari aliran darah dengan laju sebanding dengan konsentrasinya pada saat itu. Jadi, model untuk konsentrasi larutan glukosa C = C(t) dalam aliran darah adalah 𝑑𝐶 = 𝑟 − 𝑘𝐶 𝑑𝑡 dengan k konstanta positif. Misalkan konsentrasi pada saat t = 0 adalah C0. Tentukan konsentrasi pada waktu t dengan menyelesaikan persamaan diferensial di atas.

3. Hukum Pendinginan Newton menyatakan bahwa laju pendinginan suatu benda sebanding dengan selisih suhu benda dan suhu sekitarnya. Misalkan seekor ayam panggang dikeluarkan dari oven ketika suhunya telah mencapai 185 oF dan ditempatkan di atas meja dalam ruang bersuhu 75 oF. Jika u(t) adalah suhu ayam setelah t menit, maka Hukum Pendinginan Newton mengimplikasikan 𝑑𝑢 = 𝑘(𝑢 − 75) 𝑑𝑡 a) Carilah penyelesaian dari persamaan diferensial tersebut. b) Jika suhu ayam adalah 150 oF setelah setengah jam, berapakah suhunya setelah 45 menit? c) Kapan ayam akan mendingin hingga 100 oF? Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001

25



4. Percobaan kimia menunjukaan bahwa jika reaksi kimia 1 N2 O5 → 2NO2 + O2 2 berlangsung pada 45 oC, laju reaksi dinitrogen pentoksida sebanding dengan konsentrasinya sebagai berikut: −

𝑑[N2 O5 ] = 0,0005[N2 O5 ] 𝑑𝑡

a) Tentukan rumus untuk konsentrasi [N2 O5 ] setelah t detik jika konsentrasi awalnya adalah C. b) Berapa lama reaksi akan berlangsung untuk mereduksi konsentrasi N2 O5 hingga menjadi 90% dari nilai awalnya?

5. Laju perubahan tekanan atmosfer P terhadap ketinggian h sebanding dengan P, selama suhunya konstan. Pada suhu 15 oC tekanannya adalah 101,3 kPa pada permukaan laut dan 87,14 kPa pada h = 1000 m. a) Berapa tekanan pada ketinggian 3000 m? b) Berapa tekanan di puncak gunung McKinley, pada ketinggian 6187 m?

6. Setelah 3 hari suatu sampel radon-222 meluruh hingga 58% dari massa awalnya. a) Berapa waktu-paruh radon-222 ? b) Berapa lama diperlukan oleh sampel tersebut untuk meluruh hingga 10% dan massa awalnya?

7. Ilmuan dapat menentukan umur benda kuno dengan metode yang disebut penentu waktu radiokarbon. Penghantaman atmosfer bagian atas oleh sinar kosmik mengubah nitrogen menjadi isotop radioaktif karbon,

14

C, dengan waktu-paruh

sekitar 5730 tahun. Sayuran menyerap karbon dioksida melalui atmosfer dan hewan mengasimilasi

14

C melalui rantai makanan. Ketika tanaman atau hewan

mati, ia berhenti mengganti karbonnya dan banyaknya 14C mulai menurun melalui peluruhan radioaktif. Jadi, tingkat keradioaktifan pun akan meluruh secara eksponensial. Suatu tragmen naskah kuno ditemukan mempunyai sekitar 74% dari keradioaktifan

14

C yang dimiliki tanaman di bumi saat ini. Perkirakan umur

naskah tersebut.


26



8. Tinjau populasi P = P(t) dengan laju kelahiran dan kematian relatif berturut-turut α dan β, dan laju emigrasi konstan sebesar m, dengan α, β, dan m konstanta positif. Asumsikan bahwa α > β. Maka laju perubahan populasi pada saat t dimodelkan oleh persamaan diferensial 𝑑𝑃 = 𝑘𝑃 − 𝑚 di mana 𝑘 = 𝛼 − 𝛽 𝑑𝑡 a) Tentukan solusi dari persamaan ini yang memenuhi syarat awal P(0) = P0. b) Apa syarat untuk m yang akan menyebabkan: (i) populasi konstan? (ii) penurunan populasi? c) Pada tahun 1847, populasi Irlandia adalah sekitar 8 juta dan selisih antara laju kelahiran dan kematian relatif adalah 1,6% dari populasi. Karena kelaparan kentang pada tahun 1840-an dan 1850-an, sekitar 210.000 penduduk per tahun beremigrasi dari Irlandia. Apakah populasi bertambah atau berkurang pada saat itu?


27

KALKULUS MATERI UAS TPB IPB BAB I INTEGRAL

Recommend Documents