KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN

KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY

IV. TURUNAN

KONSEP TURUNAN Turunan di satu titik Pendahuluan (dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :

f ( x)  f (c) mPQ  xc Jika x  c , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di titik P dgn kemiringan

m  lim xc

f(x) f(c) xc

Q

f(x)

f(x)-f(c) f(c)

P x-c c

x

b. Kecepatan Sesaat Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h). Perubahan waktu

Perubahan posisi

c

f(c)

c+h

f(c+h)

s

Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah f (c  h)  f (c) vratarata  h

Jika h

0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :

f (c  h)  f (c) h0 h

v  limvratarata  lim h0

Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk

v  lim xc

f(x)  f(c) xc

Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan Definisi 4.1 : Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi f ' (c) didefinisikan sebagai f '(c)  lim xc

f(x)  f(c) bila limit diatas ada x c

Notasi lain : df ( c ) , y' ( c ) dx

Contoh : Diketahui 1. f '(c)  lim xc

f(x)  f(c) x c

f(x)

1 x

tentukan f ' (3)

1 1  f(x)  f( 3 )  lim x 3 f'( 3 )  lim x3 x3 x  3 x3  ( x  3) 3 x  lim  lim x  3 3 x(x  3 ) x  3 3 x(x  3 ) 1 1  lim  x3 3 x 9

f (c  h)  f (c) 2. f '(c)  lim h0 h

f( 3  h)  f( 3 ) h 0 h 1 1  lim 3  h 3 h 0 h 3  (3  h ) 3(3  h ) lim h 0 h h 3(3  h ) lim h 0 h 1 1 lim  h  0 3(3  h ) 9

f'( 3 )  lim





 

TURUNAN SEPIHAK Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

f ' (c)  lim x c

f ( x )  f (c ) xc

Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

f ' (c)  lim x c

f(x)  f(c) xc

bila limit ini ada. Fungsi f dikatakan mempunyai turunan (diferensiabel) di c atau f ' (c ) jika

f ' ( c )  f ' ( c ) dan f ' ( c )  f _' ( c )  f ' ( c ) Jika sebaliknya, f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.

x2  x  3 , x  1 f ( x)   1  2 x , x  1

Contoh : Diketahui

Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x = 1. Jika ya, tentukan f ' (1) Jawab : a.

f' (1) 

f ( x)  f (1) x2  x  3  (1 2 1) lim  lim x1 x1 x 1 x 1 



x2  x x( x 1)  lim  lim 1 x1 x 1 x1 x 1 

b.



f' (1)  lim

f ( x)  f (1) 1 2 x  (1 2 1)  lim x1 x 1 x 1

 lim

2 x 2 x 1  2 lim 1 x1 ( x 1)( x 1) x 1

x1

x1





Jadi, f diferensiabel di x = 1 dan f ' (1)  1.

Teorema : Jika f diferensiabel di c f kontinu di c. • Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah

lim f ( x )  f (c )

x c

• Perhatikan bahwa f ( x)  f (c) 

f ( x )  f (c ) .( x  c) , x  c xc

f ( x )  f (c )   • Maka lim f ( x )  lim  f (c )  ( x  c) x c xc xc   f ( x )  f (c )  lim f (c)  lim . lim( x  c) x c xc xc xc  f (c)  f ' (c ).0 = f(c). Terbukti. • Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.

Contoh Tunjukkan bahwa f ( x ) = |x| kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0 Jawab Akan ditunjukkan bahwa f(x)=|x| kontinu di x=0

 x , x0 f ( x) | x |   x , x  0

 f(0) = 0 

lim f ( x )  lim x  0  

x0

x0

lim f ( x )  lim(x)  0  

x0



x 0

x0

lim f ( x )  f ( 0 ) x 0

lim f ( x)  0

f kontinu di x = 0

Selidiki apakah f terdiferensialkan di x = 0

 x0 x  lim  lim  1 x0 x0 x x

f ' ( 0 ) 

f ( x ) f ( 0) lim x 0 x0

f ' ( 0 ) 

x 0 x f ( x ) f (0)  lim  lim  1. lim x0 x0 x x 0 x x0

Karena 1  f ' (0)  f ' (0)  1 maka f tidak diferensiabel di 0.

Contoh : Cari nilai a dan b sehingga f(x) mempunyai turunan di x = 1.

x 2  b , x  1 f ( x)    ax , x  1 Jawab : f(x) mempunyai turunan di x = 1 jika a. f kontinu di x = 1 (syarat perlu) f kontinu di x = 1 jika f kontinu kiri dan f kontinu kanan di x = 1, atau

f (1)  lim f ( x)  lim f ( x). x 1 2

x 1

a  lim x  b  lim ax  a  1  b  a  b  a 1 x1

x1

b. Turunan kiri = turunan kanan di c (syarat cukup) 2 f ( x )  f (1) x b  a f' (1)  lim  lim x1 x1 x 1 x 1 x2  (a 1)  a x2 1 (x 1)(x 1)  lim  lim  lim  lim x 1  2 1 1   x1 x x x1 x 1 x 1 x 1

f (x)  f (1) ax  a x 1  lim  a lim a f (1)  lim 1 1 x x   x1 x 1 x 1 x 1 f' (1)  f' (1) ' 

a 2 Maka a = 2 dan b = 1

Soal Latihan 2  x  x  3 1. Apakah fungsi f ( x)   2  x  4 x  2

2. Apakah fungsi

f ( x)  x(| x | 1)

, x 1 , x 1

diferensiabel di x = 1?

diferensiabel di setiap bilangan real x ?

3. Apakah fungsi

 x2  1 , x  2 f ( x)   2 x  1 , x  2

4. Apakah fungsi

f ( x)  x 2 (| x  1 | 3)

diferensiabel di x = 2?

diferensiabel di setiap bilangan real x ?

 x2 1 ; x  3 5. Cari nilai a dan b sehingga f ( x)   mempunyai turunan di x = 3 2ax  b ; x  3

ATURAN PENCARIAN TURUNAN Fungsi Turunan Pertama Definisi Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan pertama dari f, ditulis f ' ( x ) , didefinisikan sebagai

f '( x)  lim tx

f (t )  f ( x) , x  tx

atau jika h=t-x

f ( x  h)  f ( x ) f '( x)  lim ,  x  h0 h bila limitnya ada. Notasi lain y ' ,

dy df ( x) , , Dx y, Dx f ( x) , bentuk dy dikenal dx dx dx

sebagai notasi Leibniz.

•

Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan sebagai berikut : 1. Jika f (x)=k, maka

 

f ' ( x)  0

r d x 2.  r x r 1 ; r  R dx 3. d  f(x)  g(x)  f ' (x)  g ' (x) dx

4. d  f ( x ) g ( x )   f ' ( x ) g ( x )  f ( x ) g ' ( x )

dx

5.

d  f ( x ) g ( x )  f ' ( x ) g ( x )  f ( x ) g ' ( x ) dengan g ( x)  0  dx g 2 ( x)

Bukti formula 4 Misalkan h(x) = f(x)g(x)

h( x  h)  h( x) f ( x  h) g ( x  h)  f ( x) g ( x)  lim h0 h0 h h f ( x  h) g ( x  h)  f ( x  h) g ( x)  f ( x  h) g ( x)  f ( x) g ( x)  lim h0 h g ( x  h)  g ( x) f ( x  h)  f ( x)    lim  f ( x  h)  g ( x)  h0 h h  g ( x  h)  g ( x) f ( x  h)  f ( x)  lim f ( x  h)lim  lim g ( x)lim h0 h0 h0 h0 h h  f ( x) g '( x)  g ( x) f '( x)

h '( x)  lim

 f '( x) g ( x)  f ( x) g '( x)

Contoh: 1. Tentukan turunan pertama dari f ( x)  x 3  3x 2  4 Jawab :

f ' ( x)  3x 2  3.2x  0  3x 2  6x 2. Tentukan turunan pertama dari Jawab :

f ( x)  ( x 3  1)(x 2  2x  3)

f ' ( x)  3x 2 ( x 2  2x  3)  ( x 3  1)(2x  2)

 3x 4  6x 3  9x 2  2x 4  2x 3  2x  2

 5x 4  8x 3  9 x 2  2 x  2 x3 3.Tentukan turunan pertama dari f ( x)  2 x 1 Jawab :

1.( x 2  1)  2 x( x  3) x 2  1  6 x  2 x 2  x 2  6 x  1 f '( x)    ( x 2  1) 2 ( x 2  1) 2 ( x 2  1) 2

Soal Latihan Tentukan fungsi turunan pertama dari 1.

f ( x)  x1/ 2  3 x 2  1

2.

f ( x)  ( x  1) ( x 3  2x  1)

3.

x 2 1 f ( x)  2 x 1

TURUNAN FUNGSI SINUS COSINUS

a. f ( x )  sin x  f ' ( x )  cos x b. f ( x )  cos x  f ' ( x )   sin x BUKTI a. Misal f(x) = sin x, maka

tx tx 2 cos  sin    sin t  sin x 2 2     f '( x )  lim  lim t x t x tx tx tx sin( ) tx 2  lim cos( ). lim tx t x tx 2 0 ( ) 2 2  cos x.1  cos x

b. Misal f(x) = cos x, maka

cos( x  h )  cos x cos x cosh  sin x sinh  cos x  lim h0 h0 h h

f ' ( x )  lim

h cos x( sin2 ) 2  sin x sinh cos x(cosh 1)  sin x sinh  lim  lim h0 h h h0 h h 2 cos x ( sin2 )h sin( / 2 ) sinh h h sinh   2  sin x cos lim sin lim x x     lim( )   ( h / 2)0 h0 h h0 h (h / 2) 2 4  h/ 2  4  cos x .0  sin x   sin x

Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v

d tanx d sinx cosx   cos2 x  sin2 x  1  sec2 x  c. 2 2 cos x cos x dx dx 1 d cotx d cosx sinx   sin 2 x  cos2 x 2    csc x  d.  2 2 sin x dx dx sin x

sin x 1 sin x d secx d  1cos x     sec x tan x  e. 2 cos x cos x cos x dx dx

d cscx d  1sin x   cos x cos x 1  f.      csc x cot x 2 sin x sin x sin x dx dx

ATURAN RANTAI du dy • Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dan ada , dx du dy dy du maka  dx

du dx

Contoh : Tentukan Jawab : Misal

2 dy dari y  sin(x  1) dx

u  x 2  1 sehingga bentuk diatas menjadi y  sin u

Karena

dy du  cosu dan  2x dx du dy maka  cos( x2  1) 2x  2x cos( x2  1) dx

Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dan

dy du dv ada, maka , , du dv dx

dy dy du dv  dx du dv dx dy 4 3 Contoh : Tentukan dari y  Sin ( x  5) dx

Jawab :

Misal

v  x 5 3

sin

y  u4 sehingga

  

dv  3x 2 dx

du  cosv  cos(x 3  5) dv dy  4 u 3  4Sin3 ( x 3  5) du

dy dy du dv  . .  12 x2 Sin3 ( x3  5) Cos( x3  5) dx du dv dx

Atau bisa dengan cara langsung, y  Sin4 ( x3  5)

 y '  4. Sin3 ( x3  5) Cos( x3  5).3x2  12x2 Sin3 ( x3  5) Cos( x3  5).

Soal Latihan Tentukan fungsi turunan pertama dari 1.

x2  2 y x 1

2.

y   2x  3

3.

y  sin3 x

4.

y  cos4 4x2  x

5.

 x  1 y    x 1

6.

y  sin x tan  x2  1

7



2



TURUNAN TINGKAT TINGGI • Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).

f

(n)



d ( n 1) ( x)  f ( x) dx



df  x  dx d 2 f  x f "( x)  dx 2 d 3 f  x f "'( x)  dx 3 d n f  x n f ( x)  dx n

• Turunan pertama f '( x)  • Turunan kedua • Turunan ketiga • Turunan ke-n Contoh : Tentukan

y ' ' dari y  4 x 3  sin x

Jawab : y '  12 x  cos x maka y' '  24 x  sin x 2

Soal Latihan A. Tentukan turunan kedua dari 1.

y  sin 2x  1

4 2. y   2x  3 3.

x y x 1

4.

y  cos2  x

B. Tentukan nilai c sehingga f "(c)  0 bila f (x)  x3  3x2  45x  6 2 C. Tentukan nilai a, b dan c dari g (x)  ax  bx  c bila g (1) = 5,

g ' (1)  3 dan g ' ' (1)  4

TURUNAN FUNGSI IMPLISIT Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x), maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian, maka dikatakan y fungsi implisit dari x. Contoh :

1. x3 y 2  x2  y  10

2. sin(xy)  x2  y 2 1 Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.

Contoh: Tentukan dy/dx dari bentuk implisit berikut

1. x y  x  y  10 3 2

Jawab:

2

2. sin(xy)  x  y 1

1. Dx ( x3 y2  x2  y)  Dx (10) Dx ( x 3 y 2 )  Dx ( x 2 )  Dx ( y)  Dx (10)

(3x2 y2  2 y y ' x3 )  2x  y '  0 (2x 3 y  1) y'  2x  3x 2 y 2

 2x  3x 2 y 2 y'  2x 3 y  1

2

2

2. Dx ( sin( xy )  x 2 )  Dx ( y 2  1)

cos( xy)(1. y  y ' x)  2x  2 yy ' 0

( x cos(xy)  2 y ) y'  2 x  y cos(xy) y' 

 2 x  y cos( xy ) x cos( xy )  2 y

Soal Latihan Tentukan turunan pertama ( y’ ) dari bentuk implisit 1.

x3  3x2 y  y2  0

2.

y  sin xy  1

3.

tan  xy   2 y  0

4.

x2 sin(xy)  y  x

GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL • Persamaan garis singgung fungsi y = f(x) di titik (x0,y0) dengan kemiringan m adalah

y – y0  m( x – x0 ), m  y ' • Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut dengan garis normal. • Persamaan garis normal di titik (x0,y0) adalah

1 y  y0   ( x  x0 ). m

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal 3 2 fungsi y  x  2x  6 di (2,6). Jawab :

y '  3 x 2  4 x  y ' (2,6)  3.2 2  4.2  4 Sehingga persamaan garis singgung di titik (2,6) :

y  6  4( x  2) y  4x  2 Persamaan garis normal dititik (2,6) :

1 1 1 y  6   ( x  2)  y  6   x  4 4 2 1 13 y  x 4 2

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva

x 2 y 2  xy  6  0 di titik dengan absis (x) = 1 Jawab : Jika disubstitusikan nilai x = 1 pada persamaan kurva diperoleh

y2  y  6  0  ( y  3)( y  2)  0  y  3 dan y  2 Sehingga diperoleh titik dimana akan ditentukan persamaan garis singgung dan garis normalnya adalah (1,3) dan (1,-2)

y' dengan menggunakan turunan fungsi implisit

Hitung terlebih dahulu

Dx ( x 2 y 2  xy  6)  Dx (0)  2 xy 2  2 x 2 yy ' ( y  xy ')  0  0

2xy2  2x2 yy ' y  xy '  0 (2x y  x) y '  y  2xy 2

2

y  2xy2  y'  2 2x y  x

Di titik (1,3) y'|(1,3) 

3  2.1.9 15   3 2.1.3 1 5

Persamaan garis singgung

Di titik (1,-2) y'|(1,2) 

 2  2.1.4 10  2 2.1.(2) 1  5

Persamaan garis singgung

y  3  3( x 1)  3x  3

y  2  2( x 1)  2x  2

3x  y  6

2x  y  4

Persamaan garis normal

Persamaan garis normal

1 1 1 y  3  ( x 1)  x  3 3 3

1 1 1 y  2   ( x 1)   x  2 2 2

x  3 y  8

x  2 y  3

Soal Latihan 1. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit

x 2 y 2  3 xy  10 y Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di (2, 1)

2. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit

sin  xy   y





Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di  ,1 2 

Terima Kasih