Irányítástechnika II. rész
Dr. Turóczi Antal
[email protected]
Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai • Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok – Lineáris tagok modellje • Differenciálegyenlettel adjuk meg – Állapotegyenlet
• Az állapotegyenleteken kívül különböző függvényekkel is jellemezhetünk egy tagot – A ki és bemenő jelek közötti kapcsolatot adják meg – Dirac delta bemenetre adott válasz » Impulzusválasz, súlyfüggvény: w(t) – Egységugrás bemenetre adott válasz » Ugrásválasz, átmeneti függvény: v(t) 2
Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai • Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok – Átviteli függvény • Az y(t) kimenő és u(t) bemenő jele Laplace transzformáltjának a hányadosa
• n-tárolós tagra az átviteli függvény az s változó racionális törtfüggvénye • A számláló valós vagy komplex konjugált gyökei – az átviteli függvény zérusai: z1, z2 …, zm
• A nevező valós vagy komplex konjugált gyökei – az átviteli függvény pólusai : p1, p2 …, pn
• Az átviteli függvény gyöktényezős alakja
3
Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai • Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok – Átviteli függvény • Sokszor előnyösebb a gyökök negatív reciprokát használni – Időállandók
– Valós gyökökhöz valós, komplex gyökökhöz komplex időállandó tartozik
4
Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai • Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok – Átviteli függvény • Sokszor előnyösebb a gyökök negatív reciprokát használni
– A gyöktényezős átalakítás zi = 0 zérusok és pi = 0 pólusok esetén nem hajtható végre » Ezeket eredeti alakjukban kell megőrizni – Ha a gyöktényezős alakban csak valós együtthatókat szeretnénk a komplex konjugált gyököket másodfokú tényezőkké kell összevonni » Pl: pi = a + jb pi*= a – jb (s – pi)(s – pi*) = s2 – 2as + (a2 + b2) = s2 + 2xw0s + w02
vagy az időállandókkal kifejezve (1 – sTi)(1 – sTi*) = 1+ 2xT0s + T02 s2 » w0: sajátfrekvencia (natural frequency):
w02 = a2 + b2
» x : csillapítási tényező (damping factor):
x = -a/w0
5
T0 = 1/w0
Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai • Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok – Lineáris tagok megadás • Átviteli függvény
• Állapotegyenlet
• Gyöktényezős alak
6
Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai • Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok – Átmeneti függvény • Az egységugrás bemeneti jelre adott válasz Laplace transzformáltja
– Az átviteli függvény 1/s –szerese – Az ugrásválasz az impulzusválasz idő szerinti integráljaként számolható
7
Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai • Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok – Frekvencia átviteli függvény • Az u(s) bemenő és y(s) kimenő jel közötti kapcsolatot leíró w(s) átviteli függvényből – s = jw helyettesítéssel
– Stabilis lineáris tag esetén egységnyi amplitúdójú zérus fázisú szinuszos bemenő jelre
y(t) u(t)
a
j
8
Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai • Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok – Frekvencia átviteli függvény • Az u(s) bemenő és y(s) kimenő jel közötti kapcsolatot leíró w(s) átviteli függvényből – s = jw helyettesítéssel
– Stabilis lineáris tag esetén egységnyi amplitúdójú zérus fázisú szinuszos bemenő jelre
– A kimenőjel a amplitúdója és j fázisa különböző w frekvenciákon más-más lehet – Az amplitúdó és a fázistolás frekvencia függése a frekvencia átviteli függvényből meghatározható
9
Matematikai alapok • Komplex számok – – –
–
Valós rész Képzetes rész Síkvektorként ábrázolható •
Komplex konjugált
•
Abszolút érték
•
Euler formula
Polár koordináta rendszer
• • 10
Amplitúdó, fázisszög Adott frekvenciájú szinuszos jel ezzel a két paraméterrel jellemezhető
Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai • Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok – Frekvencia átviteli függvény • Az u(s) bemenő és y(s) kimenő jel közötti kapcsolatot leíró w(s) átviteli függvényből – s = jw helyettesítéssel
– Stabilis lineáris tag esetén egységnyi amplitúdójú zérus fázisú szinuszos bemenő jelre
– A kimenőjel a amplitúdója és j fázisa különböző w frekvenciákon más-más lehet – Az amplitúdó és a fázistolás frekvencia függése a frekvencia átviteli függvényből meghatározható
11
Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai • Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok – Frekvencia átviteli függvény • Komplex változós függvény amely többféle alakban ábrázolható
– Nyquist diagram: a w(jw) vektort a komplex síkon ábrázolva -∞ < w < ∞ paraméterrel – Pl:
-∞ <w<0
w=0
w=∞ j
w(jw) a 0<w<∞
• Matlab:
– nyquist(sys)
12
w
Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai • Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok – Frekvencia átviteli függvény • Komplex változós függvény amely többféle alakban ábrázolható
– Bode diagram: az a(w) amplitúdó és j(w) fázismenetet külön ábrázolva – Pl: a[dB](w)
j(w)
• Matlab: – bode(sys)
13
Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai • Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok – Frekvencia átviteli függvény • Bode diagram – Szerkesztéskor az átviteli függvény gyöktényezős alakjából érdemes kiindulni
– Az egyes gyöktényezők logaritmikus amplitúdói és fázisszögei az eredő képzésnél egyszerűen összeadódnak – Egyetlen elsőfokú gyöktényezőre:
14
Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai • Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok – Frekvencia átviteli függvény • Bode diagram – Egyetlen elsőfokú gyöktényezőre:
20dB/dek
Egy nagyságrendnyi frekvencia: dekád
0,01/t
0,1/t
1/t
15
10/t
100/t
Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai • Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok – Frekvencia átviteli függvény • Bode diagram – Egyetlen elsőfokú gyöktényezőre:
-20dB/dek
0,01/T
0,1/T
1/T
16
10/T
100/T
Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai • Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok – Frekvencia átviteli függvény • Bode diagram – Elsőfokú gyöktényezőre » Az amplitúdó görbe meredeksége 20dB/dek illetve -20dB/dek » A fázis 0 ° és 90° illetve 0 ° és -90° között változik – Másodfokú gyöktényezőre » Az amplitúdó görbe meredeksége 40dB/dek – A gyöktényezők ismeretében közelítő Bode diagram rajzolható
– Törésfrekvenciák: » 0,1 rad/sec [20dB/dek] » 1 rad/sec [-20dB/dek] » 10 rad/sec [-40dB/dek] – Az w = 0 körfrekvencián az amplitúdó menet w = 0 behelyettesítéssel számítható » w(0) = 0,1/100 = 1/1000 [-60dB]
17
Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai • Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok – Frekvencia átviteli függvény • Bode diagram
-20dB/dek 20dB/dek -40dB/dek
0,01
0,1
1
10
100
– A fázis diagramra általában nem kielégítő a töréspontos közelítés (főleg nagyobb fokszám esetén)
18
Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai • Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok – Frekvencia átviteli függvény • A Bode és Nyquist diagramokból – – – –
Az adott tag az w körfrekvenciájú harmonikus jelet milyen amplitúdó és fázis „torzítással” viszi át Milyen körfrekvenciákon van vannak jelentős kiemelések vagy elnyomások A jelátvivő tag hogyan viselkedik mint szűrő Stabilitásvizsgálat (később)
19
Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai • Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok – Hatásvázlatok átalakítása • Az irányítási rendszer hatásvázlata a számításokhoz legalkalmasabb formára hozható – Tagok összevonása – Jelek áthelyezése
• Soros kapcsolás u
w1 u
y
w2 y
w = w1· w2
• Párhuzamos kapcsolás
u
w1
y
w2 u
20
w = w1+ w2
y
Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai • Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok – Hatásvázlatok átalakítása • Az irányítási rendszer hatásvázlata a számításokhoz legalkalmasabb formára hozható – Tagok összevonása – Jelek áthelyezése
• Visszacsatolás u1
u ±
w1 w2
• Felnyitott kör
a b
21
w1
w2
y
Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai • Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok – Hatásvázlatok átalakítása • Jelek áthelyezése – A hatáslánc valamely pontján belépő jel áthelyezhető – Biztosítani kell, hogy a kimenetre az eredetivel megegyező hatást fejtsen ki
u2 u1
u2 u1
w1
u1
w2
w = w1· w2
y
w2
y
w = w1· w2 1/w1
u2
22
y
Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai • Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok – Hatásvázlatok átalakítása • Jelek áthelyezése – A hatáslánc valamely pontján belépő jel áthelyezhető – Biztosítani kell, hogy a kimenetre az eredetivel megegyező hatást fejtsen ki
u2
u2 u1 -
u1
y
w1
-
u2 u1 -
w1
y
w1
u2 u1
y
-
w2
w2
23
y
w1 u2
Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai • Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok – Hatásvázlatok átalakítása • Bemenő jel és a visszacsatolt kör tetszőleges jele közötti kapcsolat u2 u1
uh -
w1
y1
w2
y2
w3
y
• A keresett átviteli függvényben – A számlálóban mindig a bemenő és keresett jel közötti átviteli függvények eredője – A nevezőben mindig az 1 + w0 kifejezés – w0 a felnyitott kör átviteli függvénye 24
Lineáris alaptagok • Ideális alaptagok – Folytonos idejű lineáris rendszer átviteli függvénye
• Néhány egyszerű alaptag kombinációjából épül fel – Arányos (P) tag » Az ideális P tag széles frekvenciasávot egyenletesen átvivő tag » A valóságban nem realizálható, a valóságos szerkezetek frekvenciafüggőek w(s) = kp kp a[dB](w)
w(t) kp d(t)
20 lg(kp)
t
lgw
j(w)
v(t) kp
lgw
t
25
Lineáris alaptagok • Ideális alaptagok – Integráló (I) tag • • • • •
A bemenő jel integrálásával képzi a kimenő jelet Ugrás alakú súlyfüggvény w(t) Sebességugrás alakú átmeneti függvény v(t) Pl: Kondenzátor feszültsége és árama közötti kapcsolat A kis frekvenciákat kiemeli, a nagy frekvenciákat szűri
w(s) = 1/(sTi) 1/(sTi)
a[dB](w)
w(t) 1/Ti
-20dB/dek t
1/Ti j(w)
v(t)
-90°
t
26
lgw
lgw
Lineáris alaptagok • Ideális alaptagok – Differenciáló (D) tag • • • • •
A bemenő jel differenciálásával képzi a kimenő jelet Súlyfüggvényének nincs értelme, a d(t) függvény differenciálhányadosa nem értelmezhető v(t) átmeneti függvénye TD területű Dirac delta Pl: Tekercs feszültsége és árama közötti kapcsolat A nagy frekvenciákat kiemeli, a kis frekvenciákat szűri
w(s) = sTD sTD
a[dB](w)
20dB/dek
1/TD
lgw
j(w)
v(t)
90°
TD d(t)
lgw
t
27
Lineáris alaptagok • Tárolós tagok – Egytárolós arányos tag • • •
Az w < 1/T tartományon arányos (P) taggal közelíthető Az w > 1/T tartományon integráló (I) taggal közelíthető Tranziensek esetén először az integráló hatás érvényesül –
•
A kimenő jelben először a bemenő jel integrálja jelenik meg
Majd hosszabb idő múlva az arányos (P) hatás érvényesül –
A két hatás határa a T időkéséssel jellemezhető
w(s) = 1/(1+sT) 1/(1+sT)
w(t)
a[dB](w)
1
T v(t)
lgw -20dB/dek
t j(w)
1
T
1/T
-45° -90°
t
28
1/T
lgw
Lineáris alaptagok • Tárolós tagok – Kéttárolós arányos tag
– – –
–
Az w < 1/T0 tartományon arányos (P) taggal közelíthető Az w > 1/T0 tartományon w(jw) ≈ -1/(w2T02) kétszeresen integráló taggal közelíthető Az w0 = 1/T0 körüli frekvenciákon a frekvencia átviteli tulajdonságok a x csillapítási tényezőtől függenek Az w0 vágási frekvencián • az amplitúdó 1/(2x) • a fázisszög -90°
----------------
x = 0,1 x = 0,3 x = 0,7 x=1 x=2
-40dB/dek
1/T0 29
Lineáris alaptagok • Tárolós tagok – Kéttárolós arányos tag – –
x > 1 esetben valós pólusok • aperiodikusan csillapított tag x < 1 esetben komplex-konjugált pólusok •
periodikusan csillapított vagy lengő tag wp = w0√1-x2 lengési frekvenciával
-------------
30
x = 0,3 x = 0,7 x=1 x=2
Lineáris alaptagok • Visszacsatolt tag – A jelátvivő tulajdonságok befolyásolásának egyik leghatékonyabb eszköze • A szabályozási kör is visszacsatolás elvén épül fel Előre vezető ág
u1
u -
w1
y
ye
w2 Visszacsatoló ág
• w0 a felnyitott kör átviteli függvénye – A visszacsatolt hurkot tetszőleges helyen felvágva a két végpont között mérhető
• A visszacsatolt tag w(jw) frekvenciaátviteli függvénye közelíthető (s = jw) w(s) ≈ 1/w2(s)
ha
|w0(s)| >> 1
Ilyenkor a visszacsatolt rendszer átviteli tulajdonságait kizárólag a visszacsatoló ág határozza meg w(s) ≈ w1(s)
ha
|w0(s)| << 1
Ilyenkor a visszacsatolt rendszer átviteli tulajdonságait kizárólag az előrevezető ág határozza meg, a visszacsatolásnak másodrendű hatása van 31
Lineáris rendszerek stabilitása • A lineáris rendszer mozgása – Nyugalmi állapot • Egyensúlyi állapotban valamennyi állapotváltozó mozgása megszűnik, x(t) = állandó
– Saját mozgás • A nyugalmi helyzetéből kitérített majd (pl. a t = 0 időpontban) magára hagyott rendszer mozgása
– Gerjesztett mozgás • A nyugalmi helyzetben lévő rendszerre adott bemenő jel vált ki
– Stabilis rendszer • A nyugalmi helyzetéből kitérített majd magára hagyott rendszer visszatér nyugalmi helyzetébe vagy annak közeli környezetébe
– Labilis rendszer • A nyugalmi helyzetéből kitérített majd magára hagyott rendszer nem tér vissza nyugalmi helyzetébe vagy annak közeli környezetébe
– Kérdés: Hogyan mondjuk meg egy lineáris rendszerről, hogy stabilis vagy sem? 32
Lineáris rendszerek stabilitása • A lineáris rendszer mozgása – Magára hagyott zárt szabályozási rendszer stabilis • Ha a tranziens mozgását leíró időfüggvény csillapodó összetevőkből áll
– A tranziens időfüggvény exponenciális összetevők kombinációjából áll
• •
A kitevőben a rendszer pólusai vannak Akkor csillapodó az exponenciális időfüggvény, ha a szabályozási rendszer pólusai negatív valós részűek – Pl:
e0.152t
e0.1t
e0t = 1 e-0.1t
– A zárt szabályozási kör akkor stabilis, ha valamennyi pólusa negatív valós részű
e-0.5t e-2t
33
e-t
Lineáris rendszerek stabilitása • Stabilitási vizsgálatok – A szabályzó rendszer tervezésekor • Sem a zárt sem a nyitott kör átviteli függvénye nem ismert pontosan – A szabályzót nem ismerjük előre – A zárt szabályozási rendszerrel szemben megfogalmazott kritériumok alapján kell kialakítani » » » » »
Legyen stabil Az alapjelet megfelelően kövesse A zavaró jelek hatását minimalizálja. A paraméterváltozásokra kellően érzéketlen legyen. Megfeleljen az egyéb követelményeknek
• A zárt szabályozási kör stabilitását nem célszerű közvetlenül a zárt kör átviteli függvényéből meghatározni – Olyan közvetett stabilitásvizsgálati módszerek terjedtek el, amelyekkel a felnyitott kör jellemző alapján következtethetünk a zárt kör stabilitására – Nyquist kritérium » A Nyquist diagramból – Bode kritérium » A Bode diagramból
34
Lineáris rendszerek stabilitása • Stabilitási vizsgálatok – Bode kritérium
jt fázistartalék vagy fázistöbblet
– A nyitott kör fázistolása az wc körfrekvencián +180° – jt = j(wc) + 180°
•
20
at erősítési tartalék – at[dB] = 0dB - a[dB](wt)
0
at
-20 -40
-60
-80 -90
wt körfrekvencia érték – Ahol a nyitott kör fázismenete metszi a -180°-hoz tartozó vízszintes tengelyt – j(wt) = -180°
•
40
Magnitude (dB)
– Ahol a nyitott kör amplitúdó menete egységnyi értékű (cut-off frequency) – a(w) = 1 a[dB](w) = 0 dB •
Bode Diagram Gm = 7.61 dB (at 0.602 rad/sec) , Pm = 31.3 deg (at 0.366 rad/sec)
wc vágási körfrekvencia érték
-135 Phase (deg)
•
jt -180
-225
-270 -2 10
10
-1
wc
wt
Frequency (rad/sec)
35
10
0
10
1
Lineáris rendszerek stabilitása • Stabilitási vizsgálatok – Bode kritérium • Stabilis a zárt szabályozási rendszer, ha a felnyitott kör Bode diagramjában az amplitúdógörbe olyan wc vágási frekvencián metszi az egységnyi erősítésű tengelyt amelynél a jt fázistöbblet pozitív jt = 180° + j(wc) > 0
• Gyakorlati tapasztalat, hogy 50°-60° fázistartalékkal rendelkező rendszer üzemszerűen is megfelelő módon működik • A Bode diagram alapján nem csak a stabilitásra, de a stabilitási tartalékra is következtethetünk – Erősítési tartalék, amplitúdó többlet (gain margin) » Hányszorosára lehet növelni a felnyitott kör erősítését, hogy a zárt kör a stabilitás határára kerüljön: jt = 0
• Matlab: – margin(sys)
36
Lineáris rendszerek stabilitása • Stabilitási vizsgálatok – Bode kritérium • Fizikai magyarázat – Legyen adott a stabilis w(jw) frekvencia átviteli függvényű folyamat – Nyissuk fel ezzel a folyamattal létrehozott zárt szabályzási kört
u(t)
-
w(jw)
37
y(t)
Lineáris rendszerek stabilitása • Stabilitási vizsgálatok – Bode kritérium • Fizikai magyarázat – Legyen adott a stabilis w(jw) frekvencia átviteli függvényű folyamat – Nyissuk fel ezzel a folyamattal létrehozott zárt szabályzási kört
a(wt) sin(wtt) = o(t) u(t) = 0
-
i(t) = sin(wtt)
w(jw)
y(t) = a(wt) sin(wtt - 180°)
– Az így keletkezett i(t) bemenetre adjunk wt körfrekvenciájú harmonikus jelet – wt -t válasszuk meg úgy, hogy az y(t) jel fázisa az i(t) bemenő jelhez képest -180° legyen – Az o(t) jel ennek hatására a különbségképző fázisfordítása miatt az i(t) bemenő jellel azonos fázisú lesz – Ha az o(t) jel a(wt) amplitúdója az i(t) jellel azonosan egységnyi, ha zárjuk a kört a harmonikus lengőmozgás a bemenő jel nélkül is fennmarad » Az a(wt) = 1 feltétel a stabilitás határhelyzete – Ha a(wt) > 1 a kör zárásakor egyre nagyobb és nagyobb amplitúdójú jel keletkezik a zárt körben » A zárt kör ekkor labilis – Ha a(wt) < 1 a kör zárásakor a lengés nem tud fennmaradni, t → ∞ mellet a rendszer nyugalomba kerül » A zárt rendszer stabil 38
Szabályozási kör minőségi jellemzői • Szabályozási hiba uz(s) yh(s)
u(s)
-
wc(s)
wp(s)
y(s)
– A szabályozás célja • Az u alapjel követése (követő szabályozás) • Az uz zavaró jel hatásának kiküszöbölése (értéktartó szabályozás)
– Ideális esetben • Az y kimenő jel a zavaró jelektől függetlenül mindig megegyezik az alapjellel (yh = 0)
– A valóságban • Az alapjel követése csak bizonyos hibával lehetséges • Az alapjel és a zavaró jelek hatására követési hiba jön létre (yh ≠ 0)
39
Szabályozási kör minőségi jellemzői • Szabályozási hiba – Egységugrás bemenetre (u(t) = e(t)) adott válaszból • A tranziensek lecsengését követően (t → ∞ ) az alapjeltől való eltérés – A hs statikus hiba
• Túllendülés – Lengő jellegű beállás
• Átviteli tényező • Beállási idő
1.4
ts
1.2
– A tranziensek lecsillapodtak – A kimenet a D hibasávon belül
y (t)
st
u (t) 1
hs
2D
• Az alapjeltől való eltérés a tranziensek alatt — A hd dinamikus hiba — A tranziensek lefolyása a szabályozás paramétereitől függ
Amplitude
0.8
0.6
0.4
yh(t) = u(t) – y(t) 0.2
hd
0
-0.2
-0.4
40
0
2
4
6
8 10 Time[sec]
12
14
16
18
Szabályozási kör minőségi jellemzői • Szabályozási hiba – Egység-sebességugrás bemenetre adott válaszból • A tranziensek lecsengését követően (t → ∞ ) – A kimenet igyekszik a bemenő jellel azonos módon változni – A követési hiba egyre növekvő lehet
1.4
1.2
ts
1
0.8
Amplitude
u (t)
y (t)
0.6
0.4
hs
yh(t)
0.2
0
-0.2
-0.4
41
0
2
4
6
8 10 Time[sec]
12
14
16
18
Szabályozási kör minőségi jellemzői • A frekvencia tartományban – A zárt szabályzási rendszer időtartománybeli viselkedése összefügg a felnyitott kör frekvencia átviteli függvényével • Szabályzási idő – A felnyitott kör wc vágási frekvenciájával fordítottan arányos » Szokásos esetekben: 3/wc ≤ ts ≤ 10/wc
• Beállási jellege – A felnyitott kör jt fázistartalékától függ – A stabilitás határhelyzetében jt = 0 a zárt rendszer csillapítatlan (x = 0) kéttárolós taggal helyettesíthető – jt = 90° -nál a zárt rendszer aperiodikus (x > 1) kéttárolós taggal helyettesíthető » Túllendülés nélkül tart az állandósult értékhez – Az erősen lengő beállás nem kedvező, a szabályozott folyamatok általában rosszul tűrik – Az aperiodikus beállásnál viszont lassúbb működés » A gyakorlatba ezért a jt = 60°-körüli fázistartalékra törekszenek » Ez kb. x = 0,7 csillapítási tényezőnek felel meg kéttárolós tag esetén
42
Szabályozási kör minőségi jellemzői • Szabályozási hiba
uz(s) yh(s)
u(s) -
wc(s)
wp(s)
• •
Az alapjel követése csak bizonyos hibával lehetséges Az alapjel és a zavaró jelek hatására követési hiba jön létre (yh ≠ 0)
•
Az alapjel hatására létrejövő követési hibát vizsgálva (uz(s) = 0)
y(s)
– A követési hiba a bemenő jeltől és a felnyitott kör i típusszámától függ
– Vagyis a követési hiba attól függ, hogy a felnyitott körnek hány p = 0 pólusa van (kisfrekvenciás viselkedés) » i = 0 esetén az egységugrás bemeneti jelet sem tudja hiba nélkül követni » i = 1 esetén az egységugrás jelet hiba nélkül az egység-sebességugrás jelet hibával tudja követni » i = 2 esetén az egységugrás és egység-sebességugrás jelet hiba nélkül az egység-gyorsulásgugrás jelet hibával tudja követni 43
Szabályozási kör méretezése • A szabályozási kör szintézise – Hogyan alakítsuk ki a szabályozási rendszert hogy az megfeleljen az elvárásoknak • • • •
Műszaki elvárások Technológiai elvárások Üzembiztosság Gazdaságosság stb.
– Automatizált tervezés • Az előírások megadása után automatikusan meghatározza a kívánt rendszert • Pl: – A zárt kör pólusainak megadása (pole placement) – Különböző kritériumoknak alapján a lehetséges megoldások közül kiválasztja az optimálisat » Optimális irányítások (pl: LQR, LQG)
– Interaktív tervezés • • • •
A követelmények nem eléggé egzaktak vagy megalapozottak A minőségi követelményeknek megfelelő szabályzó struktúrát próbálgatással keressük Klasszikus módszer A tervezői intuíciónak fontos szerepe van
44
Szabályozási kör méretezése • SISO szabályzási kör méretezése – Kitűzött célok • A rendszer stabilis • A kvázistacionárius (t → ∞) szabályozási hiba minimális (idálisan 0) • Az alapjel illetve a zavaró jel változásakor a tranziens folyamatok időtartama minimális (idálisan 0)
– Szabályozási hiba • A valóságos rendszerekben általában nem tüntethető el teljesen • A felnyitott kör kisfrekvenciás tulajdonságainak megfelelő kialakításával minimalizálható • A bemenő jel típusától is függ, a leggyakoribb bemenő jelre kell felkészíteni a rendszert
– Tranziens folyamatok időtartama • A dinamikus rendszerekre jellemző tehetetlenség miatt nem lehet végtelenül gyors a tranziens • A bemeneti jel ideiglenes megnövelésével csökkenthető – A beavatkozó szervek és a szabályozott folyamat is csak korlátozott bemenő jelet képes elviselni – A túlvezérlés káros következményekkel járhat, túlzott energia felvételt eredményezhet
• A rendszernek lehet holtideje, ezt nem lehet megszüntetni • A fázistöbblettel befolyásolható a tranziensek lefolyása – ~60°-os fázistöbblettel várhatók a legkedvezőbb viszonyok
45
Szabályozási kör méretezése • SISO szabályzási kör méretezése – A felnyitott kör frekvencia átviteli tulajdonságait kell jól kialakítani • A folyamat jelátvivő tulajdonságait általában nem tudjuk kedvezően befolyásolni • A feladatot a szabályzó megfelelő kialakításával kell megoldani – A szabályzónak jelformáló szerepe van
– Soros kompenzáció • A szabályozott folyamattal sorba kapcsolt szabályzó a felnyitott kör átviteli függvényét a megkívánt alakra hozza • A folyamat egyes zérusainak és pólusainak hatását részben vagy egészében semlegesíti – Helyettük új zérusokat ill. pólusokat hoz be a rendszerbe – A folyamat pólusait ill. zérusait mintegy „áthelyezi”
•
Kimenetről való visszacsatolás yh(s)
ua(s) -
wc(s)
u(s)
wp(s)
• A tervezés idő és frekvenciatartományban egyaránt megoldható 46
y(s)
Szabályozási kör méretezése • SISO szabályzási kör méretezése – Példa
• • •
Ugrás alakú alapjelre méretezzünk, ua(s) = 1/s A periodikus tranziensek túllendülése maradjon 10% alatt Ez kb. ~60°-os fázistöbbletnél várható
(-20dB) (-40dB)
(-60dB)
w1
w2
47
w3
Szabályozási kör méretezése • SISO szabályzási kör méretezése – P kompenzáció • A legegyszerűbb kompenzáló szerv • A felnyitott kör átviteli függvénye
• A felnyitott kör Bode diagramjában – A fázisgörbe nem változik – Az amplitúdó görbe a kc erősítési tényezőnek megfelelően, wp(s) görbéjéhez képest eltolódik
w0(s) yh(s)
ua(s) -
kc
u(s)
48
wp(s)
y(s)
Szabályozási kör méretezése • SISO szabályzási kör méretezése – P kompenzáció Bode Diagram 20
60°-os jt-re törekszünk Ehhez -120°-os fázisszög tartozik Megkeressük a hozzá tartozó w-t Leolvassuk ezen az w-án az erősítést
•
Mivel a fázisgörbe nem változik 17,6 dB-el megnövelve a kör-erősítést az amplitúdógörbe pont ezen az w-án fogja metszeni a 0dB-es tengelyt
0 Magnitude (dB)
• • • •
-17,6 dB
-20 -40 -60 -80 -100 -120 0
0,6 rad/s
•
Vagyis 60°-lesz a jt
Phase (deg)
-45 -90
-120°
-135
jt = 60°
-180 -225 -270 -3 10
10
49
-2
-1
10 10 Frequency (rad/sec)
0
10
1
Szabályozási kör méretezése • SISO szabályzási kör méretezése – P kompenzáció • A zárt kör átviteli függvénye Step Response
1.2
1
12%
16%
•
A zárt kör csak statikus hibával tudja követni az alapjelet hs = 12 % st = 16%
• • •
A túllendülés az elvártnál nagyobb lett Próbálgatással tovább hangoljuk a szabályzó paramétert kc = 6 értéket választva megkapjuk a kívánt kb. 10%-os túllendülést
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
50
4
6 8 Time (sec)
10
12
14
Szabályozási kör méretezése • SISO szabályzási kör méretezése – P kompenzáció • Az irányító jel Step Response 8
7
6
•
• •
Az u(t) irányító jel a tranziens folyamat jelentős részében meghaladja az állandósult értékét Ez a dinamikus túlvezérlés a rendszer gyorsításának eszköze A rendszer vágási frekvenciájának növelésével csökkentjük a beállási időt
Amplitude
5
4
u(t) 3
2
1
0
-1
51
0
2
4
6 8 Time (sec)
10
12
14
Szabályozási kör méretezése • SISO szabályzási kör méretezése – PI kompenzáció • A zárt kör statikus hibája a felnyitott kör erősítésének növelésével csökkenthető – A valóságos folyamatok bemenő jelét azonban nem növelhetjük minden határon túl – Az erősítés növelésével a rendszer instabillá válhat
• A felnyitott kör kisfrekvenciás viselkedését integráló jellegűvé tesszük – A típusszámát 1-el növeljük – Egységugrás bemenetre a statikus hiba zérus lesz
yh(s)
yh(s)
u(s)
u(s)
– kc az arányos csatorna erősítése – TI az integrálási idő » Egységugrás bemenő jelnél TI elteltével a az integráló csatorna kimenete egyenlővé válik az arányos csatorna kimenetével – 1/TI-nél kisebb frekvenciákon integráló, az azoknál nagyobb frekvenciákon arányos a tag viselkedése
52
Szabályozási kör méretezése • SISO szabályzási kör méretezése – PI kompenzáció
• A nyitott kör alacsony frekvenciás viselkedése integráló tulajdonságú lesz • A PI kompenzációhoz hasonlóan az amplitúdó görbét függőleges irányban önmagával párhuzamosan eltolja • A legalacsonyabb frekvenciájú sarokpontot a szabályzóval w = 0 frekvenciára helyezzük át úgy hogy a P kompenzációval beállított dinamika közel változatlan maradjon w1 = 1/TI = 1/10
53
Szabályozási kör méretezése • SISO szabályzási kör méretezése – PI kompenzáció Bode Diagram 40
wc = 0,52 rad/s
Magnitude (dB)
20 0 -20 -40 -60 -80
jt = 56,2°
-100 0
Phase (deg)
-45 -90 -135 -180 -225 -270 -2 10
10
54
-1
0
10 Frequency (rad/sec)
10
1
Szabályozási kör méretezése • SISO szabályzási kör méretezése – PI kompenzáció Step Response 1.4
1.2
ht = 0 % st = 12%
Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
55
4
6
8 Time (sec)
10
12
14
16
