Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu
Pengertian Integral • Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F’(x) = f(x), • maka F(x) merupakan antiturunan atau integral dari f(x).
Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut :
•
f x dx F x c
notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman) • f(x) fungsi integran • F(x) fungsi integral umum yang bersifat F’(x) f(x) • c konstanta pengintegralan
1 n 1 f x x c ,n n 1
• Jika f ‘(x) = xn, maka ≠ -1, dengan c sebagai konstanta
Integral Tak Tentu • apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat didiferensialkan pada interval sedemikian hingga maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) + c • Secara matematis, ditulis
f x dx F x c
• di mana • Lambang integral yang dx menyatakan operasi antiturunan • f(x) Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya • c Konstanta
Teorema 1 • Jika n bilangan rasional dan n ≠ 1, maka 1 n 1 n x dx x c , c adalah konstanta.
n 1
Teorema 2 • Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka
kf x dx k f x dx
Teorema 3 • Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka
f x g x dx f x dx g x dx
Teorema 4 • Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka
f x g x dx f x dx g x dx
Teorema 5 • Aturan integral substitusi • Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol maka
1 t 1 ux u' xdx r 1 ux c r
, dimana c adalah konstanta dan r ≠ -1.
Teorema 6 • Aturan integral parsial • Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
udv uv vdu
Teorema 7 • Aturan integral trigonometri
cos xdx sin x c
sin xdx cos x c 1 cos 2 x tan x c • dimana c adalah konstanta.
METODE SUBTITUSI
Dalam menyelesaikan masalah integrasi pertama - tama kita mengusahakan mengubahnya menjadi bentuk rumus dasar dengan menggunakan variabel lain ( subtitusi ) Contoh :
1. 2 x ( x 2 4)5 dx ... Jawab : u = x2 + 4
du du = 2x dx dx 2x
du 1 6 1 2 5 u 2x u du u c ( x 4) 6 c 2x 6 6
2.
5
2 x 2 dx x3 1
...( buat latihan )
INTEGRAL PARSIAL
Misalkan u dan v fungsi yang differensiabel terhadap x, maka : d(u.v) = v.du + u.dv u.dv = d(u.v) – v.du
u.dv d (u.v) v.du u.dv u.v v.du yang
perlu diperhatikan pada metode ini adalah : (1). Bagian yang terpilih sebagai dv harus mudah diintegral. (2).
u. dv v du harus lebih mudah dari
Contoh :
ln x dx
=
u.dv
Jawab :
u ln x
dv = dx
1 du dx x v=x
Jadi :
ln x dx
= xln x -
dx
= x ln x – x + c
INTEGRAL FUNGSI RASIONAL Sebuah polinom dalam x adalah sebuah fungsi berbentuk :
a0 x a1 x n
n 1
a2 x
n2
...... an1 x an
Fungsi H(x) disebut fungsi rasional jika : P( x) H ( x) Q( x)
dimana P(x) dan Q(x) adalah polinom Jika derajat P(x) lebih rendah dari derajat Q(x), maka H(x) disebut “Rasional Sejati” Contoh :
2x 2 x 2 H ( x) 3 x 2x 2 x 2
Sedangkan jika derajat P(x) lebih tinggi dari derajat Q(x), maka H(x) disebut “Rasional Tidak Sejati”
Contoh :
x 4 10 x 2 3x 1 3x 23 2 H ( x) x 6 2 2 x 4 x 4 Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk fungsi rasional,
P( x) : ditulis sebagai jumlah dari bagian yang lebih Q( x) sederhana dengan menguraikan Q(x) dalam hasil kali faktor-faktor linier atau kuadratis, yaitu :
1. Faktor Q(x) semua linier dan tak berulang,
Q( x) ( x a1 )( x a2 ).....( x an ) , maka
:
An A1 A2 P( x) ..... Q( x) ( x a1 ) ( x a 2 ) ( x an )
2. Faktor Q(x) semua linier berulang,
Q( x) ( x a) n , maka
:
An A1 A2 P( x) ..... Q( x ) ( x a ) ( x a ) 2 ( x a) n
3. Q(x) adalah kuadratis, Q( x) (ax 2 bx c)(dx 2 ex f ) , maka
:
P( x) Ax B Cx D Q( x) (ax 2 bx c) (dx 2 ex f )
contoh :
( x 1) 1. 2 dx .... x x2 jawab : x 1 A B A( x 1) B( x 2) ( x 2)( x 1) x 2 x 1 ( x 2)( x 1)
2 – 1 = A(2+1) 1 = 3A A = 1/3 x = -1 -1 – 1 = B(-1-2) = -2= -3B B = 2/3 Jadi, 1 dx 2 dx ( x 1) x 2 x 2 dx 3 x 2 + 3 x 1 x=2
1 2 ln | x 2 | ln | x 1 | c 3 3
( x 1) 2. 2 dx .... x 2x 1 x 1 A B A( x 1) B 2 2 x 1 ( x 1) ( x 1) ( x 1) 2 x=1 mis, x = 0
1+1=B B=2 0 +1 = A(0 – 1) + B 1=-A+2 A=1
Jadi,
( x 1) x 2 2 x 1 dx
dx x 1
dx + 2 ( x 1) 2
2 ln | x 1 | c ( x 1)
SUBTITUSI TRIGONOMETRI ,
Jika Integran mengandung salah satu dari bentuk :
a 2 b2 x 2 ,
a 2 b 2 x 2 , atau
b2 x2 a2
dan tidak memiliki faktor irrasional lainnya, maka dapat ditransformasikan ke dalam fungsi trigonometri dengan menggunakan variabel baru : Bentuk
a b x 2
2
2
a2 b2 x2 b2 x2 a 2
Subtitusi
Memperoleh
a sin z b a x tg z b
a 2 b 2 x 2 a cos z
x
x
a sec z b
a 2 b 2 x 2 a sec z
b 2 x 2 a 2 a tg z
contoh : 1.
,
9 4x2 dx .... x
jawab : 3 x sin z 2 Jadi,
3 dx cos zdz 2
9 4 x 2 3 cos z
9 4x2 3 cos z 3 cos 2 z dx ( cos z dz ) 3 dz 3 x sin z sin z 2 2 2
1 sin z 3 dz 3 cos ec z dz 3 sin z dz sin z = 3 ln |cosec z – ctg z| + 3 cos z + c
3 9 4x2 3 ln | | 9 4x2 c 2x
2.
dx x2 4 x2
....
jawab : ,
x 2 tg z
dx 2 sec2 zdz
4 x 2 2 sec z
Jadi,
x
dx 2
4 x
2
2 sec 2 z cos z dz (4tg 2 z)(2 sec z) 4 sin 2 z dz
2 1 1 d (sin z ) 4 x c c 2 4 sin z 4 sin z 4x
Integral TerTentu • Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas) tertentu. • Jika fungsi terdefinisi pada interval tertutup [a,b] , maka integral tertentu dari a ke b dinyatakan oleh : • Dimana :
b
f ( x ) dx a
•
f(x) a b
: integran : batas bawah : batas atas
KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
f ( x)dx F ( x) a
F (b) F (a)
a
5
4
f ( x ) dx 0
a
b
a
f ( x)dx f ( x)dx a
b
2
x 1 52 1 5 5 x dx x 2 2 2 2 5 5 2 5 1 32 32 0 5 2
a
5
x 1 55 1 5 5 x dx x 5 2 2 2 5 5 5 2 1 3125 32 618,6 5 5
b
b
5
4
2
x 1 52 1 x dx x 5 25 55 5 5 5 5 5 1 32 3125 618,6 5 2
5
4
KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU b
b
kf ( x)dx k f ( x)dx a
a
b
b
b
a
a
a
f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx
5
x 1 55 2 5x dx 5 5 5. 5 x 2 2 3125 32 3093 5
5
4
x 5
4
5
5
2
2
5 x 4 dx x 4 dx 5 x 4 dx
2
618,6 3093 3.7111,6 c
a
b
b
c
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
3
5
5
2
3
2
4 4 4 x dx x dx x dx 618,6
