INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN
(Skripsi)
Oleh PURNOMO AJI
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016
ABSTRAK
INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN
Oleh PURNOMO AJI
Telah dilakukan penelitian untuk mengetahui apakah definisi Integral Riemann pada barisan masih berlaku atau tidak jika suatu fungsi di tersebut dirubah menjadi bernilai barisan . Penelitian diawali dengan menstransformasikan fungsi nilai mutlak | | di menjadi fungsi norma ‖ ‖ di . Berdasarkan definisi dan teorema-teorema integral Riemann yang ada pada , akan dibuktikan bahwa definisi dan teorema-teorema integral Riemann yang ada pada masih berlaku jika fungsinya menjadi fungsi yang terdefinisi di barisan dengan mencari dan membuktikan teorema-teorema yang mendukung bahwa fungsi barisan memenuhi syarat bahwa fungsi tersebut terintegral Riemann.
Kata kunci: Integral Riemann, barisan
, norma.
ABSTRACT
INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN
By PURNOMO AJI
Research was conducted to determine whether the definition ofthe Riemann Integral row is still valid or if a function on is converted into value-row . The study begins with an absolute value function can transform |. | in be a function ofthe norm ‖ ‖ in . Based on the definitions and theorems of Riemann integral exist in , will be proven that the definitions and theorems of Riemann integral exist in valid if the function becomes a function defined in the row by finding and proving theorems to support that row function qualify that the function Riemann integral.
Key words: Integral Riemann, row
, the norm.
INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN
Oleh PURNOMO AJI
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar SARJANA SAINS Pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di desa Papanrejo, kecamatan Abung Timur, Kabupaten Lampug Utara, Privinsi Lampung. Penulis adalah anak ketiga dari pasangan Bapak Satiran dan Ibu Ratisem.
Penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar (SD) pada tahun 2005 di SD Negeri 1 Papanrejo Kecamatan Abung Timur, Lampung Utara. Pendidikan sekolah menengah pertama di SMP Negeri 1 Bungamayang Lampung Utara pada tahun 2008, pendidikan sekolah menengah atas di SMA Negeri 2 Kotabumi Lampung Utara pada tahun 2011. Penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar sebagai mahasiswa angkatan 2012 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
MOTTO
“Wahai orang-orang yang beriman! Bersabarlah kamu dan kuatkanlah kesabaranmu dan tetaplah bersiap siaga dan bertaqwalah kepada Allah agar kamu beruntung.” (Q.S. Ali Imran : 200)
“Sesunguhnya bersama kesulitan ada kemudahan” (Q.S. Al-Insyirah : 5-6)
PERSEMBAHAN
Dengan segala kerendahan hati dan rasa syukur, aku persembahkan karya kecil ku ini untuk-Mu ya Allah, yang selalu memberikan rahmat dan hidayah sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.
Untuk ibu, bapak, kakakku dan adiku yang selalu memberikan dukungan, kasih sayang, dan tempat istimewa di hati kalian, yang selalu memberikanku motivasi untuk tetap semangat dalam melakukan segala aktivitas.
Kepada teman-temanku, yang telah memberi warna indah di setiap langkah juangku, yang tak pernah henti memberi dorongan dan arahan.
Ku persembahkan karya ini untuk kalian...
SANWACANA
Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan penulisan tugas akhir sebagai salah satu syarat memperoleh gelar sarjana sains di Universitas Lampung ini. Shalawat serta salam semoga tetap tercurahkan kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW, penuntun jalan bagi seluruh umat manusia. Diselesaikannya penulisan skripsi yang berjudul “Integral Riemann Bernilai Barisan
” ini tidak terlepas dari doa, bimbingan, dukungan serta saran dari
berbagai pihak yang telah membantu. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Dr. Muslim Ansori, M.Si., selaku dosen pembimbing utama yang telah meluangkan waktu untuk membimbing, mengarahkan, dan memotivasi penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan. 2. Bapak Drs. Suharsono S., M.S., M.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing kedua yang telah memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini. 3. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji atas kritik dan saran yang membangun untuk skripsi ini.
4. Ibu Ir. Netti Herawati, M.Sc.,Ph.D., selaku pembimbing akademik yang telah membimbing penulis selama mengikuti perkuliahan di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung. 5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. 6. Bapak Prof. Warsito, S.Si.,DEA.,Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. 7. Dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis. 8. Ibu, bapak, kakak, dan adik tercinta yang selalu mendoakan dan menyemangatiku. 9. Sahabat seperjuangan di Matematika angkatan 2012, dan keluarga besar Matematika FMIPA UNILA. 10. Semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini, semoga mendapat imbalan yang sesuai dari Allah SWT.
Penulis menyadari skripsi ini jauh dari sempurna dan penulis juga berharap penelitian ini dapat berguna dan bermanfaat bagi pembaca, aamiin.
Bandar Lampung, 25 Juli 2016 Penulis
Purnomo Aji
DAFTAR ISI
Halaman I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Masalah ................................................................. 1.2 Tujuan Penelitian ................................................................................... 1.3 Batasan Masalah .................................................................................... 1.4 Manfaat Penelitian .................................................................................
1 2 2 3
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Integral Atas dan Integral Bawah Darboux ........................................... 2.2 Integral Darboux .................................................................................... 2.3 Teorema Bolzano Weierstrass ............................................................... 2.4 Integral Riemann ................................................................................... 2.5 Ruang Barisan .......................................................................................
4 11 18 23 38
III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Tempat dan Waktu Penelitian ............................................................... 39 3.2 Metode Penelitian .................................................................................. 39 3.3 Langkah-langkah Penelitian .................................................................. 39 IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Integral Riemann Bernilai Barisan ..................................................... 40 V. KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan ............................................................................................ 59 5.2 Saran ...................................................................................................... 60 DAFTAR PUSTAKA
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang dikemukakan pertama kali oleh Isac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz pada akhir abad ke-17. Selanjutnya konsep ini pada tahun 1850 diteliti secara lebih mendalam oleh Bernhard Riemann. Riemann mendefinisikan integral suatu fungsi pada domain berupa interfal tertutup dan terbatas pada himpunan bilangan real sebagai luas daerah dibawah kurva dari fungsi tersebut. Untuk menentukan luas daerah tersebut diawali dengan membagi interval dimana fungsi terdefinisi menjadi subinterval-subinterval yang banyaknya berhingga. Kemudian dibentuk poligonpoligon dengal lebar
dan tinggi
untuk
pada daerah
dibawah kurva dari fungsi tersebut. Selanjutnya ditentukan luas polgon-poligon di atas kurva dinotasikan dengan ∑ kurva dinotasikan dengan ∑ {
dan luas polygon-poligon di bawah dimana
} dan
{
},
. Dengan penghampiran
bahwa poligon tersebut banyaknya menuju tak hingga, maka luas daerah di bawah kurva atau dengan kata lain integral dari suatu fungsi dapat ditentukan jika limit dari jumlah poligon di atas kurva dan limit dari jumlah poligon di bawah kurva bernilai sama. Cara Riemann mendefinisikan integral seperti di atas disebut pendefisian integral secara konstruktif.
1
Pada tahun 1875, integral Riemann dimodifikasi oleh Jean Gaston Darboux (1842-1917) dengan mengunakan jumlah atas dan jumlah bawah. Integral Darboux ini lebih mudah dipahami daripada integral Riemann itu sendiri, dan ternyata dapat diperlihatkan bahwa integral Darboux ekuivalen dengan integral Riemann.
Pada pendefinisian integral Riemann tersebut, selisih limit jumlah atas atau jumlah bawah dengan nilai integralnya mengunakan nilai mutlak | |. Selanjutnya peneliti tertarik bagaimana jika nilai integralnya diubah menjadi barisan
. Hal
ini dimungkinkan yaitu dengan mengubah nilai mutlak | | menjadi norma ‖ ‖ pada
. Permasalahanya adalah, apakah definisi integral Riemann masih berlaku
atau tidak?
1.2 Tujuan Penelitan
Tujuan dari penelitian ini adalah mengkonstruksikan integral Riemann bernilai barisan
.
1.3 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, penulis hanya akan membahas integral Riemann yang bernilai barisan
.
2
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat yang diharapkan dari hasil penulisan ini adalah: 1. Menambah pengetahuan tentang masalah integral Riemann dan teoremateorema yang berkaitan mengenai integral Riemann. 2. Dapat memberikan kontribusi pemikiran untuk memperluas dan memperdalam wawasan di bidang analisis. 3. Memberikan informasi tentang integral Riemann bernilai barisan
.
3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Integral Atas dan Integral Bawah Darboux
Jika diketahui selang
{
, maka himpunan terurut
dengan
}
merupakan partisi (partition) atau partisi
Riemann pada
. Selanjutnya,
disebut selang bagian ke- dan
disebut panjang selang bagian ke- , dan ‖ ‖
{
}
disebut norma (norm) partisi , (Rudin, 1987).
Jika
dan
partisi
masing-masing partisi pada
dan
merupakan penghalus (refinement) partisi
paling sederhana (kasar) adalah { pada
, maka dikatakan . Partisi pada
yang
} yang dihaluskan oleh partisi
yang lain.
Teorema 2.1.1 Jika dan
Bukti: Jika partisi
dan
masing-masing merupakan partisi pada selang
maka ‖ ‖
‖ ‖ (Darmawijaya, 2006).
{
maka terdapat bilangan asli
} dengan ‖ ‖
sehingga {
}
4
Karena
maka tepat salah satu terjadi: dalam keadaan seperti ini maka diperoleh ‖ ‖
‖ ‖
merupakan himpunan bagian sejati dari himpunan dan
. Jadi ada
untuk suatu . Dalam keadaan ini tentu ‖ ‖
‖ ‖
Dari dua hasil yang diperoleh dapat disimpulkan atau terbukti bahwa ‖ ‖
Perlu dicatat bahwa jika
dan
‖ ‖
masing-masing merupakan partisi pada selang
maka untuk setiap
, selalu berlaku
Contoh: Misalkan {
}
{
}
dan {
}
masing-masing partisi pada selang ‖ ‖
dengan
‖ ‖
mudah dilihat bahwa
‖ ‖
dan ‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖
5
Jumlah atas dan jumlah bawah
Jika diketahui fungsi partisi pada
setiap dan
}
}, maka diperoleh Karena fungsi
dan
untuk
terbatas pada
{
sehingga
berakibat bilangan
} {
titik sebarang, {
dan
{
terbatas
, maka ada bilangan
} dan
{
} dan
ada, dan berlaku
Definisi 2.1.2 Bilangan ∑ Disebut Jumlah Riemann (Riemann Sum) fungsi
pada
bilangan
∑ Disebut Jumlah Darboux Bawah (Lower Darboux Sum) fungsi
pada
,
dan bilangan ∑ Disebut Jumlah Darboux Atas (Upper Darboux Sum) fungsi
pada
,
(Darmawijaya, 2006).
Di atas telah disebutkan bahwa fungsi dan
terbatas maka
masing-masing ada (hingga). Hal ini berakibat bilangan-bilangan , dan
ada untuk setiap partisi
pada
,
Oleh karena itu
diperoleh teorema dibawah ini. 6
Teorema 2.1.3 Jika fungsi pada
terbatas, maka untuk setiap partisi
, diperoleh
masing-masing ada, dan , dengan
{
}
{
}, (Darmawijaya, 2006).
Bukti: Nilai
dan
setiap partisi
masing-masing bergantung pada partisi , tepatnya
pada
menentukan tepat satu nlai
. Sedangkan nilai
dan tepat satu nilai
tidak hanya bergantung pada partisi
tetapi juga bergantung pada pemilihan titik apapun pemilihan
saja
Meskipun demikian,
, Teorema 2.1.3 tetap berlaku. Sifat lebih lanjut
tentang hubungan nilai tiga jenis jumlah, yaitu jumlah Riemann dan jumlah Darboux tersebut di atas tertuang ke dalam teorema di bawah ini.
Teorema 2.1.4 Jika fungsi partisi pada
dan
terbatas,
masing-masing
maka , (Darmawijaya, 2006).
Bukti: Mengingat teorema 2.1.3 maka akan ditunjukan
dan
. Katakan
{
}. Jika untuk suatu
ada
sehingga {
}
{
}
dengan
7
Mudah dipahami bahwa
untuk setiap dengan
Diperoleh suku kesuku dari
dari
terpecah menjadi
, dengan hubungan sebagai berikut: (
)
dengan dengan
Oleh karena itu, dengan menjumlahkan seluruh
Katakan
{
dapat disimpulkan
}. Jika untuk suatu
ada
sehingga {
}
{
}
dengan Mudah dipahami bahwa
untuk setiap dengan
Diperoleh suku kesuku dari
dari
terpecah menjadi
, dengan hubungan sebagai berikut: (
)
8
dengan dengan
Oleh karena itu, dengan menjumlahkan seluruh
Karena terbukti
dapat disimpulkan
dan
, maka dengan
demikian terbukti bahwa
Jika
koleksi semua partisi pada
, dan didefinisikan dua himpunan
bilangan: {
}
{
}
dan diperoleh teorema dibawah ini.
Teorema 2.1.5 Jika fungsi terbatas ke atas dan
terbatas maka: dikatakan terintegral Darboux bawah (lower
Darboux integrable) pada
.
terbatas ke bawah dan
dikatakan terintegral Darboux atas ( upper
Darboux integrable) pada
, (Darmawijaya, 2006).
Bukti: Karena fungsi {
terbatas maka
{
} dan
} masing-masing ada. Menurut teorema 2.1.3 dan
teorema 2.1.4, maka untuk setiap partisi
pada
berlaku
dan
9
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa satu batas aatasnya adalah
dan
terbatas ke atas dengan salah terbatas ke bawah dengan salah
satu batas bawahnya adalah
Berdasarkan teorema 2.1.5 maka dapat disusun pengertian-pengertian sebagai berikut.
Definisi 2.1.6 Diketahui fungsi ( )∫
( )∫
terbatas, maka bilangan:
( )∫
( )∫ , (Darmawijaya, 2006).
Teorema 2.1.7 Jika fungsi
terbatas, maka ( ) ∫
( )∫
(Darmawijaya, 2006).
Bukti: Karena fungsi ( )∫ pada
terbatas, maka menurut teorema 2.1.5 ( ) ∫
ada. Oleh karena itu, untuk setiap bilangan
dari
terdapat partisi
dan
sehingga berlaku
( )∫ Karena
dan
( )∫ partisi pada
dan
maka diperoleh
diperoleh
10
( )∫
( )∫
yang berarti ( )∫
( )∫
2.2 Integral Darboux
Telah diperlihatkan bahwa setiap fungsi
yang terbatas pada suatu selang
tentu terintegral Darboux atas dan terintegral Darboux bawah pada selang dan selalu berlaku ( ) ∫
( )∫
Definisi 2.2.1 Diketahui fungsi maka dikatakan
terbatas pada
, jika ( ) ∫
( )∫
terintegral Darboux (Darboux Integrable) pada
, dan
bilangan ∫ disebut Integral Darboux fungsi
( )∫ pada
( )∫ , (Darmawijaya, 2006).
Teorema di bawah ini merupakan salah satu kriteria apakah suatu fungsi terintegral Darboux atau tidak.
Teorema 2.2.2 Fungsi
yang terbatas pada
jika dan hanya jika untuk setiap bilangan sehingga berlaku
terintegral Darboux pada terdapat partisi
pada
(Darmawijaya, 2006).
11
Bukti: Syarat perlu: Diketahui fungsi ∫
( )∫
terintegral Darboux pada
, maka
( )∫
Oleh karena itu untuk setiap bilangan
terdapat partisi
pada
sehingga berlaku ∫
( )∫
dan ( )∫ karena
∫
merupakan partisi pada
dan
, maka
diperoleh
dari kedua hasil di atas, maka diperoleh ( )∫
( )∫
yang berakibat
Syarat cukup: Diketahui bahwa untuk setiap bilangan pada
terdapat partisi
, sehingga
Telah diketahui dari definisi 2.1.6 dan teorema 2.1.7 selalu berlaku ( )∫
( )∫
12
( )∫
dan ketaksamaan terakhir berakibat
( )∫
untuk setiap
, yang berarti ( )∫
( )∫
Beberapa fungsi yang terintegral Darboux. Tiga teorema di bawah ini memperlihatkan tiga contoh penting fungsi-fungsi yang terintegral Darboux pada selang tertutup
Teorema 2.2.3
∫
(Darmawijaya, 2006).
Bukti: Diambil sebarang bilangan
dan sebarang partisi
}. Karena , untuk setiap ∑
, maka diperoleh
Oleh karena itu diperoleh ∑
yang berakibat terintegral Darboux pada
untuk setiap
{
atau menurut teorema 2.2.2 fungsi , maka
13
{
∫
}
{
∫
Diambil sebarang fungsi
}
yang monoton dan terbatas. Jika
konstan maka sudah terbukti. Jika sebarang bilangan
fungsi
fungsi naik monoton pada
, untuk {
yang diambil lebih dahulu, dibentuk partisi } pada
dengan ‖ ‖
monoton, maka
Karena fungsi
naik
. Oleh karena itu, diperoleh ∑
}
∑{
}
∑{
{
}
yang berarti, menurut teorema 2.2.2 maka fungsi naik monoton dan terbatas, dan terintegral Darboux pada
Bukti sejalan untuk fungsi turun monoton dan
terbatas.
Teorema 2.2.4 Setiap fungsi kontinu pada suatu selang tertutup terintegral Darboux pada selang itu, (Darmawijaya, 2006).
Bukti: Diketahui fungsi seragam pada
kontinu pada selang tertutup
yaitu untuk setiap bilangan
. Fungsi
kontinu
terdapat bilangan
14
yang tak bergantung pada dengan | (A)
|
|
berakibat
|
{
Diambil sebarang partisi || ||
Jadi
sehingga untuk setiap
} pada
untuk setiap
pada setiap selang bagian
dengan
Karena fungsi
, dan terdapat . Karena |
kontinu
sehingga
|
maka menurut A,
berlaku
(B)
|
untuk setiap
|
Oleh karena itu, diperoleh
∑
}
∑{
∑
yang berarti terbukti bahwa fungsi
terintegral Darboux pada selang tersebut.
15
Teorema 2.2.5 Setiap fungsi yang terbatas dan kontinu pada suatu selang tertutup kecuali di beberapa titik, maka fungsi tersebut terintegral Darboux pada selang tertutup itu, (Darmawijaya, 2006). Bukti: Diambil sebarang fungsi terbatas
yang kontinu pada selang tertutup
kecuali di titik
. Tak mengurangi arti jika dianggap Karena fungsi
{
}
Untuk bilangan
terbatas pada {
} ada.
sebarang diambil bilangan positif
{
maka
dengan
} Menurut teorema 2.2.3 karena fungsi
kontinu
pada selang-selang tentu ada partisi
berturut-turut pada
selang tersebut, sehingga
untuk setiap jelas bahwa
. Bentuk partisi partisi pada
jika {
}
{
}
dan
maka diperoleh ∑{
}
∑
16
∑
asalkan
∑
Dengan kata lain, dapat dikontruksikan partisi pada
sehingga berakibat
yang berarti terbukti bahwa fungsi
Akibat 2.2.6 Jika fungsi
terintegral Darboux pada
terbatas dan
dibeberapa titik, maka fungsi
untuk setiap
terintegral Darboux pada
kecuali dan
∫
,
(Darmawijaya, 2006).
Dengan tiga teorema di atas, banyak jenis fungsi dengan secara mudah dapat ditentukan apakah fungsi itu terintegral Darboux pada selang tertutup
atau
tidak.
17
2.3 Teorema Bolzano Weierstrass
Sebelum membahas tentang teorema Bolzano Weierstrass, ada baiknya terlebih dahulu membahas beberapa teorema di bawah ini yang merupakan landasan dasar dari teorema Bolzano Weierstrass.
Teorema 2.3.1 (Barisan Monoton) Barisan monoton { (i)
Jika {
} konvergen jika dan hanya jika {
} naik monoton dan terbatas ke atas, maka {
(ii)
Jika {
} terbatas. Lebih lanjut
}
{
}
} turun monoton dan terbatas ke bawah, maka {
}
{
}
(Berberian, 1996).
Bukti: (i) Diambil sebarang barisan monoton { bilangan
} terbatas. Sebaliknya, jika {
suprimumnya, maka ada bilangan asli
karena {
} konvergen, maka ada
sehingga {
jadi {
}. Jika {
{
} } terbatas ke atas, sebut
sebagai
}. Maka untuk setiap bilangan nyata
sehingga
} naik monoton dan terbatas ke atas, maka
18
untuk setiap bilangan asli bilangan asli
Dari hasil A dan B diperoleh, untuk setiap
berlaku
atau |
|
dengan kata lain terbukti bahwa {
(ii) Diambil sebarang barisan monoton { bilangan
}. Jika {
} konvergen, maka ada
sehingga {
jadi {
}
}
} terbatas. Sebaliknya, jika {
} terbatas ke atas, sebut
sebagai
infirmumnya, dengan { maka untuk setiap bilangan nyata
karena {
} terdapat bilangan asli
sehingga
} naik monoton dan terbatas ke atas, maka
untuk setiap bilangan asli bilangan asli
Dari hasil A dan B diperoleh, untuk setiap
berlaku
atau |
|
19
dengan kata lain terbukti bahwa { jadi terbukti bahwa barisan monoton {
} } konvergen jika dan hanya jika {
}
terbatas.
Teorema 2.3.2 (Teorema Selang Susut) Jika barisan selang tertutup { (i)
} mempunyai sifat-sifat untuk setiap
(ii) maka terdapat satu bilangan nyata
untuk setiap
,
(Darmawijaya, 2006).
Bukti: Karena barisan {
untuk setiap bilangan asli
} naik monoton dan terbatas ke atas dan barisan {
dan terbatas ke bawah. Menerut teorema 3.3.1 { dan {
{
Untuk
dan
} dan
satu pernyataan berikut benar
} turun monoton
} konvergen ke suprimumnya
} konvergen ke infrimumnya, jadi
dengan
diperoleh
{
}. Maka salah
atau
tidak mungkin, sebab jika
maka mengingat syarat
(ii) diperoleh suatu kontradiksi, yaitu:
Untuk
juga tidak mungkin, sebab jika
maka mengingat
syarat (ii) diperoleh suatu kontradiksi, yaitu:
20
Sehingga pernyataan
Diambil
adalah yang paling tepat.
, akan iperlihatkan {
Karena asli . Karena
untuk setiap bilangan asli . } diperoleh
{
untuk setiap bilangan
} diperoleh
untuk setiap
bilangan asli . Jadi, dapat disumpulkan bahwa untuk setiap bilangan asli
Ketungalan
atau
cukup jelas karena ketungalan
atau
ketungalan Teorema 2.3.3 Setiap barisan bilangan nyata paling sedikit mempunyai satu barisan bagian yang monoton, (Darmawijaya, 2006). Bukti: Diambil sebarang bilangan nyata {
}, maka terdapat tiga kemungkinan,
paling sedikit satu terjadi, yaitu: (i)
Untuk setiap
ada
sehingga
hal ini terjadi, maka terdapat barisan bagian {
(ii)
konstan, maka {
} barisan monoton.
Untuk setiap
ada
sehingga
hal ini terjadi, maka terdapat barisan bagian {
dan }
{
dan }
{
Jika } yang
Jika } yang naik
monoton. (iii)
Untuk setiap
ada
sehingga
hal ini terjadi, maka terdapat barisan bagian {
dan }
{
Jika } yang turun
monoton.
21
Teorema 2.3.4 (Teorema Bolzano Weierstrass) Setiap barisan bilangan nyata yang terbatas mempunyai barisan bagian yang konvergen, (Darmawijaya, 2006). Bukti: Diambil sebarang barisan { {
} mempunyai barisan {
} yang terbatas. Menurut teorema 2.3.3
} bagian yang monoton. Jadi {
monoton terbatas. Oleh karena itu, menurut teorema 2.3.1 {
} barisan yang } konvergen.
Teorema Bolzano Weierstrass dapat juga dibuktikandengan mengunakan teorema selang susut. Teorema Bolzano Weierstrass mengatakan bahwa jika {
} barisan
yang terbatas, maka setiap barisan bagianya yang konvergen tidak perlu mempunyai limit yang sama. Tetapi jika setiap barisan bagianya yang konvergen itu mempunyai limit yang sama, maka barisan aslinya akan konvergen ke limit yang sama.
22
2.4 Integral Riemann Telah diketahui bahwa jika fungsi f : [a,b]
terbatas dan P partisi pada [a,b],
maka berakibat L(f;P)
U ( f ;P )
George Friedrich Bernhard Riemann mengunakan
untuk menyusun
integralnya (Rudin, 1987).
Definisi 2.4.1 (Integral Riemann)
Fungsi f : [a,b]
dikatakan terintegral Riemann (Riemann Integrable) pada
[a,b] jika terdapat bilangan A sehingga untuk setiap bilangan bilangan ‖ ‖
terdapat
sehingga jika P = { a = x0, x1,...,xn = b } partisi pada [a,b] dengan berakibat
|
|
|
∑
|
A disebut nilai integral Riemann fungsi f pada [a,b], (Darmawijaya, 2006). Perlu diingat bahwa pengambilan
[ xi-1,xi ] sebarang, dan ‖ ‖ = maks {
,
i= 1,2,…,n }. Sehingga menurut definisi 2.4.1 fungsi f terintegral Riemann pada [a,b] jika dan hanya jika
‖ ‖
‖ ‖
∑
Teorema 2.4.2 Jika f terintegral Riemann pada [a,b], maka nilai integralnya tunggal, (Darmawijaya, 2006). 23
Bukti: Jika A1 dan A2 merupakan nilai integral Riemann pada [a,b], maka untuk sebarang bilangan
< 0 terdapat bilangan
1
< 0 dan
2
< 0 sehingga jika
P1 = { a = x0, x1, … , xn = b } dan P2 = { a = x0, x1, … , xn = b } adalah partisi dari [a,b] dengan || P1 || <
|
diambil dan
|
1
∑
= min {
dan | |P2 || <
|
1,
2 },
yang berarti
|
berturut-turut maka berakibat
|
∑
partisi P = { a =
[ Zi-1, Zi]. Karena || P ||
|
2,
i
∑
|
= b } dengan || P || <
dengan i = 1,2 maka diperoleh
|
|∑
|
dan bukti selesai.
Menurut definisi 2.4.1 dan teorema 2.4.2 jika fungsi f terintegral Riemann pada [ a,b ] dengan nilai integral Riemannya A, yang dapat ditulis dengan
∫
∫
tunggal.
Teorema 2.4.3. Jika fungsi terbatas pada
terintegral Riemann pada
(Darmawijaya, 2006).
Bukti: Andaikan fungsi f tak terbatas ke atas pada bilangan asli
, maka
terdapat
, maka untuk setiap
sehingga
24
Untuk setiap partisi
{
}, tentu
. Hal ini
beratri
‖ ‖
(tidak ada) yang dengan kata lain fungsi
tak terintegral Riemann pada
.
Bukti sejalan, apabila diandaikan tak terbatas kebawah.
Teorema 2.4.4. ( Kriteria Cauchy ) Diketahui fungsi
terbatas. Fungsi
terintegral Riemann pada
jika dan hanya jika untuk setiap bilangan sehingga jika
dan
partisi pada
berakibat |
|
terdapat bilangan
dengan ‖ ‖
dan ‖ ‖
(Berberian, 1996).
Bukti: Syarat perlu: Jika
terintegral Riemann pada
sehingga untuk setiap bilangan partisi pada
terdapat bilangan
dengan ‖ ‖
Diambil sebarang dua partisi
|
sehingga jika
berakibat |
‖ ‖
, maka ada bilangan
|
dan
dengan ‖ ‖
pada
dan
berakibat |
|
|
|
|
25
Syarat cukup: Menurut yang diketahui untuk bilangan 1 terdapat bilangan sehingga jika ‖ ‖ Tulis
dan
dengan ‖ ‖
masing-masing partisi pada
berakibat |
dan
|
sebagai koleksi semua partisi
pada
dengan
‖ ‖ untuk setiap
Diambil
, untuk setiap
|
diperoleh |
atau
jadi, himpunan bilangan nyata { terbatas. Jika angota dan oleh karena itu tangga, maka
}
banyaknya hingga, maka terintegral Riemann pada
merupakan fungsi tangga Jika fungsi
bukan fungsi
merupakan himpunan bilangan terbatas yang banyak
angotanya tak hingga. Menurut teorema 2.3.4. (Teorema Bolzano-Weierstrass), mempunyai paling sedikit satu titik limit, namakan titik limit itu Hal ini berarti untuk setiap bilangan
terdapat
sehingga | Dengan kata lain fungsi
|
terintegral Riemann pada
26
Teorema 2.4.3. mengatakan bahwa setiap fungsi yang tak terbatas pada suatu selang tertutup tak akan terintegral Riemann pada selang itu. Teorema dibawah ini akan menunjukan ekuivalensi antara integral Riemann dan integral Darboux.
Teorema 2.4.5. Fungsi
terintegral Riemann jika dan hanya jika
terintegral
Darboux pada selang tertutup yang sama. Lebih lanjut ∫
∫
(Berberian, 1996). Bukti: Syarat perlu: Jika fungsi ∫ jika
terintegral Riemann pada
sehingga untuk setiap bilangan
{
, maka ada bilangan
terdapat bilangan
} partisi pada
dan
dengan ‖ ‖
berakibat
|
|
|
∑
|
atau
Perlu diingat bahwa pemilihan
sebarang. Karena {
}
dan
27
{ ada, maka untuk setiap
} dapat dipilih
( )
sehingga
( )
setelah dikalikan dengan
kemudian dijumlahkan, diperoleh
oleh karena itu
yang berakibat
atau fungsi
terintegral Darboux pada
Syarat cukup: Karena setiap bilangan
terintegral Darboux pada selang
terdapat partisi
pada
, maka untuk
sehingga berlaku
Tetapi telah diketahui bahwa
∫
berdasarkan tiga ketidaksamaan terakhir, dapat disimpulkan bahwa
|
∫
|
28
yang berarti bahwa fungsi
terintegral Riemann pada
∫
, dan
∫
Setelah diketahui adanya ekuivalensi antara integral Riemann dan integral Darboux, maka akan diselidiki sifat-sifatnya lebih lanjut. Untuk menyingkat penulisan perlu diadakan kesepakatan bersama bahwa jika tidak ada kerancuan atau maksud tertentu, untuk selanjutnya yang dimaksud dengan perkataan fungsi yang terintegral adalah fungsi yang terintegral Riemann atau fungsi yang terintegral Darboux dan
∫
∫
∫
Himpunan semua fungsi yang terintegral Riemann atau terintegral Darboux pada selang tertutup
Jadi, jika
berturut-turut ditulis dengan
terintegral pada
ditulis dengan
dan untuk lebih menyingkat nilai integralnya maka dapat ditulis dengan ∫ ∫
Jadi
∫
∫
∫
∫
29
{
Mudah dipahami bahwa untuk setiap partisi pada
,
}
sebarang konstanta
untuk
setiap , selalu berlaku: 1. 2. 3.
asalkan
4.
asalkan
5.
asalkan
6.
asalkan
7. 8.
Teorema 2.4.6. R
merupakan ruang linear untuk setiap
dan
Lebih lanjut i.
∫
ii.
∫
∫ ∫
∫
(Stewart, 2002).
Bukti: Karena
, maka menurut teorema 2.4.3. fungsi
masing-masing terbatas pada {|
|
dan fungsi
Namakan }
{|
|
}
30
dan {| | karena
}
, maka untuk setiap bilangan
sehingga jika
terdapat bilangan
partisi pada
dengan ‖ ‖
berakibat
|
|∫
|
|∫
selanjutnya diperoleh i.
| ∫
|
| ∫
| | |∫
|
|
| | Dengan kata lain terbukti bahwa
dan
∫ ii.
| ∫ |∫
∫
|
∫ |
|∫
|∫
|
∫
|
Dengan kata lain, terbukti bahwa ∫
Menurut akibat 2.2.6. jika fungsi
dan ∫
∫
terbatas dan
kecuali dibeberapa titik, maka fungsi
untuk setiap
,
terintegral dan
∫ dengan mengunakan hasil tersebut akan dibuktikan teorema dibawah ini.
31
Teorema 2.4.7. Jika
, fungsi
kecuali di beberapa titik, maka
terbatas pada
, dan
, dan ∫
∫
(Berberian, 1996). Bukti: Karena fungsi
terbatas pada
, maka fungsi
dan
, kecuali dibeberapa titik. Oleh karena itu
menurut akibat 2.2.6 fungsi
terintegral dan
∫
Teorema 2.4.8 Jika
untuk setiap
mempunyai sifat terbatas pada
untuk setiap
∫
dan
∫
dan
∫
∫
∫
untuk setiap
, maka
∫ (Berberian, 1996).
Bukti: Karena setiap partisi
untuk setiap {
dan } pada
, maka untuk diperoleh
dengan {
}
{
}
Hal ini berakibat
‖ ‖
∫
32
Teorema 2.4.9 Jika
dan
untuk setiap
∫
maka
∫
(Berberian, 1996). Bukti: Dibentuk fungsi
Mudah difahami bahwa
untuk setiap
dan
Menurut teorema 2.4.8 diperoleh ∫
∫
∫
∫
atau terbukti bahwa ∫
∫
Teorema 2.4.10 Diketahui jika dan hanya jika
dan dan ∫
terbatas.
. Dalam hal ini ∫
∫
(Stewart, 2002).
Bukti: Syarat perlu: Karena partisi
pada
dibentuk dan partisi pada
, maka untuk setiap bilangan
terdapat
, sehingga
{ } dengan
Jelas bahwa partisi pada
dan
Oleh karena itu diperoleh
33
dari
diperoleh {
}
{
}
yang berakibat
dengan kata lain terbukti bahwa
dan
{
∫
. Lebih lanjut
}
{
}
{
}
∫
{
}
∫
Syarat cukup: Karena
dan
, maka nilai-nilai limit dibawah
ini ada: ∫ dengan
‖
∫
‖
merupakan partisi pada
jelas bahwa
partisi pada ∫
‖ ‖
‖
∫
dan
‖
‖
merupakan partisi pada Oleh karena itu
‖ ‖
‖
‖
‖
∫
34
Catatan: Syarat cukup dapat dibuktikan dengan memanfaatkan bahwa fungsi terintegral Darboux pada
maupun pada
Teorema 2.4.11 Jika fungsi
terintegralkan pada
kontinu pada fungsi
dan
untuk setiap
terintegral pada
Bukti: Karena
maka
} ada. Lebih lanjut, fungsi
Oleh karena itu untuk sebarang bilangan |
sehingga jika | {
Diambil partisi
kontinu seragam pada
terdapat bilangan
| terintegral pada
, maka terdapat
sehingga berlaku
{
dibedakan indeks
} dan {
}
{
}
{
}
{
}
tersebut menjadi dua kelompok yang terpisah {
Jika
terbatas disana.
berakibat
} Karena fungsi
pada
katakana
|
maka
(Berberian, 1996).
kontinu pada selang tertutup
{
Jadi,
serta fungsi
} maka diperoleh |
{ |
dan berakibat
35
| (
)
|
oleh karena itu
dan ∑
jika
maka diperoleh
Oleh karena itu
∑
jika
∑
maka diperoleh
dan
∑
∑
{
oleh karena itu, untul
}
diperoleh ∑
dari
dapat disimpulkan
dengan kata lain terbukti fungsi
terintegral pada
36
Teorema 2.4.12 Jika
, maka
Bukti: karena
(Gaughan, 1998).
, maka untuk setiap bilangan
sehingga jika
dengan ‖ ‖
partisi pada
|∫
|
terdapat bilangan berakibat
|∫
|
selanjutnya diperoleh |(∫
∫
|∫
∫
|∫
∫
|∫
)
|
|
∫
∫
(∫
)
|
(∫
| (∫
)
(∫
| (∫
)|
| (∫
)|
)|
)|
dengan kata lain terbukti bahwa
37
2.5 Ruang Barisan
Definisi 2.5.1 Deberikan
yaitu koleksi semua barisan bilangan real, jadi: {
{ ̅ a. Untuk setiap bilangan real {
{ }
∑
}
dengan
| |
pada
didefinsikan
yaitu
(∑| | )
{
{ }
∑
| |
} dan norm
| |
} dan norm
yaitu ‖ ‖
c. Untuk pada
didefinisikan } dan norm pada
‖ ‖
b. Untuk
}
didefinisikan
∑| | {
{ }
yaitu ‖ ‖
| |
(Darmawijaya, 2007).
38
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilakukan di jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada semester ganjil tahun ajaran 20152016.
3.2 Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka, yaitu dengan mengkaji buku-buku dan jurnal-jurnal yang berkaitan dengan penelitian ini.
3.3 Langkah-Langkah Penelitian Adapun langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut:
Mengetahui definisi tentang integral Riemann dan teorema-teorema yang berkaitan dengan integral Riemann.
Menganti fungsi nilai mutlak | | di
Membuktikan apakah definisi dan teorema-teorema yang terkait dengan integral Riemann bernilai barisan
dengan fungsi norma ‖ ‖ di
.
.
39
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Pada penelitian ini telah berhasil dikonstruksikan integral Riemann untuk fungsifungsi bernilai barisan
yang merupakan pengembangan dari integral Riemann
fungsi-fungsi bernilai real Fungsi ̅
dikatakan terintegal Riemann pada
bilangan ̅
sehingga untuk setiap bilangan
terdapat bilangan
{
sehingga jika
dengan ‖ ‖
pada
jika ada
‖
} partisi
berakibat ̅
‖
‖ ̅
∑| dan ̅
dengan ̅ integral Riemann fungsi ̅ pada
Perlu diingat bahwa pengambilan
∑ ̅
∑
‖
| , ̅ disebut nilai
. sebarang dan ‖ ‖
}. Selanjutnya fungsi ̅ terintegral Riemann pada
{ jika dan hanya jika
59
‖ ‖
Jika ̅
‖ ‖
terintegral Riemann pada
tunggal. Fungsi ̅
̅
, maka nilai integralnya terintegral Riemann pada
jika dan hanya jika Riemann pada
∑ ̅
masing-masing terintegral
.
5.2 Saran
Pembahasan skripsi ini hanya berfokus pada integral Riemann yang bernilai barisan
, sehingga penulis menyarankan agar dilakukan penelitian yang lain.
60
DAFTAR PUSTAKA
Berberian, S.K. 1996. Fundamental of real Analysis. Unyversity of Texas, USA. Darmawijaya, Soeparna. 2006. Pengantar Analisis Real. Universitas Gajah Mada, Yogyakarta. Darmawijaya, Soeparna. 2007. Pengantar Analisis Abstrak. Universitas Gajah Mada, Yogyakarta. Gaughan, Edward, D. 1998. Introduction to Analysis. Fifth Edition. New Mexico State University, Mexico. Rudin, Walter. 1987. Principles of Mathematical Analysis. Third Edition. McGraw-Hill, New York. Stewart, J. 2002. Kalkulus. Edisi keempat, Jilid 1. Alih Bahasa oleh I Nyoman Susila dan Hendra Gunawan. Erlangga, Jakarta.
61
