Integral
AntiTurunan (Antiderivative) AntiTurunan dari sebuah fungsi f adl sebuah fungsi F sedemikian hingga
Diberikan Pada Pelatihan Guru-Guru Aceh Jaya 5 September 2013 Oleh: Ridha Ferdhiana, M.Sc
F f Ex.
AntiTurunan dari 2 adl F ( x) 3x 2
f ( x) 6 x
krn F ( x ) f ( x ).
Integral Tak Tentu Pernyataan:
f ( x)dx
dibaca “integral tak tentu dari f terhadap x,” Artinya adl mendapatkan semua antiturunan dari f.
f ( x)dx Tanda Integral
Konstanta dari Integrasi Setiap antiturunan F dari f harus dalam bentuk F(x) = G(x) + C, dimana C adl sebuah konstanta. Perhatikan
6 xdx 3 x 2 C
x disebut peubah integrasi
Integrand
Mewakili semua antiturunan yang mungkin dari 6x.
Aturan Pangkat dari Integral TakTentu, Bagian I
Ex.
x 3dx
x C 4
f g dx fdx gdx x x dx x dx xdx 2
2
kf ( x)dx k f ( x)dx
3
1 dx ln x C x
x b x b dx ln b C e x dx e x C
Contoh: Ex. Dapatkan integral tak tentu dari:
x3 x 2 C 3 2
(k constant)
x4 x4 2 x dx 2 x dx 2 C C 4 2 3
x 1dx
Integral TakTentu dari ex dan bx
4
Aturan Perkalian dengan Konstan
Ex.
x n 1 n x dx C if n 1 n 1
Aturan Jumlah dan Kurang
Ex.
Aturan Pangkat dari Integral TakTentu, Bagian II
u 3e
7 2u 2 6 du u
1 du 2 u 2 du 6du u 2 3eu 7 ln u u 3 6u C 3
3 eu du 7
Integrasi dengan Substitusi
Integrasi dengan Substitusi
Metode integrasi yang berhubungan dengan aturan rantai. Jika u adl fungsi dalam x, maka kita bisa mengunakan formula/persamaan
f du du / dx
fdx
Ex. Dapatkan integral:
Ambil u x 3 5, maka du 3x 2 dx
u 9 du
du dx 3x 2 x3 5 u10 C 10 10
Let u 5 x 2 7 then
x 5 x 2 7dx
Ex. Dapatkan
du dx 10 x
1 1/ 2 u du 10
Substitusi
1 u C 10 3 / 2 2
7 15
Integralkan
3/ 2
C
Substitusi
dx
x ln x 3
Let u ln x then xdu dx dx
x ln x 3
3/ 2
5x
Tentukan u, dptkan du
u 3du
u 2 C 2
ln x 2
10
C
Substitusi ulang
Integralkan
Subtitusi
Ex. Dapatkan x 5 x 2 7 dx
∫ 3x 2 ( x3 +5)9 dx
2
C
Ex. Dapatkan
e3t dt e3t 2
Let u e3t +2 then
Ekspresi Integral yang mengandung ax + b
du dt 3t 3e
Aturan
ax b
e3t dt 1 1 du e3t 2 3 u
ln u
3
C
a( n 1)
1 ax b e C a
ax b c dx
1 ax b c C a ln c
Dapatkan x 3 sin x 2 6 x dx
Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri
Penyelesaian:
u=x 2 +6x du du ( ) Jadi =2x +6=2 x+3 atau dx= dx 2 ( x+3 )
cos xdx sin x C sin xdx cos x C 2 sec xdx tan x C
Substitusi kan kedalam integral, shg
x 3 sin x 2 6 x dx x 3 sin u
3cos x 2sin x dx 3sin x 2 cos x C
n 1
1 ln ax b C a
ax b e dx
Ex. Substitusi
Integral Fungsi Trigonometri
Ex.
n 1 ax b dx C
1 ax b dx
C
3 ln e3t 2
n
15
1 du 2 x 3
1 1 1 sin udu cos u C cos x 2 6 x C 2 2 2 16
Substitusi Ex.
x
2
Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri
du dx 2 3x
Let u x 3 then
tan xdx ln cos x C cot xdx ln sin x C sec xdx ln sec x tan x C csc xdx ln csc x cot x C
sin x3 dx
x 2 sin x 3 dx
1 sin u du 3
1 1 3 cos u C cos x C 3 3 17
tan xdx ln cos x C
Mengapa
?
Integral mengandung (ax + b)
Tuliskan tan x sbg (sin x)/(cos x) dan tetapkan u = cos x, shg:
sin x tan xdx dx cos x sin x du u sin x du u ln u C
18
u cos x du Jadi sin x dx du dan dx sin x
1 sin ax b dx cos ax b C a 1 cos ax b dx sin ax b C a Ex.
ln cos x C 19
7 sin 3 x 5 dx
7 cos 3 x 5 C 3
20
Integral mengandung (ax + b)
TEKNIK PENGINTEGRALAN
1 tan ax b dx ln cos ax b C a 1 cot ax b dx ln sin ax b C a 1 sec ax b dx ln sec ax b tan ax b C a 1 csc ax b dx ln csc ax b cot ax b C a
Integration by Parts (Pengintegralan Perbagian)
21
TEKNIK PENGINTEGRALAN • Setiap aturan turunan pasti mempunyai aturan integral yang berhubungan – Contoh: Aturan Substitusi berhubungan dengan aturan rantai untuk turunan.
TEKNIK PENGINTEGRALAN • Aturan integrasi yang berhubungan dengan aturan kali para turunan adalah aturan pengintegralan perbagian.
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN • Aturan Perkalian mengatakan, jika f dan g adalah fungsi yang bisa diturunkan, maka
d f ( x) g ( x) f ( x) g '( x) g ( x) f '( x) dx
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN • Penulisan integral tak tentu dari persamaan tsb menjadi
f ( x) g '( x) g ( x) f '( x) dx f ( x) g ( x) • atau
f ( x) g '( x) dx g ( x) f '( x) dx f ( x) g ( x)
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
• Persamaan diatas bisa kita atur kembali spt:
• Jika u = f(x) dan v = g(x). Rumus 1
– Maka, turunannya adl:
f ( x) g '( x) dx f ( x) g ( x) g ( x) f '( x) dx
du = f’(x) dx and dv = g’(x) dx
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Rumus 2
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Contoh 1
• Shg, dgn aturan substitusi, maka rumus integral perbagian menjadi:
u dv uv v du
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
• Dapatkan ∫ x sin x dx – Misal f(x) = x dan g’(x) = sin x dx. – Maka, f’(x) = 1 dan g(x) = –cos x.
PERHATIKAN
Contoh 1
• Menggunakan rumus 1:
x sin x dx f ( x) g ( x) g ( x) f '( x) dx x( cos x) ( cos x) dx x cos x cos x dx x cos x sin x C
– Coba turunkan fungsinya.
• Tujuan kita menggunakan pengintegralan perbagian adl untuk mendapatkan bentuk integral yg sederhana, jadi jika bentuknya lebih rumit (sulit) untuk diselesaikan maka pengintegralan kurang benar.
PERHATIKAN • Dari contoh 1 • Jika kita pilih u = sin x dan dv = x dx , maka du = cos x dx dan v = x2/2. • Jadi, pengintegralan perbagian menjadi:
x2 1 2 x sin x dx (sin x) 2 2 x cos dx – Walapun benar namun x2cos x dx lebih susah diintegalkan.
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
PERHATIKAN • Jadi, dalam memilih u dan dv, sehrsnya u = f(x) dipilih sdh sehingga menjadi fungsi yg lebih sederhana ketika diturunkan.
– Namun, pastikan juga bahwa dv = g’(x) dx bisa diintegralkan dengan mudah.
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Contoh 2
Contoh 2
• Dapatkan ∫ ln x dx u ln x du
dv dx 1 dx x
vx
dx ln x dx x ln x x x x ln x dx
x ln x x C
INTEGRAND MENGANDUNG Substitusi dengan Selesaikan
MERASIONALKAN SUBSTITUSI
INTEGRAND MENGANDUNG Selesaikan Substitusi dengan
Shg akan kita dapatkan
n
√ ax+b
Selesaikan
Substitusi Shg
MELENGKAPKAN KUADRAT Selesaikan
Selesaikan
Substitusi Shg
dan
Jumlahan Riemann Jika f adl sbh fungsi yg kontinu, maka jumlahan Riemann dari n bagian yang sama untuk f sepanjang selang [a, b] didefinisikan sbg: n 1
k 0
f xk x
f ( x0 )x f ( x1 ) x ... f ( xn 1 )x f ( x0 ) f ( x1 ) ... f ( xn 1 ) x dimana a x0 x1 xn b adl bagian
Integral Tentu Jika f adl fungsi yg kontinu, integral tentu f dari a ke b didefinisikan sbg b
n 1
f xk x a f ( x)dx nlim k 0
fungsi f disebut integrand, angka a dan b disebut limits dari integrasi, dan peubah x disebut peubah dari integrasi.
x (b a) / n
Pendekatan Integral Tentu
Integral Tentu b
f ( x)dx
Ex. Hitung jumlahan Riemann utk 2
integral n 1
x 2 dx menggunakan n = 10.
0
9
1 5
f xk x xk 2 k 0 k 0
(1/ 5)2 (2 / 5)2 ... (9 / 5)2 (1/ 5)
2.28
a
dibaca “integral dari a ke b dari f(x)dx.” Peubah x bisa dirubah menjadi peubah apa saja, contoh b b
f ( x)dx f (t )dt a
a
Area dibawah Kurva
Memperkirakan Area y f ( x)
Lebar: ba x n (n persegi panjang.)
2 Perkirakan area dibawah kurva f ( x) 2 x on 0, 2
Menggunakan n = 4.
a
A x f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 )
b
Ide: Mendapatkan area sebenarnya (tepat/persis) dibawah kurva sbh fungsi. Metode: Menggunakan tak hingga persegipanjang dgn lebar yg sama dan menghitung area dgn limit.
Area Dibawah Kurva
A
1 f 0 2
1 3 f f 1 f 2 2
A
1 1 9 7 0 2 2 2 2 2
Teorema Dasar Kalkulus y f ( x)
Jika f adl fungsi yg kontinu pada [a, b]. x
1. If A( x) f (t )dt , then A( x) f ( x). a b f kontinu, taknegatif pada [a, b]. Area adl Area lim
n
b
a
n 1
f x x k
k 0
f ( x)dx
a
2. Jika F adl sebarang antiturunan yang kontinu dari f dan bisa didefinisikan pada [a, b], maka
b
a
f ( x) dx F (b) F (a )
Teorema Dasar Kalkulus
Mengevaluasi Integral Tentu Ex. Hitung
x
Ex. If A( x) t 5tdt , find A( x). 3 4
5
1
a
2x
1 2 x 1 dx 1 x
5
5 1 1 dx x 2 ln x x 1 x
A( x) 3 x 4 5 x
1
0
2x x2 3
1/ 2
dx
2x x 0
2
3x
1/ 2
4
Menghitung Area Ex. Dapatkan area yg dibatasi oleh sumbu x, 2 garis vertikal x = 0, x = 2 dan kurva y 2 x .
let u x 2 3 x du then dx 2x 1
28 ln 5 26.39056
Substitusi untuk Integral Tentu Ex. Hitung
52 ln 5 5 12 ln1 1
Perhatikan bhw limit integrasi berubah
2
0 2x dx
dx u du 1/ 2
0
4
16 2 u 3/ 2 3 3 0
2
0
3
2
2x3 adl tak negatif pada [0, 2].
1 1 1 2 x dx x 4 24 04 2 0 2 2 3
Antiturunan
8
Teorema Dasar Kalkulus
Penggunaan Integral : Luas Kurva Dapatkan area dibawah kurva
Penggunaan Integral : Luas Kurva
y=x 2 +2
Dapatkan area dibawah kurva
y= √ x−1 y 2 =x−1 x= y 2 +1
Sumbu y, y = 1 dan y= 5
Dari x = 1 ke x = 2
2
Area=∫ ( x 2 +2)dx
[
= =
1
3
x +2x 3
2
]
5
Area=∫ ( y 2 +1)dy 1
1
13 3
=45
Penggunaan Integral : Luas Antara 2 Kurva
5
[ ]
y3 = +y 3
1
1 3
Penggunaan Integral : Luas Antara 2 Kurva 3
Dapatkan area yang dibatasi oleh y=x , x=0, dan y=3
y=x 3 , jadi x= y 1/3 d
Area=∫ f ( y)dy c b
b
Area=Luas=∫ [ f ( x 2 )−f ( x 1 )]dx=∫ ( y 2− y 1 )dx a
a
Penggunaan Integral : Luas Antara 2 Kurva
Penggunaan Integral : Luas Antara 2 Kurva 2
Dapatkan area yang dibatasi oleh y=x +5x , dan y=3−x
d
Area=∫ f ( y)dy c
3 1/3
=∫ ( y )dy 0
[
3 4 /3 = y 4
3
]
2
b
Area=∫ ( y 2− y 1 )dy a
kurva
y=3−x 2 2
0
diatas y=x +5x
=3.245
Penggunaan Integral : Luas Antara 2 Kurva
Penggunaan Integral :Volume Benda Putar
Titik perpotongan terjadi pada
x 2 +5x=3−x 2 → x=−3, atau x=0.5 b
Area=∫ ( y 2− y 1 )dy a 0.5
=∫ [ (3−x 2)−( x 2 +5x) ] dx −3 0.5
Diberikan area yang dibatasi oleh y = 3x, sumbu x dan x=1
=∫ [ 3−5x−2x ] dx 2
−3
[
= 3x−
2
5x 2x − 2 3
Diputar mengelilingi sumbu-x, 360 derajad
3 0.5
]
−3
=14.29
Penggunaan Integral :Volume Benda Putar
Penggunaan Integral :Volume Benda Putar b
V =π ∫ y 2 dx 1
a
=π ∫ (3x)2 dx 0 1
=π ∫ 9x 2 dx 0
Menurut integral Riemann
V =π r 2 h V =π y 2 dx
b
b
V =π ∫ y dx 2
a
V =π ∫ f 2 ( x)dx a
3 1
=π [ 3x ]0=3 π
