SIGMA, Vol. 12, No. 1, Januari ISSN: 1410-5888
2009: 79-89
INTEGRAL-C FUNGSI BERNILAI DI RUANG BANACH Herry Pribawanto Suryawan Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Teromol Pos 29, Yogyakarta 55002. Alamat e-mail:
[email protected]
Abstract
It Is known that C -integral is a constructive minimal integration process of Riemann type which inciudes the Lebesgue integral and also integrates the derivatives of differentiable function. In this paper, we define and study the C integrai of functions mapping an intervai [a,b] into a Banach space X . Many ciassical resuits of the C -integral can be generalized immediately into Banachvalued function version K e y w o r d s : C -integral, Banach space, C -partition, AC-C function 1. Pendahuluan Jika F : [ a , b ] - > R suatu fungsi terdiferensial dan f adalah turunannya, maka permasalahan mencari F dari f disebut permasalahan (mencari) primitif. Pada tahun 1912, permasalahan primitif diselesaikan oleh A. Denjoy dengan suatu proses integrasi yang disebut totalisasi, dan dikenal dengan integral Denjoy. Integral ini juga memuat integral Lebesgue dan integral Riemann tak wajar. Pada tahun 1914, penyelesaian lain diberikan oleh O. Perron melalui metode yang berdasarkan pada fungsi mayor dan fungsi minor, dan dikenal dengan integral Perron. Penyelesaian ketiga yang berdasarkan pada perumuman integral Riemann, diberikan secara independen oleh J. Kurzweil (1957) dan R. Henstock (1963), dan dikenal dengan integral Henstock-Kurzweil. Ketiga integral ini masing-masing memperumum aspek yang berbeda dari integral Lebesgue, tetapi satu hal yang menarik dan patut dicatat adalah bahwa ketiganya ekuivalen, dalam arti menghasilkan ruang fungsi terintegral yang sama dan memenuhi sifat-sifat yang sama (Gordon, 1994). A. M. Bruckner, R. J. Fleisner dan J. Foran (Bruckner et al., 1986) meneliti fungsi
Fungsi ini merupakan primitif untuk integral Riemann tak wajar, dan karenanya merupakan primitif untuk integral Henstock-Kurzweil, akan tetapi fungsi ini bukan suatu primitif untuk integral Lebesgue ataupun fungsi terdiferensial. Hal ini menuntun pada penyelidikan mengenai integral minimal yang memuat integral Lebesgue sekaligus mengintegralkan turunan dari suatu fungsi terdiferensial. B. Bongiorno (1996) memberikan penyelesaian masalah tersebut dengan memperkenalkan proses integrasi minimal konstruktif bertipe-Riemann, yang dikenal sebagai integral-C . Sifat-sifat dari integral-C untuk fungsi bernilai-real telah banyak dibicarakan oleh B. Bongiorno (2000) dan L. Di Piazza (2002). Suryawan (2007), membahas integral-C khususnya terkait karakterisasi deskriptif integral-C melalui suatu perumuman fungsi kontinu mutlak. Penelitian mengenai teori integral di ruang Banach berkembang pesat akhir-akhir ini seperti dapat dibaca pada Schwabik dan Ye (2005). Di dalam makalah ini, akan didefinisikan dan dipelajari integral-C dari fungsi-fungsi yang memetakan interval tertutup terbatas [a,b] di R ke ruang Banach X . Hasil-hasil klasik seperti kriteria Cauchy untuk keterintegralan dan Lema Saks-Henstock dapat diperumum secara langsung. Pembahasan di dalam makalah ini terutama mengacu pada Suryawan (2007) dan Zhao and Ye (2007).
79
Herry Pribawanto
Suryawan
2. Definisi dan Sifat-Sifat Dasar Di dalam makalah ini, 1 = [a,b] menyatakan interval tertutup terbatas yang tidak degenerate di dalam R, sementara X adalah ruang Banach atas lapangan R dengan norma di dalam X dituliskan || ||. Ruang dual dari X ditulis dengan X\
dan 6 ( X * ) menyatakan
bola satuan di dalam X*. Partisi D adalah koleksi berhingga dari pasangan interval-titik {(/,.',)}/Li' dengan
adalah koleksi subinterval dari / yang tidak saling tumpang tindih
(non-overlapping). Notasi S(t) menyatakan fungsi positif pada / , yakni S(t):l -^R^. Koleksi D = {{li,ti)}U di atas disebut: n
(1)
partisi parsial dari / jika M / , czl,
(2)
partisi dari / jika [ J / , = / , (•=1
(3)
partisi McShane ^-fine dari / jika /, ce(f,.,^(f,.)) = ((,.-^(f,.),f,.+J(f,)) dan f,. G/Q,
(4)
untuk setiap / = 1,...,n, partisi-C S-f\ne dari / jika D merupakan partisi McShane J-fine dari / dan memenuhi /=i dengan cf(f,, ) = inf { | s, - f, | : s, e /,},
(5)
^
partisi J-fine dari / jika f, G/, C 6(f,.,^(f,.)), untuk setiap i = X...,n.
Diberikan partisi-C d-fme C = { ( / , , ( , ) } m a k a jumlahan integral fungsi f .t-^X
terhadap
D adalah
S(f,D) = Yf(X)m(X). ;=i di mana rrj(/, ) menyatakan ukuran Lebesgue /, , yakni panjang interval /,. Definisi 2.1 Fungsi f :! setiap £>0
X terintegral-C pada / jika terdapat vektor A e X sedemikian sehingga untuk ada fungsi positif S(t): / —> R^ sehingga
\\S(f,D)-A\\<£ untuk setiap partisi-C J-fine D = {(/,,f,
dari/.
Vektor A disebut integral-C S-fme dari f pada / dan ditulis
A-lr Fungsi f terintegral-C pada himpunan E
I jika fungsi f^E terintegral-C pada / dan ditulis
Hasil yang pertama menyatakan bahwa integral-C suatu fungsi adalah tunggal. Teorema 2.2 Apabila fungsi f : / - > X terintegral-C pada / , maka
80
f tunggal.
SIGMA
Vol. 12, No. 1, Januari
2009
Integral-C Fungsi Bernilai di Ruang
f = >A dan f = S Diberikan £>0
Bukti: Misaikan ada dua nilai untuk | f sebut Karena partisi-C
Banach
= A maka ada fungsi positif S^{t):I^R^
sehingga ||S(4D)-/A|| <
sebarang. untuk setiap
S-fme D dari /. Karena ^f = B, maka ada fungsi positif S2{t):l ^R* sehingga
| | S ( f , D ) - e | | < - | untuk setiap partisi-C J-fine D dari /. Pilih S{t) = mm{S^{t),S2{t)} pada / , maka untuk sebarang partisi-C S-fme D dari / berlaku
A-B
< S(f,D)-A
+
S{f,D)-B
£ £ < — + — = £.
2
2
Terbukti bahwa A = B. Hasil berikutnya dikenal sebagai kriteria Cauchy untuk keterintegralan. Teorema 2.3 Fungsi f : / -> X terintegral-C pada / jika dan hanya jika untuk setiap £>0 S{t) .I^R^
ada fungsi positif
sehingga
S(f,D,)-S(f,D2)\\<£ untuk setiap partisi-C <5-fine
dan
(1)
dari /.
Bukti: Apabila f terintegral-C pada /, maka untuk sebarang £>0
positif S{t) .l—>R* sehingga S ( 4 D ) - |
yang diberikan ada fungsi
<—, untuk setiap partisi-C
cJ-fine D dari /.
Oleh karena itu berlaku ||S(4 D,)
- S{f, D2 )|| < ||S(4
)- {f
II + ||S(4 D,) - j fII < I +1 = ^
untuk setiap partisi-C <5-fine D, dan D2 dari /. Sebaliknya, diberikan £>0
sebarang, tulis
S{£) = {S{f,D): D partisi-C S-fme dari / } c X. Karena (1) berlaku untuk setiap partisi-C S-fme
dan D2 dari /, maka diameter S{£) di
dalam X memenuhi diamS(£•)<£. Apabila £^<£2, maka S(£-^)c: S(£'2) karena dapat dipilih fungsi positif S.^{t) dan <5'2(0 yang berturut-turut berkorespondensi dengan sehingga S.^{t) < S2{t), t^l.
Jadi S f = P | S ( £ - ) c X
S{f) = {A}. Untuk suatu jumlah integral S{f,D)
dan £2
terdiri dari satu titik tunggal, yakni
berlaku ||S(4D) - A|| <
apabila D
sebarang partisi-C cJ-fine dari /. • Teorema 2.4 Jika fungsi f:! -> X terintegral- C pada /, maka f terintegral- C pada setiap subinterval tertutup /g dari /. Bukti: Ambil sebarang partisi-C
J-fine
D, ={(/,,f,)}f^^
dan D2 = {(>^;'Sy)}y=i dari 4.
Himpunan / \ 4 dapat dinyatakan sebagai gabungan berhingga interval-interval yang termuat di dalam /. Ambil sebarang partisi-C S-fme dari setiap interval tersebut. Maka diperoleh koleksi berhingga dari pasangan interval-titik {(M^.U;,)};,^., yang masing-masing bersama-sama
SIGMA Vol. 12, No. 1, Januari
2009
81
Herry Pribawanto
Suryawan
dengan dan D2 membentuk dua partisi-C S-f\ne dari /, sebut D/ dan D2'. Selanjutnya kriteria Cauchy memberikan |s(f, D; )-s{f,
)|| < s.
D; )|| = ||s(4 D, ) - s{f,
Terbukti f terintegral-C pada 4. • Teorema 2.5 Jika f terintegral- C pada setiap interval tertutup
dan 4 tidak saling
dan 12, dengan
tumpang tindih dan /1U/2 =A maka f terintegral-C pada / dan berlaku f+ f= f. Bukti: Tulis F = 0 4 merupakan sisi persekutuan dari dan 4 . Diberikan sebarang ^ > 0, maka ada fungsi positif 5|(f): C
J.,-fine
—>
{(v^,.f,dari
Y^f{s^)m{K^)-[f
sehingga
< — untuk setiap partisi-
/=1
, dan ada fungsi
<— untuk setiap partisi- C
positif
^2(0-4^'^^
sehingga
S2-f\r\e {(Xy,Sy)}y^., dari 4. Untuk
f G / i \ F didefinisikan ^ 3 ( f ) > 0 sehingga S^{t)
U 4 -> R* dengan
m\n{S,{t),S2it)} ,tel,\F S{t)^lm\n{5,{t),S2{t)} ,t^F min{J2(0.^3(0} ,f e / 2 \ F . Misaikan {{M^,u^))[^^ adalah partisi-C interval-titik (fW^.iv^),
k^\...,r
J-fine dari /iU/2=/- Diperhatikan pasangan
dimana Uf^&F, maka (A4^n/i,f;,)
bersifat ^y-fine,
(M^fl^.t^fc) bersifat (52"fine, dan suku yang berkorespondensi di dalam jumlahan integral adalah f (17, )m(M,) - f (77, )/77(M, n /1) + f{u, MM, n 4). Koleksi pasangan interval-ititik {{M,,u,).u,
e/yjl^^y, {(M,r\l^,u,).u,
eFjJ^^y adalah partisi-
C (5,-fine dari 4, sementara pasangan interval-titik {(M, n/2>Wk):Uj( 6F})^^y adalah partisi-C c^-fine dari 4. Dengan demikian diperoleh
{(M,,i7,): u, e/jjj^^y,
X ^ K M M , ) - [ f - [ f
2^
f{u,MM,)+
X
f(/7,)m(M,)+
((=1,U|,e/,\F
X nu,MM,)+ /(=1,UjeF X
/^K)(rr7(/W,n/y) + m ( M , n 4 ) ) +
k=XUi,eF
X f(i7,)m(M,)-[f fc=1,i;>e/2\F
82
X ^KM^J-j^-l ^ /(=1,i;.e/2\F
[f
S/GMA Vol. 12, No. 1, Januari
2009
Integral-C Fungsi Berniiai di Ruang
X
X
f(u,)m{M,)+
X
f{u,)m{M,f]l,)-li
f{u,)m{M,f]l2) +
k=Xu.eF
/C=1,U.GF
X
Banach
f(u,)m{M,)-[f
k=Xu„<^l2\F
6 e < — + — = £.
2 2 Terbukti f integral-C pada / = /yU/2 dan dan
' f + ' f = V. • 1
*'2
J
Hasil di bawati ini menyatakan bahwa koleksi semua fungsi f : / -3 X yang terintegral-C pada / merupakan ruang linear. Teorema 2.6 Jika fungsi-fungsi f,g:l—>X terintegral-C pada / dan jika a,peR, terintegral-C pada / dengan ^{af -x Pg) = a^f + p
maka af + Pg
g.
Bukti: Diberikan sebarang £->0, dan a,p&R. Karena f dan g terintegral-C maka ada fungsi positif (X,(f): / - > R"" sehingga
S(4D)-|i
, untuk setiap partisi- C 2(1«1+1)
c5,-fine D dari /, dan ada fungsi positif
S2{t).l -^R* sehingga S{g,D)-
fgf < •»
, 2(17? 1+1)
untuk setiap partisi-C (Jj-fine D dari /. Pilih fungsi positif S{t) = m\n{S.^(t),S2(t)} pada /, maka untuk setiap partisi-C J-fine D dari / berlaku
S(af + Pg,D)-aj^f-pj^g
<
S(af,D)-a^f + S{pg,D)-p
a S{f,D)-
+
S{g,D)£
a 2(1«1+1)• + P ^2(|;5|+1) < £. Terbuktilah « f + y5g terintegral-C pada / dengan
{af + pg) = a
f + p 9-
Berikutnya adalah Lema Saks-Henstock versi integral-C. Lema 2.7 (Saks-Henstock) Diketahui f : I ^ X S{t) .l
terintegral-C pada / , yakni untuk £>0
yang diberikan ada fungsi positif
R^ sehingga
S{f,D)-
<
£
untuk setiap partisi-C J-fine D = {(/,f)} dari/. Jika C = {(/, ,(, )})^y sebarang partisi-C parsial ^-fine dari /, maka berlaku
S(4D')-X[7(f,)
SIGMA
Vol. 12, No. 1, Januari
2009
<£.
83
Herry Pribawanto
Suryawan
S-fme dari /, maka / \ [ J / / dapat
Bukti: Ambil sebarang D ' = {(/,,f,)}j^y partisi-C parsial
(=1
dinyatakan sebagai koleksi subinterval tertutup di dalam / . Tulis / \ 1 J / / = U 4 ' - Fmbil /=1
sebarang r]>0, menurut Teorema 2.4,
;=1
,f ada, yang berarti ada fungsi positif Sj pada Ij
sehingga apabila Dj adalah partisi-C <5y-fine dari I-, maka berlaku
S{f,Dj)Asumsikan bahwa
f
k
Sj{t)<S{t) untuk setiap tel. Tulis
, maka
DQ=D'XJ V7=1
adalah
y
partisi-C ^-fine dari /, dan berlaku S ( 4 D o ) - [f\\= S(4D') + X S ( 4 D y ) - [f Hal ini berakibat Sif,D')-2[m /•=i '
= S(4Do)-XS(4Dy)[f-X V 7=1 k=i 1^ j=i
+ XS(4Dy)-|,f
< ^ <£
kg + — = £ +TJ.
k Karena pengambilan 7 > 0 sebarang, maka terbuktilah yang diinginkan. • Teorema 2.8 Diberikan fungsi f : / -> X. Jika f = 0 hampir di mana-mana pada /, maka f terintegral- C pada / dan | ^ = 0Bukti: Tulis
E = {tel:f(t)AO},
dan £ = U £„ c /, dengan £ „ = {f E / : n -1 < || f (f) || < /?}.
Karena m{E) = 0, maka m{E^) = 0, yang berarti ada himpunan terbuka G„ c= / sehingga E „ c G „ dan m ( G J < - ^ . Kemudian didefinisikan fungsi positif S{t):!
sehingga S{t) = 1 untuk t el\E
dan
B{t,S{t))czG^ untuk teE^. Ambil D = {{l',t')} sebarang partisi-C J-fine dari /, maka
||X^(^>(/')||=||X/(^'M'')+ E ^f{t')m{l')
+ X nnmin (•e/\£
n-2"
84
= £.
SIGMA
Vol. 12, No. 1, Januari
2009
Integral-C Fungsi Bernilai di Ruang
Jadi f terintegrai-C pada / dan
Banach
f = 0.
Akibat 2.9 Diketahui fungsi f, g .i ^ X dengan f terintegral- C pada /. Jika f = g hampir di manamana pada /, maka g terintegral-C pada / dan | f = | g hampir di mana-mana pada /. Bukti: Karena g-f
= 0 hampir di mana-mana pada /, maka Teorema 2.8 memberikan g - f
terintegral-C pada / dan g = {g-f)
( g - f ) = 0. Karena f dan g-f
+ f terintegral-C pada /, dan berlaku lg=l{g-f) +
terintegral-C
pada / , maka
f=l{g-f)+lf=lf
hampir di mana-mana pada /. • 3. Teorema Kekonvergenan dan Karakterisasi Deskriptif Pada bagian ini akan dibicarakan sifat-sifat lebih lanjut dari integral-C fungsi bernilai di ruang Banach. Akan dibuktikan sebuah teorema kekonvergenan, dan juga karakterisasi deskriptif dari integral-C. Teorema 3.1 Diketahui terintegral-C pada / . (1)
Untuk setiap x* e X * , fungsi x'f terintegral-C pada / dan | x 7 = x* | f .
(2)
Jika T. X
suatu operator linear kontinu dari ruang Banach X ke ruang Banach
Y, maka Tf terintegral-C pada / dan | T f = 7 | | f j . Bukti: (1) Karena f.i^X
terintegral-C pada /, maka untuk £>0
fungsi positif S{t):l-^R*
sehingga
S(f,D)-J)
yang diberikan terdapat untuk setiap partisi- C
<J-fine D dari / . Jadi untuk setiap x* € X* berlaku
S(x',D)-x* (2)
S{f,D)-
< £.
Karena T .X -xY operator linear kontinu, maka ada bilangan M > 0 sehingga ||rx|| < M xll untuk setiap x e X . Jadi untuk £>Q yang diberikan, ada fungsi positif
S{t):i^R'-
sehingga S{f,D)
< — untuk setiap partisi- C S-fme D dari / .
Dengan demikian diperoleh S{Tf,D)-T
= M S{f,D)-
< £.
Teorema kekonvergenan yang dibicarakan di sini terkait dengan konsep keterintegralanserentak (equi-lntegrable). Definisi 3.2. Diketahui {f,} barisan fungsi yang terdefinisi pada / dan bernilai di ruang Banach X . Barisan fungsi {f,} dikatakan terintegral-C serentak pada / jika untuk setiap k, f, terintegral-C pada
SIGMA
Vol. 12, No. 1, Januari
2009
85
Herry Pribawanto
Suryawan
/, dan untuk setiap £ > 0 ada fungsi positif ^ ( f ) : / - > R* sehingga S{f,,D)-
f, < f untuk
setiap k, dengan D adalah sebarang partisi-C ^Vine dari /. Teorema 3.3 Misaikan {f,},
f,:I^X,
terintegral-C serentak pada / sehingga lim 4 ( 0 = ^(0- Maka k->oo
fungsi f :! ^ X terintegral-C pada / dan berlaku lim Bukti: Karena barisan fungsi {4} terintegral-C serentak, maka untuk £>0 yang diberikan ada fungsi positif S{t):l
sehingga S ( 4 , D ) - |
< £, untuk setiap k,
dengan D adalah sebarang partisi- C S-f\ne dari / . Tetapkan sebuah partisi D demikian. Karena n m 4 ( 0 = ''(0. maka terdapat bilangan asli N sehingga ||S(4,D)-S(4D)|| < £• untuk setiap k > N. Dengan demikian berlaku J[4-J[4, < S ( 4 D ) - | 4 + S ( 4 D ) - | 4 S(4,D)-S(4D)|
s(4,o)-
S(4„D)-S(4D)|
S(4,.o)< 4£
untuk setiap k,m > N. Jadi barisan vektor | | 4 | lim [f,^AeX setiap k>M.
bi dalam
X
merupakan barisan Cauchy, yang artinya
ada. Dengan kata lain, ada bilangan asli M sehingga
f,-A
< £ untuk
Ambil sebarang partisi-C J-fine D dari /. Karena lim 4 ( 0 = ^(0. maka ada k-Ko
n>M
sehingga ||S(4,D)-S(4D) < Oleh karena itu diperoleh,
£.
||S(4 D) - A|| < ||S(4D) - S(4, D)|| + ||s(4,D) Terbukti f terintegral-C pada / dan lim [4 = k^<x A
J4 +
fn-A
<3£.
[f.m A
Teorema selanjutnya memberikan kriteria keterintegralan-C menggunakan unsur di dalam bola satuan dari ruang dual ruang Banach X. Teorema 3.4 Fungsi f:I^X terintegral-C pada / jika dan hanya jika { x 7 : x* e6(X*)} terintegral-C serentak pada /. Bukti: Apabila f terintegral-C pada / , maka untuk £• > 0 yang diberikan ada fungsi positif
S{t).l~^R^
sehingga S{f,D)~lf
na itu S(x7,D)-x*
< X
< £ untuk setiap partisi-C <5-fine D dari /. Oleh kareS(4D)-
< £, dan akibatnya {x7 : x* e S(X')} terinte-
gral-C serentak pada /.
86
SIGMA
Vol. 12, No. 1, Januari 2009
Integral-C Fungsi Bernilai dl Ruang
Sebaliknya apabila { x 7 : x * eB{X')}
Banach
terintegral-C serentak pada / , maka untuk £>0 yang
diberikan ada fungsi positif S{t) .l
sehingga S ( x 7 , D ) - | x 7 <£ untuk setiap partisi-
C J-fine D dari / dan untuk setiap X * G S ( X * ) . Dengan menggunakan Teorema HahnBanach diperoleh bahwa S{f,D)- j^f < £, yakni terintegral- C pada / . Selanjutnya akan dibuktikan bahwa integral-C mengintegralkan semua turunan dari fungsi terdiferensial. Definisi 3.5 Fungsi F .1 ^ X terdiferensial di f e / jika ada f{t) e X sehingga lim
Fit+
S)-Fit)
<J->0
7 ( 0 = 0.
Turunan F di t dituliskan sebagai F'(0 = ^(0Teorema 3.6 Jika fungsi F.I-^X
terdiferensial pada / dengan f ( 0 = F'(0 untuk setiap tel , maka
f .1 -y X terintegral-C pada / . Bukti: Dari definisi turunan, untuk setiap t e / terdapat fungsi positif ^ ( 0 .l-^R^
F{s)-Fit) s-t
-fit)
sehingga
2(1 + Em(/)) '
untuk setiap s e / dengan | s - f |< Sit). Ambil sebarang partisi-C S-f\ne D = {(/,-,f, )}^y dari / , maka berlaku III
X ( ^ ( f , ) - / ^ ( / , ) ) <£||(f(f,.)m(/,.)-F(/,.)) /=1 /•=i III
£(cy(/,,/0 + m(/,))
1 + Em(/)tt
<
£
- + m(/)
1 + E/77(/)
< £. Jadi f -.I^X
terintegral-C pada / dan | f = F(/) = F ( B ) - F ( a ) . •
Terakhir dibicarakan karakterisasi deskriptif integral-C menggunakan konsep fungsi kontinu mutlak-C ( A C - C ) . Definisi 3.7 Diberikan fungsi F .1 ^ X dan E c /. (1) F dikatakan kontinu-mutlak-C atau AC-C konstanta 7 > 0 dan fungsi positif Sit):l-^R*
pada E jika untuk setiap £>0 ada sehingga
< £ untuk setiap
partisi-C parsial <J-fine D = {(/,,fy)} dari / , di
SIGMA Vol. 12, No. 1, Januari 2009
87
Herry Pribawanto
Suryawan
mana titik-titik ujung dari /, berada di E dan ^m{l^)
(2)
Teorema 3.8 Jika fungsi f : / -> X terintegral-C pada / dengan fungsi primitif F : / -> X, maka F bersifat ACG-C pada /. Bukti: Menurut definisi integral-C dan dari Lema Saks-Henstock, untuk £>0 yang diberikan ada fungsi positif S(t): / —> R"^ sehingga X(f(4)m(/,.)-F(/,.)) < — untuk setiap partisi- C I '=1 parsial S-fme D = {{1^,1^)}^^ dari /. Tulis £ „ = {f e /:|| f(f)|| < n) untuk n = 1,2,..., maka / = | J F „ . Tetapkan suatu partisi-C parsial ^-fine D ' = {(/,,(,)} sehingga titik-titik ujung berada di F dan memenuhi y m ( / , ) < — . Dengan demikian diperoleh ^ 2n
ZF(,,, . ^F{l,)-mm{l.,) XF(/,.)-f(f,.)rr7(/,.)+||f(f,.)||Xm(/,.)
<2
nXAr7(/,.)
< E .
Jadi F bersifat AC-C
pada setiap £ „ , yang berarti F bersifat ACG-C
pada / . •
4. Kesimpulan Telah dikontruksi integral-C untuk fungsi yang bernilai di ruang Banach. Hasil-hasil klasik seperti kriteria Cauchy dan Lema Saks-Henstock dapat diperumum secara langsung. Lebih lanjut dengan menggunakan konsep koleksi fungsi yang terintegral- C serentak dapat dibuktikan sebuah teorema kekonvergenan serta karakterisasi keterintegralan-C . Terakhir, karakterisasi deskriptif integral-C diperoleh melalui perumuman fungsi kontinu mutlak yang disebut fungsi AC-C dan ACG-C . Hasil ini ternyata sejalan dengan karakterisasi deskriptif integral Lebesgue melalui fungsi kontinu mutlak maupun integral Henstock-Kurzweil melalui fungsi
AC-S
dan
ACG-S.
Kepustakaan Bongiorno, B. 1996. "Un Nuovo Interale il Problema dell Primitive." Le Matematiche, 313.
51 (2): 299-
Bongiorno, B. et al. 2000. "A Constructive Minimal Integral which Includes Lebesgue Integrable Functions and Derivatives." J. London
88
Math. Soc. (2), 62 (1): 117-126.
SIGMA
Vol. 12, No. 1, Januari 2009
Integral-C Fungsi Bernilai di Ruang
Banach
Bruckner, A.M. et al. 1986. "The Minimal Integral which Includes Lebesgue Integrable Functions and Derivatives." Collq. Mat. 50: 289-293. Di Piazza, L. 2002. "A Riemann-type Minimal Integral for the Classical Problem of Primitives." Rend. Inst. Mat. Univ. Trieste, XXXIV: 143-153. Gordon, R. A. 1994. The integrai of American Mathematical Society. Schwabik, S. and Ye, G. 2005.
Topics
Lebesgue,
in Banach
Denjoy,
Space
Perron,
Integration.
and Henstock.
Providence:
Singapore: World Scientific.
Suryawan, H. P. 2007. "Integral McShane Fungsi Bernilai Banach." Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, Universitas Negeri Yogyakarta (ISBN: 978-97999314-2-9), 41-50. Suryawan, H. P. 2007. "Integral-C dan Karakterisasi Deskriptifnya." Prosiding Seminar Matematika, Universitas Katolik Parahyangan (ISSN 1907-3909), 22-29.
Nasional
Zhao, D. and Ye, G. 2007. "C-integral and Denjoy-C Integral." (1): 27-39.
Soc.
Commun.
Korean
Math.
22
HERRY PRIBAWANTO SURYAWAN Memperoleh gelar Sarjana Sains dari Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Gadjah Mada pada tahun 2004 dan Magister Sains bidang Matematika dari FMIPA, Institut Teknologi Bandung pada tahun 2008. Saat ini menjadi dosen di Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta. Bidang minat yang ditekuni adalah analisis fungsional dan teori integral.
SIGMA
Vol. 12, No. 1, Januari
2009
89
