Inleiding in de optica (i)

Inleiding in de optica (i)

H.G.J. Rutten In de fijnmechanische techniek is de toepassing van optische componenten geen onbekend verschijnsel. De optische industrie is zelfs een van de grote takken van de hele fijnmechanische industrie. Ook in de overige fijnmechanische techniek is de optica veelal een uitbreiding of zelfs een vervanging van de zintuiglijke waarneming. Om optische componenten goed te kunnen toepassen is een zekere kennis nodig van de begrippen die in deze takvan de techniek worden gebruikt. Dit artikel en nog enige vervolgartikelen geven een globaal overzicht. Om de geïnteresseerde aan te sporen zelf te gaan experimenteren, ook rekenkundig, zijn een groot aantal rekenvoorbeelden gegeven met hier en daar kleine programmaroutines in de computertaal . BASIC.

Doel van de optica Optische componenten kennen drie specifieketoepassingen. Dezezijnopde eerste plaats het ontwikkelen .of transformeren van beeldinformatie, vervolgens het illumineren van een bepaald object en het omgekeerde daarvan, het concentreren van licht op fotogevoelige elementen. Typische voorbeelden zijn resp afbeeldende optische systemen zoals (T V )camera-objectieven respectievelijk condensorsystemen voor bijvoorbeeld microscopen en IichtverzameIingsoptiekvoor bijvoorbeeld Iichtenergiemetingen. In dit en volgende artikelen zal niet worden ingegaan op de toepassing van specifieke illuminatieproblemen zoals die zich bijvoorbeeld voordoen in kopieerapparaten of andere reprografische systemen Dit (eerste) artikel zal zich bezig houden met een introductie over en het gebruik van vlakke en de afbeeldende holle en bolle spiegels. Lenzen, prisma’s, vensters, etc. zijn in het volgende artikel aan de beurt.

Introductie Het zal duidelijk zijn dat in de optica informatie wordt overgebracht door middel van licht. Licht is een klein deel uit het elektromagnetische spectrum; zie figuur 1. Het voor het menselijk oog zichtbare deel van dit spectrum reikt van ca. 400 nm tot ca. 750 nm; (1 pm = 1000 nm). Licht met een kleinere golflengte dan 400nm wordt ultravioletgenoemd, licht met een grotere golflengte dan 750 nm infrarood. Hettotale licht dat het menselijk oog over het gebied van 400 tot 750 nm waarneemt is gewoon wit licht, ook

Golflengte i n meters

wel hetero- of polychromatisch licht genoemd. Dit witte licht is samengesteld uit de kleuren van de regenboog. Deze zijn zoals bekend mag worden verondersteld: rood, oranje, geel, groen, blauw en violet. Deze kleurenbandwordtover het algemeen hetspectrum genoemd Grof ingedeeld kunnen de volgende kleuren binnen de volgende ruimere grenzen worden onderkend: rood: 640-780nm oranje: 610-640 nm geel: 580-61 O nm groen. 495-580 nm blauw: 440-495 nm violet: 360-440 n m.

Voorbeeld

106

105 104 103 102 101

RAD IO TV

100 10-1 10-2

RADAR

Golflengte i n nanometer

1000

10-6 10-7 10-8 10-9 10-10 10-11

N a b i j Infrarood

900 MAGNETRON

800

10-3

10-4 10-5

K 1eur

WARMTE 600

INFRAROOD

580 550 I 490 ULTRAVIOLET 400 350

ZICHTBAAR LICHT

L

Infrarood Diep rood Rood Oranj e Gee 1 Groen B1auw Violet U traviolet

ZACHTE RONTGEN HARDE RONTGEN ZACHTE GAMMA

300

U traviolet

200

U traviolet

-

A B C

10-12

10-13 10-14

HARDE G A M I

10-15 10-16

KOSMISCH

Figuur 1 Het elektromagnetische spectrum reikt van langgolvige radiostraling tot zeer kortgolvige kosmische straling Het zichtbare deel van dit spectrum is slechts een zeer klein deel van het geheel

Jra. 26

No. 4 iuli/auaustuc 1986 7

INLEIDING IN DE OPTICA (II

'It'

lijn r-lijn C-lijn C'-l ij n D-lijn d-lijn e-lijn F-lijn F'-lijn g-lijn h-lijn

golflengte

kleur

element

706,5188 656,2725 643,8469 589,2938 587,5618 546,0750 486,1327 479,9914 435,8343 404,6561

rood rood rood geel geel groen blauw blauw blauw violet

helium waterstof ca dm ium natrium helium kwik waterstof cadmium kwik kwik

nm nm nm nm nm nm nm nm nm nm

Er isgeenscherpegrensbij deovergang vandeene kleuropdeandere, maareen geleidelijke overgang, terwijl er in dat spectrum wel scherp begrensde lijnen kunnen worden gevonden. Deze lijnen zijn de zogenaamde spectraallijnen. Deze hebben een specifieke golflengte en daarom wordt hierbij gesproken van monochromatisch licht. De oorsprong van deze lijnen zijn de elementen. Elk element heeft zijn eigen spectraallijn of -lijnen. Deze lijnen hebben in de optica een bepaalde betekenis; zij worden toegepast voor het karakteriseren van optisch glas en/of optische systemen. Om deze reden is een lijstje gegeven van de meest voorkomende spectraallijnen, hun specifieke golflengte, kleur en element waarvan de lijn afkomstig is. De informatie die een object uitstraalt, hoe het objecter dus uitziet, plant zich in

object

lens

beeld

de ruimte voort als een golffrontverschijnsel. Het is echter vrij complex en onoverzichtelijk om dit duidelijk in een tekening te laten zien. Evenzo is het nogal gecompliceerd om hiermee te rekenen. Het berekenen van de systemen met de golffronten noemt men golfoptica. Een aanmerkelijke vereenvoudiging is echter mogelijk. In plaats van de golffronten worden stralen getekend en wordt er met stralen gerekend. Dit wordt de geometrische optica genoemd Zo'n straal steltin principevoor wat de bewegingsrichting is van een golffront op een specifieke plaats. Een verdere vereenvoudiging is dat niet vanuit alle punten van een object stralen worden getekend, maar alleen de meest significante of karakteriserende stralen. Het verschil tussen de golffrontvoorstelling en de stralenvoorstelling is duidelijk te zien in figuur 2. Licht plantzichvoortdoorde ruimte met een snelheid die geen vast gegeven is, maar afhankelijk is van de optische dichtheid van het medium waarin zich dat licht voortplant. In het vacuüm (de kosmische ruimte) is de snelheid van het licht 299,792,4562 km/s. In lucht is de snelheid iets lager. In glas is deze, afhankelijkvan de glassoort, veel lager. De verhouding tussen de snelheid cvan het licht in lucht en in een optisch medium noemt men de brekingsindex n, dus: n =-Clucht Cmedium

Figuur 2 Voorstelling van de overdracht van een object tot beeld. Voor het gemak is de lens getekend als een platte component De bovenste voorstelling geldt voor golffronten, de onderste is de vereenvoudiging d.m v stralen. In werkelokheid zendt elk punt van het object golffronten/stralen uit; voor de overzichtelbkheid zijn er slechts enkele getekend.

8

Jrg. 26 0 No. 4 ]uli/augustus 1986

Voor nagenoeg alle toepassingen wordt deze formule gebruikt. Een uitzondering daarop is de uitvoering van optische systemen voor de ruimtevaart. De eisen zijn daar vaakzo streng dat het kleine verschil tussen de snelheid in lucht en in vacuüm wel invloed zou hebben. De brekingsindices van enige min of meer allerdaagse media zijn: lucht: 1,00029 water: 1,33 alcohol. 1,36 kwarts: 1,44

perspex : laagbrekend glas: vensterglas: hoogbrekend glas. diamant:

1,49 1,50 1,52 1,90 2.42

Deze brekingsindex geldt echter voor een bepaalde golflengte. De snelheid van het licht in een bepaald optisch dichter medium (dus geen vacuum) is, afgezien van inhomogeniteiten in dat mediurn, afhankelijkvan de golflengte. Naarmate de golflengte kleiner is, is de lichtsnelheid in dat medium lager en daardoor is de brekingsindex dus hoger. Het verschil in brekingsindex voor een bepaald optische medium, bijvoorbeeld optisch glas, tussen twee verschillende golflengten wordt dispersie genoemd. De Duitser Abbevond in devorige eeuw een manier hoe hij een optisch medium - voor zijn toepassing was dat optisch glas - kon karakteriseren. Hij deed dat door de onderstaande formuleteontwikkelen waarmee hetzogenaamde Abbe-getal vd wordt bepaald:

Hierin zijn nd, n,en nc resp. de brekingsindices van een glas voor de d-, F- en C-l ijn. Hoe hoger het Abbe-getal is, des te kleiner is de dispersie In de Franse literatuur wordt veelal van deze aanduiding afgeweken. Men gebruikt daar de e-, F'- en C'-iijo van het spectrum. De karakterisering is dan als volgt:

v, =

ne- 1 n; - nc'

Enige typische glassoorten zijn bijvoorbeeld: laagbrekend, lage dispersie: FK 54 nd = 1,437 Vd = 90,7 laagbrekend, hoge dispersie: TiF 3 nd = 1,548 Vd = 42,2 hoogbrekend, lage dispersie: LaF 28 nd = 1,773 vd = 49,7 hoogbrekend, hoge dispersie: SF 59 nd = 1,953 vd = 20,4 De aanduidingen FK 54, TiF 3, LaF 28 en SF59zijn afkomstig uit het groteaanbod dan optische glazen (ca. 240) van de Fa. Schott. Er zijn wel meerfabrikanten van optisch glas, maar Schott heeft de grootste keuze en de meeste ervaring. De afkortingen staan resp. voor FluorKron, TiefFlint, LanthaniumFlint en SchwerFlint. Het volgnummer geeft aan het hoeveelste glas het is van die soort.

INLEIDING IN DE OPTICA (II

')r

K R O O N

2.00

F L I N T

4 -

1.95

n4.5 1.90

&g&

1,85

1.80

LaK

1.75

I

"d

1.70

nol

1.65

1.60

1.55

1.50

FK

85

80

75

70

65

60

Figuur 5 Het begrip grenshoek met betrekking tot inwendige reflectie, zie tekst voor de verklaring

1.45

TiK

55

4-

50

k5

40

35

30

25

20

'd

Figuur 3 Het overzicht van de glassoorten die de Fa. Schott aanbiedt

In figuur3 is hetscala van glassoorten te zien en tussen welke grenzen de brekingsindex en het Abbe-getal voorkomen. Min of meer arbitrair heeft Schott glassoorten met een Abbe-getal groter dan 50 Kroon-glazen genoemd en die met een Abbe-getal kleiner dan 50 Flintglazen. In plaats van deze benaming gebruikt men internationaal vaak een 6-digit code. Hierbij stellen deeerstedriedigitsde eerstedriecijfers achter de kommavoor van de brekingsindex en de laatste drie digits het Abbe-getal op een decimaal bij weglating van de komma. Deze code is dus berekend door gebruikte maken van de indices voor de d-, C-en F-lijn. Zodoende krijgen de bovengenoemde glassoorten de volgende 6-digit-code: FK 54-437907 TiF - 548422 LaF 28 - 773497 SF 59 - 953204

Breking Doordat het licht in het ene medium een andere snelheid heeft dan in een ander wordt het licht dat van het ene medium overgaat in het andere gebroken. Daarbij wordt als dat volgende medium optisch dichter is het licht naar de normaal toe gebroken, terwijl als dat volgende medium optisch minder dicht is van de normaal af gebroken. De normaal is de loodlijn op het oppervlak op de plaats waar de lichtstraal overgaat van het ene in het andere medium; zie ook figuur 4.

n-i5

nol Figuur 4 De breking van Iicht aan een plat vlak; zie tekst voor de verklaring

De Nederlander Snellius ontdekte een wetmatigheid die naar hem genoemd is: de wet van Snellius. Deze zegt dat de sinus van de ongebroken hoek en de sinus van de gebroken hoekzich omgekeerd verhouden met de brekingsindices voor en na de overgang. In formulevorm ziet dit er als volgt uit: sin ¡/sin e = n'/n Als de hoeken erg klein zijn en uitgedrukt worden in radialeri dan geldt: ile = n'in In deze formule is: i = ongebroken hoek (hoek van InVal) e = gebroken hoek (hoek van uitval) n = index voor breking n' = index na breking Met deze formule kan dus de gebroken hoek worden berekend; deze is. e = arcsin (sin i . n/n') of voor kleine hoeken e = i . nln'

Zoals bekend is de sinus van een hoek dtijd groter of gelijk aan -1, of kleiner of jelijk aan 1. Toch zou uit de vorige 'ormules kunnen lijken dat bij een gegeden grote invalshoek, bij een overgang dan een optisch dicht naar een optisch minder dicht medium, en een voldoenl e groot verschil tussen de indices, er sen sinus e uit kan volgen die groter is dan 1 of kleiner is dan -1. In dat geval treedt er een zogenaamde inwendigereflectieop. Het licht kan dan niet uit het medium treden maar wordt hierin teruggekaatst; zie figuur 5. Uit het voorgaande is duidelijk dat de hoek waarbij inwendige reflectie optreedt, de grenshoek i genoemd, afhankelijk is van het verschil in brekingsindextussendemedia. Dezegrenshoekis dan gelijk aan. i = arcsin(n1n') Is het een glas-lucht overgang dan geldt dus: 1 = arcsin(l/n') Van dit reflectiefenomeen wordt vaak gebruik gemaakt, met name in prisma's, waar later nog op terug wordt gekomen. Voor reflecterende vlakken geldt de reflectiewet, die als volgt luidt. hoek van inval isgelijkaan de hoekvan uitval; zie figuur 6. Of in formule geschreven: i=e Omdat het medium na reflectie hetzelfde is alsvoor de reflectie isergeen effect zoals breking. Dat betekent dus dat er geen afhankelijkheid isvan de golflengte. Met deze twee wetten, de brekingswet en de reflectiewet, kunnen nagenoeg alle optische componenten enlof systemen worden doorgerekend. Er zijn uitzonderingen; hierop zal in een van de latere afleveringen worden ingegaan Jrg. 26

No. 4

juli/augustuc 1986 9

INLEIDING IN DE OPTICA (12

F

7

Figuur 6 De wet van reflectie. hoek van inval is hoek van uitval

Dat het geen eenvoudige zaak is o m optische systemen met behulpvan deze twee wetten door te rekenen zal eveneens in een van de volgende afleveringen blijken.

De werking van optische componenten Alvorens kan worden ingegaan op de werking van optische componenten moeteneerstenkeleafspraken gemaakt worden. Ten eerste wordt bij het bepalen van de stand van een beeld ervan uitgegaan dat hetwordt bekeken tegen de richting in waarin zich de lichtstralen bewegen. Zo’n beeld kan natuurlijk gewoon rechtop staan, maar kan ookomgekeerd zijn. Ook kunnen links en rechts verwisseld zijn of treden zelfs beide fenomenen tegelijkertijd op. Ten tweede wordt een beeld reeel genoemd als het een echte afbeelding is. Het kan dus vastgelegd worden op een fotografische drager of op een videochip welke dan voor een elektromagnetische opslag zorgt. Is dat niet mogelijk, dus er ontstaat geen projecteerbaar beeld, dan noemen we dit een virtueel beeld

Vlakke spiegels Voor een vlakke spiegel staat een object punt O; zie figuur 7. Er moet bepaald worden waar het gereflecteerde beeld van dat objectwordt afgebeeld Daartoe worden vanuit het objecttweewillekeurige stralen getekend die de spiegel treffen. Dit zijn de stralen OA en OB. Op de plaats waar deze de spiegel treffen wordt de reflectiewettoegepast. We zien dat deze stralen zich ook na de reflectieverdervan elkaarverwijderend voortplanten. Trekken we deze stralen door, dan zien we dat er een snijpunt ontstaat achter de spiegel Dit snijpunt is deafbeelding O’van hetobjecto. Het beeld is niet projecteerbaar want het bevindt zich achter de spiegel, dus het is een virtueel beeld. 10 Jrg 26

No 4

juli/auguctus 1986

Natuurlijk is hetwenselijkteweten waar dan dit beeld ligt. Daartoe trekken we vanuit punt O een loodlijn op de spiegel. Deze loodlijn treftdezespiegel in punt S. Deze loodlijn kan ook beschouwd worden als een van die willekeurige lijnen. Dus als deze loodlijn doorgetrokken wordt snijdt deze de andere stralen ook in punt O’. De lijn OS mag natuurlijk doorgetrokken worden omdat bij een loodrechte inval de gereflecteerde straal samenvalt met de invalsstraal. Hieruit kan de volgende regel worden afgeleid. Bij een vlakke spiegel wordt een object O virtueel afgebeeld in punt O’ waarbij dit punt ligt opde loodlijnvanuit O opde spiegel. De afstand van de spiegel tot het beeld O’ is gelijk aan de afstand die het object O voor de spiegel ligt In detechniekworden wel eens draaiende spiegels toegepast Als een spiegel verdraaid wordt verandert de hoek van inval mgt de zelfde hoek als die waarover de spiegel verdraaid wordt. Dat betekent dus ook dat de uitvalshoek eveneens met deze verdraaiingshoek toe- of afneemt. Het resultaat is dat een straal, die gereflecteerd wordt van een verdraaide spiegel, de dubbele verdraaiingshoek van richting wordt veranderd.

Figuur 7 De constructie van een beeld aan een vlakke spiegel

De in het dagelijkse leven in gebruik zijndevlakke spiegels hebben, in tegenstelling tot optische spiegels, de reflecterende laag aan de achterzijdevan een glasplaat. De voorkant van deze glasplaat reflecteert echter ook, zij het een klein deel van het licht. Hierdoor ontstaan bij deze spiegels zogenaamde dubbelbeelden, waar later dieper op wordt ingegaan.

Holle en bolle vlakken Vlakken die zuiver bolvorming zijn worden sferische vlakken genoemd Een sfeer heeft een bepaalde radius die kromtestraal wordt genoemd. Het middelpunt van deze straal heet kromtemiddelpunt. Over het algemeen wordt

door het kromtemiddelpunt een hartlijn getrokken. Deze hartlijn wordt de optische as genoemd. De plaats waar deze as het sferische vlak snijdt heet de top, ofwel vertex. In beginsel wordt ervan uitgegaan dat de afmetingen van de bolvormige vlakken zeer klein zijn in verhouding tot de kromtestraal, omdat er in dat geval nog geen sprake is van afbeeldingsfouten, iets waar in een van devolgende afleveringen uitgebreid o p zal worden ingegaan Omdat de spiegels en de later te behandelen lenzen zo klein zijn gebeurt de beeldvorming zeer dicht bij de optischeas. Inditgebiedzijnde hoekenzeer klein zodat aangenomen mag worden dat de sinus en de tangens van hoeken, uitgedrukt in radialen, gelijkzijn aan de hoek zelf en de cosinus van die hoeken gelijk is aan I . Ook mag worden aangenomen dat de pijlhoogte - de hoogte tussen koorde en top- gelijk is aan nul. Ditgebied rond deoptischeaswordt het paraxiale gebied genoemd en de berekeningen heten dan ook paraxiale berekeni ngen.

Reflectieaan een hollespiegel

Voor een reflectie aan een holle of bolle spiegel geldt natuurlijk de reflectiewet. De normaal bij eenzuiversferischvlakis de kromtestraal, die getrokken wordt door het doorstootpunt of trefpunt aan het sferische oppervlak De lichtstraal die van het object komt kan evenwijdig aan de optische as binnen komen, maar kan er ook een hoek mee maken Als een object op de optische as ligt, al of niet in het oneindige, wordt er gesproken van een axiale afbeeld ing. In figuur 8 is het stralenverloop aan een holle spiegel weergegeven. Hierin zijn twee stralen getekend, een voor een nabij objectopdeoptischeas, deandere voor een object op oneindig. Hierbij geldt het volgende: C = kromtemiddelpunt O = object s = afstand van object tot top spiegel O’ = beeld s’ = afstand van beeld tot top spiegel h = invalshoogte F = brandpunt PS = pijlhoogte Of het beeld dat gevormd wordt reeel of tirtueel is kan worden onderzocht door te berekenen waar dit beeld gevormd wordt. Net als dat het geval is bij de vlakke spiegel worden ook hier twee stralen getekend Doordat het object op de optische as staat en deze as loodrecht op het sferische oppervlak staat wordt het object dat zich o p de optische as

INLEIDING IN DE OPTICA (II

')r

Op deze manier kan worden aangetoond dat in het paraxiale gebied een object dat loodrecht op de optische as staat ook weer loodrecht op deze optische as wordt afgebeeld.

De vergrotingsmaatstaf De vergrotingsmaatstaf is de verhouding tussen de grootte van de afbeelding en de grootte van het originele object. Degroottevandeafbeeldingisafhankelijk van de ligging van het object en de brandpuntsafstand van de spiegel.

Figuur 8 Het stralenverloop aan een holle spiegel; zie tekst voor de verklaring

bevindt ook weer op de optische as geprojecteerd. Vanuit het object wordt een straal getekend naar de spiegel. Deze straal treft de spiegel in punt Ten heeft dan t.o.v. de optische as een invalshoogte h. Met behulpvan de vlakke meetkunde kunnen de volgende vergelijkingen worden opgesteld: 4 b = 4a
+
Volgensdereflectiewetgeldt: i = e,dus: K a
+

Dit laatste lijkt logisch omdat er in d geval sprake is van één spiegel. B samengestelde systemen geldt dez definitie echter ook. Omdat CSl2 de helft is van de kromt6 straal geldt dus voor een spiegel: f=Rl2 Als het bovenstaande in de vorige foi mule wordt gesubstitueerd volgt hiei uit: 11s Ils' = l l f

+

In figuur 9 is voor het paraxiale gebied de secundaire as getekend. De boogjes OP, O'P' en FF' mogen daarom gezien worden als rechte lijntjes. De cirkelsec toren zijn dan dus driehoeken. In deze figuur is te zien dat het origineel OP afgebeeld wordt als O'P'. De vergrotingsmaatstaf, ook wel ß genoemd, is dus: ß = O'P'IOP Dit willen we echter uitdrukken in de vooraf bekende waarden s en f. Allereerst wordt berekend waar de afbeelding,dusde plaatsvano', ligt. Deze afstand s' volgt uit de formule 11s Ils' = llf, dus:

+

s' =

Een object kan, zoals eerder werd gt zegdookbuiten deoptischeasliggen. I dat geval wordt gebruik gemaakt va een secundaire as ook wel bij-as gf noemd. Deze secundaire as wordt gt trokken door het object en het kromtt middelpunt. Voor het overige worde dezelfde regels toegepast als in ht voorgaande is beschreven.

1 llf - Ils

Doordat de driehoeken OPC en O'P'C' gelijkvormig zijn geldt ook: O'C

cs-O'S

oc

os-cs

ß=-=

Dit kan worden uitgedrukt in f, s en s', dus:

+

Het beeld ligt voor de spiegel. Het kan geprojecteerd en vastgelegd worden op een fotografische plaat of videochip, dus is de afbeelding reeel. Als punt O in het oneindige ligt is de hoek a gelijk aan nul. Omdat dan 110s nul wordt is dus 110's gelijk aan FS, en die is weer gelijk aan CSl2. Deze afstand FS wordt de brandpuntsafstand genoemd. Anders gezegd: de brandpuntsafstand is gelijk aan de afstand van het brandpunt tot die plaats waar de beeldvormende lichtkegel dezelfde afmetingen heeft als de intredende bundel.

rp,

I io

Figuur 9 De vergrotingsmaatstaf van een object op eindige afstand en de angulaire afbeeldingsgrootte bo objecten op oneindige afstand

Jrg 26

No. 4

juliíaugustus 1936 11

INLEIDING IN DE OPTICA (I!

')r

ß =-

2f-s' s-2f

Deformule l i s + l/s' = llfwordt herleid naar f, waaruit volgt: f-

ss' s+s'

Wordtditweerin devoorgaandeformule gesubstitueerd en vereenvoudigd, dan is dus: ß = s'ls Ligt hetobject in hetoneindigedanzouß gelijk worden aan nul hoewel er wel degelijk sprake is van een afbeelding. Bij een oneindig objectwordter daarom niet gesproken van een vergrotingsmaatstaf maar van een angulaire afbeeldingsgrootte. Uit het voorgaande is bekend dat een object dat in het oneindige ligt in het brandpunt wordt afgebeeld. Dit geldt ookvoorobjecten buiten deoptische as, zodat dus het brandvlak ontstaat. Stel dat de invallende hoek van het object gelijk is aan w. De reflecterende hoekisgelijkaanw'= w. Dan blijktuitde figuur datFF' = f . tan w Bij kleine hoeken (bijvoorbeeld bij astronomische instrumenten) mag worden gesteld: FF' = f . w ( w in radialen) De angulaire afbeeldingsgrootte h, is dus- gemiddeld genomen voor 1"- h, = fi57.29"

Reflectieaan een bollespiegel

Het verloop van de stralengang aan een bolle spiegel kan op dezelfde wijze worden opgezet als voor een holle spiegel; zie figuur 10. Omdat echter, in tegenstelling tot de holle spiegel, een evenwijdig aan de optische as binnenvallende lichtstraal naar buiten wordt gereflecteerd ligt het snijpunt van deze gereflecteerde straal met de optische as achter de vertexvan de bolle spiegel. Dat betekent dus ook dat het brandpunt achter despiegel ligt. Om deze reden wordtdan ookeen bolle spiegel aangeduid met een negatieve brandpuntsafstand. Omdat de afbeelding niet vastgelegd kan worden is de afbeelding dus virtueel.

De constructievan afbeeldingen Het construeren van de afbeelding aan holle en bolle spiegels is zeer eenvoudig. Er wordt gebruik gemaakt van de eigenschappen dat een straal die even12 Jra. 26

No. 4

iulVauaustus 1986

Figuur 10 Hef stralenverloop aan een bolle spiegel

wijdig aan de optische as loopt na reflectie door het brandpunt gaat, en dat een straal die door het kromtemiddelpunt gaat ook na reflectie weer door het kromtemiddelpunt gaat. Afbeelding aan holle spiegel In figuur 11 is de constructie weergegeven van een object aan een holle spiegel. Dit object staat op een afstand tussen oneindig en het kromtemiddelpunt. Vanuit het object wordt een straal evenwijdig aan de optische as naar de spiegel getrokken. Deze wordt gereflecteerd en gaat door het brandpunt. Vervolgens wordt ook een straal door het kromtemiddelpunt naar de spiegel getekend. Deze straal wordt, omdat deze loodrecht op het spiegeloppervlak staat, weer samenvallend teruggekaatst. Het snijpunt van deze twee gereflecteerde stralen is de plaats waar de afbeelding ontstaat. Er kan ook nog een straal vanuit het object door het brandpunt naar de spiegel getekend worden. Deze wordt dan evenwijdig aan de optische as gereflecteerd en snijdt eveneens dit snijpunt.

Het object wordt dus voor de spiegel afgebeeld en is dus reëel. Bij deze afbeelding is de afstand tot de afbeelding s' kleiner dan de objectafstand s. Dat betekent dus dat de vergrotingsmaatstaf kleiner is dan I . Naarmate het object naar de spiegel toe geschoven wordt, de afstand s wordt dus kleiner, neemt de afstand s' waar het beeld gevormd wordt steeds toe. Op het moment dat het object in

D

I-

S

Figuur 1 1 De constructie van een beeld aan een holle spiegel; hierbij staaf hef object verder weg dan de kromtestraal van de spiegel, echter nog niet in hef oneindige.

het kromtemiddelpunt staat is de afstand tot de afbeelding evengroot als de objectafstand. Dat betekent dus dat de afbeelding en object even groot zijn; de vergrotingsmaatstaf is dus gelijk aan 1. Wordt het object nog dichter naar de spiegel toegeschoven dat wordt de beeldafstand s' groter dan de objectafstand s. Bij deze situatie is de afbeelding dus groter dan het object en is de vergrotingsmaatstaf dus groter dan I. Staat het object in het brandpunt, dan staat de afbeelding in het oneindige en is er dus geen sprake van een afbeelding is de ware zin van het woord. Wordt de afstand van het object tot de spiegel nog verder verkleind, dan ontstaat de situatie zoals die geschetst is in figuur 12. In dat geval is er geen reeel

INLEIDING IN DE OPTICA (II

'ir

beeld meer maar wordt het object virtueel achter de spiegel afgebeeld Uit figuur 12 kunnen we afleiden dat naarmate het object naar de spiegel toegeschoven wordt de vergrotingsmaatstaf steeds meer tot 1 nadert. Deze toepassing is bekend als de scheerspiegel.

plaats als dat het geval is bij een sferische spiegel. De ligging van het andere brandpunt hangt af van de soort spiegel. Bijeen parabolische spiegel ligtdat andere brandpunt in het oneindige, bij

een hyperbolische ligt dit virtueel achter de spiegel en bij een elliptische ligt het reeel vóór de spiegel. Over deze spiegels wordt in een volgende aflevering meer gepubliceerd.

Afbeelding aan bolle spiegel In figuur 13 is de constructie weergegeven van een object aan een bolle spiegel; hierbij is de constructie identiek aan die bij een holle spiegel. Ook hier worden stralen evenwijdig aan de optische as, door het kromtemiddelpunt en door het brandpunt getekend. Het blijkt echter dat bij dezespiegel alle beelden achter despiegel liggen en dus alle virtueel zijn. In tegenstelling tot de holle spiegel zijn er geen bijzonderheden ten aanzien van de ligging van het object. Uit figuur 13 kunnen we afleiden dat naarmate het object dichter naar de spiegel toeschuift ook de virtuele afbeelding steeds meer naar de spiegel toeschuift. Hierbij geldt hetzelfde als bij de holle spiegel, namelijk dat als het object tegen de bolle spiegel staat de vergrotingsmaatstaf gelijk is aan I . Bij alle overige afstanden is dus altijd de vergrotingsmaatstaf kleiner dan I . Bij een afstand op oneindig zou deze gelijk zijn aan nul; dit is dan weer een angulaire afbeeldingsgrootte.

Asferische spiegels Spiegels die niet sferisch of rotatiesymmetrisch zijn worden asferisch genoemd. De meest bekende asferische spiegels zijn wel de cilinderspiegels. Naast deze zijn er ook rotatiesymmetrische asferische spiegels. Dit zijn o.a. de parabolische, hyperbolische en elliptische spiegels, die in hoofdzaak worden toegepast in astronomische instrumenten. Het verschil tussen deze laatste spiegels en de sferische spiegels is als volgt te omschrijven. Een sferische spiegel heeft één brandpunt, de overige spiegels hebben twee brandpunten. Een van deze brandpunten ligt op dezelfde Jrg. 26 0 No. 4

julVaugustus 1986 13