III. FUNGSI POLINOMIAL
3.1 Pendahuluan A. Tujuan Setelah mempelajari bagian ini diharapkan mahasiswa dapat: 1. menuliskan bentuk umum fungsi polinomial; 2. menghitung nilai fungsi polinomial; 3. menuliskan bentuk umum fungsi konstan; 4. menghitung nilai fungsi konstan; 5. menggambar grafik fungsi konstan; 6. menyebutkan karakteristik grafik fungsi konstan; 7. menuliskan bentuk umum fungsi linier; 8. menggambar grafik fungsi linier; 9. menentukan gradien dan intercep fungsi linier; 10. menyebutkan karakteristik grafik fungsi linier; 11. menuliskan bentuk umum fungsi kuadrat; 12. menggambarkan grafik fungsi kuadrat; 13. menentukan koordinat titik-titik ektrim; 14. menentukan karakteristik grafik fungsi kuadrat; 15. menuliskan bentuk umum fungsi pangkat tiga; 16. menggambarkan grafik fungsi pangkat tiga; 17. menentukan karakteristik grafik fungsi pangkat tiga.
B. Deskripsi Singkat Isi Bab Bab ini berisi uraian tentang: 1. fungsi polinomial; 2. fungsi konstan; 3. fungsi linier;
4. fungsi kuadrat; 5. fungsi pangkat tiga
Kata kunci: fungsi polinomial, fungsi konstan, fungsi linier, fungsi kuadrat, fungsi pangkat tiga.
3.2 Fungsi Polinomial (Polynomial Functions)
Bentuk Umum Bentuk umum fungsi polinomial adalah, p( x) a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 ..... an x n , dengan ao, a1, a2, a3, …, an
adalah konstanta dan disebut koefisien fungsi polinomial.
Fungsi Polinomial yang sering di gunakan dalam teknik sipil adalah: A. Fungsi Konstan Jika untuk fungsi polinomial harga a1, a2, a3, …, an = 0, maka diperoleh p(x) = ao yang disebut fungsi konstan.
Grafik fungsi konstan berupa garis lurus yang sejajar atau berimpit dengan sumbu X. Untuk ao = 0 grafik fungsi konstan berimpit dengan sumbu X, dan untuk ao 0 grafik fungsi konstan sejajar dengan sumbu X.
Contoh: 1. Gambarkan grafik fungsi konstan k(x) = 4.
Penyelesaian: Penyataan k(x) = 4 dapat ditulis dengan k(x) = 4xo karena xo = 1. Untuk menggambar grafik fungsi dibuatlah tabel nilai fungsi seperti berikut:
Y
x
k(x)
4
-2
4
3
-1
4
2
0
4
1
1
4
0
2
4
k(x) = 4
X
Grafik fungsi k(x) = 4 sejajar dengan sumbu x dengan jarak empat satuan di atas sumbu X
2. Gambarkan grafik fungsi k(x) = 0.
Penyelesaian: Penyataan k(x) = 0 dapat ditulis dengan k(x) = 0xo karena xo = 1. Untuk menggambar grafik fungsi dibuatlah tabel nilai fungsi seperti berikut: x
k(x)
-2
0
-1
0
0
0
1
0
2
0
Grafik fungsi k(x) = 0 berimpit dengan sumbu X.
Y
0
k(x) = 0
X
B. Fungsi Linier Jika untuk fungsi polinomial harga a2, a3, …, an = 0, maka diperoleh p(x) = ao + a1x, yang disebut fungsi linier.
Grafik fungsi linier berupa garis lurus yang miring.
Contoh: 1. Gambarkan grafik fungsi konstan f(x) = 3 + 2x.
Penyelesaian: Untuk menggambar grafik fungsi f(x) dibuatlah tabel fungsi seperti di bawah ini. Y x
f(x)
-2
-1
-1
1
0
3
1
5
2
7
f(x) = 3 + 2x
0
Grafik fungsi f(x) = 3 + 2x berupa garis lurus yang miring ke kanan.
2. Gambarkan grafik fungsi konstan f(x) = -x +1
X
Penyelesaian: Untuk menggambar grafik fungsi f(x) dibuatlah tabel fungsi seperti di bawah ini.
Y x
f(x)
-2
3
-1
2
0
1
1
0
2
-1
f(x) = -x + 1
0
X
Grafik fungsi f(x) = -x + 1 berupa garis lurus yang miring ke kiri.
Hal-hal penting yang perlu diperhatikan untuk fungsi linier: 1. Arah kemiringan garis ditentukan oleh tanda dari koefisien x. Jika tanda dari koefisien x positip maka garis miring ke kanan dan jika tanda dari koefisien x nega-tip maka garis miring ke kiri. 2. Derajat kemiringan (kecuraman) garis ditentukan oleh harga mutlak dari besar-nya koefisien x. Harga mutlak koefisien x yang lebih besar menyebabkan kemi-ringan yang lebih curam. 3. Jika fungsi linier dirumuskan dengan y = ax + b, maka koordinat titik potong ga-
b ris dengan sumbu X adalah ,0 dan titik potong garis dengan sumbu Y ada a lah (0, b).
C. Fungsi Kuadrat Jika untuk fungsi polinomial harga a3, …, an = 0, maka diperoleh p(x) = ao + a1x + a2x2, yang disebut fungsi kuadrat.
Grafik fungsi kuadrat berupa parabola yang memiliki titik puncak di b b 2 4ac , 2a 4a
Contoh: 1. Gambarkan grafik fungsi kuadrat f(x) = x2.
Penyelesaian: Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat harus ditentukan terlebih dahulu koor-
b b 2 4ac dinat titik ekstrimnya, yaitu , 2a 4a absis titik puncak x
b 0 0 2a 2.1
b 2 4ac 0 4.10 . 0 ordinat titik puncak y 4a 4.1 Jadi koordinat titik puncak parabola adalah (0,0). Selanjutnya dibuat tabel fungsi seperti berikut
y 10
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y= f(x) 9 4 1 0 1 4 9
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -4
-3
-2
-1
x 0
1
2
3
4
2. Gambarkan grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + 2.
Penyelesaian: Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat harus ditentukan terlebih dahulu koor-
b b 2 4ac dinat titik ekstrimnya, yaitu , 2a 4a absis titik puncak x
b 0 0 2a 2.1
ordinat titik puncak y
b 2 4ac 0 4.12 . 2 4a 4.1
Jadi koordinat titik puncak parabola adalah (0,2).
Selanjutnya dibuat tabel fungsi seperti berikut
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y
y = f(x) 11 6 3 2 3 6 11
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -4
-3
-2
-1
x 0
1
2
3
4
3. Gambarkan grafik fungsi kuadrat f(x) = -x2 + x + 1
Penyelesaian: Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat harus ditentukan terlebih dahulu koor-
b b 2 4ac dinat titik ekstrimnya, yaitu , 2a 4a absis titik puncak x
1 1 b 2.( 1) 2 2a
b 2 4ac 12 4.( 1).1 1 1 ordinat titik puncak y 4a 4.( 1) 4 Jadi koordinat titik puncak parabola adalah
41 ,1 41
Selanjutnya dibuat tabel fungsi seperti berikut
y
x
y
-2 -1 0 0.25 1 2 3
-5 -1 1 1.1875 1 -1 -5
2 1 0 -3
-2
-1
-1
x 0
1
2
3
4
-2 -3 -4 -5 -6
Hal-hal penting yang perlu diperhatikan pada fungsi kuadrat: 1. Grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c berupa parabola yang dapat membuka ke atas atau ke bawah. Parabola membuka ke atas jika koefisien dari x2 bertanda positip dan se baliknya membuka ke bawah jika koefisien dari x2 bertanda negatip. 2. Parabola memiliki satu titik puncak yang dapat berupa titik maksimum atau titik minimum. Parabola mempunyai titik maksimum jika terbuka ke bawah dan mempunyai titik minimum jika terbuka ke atas. Koordinat titik puncak adalah b b 2 4ac , . 2a 4a
3. Koordinat titik potong antara parabola dengan sumbu Y adalah (0, c). 4. Koordinat titik potong antara parabola dengan sumbu X adalah (x1, 0) dan (x2, 0) dimana x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan ax2 + bx + c = 0 yang dapat dihitung dengan rumus abc dan sebagainya.
D. Fungsi Pangkat Tiga Jika untuk fungsi polinomial harga a4, …, an = 0, maka diperoleh p(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3, yang disebut fungsi pangkat tiga.
Grafik fungsi pangkat tiga agak rumit untuk digambarkan dibandingkan dengan fungsi kuadrat karena umtuk menentukan titik-titik ekstrimnya dibutuhkan pengetahuan kalkulus.
Contoh 1. Gambar kan grafik fungsi y = x3.
Penyelesaian Untuk menggambarkan grafiknya terlebih dahulu dibuat tabel nilai fungsi berikut:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y
Y = f(x) -27 -8 -1 0 1 8 27
30 25 20 15 10 5 -4
-3
-2
0 -1 -5 0
x 1
2
3
4
-10 -15 -20 -25 -30
3
2
2. Gambarkan grafik fungsi y = x + 2x - 7x -3
Penyelesaian Untuk menggambarkan grafiknya terlebih dahulu dibuat tabel nilai fungsi berikut:
x -4 -3 -2 -1 0
y=f(x) -7 9 11 5 -3
1 2 3 4
-7 -1 21 65
Rangkuman 1. Bentuk umum fungsi polinomial adalah,
p( x) a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 .....an x n , dengan ao, a1, a2, a3, …, an adalah konstanta dan disebut koefisien fungsi polinomial. 2. Jika untuk fungsi polinomial harga a1, a2, a3, …, an = 0, maka diperoleh p(x) = ao yang disebut fungsi konstan. 3. Jika untuk fungsi polinomial harga a2, a3, …, an = 0, maka diperoleh p(x) = ao + a1x, yang disebut fungsi linier. 4. Jika untuk fungsi polinomial harga a3, …, an = 0, maka diperoleh p(x) = ao + a1x + a2x2, yang disebut fungsi kuadrat. 5. Jika untuk fungsi polinomial harga a4, …, an = 0, maka diperoleh p(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3, yang disebut fungsi pangkat tiga.
Latihan 1. Gambarkan grafik fungsi konstan di bawah ini: a) y = 5 b) y = -3 2. Gambarkan grafik fungsi linier dibawah ini: a) y = 2x + 3 b) y = 2x + 4 c) y = -3x - 5 d) y = -2x - 5 3. Gambarkan grafik fungsi kuadrat dibawah ini: a) y = 2x2 + 3x -6 b) y = -x2 + 2x + 8 c) y = x2 - x - 20 d) y = -x2 -3x + 12 4. Gambarkan grafik fungsi pangkat tiga y = -x3 + x2 - 2x + 4
