II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 [Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL)] Suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut:
dengan A adalah matriks koefisien konstan berukuran
dan b vektor konstan.
Sistem tersebut dinamakan SPDL orde 1 dengan kondisi awal
. Jika
b=0 sistem dikatakan homogen dan dikatakan tak homogen jika
. [Tu, 1994]
Definisi 2 [Sistem Persamaan Diferensial Tak Linear (SPDTL)] Suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut: (1.2) dengan dan pada
diasumsikan fungsi tak linear
.
Sistem (1.2) disebut sistem persamaan diferensial tak linear. [Braun, 1983] Definisi 3 [Sistem Persamaan Diferensial Mandiri ] Misalkan suatu sistem persamaan diferensial (SPD) dinyatakan sebagai berikut (1.3) dengan f merupakan fungsi kontinu bernilai riil dari x dan mempunyai turunan parsial kontinu. Persamaan (1.3) disebut persamaan diferensial mandiri (autonomous) karena tidak memuat t secara eksplisit di dalamnya. [Tu, 1994]
2.2 Titik Tetap Definisi 4 [Titik Tetap] Diberikan sistem persamaan diferensial
4
Titik
disebut titik tetap atau titik kritis atau disebut juga titik kesetimbangan jika
[Tu, 1994] Titik Tetap Stabil Misalkan adalah titik tetap sebuah persamaan diferensial dan x(t) adalah solusi dengan kondisi awal x(0)=x0, dimana x0 stabil, jika untuk setiap ,maka x (t ) x
. Titik
dikatakan titik tetap
> 0, terdapat r > 0, sedemikian sehingga x 0 x
r
untuk t > 0. [Vershult, 1990]
Analisis Kestabilan Titik Tetap Analisa kestabilan untuk setiap titik tetap yang berbeda untuk setiap nilai eigen yakni: 1 Sistem
adalah stabil jika dan hanya jika setiap nilai eigen dari
bernilai negatif. 2 Sistem nilai eigen dari
adalah tidak stabil jika dan hanya jika minimal satu bernilai positif. [Borrelli dan Coleman, 1998]
2.3 Pelinieran Analisis kestabilan SPDTL dilakukan melalui pelinieran.Misalkan diberikan SPDTL sebagai berikut: 1.4 Dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk suatu titik tetap , maka persamaan (1.4) dapat ditulis senagai berikut: 1.5 Persamaan tersebut merupakan SPDTL dengan adalah matriks Jacobi,
5
dan
suku berorde tinggi yang bersifat
. Selanjutnya
pada persamaan (1.5) disebut pelinearan dari sistem tak linear persamaan (1.4) yang didapat dalam bentuk Untuk
.
suatu sistem yang berada dalam bidang
akan diperoleh
dengan , , dengan
,
,
,
dan .
Nilai
dan
kecil sekali
sehingga dapat diabaikan. [Tu, 1994] 2.4 Komunitas Multi-Spesies dan Kriteria Routh-Hurwitz Suatu model populasi dengan k spesies yang berinteraksi dalam komunitas dapat dituliskandalam bentuk persamaan
atau dapat ditulis dalam notasi vektor
dengan
fungsi tak linear pada
.
Kestabilan sistem tersebut dapat ditentukan dengan urutan sebagai berikut: 1. Menentukan titik tetap
) yang memenuhi
.
2. Pelinearan dengan menentukan matriks Jacobi pada titik tetap, yakni:
atau
6
3. Menentukan nilai eigen Nilai eigen
.
ini akan memenuhi persamaan karakteristik berikut:
Jika nilai eigen nilai eigen
, dengan menyelesaikan
semua riil negatif, maka titik tetap
adalah stabil. Jika
tidak dapat ditentukan dengan mudah, maka kestabilan untuk
, dapat ditentukan dengan Kriteria Routh-Hurwitz, berikut: Kriteria Routh-Hurwitz Teorema 1: Diberikan persamaan karakteristik
Selanjutnya didefinisikan matriks Hurwitz
dengan
sebagai berikut:
dan
Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik mempunyai bagian riil yang negatif (titik tetap
stabil) jika dan hanya jika determinan dari semua matriks
Hurwitz positif, yaitu: , untuk j= 1, 2, …, k. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz untuk k = 2, 3, 4 disebutkan bahwa titik tetap
stabil jika dan hanya jika k = 2,
,
k = 3,
,
k = 4,
,
, ,
, [Edelstein-Keshet,1988]
7
Untuk kasus k = 3, kriteria Routh-Hurwitz disajikan dalam Teorema 2 berikut. Teorema 2 Misalkan
,
,
bilangan riil. Bagian riil dari setiap nilai eigen
persamaan karakteristik
adalah negatif jika dan hanya jika
,
dan
.
Bukti: di lampiran 1. 2.5 Solusi Numerik Sistem Persamaan Diferensial Suatu sistem persamaan diferensial mempunyai bentuk umum , dimana
nilai awal pada waktu
nilai fungsi pada t, f:Rn+1 Rn, dan
, n
, t variabel riil, y: R R vektor notasi turunan terhadap t, yaitu :
.
Sistem persamaan diferensial tersebut dapat juga ditulis dalam bentuk sebagai berikut:
Dalam tesis ini solusi numerik dari sistem persamaan diferensial akan diselesaikan dengan menggunakan software Mathematica 6.0. [Heath, 1997]
