Himpunan, Dan Fungsi
Ira Prasetyaningrum,M.T
Materi Matematika 1 • • • • • • •
Himpunan dan fungsi Matrik Limit dan kekontinuan Differensial Trigonometri Integral Bilangan Komplek
Peraturan Di Kelas • Mahasiswa Maksimal Terlambat 20 Menit. • Dilarang Makan,minum dan Menerima Telpon diKelas • Wajib Menggunakan Pakaian Rapi Dan Sopan serta menggunakan sepatu. • Dilarang Bicara kotor di kelas.
Prosentase penilaian • • • •
Tugas di dosen jaga : 20% UTS :30% UAS :35% Keaktipan Dikelas :15%
Definisi Himpunan • Himpunan (Set) adalah kumpulan dari objek-objek yang berbeda • Anggota Himpunan disebut elemen/anggota • Himpunan ditentukan oleh anggotaanggotanya dan bukan oleh urutan tertentu
Contoh Himpunan • Contoh – A = {1,3,5,7} = {7, 5, 3, 1, 3} – B = {x | x = 2k + 1, 0 < k < 30}
Penyajian Himpunan • Enumerasi dengan mendaftar semua elemen himpunan contoh A = {1,2,3,4} B = {a,b,c} • Menggunakan notasi pembentuk himpunan (notasi set builder) – O = {x | x adalah bilangan ganjil positif yang kurang dari 10} – R ={x|x adalah bilangan real}.
• Secara grafik dengan menggunakan Diagram Venn
Penyajian Himpunan • Diagram Venn U
i u e V a o
Himpunan huruf hidup
U
B A
Diagram Venn yang menunjukkan bahwa A merupakan himpunan bagian dari B
Contoh Himpunan • Himpunan huruf hidup dari alphabet V = {a,e,i,o,u} • Himpunan B adalah himpunan positif integer kurang dari 100 maka B = {1,2,3,4…,99}. • Himpunan alphabet {a,b,c,d,e, ...,x,y,z}
Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga • Himpunan berhingga – Contoh : A = {1, 2, 3, 4} B = {x | x is an integer, 1 < x < 4} Himpunan tak berhingga Contoh : Z = {integers} = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} S={x| x is a real number and 1 < x < 4} = [1,4]
Anggota Himpunan • x A untuk menyatakan x merupakan anggota himpunan A • x A untuk menyatakan x bukan merupakan anggota himpunan A • Contoh : – Misalkan A = {1,2,3} R = {a,b,{a,b,c},{a,c}} maka – 2 A , 5 B , {a,b,c} R , {a} R
Dua Himpunan yang Sama • Dua Himpunan adalah sama jika dan hanya jika kedua himpunan memiliki elemen yang sama. Notasi A = B A B dan B A • Contoh : – A = {1,3,5} B = {3,5,1} C = {1,3,3,3,1,5} – A = B karena 1 A dan 1 B, 2 A dan 2 B, 3 A dan 3 B – A = C karena 1 A dan 1 C, 2 A dan 2 C, 3 A dan 3 C – Berarti A = C
Himpunan Kosong dan Kardinalitas • Himpunan Kosong dilambangkan dengan { } atau Ø • Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. • Jumlah elemen dari Himpunan A disebut Kardinalitas simbol | A |. • Himpunan yang berhingga dapat ditentukan kardinalitasnya • Himpunan yang tak berhingga kardinalitas tidak dapat dihitung.
Himpunan Kosong dan Kardinalitas • Jika A = {1, 2, 3} maka |A| = 3 • Jika B = {x | x is a natural number and 1< x< 9} maka |B| = 9 • Contoh kardinalitas yang tidak dapat dihitung : • R ={x|x adalah bilangan real} • S={x| x is a real number and 1 < x < 4} = [1,4]
Himpunan Semesta • Universal set (Himpunan semesta): himpunan dari semua elemen Contoh: – U = {semua bil asli} – U = {semua bil real} – U = {x| x adalah bil asli and 1< x<10}
Himpunan Bagian • Himpunan A merupakan himpunan bagian B jika dan hanya jika setiap elemen A juga merupakan elemen dari B. • Dinotasikan dengan A B • X adalah proper subset dari Y jika X Y tapi tidak Y X • Terdapat himpunan S , Power set S adalah himpunan dari semua himpunan bagian dari himpunan S. Dinyatakan dengan P(S).
Himpunan Bagian • Apakah Power Set dari Himpunan A {1,2,3}? • P(A) = { {}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3} {1,2,3} } maka | P(A) | = 8 • Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari semua himpunan.
• Teorema • Jika |X| = n maka |P(X)| = 2n.
Operasi pada Himpunan • • • • •
AB AB disjoint A-B Ac
(Union/Gabungan) (Intersection/Irisan) (saling lepas) (Difference/Selisih) (Komplemen)
Operasi Gabungan • Terdapat Himpunan A dan B, Gabungan (Union) dari himpunan A dan B dinyatakan dengan A B adalah himpunan yang elemennya merupakan anggota himpunan A atau merupakan anggota himpunan B. • A B = {x | X A atau x B}
Operasi Irisan • Terdapat Himpunan A dan B, Irisan (Intersection) dari himpunan A dan B dinyatakan dengan A B adalah himpunan yang elemennya merupakan anggota himpunan A dan anggota himpunan B. • A B = {x | X A dan x B}
Disjoint (saling lepas) • Dua himpunan disebut disjoint (saling lepas) jika irisannya adalah Himpunan Kosong. • AB=Ø
Selisih (difference) • Selisih (difference) dari Himpunan A dan B dinyatakan dengan A-B, Himpunan yang elemenya adalah elemen dari A yang bukan elemen dari B. • A - B = {x | x A dan x B}
Komplemen • U adalah Himpunan Semesta. Komplemen dari Himpunan A dinyatakan dengan Ac. • Ac = U – A
Contoh • If X={1, 4, 7, 10}, Y={1, 2, 3, 4, 5} –XY= –XY= –X–Y= –Y–X=
Contoh • If X={1, 4, 7, 10}, Y={1, 2, 3, 4, 5} – X Y = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 10} – X Y = {1, 4} – X – Y = {7, 10} – Y – X = {2, 3, 5}
Definisi Relasi • Terdapat dua himpunan X dan Y, Cartesian product XxY adalah himpunan dari semua pasangan terurut (x,y) dimana xX dan yY – XxY = {(x, y) | xX dan yY} • Contoh : – X = {A,B} – Y = {1,2,3} – Cross Product XxY = {(A,1),(A,2),(A,3),(B,1),(B,2),(B,3)} YxX = {(1,A),(1,B),(2,A),(2,B),(3,A),(3,B)} • Cartesian Product A X B = B X A tidak sama.
Fungsi • Fungsi merupakan jenis khusus pada relasi Definisi Fungsi : • Misalkan terdapat himpunan A dan B. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f:AB yang artinya f memetakan A ke B • Nama lain fungsi adalah pemetaan atau transformasi • Ditulis f(a) = b
Fungsi • Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari f • Himpunan B disebut daerah hasil (codomain) dari f • Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut range (jelajah) • Range dari f = { b | b = f(a) untuk beberapa x A} • Example: – – –
Dom(f) = X = {a, b, c, d}, Rng(f) = {1, 3, 5} f(a) = f(b) = 3, f(c) = 5, f(d) = 1.
Contoh • • • •
Daerah asal A = {1,2,3} B = {u,v,w} f = {(1,u),(2,v),(3,w)} fungsi f = {(1,u),(2,u),(3,v)} fungsi f = {{(1,u),(2,u),(1,w)} bukan fungsi
Fungsi Invers • Terdapat sebuah fungsi y =f(x), fungsi inverse f –1 adalah himpunan {(y,x) | y =f(x)}.
Invers Contoh f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong f(Peter) = Lübeck f(Helena) = New York
Fungsi invers f-1 : f-1(Moscow) = Linda f-1(Boston) = Max f-1(Hong Kong) = Kathy f-1(Lübeck) = Peter f-1(New York) = Helena Invers hanya mungkin untuk bijektif (fungsi yang invertible)
Invers Linda
Boston
f
Max
New York
f-1
Kathy
Hong Kong
Peter
Moscow
Helena
Lübeck
•f-1:CP bukan fungsi karena New York dipetakan ke dua elemen yang berbeda yaitu Max dan Helena.
Contoh • Tentukan fungsi invers f(x) = x2 + 1
• Fungsi f(x) = x2 + 1 bukan fungsi one to one sehingga tidak memiliki fungsi invers
Komposisi fungsi • Terdapat dua fungsi g : X Y dan f : Y Z, komposisi f ◦ g didefinisikan sebagai berikut : • f ◦ g (x) = f(g(x)) untuk setiap x X • Contoh : – g(x) = x2 -1, – f(x) = 3x + 5. – g ◦ f(x) = g(f(x)) = g(3x + 5) = (3x + 5)2 - 1
• Komposisi fungsi memenuhi hokum assosiatif : f ◦ (g ◦h) = (f ◦ g) ◦ h tetapi tidak memenuhi hukum komutatif : f ◦ g g ◦ f.
Komposisi •Contoh: •f(x) = 7x – 4, g(x) = 3x, •f:RR, g:RR •(fg)(5) = f(g(5)) = f(15) = 105 – 4 = 101
•(fg)(x) = f(g(x)) = f(3x) = 21x - 4
Komposisi •Komposisi fungsi dan inversnya menghasilkan fungsi identitas i(x) = x. •(f-1f)(x) = f-1(f(x)) = x
Soal –soal
Latihan Soal 1.
Sebutkan anggota dari himpunan-himpunan di bawah ini: A = {x | x adalah bilangan real yang memenuhi x2 = 1} B = { x | x adalah bilangan integer kurang dari 12 } 2. Buat notasi pembangkit himpunan untuk mendeskripsikan himpunan di bawah ini: – {0, 3, 6, 9, 12} – {M, N, O, P} 3. Cari himpunan A dan B jika A – B = {1,5,7,8} B – A = {2,10} dan A B = {3,6,9}
Latihan Soal 4. Dapatkan fog(x) = (x2 + 1) / (x2 + 2) dan dimana g(x) = 2x + 1 cari f(x) 5. Dapatkan fog(x) dan gof(x) dimana f(x) = x2 + 1 dan g(x) = x + 2
