Teori Himpunan 2
Himpunan Bagian ( Subset ) 1. Jika dan hanya jika setiap anggotanya merupakan anggota himpunan lain 2. Dituliskan dg simbol ⊆ Contoh • Apabila himp A merupakan himpunan bagian dari himp B
maka
A⊆ B
• {1, 2, 3, 4} ⊆ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Himpunan Bagian ( Subset ) 3. Suatu himpunan merupakan anggota himpunan dari himpunan itu sendiri •
A⊆A
• {1, 2, 3 } ⊆ {1, 2, 3}
4. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari semua himpunan • ∅⊆A
Himpunan Bagian ( Subset ) A ⊆ A dan ∅ ⊆ A, maka A dan ∅ disebut himpunan bagian tidak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A
Himpunan Bagian ( Subset ) Dengan logical connectives :
( A ⊆ B ) ≡ (x ∈ A ⇒ x ∈ B )
Himpunan Bagian ( Subset ) Diagram Venn A ⊆ B U B
A
Himp B merupakan superset dari himp A
Himpunan yg Sama 1. Jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan anggota B dan setiap anggota B merupakan anggota A A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A Contoh A = {1, 2, 3, 4} dan B = {x | x ∈ N, x < 5}
maka
A= B
Himpunan yg Sama 2. Urutan anggota tidak diperhitungkan Contoh {1, 2, 3, 4} = {4, 2, 1, 3} 3. Pengulangan anggota tidak mempengaruhi kesamaan himpunan Contoh {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 2, 1, 3, 4}
Himpunan yg Sama 4. Berlaku aksioma berikut
• Jika A = B, maka B = A • Jika A = B dan B = C, maka A = C 5. Dalam logical connectives berlaku
( A = B ) ≡ (x ∈ A ⇔ x ∈ B )
Himpunan yg Sama 6. Menggunakan relasi Ssubset, himpunan yang sama dapat dituliskan sebagai :
( A = B ) ≡ ( A ⊆ B ∧ B ⊆ A) 7. Dapat dibuktikan : A = B ≡ x∈ A ⇔ x∈B
≡ ( x ∈ A ⇒ x ∈ B ) ∧ ( x ∈ B ⇒ x ∈ A)
≡ ( A ⊆ B ) ∧ (B ⊆ A)
Himpunan yg Ekivalen Jika dan hanya jika kedua himpunan memiliki kardinal yang sama A~ B ↔|A|=|B| Contoh • {1, 2, 3, 4} ~ {0, 1, 2, 3}
Himpunan Saling Lepas ( disjoint ) 1. Jika dan hanya jika kedua himpunan tidak memiliki satupun anggota yang sama 2. Dituliskan dg simbol // Contoh • Apabila himp A disjoint himp B
maka
A // B
• {1, 2, 3, 4} // {8, 7, 9, 5} • Himp. TI // Himp. TE // Himp. TS
Himpunan Saling Lepas ( disjoint ) Diagram Venn Himp. TI // Himp. TE // Himp. TS U TI TE TS
Himpunan Kuasa ( power set ) Himpunan kuasa dari himp. A adalah suatu himp. yg anggotanya merupakan himpunan bagian dari A, termasuk himp. kosong dan himp. A sendiri Contoh Apabila A = { 1, 2 }
maka P (A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}} Jumlah anggota P (A) = 2|A|
Operasi Himpunan Irisan (Intersection)
Irisan dari himp. A dan B adalah himpunan yg setiap anggotanya merupakan anggota dari himp. A dan B A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }
Dengan logical connectives : x ∈ (A ∩ B ) ≡ ( x ∈ A) ∧ (x ∈ B)
Operasi Himpunan Irisan (Intersection) Contoh 1. Jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {4, 1, 5} maka A ∩ B = {1, 4} 2. Jika A = { x | x ∈ Z, x < 7 } dan B={x|x∈N} maka A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Operasi Himpunan Irisan (Intersection) Contoh 3. Jika A = {Jengkol, Kangkung, Telo} dan B = {x | x ∈ Mahasiswa Informatika} maka A ∩ B = {} = ∅ artinya A // B
Operasi Himpunan Irisan (Intersection) Dalam diagram Venn A = {1, 2, 3, 4} dan B = {4, 1, 5} A∩B
U 1
2 3 A
5 4 B
Operasi Himpunan Gabungan (Union)
Union dari himp. A dan B adalah himpunan yg setiap anggotanya merupakan anggota dari himp. A atau B A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B } Dengan logical connectives :
x ∈ ( A ∪ B ) ≡ ( x ∈ A) ∨ ( x ∈ B )
Operasi Himpunan Gabungan (Union) Contoh 1. Jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {4, 1, 5} maka A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} 2. Jika A = { x | x ∈ Z, x < 7 } dan B={x|x∈N} maka A ∪ B = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Operasi Himpunan Gabungan (Union) Dalam diagram Venn A = {1, 2, 3, 4} dan B = {4, 1, 5} A∪B
U 1
2 3 A
5 4 B
Operasi Himpunan Komplemen
Komplemen dari himp. A thd himp. semesta U adalah himp. yg setiap anggotanya adalah anggota U dan bukan anggota A A = { x | x ∈ U dan x ∉ A }
x ∈ ~ A ≡ ¬( x ∈ A)
Operasi Himpunan Komplemen Contoh Misal U = {1, 2, … 20} 1. Jika A = {1, 2, … 15} maka
A = {16, 17, 18, 19, 20}
2. Jika A = { x | x ∈ Z, x > 6 } maka A = {…,1, 2, 3, 4, 5, 6}
Operasi Himpunan Komplemen Dalam diagram Venn U A A
Operasi Himpunan Soal Misal A = Himp semua mhs teknik informatika B = Himp semua mhs teknik elektronika C = Himp semua mhs angkatan th 2002 D = Himp semua mhs dng IP < 2.00 E = Himp semua mahasiswa teknik Himp mhs dari teknik informatika atau teknik elektronika
maka ( E ∩ A ) ∪ ( E ∩ B ) atau E ∩ ( A ∪ B )
Operasi Himpunan Soal Misal A = Himp semua mhs teknik informatika B = Himp semua mhs teknik elektronika C = Himp semua mhs angkatan th 2002 D = Himp semua mhs dng IP < 2.00 E = Himp semua mahasiswa teknik Himp mhs dari teknik informatika atau teknik elektronika angkatan th 2002 yg memiliki IP < 2.00
maka E ∩ ( A ∪ B ) ∩ C ∩ D
Operasi Himpunan Soal Misal A = Himp semua mhs teknik informatika B = Himp semua mhs teknik elektronika C = Himp semua mhs angkatan th 2002 D = Himp semua mhs dng IP < 2.00 E = Himp semua mahasiswa teknik Himp mhs teknik, bukan mahasiswa teknik informatika angkt. th 2002 yg memiliki IP >= 2.00
maka E ∩ (A ∩ C ∩ D)