HIMPUNAN A. Pendahuluan Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (1845-1918), ahli mtk berkebangsaan Jerman Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang diperhatikan, namun th 1920-an menjadi landasan matematika. Kata lain dari himpunan yaitu: set, gugus, kelompok, kumpulan. B. Pengertian himpunan dan macam himpunan Dalam matematika, himpunan merupakan pengertian pangkal (tidak didefinisikan, undefined term). Untuk memahaminya, himpunan sering diartikan sebagai kumpulan objek-objek (abstrak atau konkret) yang didefinisikan dengan jelas (well defined), jadi keanggotaannya harus jelas Didefinisikan dengan jelas, berarti himpunan dapat mengklasifikasikan objek kedalam anggota atau bukan anggota himpunan itu. • Contoh himpunan: Kumpulan nama-nama hewan-hewan berkaki empat Kumpulan bilangan bulat antara 3 dan 8 Kumpulan nama-nama mahasiswa PGSD • Contoh kumpulan yang bukan himpunan: Kumpulan bunga-bunga yang indah Kumpulan lukisan yang indah Kumpulan nama-nama mhs PGSD yang cantik. Deskripsi Himpunan • Nama himpunan berupa huruf kapital (Mis.: A, B, G, H, S, C) • Notasi himpunan berupa kurung kurawal Contoh: W : { d, m, p, t } Objek yang dibicarakan dalam himpunan (Mis. d, m, p, t ) disebut anggota (elemen, unsur) dan ditulis di dalam kurung kurawal tersebut Tanda Keanggotaan Relasi anggota dengan himpunan menggunakan notasi ““ dan yang bukan anggota menggunakan notasi “” Contoh: H : { d, m, p, t } p { d, m, p, t } atau p W b { d, m, p, t } atau b W Banyaknya anggota H dinotasikan dengan n(H) Jadi n(H) = 4.
Menyatakan Himpunan 1) Cara tabulasi (rooster method, pendaftaran): Menuliskan anggotanya satu per satu dalam kurung kurawal. A : {merah, kuning, hijau} H : {ayam, itik, bebek, angsa} Anggota-anggota yang sama dianggap sebagai satu anggota {6, 4, 7, 9, 6, 9, 2} = {2, 4, 6, 7, 9} {p, c, a, m, p, m, h} memiliki 5 anggota 2) Cara deskriptif (rule method, cara aturan/metode pembentukan himpun-an) Menuliskan aturan atau perumusan tentang sifat keanggotaannya M : {x3 x 16, x bilangan genap} H : {x x nama-nama hewan berkaki dua} P : {xx bilangan prima kurang dari 15}. Macam-Macam Himpunan a) Himpunan kosong • Suatu himpunan H disebut himpunan kosong jika n(H) = 0. • Notasi untuk himpunan kosong adalah Ø atau { } • Contoh himpunan kosong: Himp nama-nama hewan berkaki tiga Himp bilangan asli kurang dari satu Himp bilangan prima genap antara 10 dan 20 Himp nama-nama dosen unila yg berusia lebih dari 500 tahun. b) Himpunan bagian • Himpunan A disebut himpunan bagian (Subset) dari himpunan B jika setiap anggota A juga menjadi anggota B A B ⟺ xA xB. • Himpunan bagian dari {a, d, t} adalah Ø, {a}, {d}, {t}, {a, d}, {a, t}, {d,t}, dan {a, d, t} → ada delapan himpunan bagian • Himpunan bagian sejati dari {a, d, t} adalah Ø, {a}, {d}, {t}, {a, d}, {a, t}, {d,t}. c) Himpunan semesta Himpunan semesta S adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan Himpunan semesta dari {1,2,3,4,5} antara lain adalah: a) {0,1,2,3,4,5,6} b) {x|x bilangan asli} c) Himpunan bilangan cacah kurang dari 20. d) Himpunan terhingga dan himpunan takhingga • Himpunan H disebut himp terhingga (finite set) jika n(H) = c, c bilangan cacah
Contoh: G : Himpunan nama-nama hari dalam seminggu N : {7,8,9,10, …, 2015} • Himpunan D disebut himp takhingga (infinite set, transfinite set) jika n(D) =~ Contoh: F = {2, 3, 4, 5, …} M : {x2 x 4, x bilangan real}
e) Himpunan terbilang dan himpunan tak terbilang Himpunan terbilang , anggotanya dapat ditunjukkan satu per satu Contoh: P = {4,5,6, …} Q = {r, s, t, v, w, k, d, a} R = {1, 2, 3, …, 138}. Himpunan tak terbilang, anggotanya tidak dapat ditunjukkan satu per satu (kontinu) Contoh: D = {x0 x 7, x bilangan rasional} F = {xx 4, x bilangan real positip}.
f) Himpunan terbatas Himpunan terbatas yaitu himpunan yang mempunyai batas Ada himpunan terbatas kiri dan ada himpunan terbatas kanan Contoh: K = {4, 1, 3, 8, 6} L = {x0 x 7, x bilangan asli} B = {x0 x 7, x bilangan bulat}. Himpunan terbatas biasanya beranggotakan bilangan. Batas yang kecil disebut batas bawah, dan batas yang besar disebut batas atas Unsur yang menjadi batas itu tidak harus menjadi anggota himpunan Pada himpunan terhingga yang ditulis secara tabulasi, anggota terkecil menjadi batas bawah, dan anggota terbesar menjadi batas atas. Khusus untuk bil real, himpunan tak terbilang (kontinu) bisa dinyatakan dengan interval atau selang a) {x | 2 x 7} = (2,7] b) {x | 2 x 7} = [2,7) c) {x | 2 x 7} = (2,7) d) {x | 2 x 7} = [2,7].
C. Relasi himpunan a. Dua Himpunan Sama Kedua himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama A = B AB dan BA A = B ⟺ xA xB xB xA Contoh: A = {5, 2, 7, 2, 9, 8, 7} B = {8, 8, 2, 7, 5, 9, 8, 5} maka A = B.
b. Dua himpunan Saling Lepas (Disjoin) Kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota yang sama Contoh: P = {a, b, c, d} Q = {2, 4, 6, 8, 9, 3} Himpunan P dan Q dikatakan saling lepas c. Dua himpunan saling berpotongan Antar kedua himpunan tsb, ada anggota yang sama dan ada anggota yang tidak sama A = {5, 8, 2, 9} B = {14, 2, 8, 7, 26} Himpunan A dan B saling berpotongan (saling beririsan) d. Dua himpunan, yang satu bagian dari himpunan kedua Himpunan A disebut himpunan bagian (Subset) dari himpunan B jika setiap anggota A juga menjadi anggota B
e. Dua himpunan yang Ekivalen. Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika n(A) = n(B). Contoh: A = { 4,6,3,2,2,6} B = { r, k, d, w} Maka A~B
D. Operasi himpunan a) Union (gabungan) dua himpunan • AB = {x|xA atau xB} • Gabungan dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah anggota A atau anggota B. • Contoh: A = {a,c,e} B = {b, c, d} maka AB = {a, b, c, d, e} b) Intersection (Irisan) dua himpunan • AB = {x|xA dan xB} • Irisan dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah anggota A dan sekaligus juga anggota B. • Contoh: A = {a,c,d,e} B = {a, b, e, f, g} maka A B = {a, e} c) Pengurangan himpunan • A – B = {x|xA dan xB} • A – B berarti suatu himpunan yang anggotanya adalah anggota A tetapi tidak menjadi anggota B. • Contoh: A = {a,c,d,e} B = {a, b, e, k, g} A – B = {c, d} B – A = {b, k, g} d) Penjumlahan himpunan (Beda Setangkup) • A B = (A – B) (B – A) • A B berarti suatu himpunan yang anggotanya adalah anggota A saja atau anggota B saja. • Contoh: A = {a,c,d,e} B = {a, b, e, k, g} A B = {b, c, d, k, g} B A = {b, c, d, k, g} e) Perkalian (persilangan) himpunan • A X B = {(x,y) | xA dan yB} • Persilangan dari himpunan A ke B adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah (x,y) di mana x anggota A dan y anggota B.
• Contoh: A = {a,b,c} B = {1, 2} maka A X B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c, 2)} B X A = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2, c)} E. Himpunan bilangan. Barisan bilangan asli : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …. Himpunan bilangan asli A : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….} Contoh bilangan asli: 7, 4, 9, 28, 13. Bilangan asli merupakan bilangan yang berkaitan dengan hasil membilang (urutan, ranking). Bilangan Faktor
Banyak faktor
Bilangan Prima?
1
1
1
Bukan
2
1,2
2
Prima
3
1,3
2
Prima
4
1,2,4
3
Bukan
5
1,5
2
Prima
6
1,2,3,6
4
Bukan
7
1,7
2
Prima
8
1,2,4,8
4
Bukan
9
1,3,9
3
Bukan
10
1,2,5,10
4
Bukan
12
1,2,3,4,6,12
6
Bukan
13
1,13
2
Prima
Contoh bilangan prima
: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, …
Bilangan prima: bilangan yang mempunyai tepat dua faktor. Bilangan bulat lebih dari satu yang habis dibagi hanya oleh 1 dan bilangan itu sendiri.
Banyak Jumlah faktor faktor
Bilangan
Faktor
2
1,2
2
3
3
1,3
2
4
5
1,5
2
6
7
1,7
2
8
BILANGAN KOMPOSIT Contoh bilangan komposit: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22. - Bilangan komposit adalah bilangan yang mempunyai lebih dari dua faktor - Bilangan asli lebih besar dari satu yang bukan bilangan prima. Bilangan
Faktor
4 6 8 9 10 12 14 15 24 36 48 120
1,2,4 1,2,3,6 1,2,4,8 1,3,9 1,2,5,10 1,2,3,4,6,12 1,2,7,14 1,3,5,15 1,2,3,4,6,8,12,24 1,2,3,4,6,9,12,18,36 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48 1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,18,20,24,30, 40, 60, 120 1,2,4,5,10,20,25,50,100
100
Banyak Jumlah faktor faktor 3 7 4 12 4 15 3 13 4 18 6 4 4 8 9 10 16 9
Bilangan genap: bilangan yang habis dibagi dua. 0, 2, 4, 6, 8, 10, … Bilangan ganjil: bilangan bulat yang tidak habis dibagi dua. 1,3,5,7,9,11,13,15, …
BILANGAN CACAH Barisan bilangan Cacah: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …. Himpunan bilangan Cacah C : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….} C = A{ 0 } Bilangan cacah adalah bilangan yang menyatakan banyaknya anggota sebuah himpunan
BILANGAN BULAT Himpunan bilangan bulat merupakan gabungan dari himpunan bilangan Cacah dan himpunan bilangan bulat negatip. { …, -7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,…} Himpunan bilangan bulat negatip : (-1, -2, -3, -4, -5, -6, …} Bilangan rasional Bilangan Irrasional contoh: log 6, √8, e, . Bilangan Real (nyata) Bilangan imajiner Bilangan Kompleks Contoh bilangan imajiner: i i adalah suatu bilangan yang jika dikuadratkan menghasilkan -1.
i 2 = -1
i 4 = 1
F. Diagram Venn Istilah diagram Venn berasal dari seorang ahli bangsa Inggris yang menjadi tokoh logika matematika, yaitu John Venn (1834-1923). Ia menulis buku simbolik logic dalam analisisnya menggunakan banyak diagram khususnya diagram lingkaran, diagram tersebut kini dikenal nama diagram Venn. Biasanya himpunan semesta digambarkan sebagai daerah persegi panjang dan suatu himpunan bagian dari himpunan semesta ditunjukkan dengan daerah kurva tertutup sederhana. Anggota-anggota suatu himpunan ditunjukkan dengan noktah-noktah sedangkan jika anggotanya cukup banyak maka noktah sebagai wakil-wakil anggota himpunan tidak perlu ditulis.
Tugas/Latihan Diketahui himpunan A = {6, 8, 2, -5, 7} B = {8, 9, 4, 6, -2, 8} (a) A∪B (b) A∩B (c) A – B (d) B – A (e) A× B (f) B× A (g) A + B (h) B + A
