Helyi tanterv. Matematika évfolyam

Tóparti Gimnázium és Művészeti Szakközépiskola Székesfehérvár

Helyi tanterv Matematika Négy évfolyamos gimnázium

9 - 12. évfolyam

HELYI TANTERVI ÓRASZÁMOK

4 évfolyamos gimnázium Évfolyam:

9.

10.

11.

12.

Heti óraszám:

3

3

3

4

Évi óraszám:

108

108

108

128

Emelt szintű érettségi vizsgára felkészítő csoport(ok) (szabadon választható)

3+2

4+2

180

192

1. BEVEZETÉS Jelen helyi tanterv az 51/2012. (XII.21.) EMMI rendelet: 3. sz. melléklet: Kerettanterv a gimnáziumok 9-12. évfolyama számára 3.2.04-es sorszámú matematika kerettanterve alapján készült. Az alapórás csoportoknál a kerettanterv által biztosított 10 %-os szabad mozgástér a megtanított ismeretek elmélyítésére és a gyakorlásra kerül felhasználásra, új tartalmi elemekkel a témák nem bővülnek (kivéve a trigonometria és a körök geometriája ezenkívül), csak bizonyos résztémákra szánt órakeret került megnövelésre, összehangolva a különböző képzési formák tananyagát a közös emeltszintű csoportok indításához

1.1. A matematika tantárgy pedagógiai céljai, feladatai Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika tanulása érzelmi és motivációs vonatkozásokban is formálja, gazdagítja a személyiséget, fejleszti az önálló rendszerezett gondolkodást, és alkalmazásra képes tudást hoz létre. A matematikai gondolkodás fejlesztése segíti a gondolkodás általános kultúrájának kiteljesedését. 1.2. A matematika tantárgy fejlesztési területei és nevelési céljai A matematikatanítás feladata a matematika különböző arculatainak bemutatása. A matematika: kulturális örökség; gondolkodásmód; alkotó tevékenység; a gondolkodás örömének forrása; a mintákban, struktúrákban tapasztalható rend és esztétikum megjelenítője; önálló tudomány; más tudományok segítője; a mindennapi élet része és a szakmák eszköze. A tanulók matematikai gondolkodásának fejlesztése során alapvető cél, hogy mind inkább ki tudják választani és alkalmazni tudják a természeti és társadalmi jelenségekhez illeszkedő modelleket, gondolkodásmódokat (analógiás, heurisztikus, becslésen alapuló, matematikai logikai, axiomatikus, valószínűségi, konstruktív, kreatív stb.), módszereket (aritmetikai, algebrai, geometriai, függvénytani, statisztikai stb.) és leírásokat. A matematikai nevelés sokoldalúan fejleszti a tanulók modellalkotó tevékenységét. Ugyanakkor fontos a modellek érvényességi körének és gyakorlati alkalmazhatóságának eldöntését segítő képességek fejlesztése. Egyaránt lényeges a reproduktív és a problémamegoldó, valamint az alkotó gondolkodásmód megismerése, elsajátítása, miközben nem szorulhat háttérbe az alapvető tevékenységek (pl. mérés, alapszerkesztések), műveletek (pl. aritmetikai, algebrai műveletek, transzformációk) automatizált végzése sem. A tanulás elvezethet a matematika szerepének megértésére a természet- és társadalomtudományokban, a humán kultúra számos ágában. Segít kialakítani a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét. Megmutathatja a matematika hasznosságát, belső szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét. Fejleszti a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét. A tanulási folyamatosamat során fokozatosan megismertetjük a tanulókkal a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása). Mindezzel fejlesztjük a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. Az új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokban való alkalmazása fejleszti a kombinatív készséget, a kreativitást, az önálló gondolatok megfogalmazását, a felmerült problémák megfelelő önbizalommal történő megközelítését, megoldását. A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a többféle

nézőpont érvényesítését, a komplex problémakezelés képességét is fejleszti. A folyamatosamat végén a tanulók eljutnak az önálló, rendszerezett, logikus gondolkodás bizonyos szintjére. A műveltségi terület a különböző témakörök szerves egymásra épülésével kívánja feltárni a matematika és a matematikai gondolkodás világát. A fogalmak, összefüggések érlelése és a matematikai gondolkodásmód kialakítása egyre emelkedő szintű spirális felépítést indokol – az életkori, egyéni fejlődési és érdeklődési sajátosságoknak, a bonyolódó ismereteknek, a fejlődő absztrakciós képességnek megfelelően. Ez a felépítés egyaránt lehetővé teszi a lassabban haladókkal való foglalkozást és a tehetség kibontakoztatását. 1.3. A matematika tantárgy szerepe a kulcskompetenciák fejlesztésében A matematikai értékek megismerésével és a matematikai tudás birtokában a tanulók hatékonyan tudják használni a megszerzett kompetenciákat az élet különböző területein. A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek, illetve a választott szakma ismeretanyagának tanulmányozásához, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. Ezért a tanulóknak rendelkezniük kell azzal a képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják matematikai tudásukat, és felismerjék, hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban segítheti a mindennapokban, és különösen a média közleményeiben való reális tájékozódásban. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv életkornak megfelelő, pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását írásban és szóban egyaránt. A tanulók rendszeresen oldjanak meg önállóan feladatokat, aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. A feladatmegoldáson keresztül a tanuló képessé válhat a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára. Kialakul bennük az önellenőrzés igénye, a sajátunkétól eltérő szemlélet tisztelete. Mindezek érdekében is a tanítás folyamatában törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. A matematikatanítás, -tanulás folyamatában egyre nagyobb szerepet kaphat az önálló ismeretszerzés képességnek fejlesztése, az ajánlott, illetve az önállóan megkeresett, nyomtatott és internetes szakirodalom által. A matematika lehetőségekhez igazodva támogatni tudja az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor), internet, oktatóprogramok stb. célszerű felhasználását, ezzel hozzájárul a digitális kompetencia fejlődéséhez. A tananyag egyes részleteinek csoportmunkában való feldolgozása, a feladatmegoldások megbeszélése az együttműködési képesség, a kommunikációs képesség fejlesztésének, a reális önértékelés kialakulásának fontos területei. Ugyancsak nagy gondot kell fordítani a kommunikáció fejlesztésére (szövegértésre, mások szóban és írásban közölt gondolatainak meghallgatására, megértésére, saját gondolatok közlésére), az érveken alapuló vitakészség fejlesztésére. A matematikai szöveg értő olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekből a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsőfokú tanulást is segíti. Változatos példákkal, feladatokkal mutathatunk rá arra, hogy milyen előnyöket jelenthet a mindennapi életben, ha valaki jártas a problémamegoldásban. A matematikatanításnak kiemelt szerepe van a pénzügyi-gazdasági kompetenciák kialakításában. Életkortól függő szinten rendszeresen foglakozzunk olyan feladatokkal, amelyekben valamilyen probléma legjobb megoldását keressük. Szánjunk kiemelt szerepet azoknak az optimum-problémáknak, amelyek gazdasági kérdésekkel foglalkoznak, amikor költség, kiadás minimumát; elérhető eredmény, bevétel maximumát keressük. Fokozatosan vezessük be matematikafeladatainkban a pénzügyi fogalmakat: bevétel, kiadás, haszon,

kölcsön, kamat, értékcsökkenés, -növekedés, törlesztés, futamidő stb. Ezek a feladatok erősítik a tanulókban azt a tudatot, hogy matematikából valóban hasznos ismereteket tanulnak, ill. hogy a matematika alkalmazása a mindennapi élet szerves része. Az életkor előrehaladtával egyre több példát mutassunk arra, hogy milyen területeken tud segíteni a matematika. Hívjuk fel a figyelmet arra, hogy milyen matematikai ismerteket alkalmaznak az alapvetően matematikaigényes, ill. a matematikát csak kisebb részben használó szakmák (pl. informatikus, mérnök, közgazdász, pénzügyi szakember, biztosítási szakember, ill. pl. vegyész, grafikus, szociológus stb.), ezzel is segítve a tanulók pályaválasztását. A matematikához való pozitív hozzáállást nagyban segíthetik a matematika tartalmú játékok és a matematikához kapcsolódó érdekes problémák és feladványok. A matematika a kultúrtörténetnek is része. Segítheti a matematikához való pozitív hozzáállást, ha bemutatjuk a tananyag egyes elemeinek a művészetekben való alkalmazását. A motivációs bázis kialakításában komoly segítség lehet a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, nagy matematikusok életének, munkásságának megismerése. A NAT néhány matematikus ismeretét előírja minden tanuló számára: Euklidész, Pitagorasz, Descartes, Bolyai Farkas, Bolyai János. A kerettanterv ezen kívül is több helyen hívja fel a tananyag matematikatörténeti érdekességeire a figyelmet. Ebből a tanárkollégák csoportjuk jellegének megfelelően szabadon válogathatnak. A matematika oktatása elképzelhetetlen állítások, tételek bizonyítása nélkül. Hogy a tananyagban szereplő tételek beláttatása során milyen elfogadott igazságokból indulunk ki, s mennyire részletezünk egy bizonyítást, nagymértékben függ az állítás súlyától, a csoport befogadó képességétől, a rendelkezésre álló időtől stb. Ami fontos, az a bizonyítás iránti igény felkeltése, a logikai levezetés szükségességének megértetése. Ennek mikéntjét a helyi tantervre támaszkodva mindig a szaktanárnak kell eldöntenie, ezért a tantervben a tételek megnevezése mellett nem szerepel utalás a bizonyításra. A fejlesztési cél elérése szempontjából - egy adott tanulói közösség számára - nem feltétlenül a tantervben szereplő (nevesített) tételek a legalkalmasabbak bizonyítás bemutatására, gyakorlására. Minden életkori szakaszban fontos a differenciálás. Ez nemcsak az egyéni igények figyelembevételét jelenti. Sokszor az alkalmazhatóság vezérli a tananyag és a tárgyalásmód megválasztását, más esetekben a tudományos igényesség szintje szerinti differenciálás szükséges. Egy adott osztály matematikatanítása során a célok, feladatok teljesíthetősége igényli, hogy a tananyag megválasztásában a tanulói érdeklődés és a pályaorientáció is szerepet kapjon. A matematikát alkalmazó pályák felé vonzódó tanulók gondolkodtató, kreativitást igénylő versenyfeladatokkal motiválhatók, a humán területen továbbtanulni szándékozók számára érdekesebb a matematika kultúrtörténeti szerepének kidomborítása, másoknak a középiskolai matematika gyakorlati alkalmazhatósága fontos. A fokozott szaktanári figyelem, az iskolai könyvtár és az elektronikus eszközök használatának lehetősége segíthetik az esélyegyenlőség megvalósulását. 1.4. A pedagógiai szakaszok fejlesztési céljai Fejlesztési célok a 9-10. évfolyamon

Ez a matematika kerettanterv mindazon tanulóknak szól, akik a 9. osztályban még nem választottak matematikából emelt szintű képzést. Azoknak is, akik majd később, fakultáción akarnak felkészülni matematikaigényes pályákra, és természetesen azoknak is, akiknek a középiskola után nem lesz rendszeres kapcsolatuk a matematikával, de egész életükben hatni fog, hogy itt milyen készségeik alakultak ki a problémamegoldásban, a rendszerező, elemző gondolkodásban. Ezeket a tanulókat ebben az időszakban lehet megnyerni a gazdasági fejlődés szempontjából meghatározó fontosságú természettudományos, műszaki, informatikai pályáknak.

A megismerés módszerei között továbbra is fontos a gyakorlati tapasztalatszerzés, de az ismertszerzés fő módszere a tapasztalatokból szerzett információk rendszerezése, igazolása, ellenőrzése, és az ezek alapján elsajátított ismeretanyag alkalmazása. A középiskola első két évfolyamán sok, korábban már szereplő ismeret, összefüggés, fogalom újra előkerül, úgy, hogy a fogalmak definiálásán, az összefüggések igazolásán, az ismeretek rendszerezésén, kapcsolataik feltárásán és az alkalmazási lehetőségeik megismerésén van a hangsúly. Ezért a tanulóknak meg kell ismerkedniük a tudományos feldolgozás alapvető módszereivel. (Mindenki által elfogadott alapelvek/axiómák, már bizonyított állítások, új sejtések, állítások megfogalmazása és azok igazolása, a fentiek összegzése, a nyitva maradt kérdések felsorolása, a következmények elemzése.) A felsorolt célok az általános iskolai matematikatanítás céljaihoz képest jelentős többletet jelentenek, ezért is fontos, hogy változatos módszertani megoldásokkal tegyük könnyebbé az átmenetet. A problémamegoldás megszerettetésének igen fontos eszközei lehetnek a matematikai alapú játékok. A gyerekek szívesen játszanak maradékos osztáson, oszthatósági szabályokon alapuló számjátékokat, és szimmetriákon alapuló geometriai, rajzos játékokat. Nyerni akarnak, ezért természetes módon elemezni kezdik a szabályokat, lehetőségeket. Olyan következtetésekre jutnak, olyan elemzéseket végeznek, amilyeneket hagyományos feladatokkal nem tudnánk elérni. A matematikatanításnak ebben a szakaszában sok érdekes matematikatörténeti vonatkozással lehet közelebb hozni a tanulókhoz a tantárgyat. A témakör egyes elemeihez kapcsolódva mutassuk be néhány matematikus életútját. A geometria egyes területeinek (szimmetriák, aranymetszés) a művészetekben való alkalmazásait megjelenítve világossá tehetjük a tanulók előtt, hogy a matematika a kultúra elválaszthatatlan része. Az ezekre a témákra fordított idő bőven megtérül az ennek következtében növekvő érdeklődés, javuló motiváció miatt. (A tantervben dőlt betűkkel szerepelnek ezek a részek.) Változatos példákkal, feladatokkal mutathatunk rá arra, hogy milyen előnyöket jelenthet a mindennapi életben, ha valaki jól tud problémákat megoldani. Gazdasági, sport témájú feladatokkal, számos geometriai és algebrai szélsőérték-feladattal lehet gyakorlati kérdésekre optimális megoldásokat keresni. Ez az életkor már alkalmassá teszi a tanulókat az önálló ismeretszerzésre. Legyen követelmény, hogy egyes adatoknak, fogalmaknak, ismereteknek könyvtárban, interneten nézzenek utána. Ez a kutatómunka hozzájárulhat a tanulók digitális kompetenciájának növeléséhez, ugyanúgy, mint a geometriai és egyéb matematikai programok használata is. A tanulók későbbi, matematika szempontjából nagyon különböző céljai, a fogalmi gondolkodásban megnyilvánuló különbségek igen fontossá teszik ebben a szakaszban a differenciálást. Az évfolyamok összetételének a bevezetőben vázolt sokszínűsége miatt nagyon indokolt csoportbontásban tanítani a matematikát. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a tantervi táblázatok tartalmazzák. Fejlesztési célok a 11-12. évfolyamon

Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka is, ezért a fejlesztésnek kiemelten fontos tényezője az elemző- és összegzőképesség alakítása. Ebben a két évfolyamban áttekintését adjuk a korábbi évek ismereteinek, eljárásainak, problémamegoldó módszereinek, emellett sok, gyakorlati területen széles körben használható tudást is közvetítünk. Olyanokat, amelyekhez kell az előző évek alapozása, amelyek kissé összetettebb problémák megoldását is lehetővé teszik. Az érettségi előtt már elvárható többféle ismeret együttes alkalmazása. A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg.

Minden témában nagy hangsúllyal ki kell térnünk a gyakorlati alkalmazásokra, az ismeretek más tantárgyakban való felhasználhatóságára. A statisztikai kimutatások és az információk kritikus értelmezése, az esetleges manipulációs szándék felfedeztetése hozzájárul a vállalkozói kompetencia fejlesztéséhez, a helyes döntések meghozatalához. Gyakran alkalmazhatjuk a digitális technikát az adatok, problémák gyűjtéséhez, a véletlen jelenségek vizsgálatához. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban és mindennapjaink gyakorlatában is elengedhetetlen. A sorozatok, kamatos kamat témakör kiválóan alkalmas a pénzügyi, gazdasági problémákban való jártasság kialakításra. Az anyanyelvi kommunikáció fejlesztését is segíti, ha önálló kiselőadások, prezentációk elkészítését, megtartását várjuk el a diákoktól. A matematikatörténet feldolgozása például alkalmas erre. Ez sokat segíthet abban, hogy a matematikát kevésbé szerető tanulók se tekintsék gondolkodásmódjuktól távol álló területnek a matematikát. A magasabb óraszámban tanuló diákok nagy részétől elvárható, hogy emelt szintű érettségi vizsgát tegyen, ezért az elsődleges cél a sikeres vizsga letételére való felkészítés. Az ilyen csoportokba járó tanulók zöme feltételezhetően olyan egyetemre, főiskolára fog kerülni, ahol a matematikát mint elméleti és/vagy mint alkalmazott tudományt fogják tanulni. Ezért a logikát fejlesztő feladatok mellett fel kell készíteni olyan ismeretekre is őket, melyek későbbi tanulmányaikat elősegíthetik. Az anyanyelvi kommunikáció fejlesztését is segíti, ha önálló kiselőadások, prezentációk elkészítését, megtartását várjuk el a diákoktól. A fejlesztés eredményeként a kétéves periódus végére elvárható, hogy emelt szinten, a szóbeli vizsgán szabatosan, összefüggően tudják magukat kifejezni. Ezek a célkitűzések csak akkor érhetők el, ha a tanulók külön csoportban vesznek részt a heti 5 tanítási órán. A matematikát szerető, a matematikai problémák iránt érdeklődő tanulók számára érdekes, nehezebb, gondolkodtatóbb feladatok, problémák kitűzésével, a különböző megoldási lehetőségek, diszkussziók megbeszélésével a matematika iránti érdeklődést (esetleg a későbbiekben a matematikussá válást) tudatosan fejlesztjük. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a tantervi táblázatok tartalmazzák. Fejlesztési célok még a a 11-12. évfolyamon az emeltszintű csoportban

A magasabb óraszámban tanuló diákok nagy részétől elvárható, hogy emelt szintű érettségi vizsgát tegyen, ezért az elsődleges cél a sikeres vizsga letételére való felkészítés. Az ilyen csoportokba járó tanulók zöme feltételezhetően olyan egyetemre, főiskolára fog kerülni, ahol a matematikát mint elméleti és/vagy mint alkalmazott tudományt fogják tanulni. Ezért a logikát fejlesztő feladatok mellett fel kell készíteni olyan ismeretekre is őket, melyek későbbi tanulmányaikat elősegíthetik. Az anyanyelvi kommunikáció fejlesztését is segíti, ha önálló kiselőadások, prezentációk elkészítését, megtartását várjuk el a diákoktól. A fejlesztés eredményeként a kétéves periódus végére elvárható, hogy emelt szinten, a szóbeli vizsgán szabatosan, összefüggően tudják magukat kifejezni. Ezek a célkitűzések csak akkor érhetők el, ha a tanulók külön csoportban vesznek részt a heti 5 tanítási órán. A matematikát szerető, a matematikai problémák iránt érdeklődő tanulók számára érdekes, nehezebb, gondolkodtatóbb feladatok, problémák kitűzésével, a különböző megoldási lehetőségek, diszkussziók megbeszélésével a matematika iránti érdeklődést (esetleg a későbbiekben a matematikussá válást) tudatosan fejlesztjük.

Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás szintézisét adja, és egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, valamint a mindennapi élet matematikaigényes elemeivel. A matematikatanulásban kialakult rendszeresség, problémamegoldó készség az élet legkülönbözőbb területein segíthet. Ezt célszerű tudatosítani a tanulókban. A problémamegoldó készségen túl fontos az önálló rendszerezés, lényegkiemelés, történeti áttekintés készségének kialakítása, az alkalmazási lehetőségek megtalálása, a kapcsolatok keresése különböző témakörök között. A sorozatok, kamatos kamat témakör kiválóan alkalmas a pénzügyi, gazdasági problémákban való jártasság kialakításra. A korábbiaknál is nagyobb hangsúlyt kell fektetni a különböző gyakorlati problémák optimumát kereső feladatokra. Ezért az ilyen problémák elemi megoldását külön fejezetként iktatjuk be. Az analízis témakörben a szemléletesség segíti a problémák átlátását, az egzaktság pedig a felsőfokú képzésre való készülést. Ebben az időszakban áttekintését adjuk a korábbi évek ismereteinek, eljárásainak, problémamegoldó módszereinek, miközben sok, gyakorlati területen széles körben használható tudást is közvetítünk, amelyek kissé összetettebb problémák megoldását is lehetővé teszik. Az érettségi előtt már elvárható a tanulóktól többféle készség és ismeret együttes alkalmazása. Minden témában hangsúlyosan kell kitérnünk a gyakorlati alkalmazásokra, az ismeretek más tantárgyakban való felhasználhatóságára. A rendszerező összefoglalás, túl azon, hogy az eddigi matematikatanulás szintézisét adja, mintaként szolgálhat a későbbiekben is bármely területen végzett összegző munkához. Ilyen csoportoknál viszont figyelemmel kell lenni arra, hogy ez a tanterv épít az alsóbb évfolyamok emelt szintű tanterveinek néhány elemére. Természetesen ezeket az ismereteket célszerű vagy a 11. év elején, vagy a megfelelő témakör tárgyalása előtt áttekinteni. (Ehhez szükség lehet heti egy plusz órára) Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a tantervi táblázatok tartalmazzák. 1.5. A matematika tantárgy tanításának helyi sajátosságai a négy évfolyamos gimnáziumban

A matematika tantárgy tanítása 9-10. évfolyamon osztályonként két csoportban zajlik. Ezen két év alatt elsajátítják a Pedagógiai Programban megfogalmazott követelményeket. 10. évfolyamban dönthetnek, hogy tanulmányaikat az alapkövetelményeknek megfelelően, vagy emeltszintű érettségire felkészítő csoportban a 3. Az emeltszintű érettségi felkészítő csoport tanterve részben megfogalmazottak szerint folytatják. Mivel a hat és négy osztályos gimnáziumot végzők egy csoportba kerülnek célszerű a tananyagillesztés. Ezért a 10. évfolyam anyaga igazodik a hatosztályos gimnáziumi képzéséhez kihasználva a 10% tananyag lehetőséget. Ez a tantárgyak közötti átvett tananyagelemek időbeni meglétét is segíti. A csoportok kialakítása évfolyamszinten az igényekhez illeszkedő számban történik az addig meglévő csoportbontások szükség szerinti átrendezésével. Érettségire a csoportválasztás szintjétől függetlenül a törvényben megfogalmazottak szerint jelentkezhetnek. A sikeres emeltszintű érettségihez azonban szükséges a kiegészítő tananyagok elsajátítása, melyre az emelt szintű matematikacsoport tanterve ad lehetőséget.

1.6. témakörök óraszámai (bár a kapcsolatok miatt a témakörök között van átfedés) 9. évfolyam 3

Témakörök

1. Gondolkodási módszerek

10. évfolyam 3

11. évfolyam 3

12. évfolyam 4

8+ 12+ 10+ 12+ folyamatos folyamatos folyamatos folyamatos

2. Számtan, algebra

37

38

29

3. Függvények, sorozatok

13

9

15

20

4. Geometria

35

33

32

34

5. Statisztika, valószín.

5

6

12

10

Ismétlés, ellenőrzés

10

10

10

52

Összesen

108

108

108

128

2. TANTÁRGY TARTALMAK 2.1. A 9. évfolyam tanterve

Évi óraszám: 108 óra – heti 3 óra Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás

A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

Órakeret 8 óra +folyamatos Példák halmazokra, geometriai alapfogalmak, alapszerkesztések. Halmazba rendezés több szempont alapján. Gyakorlat szövegek értelmezésében. A matematikai szakkifejezések adott szinthez illeszkedő ismerete. A valós számok halmazának ismerete. Kommunikáció, együttműködés fejlesztése. A matematika épülése elveinek bemutatása. Igaz és hamis állítások megkülönböztetése. Halmazok eszközjellegű használata. Gondolkodás; ismeretek rendszerezési képességének fejlesztése. Önfejlesztés, önellenőrzés segítése, absztrakciós képesség, kombinációs készség fejlesztése. 1. Gondolkodási és megismerési módszerek

Ismeretek Fejlesztési követelmények Halmazokról tanultak áttekintése Megosztott figyelem; két, illetve több Halmazműveletek: unió, metszet, szempont egyidejű követése. különbség. Részhalmaz. Szöveges megfogalmazások matematikai modellre fordítása. Halmazok közötti viszonyok Elnevezések megtanulása, definíciókra való emlékezés. Annak tudatosítása, megjelenítése. Alaphalmaz és hogy alaphalmaz nélkül nincs komplementer halmaz. komplementer halmaz. Halmaz közös elem nélküli halmazokra bontása jelentőségének belátása. Véges és végtelen halmazok. Annak megértése, hogy csak a véges Végtelen számosság szemléletes halmazok elemszáma adható meg fogalma. természetes számmal. Matematikatörténet: Cantor. A megismert számhalmazok: A megismert számhalmazok természetes számok, egész áttekintése. Természetes számok, egész számok, racionális számok. számok, racionális számok elhelyezése A számírás története. halmazábrában, számegyenesen. Valós számok halmaza. Az Annak tudatosítása, hogy az intervallum fogalma, fajtái. intervallum végtelen halmaz. Irracionális szám létezése. Távolsággal megadott Ponthalmazok megadása ábrával. ponthalmazok, adott tulajdonságú Megosztott figyelem; két, illetve több ponthalmazok (kör, gömb, felező szempont egyidejű követése (például merőleges, szögfelező, két feltétellel megadott ponthalmaz). középpárhuzamos). Egyszerű kombinatorikai feladatok: leszámlálás, sorbarendezés, skatulyaelv, gyakorlati problémák. Kombinatorika a mindennapokban. Logikai szita.

A gráffal kapcsolatos alapfogalmak (csúcs, él, fokszám).

Kapcsolódási pontok Magyar nyelv és irodalom: mondatok, szavak, hangok rendszerezése. Biológia-egészségtan: halmazműveletek alkalmazása a rendszertanban. Kémia: anyagok csoportosítása.

Informatika: számábrázolás (problémamegoldás táblázatkezelővel).

Vizuális kultúra: a tér ábrázolása. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata. Rendszerezés: pontosan egyszeri Informatika: leszámlálás..Megosztott figyelem; két, problémamegoldás táblázatkezelővel. illetve több szempont egyidejű Technika, életvitel és követése. Esetfelsorolások, diszkusszió gyakorlat: hétköznapi (pl. van-e ismétlődés). problémák megoldása a kombinatorika eszközeivel. Magyar nyelv és irodalom: periodicitás, ismétlődés és kombinatorika mint szervezőelv poetizált szövegekben. Gráfok alkalmazása Kémia: molekulák problémamegoldásban. térszerkezete. Számítógépek egy munkahelyen, Informatika:

Egyszerű hálózat szemléltetése.

(Folyamatosan a 9–12. évfolyamon.) Logikai műveletek: „nem”, „és”, „vagy”, „ha…, akkor”.

Szöveges feladatok. (a szöveg alapján a megfelelő matematikai modell megalkotása.)

A „minden” és a „van olyan” helyes használata. Nyitott mondatok igazsághalmaza, szemléltetés

elektromos hálózat a lakásban, település problémamegoldás úthálózata stb. szemléltetése gráffal. informatikai Gondolatmenet megjelenítése gráffal. eszközökkel és módszerekkel, hálózatok. Történelem, pl. családfa. Technika, életvitel és gyakorlat: közlekedés.

Matematikai és más jellegű érvelésekben a logikai műveletek felfedezése, megértése, önálló alkalmazása. A köznyelvi kötőszavak és a matematikai logikában használt kifejezések jelentéstartalmának összevetése. A hétköznapi, nem tudományos szövegekben található matematikai információk felfedezése, rendezése a megadott célnak megfelelően. Matematikai tartalmú (nem tudományos jellegű) szöveg értelmezése. Szöveges feladatok értelmezése, megoldási terv készítése, a feladat megoldása és szöveg alapján történő ellenőrzése. Modellek alkotása a matematikán belül; matematikán kívüli problémák modellezése. Gondolatmenet lejegyzése (megoldási terv). Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése (a szövegben előforduló információk). Figyelem összpontosítása. Problémamegoldó gondolkodás és szövegfeldolgozás: az indukció és dedukció, a rendszerezés, a következtetés. A „minden” és a „van olyan” helyes használata. Halmazok eszközjellegű használata.

Magyar nyelv és irodalom: szövegértés; információk azonosítása és összekapcsolása, a szöveg egységei közötti tartalmi megfelelés felismerése; a szöveg tartalmi elemei közötti kijelentés-érv, ok-okozati viszony felismerése és magyarázata.

Technika, életvitel és gyakorlat: egészséges életmódra és a családi életre nevelés.

módjai. A matematikai bizonyítás. Kísérletezés, módszeres próbálkozás, sejtés, cáfolás Matematikatörténet: Euklidesz szerepe a tudományosság kialakításában. Nevezetes sejtések (pl. ikerprím sejtés); hosszan „élt”, de megoldott sejtések (pl. Fermat-sejtés, négyszínsejtés). Állítás és megfordítása. „Akkor és csak akkor” típusú állítások.

Kísérletezés, módszeres próbálkozás, sejtés, cáfolás megkülönböztetése. Érvelés, vita. Érvek és ellenérvek. Ellenpélda szerepe. Mások gondolataival való vitába szállás és a kulturált vitatkozás. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont (pl. a saját és a vitapartner szempontjának) egyidejű követése.

Magyar nyelv és irodalom: mások érvelésének összefoglalása és figyelembevétele.

Az „akkor és csak akkor” használata. Feltétel és következmény felismerése a „Ha …, akkor …” típusú állítások esetében. Korábbi, illetve újabb (saját) állítások, tételek jelentésének elemzése. Bizonyítás. Gondolatmenet tagolása. Rendszerezés Etika: a (érvek logikus sorrendje). következtetés, Következtetés megítélése helyessége érvelés, bizonyítás és szerint. A bizonyítás gondolatmenetére, cáfolat szabályainak bizonyítási módszerekre való alkalmazása. emlékezés. Kidolgozott bizonyítás gondolatmenetének követése, megértése. Példák a hétköznapokból helyes és helytelenül megfogalmazott következtetésekre. Unió, metszet, különbség, komplementer halmaz. Gráf csúcsa, éle, csúcs Kulcsfogalmak/ fokszáma. Logikai művelet (NEM, ÉS, VAGY. „Ha .., akkor …”). Feltétel és következmény. Sejtés, bizonyítás, megcáfolás. Ellentmondás. Esetleszámolás, fogalmak faktoriális Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Előzetes tudás


Órakeret 37 óra

Számolás racionális számkörben. Prímszám, összetett szám, oszthatósági szabályok. Hatványozás és azonosságai, normálalak. Egyszerű algebrai kifejezések ismerete, zárójelhasználat, műveletek sorrendje, kiemelés, nevezetes azonosságok, mértékegység-átváltás, négyzetgyök fogalma. Egyenlet, egyenlet megoldása. Egyenlőtlenség. Egyszerű szöveg alapján elsőfokú egyismeretlenes egyenlet felírása (modell alkotása), megoldása, ellenőrzése.

Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban, tapasztalatszerzés. Problémakezelés és –megoldás. Algebrai kifejezések biztonságos ismerete, kezelése. Szabályok betartása, tanultak alkalmazása. Elsőfokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldási módszerei, a megoldási módszer önálló A tematikai kiválasztási képességének kialakítása. egység nevelési- Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell hatókörének fejlesztési céljai vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; ellenőrzés fontossága. A problémához illő számítási mód kiválasztása, eredmény kerekítése a tartalomnak megfelelően. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotás adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. Számológép használata. Ismeretek Számelmélet elemei. A tanult oszthatósági szabályok. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Relatív prímek. Matematikatörténeti és számelméleti érdekességek: (pl. végtelen sok prímszám létezik, tökéletes számok, barátságos számok, Eukleidész. Mersenne, Euler, Fermat) A hatványozás azonosságai áttekintése pozitív 0 és negatív egész kitevőre. Permanenciaelv. Számok abszolút értéke.

Fejlesztési követelmények A tanult oszthatósági szabályok rendszerezése. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös meghatározása a felbontás segítségével. Egyszerű oszthatósági feladatok, szöveges feladatok megoldása. Gondolatmenet követése, egyszerű gondolatmenet megfordítása. Érvelés.

Kapcsolódási pontok

Korábbi ismeretekre való emlékezés. Fogalmi általánosítás

Egyenértékű definíció (távolsággal adott definícióval).

Különböző számrendszerek. A A különböző számrendszerek helyiértékes írásmód lényege. egyenértékűségének belátása. Kettes számrendszer. Matematikatörténet: Neumann János. Számok normálalakja. Az egyes fogalmak (távolság, idő, terület, tömeg, népesség, pénz, adat stb.) mennyiségi jellemzőinek kifejezése számokkal, mennyiségi következtetések. Számolás normálalakkal írásban és számológép segítségével. A természettudományokban és a társadalomban előforduló nagy és kis

Fizika: hőmérséklet, elektromos töltés, áram, feszültség előjeles értelmezése. Informatika: kommunikáció ember és gép között, adattárolás egységei. Fizika; kémia; biológia-egészségtan: tér, idő, nagyságrendek – méretek és nagyságrendek becslése és számítása az atomok méreteitől

mennyiségekkel történő számolás

Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás. Számolási szabályok, zárójelek használata. (a +b)2, (a +b)3 polinom alakja. szorzat alakja, ahol tetszőleges előjeles tag, Egyszerű feladatok polinomok, illetve algebrai törtek közötti műveletekre. Tanult azonosságok alkalmazása. Algebrai tört értelmezési tartománya. Algebrai kifejezések egyszerűbb alakra hozása. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása különböző módszerekkel (lebontogatás, mérlegelv, szorzattá alakítás, értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálata, grafikus módszer). ekvivalencia fogalma Egyszerű egyenletek paraméterrel. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása.

az ismert világ méretéig; szennyezés, környezetvédelem.

Régebbi ismeretek mozgósítása, összeillesztése, felhasználása.

Ismeretek tudatos memorizálása

Fizika: számítási feladatok megoldása (pl. munkatétel).

Ismeretek felidézése, mozgósítása (pl. szorzattá alakítás, tört egyszerűsítése, bővítése, műveletek törtekkel).

Fizika; kémia; biológia-egészségtan: számítási feladatok.

Régebbi ismeretek mozgósítása, összeillesztése, felhasználása, kiegészítése. Módszerek tudatos kiválasztása és alkalmazása.

Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Különböző módszerek alkalmazása ugyanarra a problémára (behelyettesítő módszer, egyenlő illetve ellentett együtthatók módszere, grafikus módszer). Elsőfokú egyenletre, Szöveges számítási feladatok megoldása a természettudományokból, a egyenletrendszerre vezető szöveges számítási feladatok a mindennapokból (pl. százalékszámítás: megtakarítás, kölcsön, áremelés, természettudományokból, a árleszállítás, bruttó ár és nettó ár, ÁFA, mindennapokból. jövedelemadó, járulékok, élelmiszerek százalékos összetétele). A növekedés és csökkenés kifejezése százalékkal („mihez viszonyítunk?”). Gondolatmenet lejegyzése (megoldási

Fizika: kinematika, dinamika.

Fizika; kémia; biológia-egészségtan: számítási feladatok. Informatika: problémamegoldás táblázatkezelővel. Földrajz: a pénzvilág működése. Technika, életvitel és gyakorlat: tudatos

terv). Számológép használata. Az értelmes kerekítés megtalálása. A mindennapokhoz kapcsolódó problémák matematikai modelljének elkészítése (egyenlet, illetve egyenletrendszer felírása); a megoldás ellenőrzése, a gyakorlati feladat megoldásának összevetése a valósággal (lehetséges-e?).

Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekből.

A képlet értelmének, jelentőségének belátása. Helyettesítési érték kiszámítása képlet alapján.

élelmiszer-választás, becslések, mérések, számítások. Társadalmi, állampolgári és gazdasági ismeretek: a család pénzügyei és gazdálkodása, vállalkozások. Fizika: kinematika, dinamika számolási feladatok Kémia: százalékos keverési feladatok. Fizika; kémia: képletek értelmezése..

Egy és két abszolút értéket Definíciókra való emlékezés. Fizika: a mérés hibája. tartalmazó egyenletek. Hatvány. Normálalak. Egyenlet. Alaphalmaz, értelmezési tartomány. Azonosság. Kulcsfogalmak/ Ekvivalens egyenlet. Elsőfokú egyenlet. Elsőfokú egyenletrendszer. fogalmak Egyenlőtlenség. Abszolút értéket tartalmazó elsőfokú egyenletek. Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

Órakeret 13 óra Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása. Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben. Lineáris függvények, fordított arányosság függvénye, abszolútérték-függvény, másodfokú függvény ismerete. Összefüggések, folyamatok megjelenítése matematikai formában (függvénymodell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat szempontjainak kialakítása. Függvénytranszformációk algebrai és geometriai megjelenítése. 3. Összefüggések, függvények, sorozatok

Ismeretek A függvény fogalmának megadásának és elemi tulajdonságainak rendszerezése. Új függvénytulajdonságok: periodicitás, paritás, korlátosság

Lineáris függvények.

Fejlesztési követelmények Ismeretek rendezése, tudatos memorizálása (függvénytani alapfogalmak). Alapfogalmak megértése, konkrét függvények elemzése a grafikonjuk alapján. Időben lejátszódó valós folyamatok elemzése grafikon alapján. Számítógép használata a függvények vizsgálatára.

Kapcsolódási pontok Fizika; kémia; biológia-egészségtan: időben lejátszódó folyamatok leírása, elemzése. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata, adatkezelés táblázatkezelővel. Rendszerező ismétlés. Lineáris kapcsolatok Fizika; kémia: felfedezése a hétköznapokban. egyenesen arányos

Az abszolútérték-függvény. az x  a  x  b  c ( a  0 )függvény grafikonja, tulajdonságai. A négyzetgyökfüggvény. Az

Ismeretek felidézése (függvénytulajdonságok).

Ismeretek felidézése (függvénytulajdonságok).

x  a  x  b  c ( a  0; x  b )függvény grafikonja, tulajdonságai. A fordított arányosság Ismeretek felidézése (függvénytulajdonságok). a függvénye. x  ( ax  0 ) x grafikonja, tulajdonságai.

Függvények alkalmazása.

Egyenlet, egyenletrendszer grafikus megoldása.

Az  (a  0) másodfokú függvény ábrázolása és tulajdonságai. Függvénytranszformációk áttekintése az  alak segítségével. A tanult függvények többlépéses transzformációi: f ( x)  c; f ( x  c); c  f ( x);

f ( x) , f (cx )

.

Valós számok részhalmazán

mennyiségek. Informatika: átlagos abszolút eltérés függvénye.

Valós folyamatok függvénymodelljének megalkotása. A folyamat elemzése a függvény vizsgálatával, az eredmény összevetése a valósággal. A modell érvényességének vizsgálata. Számítógép alkalmazása (pl. függvényrajzoló program). Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Egy adott probléma megoldása két különböző módszerrel. Az algebrai és a grafikus módszer összevetése. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Számítógépes program használata. Ismeretek felidézése (algebrai ismeretek és függvénytulajdonságok ismerete). Számítógép használata.

Fizika: ideális gáz, izoterma. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata. Fizika: kinematika. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata.

Fizika; kémia; biológia-egészségtan; földrajz: számítási feladatok.

Fizika: egyenletesen gyorsuló mozgás kinematikája. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata.

Tudatos megfigyelés a változó szempontok és feltételek szerint. Függvénytranszformációk és geometriai transzformációk kapcsolatának bemutatása.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata.

Az értelmezési tartomány leszűkítése és a

Biológia-egészségtan:

értelmezett függvények ábrázolása, vizsgálata.

függvénytulajdonságok változásának kapcsolata.

a biológiai rendszerek térbeli és időbeli változásait leíró grafikonok értelmezése. Függvény. Valós függvény. Függvénytulajdonság: értelmezési tartomány, Kulcsfogalmak/ értékkészlet, zérushely, , szélsőértékhely, szélsőérték.fv. menet Alapfüggvény. fogalmak Függvénytranszformáció. Lineáris kapcsolat. Meredekség. Grafikus megoldás. Tematikai egység/ Fejlesztési cél

4. Geometria

Órakeret 35 óra

Térelemek, illeszkedés. Sokszögek, háromszögek alaptulajdonságai, négyszögek csoportosítása; speciális háromszögek és négyszögek elnevezése, felismerése, alaptulajdonságaik. Alapszerkesztések, háromszög szerkesztése Előzetes tudás alapadatokból. Háromszög köré írt kör és beírt kör szerkesztése. Háromszögek egybevágósága. Kör és gömb, hasábok, hengerek és gúlák felismerése, alaptulajdonságaik. A Pitagorasz-tétel ismerete. Tájékozódás a térben. Számítások síkban és térben. Az egybevágósági transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A szimmetria szerepének felismerése a matematikában, a valóságban. A szükséges és az elégséges feltétel felismerése. Tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és egyéb A tematikai egység nevelési- vázlatok alapján. Összetett számítási probléma lebontása, számítási terv fejlesztési céljai készítése (megfelelő részlet kiválasztása, a részletszámítások logikus sorrendbe illesztése). Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a modell alapján, az eredmények összevetése a valósággal. Korábbi ismeretek mozgósítása. Számológép, számítógép használata. Ismeretek Geometriai alapfogalmak. Térelemek, távolságok és szögek értelmezése. (Pont távolsága a síktól, két egyenes távolsága, hajlásszöge, egyenes és sík hajlásszöge, két sík hajlásszöge.) A háromszög nevezetes vonalai, körei. Oldalfelező merőlegesek, belső szögfelezők, magasságvonalak, súlyvonalak, középvonalak tulajdonságai. Körülírt kör, beírt kör. Matematikatörténet: Euleregyenes, Feuerbach-kör bemutatása (interaktív

Fejlesztési követelmények


Idealizáló absztrakció: pont, egyenes, sík, síkidomok, testek. Vázlat készítése. Szemléletes rajzok készítése. A feladatban szereplő tárgyak elképzelése, vázlatos rajzok készítése, összevetésük az eredetivel, a modell „jóságának” megítélése, A definíciók és tételek pontos ismerete, Informatika: tantárgyi alkalmazása. szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram).

szerkesztőprogrammal, bizonyítás nélkül). Konvex sokszögek általános Fogalmak alkotása specializálással: tulajdonságai. Átlók száma, belső konvex sokszög, szabályos sokszög. szögek összege. Szabályos sokszög belső szöge. Kör és részei, kör és egyenes. Ív, Fogalmak pontos ismerete. húr, körcikk, körszelet. Szelő, érintő. A körív hossza. Egyenes Együttváltozó mennyiségek arányosság a középponti szög és a összetartozó adatpárjainak vizsgálata. hozzá tartozó körív hossza között (szemlélet alapján). A körcikk területe. Egyenes Együttváltozó mennyiségek arányosság a középponti szög és a összetartozó adatpárjainak vizsgálata. hozzá tartozó körcikk területe között (szemlélet alapján). A szög mérése. A szög ívmértéke. Mérés, mérési elvek megismerése. Mértékegység-választás, mérőszám.

Thalész tétele, és alkalmazásai. A matematika, mint kulturális örökség. Pitagorasz-tétel alkalmazásai. (Koordináta-geometria előkészítése.)

Ismeretek tudatos memorizálása. Állítás és megfordításának gyakorlása.

Vektorok összege, két vektor különbsége. Vektor szorzása valós számmal

Műveleti analógiák (összeadás, kivonás).

Ismeretek mozgósítása, rendszerezése problémamegoldás érdekében. Állítás és megfordításának gyakorlása.

A tengelyes és a középpontos A megmaradó és a változó tükrözés, az eltolás, a pont körüli tulajdonságok tudatosítása. elforgatás. A transzformációk tulajdonságai.

Vizuális kultúra: építészeti stílusok.

Informatika: adatok szemléltetése kördiagram segítségével. Fizika: körmozgás sebessége, szögsebessége. Földrajz: távolság a Föld két pontja között.

Fizika: szögsebesség, körmozgás, rezgőmozgás. Földrajz: tájékozódás a földgömbön; hosszúsági és szélességi körök, helymeghatározás.

Fizika: vektor felbontása merőleges összetevőkre. Fizika: erők összege, két erő különbsége, vektormennyiség változása (pl. sebesség-változás). Newton II. törvénye. Fizika: elmozdulásvektor, forgások. Informatika: tantárgyi

szimulációs programok használata. Földrajz: bolygók tengely körüli forgása, keringés a Nap körül.

A geometriai vektorfogalom.

Az egybevágóság fogalma. Alakzatok egybevágósága. A háromszögek egybevágóságának alapesetei. Egybevágóság, szimmetria.

Vizuális kultúra: kifejezés, képzőművészet; művészettörténeti stíluskorszakok. Biológia-egészségtan: az emberi test síkjai, szimmetriája. Szimmetrikus négyszögek. Fogalmak alkotása specializálással. Vizuális kultúra: Négyszögek csoportosítása kifejezés, szimmetriáik szerint. képzőművészet; Szabályos sokszögek. művészettörténeti stíluskorszakok. Egyszerű szerkesztési feladatok. Szerkesztési eljárások gyakorlása. Informatika: tantárgyi Szerkesztési terv készítése, ellenőrzés. szimulációs Megosztott figyelem; két, illetve több programok használata szempont egyidejű követése. Pontos, (geometriai esztétikus munkára nevelés. szerkesztőprogram). Vektorok összege, két vektor Műveleti analógiák (összeadás, Fizika: erők összege, különbsége. Vektor szorzása kivonás). két erő különbsége, valós számmal vektormennyiség változása (pl. sebesség-változás). Newton II. törvénye. Tér, sík, egyenes, pont. Sokszög. Háromszög, négyszög, speciális háromszög, Kulcsfogalmak/ speciális négyszög és alaptulajdonságaik. Nevezetes pontok, egyenesek, körök. Belső szög, külső szög, átló. Kerület, terület. Egybevágó. Szimmetria. Vektor, fogalmak vektorművelet. Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai

Szimmetria felismerése a matematikában, a művészetekben, a környezetünkben található tárgyakban, részvétel szimmetrián alapuló játékokban.

Órakeret 5 óra Valószínűségi kísérletek elvégzése, elemzése. Táblázatok, diagramok olvasása. Százalékszámítás. Diagram, vonaldiagram, oszlopdiagram, kördiagram készítése, olvasása. 5. Valószínűség, statisztika

egység nevelésifejlesztési céljai

Táblázat értelmezése, készítése. Számítógép használata az adatok rendezésében, értékelésében, ábrázolásában.

Ismeretek Statisztikai adatok és ábrázolásuk (gyakoriság, relatív gyakoriság, eloszlás, kördiagram, oszlopdiagram, vonaldiagram).

Fejlesztési követelmények A tanult ismeretek rendezése, gyakorlása feladatokban Adatok jegyzése, rendezése, ábrázolása. Együttváltozó mennyiségek összetartozó adatpárjainak jegyzése. Diagramok, táblázatok olvasása, készítése. Grafikai szervezők összevetése más formátumú dokumentumokkal, következtetések levonása írott, ábrázolt és számszerű információ összekapcsolásával. Számítógép használata.

Adatsokaságok jellemzői: átlag, medián, módusz, terjedelem.

Kapcsolódási pontok Informatika: adatkezelés, adatfeldolgozás, információmegjelenít és. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: történelmi, társadalmi témák vizuális ábrázolása (táblázat, diagram). Földrajz: időjárási, éghajlati és gazdasági statisztikák. Informatika: statisztikai adatelemzés.

A statisztikai mutatók nyújtotta információk helyes értelmezése. Nagy adathalmaz vizsgálata kevés statisztikai jellemzővel: előnyök és hátrányok. Kulcsfogalmak/ Adat. Diagram, táblázat. Módusz, medián, átlag., terjedelem, Gyakoriság, relatív gyakoriság. fogalmak Továbbhaladás feltételei – – – – – – – – – –

Tájékozott a racionális számkörben. Ismeri a részhalmaz, unió, metszet, két halmaz különbsége fogalmakat. Ismeri és alkalmazza a hatványozás azonosságait. Ismeri számok és kifejezések abszolút értékének fogalmát, alkalmazza a számok normál alakját. Biztonsággal használja a másodfokú azonosságokat. Biztonsággal végzi a négy alapművelet egyszerű algebrai kifejezésekkel. Nagy biztonsággal old meg egyszerű törtes egyenleteket, kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszereket. Jól alkalmazza a százalékszámítást gyakorlati feladatokban is. Ismeri a 3-mal és a 9-cel való oszthatóság feltételét. Képe számok prímtényezőkre való bontására.

–

Tájékozott az alapfüggvények (lineáris, másodfokú, abszolút érték,

– – –

Képes képlettel megadott függvényt értéktáblázat segítségével ábrázolni. Ismeri a speciális háromszögek, négyszögek és szabályos sokszögek tulajdonságait. Ismeri a háromszög nevezetes vonalainak, a háromszög beírt és körülírt körének fogalmát és tulajdonságait. Ismeri a körrel kapcsolatos fogalmakat és az érintő tulajdonságait. Felhasználja az eltolás és a tükrözés tulajdonságait egyszerű feladatokban. Képes számsokaság számtani közepének kiszámítására. Ismeri a módusz és a medián fogalmát. Alapszinten értelmezi a kördiagram, oszlopdiagram adatait

– – – – –

a ) tulajdonságaiban. x

2.2. A 10. évfolyam tanterve

Évi óraszám: 108 óra – heti 3 óra Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás


1. Gondolkodási és megismerési módszerek

Órakeret 12 óra

Gyakorlat szövegek értelmezésében. A matematikai szakkifejezések adott szinthez illeszkedő ismerete. Sorbarendezés, kiválasztás. Permutáció, faktoriális. Kommunikáció, együttműködés. A matematika épülése elveinek bemutatása. A matematikai tételek, állítások szerkezete. Igaz és hamis állítások megkülönböztetése. Gondolkodás; ismeretek rendszerezési képességének fejlesztése. Önfejlesztés, önellenőrzés segítése, absztrakciós képesség, kombinációs készség fejlesztése.

Ismeretek A matematikai tétel kimondása, bizonyítása Matematikatörténet: Euklidesz szerepe a tudományosság kialakításában. Nevezetes sejtések (pl. ikerprím sejtés); hosszan „élt”, de megoldott sejtések (pl. Fermat-sejtés, négyszínsejtés).

Fejlesztési követelmények Kísérletezés, módszeres próbálkozás, sejtés, cáfolás megkülönböztetése. Érvelés, vita. Érvek és ellenérvek. Ellenpélda szerepe. Mások gondolataival való vitába szállás és a kulturált vitatkozás. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont (pl. a saját és a vitapartner szempontjának) egyidejű követése.

Állítás, tétel és megfordítása. Szükséges feltétel, elegendő feltétel. „Akkor és csak akkor” típusú állítások.

Az „akkor és csak akkor” használata. Feltétel és következmény felismerése a „Ha …, akkor …” típusú állítások esetében. Korábbi, illetve újabb (saját) állítások, tételek jelentésének elemzése.

Bizonyítás. Bizonyítási módszerek, jellegzetes gondolatmenetek (indirekt módszer, skatulya-elv) konkrét példákon keresztül.

Gondolatmenet tagolása. Rendszerezés (érvek logikus sorrendje). Következtetés megítélése helyessége szerint. A bizonyítás gondolatmenetére, bizonyítási módszerekre való emlékezés. Kidolgozott bizonyítás gondolatmenetének követése, megértése. Példák a hétköznapokból helyes és helytelenül megfogalmazott következtetésekre.

Kapcsolódási pontok Magyar nyelv és irodalom: mások érvelésének összefoglalása és figyelembevétele.

Etika: a következtetés, érvelés, bizonyítás és cáfolat szabályainak alkalmazása.

Variáció (ismétlés nélküli és ismétléses). Kombináció (ismétlés nélküli). Binomiális együttható jelentése, kiszámítása. Matematikatörténet: Pascal.

Kulcsfogalmak/fogalmak

Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás

Szöveg matematikai nyelvre fordítása, Technika, életvitel és kombinatorikus modell készítése, gyakorlat: feladatok a kombinatorikus gondolkodás. családban, Esetfelsorolás, érvelés, a szempontok és munkamegosztás a feltételek állandósága, illetve lehetősége a családon változtatása. belül. A problémához leginkább illő megoldási mód kiválasztása. A szakszerű, szabatos indoklás megkövetelése. Feltétel és következmény. Szükséges feltétel, elegendő feltétel. Sejtés, bizonyítás, megcáfolás. Ellentmondás. Binomiális együttható.


Órakeret 38 óra

Egész kitevőjű hatványozás. Számolás algebrai kifejezésekkel. Egyenlet, egyenlet megoldása. Egyenlőtlenség. Egyszerű szöveg alapján egyenlet felírása (modell alkotása), megoldása, ellenőrzése.

Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban, tapasztalatszerzés. Problémakezelés és –megoldás. Algebrai kifejezések biztonságos ismerete, kezelése. Szabályok betartása, tanultak alkalmazása. Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldási módszerei, a megoldási módszer önálló A tematikai kiválasztási képességének kialakítása. egység nevelési- Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell fejlesztési céljai hatókörének vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; ellenőrzés fontossága. A problémához illő számítási mód kiválasztása, eredmény kerekítése a tartalomnak megfelelően. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotás adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. Számológép használata. Ismeretek



A négyzetgyök definíciója. A négyzetgyök azonosságai.

A négyzetgyök azonosságainak használata konkrét esetekben. Gyökjel alól kihozatal, nevező gyöktelenítése. Számológép használata.

Fizika: fonálinga lengésideje, rezgésidő számítása.

A másodfokú egyenlet megoldása, a megoldóképlet.

Különböző algebrai módszerek alkalmazása ugyanarra a problémára (szorzattá alakítás, teljes négyzetté kiegészítés). Ismeretek tudatos memorizálása (rendezett másodfokú egyenlet és megoldóképlet összekapcsolódása). A megoldóképlet biztos használata.

Fizika: egyenletesen gyorsuló mozgás kinematikája.

Diszkrimináns fogalma, vizsgálata.

Diszkusszió.

Másodfokú egyenletre vezető gyakorlati problémák, szöveges feladatok.

Matematikai modell (másodfokú egyenlet) megalkotása a szöveg alapján. A megoldás ellenőrzése, gyakorlati feladat megoldásának összevetése a valósággal (lehetségese?).

Gyöktényezős alak. Másodfokú polinom szorzattá alakítása.

Algebrai ismeretek alkalmazása.

Gyökök és együtthatók összefüggései.

Önellenőrzés: egyenlet megoldásának ellenőrzése.

Fizika; kémia: számítási feladatok.

Néhány egyszerű magasabb fokú Annak belátása, hogy vannak a egyenlet megoldása. matematikában megoldhatatlan Matematikatörténet: részletek a problémák. harmad- és ötödfokú egyenlet megoldásának történetéből. Egyszerű másodfokú Egyszerű másodfokú egyenlőtlenség megoldása. Másodfokú függvény egyenlőtlenségek. eszközjellegű használata. (vagy > 0) alakra visszavezethető egyenlőtlenségek ( a  0 ). Másodfokú egyenletrendszer. A behelyettesítő módszer.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata.

Egyszerű másodfokú egyenletrendszer megoldása. A behelyettesítő módszerrel is megoldható feladatok. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése.

Példák adott alaphalmazon Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. ekvivalens és nem ekvivalens Halmazok eszközjellegű használata. egyenletekre, átalakításokra. Alaphalmaz, értelmezési tartomány, megoldáshalmaz. Hamis gyök, gyökvesztés. Egyszerű paraméteres másodfokú egyenletek. Szélsőérték feladatok megoldása teljes négyzetté alakítással Gyakorlati példa minimum és maximum probléma.megoldására.

Szöveges feladatokban előforduló maximum-minimum helyek és értékek megállapításához szükséges eljárás kidolgozása, megértése.

Fizika: mozgások.

Összefüggés két pozitív szám

Geometria és algebra összekapcsolása az azonosság igazolásánál.

.

Fizika: minimum- és maximumproblémák

számtani és mértani közepe között.

Gondolatmenet megfordítása.

Négyzetgyökös egyenletek megoldása grafikus és algebrai úton. (Egy-két négyzetre emeléssel megoldható egyenletek.)

Az algebrai és grafikus módszerek együttes alkalmazása.

Adott alaphalmazon ekvivalens és nem ekvivalens egyenletmegoldási lépések megismerése. Hamis gyök, gyökvesztés vizsgálata.

Diszkussziós igény algebrai feladatokban. Az ellenőrzés fontosságának bemutatása.

Másodfokú egyenletrendszerek. Másodfokú egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok.

Eljárásokra, módszerekre való emlékezés. A korábban megismert eljárások, módszerek panelként való felhasználása.

Fizika: ütközések.

Egyszerű trigonometrikus egyenletek ( k  f c  x   d ).

Periodikus jelenségek felismerése a mindennapokban.

Fizika: harmonikus rezgőmozgás.

Fizika: egyenletesen gyorsuló mozgás.

Kulcsfogalmak/ Másodfokú egyenlet, diszkrimináns. Gyöktényezős alak. Egyenletrendszer. Egyenlőtlenség. Számtani közép, mértani közép. Szélsőérték. fogalmak

Tematikai egység/ Fejlesztési cél

3. Összefüggések, függvények, sorozatok

Órakeret 9 óra

Előzetes tudás

Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása. Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben. A tanult függvények ábrázolása, jellemzése.


Összefüggések, folyamatok megjelenítése matematikai formában (függvénymodell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat szempontjainak kialakítása. Függvény transzformációk algebrai és geometriai megjelenítése.

Fejlesztési követelmények Ismeretek Függvények alkalmazása Függvénytulajdonságok tudatos másodfokú és gyökös egyenletek, alkalmazása egyenlőtlenségek megoldására; másodfokú függvényre vezető szélsőérték-feladatok A trigonometrikus alapfüggvények (sinx, cosx,) ábrázolása, jellemzése. függvény transzformáció

Időtől függő periodikus jelenségek megfigyelése.


Fizika: a harmonikus rezgőmozgás, a hullámmozgás, váltakozó áram és

Kulcsfogalmak/ fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Előzetes tudás

feszültség leírása. Grafikus megoldás. Függvény transzformációk, sinx, cosx

4. Geometria

Órakeret 33 óra

Térelemek, illeszkedés. Sokszögek, háromszögek alaptulajdonságai, négyszögek csoportosítása; speciális háromszögek és négyszögek elnevezése, felismerése, alaptulajdonságaik. Alapszerkesztések, háromszög szerkesztése alapadatokból. Háromszög köré írt kör és beírt kör szerkesztése. Háromszögek egybevágósága. Kör és gömb, hasábok, hengerek és gúlák felismerése, alaptulajdonságaik. A Pitagorasz-tétel ismerete.

Tájékozódás a térben. Számítások síkban és térben. A geometriai transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A szükséges és az elégséges feltétel felismerése. Tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és egyéb vázlatok alapján. Összetett számítási probléma lebontása, számítási terv A tematikai készítése (megfelelő részlet kiválasztása, a részletszámítások logikus sorrendbe egység nevelésiillesztése). Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a fejlesztési céljai modell alapján, az eredmények összevetése a valósággal. A valóságos tárgyak formájának és a tanult formáknak az összevetése, gyakorlati számítások (henger, hasáb, kúp, gúla, gömb). Korábbi ismeretek mozgósítása. Számológép, számítógép használata. Ismeretek


A körrel kapcsolatos ismeretek bővítése: kerületi és középponti szög fogalma, kerületi szögek tétele; Látószög; látószögkörív mint speciális ponthalmaz (Thalész tételének általánosítása). Húrnégyszögek és érintőnégyszögek definíciója, tételei..

Korábbi ismeretek felelevenítése, új ismeretek beillesztése a korábbi ismeretek rendszerébe.

Középpontos hasonlóság, hasonlóság. Arányos osztás. A hasonlósági transzformáció. Transzformációk szorzatának szerkesztése.

A megmaradó és a változó tulajdonságok tudatosítása.

Hasonló alakzatok.

A megmaradó és a változó tulajdonságok tudatosítása: a megfelelő szakaszok hosszának aránya állandó, a

Négyszögek osztályozása, különbözőségek, azonosságok tudatosítása.

Kapcsolódási pontok Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram). Vizuális kultúra: építészet.

Szükséges és elégséges feltételek felismerése. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram).

megfelelő szögek egyenlők, a kerület, a terület, a felszín és a térfogat változik. A háromszögek hasonlóságának alapesetei.

Szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. Ismeretek tudatos memorizálása.

A hasonlóság alkalmazásai. Háromszög súlyvonalai, súlypontja, hasonló síkidomok kerületének, területének aránya.

Új ismeretek matematikai alkalmazása. Fizika: súlypont, tömegközéppont. Vizuális kultúra: összetett arányviszonyok érzékeltetése, formarend, az aranymetszés megjelenése a természetben, alkalmazása a művészetekben.

Magasságtétel, befogótétel a derékszögű háromszögben. Két pozitív szám mértani közepe.

Ismeretek tudatos memorizálása, alkalmazása szakaszok hosszának számolásánál, szakaszok szerkesztésénél.

A hasonlóság gyakorlati alkalmazásai. Távolság, szög, terület a tervrajzon, térképen.

Modellek alkotása a matematikán belül; Földrajz: matematikán kívüli problémák térképkészítés, modellezése: geometriai modell. térképolvasás.

Hasonló testek felszínének, térfogatának aránya.

Annak tudatosítása, hogy nem egyformán változik egy test felszíne és térfogata, ha kicsinyítjük vagy nagyítjuk.

Biológia-egészségtan: példák arra, amikor adott térfogathoz nagy felület (pl. fák levelei) tartozik.

Vektorok a koordinátarendszerben. Bázisvektorok, vektorkoordináták.

Elnevezések, jelek és egyéb megállapodások megjegyzése. Emlékezés definíciókra.

Fizika: helymeghatározás, erővektor felbontása összetevőkre.

Szög szinusza, koszinusza, tangense és kotangense Egységkör.Nevezetes hegyesszögek szögfüggvényértékeinek kiszámítása. Forgásszögek szögfüggvényeinek értelmezése és egyszerű alkalmazásai. Szögfüggvények közötti összefüggések.

Régebbi ismeretek mozgósítása, felhasználása új helyzetben. Időtől függő periodikus jelenségek. Permanencia-elv.

Fizika: a harmonikus rezgőmozgás, a hullámmozgás leírása.

(Pitagoraszi összefüggés egy szög szinusza és koszinusza között. Összefüggés a szög és a mellékszöge szinusza, illetve koszinusza között. A tangens kifejezése a szinusz és a koszinusz hányadosaként.) A Pitagorasz-tétel és a hegyesszög szögfüggvényeinek alkalmazása a derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására. Emelkedési szög, depressziószög. Távolságok és szögek számítása gyakorlati feladatokban, síkban és térben. A háromszög területének többféle kiszámítása (oldal és hozzá tartozó magasság, két oldal és a közbezárt szög, három oldal, beírható kör sugara és a félkerület segítségével).

A valós problémák matematikai Fizika: erővektor (geometriai) modelljének megalkotása, felbontása derékszögű a problémák önálló megoldása. A összetevőkre. trigonometrikus azonosságok megértése, használata. Függvénytáblázat alkalmazása feladatok megoldásában. A mennyiség és a mérőszám kapcsolatának megértése, alkalmazása. Az újabb esetekre való alkalmazhatóság felismerése.

Fizika: grafikonok alatti terület a lendületváltozás, a végzett munka kiszámításakor.

Kerületi szög, középponti szög, látószög. Húrnégyszög. Hasonló. Arány. Kulcsfogalmak/ Vektor, vektorművelet, vektorkoordináták. Szinusz, koszinusz, tangens, fogalmak kotangens. Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

5. Valószínűség, statisztika

Órakeret 6 óra

Valószínűségi kísérletek elvégzése, elemzése. Táblázatok, diagramok olvasása. Összeszámlálási alapfeladatok. Százalékszámítás. A valószínűség fogalmának mélyítése: ismeretek rendszerezése, tapasztalatszerzés újabb kísérletekkel, a kísérletek kiértékelése (relatív gyakoriság, eloszlás), következtetések. Táblázat értelmezése, készítése. Számítógép használata az adatok rendezésében, értékelésében, ábrázolásában.

Ismeretek Valószínűségi kísérletek, az adatok rendszerezése, a valószínűség becslése. Eseményekkel végzett műveletek. Példák események összegére, szorzatára, komplementer eseményre, egymást kizáró

Fejlesztési követelmények A rendelkezésre álló adatok alapján jóslás a bekövetkezés esélyére. A matematika különböző területei közötti kapcsolatok tudatosítása. Halmazműveletek és események közötti műveletek összekapcsolása.


eseményekre. Elemi események. Események előállítása elemi események összegeként. Példák független és nem független eseményekre. Véletlen esemény és bekövetkezésének esélye, valószínűsége. A valószínűség matematikai definíciójának bemutatása példákon keresztül.

A véletlen esemény szimmetria alapján, Biológia-egészségtan: logikai úton vagy kísérleti úton öröklés, mutáció. megadható, megbecsülhető esélye, valószínűsége. Kísérletek, játékok csoportban.

A relatív gyakoriság és a valószínűség kapcsolata.

A véletlen kísérletekből számított relatív gyakoriság és a valószínűség kapcsolata.

Biológia-egészségtan: genetikában az egymástól függő vagy független tulajdonságok öröklődése

A valószínűség szemléletes fogalma, kiszámítása. Klasszikus valószínűségi mező.

Két állítás megítélése abból a szempontból, hogy függetlenek-e.

.

A valószínűség klasszikus modelljének előkészítése egyszerű példákon keresztül.

A modell és a valóság kapcsolata.

Véletlen (valószínűségi) kísérlet. Véletlen esemény, elemi esemény, biztos Kulcsfogalmak/ esemény, lehetetlen esemény, komplementer esemény. Gyakoriság, relatív fogalmak gyakoriság, esély, valószínűség. A továbbhaladás feltételei – – – – – – – – – – – – – –

Különbséget tesz kimondott és bebizonyított összefüggések között. Meg tud oldani egyszerű sorbarendezési és kiválasztási feladatokat konkrét elemszám esetén. Tájékozott a valós számok halmazának felépítésében Biztonsággal alkalmazza a másodfokú egyenlet megoldóképletét. Ismeri két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalmát. Gyakorlata van másodfokú egyenletre vezető egyszerű szöveges feladatok megoldásában. Alapszinten képes egyszerű négyzetgyökös egyenlet megoldására és a megoldások ellenőrzésére. Pontosan tudja a szögfüggvények definícióját. Érti a hasonlóság szemléletes tartalmát. Felismeri a hasonlóság lehetőségét egyszerű gyakorlati feladatokban. Ismeri a háromszög hasonlósági alapeseteit ismerete, és alkalmazza egyszerű esetekben. Ismeri a háromszög súlyvonalának és súlypontjának fogalmát. Ki tudja számolni hasonló síkidomok területének, hasonló testek térfogatának arányát. Jól alkalmazza a Gyakoriság, relatív gyakoriság, esély, valószínűség fogalmát feladatokban.

2.3. A fejlesztés várt eredményei a 10. évfolyam végére

Gondolkodási és megismerési módszerek  Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazok szemléltetése, halmazműveletek ismerete; számhalmazok ismerete.  Értsék és jól használják a matematika logikában megtanult szakkifejezéseket a hétköznapi

életben.  Definíció, tétel felismerése, az állítás és a megfordításának felismerése; bizonyítás gondolatmenetének követése.  Egyszerű leszámlálási feladatok megoldása, a megoldás gondolatmenetének rögzítése szóban, írásban.  Gráffal kapcsolatos alapfogalmak ismerete. Alkalmazzák a gráfokról tanult ismereteiket gondolatmenet szemléltetésére, probléma megoldására. Számtan, algebra  Egyszerű algebrai kifejezések használata, műveletek algebrai kifejezésekkel; a tanultak alkalmazása a matematikai problémák megoldásában (pl. modellalkotás szöveg alapján, egyenletek megoldása, képletek értelmezése); egész kitevőjű hatványok, azonosságok.  Elsőfokú, másodfokú egyismeretlenes egyenlet megoldása; ilyen egyenletre vezető szöveges és gyakorlati feladatokhoz egyenletek felírása és azok megoldása, a megoldás önálló ellenőrzése.  Elsőfokú és másodfokú (egyszerű) kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása; ilyen egyenletrendszerre vezető szöveges és gyakorlati feladatokhoz az egyenletrendszer megadása, megoldása, a megoldás önálló ellenőrzése.  Egyismeretlenes egyszerű másodfokú egyenlőtlenség megoldása.  Az időszak végére elvárható a valós számkör biztos ismerete, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazása.  A tanulók képesek a matematikai szöveg értő olvasására, tankönyvek, keresőprogramok célirányos használatára, szövegekből a lényeg kiemelésére. Összefüggések, függvények, sorozatok  A függvény megadása, a szereplő halmazok ismerete (értelmezési tartomány, értékkészlet); valós függvény alaptulajdonságainak ismerete.  A tanult alapfüggvények ismerete (tulajdonságok, grafikon).  Egyszerű függvénytranszformációk végrehajtása.  Valós folyamatok elemzése a folyamathoz tartozó függvény grafikonja alapján.  Függvénymodell készítése lineáris kapcsolatokhoz; a meredekség.  A tanulók tudják az elemi függvényeket ábrázolni koordináta-rendszerben, és a legfontosabb függvénytulajdonságokat meghatározni, nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, és különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. Geometria  Térelemek ismerete; távolság és szög fogalma, mérése.  Nevezetes ponthalmazok ismerete, szerkesztésük.  A tanult egybevágósági és hasonlósági transzformációk és ezek tulajdonságainak ismerete.  Egybevágó alakzatok, hasonló alakzatok; két egybevágó, illetve két hasonló alakzat több szempont szerinti összehasonlítása (pl. távolságok, szögek, kerület, terület, térfogat).  Szimmetria ismerete, használata.  Háromszögek tulajdonságainak ismerete (alaptulajdonságok, nevezetes vonalak, pontok, körök).  Derékszögű háromszögre visszavezethető (gyakorlati) számítások elvégzése Pitagorasztétellel és a hegyesszögek szögfüggvényeivel; magasságtétel és befogótétel ismerete.  Szimmetrikus négyszögek tulajdonságainak ismerete.  Vektor fogalmának ismerete; három új művelet ismerete: vektorok összeadása, kivonása, vektor szorzása valós számmal; vektor felbontása, vektorkoordináták meghatározása adott bázisrendszerben.  Kerület, terület, felszín és térfogat szemléletes fogalmának kialakulása, a jellemzők

kiszámítása (képlet alapján); mértékegységek ismerete; valós síkbeli, illetve térbeli probléma geometriai modelljének megalkotása.  A geometriai ismeretek bővülésével, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása után fejlődött a tanulók dinamikus geometriai szemlélete, diszkussziós képessége.  A háromszögekről tanult ismeretek bővülésével a tanulók képesek számítási feladatokat elvégezni, és ezeket gyakorlati problémák megoldásánál alkalmazni.  A szerkesztési feladatok során törekednek az igényes, pontos munkavégzésre. Valószínűség, statisztika  Adathalmaz rendezése megadott szempontok szerint, adat gyakoriságának és relatív gyakoriságának kiszámítása.  Táblázat olvasása és készítése; diagramok olvasása és készítése.  Adathalmaz móduszának, mediánjának, átlagának értelmezése, meghatározása.  Véletlen esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény, véletlen kísérlet, esély/valószínűség fogalmak ismerete, használata.  Nagyszámú véletlen kísérlet kiértékelése, az előzetesen „jósolt” esélyek és a relatív gyakoriságok összevetése.  A valószínűség-számítási, statisztikai feladatok megoldása során a diákok rendszerező képessége fejlődött. A tanulók képesek adatsokaságot jellemezni, ábrákról adatsokaság jellemzőit leolvasni. Szisztematikus esetszámlálással meg tudják határozni egy adott esemény bekövetkezésének esélyét. 2.4. A 11. évfolyam tanterve

Évi óraszám: 108 óra – heti 3óra Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás



Órakeret 10 óra

Sorbarendezési, leszámlálási problémák megoldása. Gráffal kapcsolatos alapfogalmak. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Mintavétel céljának, értelmének megértése. Gráfokkal kapcsolatos ismeretek alkalmazása, bővítése, konkrét példák alapján gráfokkal kapcsolatos állítások megfogalmazása. A modellhasználati, modellalkotási képesség fejlesztése. Szövegértés, szövegalkotás fejlesztése: állítások megfogalmazása, tagadása, megfordítása.

Ismeretek Vegyes kombinatorikai feladatok, kiválasztási feladatok. A kombinatorika alkalmazása egyszerű geometriai feladatokban. Mintavétel visszatevés nélkül és visszatevéssel. Binomiális együtthatók. Matematikatörténet: Erdős Pál.

Fejlesztési követelmények Modell alkotása valós problémához: kombinatorikai modell. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése.

Kapcsolódási pontok Földrajz: előrejelzések, tendenciák megfogalmazása Biológia-egészségtan: genetika

Gráfelméleti alapfogalmak, Modell alkotása valós problémához: alkalmazásuk. Fokszám összeg és gráfmodell. Megfelelő, a problémát jól az élek száma közötti tükröző ábra készítése. összefüggés. n pontú fagráf éleinek száma Matematikatörténet: Euler. Mintavétel visszatevéssel, visszatevés nélkül. Kulcsfogalmak/ A tanult gráfelméleti fogalmak: pont, él, út, vonal, kör, egyszerű gráf, teljes gráf, összefüggő gráf, fagráf . Fokszámösszeg és az élek száma közötti fogalmak összefüggés. Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás



Órakeret 29 óra

Hatvány fogalma egész kitevőre, hatványozás azonosságai. Négyzetgyök fogalma, azonosságai. Egyenlet, egyenlőtlenség megoldása. Ekvivalens egyenlet fogalma. Ívmérték. Egységkör, forgásszögek szögfüggvényei. Trigonometrikus függvények. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: valós problémák megoldása megfelelő modell választásával. A matematika alkalmazása más tudományokban. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. 6 A matematika épülésének elvei: létező fogalom újraértelmezése, kiterjesztése, a permanencia-elv felhasználása . Függvénytulajdonság alkalmazása egyenlet megoldásánál (pl. szigorú monotonitás).

Ismeretek



n-edik gyök fogalma, azonosságai. A matematika belső fejlődésének A négyzetgyök fogalmának felismerése, új fogalmak alkotása. általánosítása. Hatványozás pozitív alap és racionális kitevő esetén.

Fogalmak módosítása újabb tapasztalatok, ismeretek alapján. A hatványfogalom célszerű kiterjesztése, permanenciaelv alkalmazása.

A racionális kitevőjű hatvány és az Ismeretek mozgósítása. n-edik gyök kapcsolata. Régi és új ismeretek összekapcsolása. Hatványozás azonosságainak alkalmazása. Példák az azonosságok érvényben maradására.

Ismeretek tudatos memorizálása. Ismeretek mozgósítása.

Technika, életvitel és gyakorlat: kamatszámítás, hitelfelvétel, törlesztőrészletszámítás.

A definíciók és a hatványozás

Modellek alkotása (algebrai modell):

Fizika; kémia:

azonosságainak közvetlen alkalmazásával megoldható exponenciális egyenletek.

exponenciális egyenletre vezető valós problémák (például: befektetés, hitel, értékcsökkenés, népesség alakulása, radioaktivitás).

A logaritmus értelmezése.

Korábbi ismeretek felidézése (hatvány Technika, életvitel és gyakorlat: fogalma). zajszennyezés. Ismeretek tudatos memorizálása. Kémia: pH-számítás. Fizika: Keplertörvények.

Matematikatörténet: a logaritmus fogalmának kialakulása, változása.

radioaktivitás. Földrajz; biológiaegészségtan: globális problémák – demográfiai mutatók, a Föld eltartó képessége és az élelmezési válság, betegségek, világjárványok, túltermelés és túlfogyasztás.

Zsebszámológép használata, táblázat használata.

Annak felismerése, hogy a technika fejlődésének alapja a matematikai tudás.

A logaritmus azonosságai.

A hatványozás és a logaritmus kapcsolatának felismerése.

A definíciók és a logaritmus azonosságainak közvetlen alkalmazásával megoldható logaritmusos egyenletek.

Modellek alkotása (algebrai modell): logaritmus alkalmazásával megoldható egyszerű exponenciális egyenletek; ilyen egyenletre vezető valós problémák (például: befektetés, hitel, értékcsökkenés, népesség alakulása, radioaktivitás).

Életvitel és gyakorlat: zajszennyezés.

Egységkör, illetve trigonometrikus függvény grafikonjának felhasználása az egyenlet megoldásához. Az egyenletek megoldásának megadása a valós számkörben. Az összes megoldás megkeresése. Időtől függő periodikus jelenségek vizsgálata.

Fizika: rezgőmozgás, adott kitéréshez, sebességhez, gyorsuláshoz tartozó időpillanatok meghatározása.

Trigonometrikus egyenletre vezető háromszöggel kapcsolatos valós problémák. A tanult azonosságok alkalmazását igénylő trigonometrikus egyenlet.


Kémia: pH-számítás. Biológia-egészségtan: érzékelés, az inger és az érzet.

Kulcsfogalmak/ n-edik gyök. Racionális kitevőjű hatvány. Exponenciális növekedés, csökkenés. Logaritmus. fogalmak


Előzetes tudás


Órakeret 15 óra

Függvénytani alapfogalmak. Hatványozás azonosságai. Négyzetgyök. Függvény megadása, tulajdonságai. Hegyesszög szögfüggvényeinek értelmezése.

A folyamatok elemzése a függvényelemzés módszerével. Tájékozódás az A tematikai egység időben: lineáris folyamat, exponenciális folyamat. A matematika és a nevelési-fejlesztési valóság: matematikai modellek készítése, vizsgálata. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően. céljai Ismerethordozók használata. Ismeretek


A trigonometrikus függvények Időtől függő periodikus transzformációi: f (x )  c , f (x  c) ; jelenségek kezelése. Tudatos megfigyelés a változó cf (x ) ; f (cx ) . szempontok és feltételek szerint.

Az exponenciális függvények.

Kapcsolódási pontok Fizika: periodikus mozgás, hullámmozgás, váltakozó feszültség és áram. Földrajz: térábrázolás és térmegismerés eszközei, GPS. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata.

Permanenciaelv alkalmazása.

Exponenciális folyamatok a Modellek alkotása (függvény természetben és a társadalomban. modell): a lineáris és az exponenciális növekedés/csökkenés matematikai modelljének összevetése konkrét, valós problémákban (például: népesség, energiafelhasználás, járványok stb.).

Fizika; kémia: radioaktivitás. Földrajz: a társadalmigazdasági tér szerveződése és folyamatai. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek; földrajz: globális kérdések: - erőforrások kimerülése, fenntarthatóság, demográfiai robbanás a harmadik világban, népességcsökkenés az öregedő Európában.

A logaritmusfüggvények vizsgálata. Logaritmus alapfüggvények grafikonja, jellemzésük. A logaritmusfüggvény mint az

Fizika; kémia:

exponenciális függvény inverze. Függvénynek és inverzének a grafikonja a koordinátarendszerben.

radioaktivitás.

Kulcsfogalmak/ Szinuszfüggvény, koszinuszfüggvény, tangensfüggvény. Exponenciális függvény, logaritmusfüggvény. Exponenciális folyamat. fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél

4. Geometria

Órakeret 32 óra

Előzetes tudás

Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Egybevágóság, hasonlóság, szimmetria. Hegyesszögek szögfüggvényei. Ekvivalens egyenlet. Elsőfokú és másodfokú egyenlet, kétismeretlenes egyenletrendszer algebrai megoldása. Alapszerkesztések, egyszerű szerkesztési feladatok körrel, háromszöggel kapcsolatosan. Vektorok, vektorműveletek. Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb felismerése. Felszín, térfogat szemléletes fogalma. Poliéder felszíne. Számológép (számítógép) használata.


Tájékozódás a térben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: távolságok, szögek kiszámítása a szögfüggvények segítségével. A matematika két területének (geometria és algebra) összekapcsolása: koordináta-geometria. Emlékezés, korábbi ismeretek rendszerezése, alkalmazása.

Ismeretek


Szinusztétel, koszinusztétel.

Általános eset, különleges eset viszonya (a derékszögű háromszög és a két tétel).

Két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat tulajdonságai. Két vektor merőlegességének szükséges és elégséges feltétele.

A művelet újszerűségének felfedezése. A szükséges és az elégséges feltétel felismerése, megkülönböztetése.

Kapcsolódási pontok Fizika: vektor felbontása adott állású összetevőkre. Földrajz: térábrázolás és térmegismerés eszközei, GPS. Fizika: mechanikai munka, mágneses fluxus.

Helyvektor. Emlékezés: jelek, jelölések, Matematikatörténet: megállapodások. a vektor fogalmának fejlődése a fizikai vektorfogalomtól a rendezett szám n-esig.

Fizika: vonatkoztatási rendszer, hely megadása.

Műveletek koordinátáikkal adott vektorokkal. Vektorok és rendezett számpárok közötti megfeleltetés.

A vektor fogalmának bővítése (algebrai vektorfogalom). Sík és tér: a dimenzió szemléletes fogalmának fejlesztése.

Fizika: erők összeadása komponensek segítségével, háromdimenziós képalkotás (hologram).

A helyvektor koordinátái.

Képletek értelmezése,

Fizika: hely megadása.

Szakasz felezőpontjának, harmadoló pontjának, a háromszög súlypontjának koordinátái.

alkalmazása.

Két pont távolsága, a szakasz hossza.

Képletek értelmezése, alkalmazása.

A kör egyenlete.

Geometria és algebra összekapcsolása.

Az egyenes különböző megadási módjai. Az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens.

Megosztott figyelem; két, illetve Informatika: ponthalmaz több szempont egyidejű megjelenítése képernyőn követése. (geometriai szerkesztőprogram).

Iránytangens és az egyenes meredeksége.

Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram).

Fizika: út-idő grafikon és a sebesség kapcsolata.

A merőlegesség megfogalmazása skaláris szorzattal.

Geometriai ismeretek felelevenítése, megfogalmazása algebrai alakban.

Az egyenes egyenlete. Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele.

Az egyenest jellemző adatok, a közöttük felfedezhető összefüggések értése, használata.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram).

Két egyenes metszéspontja. Kör és egyenes kölcsönös helyzete.

Geometriai probléma megoldása algebrai eszközökkel. Ismeretek mozgósítása, alkalmazása (elsőfokú, illetve másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása).


A kör adott pontjában húzott érintője.

A geometriai fogalmak megjelenítése algebrai formában. Geometriai ismeretek mozgósítása.


A koordinátageometriai ismeretek alkalmazása egyszerű síkgeometriai feladatok megoldásában.

Geometriai problémák megoldása algebrai eszközökkel. Geometriai problémák számítógépes megjelenítése.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram használata). Fizika: égitestek pályája.

Kulcsfogalmak/ Valós szám szinusza, koszinusza, tangense. Bázisrendszer, helyvektor. Skaláris szorzat. Ponthalmaz egyenlete; kétismeretlenes egyenletnek megfelelő fogalmak ponthalmaz.


Előzetes tudás


Órakeret 12 óra

A statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői, adathalmaz ábrázolása. Táblázatok kezelése. A véletlen esemény fogalma, a véletlen kísérlet fogalma. Elemi esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény, komplementer esemény. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Esély és valószínűség hétköznapi fogalma. Kombinatorikai ismeretek.

Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. Műveletek az események A tematikai egység között. Matematikai elvonatkoztatás: a valószínűség matematikai nevelési-fejlesztési fogalmának fejlesztése. Véletlen mintavétel módszerei jelentőségének céljai megértése.

Ismeretek



Ismétlés, rendszerezés: eseményekkel végzett műveletek; példák események összegére, szorzatára, komplementer eseményre, egymást kizáró eseményekre; elemi események. Események előállítása elemi események összegeként. Példák független és nem független eseményekre.

A matematika különböző területei Informatika: folyamatok, közötti kapcsolatok tudatosítása. kapcsolatok leírása logikai Halmazműveletek és események áramkörökkel. közötti műveletek összekapcsolása.

A valószínűség klasszikus modellje. Matematikatörténet: Rényi: Levelek a valószínűségről.


Egyszerű valószínűség-számítási Ismeretek mozgósítása, tanult problémák. kombinatorikai módszerek alkalmazása.

Fizika: az űrkutatás hatása mindennapjainkra, a találkozás valószínűsége.

Statisztikai mintavétel. Valószínűségek visszatevéses mintavétel esetén, a binomiális eloszlás. Visszatevés nélküli mintavétel.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (binomiális eloszlás).

Modell alkotása (valószínűségi modell): a mintavételi eljárás lényege.

Kulcsfogalmak/ Valószínűség matematikai fogalma. Klasszikus valószínűség-számítási modell. fogalmak

A továbbhaladás feltételei – – – – – – – – – – – – – – – – –

–

Képes egyszerű kombinatorikai feladatok megoldására. Ismeri a gráf szemléletes fogalmát, képes egyszerű alkalmazásokra. Biztonsággal alkalmazza a hatványozás azonosságait egész kitevő esetén. Ismeri a logaritmus fogalmát, jól alkalmazza az azonosságokat egyszerűbb esetekben. Képes megoldani egyszerű exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenleteket. Tájékozott az alapfüggvények grafikonjait és legfontosabb tulajdonságait (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték) illetően. Ismeri és alkalmazza a vektorműveleteket (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás). Alkalmazza a szinusztételt és a koszinusztételt a háromszög hiányzó adatainak meghatározására. Képes vektorok koordinátáival számolni. Ki tudja számolni szakasz felezőpontjának koordinátáit. Fel tudja írni a kör középponti egyenletét. Ismeri és alkalmazza az egyenes (egy szabadon választott) egyenletét. Meg tudja határozni két egyenes metszéspontjának koordinátáit. Tudja vizsgálni kör és egyenes kölcsönös helyzetét. Képes valószínűségi feladatok megoldására. Ismeri és megfelelően alkalmazza a binomiális elosztást. Ismeri s mértani és számtani sorozat és a mértani sor tulajdonságait. Ismeri a sorozatokkal kapcsolatos jellemző fogalmakat.


Évi óraszám: 128 óra – heti 4 óra Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai


Órakeret 12 óra

Az „és”, „vagy”, „nem”, „ha ..., akkor”, „akkor és csak akkor” szemléletes jelentése. A logikai műveletek megfelelő használata a hétköznapi életben és a matematikában.

Ismeretek Kijelentés fogalma, műveletek kijelentésekkel: konjunkció, diszjunkció, negáció, implikáció, ekvivalencia. Logikai műveletek igazságtáblázatai, egyszerű azonosságok.



Az ismeretek rendszerezése: a Fizika: logikai matematika különböző területei közötti áramkörök, kapcsolási kapcsolatok tudatosítása (halmazok – rajzok kijelentések Jelek szerepe, alkotása, használata: célszerű jelölés megválasztásának jelentősége a matematikában.– események).

A logikai műveletek változatos alkalmazásai feladatokban. Kulcsfogalmak/ Logikai művelet. Igazságtáblázat. fogalmak



Órakeret 0 óra

Hatványozás azonosságai. Logaritmus. Egyenlet, egyenletrendszer megoldási módszerek (elsőfokú,másodfokú, exponenciális és logaritmikus)


Lásd a sorozatoknál és a rendszerező összefoglalásnál


Ismeretek


. Kulcsfogalmak/ fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai


Órakeret 20 óra

Függvénytani alapfogalmak. Sorozat vizsgálata; rekurzió, képletek értelmezése. A matematika és a valóság: matematikai modellek készítése, vizsgálata. Ismerethordozók használata. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően.

Ismeretek



A számsorozat fogalma. A függvény értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Matematikatörténet: Fibonacci.

Sorozat megadása rekurzióval és képlettel.

Számtani sorozat, az n. tag, az első n tag összege. Matematikatörténet: Gauss.

A sorozat felismerése, a megfelelő képletek használata problémamegoldás során.

Mértani sorozat, az n. tag, az első n tag összege.

A sorozat felismerése, a megfelelő képletek használata problémamegoldás során. A számtani sorozat, mint lineáris függvény és a mértani sorozat , mint exponenciális függvény összehasonlítása.

Fizika; kémia, biológiaegészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: exponenciális folyamatok vizsgálata.

Kamatoskamat-számítás.

Modellek alkotása: befektetés és

Földrajz: a világgazdaság

Informatika: problémamegoldás informatikai eszközökkel és módszerekkel: algoritmusok megfogalmazása, tervezése.

hitel; különböző feltételekkel meghirdetett befektetések és hitelek vizsgálata; a hitel költségei, a törlesztés módjai. Az egyéni döntés felelőssége: az eladósodás veszélye. Korábbi ismeretek mozgósítása (pl. százalékszámítás). A szövegbe többszörösen mélyen beágyazott, közvetett módon megfogalmazott információk és kategóriák azonosítása.

szerveződése és működése, a pénztőke működése, a monetáris világ jellemző folyamatai, hitelezés, adósság, eladósodás. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: a család pénzügyei és gazdálkodása, vállalkozások. Magyar nyelv és irodalom: szövegértés.

Kulcsfogalmak/ Számsorozat. Rekurzió. Számtani sorozat, mértani sorozat. fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Előzetes tudás


4. Geometria

Órakeret 34 óra

Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Egybevágóság, hasonlóság, szimmetria. Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb felismerése. Felszín, térfogat szemléletes fogalma. Poliéder felszíne. Számológép (számítógép) használata. Terület, kerület, felszín és térfogat kiszámítása.

Ismeretek



Síkidomok kerületének és területének számítása. Mértani testek csoportosítása. Hengerszerű testek (hasábok és hengerek) Kúpszerű testek (gúlák és kúpok) Csonka testek (csonka gúla, csonka kúp). Gömb.

Ismeretek alkalmazása.

Földrajz: felszínszámítás.

A problémához illeszkedő vázlatos ábra alkotása; síkmetszet elképzelése, ábrázolása. Fogalomalkotás közös tulajdonság szerint (hengerszerű, kúpszerű testek, poliéderek).

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (térgeometriai szimulációs program).

A tanult testek felszínének, térfogatának kiszámítása. Gyakorlati feladatok. Matematikatörténet: Arkhimédész, Cavalieri

A valós problémákhoz modell alkotása: geometriai modell. Ismeretek megfelelő csoportosítása.

Technika, életvitel és gyakorlat: térfogat- és felszínszámítás.

Kémia: kristályok.

Hasonló testek felszínének és térfogatának aránya. Középpontosan hasonló testek.

A hasonlósági transzformációk felelevenítése. Annak tudatosítása, hogy nem egyformán változik egy test felszíne és térfogata, ha kicsinyítjük vagy nagyítjuk.


Kulcsfogalmak/ Terület, felszín, térfogat. fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás


Órakeret 10 óra

A statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői, adathalmaz ábrázolása. Táblázatok kezelése. A valószínűség klasszikus modellje.

A tematikai egység Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. Statisztikai mérőszámok. nevelési-fejlesztési Következtetések a statisztikai mutatók alapján. A valószínűség geometriai modellje. céljai Fejlesztési követelmények

Ismeretek Egyszerű példák a valószínűség kiszámításának geometriai modelljére. Adathalmazok jellemzői: középértékek (átlag, medián, módusz), szóródási mutatók (terjedelem, átlagos abszolút eltérés, szórás). Nagy adathalmazok jellemzése statisztikai mutatókkal, osztályba sorolás manipulációs lehetőségek Statisztikai mintavétel, reprezentatív mintavétel.


Modellalkotás; megfelelő valószínűségi modell hétköznapi problémákra, jelenségekre. A statisztikai kimutatások és a valóság: az információk kritikus értelmezése, az esetleges manipulációs szándék felfedeztetése. Közvélemény-kutatás, minőség-ellenőrzés, egyéb gyakorlati alkalmazások elemzése. Számológép/számítógép használata statisztikai mutatók kiszámítására. Matematikai módszerek és eszközök megismerésének igénye.

Földrajz: statisztikai évkönyv. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: választások.

Kulcsfogalmak/ fogalmak

Reprezentatív mintavétel. Szórás.


Rendszerező összefoglalás

Órakeret 52 óra

A középiskolai matematika anyaga.

A matematika épülésének elvei: ismeretek rendszerezése, alkalmazása. A tematikai egység Motiválás. Emlékezés. Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás. nevelési-fejlesztési Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. céljai Hatékony, önálló tanulás kompetenciájának fejlesztése. Fejlesztési követelmények

Ismeretek


Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazok. Ponthalmazok és számhalmazok. Valós számok halmaza és részhalmazai.

A problémának megfelelő szemléltetés kiválasztása (Venn-diagram, számegyenes, koordináta-rendszer).

Állítások logikai értéke. Logikai műveletek.

Szövegértés. A szövegben található információk összegyűjtése, rendszerezése.

A halmazelméleti és a logikai ismeretek kapcsolata.

Halmazok eszközjellegű használata.

Filozófia: logika - a következetes és rendezett gondolkodás elmélete, a logika kapcsolódása a matematikához és a nyelvészethez. Informatika: Egy bizonyos, nemrég történt esemény információinak begyűjtése több párhuzamos forrásból, ezek összehasonlítása, elemzése, az igazságtartalom keresése, a manipulált információ felfedése. Navigációs eszközök használata: hierarchizált és legördülő menük használata.

Definíció és tétel. A tétel Emlékezés a tanult definíciókra és bizonyítása. A tétel megfordítása. tételekre, alkalmazásuk önálló problémamegoldás során. Bizonyítási módszerek.

Direkt és indirekt bizonyítás közötti Filozófia: különbség megértése. Néhány tipikusan szillogizmusok. hibás következtetés bemutatása,

elemzése. Kombinatorika: leszámlálási feladatok. Egyszerű feladatok megoldása gráfokkal.

Sorbarendezési és kiválasztási problémák felismerése. Gondolatmenet szemléltetése gráffal.

Műveletek értelmezése és Absztrakt fogalom és annak konkrét műveleti tulajdonságok. (valós megjelenései: számok halmazán értelmezett műveletek, halmazműveletek, logikai műveletek, műveletek vektorokkal, műveletek vektorral és valós számmal, műveletek eseményekkel.) Számtan, algebra Gyakorlati számítások.

Kerekítés, közelítő érték, becslés. Számológép használata, értelmes kerekítés.

Számelméleti ismeretek, számrendszerek.

Feladatmegoldó rutin továbbfejlesztése.

Algebrai azonosságok, hatványozás azonosságai, logaritmus azonosságai, trigonometrikus azonosságok.

Az azonosságok szerepének ismerete, használatuk. Matematikai fogalmak fejlődésének bemutatása pl. a hatvány, illetve a szögfüggvények példáján.

Egyenletek és egyenlőtlenségek.

Megoldások az alaphalmaz, értelmezési tartomány, megoldáshalmaz megfelelő kezelésével. Feladatmegoldó rutin továbbfejlesztése

Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. Algebrai megoldás, grafikus megoldás. Ekvivalens egyenletek, ekvivalens átalakítások. A megoldások ellenőrzése.

Adott egyenlethez illő megoldási módszer önálló kiválasztása. Az önellenőrzésre való képesség. Önfegyelem fejlesztése: sikertelen megoldási kísérlet után újjal való próbálkozás.

Első- és másodfokú egyenlet és

Tanult egyenlettípusok és

Technika, életvitel és gyakorlat: alapvető adózási, biztosítási, egészség-, nyugdíj- és társadalombiztosítási, pénzügyi ismeretek.

Fizika; kémia; biológia-egészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: képletek használata

Fizika; kémia;

egyenlőtlenség. Négyzetgyökös egyenletek. Abszolút értéket tartalmazó egyenletek. Egyszerű exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek.

egyenlőtlenségtípusok önálló megoldása.

Elsőfokú és egyszerű másodfokú A tanult megoldási módszerek biztos kétismeretlenes egyenletrendszer alkalmazása. megoldása.

biológia-egészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: matematikai modellek.

Egyenletekre, egyenlőtlenségekre Matematikai modell (egyenlet, vezető gyakorlati életből vett és egyenlőtlenség) megalkotása, szöveges feladatok. vizsgálatok a modellben, ellenőrzés. Összefüggések, függvények, sorozatok A függvény megadása. A függvények tulajdonságai. (Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás fogalmak)

Emlékezés: a fogalmak pontos felidézése, ismerete. Alkalmazása konkrét feladatokban.

A tanult alapfüggvények ismerete. Az alapfüggvények ábrázolása és tulajdonságai.

Képi emlékezés statikus helyzetekben (grafikonok felidézése).

Függvénytranszformációk: f (x )  c , f (x  c) ; cf (x ) ; f (cx ) .

Kapcsolat a matematika két területe között: függvénytranszformációk és Eltolás, nyújtás és összenyomás a geometriai transzformációk. tengelyre merőlegesen. Függvényvizsgálat a tanult szempontok szerint.

Emlékezés, ismeretek mozgósítása.

Függvények segítségével megoldható gyakorlati, szöveges feladatok

Függvények használata valós folyamatok elemzésében. Függvény alkalmazása matematikai modell készítésében.

Számtani sorozat, mértani sorozat, kamatos kamatszámítás.

Felismerés, alkalmazás. Geometria

Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge. Távolságok és szögek

Valós problémában a megfelelő geometriai fogalom felismerése, alkalmazása.

Fizika, kémia; biológia-egészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: matematikai modellek.

kiszámítása. Geometriai transzformációk. Távolságok és szögek vizsgálata a transzformációknál. Egybevágóság, hasonlóság. Szimmetriák.

Szerepük felfedezése művészetekben, játékokban, gyakorlati jelenségekben.

Háromszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásuk. A háromszög nevezetes vonalai, pontjai és körei. Összefüggések a háromszög oldalai, oldalai és szögei között. A derékszögű háromszög oldalai, oldalai és szögei közötti összefüggések.

Állítások, tételek jelentésére való emlékezés. A problémának megfelelő összefüggések felismerése, alkalmazása.

Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásuk. Négyszögek csoportosítása különböző szempontok szerint. Szimmetrikus négyszögek tulajdonságai.

Állítások, tételek jelentésére való emlékezés.

Körre vonatkozó tételek és alkalmazásuk.

Felismerés, alkalmazás

Fogalmak és tételek pontos ismerete.


Számítási feladatok. Szögfüggvények alkalmazása háromszögekben. Forgásszögek. Vektorok, vektorok koordinátái. Bázisrendszer. Vektorok alkalmazásai. Egyenes egyenlete. Kör egyenlete. Két alakzat közös pontja.


Kerületszámítás, területszámítás. A tanult térbeli alakzatok áttekintése. Felszín- és térfogatszámítás.

A tanult ismeretek rendszerezése.

Valószínűség-számítás, statisztika Diagramok. Statisztikai mutatók: Adathalmazok jellemzése önállóan

Magyar nyelv és

középértékek és szóródási mutatók

választott mutatók segítségével. A reprezentatív minta jelentőségének megértése.

irodalom: a tartalom értékelése hihetőség szempontjából; a szöveg hitelességével kapcsolatos tartalmi elemek magyarázata; a kétértelmű, többjelentésű tartalmi elemek feloldása; egy következtetés alapját jelentő tartalmi elem felismerése; az olvasó előismereteire alapozó figyelemfelhívó jellegű címadás felismerése.

Gyakoriság, relatív gyakoriság. Véletlen esemény valószínűsége. A valószínűség kiszámítása a klasszikus modell alapján. A véletlen törvényszerűségei.

A valószínűség és a statisztika törvényei érvényesülésének felfedezése a termelésben, a pénzügyi folyamatokban, a társadalmi folyamatokban. A szerencsejátékok igazságtalanságának és a játékszenvedély veszélyeinek felismerése.

Technika, életvitel és gyakorlat; biológiaegészségtan: szenvedélybetegségek és rizikófaktor.

Következtetés. Definíció. Tétel. Bizonyítás. Halmaz, alaphalmaz, igazsághalmaz, megoldáshalmaz. Függvény/transzformáció. Értelmezési Kulcsfogalmak/ tartomány. Művelet, műveleti tulajdonság. Egyenlet, azonosság, egyenletrendszer, egyenlőtlenség. Ekvivalencia. Ellenőrzés. Véletlen, fogalmak valószínűség. Adat, statisztikai mutató. Térelem, mennyiségi jellemző (távolság, szög, kerület, terület, felszín, térfogat). Matematikai modell. A továbbhaladás feltételei – – – – – – – – – – –

Ismeri és alkalmazza a tanult halmazműveleteket. Képes adott véges halmazok esetén kiszámítani a számosságokat. Tud egyszerű (matematikai) szövegeket értelmezni. Megfelelően alkalmazza az ítélet fogalmát. Egyszerű feladatokban alkalmazza a negáció, konjunkció, diszjunkció műveletét, és ezt össze tudja kapcsolni a halmazműveletekkel. Különbséget tud tenni definíció és tétel között. Használja és alkalmazza feladatokban a szükséges, az elégséges és a szükséges és elégséges feltételt. Tud kombinatorikai feladatokat megoldani. Tud konkrét szituációkat szemléltetni gráfok segítségével. Tud prímtényezős felbontás és a tanult oszthatósági szabályok alkalmazásával egyszerű feladatokat megoldani. Ismeri a való számkör felépítését.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Ismeri és használja a hatványozás azonosságait. Ismeri és használja feladatok megoldásában a logaritmus fogalmát és azonosságait. Tud algebrai kifejezésekkel műveleteket végezni. Felismeri az egyenes és fordított arányosságot, jól alkalmazza a százalékszámítást. Algebrai és grafikus módon is tud első- és másodfokú egyenleteket, egyenlőtlenségeket, valamint elsőfokú egyenletrendszereket megoldani. Képes nagyon egyszerű abszolút értékes, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenleteket megoldani. Tud értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni és adatokat leolvasni a grafikonról. Képes jellemezni grafikonnal megadott függvényeket. Ki tudja számítani számtani, illetve mértani sorozat tagjait és részletösszegeit. Ismeri a sorozatok alapvető jellemzőit Helyesen alkalmazza feladatokban a térelemek távolságára és szögére vonatkozó definíciókat. Felismeri és használja feladatokban a különböző alakzatok szimmetriáit. Ismeri a háromszög oldalai és szögei közötti összefüggéseit, a háromszög nevezetes vonalait és pontjait. Képes alkalmazni a Thalész- és a Pitagorasz-tételt. Ismeri a négyszögek fajtáit és tulajdonságait. Helyesen alkalmazza a tanult kerület-, terület-, felszín- és térfogat-számítási képleteket, módszereket feladatokban. Képes háromszögek hiányzó adatainak kiszámítására szögfüggvények, illetve szinusz- és koszinusztétel segítségével. Érti a vektor koordinátáinak fogalmát. Jól tudja különböző adatokból az egyenes és a kör egyenletét felírni. Képes egyenesek metszéspontját kiszámolni. Képes statisztikai adatokat rendezni, grafikonon ábrázolni, adott diagramról információt kiolvasni. Meg tudja határozni konkrét adatsokaság móduszát, mediánját, aritmetikai átlagát. Képes adathalmazokat összehasonlítani statisztikai mutatók segítségével. Feladatokban jól alkalmazza a klasszikus valószínűség-számítási modellt.

2.6. A fejlesztés várt eredményei a 12. évfolyam végére Gondolkodási és megismerési módszerek – A kombinatorikai problémához illő módszer önálló megválasztása. – A gráfok eszközjellegű használata problémamegoldásában. – Bizonyított és nem bizonyított állítás közötti különbség megértése. – Feltétel és következmény biztos felismerése a következtetésben. – A szövegben található információk önálló kiválasztása, értékelése, rendezése problémamegoldás céljából. – A szöveghez illő matematikai modell elkészítése. – A tanulók a rendszerezett összeszámlálás, a tanult ismeretek segítségével tudjanak kombinatorikai problémákat jól megoldani – A gráfok ne csak matematikai fogalomként szerepeljenek tudásukban, alkalmazzák ismereteiket a feladatmegoldásban is. Számtan, algebra – A kiterjesztett gyök- és hatványfogalom ismerete. – A logaritmus fogalmának ismerete. – A gyök, a hatvány és a logaritmus azonosságainak alkalmazása konkrét esetekben probléma megoldása céljából. – Egyszerű exponenciális és logaritmusos egyenletek felírása szöveg alapján, az egyenletek megoldása, önálló ellenőrzése. – A mindennapok gyakorlatában szereplő feladatok megoldása a valós számkörben tanult új műveletek felhasználásával. – Számológép értelmes használata a feladatmegoldásokban. Összefüggések, függvények, sorozatok – Trigonometrikus függvények értelmezése, alkalmazása.

– – – – –

Függvénytranszformációk végrehajtása. Exponenciális függvény és logaritmusfüggvény ismerete. Exponenciális folyamatok matematikai modelljének megértése. A számtani és a mértani sorozat összefüggéseinek ismerete, gyakorlati alkalmazások. Az új függvények ismerete és jellemzése kapcsán a tanulóknak legyen átfogó képük a függvénytulajdonságokról, azok felhasználhatóságáról. Geometria – Jártasság a háromszögek segítségével megoldható problémák önálló kezelésében. – A tanult tételek pontos ismerete, alkalmazásuk feladatmegoldásokban. – A valós problémákhoz geometriai modell alkotása. – Hosszúság, szög, kerület, terület, felszín és térfogat kiszámítása. – Két vektor skaláris szorzatának ismerete, alkalmazása. – Vektorok a koordináta-rendszerben, helyvektor, vektorkoordináták ismerete, alkalmazása. – A geometriai és algebrai ismeretek közötti összekapcsolódás elemeinek ismerete: távolság, szög számítása a koordináta-rendszerben, kör és egyenes egyenlete, geometriai feladatok algebrai megoldása. Valószínűség, statisztika – Statisztikai mutatók használata adathalmaz elemzésében. – A valószínűség matematikai fogalma. – A valószínűség klasszikus kiszámítási módja. – Mintavétel és valószínűség. – A mindennapok gyakorlatában előforduló valószínűségi problémákat tudják értelmezni, kezelni. – Megfelelő kritikával fogadják a statisztikai vizsgálatok eredményeit, lássák a vizsgálatok korlátait, érvényességi körét. A fejlesztés várt eredményei összességében: A matematikai tanulmányok végére a matematikai tudás segítségével önállóan tudjanak megoldani matematikai problémákat. – Kombinatív gondolkodásuk fejlődésének eredményeként legyenek képesek többféle módon megoldani matematikai feladatokat. – Fejlődjön a bizonyítási, diszkussziós igényük olyan szintre, hogy az érettségi után a döntési helyzetekben tudjanak reálisan dönteni. – Feladatmegoldásokban rendszeresen használják a számológépet, elektronikus eszközöket. – Tudjanak a síkban, térben tájékozódni, az ilyen témájú feladatok megoldásához célszerű ábrákat készíteni. – A feladatmegoldások során helyesen használják a tanult matematikai szakkifejezéseket, jelöléseket. – A tanulók váljanak képessé a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. – A helyes érvelésre szoktatással fejlődjön a tanulók kommunikációs készsége. – A középfokú matematikatanulás lezárásakor rendelkezzenek a matematika alapvető kultúrtörténeti ismereteivel, ismerjék a legnagyobb matematikusok felfedezéseit, legyen rálátásuk a magyar matematikusok eredményeire. –

3. Az emeltszintű érettségi felkészítő csoport tanterve

A 11. és a 12. évfolyamon a fenti kerettantervi tananyagok mellé a kerettantervi óraszámhoz képesti 2-2 óranövekménybe a hatályos érettségi vizsgaszabályzatban szereplő emelt szintű tananyagrészek kerültek beépítésre. Az egyes témakörök óraszámai (bár a kapcsolatok miatt a témakörök között van átfedés)

1. Gondolkodási és megismerési módszerek 2. Számtan, algebra 3. Összefüggések, függvények, sorozatok, az analízis elemei 4. Geometria 5. Valószínűség, statisztika Ismétlés, ellenőrzés összesen

óraszámok 5 óra/hét 15 50 40

óraszámok 6 óra/hét 7 70

40 17 18 180 óra

34 15 64 192 óra


Évi óraszám: 180 óra – heti 3+2óra Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás



Órakeret 15 óra

Sorbarendezési, leszámlálási problémák megoldása. Gráffal kapcsolatos alapfogalmak. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, elmélyítése.. Mintavétel céljának, értelmének megértése. Gráfokkal kapcsolatos ismeretek alkalmazása, bővítése, konkrét példák alapján gráfokkal kapcsolatos állítások megfogalmazása. A modellhasználati, modellalkotási képesség fejlesztése. Szövegértés, szövegalkotás fejlesztése: állítások megfogalmazása, tagadása, megfordítása.

Ismeretek Számhalmazok. Számhalmazok bővítésének szükségessége a természetes számoktól a komplex számokig. Algebrai számok, transzcendens számok. Halmazok számossága. Halmazok ekvivalenciája.


Kapcsolódási pontok Filozófia: Gondolati rendszerek felépítése. Bizonyíthatóság.

Végtelen és véges halmazok. Megszámlálható és nem megszámlálható halmazok. Kontinuum-sejtés. Matematikatörténet: Cantor, Hilbert, Gödel. Vegyes kombinatorikai feladatok, kiválasztási feladatok. A kombinatorika alkalmazása egyszerű geometriai feladatokban. Mintavétel visszatevés nélkül és visszatevéssel. Binomiális együtthatók. Binomiális tétel Matematikatörténet: Erdős Pál.

Modell alkotása valós problémához: kombinatorikai modell. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése.

A binomiális tétel szerepének megmutatása különböző alkalmazásokban.

Földrajz: előrejelzések, tendenciák megfogalmazása Biológia-egészségtan: genetika

Gráfelméleti alapfogalmak:csúcs, Modell alkotása valós problémához: él, fokszám, egyszerű gráf, gráfmodell. Megfelelő, a problémát jól összefüggő gráf, komplementer tükröző ábra készítése. gráf, fagráf, kör, teljes gráf és alkalmazásuk. Fokszám összeg és az élek száma közötti összefüggés. n pontú fagráf éleinek száma Euler-vonal, Hamilton-kör. Matematikatörténet: Euler. A matematika felépítése. Fogalmak, alapfogalmak, axiómák, tételek, sejtések. Műveletek a matematikában. Műveleti tulajdonságok. Relációk a matematikában és a mindennapi életben. Relációtulajdonságok. Bizonyítási módszerek áttekintése.

A már tanult ismeretekkel a felépítés bemutatása, az ismeretek rendezése.

Filozófia: Gondolati rendszerek felépítése. Állítások igazolásának szükségessége.

A teljes indukció lényegének megértése, alkalmazása

Direkt, indirekt bizonyítás, logikai szita formula, skatulya elv, teljes indukció. Tételek megfordítása. Mintavétel visszatevéssel, visszatevés nélkül. Kulcsfogalmak A tanult gráfelméleti fogalmak: pont, él, út, vonal, kör, egyszerű gráf, teljes gráf, / fogalmak összefüggő gráf, fagráf . Fokszámösszeg és az élek száma közötti összefüggés.




Órakeret 50 óra

Hatvány fogalma egész kitevőre, hatványozás azonosságai. Négyzetgyök fogalma, azonosságai. Egyenlet, egyenlőtlenség megoldása. Ekvivalens egyenlet fogalma. Ívmérték. Egységkör, forgásszögek szögfüggvényei. Trigonometrikus függvények. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: valós problémák megoldása megfelelő modell választásával. A matematika alkalmazása más tudományokban. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. 6 A matematika épülésének elvei: létező fogalom újraértelmezése, kiterjesztése, a permanencia-elv felhasználása . Függvénytulajdonság alkalmazása egyenlet megoldásánál (pl. szigorú monotonitás).

Ismeretek


Két- és háromismeretlenes lineáris Új módszerek megismerése. egyenletrendszerek. A megoldások számának vizsgálata. Kétismeretlenes lineáris paraméteres egyenletrendszer. Másodfokú egyenletrendszerek. Egyenletmegoldás különböző módszerek segítségével (értelmezési tartomány, értékkészlet-vizsgálat, monotonitás …). Hatványazonosságok igazolása. Az a n  b n , illetve az a 2k 1  b 2k 1 kifejezések szorzattá alakítása. Polinomok osztása. Oszthatósági feladatok.

Nevezetes közepek és közöttük lévő relációk ismerete n elem esetén.

A tanult módszerek együttes alkalmazása összetett feladatoknál.

Azonosságok felhasználása összetett oszthatósági feladatok megoldásában. Polinomok osztása algoritmusának ismerete. A tanult ismeretek felidézése és alkalmazása új problémamegoldási szituációban. A megismert összefüggések alkalmazása egyenlőtlenségek, szélsőérték-feladatok megoldásában. Számtani és mértani közép közötti összefüggés igazolása két pozitív szám esetén.

n-edik gyök fogalma, azonosságai. A matematika belső fejlődésének A négyzetgyök fogalmának felismerése, új fogalmak alkotása. általánosítása.


Hatványozás pozitív alap és racionális kitevő esetén.

Fogalmak módosítása újabb Fizika: radioaktivitás tapasztalatok, ismeretek alapján. A hatványfogalom célszerű kiterjesztése, permanenciaelv alkalmazása.

A racionális kitevőjű hatvány és az Ismeretek mozgósítása. n-edik gyök kapcsolata. Régi és új ismeretek összekapcsolása. Hatványozás azonosságainak alkalmazása. Példák az azonosságok érvényben maradására.

Ismeretek tudatos memorizálása. Ismeretek mozgósítása.

Irracionális szám kétoldali közelítése racionális számokkal. A hatványfogalom kiterjesztése irracionális kitevőre.

A hatványfogalom célszerű kiterjesztése, permanenciaelv alkalmazása.

A definíciók és a hatványozás azonosságainak közvetlen alkalmazásával megoldható exponenciális egyenletek.

Modellek alkotása (algebrai modell): exponenciális egyenletre vezető valós problémák (például: befektetés, hitel, értékcsökkenés, népesség alakulása, radioaktivitás).

Exponenciális egyenletre vezető valós problémák megoldása

A logaritmus értelmezése. Matematikatörténet: a logaritmus fogalmának kialakulása, változása.

Technika, életvitel és gyakorlat: kamatszámítás, hitelfelvétel, törlesztőrészletszámítás.

Fizika; kémia: radioaktivitás. Földrajz; biológiaegészségtan: globális problémák – demográfiai mutatók, a Föld eltartó képessége és az élelmezési válság, betegségek, világjárványok, túltermelés és túlfogyasztás.

Korábbi ismeretek felidézése (hatvány Technika, életvitel és fogalma). gyakorlat: Ismeretek tudatos memorizálása. zajszennyezés. Kémia: pH-számítás. Fizika: Keplertörvények.

Zsebszámológép használata, táblázat használata.

Annak felismerése, hogy a technika fejlődésének alapja a matematikai tudás.

A logaritmus azonosságai. (Szorzat, hányados, hatvány logaritmusa, áttérés más alapú

A hatványozás és a logaritmus kapcsolatának felismerése.


logaritmusra) Az értelmezési tartomány változásának vizsgálata az azonosságok kétirányú alkalmazásánál A logaritmus azonosságainak alkalmazása kifejezések számértékének meghatározására, kifejezések átalakítására. A definíciók és a logaritmus azonosságainak közvetlen alkalmazásával megoldható logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek. .

Modellek alkotása (algebrai modell): logaritmus alkalmazásával megoldható egyszerű exponenciális egyenletek; ilyen egyenletre vezető valós problémák (például: befektetés, hitel, értékcsökkenés, népesség alakulása, radioaktivitás). Értelmezési tartomány vizsgálatának fokozott szükségessége logaritmusos egyenleteknél

Matematikatörténet: Napier, Kepler. A logaritmus fogalmának kialakulása, változása. Logaritmustáblázat

Egyenletek ekvivalenciájával kapcsolatos ismeretek összegzése

Trigonometrikus egyenletre vezető háromszöggel kapcsolatos valós problémák. A tanult azonosságok alkalmazását igénylő trigonometrikus egyenlet.

Egységkör, illetve trigonometrikus függvény grafikonjának felhasználása az egyenlet megoldásához. Az egyenletek megoldásának megadása a valós számkörben. Az összes megoldás megkeresése. Időtől függő periodikus jelenségek vizsgálata.

Szögfüggvények közötti összefüggések. Addíciós tételek:  két szög összegének és különbségének szögfüggvényei,  egy szög kétszeresének szögfüggvényei,  félszögek szögfüggvényei,  két szög összegének és különbségének szorzattá alakítása. Trigonometrikus kifejezések értékének meghatározása. Háromszögekre vonatkozó

A trigonometrikus azonosságok használata, több lehetőség közül a legalkalmasabb összefüggés megtalálása Bizonyítási igény fejlesztése.

Életvitel és gyakorlat: zajszennyezés. Kémia: pH-számítás. Biológia-egészségtan: érzékelés, az inger és az érzet.

Fizika: rezgőmozgás, adott kitéréshez, sebességhez, gyorsuláshoz tartozó időpillanatok meghatározása.

feladatok addíciós tételekkel. Tangenstétel. Trigonometrikus egyenletek. Az összes megoldás megkeresése. Hamis gyökök elkerülése. Trigonometrikus egyenlőtlenségek. Grafikus megoldás vagy egységkör alkalmazása. Időtől függő periodikus jelenségek vizsgálata. Trigonometrikus kifejezések szélsőértékének keresése.

Algebrai és függvénytani ismeretek összekapcsolása Egyenlet megoldási módszerek új elemeinek beépítése.

Fizika: rezgőmozgás, adott kitéréshez, sebességhez, gyorsuláshoz tartozó időpillanatok meghatározása

Kulcsfogalmak/ n-edik gyök. Racionális kitevőjű hatvány. Exponenciális növekedés, csökkenés. Logaritmus. Trigonometrikus azonosság, egyenlet fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Előzetes tudás


Órakeret 40 óra

Függvénytani alapfogalmak. Hatványozás azonosságai. Négyzetgyök. Függvény megadása, tulajdonságai. Hegyesszög szögfüggvényeinek értelmezése.

A folyamatok elemzése a függvényelemzés módszerével. Tájékozódás az A tematikai egység időben: lineáris folyamat, exponenciális folyamat. A matematika és a nevelési-fejlesztési valóság: matematikai modellek készítése, vizsgálata. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően. céljai Ismerethordozók használata. Ismeretek Forgásszög, egységvektor, vektorkoordináták. A szögfüggvények általános értelmezése.

Fejlesztési követelmények Meglévő ismeretk rendezése és kiegészítése Időtől függő periodikus jelenségek kezelése.

A szögfüggvények előjele a Tudatos megfigyelés a változó különböző sík negyedekben. A szempontok és feltételek szerint. trigonometrikus függvények transzformációi: f (x )  c , f (x  c) ; cf (x ) ; f (cx) . függvényvizsgálat.

Kapcsolódási pontok Fizika: periodikus mozgás, hullámmozgás, váltakozó feszültség és áram. Földrajz: térábrázolás és térmegismerés eszközei, GPS. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata.

Hatványfüggvények. Függvényábrázolás, függvényjellemzés, függvénytranszformációk. Az exponenciális függvények.

Permanenciaelv alkalmazása.

Exponenciális folyamatok a Modellek alkotása (függvény természetben és a társadalomban. modell): a lineáris és az exponenciális növekedés/csökkenés matematikai modelljének összevetése konkrét, valós problémákban (például: népesség, energiafelhasználás, járványok stb.).

Fizika; kémia: radioaktivitás. Földrajz: a társadalmigazdasági tér szerveződése és folyamatai. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek; földrajz: globális kérdések: - erőforrások kimerülése, fenntarthatóság, demográfiai robbanás a harmadik világban, népességcsökkenés az öregedő Európában.

A logaritmusfüggvények vizsgálata. Logaritmus alapfüggvények grafikonja, jellemzésük. A logaritmusfüggvény mint az exponenciális függvény inverze. Függvénynek és inverzének a grafikonja a koordinátarendszerben.

Fizika; kémia: radioaktivitás.

A sorozat fogalma, megadása, ábrázolása. Sorozat megadása rekurzióval – Fibonacci-sorozat. Rekurzív sorozat n-edik elemének megadása. Matematikatörténet: Fibonacci.

Korábbi ismeretek rendszerező ismétlése

Informatika: algoritmusok.

Számtani sorozat. A számtani sorozat n-edik tagja. A számtani sorozat első n tagjának összege. Matematikatörténet: Gauss. Mértani sorozat.

A sorozat felismerése, a megfelelő képletek használata problémamegoldás során

Fizika; kémia; biológiaegészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: lineáris és exponenciális folyamatok.

A mértani sorozat n-edik tagja. A mértani sorozat első n tagjának összege. Számítási feladatok számtani és a mértani sorozatokra. Véges sorok összegzése. Számtani és mértani sorozatból előállított szorzatok összegzése. Teleszkópos összegek. Matematikatörténet: Fibonacci. Sorozatok konvergenciája. A határérték szemléletes és pontos definíciói. Műveletek konvergens sorozatokkal. Konvergens és divergens sorozatok. Az sorozatok. Konvergens sorozatok tulajdonságai. Torlódási pont. Konvergens sorozatnak egy határértéke van. Minden konvergens sorozat korlátos. Monoton és korlátos sorozat konvergens. Konvergens sorozatokra vonatkozó egyenlőtlenségek. Rendőrelv. Végtelen sorok. Végtelenen sor konvergenciája, összege. Végtelen mértani sor. Szakaszos végtelen tizedes tört átváltása. További példák konvergens sorokra. Teleszkópos összegek. Négyzetszámok reciprokainak összege.

A számtani sorozat, mint lineáris és a mértani sorozat, mint exponenciális függvény összehasonlítása.

Sorozatok tulajdonságainak megállapítása alkalmas tételek felhasználásával. Szükséges és elégséges feltétel felismerés Sorozatok összegének, különbségének, szorzatának, hányadosának konvergenciája és határértéke – bizonyítás, meghatározás.e.

Technika, életvitel és gyakorlat: hitel – adósság – eladósodás

Példák nem konvergens sorokra. Harmonikus sor. Feltételesen konvergens sorok. Függvények folytonossága az értelmezési tartomány egy pontjában, egy intervallumon, illetve az értelmezési tartományának minden pontjában Függvények  véges helyen vett véges;  véges helyen vett végtelen;  végtelenben vett véges;  végtelenben vett végtelen határértéke. sin x A függvény határértéke a x nulla pontban.

Függvények folytonosságának megállapítása a grafikonjuk segítségével, szemléletesen A függvények határértékének szemléletes fogalma, pontos definíciói. A határérték és a folytonosság kapcsolatának megértése.

Kulcsfogalmak/ Szinuszfüggvény, koszinuszfüggvény, tangensfüggvény. Exponenciális függvény, logaritmusfüggvény. Exponenciális folyamat. sorozat, monotonon, fogalmak korlátos, határérték Tematikai egység/ Fejlesztési cél

4. Geometria

Órakeret 40 óra

Előzetes tudás

Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Egybevágóság, hasonlóság, szimmetria. Hegyesszögek szögfüggvényei. Ekvivalens egyenlet. Elsőfokú és másodfokú egyenlet, kétismeretlenes egyenletrendszer algebrai megoldása. Alapszerkesztések, egyszerű szerkesztési feladatok körrel, háromszöggel kapcsolatosan. Vektorok, vektorműveletek. Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb felismerése. Felszín, térfogat szemléletes fogalma. Poliéder felszíne. Számológép (számítógép) használata.


Tájékozódás a térben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: távolságok, szögek kiszámítása a szögfüggvények segítségével. A matematika két területének (geometria és algebra) összekapcsolása: koordináta-geometria. Emlékezés, korábbi ismeretek rendszerezése, alkalmazása.

Ismeretek A vektorokról tanultak rendszerező ismétlése: – a vektor fogalma, – vektorműveletek,

Fejlesztési követelmények Rajzolt és tárgyi jelek értelmezése. Ugyanazon probléma többféle megoldási vetületének meglátása.


– vektorfelbontás. Átkódolás különböző modellek A vektorok koordinátáival között végzett műveletek és tulajdonságaik. A vektor 90°-os elforgatottjának koordinátái. Két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat tulajdonságai. Két vektor merőlegességének szükséges és elégséges feltétele A skaláris szorzás alkalmazása számítási és bizonyítási feladatokban. Vektorok vektoriális szorzata. Szemléletes kép, bizonyítások nélkül Szinusztétel, koszinusztétel. A tételek pontos kimondása, bizonyítása. Kapcsolat a Pitagorasz-tétellel. Szög, távolság, terület meghatározása gyakorlati problémákban is.

A művelet újszerűségének felfedezése. A szükséges és az elégséges feltétel felismerése, megkülönböztetése.

Fizika: mechanikai munka, Lorencz erő

Általános eset, különleges eset viszonya (a derékszögű háromszög és a két tétel).

Fizika: vektor felbontása adott állású összetevőkre. Földrajz: térábrázolás és térmegismerés eszközei, GPS.

Helyvektor. Emlékezés: jelek, jelölések, Matematikatörténet: megállapodások. a vektor fogalmának fejlődése a fizikai vektorfogalomtól a rendezett szám n-esig.

Fizika: vonatkoztatási rendszer, hely megadása.

Műveletek koordinátáikkal adott vektorokkal. Vektorok és rendezett számpárok közötti megfeleltetés.

A vektor fogalmának bővítése (algebrai vektorfogalom). Sík és tér: a dimenzió szemléletes fogalmának fejlesztése.

Fizika: erők összeadása komponensek segítségével, háromdimenziós képalkotás (hologram).

A helyvektor koordinátái. Szakasz felezőpontjának, harmadoló pontjának, a háromszög súlypontjának koordinátái.


Fizika: hely megadása.

Két pont távolsága, a szakasz hossza.


A kör egyenlete.


Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn

(geometriai szerkesztőprogram). Az egyenes különböző megadási módjai. Az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens.

Megosztott figyelem; két, illetve Informatika: ponthalmaz több szempont egyidejű megjelenítése képernyőn követése. (geometriai szerkesztőprogram).

Iránytangens és az egyenes meredeksége.

Függvények és a koordinátageometria kapcsolata

A merőlegesség megfogalmazása skaláris szorzattal.

Geometriai ismeretek felelevenítése, megfogalmazása algebrai alakban.

Az egyenes egyenlete. Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele.

Az egyenest jellemző adatok, a közöttük felfedezhető összefüggések értése, használata.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram).

Két egyenes metszéspontja. Két egyenes szöge. (Skaláris szorzat használata.) Kör és egyenes kölcsönös helyzete.

Geometriai probléma megoldása algebrai eszközökkel. Ismeretek mozgósítása, alkalmazása (elsőfokú, illetve másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása).


A kör érintőjének egyenlete. Két kör közös pontjainak meghatározása.

A geometriai fogalmak megjelenítése algebrai formában. Geometriai ismeretek mozgósítása. Másodfokú, kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása. A diszkrimináns vizsgálata, diszkusszió. A parabola és a másodfokú függvény. (Teljes négyzetté kiegészítés.)


A parabola tengelyponti egyenlete. A parabola pontjainak tulajdonsága: fókuszpont, vezéregyenes. A parabola és az egyenes kölcsönös helyzete. A diszkrimináns vizsgálata, diszkusszió

A koordinátageometriai Geometriai problémák ismeretek alkalmazása egyszerű megoldása algebrai

Fizika: út-idő grafikon és a sebesség kapcsolata.

Fizika: geometriai optika, fényszóró, visszapillantó tükör

Informatika: tantárgyi szimulációs programok

síkgeometriai feladatok megoldásában.

eszközökkel. Geometriai problémák számítógépes megjelenítése.

használata (geometriai szerkesztőprogram használata). Fizika: égitestek pályája.

Összetett feladatok megoldása paraméter segítségével vagy a szerkesztés menetének követésével. Mértani helyek keresése. Apollóniosz-kör. Merőleges affinitással kapott mértani helyek. Ponthalmazok a koordinátasíkon. Egyenlőtlenséggel megadott egyszerű feltételek.

Algebrai és geometriai ismeretek mozgósítása

Informatika: több feltétel együttes vizsgálata Lineáris programozási feladat.

kapcsolat halmazműveletek

Kulcsfogalmak/ Valós szám szinusza, koszinusza, tangense. Bázisrendszer, helyvektor. Skaláris szorzat. Ponthalmaz egyenlete; kétismeretlenes egyenletnek megfelelő fogalmak ponthalmaz. Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Előzetes tudás


Órakeret 12 óra

A statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői, adathalmaz ábrázolása. Táblázatok kezelése. A véletlen esemény fogalma, a véletlen kísérlet fogalma. Elemi esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény, komplementer esemény. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Esély és valószínűség hétköznapi fogalma. Kombinatorikai ismeretek.

Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. Műveletek az események A tematikai egység között. Matematikai elvonatkoztatás: a valószínűség matematikai nevelési-fejlesztési fogalmának fejlesztése. Véletlen mintavétel módszerei jelentőségének céljai megértése.

Ismeretek Ismétlés, rendszerezés: eseményekkel végzett műveletek; példák események összegére, szorzatára, komplementer eseményre, egymást kizáró eseményekre; elemi események. Események



A matematika különböző területei Informatika: folyamatok, közötti kapcsolatok tudatosítása. kapcsolatok leírása logikai Halmazműveletek és események áramkörökkel. közötti műveletek összekapcsolása.

előállítása elemi események összegeként. Példák független és nem független eseményekre. A valószínűség klasszikus modellje. Matematikatörténet: Rényi: Levelek a valószínűségről.


Egyszerű valószínűség-számítási Ismeretek mozgósítása, tanult problémák. kombinatorikai módszerek alkalmazása.

Fizika: az űrkutatás hatása mindennapjainkra, a találkozás valószínűsége.

Statisztikai mintavétel. Valószínűségek visszatevéses mintavétel esetén. Visszatevés nélküli mintavétel. A binomiális és hipergeometrikus eloszlás

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (binomiális eloszlás).

Modell alkotása (valószínűségi modell): a mintavételi eljárás lényege.

Kulcsfogalmak/ Valószínűség matematikai fogalma. Klasszikus valószínűség-számítási modell. fogalmak

A továbbhaladás feltételei – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Képes egyszerű kombinatorikai feladatok megoldására. Ismeri a gráf szemléletes fogalmát, képes egyszerű alkalmazásokra. Biztonsággal alkalmazza a hatványozás azonosságait egész kitevő esetén. Ismeri a logaritmus fogalmát, jól alkalmazza az azonosságokat egyszerűbb esetekben. Képes megoldani egyszerű exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenleteket. Tájékozott az alapfüggvények grafikonjait és legfontosabb tulajdonságait (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték) illetően. Ismeri és alkalmazza a vektorműveleteket (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás). Alkalmazza a szinusztételt és a koszinusztételt a háromszög hiányzó adatainak meghatározására. Képes vektorok koordinátáival számolni. Ki tudja számolni szakasz felezőpontjának koordinátáit. Fel tudja írni a kör középponti egyenletét. Ismeri és alkalmazza az egyenes (egy szabadon választott) egyenletét. Meg tudja határozni két egyenes metszéspontjának koordinátáit. Tudja vizsgálni kör és egyenes kölcsönös helyzetét. Képes valószínűségi feladatok megoldására. Ismeri és megfelelően alkalmazza a binomiális és a hipergeometriai elosztást. Ismeri s mértani és számtani sorozat és a mértani sor tulajdonságait. Ismeri a sorozatokkal kapcsolatos jellemző fogalmakat. Tud sorozat és függvény határértéket meghatározni. Ismeri a függvény folytonosság fogalmát.


Évi óraszám: 192 óra – heti 4+2 óra Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai


Órakeret 7 óra

Az „és”, „vagy”, „nem”, „ha ..., akkor”, „akkor és csak akkor” szemléletes jelentése. A logikai műveletek megfelelő használata a hétköznapi életben és a matematikában.

Ismeretek Kijelentés fogalma, műveletek kijelentésekkel: konjunkció, diszjunkció, negáció, implikáció, ekvivalencia. Logikai műveletek igazságtáblázatai, egyszerű azonosságok. Univerzális és egzisztenciális kvantor.



Az ismeretek rendszerezése: a Fizika: logikai matematika különböző területei közötti áramkörök, kapcsolási kapcsolatok tudatosítása (halmazok – rajzok kijelentések Jelek szerepe, alkotása, használata: célszerű jelölés megválasztásának jelentősége a matematikában.– események). A kvantorok pontos fogalmának kialakítása, szerepének felismerése pl. analízis témakörben.

A logikai műveletek változatos alkalmazásai feladatokban. Kulcsfogalmak/ Logikai művelet. Igazságtáblázat. fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai


Hatványozás azonosságai. Logaritmus. Egyenlet, egyenletrendszer megoldási módszerek (elsőfokú,másodfokú, exponenciális és logaritmikus) Lásd a sorozatoknál és a rendszerező összefoglalásnál

Ismeretek . Kulcsfogalmak/ fogalmak

Órakeret 0 óra



Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai

3. Függvények, sorozatok, az analízis elemei

Órakeret 70 óra

Függvénytani alapfogalmak. Sorozat vizsgálata; rekurzió, képletek értelmezése. A matematika és a valóság: matematikai modellek készítése, vizsgálata. Ismerethordozók használata. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően.

Ismeretek



A számsorozat fogalma. A függvény értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Matematikatörténet: Fibonacci.

Sorozat megadása rekurzióval és képlettel.

Számtani sorozat, az n. tag, az első n tag összege. Matematikatörténet: Gauss.

A sorozat felismerése, a megfelelő képletek használata problémamegoldás során.

Mértani sorozat, az n. tag, az első n tag összege.

A sorozat felismerése, a megfelelő Fizika; kémia, biológiaképletek használata egészségtan; földrajz; problémamegoldás során. történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: exponenciális folyamatok vizsgálata.

Kamatoskamat-számítás.

Modellek alkotása: befektetés és hitel; különböző feltételekkel meghirdetett befektetések és hitelek vizsgálata; a hitel költségei, a törlesztés módjai. Az egyéni döntés felelőssége: az eladósodás veszélye. Korábbi ismeretek mozgósítása (pl. százalékszámítás). A szövegbe többszörösen mélyen beágyazott, közvetett módon megfogalmazott információk és kategóriák azonosítása. Korábbi ismeretek rendszerező ismétlése.

A valós számok halmazán értelmezett függvények jellemzése. Függvény határértéke.

Informatika: problémamegoldás informatikai eszközökkel és módszerekkel: algoritmusok megfogalmazása, tervezése.

Földrajz: a világgazdaság szerveződése és működése, a pénztőke működése, a monetáris világ jellemző folyamatai, hitelezés, adósság, eladósodás. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: a család pénzügyei és gazdálkodása, vállalkozások. Magyar nyelv és irodalom: szövegértés. Informatika: számítógépes szoftver alkalmazása függvények grafikonjának megrajzolására. Informatika: a határérték

A függvények határértékének szemléletes fogalma, pontos definíciói. Jelölések. Függvények véges helyen vett véges; véges helyen vett végtelen; végtelenben vett véges; végtelenben vett végtelen határértéke. A sorozatok és a függvények határértékének kapcsolata. sin x A függvény vizsgálata, az x x = 0 helyen vett határértéke. A függvények folytonossága. Példák folytonos és nem folytonos függvényekre. A folytonosság definíciói. Intervallumon folytonos függvények. Korlátos és zárt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai. (Bizonyítások nélkül, de ellenpéldákkal azokra az esetekre, ha az intervallum nem korlátos, nem zárt, illetve ha a függvény nem folytonos.)

számítógépes becslése. Fizika: felhasználás sin x, illetve tg x közelítésére kis szög esetében

A különbséghányados függvény és Fizika: példák folytonos és határértékének szemléletes diszkrét mennyiségekre. bemutatása az érintő vagy a gyorsuló mozgást végző test pillanatnyi sebességének meghatározása segítségével.

Bevezető feladatok a differenciálhányados fogalmának előkészítésére. A függvénygörbe érintőjének iránytangense. A pillanatnyi sebesség meghatározása.

A differenciálhatóság fogalma. A különbségi hányados függvény, a differenciálhányados (derivált), a deriváltfüggvény.

Fizika: az út-idő függvény és a pillanatnyi sebesség kapcsolata. A fluxus és az indukált feszültség kapcsolata. Biológia-egészségtan: populáció növekedésének átlagos sebessége. .

Fizika: harmonikus rezgőmozgás kitérése, sebessége, gyorsulása – ezek kapcsolata.

Kapcsolat a differenciálható és a folytonos függvények Összeg-, szorzat-, hányados- és között Példák nem összetett függvények deriváltja differenciálható függvényekre A felsorolt függvények is. deriválásának biztos tudása Alapfüggvények deriváltja: Konstans függvény, xn, trigonometrikus függvények deriváltja. Műveletek differenciálható függvényekkel. Függvény konstansszorosának deriváltja, összeg-, szorzat-, hányados-, összetett függvény deriváltja. Inverz függvény deriváltja. Exponenciális és logaritmusfüggvény deriváltja. (Bizonyítás nélkül.) Magasabbrendű deriváltak. Matematikatörténet: Fermat, Leibniz, Newton, Cauchy, Weierstrass. Érintő egyenletének felírása, A függvény tulajdonságai és a függvénydiszkusszió (függvények derivált kapcsolata. monotonitása, szélsőértéke,  Lokális növekedés, konvexitása). fogyás – intervallumon Gyakorlati szélsőérték-problémák monoton függvény. megoldása.  Szélsőérték – lokális szélsőérték, abszolút szélsőérték. A szükséges és az elégséges feltételek pontos megfogalmazása, alkalmazása. Középértéktételek. Rolle- és Lagrange-tétel. (Szemléletes kép.) Konvexitás vizsgálata deriválással. A konvexitás definíciója. Inflexiós pont. A második derivált és a konvexitás kapcsolata.

Fizika: fizikai tartalmú függvények (pl. út-idő, sebesség-idő) deriváltjainak jelentése.

Függvényvizsgálat differenciálszámítással. Összevetés az elemi módszerekkel. Gyakorlati jellegű szélsőértékfeladatok megoldása..

. A differenciálszámítás és az elemi Fizika: Fermat-elv, módszerek összevetése Snellius-Descartes törvény. Fizikai jellegű szélsőérték-problémák

Bevezető feladatok az integrál fogalmához. Függvény grafikonja alatti terület. A megtett út és a sebesség-idő grafikon alatti terület. A munka kiszámítása az erő-út grafikon alatti terület alapján. Alsó és felső közelítő összegek. A szemléletes megközelítésre Az intervallum felosztása, a alapozva eljutás a pontos felosztás finomítása. definícióig. Közelítés véges összegekkel. A határozott integrál fogalma, jelölése. Példa nem integrálható függvényre is. Negatív függvény határozott integrálja. A határozott integrál és a terület-előjeles terület. Az integrál közelítő kiszámítása. Matematikatörténet: Bernhard Riemann. Az integrálhatóság szükséges és elegendő feltétele. Korlátos és monoton függvények integrálhatósága. A határozott integrál tulajdonságai.

Az integrál mint a felső határ függvénye. Integrálfüggvény.

.

Informatika: számítógépes szoftver használata.

Fizika: A munka és a mozgási energia. Elektromos feszültség két pont között, a potenciál. Tehetetlenségi nyomaték. Alakzat tömegközéppontja. A hidrosztatikai nyomás és az edény oldalfalára ható erő. Effektív áramerősség.

Folytonos függvény integrálfüggvényének deriváltja. Kapcsolat a differenciálszámítás és az integrálszámítás között A primitív függvény fogalma. A primitív függvények halmaza – a határozatlan integrál:  hatványfüggvény, polinomfüggvény,  trigonometrikus függvények,  exponenciális függvény, logaritmusfüggvény. A Newton-Leibniz-tétel. Integrálási módszerek: Integrálás helyettesítéssel. Matematikatörténet: Newton, Leibniz, Euler. Az integrálszámítás alkalmazása matematikai és fizikai problémákra. Két függvénygörbe közötti terület meghatározása. Forgástest térfogatának meghatározása. Henger, kúp, csonkakúp, gömb, gömbszelet térfogata. Az integrálás közelítő módszerei – numerikus módszerek. Néhány egyszerűbb improprius integrál. Néhány hatványsor. (Formális meghatározás integrálással.) Hatványsorok szerepe a matematikában, fizikában, informatikában. Hogyan számolnak az egyszerű számológépek 12 jegy pontossággal?

Fizika: Potenciál, munkavégzés elektromos, illetve gravitációs erőtérben. Váltakozó áram munkája, effektív áram és feszültség. Newton munkássága.

Kulcsfogalmak/ Sorozat, számtani sorozat, mértani sorozat, kamatos kamat, rekurzív sorozat. Függvényfolytonosság, -határérték. Különbségi hányados függvény, derivált, fogalmak deriváltfüggvény, magasabbrendű derivált. Monotonitás, lokális szélsőérték,

abszolút szélsőérték. Konvex, konkáv függvény Alsó- és felső közelítő összeg, határozott integrál. Primitív függvény, határozatlan integrál. Newton-Leibniz-tétel. Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Előzetes tudás


4. Geometria

Órakeret 34 óra

Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Egybevágóság, hasonlóság, szimmetria. Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb felismerése. Felszín, térfogat szemléletes fogalma. Poliéder felszíne. Számológép (számítógép) használata. Terület, kerület, felszín és térfogat kiszámítása.

Ismeretek Síkidomok kerületének és területének számítása. A területszámítás alapelvei. Néhány egyszerűbb alakzat területének levezetése az alapelvekből. Területszámítási módszerek alkalmazása a matematika más témaköreiben. (Pl. geometriai bizonyításokban.) Mértani testek csoportosítása. Hengerszerű testek (hasábok és hengerek) Kúpszerű testek (gúlák és kúpok) Csonka testek (csonka gúla, csonka kúp). Gömb. Alakzatok felszíne, hálója. Csonkakúp felszíne. Gömb felszínének levezetése (Heurisztikus, nem precíz módszerrel.) A térfogatszámítás alapelvei. Néhány egyszerűbb test

Fejlesztési követelmények A területszámítás módszereinek áttekintése.

Kapcsolódási pontok Földrajz: felszínszámítás.

Ismeretek alkalmazása.

A problémához illeszkedő vázlatos ábra alkotása; síkmetszet elképzelése, ábrázolása. Fogalomalkotás közös tulajdonság szerint (hengerszerű, kúpszerű testek, poliéderek).

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (térgeometriai szimulációs program). Kémia: kristályok.

térfogatának levezetése az alapelvekből. A térfogatszámítás áttekintése. A térfogatszámítás néhány új eleme. Cavalieri-elv, a gúla térfogata. Csonkagúla térfogata. A tanult testek felszínének, térfogatának kiszámítása. Gyakorlati feladatok. Matematikatörténet: Arkhimédész, Cavalieri

A valós problémákhoz modell alkotása: geometriai modell. Ismeretek megfelelő csoportosítása.

Technika, életvitel és gyakorlat: térfogat- és felszínszámítás.

Hasonló testek felszínének és térfogatának aránya. Középpontosan hasonló testek.

A hasonlósági transzformációk felelevenítése. Annak tudatosítása, hogy nem egyformán változik egy test felszíne és térfogata, ha kicsinyítjük vagy nagyítjuk.


Kulcsfogalmak/ Terület, felszín, térfogat. fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás


Órakeret 15 óra

A statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői, adathalmaz ábrázolása. Táblázatok kezelése. A valószínűség klasszikus modellje.

A tematikai egység Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. Statisztikai mérőszámok. nevelési-fejlesztési Következtetések a statisztikai mutatók alapján. A valószínűség geometriai modellje. céljai

Ismeretek



Eseményalgebra. Kapcsolat a halmazok és a logika műveleteivel. Matematikatörténet: George Boole. Véletlen jelenségek megfigyelése. Klasszikus valószínűségi

A modell és a valóság kapcsolata. Szerencsejátékok elemzése.

Informatika: véletlen jelenségek számítógépes szimulációja.

modell. Események összegének, szorzatának, komplementerének valószínűsége. Kizáró események, független események valószínűsége. Feltételes valószínűség. Mintavételre vonatkozó valószínűségek megoldása klasszikus modell alapján. Nagy számok törvénye. (Szemléletes tárgyalás képletek nélkül.) Matematikatörténet: Pólya György, Rényi Alfréd. Egyszerű példák a valószínűség kiszámításának geometriai modelljére. Adathalmazok jellemzői: középértékek (átlag, medián, módusz), szóródási mutatók (terjedelem, átlagos abszolút eltérés, szórás). Nagy adathalmazok jellemzése statisztikai mutatókkal, osztályba sorolás manipulációs lehetőségek Statisztikai mintavétel, reprezentatív mintavétel.

Kulcsfogalmak/ fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás

Modellalkotás; megfelelő valószínűségi modell hétköznapi problémákra, jelenségekre. A statisztikai kimutatások és a valóság: az információk kritikus értelmezése, az esetleges manipulációs szándék felfedeztetése. Közvélemény-kutatás, minőség-ellenőrzés, egyéb gyakorlati alkalmazások elemzése. Számológép/számítógép használata statisztikai mutatók kiszámítására.

Matematikai módszerek és eszközök megismerésének igénye.

Földrajz: statisztikai évkönyv. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: választások.

Reprezentatív mintavétel. Szórás. kizáró esemény, független esemény, feltételes valószínűség Rendszerező összefoglalás

Órakeret 64 óra

A középiskolai matematika anyaga.

A tematikai egység A matematika épülésének elvei: ismeretek rendszerezése, alkalmazása. nevelési-fejlesztési Motiválás. Emlékezés. Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás. Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások céljai

adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. Hatékony, önálló tanulás kompetenciájának fejlesztése. Fejlesztési követelmények

Ismeretek


Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazok. Ponthalmazok és számhalmazok. Valós számok halmaza és részhalmazai.

A problémának megfelelő szemléltetés kiválasztása (Venn-diagram, számegyenes, koordináta-rendszer).

Állítások logikai értéke. Logikai műveletek.

Szövegértés. A szövegben található információk összegyűjtése, rendszerezése.

A halmazelméleti és a logikai ismeretek kapcsolata.

Halmazok eszközjellegű használata.

Filozófia: logika - a következetes és rendezett gondolkodás elmélete, a logika kapcsolódása a matematikához és a nyelvészethez. A manipulált információ felfedése. Informatika:Navigáci ós eszközök használata: hierarchizált és legördülő menük használata.

Definíció és tétel. A tétel Emlékezés a tanult definíciókra és bizonyítása. A tétel megfordítása. tételekre, alkalmazásuk önálló problémamegoldás során. Bizonyítási módszerek.

Direkt és indirekt bizonyítás közötti Filozófia: különbség megértése. Néhány tipikusan szillogizmusok. hibás következtetés bemutatása, elemzése.

Kombinatorika: leszámlálási feladatok. Egyszerű feladatok megoldása gráfokkal.

Sorbarendezési és kiválasztási problémák felismerése. Gondolatmenet szemléltetése gráffal.

Műveletek értelmezése és műveleti tulajdonságok. (valós számok halmazán értelmezett műveletek, halmazműveletek,

Absztrakt fogalom és annak konkrét megjelenései:

logikai műveletek, műveletek vektorokkal, műveletek vektorral és valós számmal, műveletek eseményekkel.) Számtan, algebra Gyakorlati számítások.

Kerekítés, közelítő érték, becslés. Számológép használata, értelmes kerekítés.

Számelméleti ismeretek, számrendszerek.

Feladatmegoldó rutin továbbfejlesztése.

Algebrai azonosságok, hatványozás azonosságai, logaritmus azonosságai, trigonometrikus azonosságok.

Az azonosságok szerepének ismerete, használatuk. Matematikai fogalmak fejlődésének bemutatása pl. a hatvány, illetve a szögfüggvények példáján.

Egyenletek és egyenlőtlenségek.

Megoldások az alaphalmaz, értelmezési tartomány, megoldáshalmaz megfelelő kezelésével. Feladatmegoldó rutin továbbfejlesztése

Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. Algebrai megoldás, grafikus megoldás. Ekvivalens egyenletek, ekvivalens átalakítások. A megoldások ellenőrzése.

Adott egyenlethez illő megoldási módszer önálló kiválasztása. Az önellenőrzésre való képesség. Önfegyelem fejlesztése: sikertelen megoldási kísérlet után újjal való próbálkozás.

Első- és másodfokú egyenlet és egyenlőtlenség. Négyzetgyökös egyenletek. Abszolút értéket tartalmazó egyenletek. Egyszerű exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek.

Tanult egyenlettípusok és egyenlőtlenségtípusok önálló megoldása.

Kétismeretlenes egyenletrendszer A tanult megoldási módszerek biztos megoldása (első- és másodfok, alkalmazása. abszolút értékes, exponenciális, logaritmikus).

Technika, életvitel és gyakorlat: alapvető adózási, biztosítási, egészség-, nyugdíj- és társadalombiztosítási, pénzügyi ismeretek.

Fizika; kémia; biológia-egészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: képletek használata

Fizika; kémia; biológia-egészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: matematikai modellek.

Egyenletekre, egyenlőtlenségekre Matematikai modell (egyenlet, vezető gyakorlati életből vett és egyenlőtlenség) megalkotása, szöveges feladatok. vizsgálatok a modellben, ellenőrzés. Függvények, sorozatok, az analízis elemei A függvény megadása. A függvények tulajdonságai. (Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás fogalmak)

Emlékezés: a fogalmak pontos felidézése, ismerete. Alkalmazása konkrét feladatokban.

A tanult alapfüggvények ismerete. Az alapfüggvények ábrázolása és tulajdonságai.

Képi emlékezés statikus helyzetekben (grafikonok felidézése).

Függvénytranszformációk: f (x )  c , f (x  c) ; cf (x ) ; f (cx ) .

Kapcsolat a matematika két területe között: függvénytranszformációk és geometriai transzformációk.

a  f (bx  c)  d ;

Eltolás, nyújtás és összenyomás a tengelyre merőlegesen. Függvényvizsgálat a tanult szempontok szerint.

Emlékezés, ismeretek mozgósítása.

Függvények segítségével megoldható gyakorlati, szöveges feladatok

Függvények használata valós folyamatok elemzésében. Függvény alkalmazása matematikai modell készítésében.

Számtani sorozat, mértani sorozat, kamatos kamatszámítás.

Felismerés, alkalmazás. Geometria

Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge. Távolságok és szögek kiszámítása.

Valós problémában a megfelelő geometriai fogalom felismerése, alkalmazása.

Geometriai transzformációk. Távolságok és szögek vizsgálata a transzformációknál.

Távolságok és szögek vizsgálata a transzformációknál

Egybevágóság, hasonlóság.

Szerepük felfedezése művészetekben,

Fizika, kémia; biológia-egészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: matematikai modellek.

Szimmetriák.

játékokban, gyakorlati jelenségekben.

Háromszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásuk. A háromszög nevezetes vonalai, pontjai és körei. Összefüggések a háromszög oldalai, oldalai és szögei között. A derékszögű háromszög oldalai, oldalai és szögei közötti összefüggések.

Állítások, tételek jelentésére való emlékezés. A problémának megfelelő összefüggések felismerése, alkalmazása.

Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásuk. Négyszögek csoportosítása különböző szempontok szerint. Szimmetrikus négyszögek tulajdonságai.

Állítások, tételek jelentésére való emlékezés.

Körre vonatkozó tételek és alkalmazásuk.

Felismerés, alkalmazás



Számítási feladatok. Szögfüggvények alkalmazása háromszögekben. Forgásszögek. Vektorok, vektorok koordinátái. Bázisrendszer. Vektorok alkalmazásai. Egyenes egyenlete. Kör egyenlete. Parabola egyenlete. Két alakzat közös pontja.


Kerületszámítás, területszámítás. A tanult térbeli alakzatok áttekintése. Felszín- és térfogatszámítás.

A tanult ismeretek rendszerezése.

Valószínűség-számítás, statisztika Diagramok. Statisztikai mutatók: Adathalmazok jellemzése önállóan középértékek és szóródási választott mutatók segítségével. A mutatók reprezentatív minta jelentőségének megértése.

Magyar nyelv és irodalom: a tartalom értékelése hihetőség szempontjából; a szöveg hitelességével

kapcsolatos tartalmi elemek magyarázata; a kétértelmű, többjelentésű tartalmi elemek feloldása; egy következtetés alapját jelentő tartalmi elem felismerése; az olvasó előismereteire alapozó figyelemfelhívó jellegű címadás felismerése. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Véletlen esemény valószínűsége. A valószínűség kiszámítása a klasszikus modell alapján. A véletlen törvényszerűségei.

A valószínűség és a statisztika törvényei érvényesülésének felfedezése a termelésben, a pénzügyi folyamatokban, a társadalmi folyamatokban. A szerencsejátékok igazságtalanságának és a játékszenvedély veszélyeinek felismerése.

Technika, életvitel és gyakorlat; biológiaegészségtan: szenvedélybetegségek és rizikófaktor.

Következtetés. Definíció. Tétel. Bizonyítás. Halmaz, alaphalmaz, igazsághalmaz, megoldáshalmaz. Függvény/transzformáció. Értelmezési Kulcsfogalmak/ tartomány. Művelet, műveleti tulajdonság. Egyenlet, azonosság, egyenletrendszer, egyenlőtlenség. Ekvivalencia. Ellenőrzés. Véletlen, fogalmak valószínűség. Adat, statisztikai mutató. Térelem, mennyiségi jellemző (távolság, szög, kerület, terület, felszín, térfogat). Matematikai modell. A továbbhaladás feltételei – – – – – – – – – – – – – – –

Ismeri és alkalmazza a tanult halmazműveleteket. Képes adott véges halmazok esetén kiszámítani a számosságokat. Tud egyszerű (matematikai) szövegeket értelmezni. Megfelelően alkalmazza az ítélet fogalmát. Egyszerű feladatokban alkalmazza a negáció, konjunkció, diszjunkció műveletét, és ezt össze tudja kapcsolni a halmazműveletekkel. Különbséget tud tenni definíció és tétel között. Használja és alkalmazza feladatokban a szükséges, az elégséges és a szükséges és elégséges feltételt. Tud kombinatorikai feladatokat megoldani. Tud konkrét szituációkat szemléltetni gráfok segítségével. Tud prímtényezős felbontás és a tanult oszthatósági szabályok alkalmazásával egyszerű feladatokat megoldani. Ismeri a való számkör felépítését. Ismeri és használja a hatványozás azonosságait. Ismeri és használja feladatok megoldásában a logaritmus fogalmát és azonosságait. Tud algebrai kifejezésekkel műveleteket végezni. Felismeri az egyenes és fordított arányosságot, jól alkalmazza a százalékszámítást.

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Algebrai és grafikus módon is tud első- és másodfokú egyenleteket, egyenlőtlenségeket, valamint elsőfokú egyenletrendszereket megoldani. Képes nagyon egyszerű abszolút értékes, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenleteket megoldani. Tud értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni és adatokat leolvasni a grafikonról. Képes jellemezni grafikonnal megadott függvényeket. Ki tudja számítani számtani, illetve mértani sorozat tagjait és részletösszegeit. Ismeri a sorozatok alapvető jellemzőit, képes konvergens sorozatok határértékét meghatározni. Helyesen alkalmazza feladatokban a térelemek távolságára és szögére vonatkozó definíciókat. Felismeri és használja feladatokban a különböző alakzatok szimmetriáit. Ismeri a háromszög oldalai és szögei közötti összefüggéseit, a háromszög nevezetes vonalait és pontjait. Képes alkalmazni a Thalész- és a Pitagorasz-tételt. Ismeri a négyszögek fajtáit és tulajdonságait. Helyesen alkalmazza a tanult kerület-, terület-, felszín- és térfogat-számítási képleteket, módszereket feladatokban. Képes háromszögek hiányzó adatainak kiszámítására szögfüggvények, illetve szinusz- és koszinusztétel segítségével. Érti a vektor koordinátáinak fogalmát. Jól tudja különböző adatokból az egyenes és a kör egyenletét felírni. Képes egyenesek metszéspontját kiszámolni. Képes statisztikai adatokat rendezni, grafikonon ábrázolni, adott diagramról információt kiolvasni. Meg tudja határozni konkrét adatsokaság móduszát, mediánját, aritmetikai átlagát. Képes adathalmazokat összehasonlítani statisztikai mutatók segítségével. Feladatokban jól alkalmazza a klasszikus és a geometriai valószínűség-számítási modellt.

3.3. A fejlesztés várt eredményei a 12. évfolyam végére

Gondolkodási és megismerési módszerek – Halmazok számosságával kapcsolatos ismeretek áttekintése. – A kombinatorikai problémák rendszerezése. – Bizonyítási módszerek áttekintése. – A gráfok eszköz jellegű használata probléma megoldásában. Számelmélet, algebra – A kiterjesztett gyök-, és hatványfogalom ismerete. – A logaritmus fogalmának ismerete. – A gyök, a hatvány és a logaritmus azonosságainak alkalmazása konkrét esetekben, probléma megoldása céljából. – Exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldása, ellenőrzése. – Trigonometrikus egyenletek megoldása, az azonosságok alkalmazása, az összes gyök megtalálása. – Egyenletek ekvivalenciájának áttekintése. – A számológép biztos használata. Függvények, az analízis elemei – Exponenciális-, logaritmus- és a trigonometrikus függvények értelmezése, ábrázolása, jellemzése. – Függvénytranszformációk. – Exponenciális folyamatok matematikai modellje. – A számtani és a mértani sorozat. Rekurzív sorozatok. – Pénzügyi alapfogalmak ismerete, pénzügyi számítások megértése, reprodukálása, kamatos kamatszámítás elvégzése.

–

Sorozatok vizsgálata monotonitás, korlátosság, határérték szempontjából. Véges és végtelen sorok összegzése. – A függvények vizsgálata, jellemzése elemi eszközökkel és differenciálszámítás használatával. – Az integrálszámítás használata, gyakorlati alkalmazása. Geometria – Vektorok a koordináta-rendszerben, helyvektor, vektorkoordináták. – Két vektor skaláris szorzata, vektoriális szorzata. – Jártasság a háromszögek segítségével megoldható problémák önálló kezelésében, szinusztétel, koszinusztétel alkalmazása. – A geometriai és algebrai ismeretek közötti kapcsolódás elemeinek ismerete: távolság, szög számítása a koordináta-rendszerben, kör, egyenes, parabola egyenlete, geometriai feladatok algebrai megoldása. – Térbeli viszonyok, testek felismerése, geometriai modell készítése. – Távolság, szög, kerület, terület, felszín és térfogat kiszámítása. Valószínűség, statisztika – Statisztikai mutatók használata adathalmaz elemzésében. – A valószínűség matematikai fogalma, klasszikus kiszámítási módja. – Mintavétel és valószínűség kapcsolata, alkalmazása. 4. A középszintű érettségi témakörei Az aktuális érettségi vizsgaszabályzat szerinti témakörök és tananyag elemek Elérhető a tantárgy érettségi követelményeinek kijelölésénél a minisztérium honlapján 5. Az osztályozó vizsga követelményei 9-12. évfolyam: félévi: Az aktuális tankönyv fele oldalszámáig bezárt tananyagelemek a pedagógiai programnak megfelelően. évvégi: A pedagógiai programnak megfelelően kijelölt éves tananyag. Emelt csoport: emelt szintű követelményekhez és számonkérési módokhoz igazodva 11. félévi: Az aktuális tankönyv fele oldalszámáig bezárt tananyagelemek a pedagógiai programnak megfelelően+sorozat határértéke tananyagrész évvégi: A pedagógiai programnak megfelelően kijelölt éves tananyag.(sorozat+ függvény határértéke is) 12.félévi: Az aktuális tankönyv fele oldalszámáig bezárt tananyagelemek a pedagógiai programnak megfelelően+differenciálszámítás tananyagrész évvégi: A pedagógiai programnak megfelelően kijelölt éves tananyag.( differenciál és integrálszámítás is)

Helyi tanterv. Matematika évfolyam

Recommend Documents