Afronden, geheel deel, breukdeel, Kleinste gemeen veelvoud, Grootste gemene deler, … vind je via .
Alles betreffende complexe getallen vind je via
.
Handleiding
Bij de TI-84 is het een heel werk om functies met een meervoudig voorschrift in te geven.
Bij de TI-Nspire is een sjabloon aanwezig om functies met een meervoudig voorschrift in te geven als
Getal en Ruimte HAVO wiskunde B 2, x 3 Alles betreffende kansrekening vind je via f (x) x 2 11, 3 x 2 x 3 1, x 2
2, x 3 f (x) x 2 11, 3 x 2 x 3 1, x 2
.
Druk , ,
3. HET TEST – MENU (
) De ongelijkheidstekens zitten boven de gelijkheidstoets
en kies als je een tweevoudig voorschrift hebt of
, , ,
als het voorschrift meer of twee delen heeft.
:
GLE-MENU
ken invoert, kun je best aangeven hoe de Om de hoek 2,5 r in te geven kan je het sjabloon Om de functie te traceren moet je telkens van oet uitzien. gebruiken voorschrift veranderen. a bereikbaar via encombinatie kom je in een ht over hoeken.
hoek in graden, minuten en seconden en tijdrovende bezigheid bij de TI-84.
5”
9
bereikbaar via
Al naar gelang de documentinstellingen krijg je het resultaat in radialen (standaardinstelling) of graden ( documentinstellingen veranderen via )
Een resultaat in de graden, minuten en seconde notatie krijg je door het resultaat te converteren: ga naar de catalogus en zoek onder het tweede tabblad bij hoeken naar converteren naar DMS.
Om de hoek 45°16’35” in te geven maak je gebruik van het sjabloon achter de -toets.
E. van Winsen Versie 5 september 2012 OS 3.2
21
Inhoudsopgave Inhoudsopgave............................................................................................................................ 2 Berekeningen op het rekenmachinescherm ................................................................................ 4 Het rekenmachinescherm ....................................................................................................... 4 Eenvoudige berekeningen ...................................................................................................... 4 Mintekens ............................................................................................................................... 5 Haakjes ................................................................................................................................... 5 Breuken .................................................................................................................................. 6 Fouten verbeteren ................................................................................................................... 6 Werken met breuken .............................................................................................................. 7 Wetenschappelijke notatie ...................................................................................................... 8 Herhaald optellen en herhaald vermenigvuldigen .................................................................. 9 Formules, Grafieken en Tabellen ............................................................................................. 10 Formules invoeren en grafieken plotten ............................................................................... 10 Het standaardscherm ............................................................................................................ 10 Met de spoor-cursor y-waarden berekenen .......................................................................... 11 Snijpunten van grafieken ...................................................................................................... 11 Formules uitzetten ................................................................................................................ 12 Het uiterlijk van grafieken veranderen ................................................................................. 12 De spoor-cursor en functiewaarden ...................................................................................... 13 Tabellen maken .................................................................................................................... 13 Toppen, snijpunten en nulpunten ............................................................................................. 15 Toppen van grafieken ........................................................................................................... 15 Snijpunten van grafieken ...................................................................................................... 15 De optie Zoom-Passend........................................................................................................ 15 Bijzondere punten met Grafiek analyseren-menu ................................................................ 16 Nulpunten ............................................................................................................................. 16 Helling ...................................................................................................................................... 17 De optie Raaklijn in een Grafieken scherm.......................................................................... 17 De optie nDerivative( in het Rekenmachinescherm ............................................................. 18 Hellinggrafieken ....................................................................................................................... 19 Hellinggrafieken plotten ....................................................................................................... 19 Exact waarden berekenen ..................................................................................................... 20 Het gebruik van Ans en lettergeheugens .................................................................................. 21 De toets Ý ........................................................................................................................... 21 Het gebruik van lettergeheugens .......................................................................................... 22 Allerlei tips & trucs .................................................................................................................. 23 Standaardinstellingen ........................................................................................................... 23 Resetten ................................................................................................................................ 23 Roosterlijnen ........................................................................................................................ 23 Foutmeldingen ...................................................................................................................... 23 Afronden op de GR .............................................................................................................. 23 Het gebruik van lettergeheugens .......................................................................................... 24 De catalogus ......................................................................................................................... 24 Logaritmen ........................................................................................................................... 24 Te weinig contrast ................................................................................................................ 24 De optie nSolve .................................................................................................................... 25
2
Versie opmerkingen 30-08-11 aangepast aan OS 3.0.2, nieuwe schermbeelden, 10e editie G&R 03-09-11 enkele (typ)foutjes verbeterd. 25-08-12 3.2 schermen waar nodig
BELANGRIJKE MEDEDELING – Onderschat dit niet. De TI-Nspire is een zeer krachtig rekenmachientje leermiddel. (Zoals we zullen zien is rekenen slechts één van de functies). Het is meer een minicomputer met wiskundesoftware. Zo krijg je de beschikking over wiskundesoftware zonder computer en computerlokaal. Altijd beschikbaar, ook voor huiswerk en toetsen. Sommige vervolgopleidingen verlangen dat studenten over laptops beschikken, andere staan alleen pen en papier toe. Het gebruik van (grafische) rekenmachines hangt soms zelfs af van de docent die de betreffende lessen/colleges verzorgt. Jullie zullen worden voorbereid op het leren en gebruiken van wiskunde met technologie zowel als zonder technologie. Jullie zullen worden voorbereid op iedere mogelijke situatie in het vervolgonderwijs. Wij kunnen, mogen en zullen jullie niet technologieafhankelijk maken. Daarbij is jullie inzet hard nodig. Word NIET machineafhankelijk. Er zijn drie soorten berekeningen in onze wereld: hoofdrekenen, rekenen met pen en papier (P&P) en met gebruik van rekenmachine/computer. Het is onze taak om jullie niet alleen deze drie soorten te leren kennen, maar ook – en dat is zeker zo belangrijk – te leren wanneer je welke van deze drie gebruikt. Op toetsen en examens komen jullie vaak de volgende opdracht tegen: “Bereken exact” of “Bereken algebraïsch”, dan moet je P&P wiskunde gebruiken. Jullie zullen handig moeten worden in het gebruik van technologie waar dat gewenst is en vaardig in het P&P wiskundewerk. Verwaarloos je algebraïsche vaardigheden niet. Je zult ze nodig hebben als de technologie niet beschikbaar of toegestaan is.
3
Berekeningen op het rekenmachinescherm Het rekenmachinescherm Zet de GR aan met c. Je komt dan op het Hoofdscherm. Dit is meestal je startpunt. Je kunt dan al een document open hebben (Huidig is dan goed leesbaar) of helemaal schoon beginnen. Begin met een nieuw document. Kies voor Nieuw onder Documenten. Als er wordt gevraagd of je het vorige document wil bewaren kies je nu voor Nee en krijg je de keuze uit de zeven toepassingen: Rekenmachine, Grafieken, Meetkunde, Lijsten en Spreeadsheets(L&S), Gegevensverwerking en Statistiek(G&S), Notities en Vernier DataQuest. Kies Rekenmachine. Hier kun je berekeningen maken.
Eenvoudige berekeningen 2 + 3× 4 . 5 De berekening 2+3*4 gaat op de GR net zoals op een gewone rekenmachine, maar je sluit af met · Om het antwoord 14 vervolgens te delen door 5, hoef je alleen maar p5 in te tikken. Je krijgt dan het scherm hiernaast, de GR rekent verder met het laatste antwoord. Bereken
Druk je nu op · dan wordt de berekening uitgevoerd. In plaats van Ans komt de waarde 14 te staan en het antwoord wordt in breukvorm gegeven. Wil je dit getal omzetten naar een kommagetal, dan kan dat via b Getal, Converteren naar Decimaal. Je krijgt dan 2,8 Als je al weet dat je een kommagetal als antwoord wil kun je in plaats van · om de berekening uit te voeren kiezen voor /·. Controleer de volgende berekeningen: 1,087 x 2380 = 2587,06 5+ 23 ≈ 9.796 = /q Na de 5 ¢ om onder het 5 + 3 = 5, 236 wortelteken uit te komen 2 kwadraat = q 5 + 2,3 = 10, 29 3 derde macht met l3 5 + 2,3 = 17,167
4
Opgave 1 Bereken in twee decimalen nauwkeurig: a. 5,364 + 5 ×1, 472 b.
c 1,82 ÷ 35
34 + 6,53
d 11,52 + 8,7
Opgave 2 Bereken in twee decimalen nauwkeurig: a. 12 + 3,51
c
21,8 ÷ 3,51
b.
d
21,8 ÷ 3,51
12 + 3,51
Mintekens De toets - hoort bij aftrekkingen. Je krijgt 18-5 met 18-5· Met de toets v zet je een minteken voor een getal. Je krijgt −3 − 8 met v3-8· Let op dat op het scherm twee verschillende mintekens te zien zijn. - voor aftrekken v minteken voor een getal
Haakjes Het kwadraat van -8,3 is (−8,3)2 = 68,89 Vergeet niet de haakjes in te tikken. Zonder haakjes krijg je −8,32 = −68,89 .
Opgave 3 Bereken. a. het kwadraat van -5,7 b. de vierde macht van -1,8
c −5, 7 2 d −1,84
Opgave 4 Bereken in twee decimalen nauwkeurig: a. −3,52 − 8 × −3 b.
c −8,134 − 5 ÷ −1, 63 d −8,1×1,34 − 5,72 ÷ −8
8,91 − 3,1×1,33
5
Breuken 2000 gebruik je de /p, je 5 + 1,183 krijgt dan de invoermal voor breuken. Bij het berekenen van
Opgave 5 Bereken in twee decimalen nauwkeurig: 118 − 53 a. ×100 53 100 b. 352 ×1.23
1371 − 862 128 1283 − 1827 d ×100 1827 c
Opgave 6 Bereken in twee decimalen nauwkeurig: 118, 6 a. 8,32 − 5, 6 b.
−1,31 + 8,3 × 7, 05 21,32 − 7,53 3,882 + 4, 263 d + 7, 43 2 1 + 5, 6 − 2,9 c
5,93 + 23 8, 41 − 3 15
Fouten verbeteren Maak je tijdens het intikken een fout, dan ga je met de cursor naar de fout. Vervolgens kun je met . de fout verwijderen en vervolgens de goede invoer geven. TI-Nspire voegt automatisch de nieuwe invoer tussen de bestaande. Als je al een · gegeven hebt, kun je met de cursor ££ (twee keer) naar de vorige invoer, geef dan weer · en je krijgt de vorige invoer op een nieuwe regel en je kunt deze invoer wijzigen. Op het scherm hiernaast is bij 30 + 1,184 − 2, 483 per ongeluk na de 1,184 niet op ¢ getikt. Na ££· en enkele keren . sta je achter de 4. Vervolgens ¢ en kun je de juiste opgave maken. Probeer deze mogelijkheden eens uit.
6
Werken met breuken De GR heeft geen a b / c knop voor gemengde getallen. teller Breuken zijn altijd zonder dat er helen zijn uitgehaald. noemer 5 83 voer je in als 438 of als 5 + 83 De berekening 5 83 × 2 74 op de GR vergt enkele haakjes. Je kunt intypen: (5+3/8)r(2+4/7) en de GR geeft dan de nettere breukenvorm of je voert de breuken in met de breuken invoermal /p . De afronding is gemaakt met /· Bij
1 2
+ 13 tik je in 1p2+1p3· Je krijgt dan
5 6
Met b Getal, Converteren naar Decimaal krijg je de afronding 0,8333333. Bij 8 × 2 73 moet je haakjes gebruiken, dus 8r(2+3p7)· Ook het omgekeerde kan: een decimaal getal omzetten naar een breuk. Met de optie b Getal, Benaderen als breuk kun je bijvoorbeeld 3,125 als breuk schrijven. Typ je zomaar een decimaal getal is, dan zul je veelal een breuk krijgen met grote teller en noemer.
Opgave 7 Bereken. Schrijf het antwoord als een breuk zowel als in twee decimalen nauwkeurig: a. 23 + 14 c 20 ×1 73 b. (1 92 ) 2
d 19 × 2 13 − 8 × 2 74
Opgave 8 Bereken. Schrijf het antwoord als een breuk zowel als in twee decimalen nauwkeurig: a. 8 53 ÷ 2 14 c (3 16 − 2 71 ) 2 b. (3 16 − 2 15 ) ÷ 2 15 d 21 ÷ 2 73
Opgave 9 Bereken. Schrijf het antwoord als een breuk zowel als in twee decimalen nauwkeurig: a. het kwadraat van 1 23 c 5 gedeeld door 1 13 b. de vierde macht van −2 73
7
Wetenschappelijke notatie Bij de berekening van 3.225 geeft de rekenmachine 4.25353E12. Je moet dit lezen als 4,25353 ⋅1012 Bij E12 moet de komma 12 plaatsen naar rechts.
Bij 0,128 geeft de Nspire als antwoord 4.29982E-8. Dit betekent 0,0000000429982. Bij E-8 moet de komma 8 plaatsen naar links.
Het getal 48357 wordt in wetenschappelijke notatie weergegeven als 4.8357E4. Je moet dit lezen als 4,8357 ⋅10 4 Het getal 0.000381 wordt in wetenschappelijke notatie weergegeven als 3.81E -4. Je moet dit lezen als 3,81 ⋅10−4 Met i kun je een getal rechtstreeks in de wetenschappelijke notatie invoeren. Het getal 5,83 ⋅10−7 voer je in als 5.83 i -7 Dit is ook handig bij grote getallen. Zo kun je 12,6 miljard invoeren met 12.6 i 9
Opgave 10 Bereken. Schrijf het antwoord in de wetenschappelijke notatie, dus in de vorm a ⋅10 p . Geef a in twee decimalen nauwkeurig: a. 321 c 2,38 ⋅107 × 0,081⋅109 b. 5,318 d 0,86 ⋅106 × 2, 48.107
Opgave 11 Bereken. Rond af op 5 decimalen. a. 0, 7 25 b. 0,318
c 0,65 × 0,349 d (2,1: 7,3) 4
8
Herhaald optellen en herhaald vermenigvuldigen Een hoeveelheid neemt telkens met 13 toe. De beginhoeveelheid is 180. Op de GR gaat dit herhaald optellen als volgt: o Typ de beginhoeveelheid, 180 in en ·. o Tik + 13 en · o Tik ···
Bij herhaald vermenigvuldigen ga je op soortgelijke manier te werk. Wordt een hoeveelheid telkens met 1,06 vermenigvuldigd, dan reken je dit op de Nspire als volgt door. Begin met 750. o Typ de beginhoeveelheid, 750 in en ·. o Tik r 1,06 en · o Tik · · ·
Opgave 12 Een bedrag wordt jaarlijks met 1,045 vermenigvuldigd. Begin met € 2500. Hoeveel is het bedrag a. na 5 jaar c na 13 jaar b. na 10 jaar c na 25 jaar?
Opgave 13 Een bedrag wordt jaarlijks met 0,3 miljoen vermeerderd. Begin met 18,6 miljoen euro.. Hoeveel is het bedrag a. na 18 jaar b na 25 jaar
Opgave 14 Een bedrag wordt jaarlijks door 0,98 gedeeld. Het beginbedrag is € 1750,-. Hoeveel is het bedrag a. na 8 jaar b na 13 jaar
9
Formules, Grafieken en Tabellen Formules invoeren en grafieken plotten Open een nieuw document met c Nieuw. Als je het vorige document wil bewaren kies je voor opslaan en moet je het een zinvolle naam geven. Als je het vorige document niet wil opslaan kom je meteen voor de keuze van de zeven mogelijke schermen. Kies eerst voor Rekenmachine toevoegen. Vervolgens open je een tweede scherm via c en een klik op de tweede van de zeven iconen voor de zeven toepassingen. Beweeg de cursor door je vinger over het touchpad te bewegen over de iconen om te zien welke waar voor staat. Kies voor Grafieken, selecteren kan met een klik of met een ·. Je hebt dan het scherm hiernaast. Met /¡ en /¢ pijl naar links/rechts kun je van pagina wisselen, deze zijn aangegeven met de tabbladen 1.1 en 1.2 boven in het scherm). Ook kun je het juiste tabblad met de cursor selecteren. Probeer dit eens uit en zorg dat je weer in het Grafieken scherm terecht komt. We gaan de grafiek van y = x 2 − 4 x + 2 plotten. Daarvoor met je de formule invoeren. Voer achter f1(x)= deze formule in: Xq-4X+2 De grafiek verschijnt na · meteen op het scherm. Soms moet je een verstandige schaalverdeling op de x-as en de y-as kiezen. Dat gaat via b, dan Venster, Vensterinstellingen. Als je een waarde hebt ingetypt kun je naar een volgend invulveld met de e toets of met de pijltoetsen, als je op ENTER drukt verlaat je het Venster-menu. Afspraak: In plaats van “laat de GR de grafiek tekenen” zeggen we kortweg “plot de grafiek”.
Het standaardscherm De instelling met XMin = -10, XMax = 10, YMin = -6,67 en YMax = 6,67 heet de standaardindeling. Het bijbehorende scherm heet het standaardscherm. De GR heeft een optie waarmee je direct het standaardscherm krijgt. Dit gaat als volgt: b Venster, Zoom-Standaard. Als je voor Zoom-Gebruiker kiest gaat het scherm naar de laatste instellingen die je als gebruiker zelf hebt ingevoerd.
10
Met de spoor-cursor y-waarden berekenen Je kunt op meerdere manieren de grafiek onderzoeken. Eén daarvan gaat met b Spoor, Grafiekspoor. Tik dit in en kijk wat er gebeurt als je met de pijltoetsen naar links en naar rechts gaat. Typ nu 3 gevolgd door ENTER. Je ziet dat het punt op de grafiek dat hoort bij x = 3 wordt getekend.
Opgave 1 Bereken de y-coördinaten van het punt van de grafiek bij a x = -1,5 b x=2
c x = 12,5
Ga vervolgens de grafiek met de cursor volgen (Tracen) met b Spoor, Grafiekspoor. Als je in de buurt van het snijpunt met de x-as komt, kleeft de cursor aan het nulpunt en geeft (een benadering) van de coördinaten en “nul” in beeld. Bij het minimum krijg je de tekst “minimum” en de coördinaten van de top van de parabool. Een maximum wordt analoog aangegeven.
Snijpunten van grafieken Ga weer naar het grafiekenscherm en met e kom je op de invoerregel voor het invoeren van de formules van de functies. Teken in hetzelfde assenstelsel ook de grafiek van f 2( x ) = 0.5 x − 1. De parabool en de rechte lijn snijden elkaar twee keer. Een manier om die snijpunten in beeld te krijgen is: o Kies b Meetkunde, Punten en lijnen, Snijpunt(en) o Ga met de pijl naar een van beide grafieken (de pijl wordt een handje en de grafiek wordt dikker getekend) en druk x(of op enter). o Ga vervolgens naar de andere grafiek en druk opnieuw x(of op enter). o In beeld verschijnen de coördinaten van beide snijpunten. We gaan onderzoeken wat er gebeurt als we het functievoorschrift van de lijn veranderen. Je kunt de coördinaten verplaatsen. Zet de pijl op de coördinaten en met { pak je de coördinaten vast en deze kun je met de cursor elders op het scherm plaatsen. Dit is handig als de coördinaten boven op elkaar worden weergegeven. Het aantal decimalen kun je ook veranderen. Zet met de cursor de pijl op de coördinaat waarvan je het aantal decimalen wil veranderen. Druk /x en dan kun je met de + het aantal decimalen vergroten en met de - het aantal decimalen verkleinen.
11
Druk op e en daarna op de pijl omhoog zodat je f2 in beeld hebt. Met . kun je de -1 wissen en vervangen door bijvoorbeeld -2. Als je dat gedaan hebt veranderen de coördinaten van de snijpunten in het scherm ook.
Opgave 2 Verander het functie voorschrift van f2 in: f 2( x) = x − 2 . De snijpunten hebben nu gehele coördinaten. Bereken deze coördinaten.
Opgave 3 Hoeveel snijpunten heeft de lijn y = x − 5 met de grafiek van de parabool?
Formules uitzetten Om alleen de grafiek van f1 te zien moet je f2 verbergen. De functie is er nog wel, maar wordt niet meer weergegeven. Dit is iets anders dan Wissen, waarbij je de functie verwijdert. In het menu onder Acties vind je de schakelaar optie Verbergen/Weergeven waarmee je iets dat weergegeven wordt kunt verbergen, maar ook iets dat verborgen is weer kunt weergeven. Ook kun je naar de grafiek van f2 en dan met /b naar het context-afhankelijke menu (vergelijkbaar met de rechtermuisknop in Windows). Hierin kies je voor Verbergen/Weergeven om de grafiek van f2 niet meer te zien. Oefen hiermee en zet de grafiek van f2 uiteindelijk weer op zichtbaar.
Opgave 4 a Plot de grafiek van f 1( x) = 0,5 x3 − 3x 2 + 2 x + 5 met venster [-12,12]x[-12,12]. b Plot ook de grafiek van f 2( x) = −0,5x 4 − 2,7 x3 + 8x − 3 in hetzelfde scherm. c..Hoeveel snijpunten hebben de grafieken van f1 en f2 op dit scherm? d Hoe kun je er zeker van zijn dat er geen andere snijpunten zijn?
Het uiterlijk van grafieken veranderen Wanneer je meerdere grafieken in één scherm hebt worden ze op de CX spontaan in verschillende kleuren weergegeven. Je kunt het uiterlijk van grafieken aanpassen. Je kunt ze dikker maken of als stippel- of streeplijn laten tekenen. Ga hiervoor met de cursor naar de aan te passen grafiek. Kies in het context-afhankelijke menu na /b voor Eigenschappen. Probeer dit uit en maak de grafiek van f2 dikker en gestreept door keuzes te maken met de pijltjestoetsen.
12
De spoor-cursor en functiewaarden Begin een nieuw document met een rekenmachine en een Grafieken scherm. Gegeven is de functie f ( x) = 0,6 x3 − 2,8 x 2 + 6 Je krijgt f(4,5) als volgt. o plot de grafiek van f 1( x) = 0,6 x3 − 2,8x 2 + 6 o kies b Spoor, Grafiekspoor en tik in 4^5 o druk · en je ziet de cursor op het punt (4.5 , 3,975) staan. Dus f(4,5)=3,975 Met nog een keer · worden de coördinaten in het assenstelsel geplakt, zodat je ze bij verder tracen blijft zien. Een alternatieve methode gebruikt het rekenmachinescherm: Je krijgt f(4,5) als volgt. o plot de grafiek van f 1( x) = 0,6 x3 − 2,8x 2 + 6 o ga naar het rekenmachinescherm met /¢ en typ in: f1(4.5) o druk · en je ziet dat f1(4.5)=3.975
Opgave 5 Gegeven is de functie f ( x) = 1,3x 2 + 1,8 x − 3 a. Plot de grafiek op het standaardscherm. b. Bereken f(-5), f(-1,2), f(0,8) en f(8,3) c. Ga na wat er gebeurt als je met de spoor-cursor f(25) berekent. Het standaardvenster kun je snel weer terugzetten met bVenster, Zoom-Standaard d. Bereken in het rekenmachinescherm f(-17), f(51) en f(120)
Tabellen maken Bij de formules f 1( x) = 0,5 x 2 − 3x + 2 en f 2( x) = −2 x 2 + 1,5x + 6 krijg je als volgt tabellen op het scherm. o Voer beide formules in. o Voeg een Lijsten en Spreadsheets scherm toe met c Typ /T om een functietabel te maken. Je krijgt dan de mogelijkheid om te kiezen voor f1 of f2. Kies eerst voor f1, ga met de cursor een kolom naar rechts en kies daar voor f2. Je krijgt standaard een tabel die begint bij x = 0 en die stapjes van 1 maakt. o De tabel kun je helemaal aanpassen aan wat de situatie van je vraagt. Dit gaat via b Functietabel, Functietabelinstellingen bewerken. Je kunt hier de startwaarde en de stapgrootte aanpassen.
13
Kies Tabelstart = 3 en Tabelstap = 0.5 en bekijk de tabel. Als je Onafhankelijk op Vraag zet, dan kun je in de eerste kolom van de tabel zelf de x-en invullen en worden de bijbehorende functiewaarden berekend.
Opgave 6 Gegeven zijn de functies f 1( x) = 0,5 x 2 − 3x + 2 en f 2( x) = −2 x 2 + 1,5x + 6 a Maak een tabel met startwaarde 4 en stapgrootte 0,03 b Maak een tabel waarin je f1(12,74) en f2(12,68) kunt aflezen. Welke startwaarde en welke stapgrootte heb je gekozen?
Opgave 7 De oplossingen van −0, 2 x 2 + x + 5 = 4 spoor je met de GR eenvoudig op. Dit gaat als volgt. o plot de grafieken van f 1( x) = −0, 2 x 2 + x + 5 en f 2( x) = 4 o bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafieken met b Meetkunde, Punten en Lijnen, Snijpunt(en) waarna je de twee grafieken moet selecteren. o De x-coördinaten van de snijpunten zijn de oplossingen van de vergelijking. Bereken de oplossingen van −0, 2 x 2 + x + 5 = 4 in twee decimalen nauwkeurig.
14
Toppen, snijpunten en nulpunten Toppen van grafieken In de paragraaf Omgaan met Formules heb je gezien dat je met de tracé-cursor de coördinaten van toppen en snijpunten met de x-as op het scherm kunt krijgen De top van de grafiek krijg je met b Spoor, Grafiekspoor en dan met de de pijltjes toetsen de cursor in de buurt van de top brengen. De top van deze parabool is dus het punt (2.22 , -2.44)
Snijpunten van grafieken Voer als functies op een nieuwe Grafiekenpagina in: f 1( x) = 0.6 x 2 − 3x + 1 en f 2( x) = −0.25x 2 − x + 3 in. Gebruik de e toets om na de eerste functie weer op de invoerregel te komen. Plot de grafieken op het standaardscherm. De coördinaten van de snijpunten van f1 en f2 vind je als volgt. Kies b Meetkunde, Punten en Lijnen, Snijpunt(en). Ga met de cursor naar de grafiek van f1 en klik, daarna naar die van f2 en klik en de coördinaten van de snijpunten worden in het scherm gezet. De GR geeft x ≈ −0.7567 met y ≈ 3,614 en x ≈ 3.11 met y ≈ −2,527 Soms zijn ze niet goed afleesbaar omdat er grafieken of assen doorheen lopen. Ga met de cursor naar de coördinaten van zo’n punt toe, houdt de klik even vast totdat het handje sluit (en de coördinaten vastpakt). Schuif over de touchpad om deze coördinaten ergens anders neer te zetten.
De optie Zoom-Passend Bij ingewikkelde functies met derde en vierde machten is het opsporen van een geschikt venster geen eenvoudig karwei. Vaak volgen XMin en XMax uit de gegevens, maar moet je YMin en YMax zelf bepalen. De optie Zoom-Passend uit het venster menu kan je hierbij helpen. Bij de formule f 1( x) = 0,02 x3 − 1,5 x 2 + 16 x + 800 met x tussen 0 en 70 gaat dat als volgt. o Voer de formule in bij f1(x)
15
o Kies b Venster, Vensterinstellingen en stel daar de XMin op 0 en XMax op 70 in. Kies vervolgens b Venster, Zoom-Passend. De GR geeft dan de grafiek zoals hiernaast. o Zorg eventueel voor rondere getallen bij YMin en YMax bij de Vensterinstellingen. Neem in dit geval bijvoorbeeld YMin = 0 en YMax = 1500. o Je krijgt dan ook de assen in het scherm wat vaak wel overzichtelijk is. Ga met de cursor naar een vrij deel van het scherm, druk even op de klik-pad tot het handje zich sluit. schuif nu over de touch-pad om het assenstelsel wat te verschuiven. Handig als je de grafiek al bijna goed in beeld hebt.
Bijzondere punten met Grafiek analyseren-menu Het handige Grafiek Analyseren (b Grafiek Analyseren) gebruik je voor het berekenen van bijzonderheden van een grafiek. Er wordt gevraagd naar welke grafiek, de ondergrens en de bovengrens. Deze geef je aan door er met de muis heen te gaan en te klikken voor vastlegging. Hieronder enkele schermafdrukken. De functies zijn f 1( x) = x 2 − 4 x + 2 en f 2( x) = x − 2
Overbodige vragen, zoals welke grafiek als er maar één is, van welke grafieken het snijpunt als je maar twee grafieken hebt, worden niet gesteld.
Nulpunten Zoals je al eerder hebt gezien kun je deze vinden met de trace-cursor en natuurlijk ook met Grafiek Analyseren.
16
Helling De richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek van f ( x) = 0,5 x 2 − 2 x − 1 in het punt A met xA = 5 kun je op meerdere manieren krijgen.
De optie Raaklijn in een Grafieken scherm Open een Grafiekenscherm en typ achter f1(x) de functie in. Je krijgt dan de grafiek van f te zien. o Kies een punt op de grafiek van f met de optie Punt op (b Meetkunde, Punten en lijnen, Punt op) o Sleep vervolgens deze coördinaten naar linksboven in het scherm. Geef d als de coördinaten daar staan waar je ze wil hebben. o Ga met de cursor naar de x-coördinaat en geef twee keer · of twee keer x. Na de eerste keer wordt de x-coördinaat grijs en na de tweede keer kun je de x-coördinaat wijzigen in 5. Het punt wordt nu (5; 1,5). o Kies in b Meetkunde, Punten en lijnen, Raaklijn, ga met de cursor naar het punt (5,1.5) van de grafiek en geef ·. De raaklijn wordt nu getekend. o De richtingscoëfficiënt krijg je met b Meetkunde, Meting, Helling. Bevestig met ·. Voor het overzicht kun je deze richtingscoëfficiënt ook naar links slepen. ⎡ dy ⎤ Dus ⎢ ⎥ = 3 . De gevraagde richtingscoëfficiënt is 3. ⎣ dx ⎦ x =5 Je weet nu ook dat de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = 5 gelijk is aan 3. Het voordeel van deze methode is dat je het punt op de grafiek kunt verplaatsen waarbij de coördinaten en de richtingscoëfficiënt worden aangepast.
Opgave 1 Gegeven is de functie g ( x) = −0,5 x3 + 2,5 x 2 − x + 2 a Plot de grafiek van f. Neem XMin = -2. XMax = 6, YMin = -10 en YMax = 10. b Bereken de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek in het punt P met xP = -2. En ook in het punt Q met xQ = 5. c Met welke snelheid verandert g(x) voor x = 3. d Bereken de helling van de grafiek in het punt R met xR = 4.
17
De optie nDerivative( in het Rekenmachinescherm Je kunt de optie nDerivative( gebruiken om de helling in een punt van de grafiek te krijgen. Bij de functie f ( x) = 0,5 x3 krijg je de helling van de grafiek in het punt A met xA=2 als volgt. o open een Rekenmachinescherm o typ in nDerivative(0.5x3,x=2). Haal nDerivative( op uit de catalogus k. o na · krijg je 6. Je weet nu dat bij de functie f ( x) = 0,5 x3 geldt ⎡ dy ⎤ ⎢ dx ⎥ ≈ 6 ⎣ ⎦ x =2 Met nDerivative(f(x),x=x0) krijg je de helling van de grafiek van f in het punt met x-coördinaat x0
⎡ dy ⎤ nDerivative(f(x),x=x0) = ⎢ ⎥ ⎣ dx ⎦ x = x0
⎡ dy ⎤ Met nDerivative ( x3 − 5 x, x = 2) krijg je ⎢ ⎥ bij de functie f ( x) = x3 − 5 x . ⎣ dx ⎦ x =2
Opgave 2 a Zorg op het Rekenmachinescherm voor nDerivative ( x 2 , x = 3) . Welk getal krijg je? b Bereken op het Rekenmachinescherm de helling van de grafiek van f ( x) = − x 2 + 3x in het punt A met xA = 5. c Bereken op het Rekenmachinescherm de helling van de grafiek van g ( x) = 0,5 x3 − 4 x 2 + 8 x in het punt B met xB = -1. Ook kun je met b Analyse, Numerieke afgeleide in een punt een meer wiskundige notatie op de GR krijgen. In het eerste scherm vul je de variabele (meestal x) in en de waarde waar de afgeleide waarde moet worden bepaald. In het erop volgende scherm voer je de functie in. Dit kan de formule zijn, maar ook f1(x) als je die gedefinieerd hebt.
18
Hellinggrafieken Hellinggrafieken plotten Bij de functie f ( x) = 0,75 x 2 krijg je als volgt een plot van de hellinggrafiek. o voer in f 1( x) = 0,75 x 2 o de cursor staat nu achter f2(x)= en kies de optie nDerivative( uit de catalogus. Deze krijg je met k en daarna een n in te typen en ¤ om deze optie te selecteren. Geef nu · en je komt weer op de functie invoerregel. Vul aan met f1(x),x=x en de hellinggrafiek wordt getekend. De grafiek wordt eerst gestippeld, dan gestreept en dan een doorgetrokken lijn omdat de GR wat tijd nodig heeft om in ieder punt van de grafiek van f1 de helling te benaderen om daarna deze helling te plotten. Met Spoor kun je de functiewaarden van f2 opvragen. Je krijgt daarmee de helling van de grafiek van f1 voor de opgegeven x-waarde. nDerivative(f1(x),x=x) of nDerivative(f1(x),x) Een ander woord voor hellingfunctie is afgeleide functie. In nDerivative herken je het Engelse woord “derivative” dat afgeleide betekent. Tussen haakjes staat eerst de functie en daarna, wat vreemd, x=x. Met nDerivative(f1(x),x=3) bereken je de helling bij x=3. en met f 2( x) = nDerivative(f1(x),x=x) wordt zo bij iedere x de helling berekend.
Opgave 1 Plot in één figuur de grafiek van f en de bijbehorende hellinggrafiek. a f ( x) = −3x 2 . b f ( x) = 0,5 x3 . c f ( x) = −12 x 2 + 8 x + 10 .
19
Exact waarden berekenen Voor je gevoel is er weinig verschil tussen de functies f 1( x) = 0,75 x 2 − 4 x − 2 en f 2( x) = 34 x 2 − 4 x − 2 . Als je de grafieken in een Grafieken scherm laat tekenen krijg je twee keer dezelfde grafiek. Voor TI-Nspire is er wel een verschil. Dit merk je pas in een Rekenmachinescherm. Beide functies zijn in een Grafiekenscherm ingevoerd en daarna is voor beide functies de y-waarde bij x = 3 berekend. Via b Acties, Definitie oproepen kun je de gedefinieerde functies nog eens op het Rekenmachinescherm krijgen. Het verschil tussen f1 en f2 is dat f2 exact (met breuken) doorrekent en f1 meteen decimale antwoorden geeft omdat in de definitie al een decimaal getal gebruikt is.
20
Het gebruik van Ans en lettergeheugens De toets Ý In deze paragraaf is de hoekinstelling bij de algemene instelling op graden gezet. Kies hiervoor c Instellingen, Documentinstellingen en zorg voor hoekinstelling Graden. Zie het scherm hiernaast.
Gebruik de toetscombinatie Ý ( = /v ) om met het laatste antwoord verder te rekenen. 5 360o Bij het berekenen van PQ = met ∠A = tan(∠A) 13 kun je te werk gaan zoals in het scherm hiernaast. Je krijgt PQ ≈ 9,53 Vervolgens is KL = 5 ⋅ ( PQ + 3) berekend. De PQ kun je krijgen met Ý, maar je kunt ook met de pijltjes omhoog gaan tot de uitkomst 9.5267 geselecteerd is en dan een · geven. Je krijgt KL ≈ 62, 63 Als je nu nog de sin(∠A) moet berekenen kun je als volgt te werk gaan. 360 Kies sin uit het µ menu en ga met de cursor omhoog totdat de geselecteerd is, druk dan 13 op · en het getal wordt tussen de haakjes geplakt en nog een · geeft het antwoord (0,464723).
Opgave Bereken met behulp van Ans in twee decimalen nauwkeurig. 6 100o a. KL = 12 ⋅ (5 + 3PQ) met PQ = en ∠A = tan(∠A) 7 5,17 12 80 b. AB = met CD = en tan(∠E ) = 2 sin(∠E ) 6 + CD 13
21
Het gebruik van lettergeheugens Je kunt een getal opslaan in een geheugen. daarvoor zijn de letters A, B, … beschikbaar. Ook kun je gebruik maken van meerletter geheugens zoals “links”, “rechts”,”freq”. Hiervoor is de functie STO ¢ die je met /h krijgt. Hiernaast zie je dat de waarde 3 in geheugen a geplaatst is, de waarde 5 in geheugen b. Vraag je ab op dan krijg je een foutmelding omdat de variabele ab niet gedefinieerd is. Bij a ⋅ b krijg je de uitkomst 15.
22
Allerlei tips & trucs Standaardinstellingen Sommige problemen in de weergave op het scherm kunnen veroorzaakt zijn door wijzigingen in de document en/of systeeminstellingen. Deze kun je terugzetten op de standaardinstellingen via c Instellingen, Instellingen, Algemeen en dan kiezen voor Herstel. Je krijgt een waarschuwing dat een en ander op de fabrieksinstellingen wordt teruggezet. Let op dat standaard de hoekinstelling radialen is. Dit herhaal je eventueel bij c Instellingen, Instellingen, Grafieken en Meetkunde instellingen. Een prettig werkende set van instellingen is hiernaast aangegeven. Met de knop Standaard worden alle toekomstige documenten op deze wijze ingesteld. Het Scratchpad werkt altijd met de systeeminstellingen. Dit kan dus anders zijn dan de documentinstellingen.
Resetten Als de GR niet meer lijkt te werken helpt een volledige reset. Hiervoor zit een knopje achterop de rekenmachine. Je moet weer je taal kiezen en de grootte van het lettertype. De instellingen zijn weer op de standaard fabrieksinstellingen teruggezet. Je bestanden blijven behouden.
Roosterlijnen Je kunt met b Beeld, Raster, Raster met lijnen roosterlijntjes laten tekenen. De plaats van de lijntjes wordt bepaald door de Xschaal die je in kunt stellen bij de Vensterinstellingen
Foutmeldingen Over het algemeen is bij een foutmelding wel duidelijk wat verbeterd moet worden. Veel voorkomende fouten zijn: • verkeerd minteken • x-waarden die kleiner dan XMin of groter dan XMax zijn • delen door 0 • XMax die kleiner is dan XMin • wortel uit een negatief getal • lijsten die niet even lang zijn
Afronden op de GR Bij de instelling van het aantal decimalen kun je kiezen uit Drijvend en Vast. Het getal 0,03 wordt bij Drijvend4 weergegeven als 0.03 en bij Vast4 als 0.0300
23
Het gebruik van lettergeheugens Je kunt een getal opslaan in een geheugen. daarvoor zijn de letters A, B, … beschikbaar. Ook kun je gebruik maken van meerletter geheugens zoals “links”, “rechts”,”freq”. Hiervoor is de functie STO ¢ die je met /h krijgt. Hiernaast zie je dat de waarde 3 in geheugen a geplaatst is, de waarde 5 in geheugen b. Vraag je ab op dan krijg je een foutmelding. Bij a ⋅ b krijg je de uitkomst 15.
De catalogus Met k krijg je de catalogus. Hierin staan alle voorgeprogrammeerde functies van Nspire vermeld met hun syntax. Weet je bijvoorbeeld niet meer wat er nu achter normCdf( ingevuld moest worden, dan kun je hier zien dat ondergrens en bovengrens verplicht zijn en daarachter µ en σ ingevuld kunnen worden maar niet verplicht zijn. Als je µ en σ niet invult rekent Nspire met de standaardwaardes µ = 0 en σ =1. De argumenten tussen teksthaken [ ] zijn facultatief. Als hier niets wordt ingevuld neemt de GR de standaardwaarden.
Logaritmen De logaritmeknop van TI-Nspire ( /s) is veel geavanceerder dan van andere grafische rekenmachines. Er zijn twee verschillende notaties in gebruik om hetzelfde getal weer te geven: 2 log(8) = 3 en log 2 (8) = 3 . De eerste zie je veel in Nederlandse schoolboeken, de tweede is internationaal veel meer gebruikt. Deze laatste vind je ook op TI-Nspire. Hiernaast zie je hoe enkele logaritmen zijn bepaald. Ook zie je hoe de oplossing van de vergelijking 3 log(2 x − 1) = 7 (Nederlandse notatie) en log3 (2 x − 1) = 7 kan worden gevonden met de GR. Dit moet je ook algebraïsch kunnen oplossen.
Te weinig contrast Het lijkt alsof de GR uit blijft als je hem aanzet. Dit kan komen door te weinig contrast. Dit kun je bijstellen door een paar keer /+ te geven.
24
De optie nSolve Met de optie nSolve kunnen vergelijkingen numeriek worden opgelost. De werking van deze optie wordt toegelicht aan de hand van een voorbeeld. Bij de inhoud van een cilinder hoort de formule I = π ⋅ r 2 ⋅ h en je krijgt de opdracht om de r te berekenen bij I = 1000 en h = 12. Dit kan met de GR met behulp van de opdracht nSolve. (b Algebra, Numerieke oplossing of gewoon zelf nsolve( intypen) Tussen haakjes komt de formule met achter de komma de variabele die je opgelost wilt hebben. Achter de verticale “waarbij”-streep | geef je de waarden van de andere variabelen die je dan wel moet kennen. Deze streep vind je in het menu dat verschijnt wanneer je /= typt. Hier vind je ongelijkheidstekens en de waarvoor geldt streep. Heeft een vergelijking meerdere oplossingen, dan geeft de GR één van die oplossingen. Heb je bijvoorbeeld gedefinieerd de functie f 1( x) = 2 x 2 − 3x en wil je opgelost hebben f 1( x) = 35 dan geeft de GR de oplossing x = -3.5 Voeg je achter de x nog ,0 toe, dan wordt gezocht naar een positieve oplossing (x>0) Voeg je twee getallen toe, dan wordt tussen die waarden gezocht. Er is een oplossing tussen 0 en 10 (namelijk 5) en geen oplossing tussen 10 en 20. Het helpt meestal om eerst een grafiek te tekenen voor een eerste idee over het aantal oplossingen.
25
