Absolute waarde zit als
bij de sjablonen (
).
Afronden, geheel deel, breukdeel, Kleinste gemeen veelvoud, Grootste gemene deler, … vind je via .
Handleiding
Alles betreffende complexe getallen vind je via
.
Getal en Ruimte havo wiA Bij de TI-84 is het een heel werk om functies met een meervoudig voorschrift in te geven.
2, x 3 Alles betreffende kansrekening vind je via f (x) x 2 11, 3 x 2 x 3 1, x 2
Bij de TI-Nspire is een sjabloon aanwezig om functies met een meervoudig voorschrift in te geven als
2, x 3 f (x) x 2 11, 3 x 2 x 3 1, x 2
.
Druk , ,
3. HET TEST – MENU (
) De ongelijkheidstekens zitten boven de gelijkheidstoets
en kies als je een tweevoudig voorschrift hebt of
, , ,
als het voorschrift meer of twee delen heeft.
:
GLE-MENU
ken invoert, kun je best aangeven hoe de Om de hoek 2,5 r in te geven kan je het sjabloon Om de functie te traceren moet je telkens van oet uitzien. gebruiken voorschrift veranderen. a bereikbaar via encombinatie kom je in een ht over hoeken.
hoek in graden, minuten en seconden en tijdrovende bezigheid bij de TI-84.
5”
9
bereikbaar via
Al naar gelang de documentinstellingen krijg je het resultaat in radialen (standaardinstelling) of graden ( documentinstellingen veranderen via )
Een resultaat in de graden, minuten en seconde notatie krijg je door het resultaat te converteren: ga naar de catalogus en zoek onder het tweede tabblad bij hoeken naar converteren naar DMS.
Om de hoek 45°16’35” in te geven maak je gebruik van het sjabloon achter de -toets.
E. van Winsen Versie 5 september 2012 OS 3.2
Inhoudsopgave Inhoudsopgave............................................................................................................................ 2 Berekeningen op het rekenmachinescherm ................................................................................ 3 Het rekenmachinescherm ....................................................................................................... 3 Eenvoudige berekeningen ...................................................................................................... 3 Mintekens ............................................................................................................................... 4 Haakjes ................................................................................................................................... 4 Breuken .................................................................................................................................. 5 Fouten verbeteren ................................................................................................................... 5 Werken met breuken .............................................................................................................. 6 Wetenschappelijke notatie ...................................................................................................... 7 Herhaald optellen en herhaald vermenigvuldigen .................................................................. 8 Centrum en spreidingsmaten ...................................................................................................... 9 Het berekenen van gemiddelde en standaardafwijking .......................................................... 9 Tekenen van een Boxplot ..................................................................................................... 10 Omgaan met Formules ............................................................................................................. 11 Formules invoeren en grafieken plotten ............................................................................... 11 Het standaardscherm ............................................................................................................ 11 Met de spoor-cursor y-waarden berekenen .......................................................................... 12 Snijpunten van grafieken ...................................................................................................... 12 Formules uitzetten ................................................................................................................ 13 Het uiterlijk van grafieken veranderen ................................................................................. 13 De spoor-cursor en functiewaarden ...................................................................................... 14 Tabellen maken .................................................................................................................... 14 Belangrijke punten op grafieken opsporen ............................................................................... 16 Niet lineaire formules ........................................................................................................... 16 Het berekenen van y-waarden .............................................................................................. 16 Het maken van een tabel ...................................................................................................... 16 Snijpunten met de x-as ......................................................................................................... 17 Toppen van grafieken ........................................................................................................... 17 Snijpunten van grafieken ...................................................................................................... 17 Snijpunten van grafieken met een horizontale lijn ............................................................... 18 De optie Zoom-Passend........................................................................................................ 18 Bijzondere punten met Grafiek analyseren-menu ................................................................ 19 Allerlei tips & trucs .................................................................................................................. 24 Standaardinstellingen ........................................................................................................... 24 Resetten ................................................................................................................................ 24 Foutmeldingen ...................................................................................................................... 24 Te weinig contrast ................................................................................................................ 25 Afronden op de GR .............................................................................................................. 25 Het gebruik van lettergeheugens .......................................................................................... 25 De catalogus ......................................................................................................................... 25 De optie nSolve .................................................................................................................... 25 Versie opmerkingen 30-08-11 OS 3.0.2 schermbeelden, CX lettertype, Handleiding kloppend gemaakt voor 3.0 en G&R 10e editie 03-09-11 enkele (typ) foutjes verbeterd 25-08-2012 schermen aangepast aan 3.2, normale en binomiale verdeling
2
Berekeningen op het rekenmachinescherm Het rekenmachinescherm Zet de GR aan met c. Je komt dan op het Hoofdscherm. Dit is meestal je startpunt. Je kunt dan al een document open hebben (Huidig is dan goed leesbaar) of helemaal schoon beginnen. Begin met een nieuw document. Kies voor Nieuw onder Documenten. Als er wordt gevraagd of je het vorige document wil bewaren kies je nu voor Nee en krijg je de keuze uit de zeven toepassingen: Rekenmachine, Grafieken, Meetkunde, Lijsten en Spreeadsheets(L&S), Gegevensverwerking en Statistiek(G&S), Notities en Vernier DataQuest. Kies Rekenmachine. Hier kun je berekeningen maken.
Eenvoudige berekeningen 2 + 3× 4 . 5 De berekening 2+3*4 gaat op de GR net zoals op een gewone rekenmachine, maar je sluit af met · Om het antwoord 14 vervolgens te delen door 5, hoef je alleen maar p5 in te tikken. Je krijgt dan het scherm hiernaast, de GR rekent verder met het laatste antwoord. Bereken
Druk je nu op · dan wordt de berekening uitgevoerd. In plaats van Ans komt de waarde 14 te staan en het antwoord wordt in breukvorm gegeven. Wil je dit getal omzetten naar een kommagetal, dan kan dat via b Getal, Converteren naar Decimaal. Je krijgt dan 2,8 Als je al weet dat je een kommagetal als antwoord wil kun je in plaats van · om de berekening uit te voeren kiezen voor /·. Controleer de volgende berekeningen: 1,087 x 2380 = 2587,06 5+ 23 ≈ 9.796 = /q Na de 5 ¢ om onder het 5 + 3 = 5, 236 wortelteken uit te komen 2 kwadraat = q 5 + 2,3 = 10, 29 3 derde macht met l3 5 + 2,3 = 17,167
3
Opgave 1 Bereken in twee decimalen nauwkeurig: a. 5,364 + 5 ×1, 472 b.
c 1,82 ÷ 35
34 + 6,53
d 11,52 + 8,7
Opgave 2 Bereken in twee decimalen nauwkeurig: a. 12 + 3,51
c
21,8 ÷ 3,51
b.
d
21,8 ÷ 3,51
12 + 3,51
Mintekens De toets - hoort bij aftrekkingen. Je krijgt 18-5 met 18-5· Met de toets v zet je een minteken voor een getal. Je krijgt −3 − 8 met v3-8· Let op dat op het scherm twee verschillende mintekens te zien zijn. - voor aftrekken v minteken voor een getal
Haakjes Het kwadraat van -8,3 is (−8,3)2 = 68,89 Vergeet niet de haakjes in te tikken. Zonder haakjes krijg je −8,32 = −68,89 .
Opgave 3 Bereken. a. het kwadraat van -5,7 b. de vierde macht van -1,8
c −5, 7 2 d −1,84
Opgave 4 Bereken in twee decimalen nauwkeurig: a. −3,52 − 8 × −3 b.
c −8,134 − 5 ÷ −1, 63 d −8,1×1,34 − 5,72 ÷ −8
8,91 − 3,1×1,33
4
Breuken 2000 gebruik je de /p, je 5 + 1,183 krijgt dan de invoermal voor breuken. Bij het berekenen van
Opgave 5 Bereken in twee decimalen nauwkeurig: 118 − 53 a. ×100 53 100 b. 352 ×1.23
1371 − 862 128 1283 − 1827 d ×100 1827 c
Opgave 6 Bereken in twee decimalen nauwkeurig: 118, 6 a. 8,32 − 5, 6 b.
−1,31 + 8,3 × 7, 05 21,32 − 7,53 3,882 + 4, 263 d + 7, 43 2 1 + 5, 6 − 2,9 c
5,93 + 23 8, 41 − 3 15
Fouten verbeteren Maak je tijdens het intikken een fout, dan ga je met de cursor naar de fout. Vervolgens kun je met . de fout verwijderen en vervolgens de goede invoer geven. TI-Nspire voegt automatisch de nieuwe invoer tussen de bestaande. Als je al een · gegeven hebt, kun je met de cursor ££ (twee keer) naar de vorige invoer, geef dan weer · en je krijgt de vorige invoer op een nieuwe regel en je kunt deze invoer wijzigen. Op het scherm hiernaast is bij 30 + 1,184 − 2, 483 per ongeluk na de 1,184 niet op ¢ getikt. Na ££· en enkele keren . sta je achter de 4. Vervolgens ¢ en kun je de juiste opgave maken. Probeer deze mogelijkheden eens uit.
5
Werken met breuken De GR heeft geen a b / c knop voor gemengde getallen. teller Breuken zijn altijd zonder dat er helen zijn uitgehaald. noemer 5 83 voer je in als 438 of als 5 + 83 De berekening 5 83 × 2 74 op de GR vergt enkele haakjes. Je kunt intypen: (5+3/8)r(2+4/7) en de GR geeft dan de nettere breukenvorm of je voert de breuken in met de breuken invoermal /p . De afronding is gemaakt met /· Bij
1 2
+ 13 tik je in 1p2+1p3· Je krijgt dan
5 6
Met b Getal, Converteren naar Decimaal krijg je de afronding 0,8333333. Bij 8 × 2 73 moet je haakjes gebruiken, dus 8r(2+3p7)· Ook het omgekeerde kan: een decimaal getal omzetten naar een breuk. Met de optie b Getal, Benaderen als breuk kun je bijvoorbeeld 3,125 als breuk schrijven. Typ je zomaar een decimaal getal is, dan zul je veelal een breuk krijgen met grote teller en noemer.
Opgave 7 Bereken. Schrijf het antwoord als een breuk zowel als in twee decimalen nauwkeurig: a. 23 + 14 c 20 ×1 73 b. (1 92 ) 2
d 19 × 2 13 − 8 × 2 74
Opgave 8 Bereken. Schrijf het antwoord als een breuk zowel als in twee decimalen nauwkeurig: a. 8 53 ÷ 2 14 c (3 16 − 2 71 ) 2 b. (3 16 − 2 15 ) ÷ 2 15 d 21 ÷ 2 73
Opgave 9 Bereken. Schrijf het antwoord als een breuk zowel als in twee decimalen nauwkeurig: a. het kwadraat van 1 23 c 5 gedeeld door 1 13 b. de vierde macht van −2 73
6
Wetenschappelijke notatie Bij de berekening van 3.225 geeft de rekenmachine 4.25353E12. Je moet dit lezen als 4,25353 ⋅1012 Bij E12 moet de komma 12 plaatsen naar rechts.
Bij 0,128 geeft de Nspire als antwoord 4.29982E-8. Dit betekent 0,0000000429982. Bij E-8 moet de komma 8 plaatsen naar links.
Het getal 48357 wordt in wetenschappelijke notatie weergegeven als 4.8357E4. Je moet dit lezen als 4,8357 ⋅10 4 Het getal 0.000381 wordt in wetenschappelijke notatie weergegeven als 3.81E -4. Je moet dit lezen als 3,81 ⋅10−4 Met i kun je een getal rechtstreeks in de wetenschappelijke notatie invoeren. Het getal 5,83 ⋅10−7 voer je in als 5.83 i -7 Dit is ook handig bij grote getallen. Zo kun je 12,6 miljard invoeren met 12.6 i 9
Opgave 10 Bereken. Schrijf het antwoord in de wetenschappelijke notatie, dus in de vorm a ⋅10 p . Geef a in twee decimalen nauwkeurig: a. 321 c 2,38 ⋅107 × 0,081⋅109 b. 5,318 d 0,86 ⋅106 × 2, 48.107
Opgave 11 Bereken. Rond af op 5 decimalen. a. 0, 7 25 b. 0,318
c 0,65 × 0,349 d (2,1: 7,3) 4
7
Herhaald optellen en herhaald vermenigvuldigen Een hoeveelheid neemt telkens met 13 toe. De beginhoeveelheid is 180. Op de GR gaat dit herhaald optellen als volgt: o Typ de beginhoeveelheid, 180 in en ·. o Tik + 13 en · o Tik ···
Bij herhaald vermenigvuldigen ga je op soortgelijke manier te werk. Wordt een hoeveelheid telkens met 1,06 vermenigvuldigd, dan reken je dit op de Nspire als volgt door. Begin met 750. o Typ de beginhoeveelheid, 750 in en ·. o Tik r 1,06 en · o Tik · · ·
Opgave 12 Een bedrag wordt jaarlijks met 1,045 vermenigvuldigd. Begin met € 2500. Hoeveel is het bedrag a. na 5 jaar c na 13 jaar b. na 10 jaar c na 25 jaar?
Opgave 13 Een bedrag wordt jaarlijks met 0,3 miljoen vermeerderd. Begin met 18,6 miljoen euro.. Hoeveel is het bedrag a. na 18 jaar b na 25 jaar
Opgave 14 Een bedrag wordt jaarlijks door 0,98 gedeeld. Het beginbedrag is € 1750,-. Hoeveel is het bedrag a. na 8 jaar b na 13 jaar
8
Centrum en spreidingsmaten Het berekenen van gemiddelde en standaardafwijking In dit practicum werk je met de volgende tabel. Cijfer 3 4 5 6 freq 1 2 4 8
7 6
8 5
9 3
o Voer deze tabel in in een Lijsten en Spreadsheet scherm. Je ziet “cijfer” als je de kolombreedte aanpast. o Kies b Statistieken, Statistiekberekeningen, Statistieken voor één variabele. o Kies voor Aantal lijsten 1 (dus ·) en geef de gevraagde informatie, de X1 Lijst is de lijst van de cijfers, klik en kies ‘cijfer en de Frequentielijst is de lijst van de frequenties, dus ‘freq. o Geef OK en er wordt gerekend. In de kolommen C en D staat nu statistische informatie.
Hieronder een lijst met de betekenis van de meest gebruikte statistische informatie. Het gemiddelde van de waarnemingsx getallen, in dit geval x = 6, 483 σ x := σ n x De standaardafwijking, in dit geval σ ≈ 1,52 n Het totale aantal waarnemingsgetallen, hier dus totaal 29 cijfers. MinX Het kleinste waarnemingsgetal, het laagste cijfer Q1 X Het eerste kwartiel MedianX De mediaan van de waarnemingsgetallen Q3 X Het derde kwartiel MaxX Het grootste waarnemingsgetal, het hoogste cijfer De breedte van de eerste twee kolommen is aangepast met menukeuze b Acties, Afmetingen aanpassen, Kolombreedte en dan de pijltjestoetsen met een afsluitende ·
9
Opgave 1 Gegeven is de volgende waarnemingstabel. waarnemingsgetal 21 frequentie 8
22 16
23 21
24 13
25 7
26 1
Bereken in één decimaal nauwkeurig het gemiddelde en de standaardafwijking. Geef ook de mediaan en de kwartielen.
Tekenen van een Boxplot Als je de lijsten voorzien van een naam hebt ingevoerd, kun je ook een boxplot op de GR krijgen. Je maakt dan naar Gegevensverwerking en Statistiekpagina (/~ of c en dan het 5e icoontje). Kilk onderin om de variabele cijfer toe te voegen. Dan in het b Ploteigenschappen, Samenvattende Y-lijst toevoegen. Dit zijn de frequenties, dus kies voor freq. Je krijgt dan een histogram te zien. Via het b kies je nu voor Plottype voor Boxplot en klaar. Wanneer je met de muis over de boxplot beweegt krijg je de waarden van de kwartielen, de mediaan en de uitersten te zien. De standaardinstelling is Uitschieters weergeven. Je ziet dan een of meerdere losse punten die sterk afwijken van de overige waarden. Met Ctrl- b kun je snel schakelen tussen Uitschieters boxplot weergeven en Uitschieters boxplot uitbreiden.
10
Omgaan met Formules Formules invoeren en grafieken plotten Open een nieuw document met c Nieuw. Als je het vorige document wil bewaren kies je voor opslaan en moet je het een zinvolle naam geven. Als je het vorige document niet wil opslaan kom je meteen voor de keuze van de zeven mogelijke schermen. Kies eerst voor Rekenmachine toevoegen. Vervolgens open je een tweede scherm via c en een klik op de tweede van de zeven iconen voor de zeven toepassingen. Beweeg de cursor door je vinger over het touchpad te bewegen over de iconen om te zien welke waar voor staat. Kies voor Grafieken, selecteren kan met een klik of met een ·. Je hebt dan het scherm hiernaast. Met /¡ en /¢ pijl naar links/rechts kun je van pagina wisselen, deze zijn aangegeven met de tabbladen 1.1 en 1.2 boven in het scherm). Ook kun je het juiste tabblad met de cursor selecteren. Probeer dit eens uit en zorg dat je weer in het Grafieken scherm terecht komt. We gaan de grafiek van y = x 2 − 4 x + 2 plotten. Daarvoor met je de formule invoeren. Voer achter f1(x)= deze formule in: Xq-4X+2 De grafiek verschijnt na · meteen op het scherm. Soms moet je een verstandige schaalverdeling op de x-as en de y-as kiezen. Dat gaat via b, dan Venster, Vensterinstellingen. Als je een waarde hebt ingetypt kun je naar een volgend invulveld met de e toets of met de pijltoetsen, als je op ENTER drukt verlaat je het Venster-menu. Afspraak: In plaats van “laat de GR de grafiek tekenen” zeggen we kortweg “plot de grafiek”.
Het standaardscherm De instelling met XMin = -10, XMax = 10, YMin = -6,67 en YMax = 6,67 heet de standaardindeling. Het bijbehorende scherm heet het standaardscherm. De GR heeft een optie waarmee je direct het standaardscherm krijgt. Dit gaat als volgt: b Venster, Zoom-Standaard. Als je voor Zoom-Gebruiker kiest gaat het scherm naar de laatste instellingen die je als gebruiker zelf hebt ingevoerd.
11
Met de spoor-cursor y-waarden berekenen Je kunt op meerdere manieren de grafiek onderzoeken. Eén daarvan gaat met b Spoor, Grafiekspoor. Tik dit in en kijk wat er gebeurt als je met de pijltoetsen naar links en naar rechts gaat. Typ nu 3 gevolgd door ENTER. Je ziet dat het punt op de grafiek dat hoort bij x = 3 wordt getekend.
Opgave 1 Bereken de y-coördinaten van het punt van de grafiek bij a x = -1,5 b x=2
c x = 12,5
Ga vervolgens de grafiek met de cursor volgen (Tracen) met b Spoor, Grafiekspoor. Als je in de buurt van het snijpunt met de x-as komt, kleeft de cursor aan het nulpunt en geeft (een benadering) van de coördinaten en “nul” in beeld. Bij het minimum krijg je de tekst “minimum” en de coördinaten van de top van de parabool. Een maximum wordt analoog aangegeven.
Snijpunten van grafieken Ga weer naar het grafiekenscherm en met e kom je op de invoerregel voor het invoeren van de formules van de functies. Teken in hetzelfde assenstelsel ook de grafiek van f 2( x ) = 0.5 x − 1. De parabool en de rechte lijn snijden elkaar twee keer. Een manier om die snijpunten in beeld te krijgen is met b Meetkunde, Punten en lijnen, Snijpunt(en) o Ga met de pijl naar een van beide grafieken (de pijl wordt een handje en de grafiek wordt dikker getekend) en druk x(of op enter). o Ga vervolgens naar de andere grafiek en druk opnieuw x(of op enter). o In beeld verschijnen de coördinaten van beide snijpunten. We gaan onderzoeken wat er gebeurt als we het functievoorschrift van de lijn veranderen. Je kunt de coördinaten verplaatsen. Zet de pijl op de coördinaten en met { pak je de coördinaten vast en deze kun je met de cursor elders op het scherm plaatsen. Dit is handig als de coördinaten boven op elkaar worden weergegeven. Het aantal decimalen kun je ook veranderen. Zet met de cursor de pijl op de coördinaat waarvan je het aantal decimalen wil veranderen. Druk /x en dan kun je met de + het aantal decimalen vergroten en met de - het aantal decimalen verkleinen. Druk op e en daarna op de pijl omhoog zodat je f2 in beeld hebt. Met . kun je de -1 wissen en vervangen door bijvoorbeeld -2.
12
Als je dat gedaan hebt veranderen de coördinaten van de snijpunten in het scherm ook.
Opgave 2 Verander het functie voorschrift van f2 in: f 2( x) = x − 2 . De snijpunten hebben nu gehele coördinaten. Bereken deze coördinaten.
Opgave 3 Hoeveel snijpunten heeft de lijn y = x − 5 met de grafiek van de parabool?
Formules uitzetten Om alleen de grafiek van f1 te zien moet je f2 verbergen. De functie is er nog wel, maar wordt niet meer weergegeven. Dit is iets anders dan Wissen, waarbij je de functie verwijdert. In het menu onder Acties vind je de schakelaar optie Verbergen/Weergeven waarmee je iets dat weergegeven wordt kunt verbergen, maar ook iets dat verborgen is weer kunt weergeven. Ook kun je naar de grafiek van f2 en dan met /b naar het context-afhankelijke menu (vergelijkbaar met de rechtermuisknop in Windows). Hierin kies je voor Verbergen/Weergeven om de grafiek van f2 niet meer te zien. Oefen hiermee en zet de grafiek van f2 uiteindelijk weer op zichtbaar.
Opgave 4 a Plot de grafiek van f 1( x) = 0,5 x3 − 3x 2 + 2 x + 5 met venster [-12,12]x[-12,12]. b Plot ook de grafiek van f 2( x) = −0,5x 4 − 2,7 x3 + 8x − 3 in hetzelfde scherm. c..Hoeveel snijpunten hebben de grafieken van f1 en f2 op dit scherm? d Hoe kun je er zeker van zijn dat er geen andere snijpunten zijn?
Het uiterlijk van grafieken veranderen Wanneer je meerdere grafieken in één scherm hebt worden ze op de CX spontaan in verschillende kleuren weergegeven. Je kunt het uiterlijk van grafieken aanpassen. Je kunt ze dikker maken of als stippel- of streeplijn laten tekenen. Ga hiervoor met de cursor naar de aan te passen grafiek. Kies in het context-afhankelijke menu na /b voor Eigenschappen. Probeer dit uit en maak de grafiek van f2 dikker en gestreept door keuzes te maken met de pijltjestoetsen.
13
De spoor-cursor en functiewaarden Begin een nieuw document met een rekenmachine en een Grafieken scherm. Gegeven is de functie f ( x) = 0,6 x3 − 2,8 x 2 + 6 Je krijgt f(4,5) als volgt. o plot de grafiek van f 1( x) = 0,6 x3 − 2,8x 2 + 6 o kies b Spoor, Grafiekspoor en tik in 4^5 o druk · en je ziet de cursor op het punt (4.5 , 3,975) staan. Dus f(4,5)=3,975 Met nog een keer · worden de coördinaten in het assenstelsel geplakt, zodat je ze bij verder tracen blijft zien. Een alternatieve methode gebruikt het rekenmachinescherm: Je krijgt f(4,5) als volgt. o plot de grafiek van f 1( x) = 0,6 x3 − 2,8x 2 + 6 o ga naar het rekenmachinescherm met /¢ en typ in: f1(4.5) o druk · en je ziet dat f1(4.5)=3.975
Opgave 5 Gegeven is de functie f ( x) = 1,3x 2 + 1,8 x − 3 a. Plot de grafiek op het standaardscherm. b. Bereken f(-5), f(-1,2), f(0,8) en f(8,3) c. Ga na wat er gebeurt als je met de spoor-cursor f(25) berekent. Het standaardvenster kun je snel weer terugzetten met bVenster, Zoom-Standaard d. Bereken in het rekenmachinescherm f(-17), f(51) en f(120)
Tabellen maken Bij de formules f 1( x) = 0,5 x 2 − 3x + 2 en f 2( x) = −2 x 2 + 1,5x + 6 krijg je als volgt tabellen op het scherm. o Voer beide formules in. o Voeg een Lijsten en Spreadsheet scherm toe met c. Typ /T om een functietabel te maken. Je krijgt dan de mogelijkheid om te kiezen voor f1 of f2. Kies eerst voor f1, ga met de cursor een kolom naar rechts en kies daar voor f2. Je krijgt standaard een tabel die begint bij x = 0 en die stapjes van 1 maakt. o De tabel kun je helemaal aanpassen aan wat de situatie van je vraagt. Dit gaat via b Functietabel, Functietabelinstellingen bewerken. Je kunt hier de startwaarde en de stapgrootte aanpassen. Kies Tabelstart = 3 en Tabelstap = 0.5 en bekijk de tabel.
14
Als je Onafhankelijk op Vraag zet, dan kun je in de eerste kolom van de tabel zelf de x-en invullen en worden de bijbehorende functiewaarden berekend.
Opgave 6 Gegeven zijn de functies f 1( x) = 0,5 x 2 − 3x + 2 en f 2( x) = −2 x 2 + 1,5x + 6 a Maak een tabel met startwaarde 4 en stapgrootte 0,03 b Maak een tabel waarin je f1(12,74) en f2(12,68) kunt aflezen. Welke startwaarde en welke stapgrootte heb je gekozen?
Opgave 7 De oplossingen van −0, 2 x 2 + x + 5 = 4 spoor je met de GR eenvoudig op. Dit gaat als volgt. o plot de grafieken van f 1( x) = −0, 2 x 2 + x + 5 en f 2( x) = 4 o bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafieken met b Punten en Lijnen, Snijpunt(en) waarna je de twee grafieken moet selecteren. o De x-coördinaten van de snijpunten zijn de oplossingen van de vergelijking. Bereken de oplossingen van −0, 2 x 2 + x + 5 = 4 in twee decimalen nauwkeurig.
15
Belangrijke punten op grafieken opsporen Niet lineaire formules De formule y1 = 0.9 x 2 − 4 x + 2 is een kwadratische formule. Je voert de formule in door in een Grafieken scherm achter f 1( x) = te tikken ^9Xq-4X+2 De grafiek is een dalparabool. Met behulp van de GR kun je allerlei bijzonderheden van deze parabool te weten komen. Je gaat op dezelfde manier te werk als in de paragraaf Omgaan met Formules.
Het berekenen van y-waarden Bij x = 4.5 hoort y = 2, 225 , dus f 1(4,5) = 2, 225 Kies voor b Spoor, Grafiekspoor en typ 4^5 gevolgd door · Je krijgt dan het scherm zoals hiernaast. De cursor stat op het punt (4.5 , 2.225)
Het maken van een tabel • • • • • •
Kies /~ Lijsten en Spreadsheet toevoegen Tik in /T om een tabel in te voegen Kies f 1 Maak met b Functietabel, Functietabelinstellingen bewerken voor een Tabelstart 0 en Tabelstap 5. Na · krijg je de tabel hieronder.
16
Snijpunten met de x-as De x-coördinaat van het linkersnijpunt van de grafiek van y1 = 0.9 x 2 − 4 x + 2 met de x-as krijg je als volgt: • • •
•
•
Ga naar het grafiekenscherm Kies voor b Spoor, Grafiekspoor Ga met ¡ of ¢ met de cursor naar het linkersnijpunt van de grafiek met de x-as. Zodra je in de buur van dit punt bent, springt de cursor naar dat snijpunt en verschijnt er ‘nul’ op het scherm. Zie het scherm hiernaast. Het linkersnijpunt is dus (0.574 , 0) Het rechtersnijpunt krijg je door nog een aantal keren ¢ te klikken. Merk op dat op het moment dat je over de top gaat de tekst ‘minimum’ in beeld komt. Je krijgt dan (3.87 , 0)n
De grafiek snijdt de x-as in de punten (0.574 , 0) en (3.87 , 0) Wanneer je met de cursor in zo’n bijzopnder punt staat en je drukt · dan worden de coördinaten van het punt in het scherm opgenomen. Wil je meer decimalen zien van een punt, dan ga je met de cursor op dat punt staan en klik je een of meerdere keren de + voor meer of de - voor minder decimalen.
Toppen van grafieken De top van de grafiek krijg je met b Spoor, Grafiekspoor en dan met de pijltjes toetsen de cursor in de buurt van de top brengen. De top van deze parabool is dus het punt (2.22 , -2.44)
Snijpunten van grafieken Voer als tweede functie is: f 2( x) = −0.6 x + 4 . Gebruik de e toets om op de invoerregel te komen. Kies b Punten en Lijnen, Snijpunten. Ga met de cursor naar de grafiek van f1 en klik, daarna naar die van f2 en klik en de coördinaten van de snijpunten worden in het scherm gezet. Soms zijn ze niet goed afleesbaar omdat er grafieken of assen doorheen lopen. Ga met de cursor naar de coördinaten van zo’n punt toe, houdt de klik even vast totdat het handje sluit (en de coördinaten vastpakt). Schuif over de touchpad om deze coördinaten ergens anders neer te zetten.
17
Snijpunten van grafieken met een horizontale lijn Bij het plotten van de grafiek van de lijn y=4 krijg je een horizontale lijn. De grafiek van y = 3 is de horizontale lijn op hoogte 3 Hiernaast zie je de grafiek van y1 = −0.3x 2 + 2 x + 2 . Het antwoord op de vraag “Voor welke x is y1 = 4 ?” krijg je als volgt. • Voer in f 1( x) = −0.3x 2 + 2 x + 2 en f 2( x) = 4 op een grafiekenscherm • Bereken de x-coördinaten van de snijpunten van deze grafieken. Voor het linkersnijpunt krijg je x ≈ 1.225 en voor het rechtersnijpunt x ≈ 5.442 Dus y1 = 4 voor x ≈ 1.225 en voor x ≈ 5.442
De optie Zoom-Passend Bij ingewikkelde functies met derde en vierde machten is het opsporen van een geschikt venster geen eenvoudig karwei. Vaak volgen XMin en XMax uit de gegevens, maar moet je YMin en YMax zelf bepalen. De optie A Zoom-Passend uit het venster menu kan je hierbij helpen. Bij de formule f 1( x) = 0,02 x3 − 1,5 x 2 + 16 x + 800 met x tussen 0 en 70 gaat dat als volgt. o Voer de formule in bij f1(x) o Kies b Venster, Vensterinstellingen en stel daar de XMin op 0 en XMax op 70 in. Kies vervolgens b Venster, Zoom-Passend. De GR geeft dan de grafiek zoals hiernaast. o Zorg eventueel voor rondere getallen bij YMin en YMax bij de Vensterinstellingen. Neem in dit geval bijvoorbeeld YMin = 0 en YMax = 1500. o Je krijgt dan ook de assen in het scherm wat vaak wel overzichtelijk is. Ga met de cursor naar een vrij deel van het scherm, druk even op de klik-pad tot het handje zich sluit. schuif nu over de touch-pad om het assenstelsel wat te verschuiven. Handig als je de grafiek al bijna goed in beeld hebt.
Opgave 1 Gegeven is de formule f 1( x) = x3 − 12 x 2 + 8x + 250 met x tussen -5 en 15. a Plot de grafiek met behulp van Zoom-Passend. Welke YMin en YMax heb je genomen? b De grafiek snijdt de x-as. Bereken de x-coördinaten van dit punt in twee decimalen nauwkeurig. c Voor welke x is f 1( x) = 500 ? Rond af op twee decimalen.
18
Bijzondere punten met Grafiek analyseren-menu Het handige Grafiek Analyseren (b Grafiek Analyseren) gebruik je voor het berekenen van bijzonderheden van een grafiek. Er wordt gevraagd naar welke grafiek, de ondergrens en de bovengrens. Deze geef je aan door er met de cursor heen te gaan en te klikken voor vastlegging. Hieronder enkele schermafdrukken. De functies zijn f 1( x) = x 2 − 4 x + 2 en f 2( x) = x − 2
Overbodige vragen, zoals welke grafiek als er maar één is, van welke grafieken het snijpunt als je maar twee grafieken hebt, worden niet gesteld.
19
De normale verdeling De oppervlakte van een gebied onder een normaalkromme De oppervlakte van het gebied onder de normaalkromme hiernaast tussen 28,5 en 34,2 is normCdf(28.5,34.2,32,4) Je berekent deze oppervlakte als volgt met de GR. Kies op een Rekenmachinescherm b Kansen, Verdelingen, Normal Cdf. Een wizard vraagt naar Ondergrens, Bovengrens, gemiddelde µ en standaardafwijking σ . Je kunt ook via de catalogus k NormCdf kiezen of gewoon normcdf(28.5,34.2,32,4) intypen. In dit laatste geval maakt TI-Nspire maakt automatisch van “c” een hoofdletter. De algemene syntax is normCdf (l , r , µ , σ )
Opgave 1 Bereken in 3 decimalen de oppervlakte van de aangeduide gebieden onder de normaalkrommen hieronder.
20
De grens berekenen bij een gegeven oppervlakte onder een normaalkromme In de figuur hiernaast is de oppervlakte van een gebied onder de normaalkromme links van a gelijk aan 0,218. Dus a = invNorm(0.218,32,4) invNorm krijg je met b Kansen, Verdelingen, Inverse-normaal. Een wizard vraagt de in te voeren waarden voor oppervlakte, gemiddelde µ en standaardafwijking σ . Dus a ≈ 28,9 Je kunt invNorm natuurlijk ook met de catalogus en door intypen krijgen.
Opgave 2 Zie de figuur hiernaast. Bereken a in twee decimalen nauwkeurig.
nSolve met normCdf Als je de oplossing wilt vinden van normcdf(23,1099,28,x)=0,83 krijg je geen oplossingen met nSolve(normcdf(23,1099,28,x)=0,83,x). Wel als je een redelijke hint voor een oplossing meegeeft, hiernaast x=20 of de beperking die er voor de x geldt, hier moet x > 0 zijn. Het is natuurlijk lastig als je maar moet proberen en misschien zo een oplossing kunt vinden. Je kunt de vergelijking ook oplossen door de grafieken van linker en rechterdeel van de vergelijking te plotten. Bepaal het snijpunt met Grafiek Analyseren. Je kunt nu het snijpunt van de grafieken bepalen. Nu weet je dat de gezochte σ = 5, 24
21
De binomiale verdeling Binomiale kansen Bij een binomiaal kansexperiment met n = 8 en p = 0,4 is P(X=3) = binomPdf(8,0.4,3) Algemeen dus P(X=k) = binomPdf(n,p,k) Je berekent deze kans op een Rekenmachinescherm als volgt. Kies b Kansen, Verdelingen, Binomiale Pdf. Je krijgt het scherm hiernaast te zien en kunt dan n, p en k invullen. Let op met e ga je naar een volgend invoervak, met · sluit je af. Je kunt ook zelf intypen: binompdf(8,.4,3). Merk op dat TI-Nspire zelf de functie binomPdf herkent en er een hoofdletter P van maakt.
Opgave 1 Bij een binomiaal kansexperiment is n = 18 en p = 0,38. X is het aantal keren succes. Bereken in drie decimalen de volgende kansen: a P ( X = 8) b P( X = 4) c P( X = 3) + P( X = 4) d 1 − P( X = 0)
Cumulatieve binomiale kansen Bij een binomiaal kansexperiment met n = 8 en p = 0,4 is P(X ≤ 3) = binomCdf(8,0.4,3) Algemeen dus P( X ≤ k ) = binomCdf(n,p,k) Je ziet dat P( X ≤ 3) = binomCdf (8, 0.4,3) = 0.594 De letters p, d en f komen van probability density function. De letters c, d en f van cumulative density function. Kies b Kansen, Verdelingen, Binomiale Cdf. Je krijgt weer een scherm waar je n, p en de bovengrens k kunt invullen. Let op met e ga je naar een volgend invoervak, met · sluit je af. Met de wizard kun je ook kansen uitrekenen van het type P(O ≤ X ≤ B) = binomCdf (n, p, O, B)
22
O staat voor Ondergrens en B voor Bovengrens. Hiernaast zie je binomCdf(8,0.4,4,6)= P(4 ≤ X ≤ 6) = P( X = 4) + P( X = 5) + P( X = 6) De grenzen Ondergrens en Bovengrens zijn dus inclusief.
Opgave 2 Bij een binomiaal kansexperiment is n = 18 en p = 0,38. X is het aantal keren succes. Bereken in drie decimalen de volgende kansen: a P ( X ≤ 6) b 1 − P( X ≤ 5) c P ( X ≤ 3) d P( X ≤ 6) − P( X ≤ 2) e P(3 ≤ X ≤ 6)
nSolve met binomPdf en binomCdf Een onbekende p Je komt natuurlijk ook wel eens een probleem tegen waarbij je de waarde van één van de parameters moet bepalen. Bijvoorbeeld: bepaal voor welke kans p geldt dat binomCdf(20,p,0,5)=0,45 Je hoopt dan met nSolve(binomCdf(20,p,0,5)=0,45,p) snel een oplossing te vinden. Helaas. De nSolve probeert de p te vinden en probeert ook een negatieve waarde van p. Dat valt buiten het domein van de binomCdf. Het helpt als je een startwaarde meegeeft aan de nSolve. Hier p=0,5. Waarom eigenlijk juist deze startwaarde? Een onbekende n Bepaal hoe vaak je moet gooien met twee dobbelstenen opdat de kans op minstens 3 keer ‘dubbelzes’ groter is dan 0,99. Het vinden van een n zodat binomCdf(n,1/36,3,n)>0,99 gaat helemaal niet met nSolve omdat de n in binomCd( een geheel getal moet zijn en de nSolve methode met kommagetallen werkt. Ook grafieken bieden daarom geen oplossing. Je moet gebruik maken van een tabel. Definieer de functie f(x)= binomCdf(x,1/36,3,x) in een grafiekenscherm of in een rekenmachine scherm met b Acties, Define en maak op een Lijsten en Spreadsheet pagina met /T een tabel. De foutmelding op de eerste regel komt omdat in binomCdf(x,1/36,3,x) met x=0 de rechtergrens kleiner is dan de linker. Niet van schrikken dus. Een tijdje naar beneden in de tabel leert dat je daarvoor dus minstens 300 keer moet gooien. 23
Allerlei tips & trucs Standaardinstellingen Sommige problemen in de weergave op het scherm kunnen veroorzaakt zijn door wijzigingen in de document en/of systeeminstellingen. Deze kun je terugzetten op de standaardinstellingen via c Instellingen, Documentinstellingen en dan kiezen voor Herstel. Je krijgt een waarschuwing dat een en ander op de fabrieksinstellingen wordt teruggezet. Let op dat standaard de hoekinstelling radialen is. Dit herhaal je op een grafiekenscherm met de grafiekinstellingen bij b Instellingen. Een prettig werkende set van instellingen is hiernaast aangegeven. Met de knop Standaard worden alle toekomstige documenten op deze wijze ingesteld. Het Scratchpad werkt altijd met de systeeminstellingen. Dit kan dus anders zijn dan de documentinstellingen.
Resetten Als de GR niet meer lijkt te werken helpt een volledige reset. Hiervoor zit een knopje achterop de rekenmachine. Je moet weer je taal kiezen en de grootte van het lettertype. De instellingen zijn weer op de standaard fabrieksinstellingen teruggezet. Je bestanden blijven behouden.
Roosterlijnen Je kunt met b Beeld, Raster, Raster met lijnen roosterlijntjes laten tekenen. De plaats van de lijntjes wordt bepaald door de Xschaal die je in kunt stellen bij de Vensterinstellingen
Control b Van Windows ken je vast wel wat handige toetsencombinaties. Vele daarvan weken ook op de Nspire: Ctrl-C, Ctrl-X en Ctrl-V voor kopiëren, knippen en plakken, Ctrl-S voor opslaan en een handige is Ctrl- b voor de “rechter-muis-klik” waarbij een contextafhankelijk menu geopend wordt.
Foutmeldingen Over het algemeen is bij een foutmelding wel duidelijk wat verbeterd moet worden. Veel voorkomende fouten zijn: • verkeerd minteken • x-waarden die kleiner dan XMin of groter dan XMax zijn • delen door 0 • XMax die kleiner is dan XMin • wortel uit een negatief getal • lijsten die niet even lang zijn
24
Te weinig contrast Het lijkt alsof de GR uit blijft als je hem aanzet. Dit kan komen door te weinig contrast. Dit kun je bijstellen door een paar keer /+ te geven.
Afronden op de GR Bij de instelling van het aantal decimalen kun je kiezen uit Drijvend en Vast. Het getal 0,03 wordt bij Drijvend4 weergegeven als 0.03 en bij Vast4 als 0.0300
Het gebruik van lettergeheugens Je kunt een getal opslaan in een geheugen. daarvoor zijn de letters A, B, … beschikbaar. Ook kun je gebruik maken van meerletter geheugens zoals “links”, “rechts”,”freq”. Hiervoor is de functie STO ¢ die je met /h krijgt. Hiernaast zie je dat de waarde 3 in geheugen a geplaatst is, de waarde 5 in geheugen b. Vraag je ab op dan krijg je een foutmelding. Bij a ⋅ b krijg je de uitkomst 15.
De catalogus Met k krijg je de catalogus. Hierin staan alle voorgeprogrammeerde functies van Nspire vermeld met hun syntax. Weet je bijvoorbeeld niet meer wat er nu achter normCdf( ingevuld moest worden, dan kun je hier zien dat ondergrens en bovengrens verplicht zijn en daarachter µ en σ ingevuld kunnen worden maar niet verplicht zijn. Als je µ en σ niet invult rekent Nspire met de standaardwaardes µ = 0 en σ =1. De argumenten tussen teksthaken [] zijn facultatief. Als hier niets wordt ingevuld neemt de GR de standaardwaarden.
De optie nSolve Met de optie nSolve kunnen vergelijkingen numeriek worden opgelost. De werking van deze optie wordt toegelicht aan de hand van een voorbeeld. Bij de exponentiële functie y = 16,7 ⋅1,034 x wordt gevraagd bij welke x de uitkomst y = 25 . Dit kan met de GR met behulp van de opdracht nSolve. (b Algebra, Numerieke oplossing of gewoon zelf nsolve( intypen) Tussen haakjes komt de formule met achter de komma de variabele die je opgelost wilt hebben, hier dus de x. Heeft een vergelijking meerdere oplossingen, dan geeft de GR maar één van die oplossingen.
Het is meestal handiger om eerst een grafiek te tekenen voor een eerste idee over het aantal oplossingen en als je de grafiek hebt kun je daar het snijpunt (de snijpunten) laten berekenen en heb je ook de oplossing(en) van de vergelijking. Wanneer je geen idee waar je een oplossing zou kunnen vinden dan ben je na nSolve al wel een stap in de goede richting.
26
