Grupy Mgr. Růžena Holubová 2010

Grupy

Mgr. Růžena Holubová

2010

1. Úvod Cílem této práce je přehledně zpracovat elementární teorii algebraických struktur s jednou operací se zaměřením na teorii grup a sestavit sbírku řešených úloh, proto je práce členěna na teoretickou část a sbírku řešených příkladů. Teoretická část obsahuje celkem sedm kapitol: Algebraické struktury s jednou operací, Základní vlastnosti grup, Cyklické grupy, Rozklady podle podgrupy, Permutační grupy, Grupy symetrií a Homomorfismy grup. Při zpracování teorie jsem čerpala nejvíce z Algebry a teoretické aritmetiky I., II. díl. Jaroslava Blaţka a z Algebry Ladislava Procházky. Sbírka příkladů je členěna na devět kapitol. Prvních sedm koresponduje s kapitolami teoretické části, osmou kapitolu představují konečné grupy, kterým jsem nechtěla v rámci teorie vyčleňovat samostatnou kapitolu. První aţ osmá kapitola je dále dělena do dvou podkapitol, na Řešené příklady a Příklady k procvičení. Poslední, tj. devátá kapitola, obsahuje výsledky neřešených příkladů. Při zpracování sbírky jsem vycházela zejména z těchto zdrojů: Pavel Horák: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky; Vít Musil: Grupy – Sbírka příkladů, bakalářská práce. Příklady, jejichţ řešení jsem převzala, jsou označeny ( ).

2

2. Teoretická část 2. 1. Algebraické struktury s jednou operací Definice 1. 1. Nechť M ,n . Zobrazení F kartézské mocniny M n do mnoţiny M se nazývá n-ární operace (nebo téţ operace četnosti n) v mnoţině M. Je-li n-tice (a1, a2,…, an) M n libovolná, pak prvek b M, který je obrazem (a1, a2,…, an) v zobrazení F, se nazývá výsledek operace F (aplikované na prvky a1, a2,…, an, tzv. operandy, v tomto pořadí) a značí se b = F(a1, a2,…, an). Poznámka: 1) Je-li F zobrazení z M n do M, F , nazývá se parciální (částečnou) operací v M. (Operace v M se někdy nazývá úplná.) 2) Nechť X M. Řekneme, ţe mnoţina X je uzavřená vzhledem k operaci F, právě kdyţ pro libovolné prvky a1, a2,…, an X je F(a1, a2,…, an) X. 3) Pro n = 3 … ternární operace … F: M x M x M → M Pro n = 2 … binární operace … F: M x M → M Pro n = 1 … unární operace … F: M → M, tj. unární operace je transformace mnoţiny M Pro n = 0 … nulární operace … F: M 0 → M; M 0 { }, tedy nulární operace nemá ţádné operandy a jejím výsledkem je prvek mnoţiny M Zápis: V případě binární operace se obvykle výsledek operace F aplikované na prvky a, b zapisuje jako b = a1Fa2 místo b = F(a1, a2). Píšeme tedy například b = a1 a2, b = a1 ○ a2, b = a1 a2, b = a1 + a2, b = a1 a2, b = a1 a2, b = a1 a2, b = a1 a2, apod. V dalším, pokud nebude řečeno jinak, budeme operací rozumět binární operaci. Příklad:  Sčítání, násobení v jsou operace v .  Odčítání v dělení v nejsou operace v těchto mnoţinách.  Průnik, sjednocení, rozdíl mnoţin jsou operace v potenci P(M), M . 2  Je-li předpis „○“ definovaný takto: ( x, y ) x ○ y = x – y , pak „○“ je operace v . Je-li M konečná mnoţina, lze operaci v M zadat tzv. Cayleyho tabulkou (tabulkou operace). V tabulce jsou ve svislém i vodorovném záhlaví zapsány ve stejném pořadí prvky mnoţiny M. Do průsečíku řádku odpovídajícího prvku x M a sloupce odpovídajícího prvku y M je zapsán výsledek operace pro uspořádanou dvojici (x, y) M 2. Příklad: Nechť M = {m, n, p, q}, „○“ je operace v M definovaná Cayleyho tabulkou: ○ m n p q

m m m m m

n q n p n

p q n n mq q n p p

Z tabulky pak dostáváme:  m○m=n○m=p○m=q○m=n○p=m  m○p=m○q=p○q=q○n=n  p○n=q○p=q○q=p  m ○ n = n ○ q = p ○ p = q. 3

Zvýrazněna hlavní diagonála tabulky (= soubor polí, v nichţ se protínají sloupce a řádky označené stejnými symboly). Poznámka: Z Cayleyho tabulky snadno poznáme, zda se jedná o operaci: všechna pole tabulky musí být obsazena, a to pouze prvky z dané mnoţiny. Jsou-li některá pole prázdná, jde o parciální operaci. Definice 1. 2. Nechť M . Uspořádaná dvojice (M, Ω), kde Ω je libovolná neprázdná mnoţina operací (i různých četností) definovaných v M, se nazývá algebraická struktura (stručněji struktura). Mnoţina M se nazývá nosič algebraické struktury (M, Ω). Poznámka: 1) Pokud je zřejmé, jakou mnoţinu operací Ω uvaţujeme, můţeme zkráceně strukturu (M, Ω) vyjádřit jako M. 2) (M, )…obecný zápis algebraické struktury s jednou (binární) operací (M, +)…aditivní zápis (pro a, b M píšeme a + b a mluvíme o součtu prvků a, b) (M, )…multiplikativní zápis (symbol „ “ se obvykle vynechává, tedy pro a, b M píšeme ab místo a b a mluvíme o součinu prvků a, b) Definice 1. 3. Struktura (M, ) se nazývá asociativní, právě kdyţ platí: ( x, y, z M) (x y) z = x (y z). Definice 1. 4. Struktura (M, ) se nazývá komutativní, právě kdyţ platí: ( x, y M) x y = y x. Definice 1. 5. Struktura (M, ) se nazývá struktura s neutrálním prvkem, právě kdyţ platí: ( x M) ( y M) x y = y x = y. Prvek x se pak nazývá neutrální prvek struktury (M, ). Poznámka: 1) V (M, ) se neutrální prvek obvykle značí e, resp. n. 2) V (M, ) se neutrální prvek obvykle značí symbolem 1 a nazývá se jednotkový prvek, v (M, +) symbolem 0 a nazývá se nulový prvek. Lemma 1. 1. Kaţdá struktura (M, ) má nejvýše jeden neutrální prvek. Důkaz: - Jestliţe (M, ) není struktura s neutrálním prvkem, lemma platí. - Předpokládejme, ţe v (M, ) existují dva neutrální prvky, např. e1, e2. Pak pro kaţdé x M platí e1 x = x e1 = x a současně e2 x = x e2 = x. Tedy e1 e2 = e2 e1 = e2 a zároveň e2 e1 = e1 e2 = e1, takţe e1 = e2. □ Definice 1. 6. Prvek g M se nazývá agresivní (anihilující) prvek v (M, ), právě kdyţ platí: ( x M) x g = g x = g. Poznámka: V (M, ) se agresivní prvek značí symbolem 0 a nazývá se nulový prvek, tedy stejně jako neutrální prvek v (M, +).

4

Definice 1. 7. Prvek a M se nazývá idempotentní prvek čili idempotent struktury (M, ), právě kdyţ platí a a = a. Struktura (M, ) se nazývá idempotentní, právě kdyţ kaţdý její prvek je idempotent. Definice 1. 8. Struktura (M, ) se nazývá struktura s inverzními prvky, právě kdyţ (M, ) je struktura s neutrálním prvkem e a platí: ( x M) ( y M) x y = y x = e. Prvek y se pak nazývá inverzní prvek k prvku x. Prvek x se nazývá invertibilní, právě kdyţ k němu existuje aspoň jeden inverzní prvek. Zápis: Je-li prvek y inverzní k prvku x v obecně zadané struktuře (M, ), pak píšeme y = . V případě aditivního zápisu (M, +) píšeme y = x a prvek y nazýváme opačný prvek k x (pro a, b M píšeme místo a + ( b) pouze a – b). V případě multiplikativního zápisu (M, ) píšeme y = x–1 (pro a, b–1 M píšeme obvykle místo ab–1 také ). Lemma 1. 2. Je-li (M, ) asociativní struktura s inverzními prvky, pak v (M, ) existuje ke kaţdému prvku právě jeden prvek inverzní. Důkaz: Předpokládejme, ţe k libovolnému prvku x M existují dva inverzní prvky, např. y1, y2. Pak platí rovnost x y1 = y1 x = e a zároveň x y2 = y2 x = e. Tedy (y1 x) y2 = e y2 = y2 a také (y1 x) y2 = y1 (x y2) = y1 e = y1. Odtud dostáváme y1 = y2. □ Definice 1. 9. Struktura (M, ) se nazývá struktura s krácením, právě kdyţ platí: ( x, y, z M) x z = y z x=y z x=z y x = y. Pak říkáme, ţe v (M, ) lze krátit prvkem z. Definice 1. 10. 1) Struktura (M, ) se nazývá struktura s dělením, právě kdyţ platí: ( x, y M) ( z, z´ M) x z = y z´ x = y. Pak říkáme, ţe struktura (M, ) má vlastnost řešitelnosti základních rovnic. 2) Struktura (M, ) se nazývá struktura s jednoznačným dělením, právě kdyţ platí: ( x, y M) ( z, z´ M) x z = y z´ x = y. Lemma 1. 3. Je-li s krácením. Důkaz: - Jsou-li x, y, z - Nechť x, y, z verzní prvek x (z ) = y - Pro z x = z

(M,

) asociativní struktura s inverzními prvky, pak je strukturou

M libovolné takové prvky, ţe x z y z, lemma platí. M libovolné takové, ţe x z = y z. Protoţe z M, tak existuje inM a platí (x z) = (y z) . Díky asociativnosti dostáváme (z ), takţe x e = y e, a tedy x = y. y analogicky. □

5

Lemma 1. 4. Jeli (M, ) struktura s krácením a s dělením, pak je téţ s jednoznačným dělením. Důkaz: Nechť x, y M libovolné. Pak existují prvky z, z´ M tak, ţe x z = y a současně z´ x = y. - Předpokládejme, ţe existují z1, z2 M takové, ţe x z1 = y a zároveň x z2 = y. Pak x z1 = x z2, a tedy z1 = z2. - Pro z´ x = y analogicky. □ Lemma 1. 5. Je-li (M, ) asociativní struktura s inverzními prvky, pak je strukturou s jednoznačným dělením. Důkaz: (M, ) je asociativní struktura s inverzními prvky, proto je podle lemmatu 1. 3. s krácením, a tedy podle lemmatu 1. 4. stačí dokázat, ţe je strukturou s dělením. -

-

Nechť x, y M libovolné a předpokládejme, ţe existuje z M tak, ţe x z = y. Protoţe x M, tak existuje inverzní prvek M a platí (x z) = y. Dále díky asociativnosti můţeme psát ( x) z = y, tedy e z = y, odkud z = y M. Platí, ţe x z = x ( y) = (x ) y = e y = y. Tedy lemma platí. Pro z´ x = y analogicky. □

Je-li M konečná mnoţina a operace „ “ zadaná Cayleyho tabulkou, pak z tabulky poznáme, ţe struktura (M, ) je  komutativní, právě kdyţ je tabulka souměrná podle hlavní diagonály;  s neutrálním prvkem e, právě kdyţ v tabulce existuje sloupec stejný jako svislé záhlaví a řádek stejný jako vodorovné záhlaví a sloupec i řádek jsou označeny symbolem e;  s inverzními prvky, právě kdyţ tabulka obsahuje skupinu polí takovou, ţe  v kaţdém řádku a v kaţdém sloupci tabulky je aspoň jedno pole z této skupiny  kaţdé pole je označeno symbolem pro neutrální prvek  pole jsou souměrná podle hlavní diagonály;  s krácením, právě kdyţ se v kaţdém řádku a v kaţdém sloupci tabulky kaţdý prvek z M vyskytuje nejvýše jednou;  s dělením (jednoznačným dělením), právě kdyţ se v kaţdém řádku a v kaţdém sloupci tabulky kaţdý prvek z M vyskytuje aspoň jednou (právě jednou). Poznámka: Asociativnost struktury (M, ) z tabulky nepoznáme. V případě, ţe mnoţina M má n prvků, musíme ověřit n3 definičních vztahů (x y) z = x (y z) pro kaţdé x, y, z M. Je-li však (M, ) struktura s neutrálním, resp. agresivním prvkem, pak uspořádaná trojice (x, y, z), v níţ je alespoň jedna ze sloţek neutrální, resp. agresivní prvek, splňuje asociativnost operace „ “. Příklad: Určíme vlastnosti struktury (M, ), kde M = {a, b, c, d}, operace „ “ je zadaná Cayleyho tabulkou: * a b c d

a a b c d

b b c d a

c c d a b

d d a b c

 M je uzavřená vzhledem k „ “.  (M, ) je komutativní, s neutrálním prvkem a, s inverzními prvky: = a, = d, = c, = b.  (M, ) je s krácením a s (jednoznačným) dělením.

Definice 1. 11. Nechť M

. Je-li „ “ operace v M, pak struktura (M, ) se nazývá grupoid. 6

Poznámka: Je-li (M, ) grupoid a na mnoţině M definujeme operaci „○“ předpisem a ○ b = b a pro všechna a, b M, získáme grupoid (M, ○), který se nazývá opačný grupoid ke grupoidu (M, ) a značí se (M op, ). Tyto grupoidy jsou totoţné, právě kdyţ grupoid (M, ) je komutativní. Definice 1. 12. Struktura (M, ) se nazývá asociativní grupoid neboli pologrupa, právě kdyţ (M, ) je asociativní struktura. Je-li navíc komutativní nebo s neutrálním prvkem či s krácením atd., hovoříme o komutativní pologrupě nebo o pologrupě s neutrálním prvkem či s krácením atd. Pologrupa s neutrálním prvkem se nazývá monoid. Lemma 1. 6. Nechť (M, ) je komutativní pologrupa. Pak libovolné výrazy v (M, ), které se liší pouze uzávorkováním nebo pořadím činitelů, jsou si rovny. Poznámka: Díky lemmatu 1. 6. můţeme v komutativní pologrupě psát: {[(a b) (c b)] (a c)} [(b b) (c a)] = a a a b b b b c c c. 1 

+ Je-li (M, ) pologrupa, a M libovolný prvek, n , pak definujeme prvek a*n formulí: a*n = a a … a (n-krát) a nazýváme jej zobecněná mocnina. V případě multiplikativního a aditivního zápisu máme: an = a a … a, jedná se o mocninu, n a = a + a +…+ a, mluvíme o přirozeném násobku.



Ze způsobu zavedení zobecněné mocniny plynou tyto vztahy: ( a M) a*1 = a, + ( a M) ( n ) a*(n + 1) = a*n a. V případě multiplikativního a aditivního zápisu dostáváme: a1 = a, an + 1 = an a; 1 a = a, (n + 1) a = (n a) + a.



+ Je-li m, n , pak zřejmě ( a M) a*m a*n = a*(m + n) = a*n a*m. V případě multiplikativního a aditivního zápisu píšeme: aman = am + n = anam, (m a) + (n a) = (m + n) a = (n a) + (m a).



Je-li (M, ) monoid s neutrálním prvkem e, pak definujeme a*0 tak, ţe a*0 = e, a M. Je-li (M, ) monoid s jednotkovým prvkem, pak a0 = 1; pro monoid (M, +) s nulovým prvkem píšeme 0 a = 0.

M

Definice 1. 13. Grupoid, který je současně s krácením i s dělením, se nazývá kvazigrupa. Kvazigrupa s neutrálním prvkem se nazývá lupa. Definice 1. 14. Struktura (M, ) se nazývá grupa, právě kdyţ je asociativní, s neutrálním prvkem a s inverzními prvky. Je-li (M, ) navíc komutativní, nazývá se komutativní (nebo téţ Abelova, abelovská) grupa. 7

Poznámka: 1) Tedy grupa je monoid, jehoţ kaţdý prvek je invertibilní. 2) Někdy se grupa definuje jako asociativní kvazigrupa (tj. pologrupa s krácením a s dělením). 3) Jestliţe (M, ) je grupa, potom i opačný grupoid (M op, ) je grupa. Příklad:  ( , +)…komutativní monoid s krácením, ( , +)…abelovská grupa  ( , ), ( , )…komutativní monoid  Nechť M = , , K (M, +)…abelovská grupa (M, )…komutativní monoid (M – {0}, )…abelovská grupa (M – {0} se také značí M *) 

Uvaţujme mnoţinu zbytkových tříd modulo m, tj. mnoţinu: , }, kde m = { , , , …, = {x ; x = mk + i, 0 i m, k ,m , m 1}. V mnoţině m lze definovat operace „ “, „ “: 1) Předpisem, a to dvěma různými způsoby: a) ( , = ; je-li x + y m, pak z = x + y m) je-li x + y m, pak z = x + y – m = ; je-li xy m, pak z = xy je-li xy m, pak z = xy – mq, q b) ( , = ; = . m) Dá se dokázat, ţe takto zavedené operace nezávisí na volbě reprezentantů (viz příklad 1. 1. 13 a)). Poznámka: Operace sčítání a násobení v jsou asociativní a komutativní, proto také operace „ “, „ “ v m jsou asociativní a komutativní (viz příklad 1. 1. 13 b)). 2) Tabulkou: Uvaţujme např. mnoţinu

6

= { , , , , , }.

 ( 6, )…abelovská grupa (s neutrálním prvkem )  ( 6, )…komutativní monoid (s neutrálním prvkem )  ( m ) m 1 je ( m, ) abelovská grupa a ( m, ) komutativní monoid. 8

Poznámka: ( 6 – { }, ) = ( 6*, )…není algebraická struktura ( p*, ), kde p je prvočíslo…abelovská grupa Definice 1. 15. Nechť (G, ), (H, ○) jsou struktury. Pak (H, ○) se nazývá podstruktura struktury (G, ), právě kdyţ platí: 1) H G, 2) operace „○“ je restrikcí operace „ “ na mnoţinu H (tj. ( x, y H) x ○ y = x y). Poznámka: 1) Restrikci i původní operaci můţeme značit stejným symbolem. 2) Jestliţe nějaká vlastnost struktury platí i pro její podstrukturu, pak říkáme, ţe je to dědičná vlastnost (např. komutativnost, asociativnost). 3) Jestliţe (G, ) či (H, ○) je grupa nebo pologrupa, hovoříme o podgrupě grupy či pologrupy nebo o podpologrupě grupy či pologrupy. Definice 1. 16. Nechť (G, ), (H, ○) jsou struktury. Zobrazení F mnoţiny G do mnoţiny H se nazývá homomorfní zobrazení (homomorfismus), právě kdyţ platí: ( x, y G) F(x y) = F(x) ○ F(y) (tzv. podmínka homomorfismu). Je-li F homomorfismus struktury (G, ) na strukturu (H, ○), pak se struktura (H, ○) nazývá homomorfní obraz struktury (G, ). Je-li F navíc bijekce, pak říkáme, ţe F je izomorfní zobrazení (izomorfismus) a struktura (H, ○) se nazývá izomorfní obraz struktury (G, ). Poznámka: 1) Sloţením dvou homomorfismů je opět homomorfismus. 2) Je-li F izomorfismus struktury (G, ) na strukturu (H, ○), pak F–1 je izomorfismus (H, ○) na (G, ). Říkáme, ţe struktury (G, ), (H, ○) jsou navzájem izomorfní a píšeme (G, ) (H, ○). Definice 1. 17. Nechť (G, ), (H, ○) jsou struktury. Řekneme, ţe strukturu (H, ○) lze izomorfně vnořit do struktury (G, ), právě kdyţ existuje podstruktura (G´, ) struktury (G, ) tak, ţe (H, ○) (G´, ). Píšeme: (H, ○) (G, ). Věta 1. 7. Nechť (H, ○) je homomorfní obraz struktury (G, ) při homomorfismu F. Pak platí: 1) Je-li (G, ) asociativní struktura, je i (H, ○) asociativní struktura. 2) Je-li (G, ) komutativní struktura, je i (H, ○) komutativní struktura. 3) Je-li (G, ) struktura s neutrálním prvkem eG, je i (H, ○) struktura s neutrálním prvkem eH a platí rovnost eH = F(eG). 4) Jsou-li (G, ), (H, ○) struktury s neutrálním prvkem a jsou-li prvky p, navzájem inverzní v (G, ), pak prvky F(p), F( ) jsou inverzními prvky v (H, ○) a platí: = F( ). Důkaz: 1) Nechť x, y, z H libovolné. Pak existují prvky x1, y1, z1 G takové, ţe F(x1) = x, F(y1) = y, F(z1) = z. Tedy (x ○ y) ○ z = (F(x1) ○ F(y1)) ○ F(z1) = F(x1 y1) ○ F(z1) = = F((x1 y1) z1) = F(x1 (y1 z1)) = F(x1) ○ F(y1 z1) = F(x1) ○ (F(y1) ○ F(z1)) = = x ○ (y ○ z). 9

2) Nechť x, y H libovolné. Potom existují prvky x1, y1 G tak, ţe F(x1) = x, F(y1) = y. Tedy x ○ y = F(x1) ○ F(y1) = F(x1 y1) = F(y1 x1) = F(y1) ○ F(x1) = y ○ x. 3) Nechť eG G je neutrální prvek struktury (G, ). Pak existuje F(eG) = eH H. Musíme dokázat, ţe eH je neutrální prvek struktury (H, ○). Je-li x H libovolné, existuje x1 G tak, ţe F(x1) = x. Potom x ○ eH = F(x1) ○ F(eG) = F(x1 eG) = F(x1) = x a současně eH ○ x = F(eG) ○ F(x1) = F(eG x1) = F(x1) = x. Tedy eH = F(eG) je neutrální prvek struktury (H, ○). 4) Nechť prvky p, G jsou navzájem inverzní v (G, ). Pak existují F(p), F( ) H; F(p) ○ F( ) = F(p ) = F(eG) = eH a zároveň F( ) ○ F(p) = F( p) = F(eG) = eH. Tedy = F( ). □ Důsledek věty 1. 7. Nechť (G, ) je (abelovská) grupa. Pak její homomorfní, resp. izomorfní obraz je také (abelovská) grupa. Poznámka: 1) Navzájem izomorfní struktury se, z algebraického hlediska, liší pouze označením prvků, resp. operací. Proto říkáme, ţe jsou aţ na izomorfismus totoţné. 2) Injektivní homomorfismus se nazývá monomorfismus, surjektivní homomorfismus se nazývá epimorfismus. 3) Homomorfismus struktury do sebe se nazývá endomorfismus, izomorfismus struktury na sebe se nazývá automorfismus. Příklad: Uvaţujme zobrazení F definované předpisem: 1) F: ( +, ) ( , +) + ( x ) F(x) = log x 2) F: ( , +) ( , +) ( x ) F(x) = 2x – 2 Ověříme, zda se jedná o homomorfismus, příp. izomorfismus: ad 1)  F je bijekce +  ( x, y ) F(x y) = log (x y) = log x + log y = F(x) + F(y) Tedy F je izomorfismus, tj. ( ad 2)  ( x, y Tedy F(x + y)

+

, )

( , +).

) F(x + y) = 2(x + y) – 2 = 2x + 2y – 2 F(x) + F(y) = 2x – 2 + 2y – 2 = 2x + 2y – 4 F(x) + F(y), tj. F není homomorfismus.

10

2. 2. Základní vlastnosti grup V dalším, pokud nebude řečeno jinak, budeme uţívat multiplikativní zápis grup, tj. budeme uvaţovat grupy (G, ) s jednotkovým prvkem 1, inverzní prvek k prvku x grupy G budeme značit x–1. Věta 2. 1. Nechť (G, ) je grupa. Pak platí: 1) (G, ) je struktura s krácením. 2) (G, ) je struktura s jednoznačným dělením. 3) ( x G) (x–1)–1 = x. 4) ( x, y G) (xy)–1 = y–1x–1. 5) Jsou-li x, y G takové, ţe xy = y nebo yx = y, je x jednotkový prvek v (G, ). Důkaz: 1), 2) Plyne ihned z lemmat 1. 3., 1. 5. 3) Nechť x G je libovolný prvek. Pak existuje prvek x–1 x–1x = xx–1 = 1. To ovšem znamená, ţe (x–1)–1= x.

G tak, ţe xx–1 = x–1x = 1, tedy

4) Má-li být y–1x–1 inverzní prvek k prvku xy, součiny (xy)(y–1x–1), (y–1x–1)(xy) musí být rovny jednotkovému prvku 1 v (G, ). Odvodíme postupně (xy)(y–1x–1) = x(yy–1)x–1 = = (x1)x–1 = xx–1 = 1 a zároveň (y–1x–1)(xy) = y–1(x–1x)y = y–1(1y) = y–1y = 1. Tedy máme (xy)–1 = y–1x–1. 5) Předpokládejme, ţe x, y G jsou libovolné prvky a platí např. xy = y. Pak x = x1 = = x(yy–1) = (xy)y–1 = yy–1 = 1, takţe x je jednotkový prvek grupy G. □ Věta 2. 2. Nechť (G, ) je asociativní struktura. Pak (G, ) je grupa, právě kdyţ G je struktura s dělením, tj. kdyţ platí: ( x, y G) ( z, z´ G) xz = y z´x = y. Důkaz: „ “: Je-li (G, ) grupa, je dokonce strukturou s jednoznačným dělením (podle věty 2. 1. 2)). „

“: Nechť (G, ) je asociativní struktura s dělením. - Protoţe G , existuje a G a z podmínky dělení plyne existence prvku e G tak, ţe ea = a. Dokáţeme, ţe e je jednotkovým prvkem v G. Nechť tedy b G a nechť y G tak, ţe ay = b. Pak (ea)y = ay, dále díky asociativnosti můţeme psát e(ay) = ay a podle zavedení y dostáváme eb = b. Označme e´ takový prvek z G, pro nějţ ae´ = a (ve struktuře s dělením musí existovat); analogicky předchozímu ukáţeme, ţe be´ = b. Pak platí ee´ = e a současně ee´ = e´ (neboť pro kaţdé b G je be´ = b a také eb = b), tudíţ e = e´. Tedy (G, ) je struktura s jednotkovým prvkem. -

Nechť x G je libovolný prvek. Pak existují prvky y1, y2 G tak, ţe xy1 = e a y2x = e (tj. inverzní prvky k x). Odtud díky asociativnosti dostáváme (y2x)y1 = ey1 = y1 a také y2(xy1) = y2e = y2, proto y1 = y2. Tedy (G, ) je grupa. □

Věta 2. 3. Jediným idempotentním prvkem grupy (G, ) je její jednotkový prvek 1. Důkaz: Plyne ihned z věty 2. 1. 5). □

11

Definice 2. 1. Struktura (H, ◦) se nazývá podgrupa grupy (G, ), právě kdyţ platí: 1) H G, 2) operace „◦“ je restrikcí operace „ “ na mnoţinu H, 3) (H, ◦) je grupa. Poznámka: 1) Kaţdá grupa (G, ) obsahuje dvě tzv. triviální či nevlastní podgrupy: (G, ); ({1}, ) – jednotková podgrupa. 2) Kaţdá podgrupa H grupy G taková, ţe H G, H {1}, se nazývá netriviální či vlastní podgrupa grupy G. 3) Jednotkový prvek grupy (G, ) je zároveň jednotkovým prvkem všech jejích podgrup. Příklad:  Struktury ( , +), ( , +) jsou podgrupami grupy (K, +).  Struktura (S, +), kde S = {x ; x = 2k, k } je podgrupou grupy ( , +). Věta 2. 4. Nechť (G, ) je grupa, H G. Pak (H, ) je podgrupou grupy (G, ), právě kdyţ platí: 1) H , 2) ( x, y H) xy–1 H. Důkaz: „ “: Předpokládejme, ţe (H, ) je podgrupa grupy (G, ). Pak (H, ) je grupa, a tedy H (1 H). Jsou-li x, y libovolné prvky z H, je také y–1 H, a tedy xy–1 H. „

“: Předpokládejme, ţe H G a zároveň platí podmínky 1) a 2). - Protoţe H , existuje x H a podle 2) je xx–1 = 1 H. - Je-li x H libovolný prvek, pak opět podle 2) dostáváme 1x–1 = x–1 H. - Předpokládejme, ţe (H, ) není asociativní. Pak existují x, y, z H tak, ţe (xy)z x(yz) a současně H G, tedy existují x, y, z G tak, ţe (xy)z x(yz). To je ovšem spor s tím, ţe (G, ) je grupa, tj. (H, ) je asociativní. Tedy (H, ) je asociativní struktura s jednotkovým prvkem a s inverzními prvky, takţe grupa. - Jsou-li x, y H libovolné, pak y–1 H, a tedy také x(y–1)–1 = xy H, takţe operace v (H, ) je restrikcí operace v (G, ). Tedy (H, ) je podgrupou grupy (G, ). □

Je-li (G, ) konečná struktura (tj. mnoţina G je konečná) a její operace „ “ je zadaná Cayleyho tabulkou, pak (G, ) je grupa, právě kdyţ  v kaţdém řádku a v kaţdém sloupci tabulky se kaţdý prvek mnoţiny G vyskytuje právě jednou,  (G, ) je asociativní. Nechť (G, ) je konečná grupa. Zda je (H, ) podgrupou grupy G poznáme z Cayleyho tabulky tak, ţe ověříme, zda pole, ve kterých se protínají řádky a sloupce tabulky označené prvky z mnoţiny H, tvoří tabulku grupy. Poznámka: Systém všech podgrup dané grupy tvoří s relací „ “ uspořádanou mnoţinu, můţeme jej proto znázornit Hasseovým diagramem. 12

§2 Nechť (G, ) je grupa, g G libovolný prvek, n . Pak definujeme celistvou mocninu gn:  je-li n 0, pak gn definujeme podle § 1, +  je-li n 0, pak n a klademe gn = (g–1)–n ve smyslu § 1.  ( g G) ( m, n ) gmgn = gm + n, (gm)n = gmn, (gn)–1 = g–n = (g–1)n.  Je-li grupa (G, ) komutativní, pak platí: ( g, h G) ( n ) (gh)n = gnhn. Definice 2. 2. Je-li (G, ) konečná grupa, nazývá se počet prvků mnoţiny G řád grupy (G, ) a značí se symbolem |G|. Je-li mnoţina G, a tedy i grupa (G, ), nekonečná, pak říkáme, ţe grupa (G, ) má nekonečný řád, resp. je nekonečného řádu. Definice 2. 3. Nechť (G, ) je grupa a g její libovolný prvek. Existuje-li nejmenší kladné celé číslo n tak, ţe gn = 1, pak říkáme, ţe n je řád prvku g, resp. ţe prvek g je řádu n v grupě (G, ). Píšeme: n = o(g), resp. n = |g|. Jestliţe takové číslo n neexistuje, pak říkáme, ţe prvek g je nekonečného řádu. Věta 2. 5. Nechť g je libovolný prvek grupy (G, ). Je-li o(g) = n, pak pro kaţdé k je k g = 1, právě kdyţ n | k. Důkaz: + „ “: Předpokládejme, ţe o(g) = n a gk = 1, kde k libovolné. Tedy n je nejmenší takové, ţe gn = 1, a podle věty o dělení se zbytkem v existují čísla q, r tak, ţe k nq + r nq r n q r q r r k = nq + r, 0 r n. Potom g = g = g g = (g ) g = 1 g = g = 1, tedy r = 0 (vzhledem k volbě čísla n). To znamená, ţe k = nq, neboli n | k. „ “: Předpokládejme, ţe o(g) = n a n | k, k libovolné. Tedy gn = 1 a k = nq, q . Pak k nq n q q g = g = (g ) = 1 = 1. □ Poznámka: Pro aditivní grupu (G, +): n je řád prvku g, právě kdyţ n

g = 0.

Věta 2. 6. Nechť (G, ) je grupa a S = {Hi}i I libovolný (i nekonečný) neprázdný systém jejích podgrup. Pak průnik i všech podgrup systému S je rovněţ podgrupa grupy G. Důkaz: Nechť je dána grupa (G, ) a libovolný neprázdný systém jejích podgrup S = {Hi}i I. Označme P průnik všech Hi ze systému S, tj. P = G. Ukáţeme, ţe P je podgrupa i, P grupy G tak, ţe ověříme z věty 2. 4. podmínky 1), 2). 1) P (kaţdá z podgrup Hi obsahuje jednotkový prvek 1 grupy G, tedy 1 P). 2) Nechť x, y P jsou libovolné prvky. Pak x, y Hi pro všechna i I, a tedy xy–1 pro všechna i I. To však znamená, ţe xy–1 P. Tedy P = i je podgrupa grupy (G, ). □

Hi

Definice 2. 4. Nechť (G, ) je grupa, X libovolná podmnoţina v G. Průnik všech podgrup grupy G, které obsahují mnoţinu X, je podgrupa v G, která se nazývá podgrupa generovaná mnoţinou X a značí se [X], resp. . Mnoţina X se nazývá systém generátorů grupy [X] a její prvky generátory této grupy. Grupa G se nazývá konečně generovaná, jestliţe existuje konečná mnoţina X, která generuje grupu G, tj. [X] = G. 13

Poznámka: 1) Teprve věta 2. 6. dává definici 2. 4. smysl, neboť pro libovolnou mnoţinu X G je systém všech podgrup grupy G obsahujících X neprázdný (jistě do něho patří grupa G), a tedy, podle zmíněné věty, jejich průnik je skutečně podgrupa grupy G. 2) [X] je nejmenší (ve smyslu mnoţinové inkluze „ “) podgrupa grupy G, která obsahuje mnoţinu X, tj. pro libovolnou podgrupu H grupy G platí: je-li X H, pak [X] H. 3) Grupa můţe mít různé systémy generátorů. Je-li (G, ) grupa, pak [G] = [G – {1}] = G. 4) Je-li X = {x1, x2,…, xn}, pak píšeme [X] = [{x1, x2,…, xn}] = [x1, x2,…, xn]. 5) Je-li X = , pak [ ] = ({1}, ); píšeme: [ ] = [{1}] = [1]. Následující věta dává „vnitřní“ popis podgrupy generované mnoţinou X. Věta 2. 7. Nechť X je neprázdná podmnoţina grupy (G, ). Potom podgrupa [X] je mnoţina právě všech prvků h G tvaru: h = 1 2… n, kde x1, x2,…, xn je nějaká konečná posloupnost prvků z X (číslo n se mění) a k1, k2,…, kn jsou celá čísla. Důkaz: Předpokládejme, ţe X G, (G, ) je grupa. Nechť H = {h G; h = 1 2… n, xi X, ki , i = 1,…, n}. 1) Dokáţeme, ţe H je podgrupa grupy G obsahující X, takţe [X] H. X H G, tj. H G. - Nechť h, g H jsou libovolné prvky, tedy h = 1… n, g = 1… s; protoţe s 1 g G, existuje g–1 G, g–1 = ( 1… s)–1 = … (viz § 2, věta 2. 1. 4)). –1 n s 1 1 Pak hg = … … H. Podle věty 2. 4. je H podgrupa grupy G; protoţe X H, je [X] H. 2) Nechť h H je libovolný prvek, tj. h = 1… n, xi i xi X, je xi [X], proto také [X], odtud h [X], a tedy H [X]. Dokázali jsme rovnost H = [X], coţ je tvrzení věty. □

X, ki … n

1

, i = 1,…, n; poněvadţ [X], coţ znamená, ţe

Věta 2. 8. Nechť (G1, 1), (G2, 2) jsou grupy. Definujme na mnoţině G1 předpisem: ( (x1, x2), (y1, y2) G1 G2) (x1, x2) (y1, y2) = (x1 1 y1, x2 2 y2).

G2 operaci „ “

Pak (G1 G2, ) je grupa. Důkaz: - Uzavřenost: Nechť x1, y1 G1, x2, y2 G2 jsou libovolné prvky. Pak x1 1 y1 G1, x2 2 y2 G2, a proto (x1 1 y1, x2 2 y2) G1 G2 pro všechny (x1, x2), (y1, y2) G1 G2. - Asociativnost: Jsou-li (x1, x2), (y1, y2), (z1, z2) G1 G2 libovolné, pak [(x1, x2) (y1, y2)] (z1, z2) = = (x1 1 y1, x2 2 y2) (z1, z2) = ((x1 1 y1) 1 z1, (x2 2 y2) 2 z2) = = (x1 1 (y1 1 z1), x2 2 (y2 2 z2)) = (x1, x2) (y1 1 z1, y2 2 z2) = = (x1, x2) [(y1, y2) (z1, z2)]. 14

-

-

Neutrální prvek: Nechť e1 je neutrální prvek G1, e2 neutrální prvek G2, nechť (x1, x2) G1 G2 je libovolná dvojice. Pak (x1, x2) (e1, e2) = (x1 1 e1, x2 2 e2) = (x1, x2) a zároveň také (e1, e2) (x1, x2) = (e1 1 x1, e2 2 x2) = (x1, x2). To znamená, ţe (e1, e2) je neutrální prvek G1 G2. Inverzní prvky: Je-li (x1, x2) G1 G2 libovolná, pak (x1, x2) ( 1, 2) = (x1 1 1, x2 2 2) = (e1, e2) a současně ( 1, 2) (x1, x2) = ( 1 1 x1, 2 2 2) = (e1, e2), tj. = ( 1, 2). Tedy (G1 G2, ) je grupa. □

Definice 2. 5. Grupa (G1,

1)

(G2,

2)

G2, ) se nazývá direktní součin grup G1, G2.

= (G1

Poznámka: 1) Počet prvků grupy G1 G2 je roven součinu počtu prvků grup G1, G2. 2) Analogicky můţeme zavést direktní součin grup G1,…, Gn, tedy grupu (G1, 1) … (Gn, n) = (G1 … Gn, ): ( (x1,…, xn), (y1,…, yn) Příklad: Je-li m, n

+

, pak (

m,

)

G1 … Gn) (x1,…, xn) (y1,…, yn) = (x1

( n, ) = (

m

n,

15

).

1

y1,…, xn

n

yn).

2. 3. Cyklické grupy Definice 3. 1. Grupa, která má jednoprvkový systém generátorů {a} (tj. grupa generovaná jednoprvkovou mnoţinou {a}), se nazývá cyklická grupa. Místo [{a}] píšeme pouze [a], prvek a se nazývá generátor grupy [a]. Věta 3. 1. Nechť (G, ) je cyklická grupa generovaná prvkem a, tedy G = [a]. Pak G = {ak; k }. Důkaz: Jde o bezprostřední důsledek věty 2. 7. pro X = {a}. Poznámka: 1) Pro kaţdé x, y G existuje k, l tak, ţe x = ak, y = al. Potom xy = akal = ak + l = al + k = alak = yx, a tedy kaţdá cyklická grupa je abelovská. 2) Uvaţujeme-li aditivní grupu (G, +), pak G = {k a; k }. Věta 3. 2. Nechť G = [a] je cyklická grupa generovaná prvkem a. Pak jsou pouze tyto dvě moţnosti: 1) Pro všechna r, s , r s, je ar as a grupa G = [a] je nekonečná. + 2) Existuje m tak, ţe pro r, s je ar = as, právě kdyţ m | (r – s), neboli ar = 1, právě kdyţ m | r. Odtud |G| = o(a) = m, neboť G = {a, a2,…, am – 1, am = 1}. Důkaz: Podle věty 3. 1.: G = [a] = {ak; k }. 1) Jestliţe pro kaţdou dvojici r, s , r s, je ar as, je zřejmě grupa [a] nekonečná. 2) Nenastane-li 1), pak existují k, l , k l, tak, ţe ak = al, tedy al – k = ak – k = a0 = 1, + + coţ znamená, ţe existuje t takové, ţe at = 1. Nechť m je nejmenší takové, ţe m a = 1. Je-li k libovolné, pak podle věty o dělení se zbytkem v existují q, r tak, ţe k = mq + r, 0 r m. Potom ak = amq + r = (am)qar = ar, takţe [a] = {ak; k } = {a, a2,…, am – 1, am = 1}. Jestliţe k = mq + r a přitom 0 r m, pak 1 ar = ak (vzhledem k volbě čísla m). Tedy ak = 1, právě kdyţ r = 0, neboli právě kdyţ m | k. Odtud pro r, s dostáváme ar = as, právě kdyţ ar – s = 1, právě kdyţ m | (r – s). Tedy libovolné dva z prvků a, a2,…, am – 1, am = 1 jsou různé a |G| = o(a) = m. □ Poznámka: 1) Nastane-li moţnost 1), pak G = [a] je tzv. nekonečná cyklická grupa a prvek a je prvek nekonečného řádu; G = [a] = {…, a–3, a–2, a–1, a0 = 1, a1, a2, a3,…}. 2) Nastane-li moţnost 2), pak G = [a] je tzv. konečná cyklická grupa a má řád m stejně jako její generátor, tj. prvek a; G = [a] = {a1, a2,…, am – 1, am = 1} = {a0 = 1, a1, a2,…, am – 1}. Věta 3. 3. Kaţdá nekonečná cyklická grupa je izomorfní s aditivní grupou celých čísel ( , +), a tedy libovolné dvě nekonečné cyklické grupy jsou navzájem izomorfní. Důkaz: Nechť G = [a] = {…, a–2, a–1, a0 , a1, a2,…}. Definujme zobrazení: : ( , +) (G, ) = ([a], ) ( k ) (k) = ak -

je bijekce (zobrazení mnoţiny na mnoţinu G, které je injektivní, neboť G je nekonečná, a tedy podle věty 3. 2. je pro různá r, s také (r) (s)), 16

- ( k, l ) (k + l) = ak + l = ak al = (k) Tedy je izomorfismus, tj. ( , +) (G, ). □

(l) – splněna podmínka homomorfismu.

Poznámka: 1) Aţ na izomorfismus existuje jediná nekonečná cyklická grupa. 2) Je-li k , pak mnoţinu všech celistvých násobků čísla k, tj. mnoţinu {kq; q }, budeme značit symbolem k . Zřejmě (k , +) je abelovská grupa, podgrupa grupy ( , +). Věta 3. 4. Grupa ( , +) má pouze dva generátory, a to prvky 1 a –1. Důkaz: - Je-li k , pak [k] = k . Speciálně [1] = = [–1]. - Je-li k 1, pak 1 k = [k], a tedy [k] .□ Věta 3. 5. Nechť m je libovolné kladné celé číslo. Pak kaţdá cyklická grupa řádu m je izomorfní s grupou ( m, ), a tedy kaţdé dvě cyklické grupy téhoţ (konečného) řádu jsou navzájem izomorfní. Důkaz: Nechť G = [a] = {a0, a1,…, am – 1}. Definujme zobrazení: : ( m, ) (G, ) = ([a], ) ( ( ) = ak m) je bijekce (injektivní zobrazení mnoţiny m na mnoţinu G), ( , ( )= ( ) = ak + l = ak al = ( ) ( ) – splněna podmínka hom) momorfismu. Tedy je izomorfismus, tj. ( m, ) (G, ). □

-

Poznámka: 1) Aţ na izomorfismus existuje jediná konečná cyklická grupa daného řádu. 2) Pro kaţdé m , m 1: ( m, ) = [ ] (neboť m = ). Definice 3. 2. Nechť (G, ) je grupa a a její libovolný prvek. Řádem prvku a v grupě G rozumíme řád cyklické podgrupy [a] generované prvkem a. Řády prvků tvoří důleţitý invariant v důkazech, ţe dané dvě grupy nejsou izomorfní. Věta 3. 6. Nechť : G H je izomorfismus grup. Pak o(a) = o( (a)) pro kaţdé a G. Důkaz: Označme n = o(a). Protoţe n(a) = (an) a je bijekce, platí an = 1G právě tehdy, kdyţ (an) = (1G), tj. kdyţ n(a) = 1H. □ Tedy pokud G H, pak mají stejný počet prvků kaţdého řádu. Opačná implikace neplatí. 2 8 5 Např. grupy G = 2 8 a H = [a, x; a = x = 1, ax = x a] (viz příklad 8. 4) jsou řádu 16, obě mají jeden prvek řádu 1 (neutrální prvek), tři prvky řádu 2, čtyři prvky řádu 4 a osm prvků řádu 8, ale nejsou izomorfní (G je abelovská grupa, avšak H nikoli). Příklad: + Jestliţe m, n , nsd(m, n) 1, pak grupy řádu mn, ale grupa m mn obsahuje prvek (pro nsd(m, n) 1 je totiţ nsn(m, n) mn).

mn

17

a m n nejsou izomorfní, protoţe grupa n má všechny prvky řádu nejvýše nsn(m, n)

Poznámka k příkladu: Jestliţe nsd(m, n) = 1, pak ( mn, ) ( m, ) ( n, ), a to na základě tvrzení: Nechť m1,…, mn jsou po dvou nesoudělná kladná celá čísla, označme M = m1…mn. Pak (

M,

)

(

m1,

) … (

mn,

). – Čínská věta o zbytcích

Lemma 3. 7. Nechť a, b jsou prvky konečných řádů v grupě G takové, ţe ab = ba, tedy prvky a, b komutují. Jestliţe o(a) = m, o(b) = n a nsd(m, n) = 1, potom o(ab) = |[ab]| = mn. Důkaz: Viz [7]. Věta 3. 8. Nechť a1, a2,…, ak jsou prvky konečných řádů v grupě G, o(ai) = ni (i = 1, 2,…, k). Jestliţe ai aj = aj ai a nsd(ni, nj) = 1, kdykoliv i j (1 i, j k), potom g = a1a2…ak je rovněţ konečného řádu, a to o(g) = |[a1a2…ak]| = n1n2…nk. Důkaz: Viz [7]. Věta 3. 9. Kaţdá podgrupa cyklické grupy je cyklická grupa. Přitom kaţdá nejednotková podgrupa nekonečné cyklické grupy je nekonečná. Důkaz: Nechť H je podgrupa cyklické grupy G = [a]. Pro H = {1} je H = [1], a proto předpokládejme, ţe H {1}. Pak existuje 1 h H, a také 1 h–1 H. Jelikoţ h H G = [a], lze psát h = ak, h–1 = a–k, kde k – {0}; tedy aspoň jedno z čísel k, –k je kladné celé. + Nechť d je nejmenší takové, ţe ad H; dokáţeme, ţe H = [ad]. -

-

Nechť an (n ) je libovolný prvek z H a pišme n = dq + r, kde q, r , 0 r d. r n – dq n d –q Pak a = a = a (a ) H, a tudíţ r = 0 (vzhledem k volbě čísla d). Potom ovšem an = (ad)q [ad], proto H [ad]. Zřejmě [ad] H, takţe dostáváme H = [ad].

Je-li G = [a] nekonečná grupa, pak podle věty 3. 2. neexistuje t podle téţe věty je [ad] nekonečná grupa. □

+

tak, aby adt = 1, a tedy

Věta 3. 10. Homomorfní obraz cyklické grupy je cyklická grupa. Důkaz: Nechť : G = [a] H je epimorfismus. Je-li y H libovolný prvek, pak existuje x G tak, ţe (x) = y. Protoţe x k , a tedy (x) = (ak) = k(a) = y. To znamená, ţe H = [ (a)]. □

G = [a], je x = ak,

Poznámka: Rovnost (ak) = k(a) pro kaţdé a G a kaţdé k plyne z vlastností homomorfismu: k - Pro k 0 je (a ) = (aa…a) = (a) (a)… (a) = k(a). - Pro k = 0 je (a0) = (1G) = 1H = 0(a). - Pro k 0 je (ak) = ((a–1)–k) = –k(a–1) = ( –k)–1(a) = k(a). Věta 3. 11. Je-li G = [a] konečná cyklická grupa řádu m, pak pro libovolné k je G = [ak], právě kdyţ nsd(k, m) = 1. Důkaz: Nechť G = [a] je řádu m. Dokáţeme, ţe G = [a] = [ak], právě kdyţ nsd(k, m) = 1. „ “: Nechť nsd(k, m) = 1, pak existují u, v tak, ţe ku + mv = 1. Tedy a = aku + mv = = (ak)u(am)v a zároveň am = 1 (podle věty 3. 2.), tedy a = (ak)u [ak], proto [a] [ak]. Obrácená inkluze, tj. [ak] [a], je zřejmá: (ak)u = aku = at, t . Tedy G = [a] = [ak]. 18

„

“: Nechť G = [a] = [ak], k . Pak a [a] = [ak], tedy a = (ak)u, odtud 1 = aku – 1, proto m | ku – 1 (podle věty 3. 2.). To znamená, ţe ku – 1 = mv, takţe ku – mv = 1, neboli ku + m(–v) = 1. Tedy nsd(k, m) = 1. □

+ Věta 3. 12. Nechť G = [a] je konečná cyklická grupa řádu m a nechť d, n tak, ţe m = dn. d Pak [a ] je jediná podgrupa v G řádu n. Důkaz: Je-li t , pak podle věty 3. 2. rovnost (ad)t = 1 nastává, právě kdyţ m | dt, neboli kdyţ + dn | dt, a tedy právě kdyţ n | t. Pak ovšem podle téţe věty číslo n udává počet prvků d d cyklické grupy [a ], takţe [a ] je podgrupa v G řádu n. Nechť H je libovolná podgrupa v grupě G = [a] řádu n. Z věty 3. 9. plyne, ţe H = [ak], k , a z věty 3. 2. dostáváme jednak (ak)n = akn = 1, jednak m | kn. Tedy kn = ml = ndl, l , neboli k = dl. Odtud ak = (ad)l, takţe ak [ad]. To však znamená, ţe H = [ak] [ad]. Podgrupy H a [ad] jsou obě řádu n, proto H = [ad]. □ + + Věta 3. 13. Nechť G = [a] je konečná cyklická grupa řádu m, k , d = nsd(k, m), n tak, ţe m = dn. Pak H = [ak] je podgrupa v G řádu n. Důkaz: + + Nechť G = [a] je řádu m, k , d = nsd(k, m), m = dn, n . k Dokáţeme, ţe H = [a ] je podgrupa v G řádu n. - Předpokládejme, ţe d = nsd(k, m). To znamená, ţe d | k, neboli k = dl. Odtud dostáváme ak = (ad)l, takţe H = [ak] [ad]. - Existují u, v tak, ţe d = ku + mv; tedy ad = aku + mv = (ak)u(am)v= (ak)u [ak] = H, d čili [a ] H. Tedy H = [ad] a zároveň [ad] je řádu n (podle věty 3. 12.), proto H je řádu n. □

Poznámka: + Nechť G = [a] je konečná cyklická grupa řádu m. Definujme zobrazení : + tak, ţe + pro kaţdé m je (m) počet kladných celých čísel k m takových, ţe nsd(k, m) = 1. Zobrazení se nazývá Eulerova funkce. 1) Z věty 3. 2. plyne, ţe všechny prvky grupy G jsou vyčerpány posloupností navzájem různých mocnin a, a2,…, am – 1, am = 1. 2) Z 1) a věty 3. 11. plyne, ţe (m) udává počet všech různých generátorů grupy G = [a]. Je-li m = p, kde p je prvočíslo, pak grupa G = [a] má právě (p) = p – 1 různých generátorů (všechny prvky kromě jednotkového prvku). Je-li m = pr, kde p je prvočíslo + ar libovolné číslo, pak grupa G = [a] má právě (pr) = pr – pr – 1 různých generátorů (neboť mezi kladnými celými čísly k pr jsou s pr soudělná právě čísla p, 2p, r–1 3p,…, p p). + Jestliţe n , n | m, pak vzhledem k větě 3. 12. existuje v G právě jedna podgrupa řádu n, a tedy G obsahuje právě (n) prvků řádu n. 3) Z vět 3. 12. a 3. 13. plyne, ţe všechny podgrupy grupy G = [a] jsou tvořeny mnoţinou + + {[ad]; d , d | m}, resp. pro aditivní grupu mnoţinou {[d a]; d , d | m}. Je-li m = pr jako v 2), pak mnoţina všech podgrup grupy G tvoří řetězec r + 1 do sebe vloţených podgrup postupně řádů 1 = p0, p1, p2,…, pr = m.

19

2. 4. Rozklady podle podgrupy Definice 4. 1. Nechť (H, ) je podgrupa grupy (G, ), nechť x G. Mnoţina xH = {xh; h H} (resp. Hx = {hx; h H}) se nazývá levá (resp. pravá) třída grupy G podle podgrupy H určená prvkem x. Věta 4. 1. Systém S = {xH}x G všech levých (resp. systém S´ = {Hx}x grupy (G, ) podle podgrupy (H, ) představuje rozklad mnoţiny G. Důkaz: Uvaţujme S = {xH}x G. Pak platí:

G

všech pravých) tříd

xH = {xh; h H} G, H je podgrupa G, tedy H , a proto také xH . Je-li z G libovolné, lze psát z = z1, 1 H, tedy z zH, odkud plyne z , tedy G . - Nechť x, y G tak, ţe xH yH . Pak existuje z G takové, ţe z xH a současně z yH, coţ znamená, ţe existují prvky h1, h2 H tak, ţe z = xh1 a také z = yh2. Odtud xh1 = yh2, a tedy x = yh2 = yh3, y = xh1 = xh4, h3, h4 H. Nechť u xH libovolné. Potom existuje h H tak, ţe u = xh = yh3h. Protoţe h3h H, je u yH, takţe xH yH. Analogicky nechť v yH libovolné. Potom existuje h´ H takové, ţe v = yh´ = xh4h´. Protoţe h4h´ H, je v xH, takţe yH xH. Tedy xH = yH. Důkaz tvrzení o pravých třídách je obdobný nebo vyplyne z dokázaného přechodem k opačné grupě Gop. □ -

Poznámka: Systém S (resp. S´) z věty 4. 1. se nazývá rozklad grupy G na levé (resp. pravé) třídy podle podgrupy H. Věta 4. 2. Nechť (G, ) je grupa, (H, ) její podgrupa. Pak pro kaţdé x G existuje bijekce mnoţiny H na mnoţinu xH (resp. na mnoţinu Hx). Důkaz: Zobrazení f: H xH nechť je dáno předpisem f (h) = xh (pro pevně zvolené x G). Zřejmě f je surjekce, neboť je-li y xH libovolné, pak y = xh0 pro některé h0 H, tedy f (h0) = xh0 = y. Jestliţe f (h1) = f (h2), pak xh1 = xh2, odtud h1 = h2 (neboť grupa je struktura s krácením). Tedy f je injekce. Dohromady f je bijekce. Pro mnoţinu Hx analogicky. □ Poznámka: 1) Je-li H konečná mnoţina, pak podle věty 4. 2. má kaţdá mnoţina xH (resp. Hx) stejný počet prvků jako mnoţina H. 2) Z věty 4. 2. plyne, ţe lze na sebe bijektivně zobrazit i libovolné dvě levé (resp. pravé) třídy rozkladu S (resp. S´). Kdyţ například f: H x1H, g: H x2H, f –1: x1H H, pak f –1◦g: x1H x2H. Věta 4. 3. Nechť (G, ) je grupa, (H, ) její podgrupa. Pak pro libovolné prvky x, y G platí: 1) xH = yH, právě kdyţ y–1x H, právě kdyţ x–1y H. 2) Hx = Hy, právě kdyţ yx–1 H, právě kdyţ xy–1 H. Důkaz: 1) - Z předpokladu xH = yH plyne existence h1, h2 H takových, ţe xh1 = yh2. Odtud dostáváme y–1xh1 = h2, tedy y–1x = h2 = h H. Takţe y–1x H. 20

Protoţe y–1x

H a H je podgrupa, je také (y–1x)–1 = x–1y –1

H.

–1

- Z předpokladu y x H plyne existence h H tak, ţe y x = h, tedy x = yh Protoţe x = x1, 1 H, je také x xH. Tedy xH yH , proto xH = yH. 2) Analogicky. □

yH.

Poznámka: Uvaţujeme-li aditivní grupu (G, +), pak např. 2) věty 4. 3. má tvar: H + x = H + y, právě kdyţ y – x H, právě kdyţ x – y H. Věta 4. 4. Nechť S (resp. S´) je rozklad grupy (G, ) na levé (resp. pravé) třídy podle její podgrupy (H, ). Pak existuje bijekce mnoţiny S na mnoţinu S´. Důkaz: Definujme zobrazení f: S S´ takto: ( xH S) f (xH) = Hx–1. Pak pro xH, yH S libovolné platí rovnost xH = yH, právě kdyţ y–1x H (viz věta 4. 3.), neboli právě kdyţ y–1(x–1)–1 H, a tedy podle téţe věty 4. 3. právě kdyţ Hx–1 = Hy–1 (tj. f (xH) = f (yH)). To znamená, ţe f je korektně definované zobrazení, které je zároveň injektivní. Protoţe f je zřejmě surjekce, jedná se o bijekci. □ Poznámka: Podle věty 4. 4. mají tedy rozklady S a S´ (při dané grupě G a podgrupě H) stejný počet prvků (v případě konečných mnoţin S a S´). Definice 4. 2. Nechť (G, ) je grupa, (H, ) její podgrupa a S (resp. S´) rozklad grupy G na levé (resp. pravé) třídy podle podgrupy H. Je-li S (resp. S´) konečná mnoţina, nazývá se počet jejích prvků (tj. počet levých (resp. pravých) tříd podle podgrupy H) index podgrupy H v grupě G a píšeme [G : H]. Je-li S (resp. S´) nekonečná mnoţina, říkáme, ţe podgrupa H má nekonečný index, resp. ţe je nekonečného indexu v G. Poznámka: Pokud chceme zdůraznit, ţe rozklad grupy G podle její podgrupy H je konečná mnoţina, říkáme, ţe podgrupa H má konečný index, resp. ţe je konečného indexu v grupě G. Věta 4. 5. (Lagrangeova) Nechť (H, ) je podgrupa konečné grupy (G, ). Pak platí: |G| = |H| [G : H]. Důkaz: Utvoříme rozklad S (resp. S´) grupy G na levé (resp. pravé) třídy podle podgrupy H. Potom S (resp. S´) má [G : H] prvků (jimiţ jsou po dvou disjunktní levé (resp. pravé) třídy, jejichţ sjednocením je mnoţina G). Podle věty 4. 2. mají všechny levé (resp. pravé) třídy stejný počet prvků, a to |H|, tedy počet prvků grupy G, tj. |G| je roven |H| [G : H]. □ Důsledky věty 4. 5. 1) Nechť (G, ) je konečná grupa a (H, ) její podgrupa. Pak řád podgrupy H dělí řád grupy G, tj. |H| dělí |G|. 2) Je-li G konečná grupa, pak řád kaţdého prvku grupy G dělí |G|. Důkaz: Nechť |G| = m, g G libovolné. Je-li g = 1, pak o(g) = 1, a tedy 1 | m. Je-li g [g] je podgrupa grupy G stejného řádu, jako je řád prvku g, a tedy o(g) | m. □ 21

1, pak

3) Kaţdá grupa prvočíselného řádu je cyklická. Důkaz: Nechť G je grupa prvočíselného řádu p, tj. |G| = p. Je-li 1 g G libovolné, pak podle důsledku 1) řád podgrupy [g] dělí p. Protoţe 1 |[g]| = o(g), je |[g]| = p, takţe G = [g]. □ Věta 4. 6. Jsou-li H, K podgrupy konečného indexu v grupě G, potom H K je rovněţ podgrupa konečného indexu v G. Důkaz: Nejdříve ukáţeme, ţe kdyţ g G, pak g(H K) = gH gK. Protoţe g(H K) gH a také g(H K) gK, je g(H K) gH gK. Je-li však x gH gK, je x = gh = gk pro vhodné prvky h H a k K. Odtud g–1x = h = k H K, nebo-li x = g(g–1x) g(H K), tedy platí i obrácená inkluze gH gK g(H K). Z rovnosti g(H K) = gH gK plyne, ţe kaţdá levá třída grupy G podle podgrupy H K (jde o podgrupu na základě věty 2. 6.) se získá jako průnik některé levé třídy podle H s některou levou třídou podle K. Je-li tedy [G : H] = m a [G : K] = n, pak [G : (H K)] mn. □ Věta 4. 7. (Poincarého) Jsou-li H1, H2,…, Hn podgrupy konečného indexu v grupě G, potom H= i je rovněţ podgrupa konečného indexu v G. Důkaz: Věta se dokáţe úplnou indukcí podle čísla n pomocí věty 4. 6. □ Nechť H je podgrupa grupy G; neprázdná mnoţina A G se nazývá úplný systém reprezentantů levých tříd grupy G podle podgrupy H, jestliţe pro kaţdé g G existuje právě jeden prvek a A takový, ţe gH = aH. V takovém případě {aH}a A je systém všech levých tříd grupy G podle podgrupy H a |A| = [G : H]. Přitom úplné systémy reprezentantů vţdy existují. Věta 4. 8. Nechť H, K jsou podgrupy grupy G takové, ţe K

H. Pak platí:

[G : K] = [G : H] [H : K]. Důkaz: Nechť mnoţina A G (resp. B H) je úplný systém reprezentantů levých tříd grupy G podle podgrupy H (resp. grupy H podle podgrupy K). Je-li g G libovolné, pak existuje a A tak, ţe gH = aH, načeţ a–1g H (viz věta 4. 3.). Tedy pro vhodné b B bude a–1gK = bK, čili gK = abK. Uvaţujme dále prvky a1, a2 A, b1, b2 B tak, ţe a1b1K = a2b2K. Pro vhodné k K je tedy a1b1 = a2b2k, takţe (protoţe prvky b1, b2, k leţí v H) a1H = a1b1H = a2b2kH = = a2H, a proto a1 = a2. Pak ovšem z rovnosti a1b1K = a2b2K plyne rovnost b1K = b2K (v grupě lze krátit), a tudíţ b1 = b2. Odtud jednak plyne, ţe mnoţina AB je úplný systém reprezentantů levých tříd grupy G podle podgrupy K, zároveň ale, ţe kaţdý prvek x AB lze zapsat ve tvaru x = ab (a A, b B) právě jedním způsobem. To ovšem znamená, ţe [G : K] = |AB| = = |A| |B| = [G : H] [H : K]. □ Definice 4. 3. Nechť (G, ) je grupa. Řekneme, ţe podgrupa N grupy G je normální podgrupa v G, právě kdyţ platí: ( g G) gN = Ng. Píšeme: N G. Poznámka: 1) Rozklady grupy na levé a pravé třídy podle normální podgrupy se rovnají, tj. S = S´. 2) V komutativní (a tedy také v cyklické) grupě je zřejmě kaţdá podgrupa normální. 22

3) Kaţdá nekomutativní grupa má vţdy alespoň dvě normální podgrupy, a to jednotkovou podgrupu {1} a grupu G: - je-li N = {1}, pak S = {xN}x G = {x{1}}x G = {{x}}x G = {{1}x}x G = ={Nx}x G = S´; - je-li N = G, pak S = {xG}x G = {G} = {Gx}x G = S´. 4) Existují (nekomutativní) grupy, které nemají jiné normální podgrupy neţ {1} a G. Lemma 4. 9. Podgrupa N grupy G je normální podgrupou v G, právě kdyţ platí: ( g

G) ( n

N) ( n1, n2

N) (gn = n1g

ng = gn2).

Důkaz: „ “: Předpokládejme, ţe N G. Pak pro kaţdé g G je gN = Ng, tedy gN Ng a zároveň Ng gN. Tedy pro kaţdé n N je gn Ng a zároveň ng gN, coţ znamená, ţe existují n1, n2 N tak, ţe gn = n1g a zároveň ng = gn2. „ “: Analogicky. □ Věta 4. 10. Podgrupa N grupy G je normální podgrupou v G, právě kdyţ platí: 1) ( g G) gNg–1 N (resp. g–1Ng N), 2) ( g G) ( n N) gng–1 N (resp. g–1ng N). Důkaz: 2) „ “: Předpokládejme, ţe N G, x = gng–1. Protoţe N G, lze psát gn = n1g pro jisté n1 N (viz lemma 4. 9.). Tedy x = gng–1 = (n1g)g–1 = n1(gg–1) = n1 N, takţe x N. „

“: Předpokládejme, ţe platí podmínka 2). Dokáţeme, ţe pro libovolné g G je gN = Ng. - Nechť x gN libovolné. Pak existuje n N tak, ţe x = gn. Tedy xg–1 = gng–1 a zároveň gng–1 N, proto také xg–1 N. To znamená, ţe existuje n1 N tak, ţe xg–1 = n1, odkud xg–1g = n1g, takţe x = n1g, coţ je prvek z Ng. Tedy gN Ng. - Nechť x Ng libovolné. Pak existuje n N tak, ţe x = ng. Tedy g–1x = g–1ng a zároveň g–1ng N, proto g–1x N, coţ ovšem znamená, ţe existuje n1 N takové, ţe g–1x = n1, takţe x = gn1, coţ je prvek z gN. Tedy Ng gN. □

Věta 4. 11. Nechť H je podgrupa grupy G. Jestliţe [G : H] = 2, pak H G. Důkaz: Je-li [G : H] = 2, pak v G existují právě dvě různé levé třídy, a to H = 1H, druhá je aH pro některé a H. Nechť h H, g G. Předpokládejme, ţe g–1hg H. -

Jestliţe g H, pak g–1 H, neboť H je podgrupa, a tedy g–1hg H, coţ je spor. Jestliţe g H, pak g–1 H, tedy g–1H H. Jelikoţ [G : H] = 2, je aH = g–1H, a tedy g–1hg H, takţe g–1hg g–1H. Odtud dostáváme g–1hg = g–1h0 pro některé h0 H, tedy hg = h0, tj. g = h–1h0 H, coţ je opět spor. Musí tedy platit g–1hg H, tj. H G (podle věty 4. 10.). □

Věta 4. 12. Průnik libovolného neprázdného systému normálních podgrup grupy G je opět normální podgrupa grupy G. Důkaz: Nechť Ni (i I ) jsou normální podgrupy grupy G a poloţme N = i. 23

-

Podle věty 2. 6. je N podgrupa v G. Je-li g G, n N libovolné, pak n Ni pro kaţdé i I, a tedy také gng–1 kaţdé i I (neboť Ni G), takţe gng–1 N. Odtud N G. □

Ni pro

Poznámka: Je-li X podmnoţina v G, pak průnik všech normálních podgrup grupy G, které obsahují mnoţinu X, se nazývá normální podgrupa grupy G generovaná mnoţinou X. Ve smyslu mnoţinové inkluze „ “ je to nejmenší normální podgrupa grupy G obsahující mnoţinu X. Definice 4. 4. Nechť G je grupa a x, y G libovolné prvky. Řekneme, ţe prvek y je v grupě G konjugován s prvkem x (resp. ţe prvky x, y jsou v grupě G konjugované), existuje-li g G tak, ţe y = g–1xg. Píšeme x y. Poznámka: 1) Relace „ “ je ekvivalence na mnoţině G (tj. reflexivní, symetrická a tranzitivní): - x = 1–1x1, tedy x x pro kaţdé x G; - je-li x y, pak existuje g G tak, ţe y = g–1xg, tedy gy = xg, odtud gyg–1 = x, coţ můţeme zapsat jako (g–1)–1yg–1 = x; označme g–1 = h G, tedy h–1yh = x, tj. y x pro kaţdé x, y G; - je-li x y a zároveň y z, pak existuje g, h G tak, ţe y = g–1xg a zároveň z = h–1yh, tedy z = h–1(g–1xg)h = (h–1g–1)x(gh) = (gh)–1x(gh), gh G, tj. x z pro kaţdé x, y, z G. Tedy relace „ “ indukuje na mnoţině G rozklad na třídy spolu konjugovaných prvků. 2) Jsou-li g, x prvky grupy G, potom prvek g–1xg se často zapisuje symbolicky xg; tedy g–1xg = xg. Mnoţina všech prvků z G konjugovaných s prvkem x je tedy {xg; g G}, neboli stručně {xg; g G} = xG. Věta 4. 13. Podgrupa N grupy G je normální podgrupou v G, právě kdyţ s kaţdým svým prvkem obsahuje i všechny prvky, které jsou s ním v G konjugované. Důkaz: „ “: Předpokládejme, ţe N G. Pak pro kaţdé g G a kaţdé n N je g–1ng N, tedy existuje n1 N tak, ţe n1 = g–1ng, odtud n n1. „ “: Nechť n N libovolné, nechť n2 N takový, ţe n n2. Pak n2 = g–1ng, g G, takţe g–1ng N, tedy N G. □ Definice 4. 5. Řekneme, ţe podgrupa K je v grupě G konjugovaná s podgrupou H, právě kdyţ je K = g–1Hg pro nějaké g G. Píšeme H K. Poznámka: 1) Je-li G grupa a L (G) mnoţina všech podgrup grupy G, pak relace „ “ konjugovanosti podgrup je ekvivalence na mnoţině L (G). 2) Je-li H L (G) a g G, pak místo g–1Hg je moţno opět psát Hg; potom třída všech podgrup grupy G konjugovaných s podgrupou H je systém {Hg; g G}, coţ můţeme symbolicky psát HG. Definice 4. 6. Je-li M neprázdná podmnoţina grupy G, potom normalizátorem NG(M) mnoţiny M v grupě G rozumíme mnoţinu všech prvků g G takových, ţe g–1Mg = M (neboli gM = Mg). Normalizátor jednoprvkové mnoţiny {a} značíme NG(a). 24

Věta 4. 13. Nechť G je grupa a x G libovolný prvek. Pak platí: 1) NG(x) je podgrupa grupy G. 2) Je-li A mnoţina všech prvků z grupy G konjugovaných s prvkem x, tedy A = xG, pak |A| = |xG| = [G : NG(x)]. Věta 4. 14. Je-li H podgrupa grupy G, pak NG(H) je největší (ve smyslu mnoţinové inkluze „ “) podgrupa grupy G taková, ţe H NG(H). Věta 4. 15. Nechť H je podgrupa grupy G a nechť A je mnoţina všech podgrup konjugovaných v grupě G s podgrupou H. Pak platí: 1) |A | = [G : NG(H)]. 2) Průnik všech podgrup z A je normální podgrupou v G. Věta 4. 16. Nechť G je grupa. Pak platí: 1) Jsou-li podgrupy H, K v grupě G konjugované, pak i jejich normalizátory NG(H), NG(K) jsou v G konjugované a platí rovnost [G : H] = [G : K]. 2) Jsou-li prvky a, b G v grupě G konjugované, pak i jejich normalizátory NG(a), NG(b) jsou v G konjugované. Věta 4. 17. Nechť H je podgrupa konečného indexu v grupě G. Pak v G existuje normální podgrupa N konečného indexu taková, ţe N H. Poznámka: Důkazy vět 4. 13. – 4. 17. uvedeny v [7]. Definice 4. 7. Grupa G se nazývá jednoduchá, jestliţe je netriviální (tj. G jsou jediné normální podgrupy grupy G.

{1}) a G, {1}

Věta 4. 18. Grupa G je jednoduchá komutativní grupa, právě kdyţ G je cyklická grupa prvočíselného řádu. Důkaz: „ “: Předpokládejme, ţe G je jednoduchá komutativní grupa, tj. G má pouze dvě triviální podgrupy. Nechť 1 g G je libovolný prvek. Pak g generuje podgrupu grupy G, která je různá od podgrupy {1}, tedy [g] = G. To znamená, ţe G je cyklická. Kdyby grupa [g] byla nekonečná, pak z věty 3. 2. by plynulo g [g2], coţ by znamenalo, ţe [g2] je vlastní podgrupa grupy G; tedy grupa G = [g] je konečná řádu m 1. Cyklická grupa řádu m má právě tolik podgrup, kolik kladných dělitelů má číslo m. Protoţe G má právě dvě podgrupy, číslo m má právě dva dělitele; tedy m je prvočíslo. „

“: Předpokládejme, ţe G je cyklická grupa prvočíselného řádu. - Kaţdá cyklická grupa je komutativní, tj. G je komutativní grupa, která je netriviální (neboť je prvočíselného řádu). - Kaţdá podgrupa grupy G je cyklická (podle věty 3. 9.). Pro 1 G je [1] = {1}, je-li 1 g G libovolný prvek, pak [g] = G. To znamená, ţe v G existují pouze dvě podgrupy, a to {1} a G. Tedy G je jednoduchá komutativní grupa. □

25

Věta 4. 19. Nechť N je normální podgrupa grupy (G, ). Rozklad S (resp. S´) grupy G na levé (resp. pravé) třídy podle podgrupy N tvoří grupu vzhledem k operaci „ “ definované takto: ( xN, yN S) (xN)(yN) = xyN (resp. ( Nx, Ny S´) (Nx)(Ny) = Nxy. Důkaz: Protoţe N je normální podgrupa grupy G, tj. pro kaţdé x G je xN = Nx, stačí tvrzení dokázat pouze pro rozklad např. na levé třídy. Předpokládejme tedy, ţe N G, S = {xN}x G. Nechť xN, yN S libovolné. Pak (xN)(yN) = x(Ny)N = x(yN)N = xy(NN) = xyN S. Nechť xN, yN, zN S libovolné. Pak [(xN)(yN)](zN) = (xyN)(zN) = xyzN = x(yzN) = = (xN)(yzN) = (xN)[(yN)(zN)]. - Nechť xN S libovolné. Pak (xN)N = (xN)(1N) = x1N = xN a také N(xN) = (1N)(xN) = = 1xN = xN. Tedy N = 1N je neutrální prvek v S. - Je-li x G, pak existuje x–1 G. Nechť xN S libovolné. Potom (xN)(x–1N) = xx–1N = = 1N = N a také (x–1N)(xN) = x–1xN = 1N = N. To znamená, ţe (xN)–1 = x–1N. Tedy (S, ) je grupa. □ -

Definice 4. 8. Nechť (G, ) je grupa, N normální podgrupa v G. Pak grupa (S, ) (resp. (S´, )), kde operace „ “ je definovaná předpisem z věty 4. 19., se nazývá faktorová grupa (nebo téţ faktorgrupa) grupy G podle normální podgrupy N a značí se (G N, ). Faktorovou grupu je moţné zavést ještě jiným způsobem. Máme-li dánu nějakou grupu (G, ), můţe být rozklad mnoţiny G zadán také jako rozklad podle jisté ekvivalence R definované na G. Tento rozklad se nazývá rozklad indukovaný ekvivalencí R a značí se G R. Třídy tohoto rozkladu jsou podmnoţiny □Rx mnoţiny G definované takto: ( x G) □Rx = {y G; yRx}. Je tedy G R = {□Rx}x Poznámka: Místo tříd rozkladu ( x

G.

□Rx

G) xR□ = {y

mnoţiny G můţeme uvaţovat třídy xR□ definované analogicky:

G; xRy}. Díky symetričnosti ekvivalence totiţ platí xR□ = □Rx.

Definice 4. 9. Nechť (G, ) je grupa, R relace na mnoţině G. Pak R se nazývá kongruence v grupě (G, ), právě kdyţ R je ekvivalence a platí: ( x1, x2, y1, y2

G) x1Rx2

y1Ry2

x1y1Rx2y2.

Vybereme-li na G takovou relaci R, která je kongruencí, pak pro libovolné □Rx, □Ry je □Rx

□Ry = □Rxy

G R

G R.

Věta 4. 20. Nechť (G, ) je grupa, R relace kongruence na G. Pak struktura (G R, ) je také grupou. Důkaz: Předpokládejme, ţe (G, ) je grupa, R kongruence na G. - Pro všechny □Rx, □Ry G R je □Rx □Ry = □Rxy G R, tedy G R je uzavřená vzhledem k „ “.

26

-

Asociativnost (G R, ): Nechť □Rx, □Ry, □Rz = □Rxyz = □Rx

-

Je-li 1

G R libovolné. Pak (□Rx

=

□Rxy □Rz

=

□Ryz = □Rx (□Ry □Rz). □Rx G R platí □Rx = □R1x = □Rx. Tedy □R1 je neutrální

G neutrální prvek grupy G, pak pro libovolný prvek

□Rx □R1 = □Rx1 = □Rx a také □R1 -

□Ry) □Rz

prvek v G R. Nechť □Rx G R pro libovolné x = □Rxx–1 = □R1 a zároveň □Rx–1

□Rx □Rx–1 = □Rx = □Rx–1x = □R1. Takţe (□Rx)–1 = □Rx–1. G. Pak existuje x–1

G a platí

Tedy (G R, ) je grupa. □ Definice 4. 10. Grupa (G R, ) z věty 4. 20. se nazývá faktorová grupa grupy G podle kongruence R. Věta 4. 21. Nechť (G, ) je grupa, R kongruence v grupě G. Pak existuje normální podgrupa N v grupě G tak, ţe (G R, ) = (G N, ). Důkaz: Nechť jsou splněny předpoklady věty. Definujme N = {x G; xR1}, kde 1 je neutrální prvek v grupě G. 1) Dokáţeme, ţe N je normální podgrupa grupy G. - Zřejmě N (neboť R je reflexivní, tedy 1R1, tj. 1 N) a N G. Nechť x, y N jsou libovolné prvky. Pak je xR1, yR1 a také y–1Ry–1. Díky podmínce kongruence odtud dostáváme yy–1R1y–1, neboli 1Ry–1, a vzhledem k symetričnosti relace R je téţ y–1R1. Takţe máme xR1 a zároveň y–1R1, proto také xy–1R1. To ovšem znamená, ţe xy–1 N, tedy N je podgrupou v G. - Nechť g G, n N libovolné. Pak je nR1 a zároveň gRg, tedy máme gnRg a také g–1Rg–1. Odtud dostáváme gng–1Rgg–1, neboli gng–1R1. To ale znamená, ţe gng–1 N, takţe N je normální podgrupa grupy G. 2) Ověříme rovnost G R = G N (dokáţeme inkluzi G R G N, důkaz obrácené inkluze G N G R je obdobný). Nechť tedy A je libovolný prvek z rozkladu G R. Pak existuje x G tak, ţe A = □Rx. Máme dokázat, ţe A G N, tj. ţe existuje g G, pro něţ A = gN. Poloţme x = g. - Nechť t A = □Rx je libovolný prvek. Potom je tRx a protoţe x–1Rx–1, dostáváme x–1tRx–1x, neboli x–1tR1. To znamená, ţe x–1t N, tedy existuje n N takové, ţe x–1t = n, takţe t = xn. Proto je t xN, tudíţ také A xN. - Nechť u xN je libovolný prvek. Potom existuje n N tak, ţe u = xn, tedy x–1u = n. Proto je x–1uR1 a protoţe xRx, dostáváme (xx–1)uRx, neboli uRx. To znamená, ţe u □Rx = A, tedy xN A. Dostali jsme rovnost A = xN, takţe A

G N. To ovšem znamená, ţe G R

G N. □

Věta 4. 22. Nechť (G, ) je grupa, N normální podgrupa v grupě G. Pak existuje kongruence R v grupě G taková, ţe (G R, ) = (G N, ). Důkaz: Nechť jsou splněny předpoklady tvrzení. Definujme relaci R na G takto: ( x, y G) xRy, právě kdyţ xy–1 N. 1) Dokáţeme, ţe R je kongruence v grupě G. 27

-

-

Relace R je reflexivní, neboť pro kaţdé x G je xx–1 = 1 N, tedy xRx. Nechť x, y G takové, ţe xRy, tj. xy–1 N. Poněvadţ N je grupa, je (xy–1)–1 = = yx–1 N, a tedy yRx. To znamená, ţe R je symetrická. Jestliţe x, y, z jsou takové prvky z G, ţe xRy a zároveň yRz, dostáváme xy–1 N a také yz–1 N. Tedy xy–1yz–1 = xz–1 N, a proto xRz, čili R je tranzitivní. Tím jsme dokázali, ţe R je ekvivalence. Nechť x1, x2, y1, y2 jsou takové prvky z G, ţe platí x1Rx2 a současně y1Ry2, tedy x1x2–1 N a také y1y2–1 N. Protoţe y1y2–1 N, prvek x2–1 G a N je normální podgrupa, existuje (viz lemma 4. 9.) prvek n N tak, ţe (y1y2–1)x2–1 = x2–1n. Potom x1(y1y2–1)x2–1 = (x1x2–1)n N, tedy (x1y1)(y2–1x2–1) = (x1y1)(x2y2)–1 N, neboli x1y1Rx2y2. Tím jsme dokázali, ţe R je kongruence.

2) Ověříme rovnost G N = G R (dokáţeme inkluzi G N G R, obrácená inkluze se ověří analogicky). Nechť A je libovolný prvek, pro nějţ platí A G N. Pak existuje g G tak, ţe A = gN. Máme dokázat, ţe A G R, tj. ţe existuje x G, pro něţ A = □Rx. Poloţme x = g. - Nechť t A = xN je libovolný prvek. Potom existuje n N takové, ţe t = xn, tedy x–1t = n, neboli x–1t1–1 = n, takţe (x–1t)1–1 N. Proto je x –1tR1 a protoţe xRx, dostáváme (xx–1)tRx, tj. tRx. To znamená, ţe t □Rx, tedy A □Rx. -

Nechť u □Rx je libovolný prvek. Potom je uRx a protoţe x–1Rx–1, dostáváme x–1uRx–1x, neboli x–1uR1. To znamená, ţe (x–1u)1–1 N, tj. x–1u N. Takţe existuje n N takové, ţe x–1u = n, čili u = xn. Proto je u xN = A, tudíţ také □Rx A.

Tedy dohromady A = □Rx, takţe A

G R a inkluze G N

G R je dokázána. □

Poznámka: K definování kongruence nepotřebujeme ţádné vlastnosti typické pro grupy, můţeme proto kongruenci R definovat (stejným způsobem) na libovolné struktuře (G, ) s jednou binární operací a zavést faktorovou strukturu (G R, ).

28

2. 5. Permutační grupy Nechť M je neprázdná mnoţina. Permutací mnoţiny M rozumíme kaţdou bijekci M na M. Je-li M konečná, např. M = {1, 2,…, n}, pak permutaci mnoţiny M zapisujeme ve tvaru matice: , kde (i) = ji, i = 1, 2,…, n. Tento tvar se nazývá základní tvar permutace . Je-li (p1, p2,…, pn) libovolné pořadí prvků 1, 2,…, n (tedy uspořádaná n-tice, v níţ se kaţdý z uvedených prvků vyskytuje právě jednou) a (pi) = qi, i = 1, 2,…, n, můţeme permutaci zapsat v tzv. obecném tvaru: . Prvek i M se nazývá samodruţný prvek permutace se jedná o prvek nesamodruţný. 

, jestliţe

Permutace I na mnoţině M se nazývá identická permutace, právě kdyţ kaţdý prvek mnoţiny M je samodruţným prvkem permutace I, tj. I =



(i) = i. V opačném případě

Permutaci

–1

.

nazýváme inverzní permutací k permutaci .



Jsou-li

permutace mnoţiny M,

a

pak permutaci nazýváme součinem (sloţením) permutací , a píšeme nebo ◦ . Násobení permutací je asociativní a není komutativní, neboť skládání zobrazení je vţdy asociativní operace, která však není obecně komutativní. Věta 5. 1. Mnoţina všech permutací mnoţiny M = {1, 2,…, n} tvoří spolu s operací násobení permutací nekomutativní grupu řádu n!, která se nazývá symetrická grupa n prvků a značí se symbolem Sn. Důkaz: Mnoţina Sn je spolu s operací násobení zřejmě nekomutativní grupa. Vztah |Sn| = n! se ověří úplnou indukcí podle n. □ Definice 5. 1. Nechť p1, p2,…, pk je posloupnost různých prvků mnoţiny M = {1, 2,…, n}, k 2. Permutaci Sn takovou, ţe (p1) = p2, (p2) = p3,…, (pk – 1) = pk, (pk) = p1, (p) = p pro kaţdé p M – {p1, p2,…, pk}, nazýváme cyklickou permutací, resp. cyklem délky k a značíme (p1, p2,…, pk); tedy = (p1, p2,…, pk). Cykly délky 2 se nazývají transpozice na M. Říkáme, ţe dva cykly (p1, p2,…, pk) a (q1, q2,…, ql) jsou nezávislé, kdyţ {p1, p2,…, pk} {q1, q2,…, ql} = . Konečná mnoţina cyklů se povaţuje za nezávislou, jsou-li kaţdé dva cykly této mnoţiny nezávislé. V opačném případě hovoříme o závislých cyklech.

29

Lemma 5. 2. Nechť = (p1, p2,…, pk) Sn. Pak platí: 1) = (pi, pi + 1,…, pk, p1,…, pi – 1) pro kaţdé i = 1, 2,…, k. 2) –1 = (pk, pk – 1,…, p2, p1). Důkaz: 1), 2) Jedná se o bezprostřední důsledek definice 5. 1. □ Věta 5. 3. Součin nezávislých cyklů z Sn nezávisí na jejich pořadí. Důkaz: Uvaţujme součin … m, kde , ,…, m Sn jsou nezávislé cykly. To ovšem znamená, ţe ţádné dva z těchto cyklů nepřemisťují současně ten samý prvek, neboli permutace i ponechává na místě ty prvky, na které působí permutace j, i j, i, j = 1, 2,…, m, a naopak, kaţdá permutace j ponechává na místě ty prvky, na které působí i. Tedy na umístění permutace i v součin nezáleţí. □ Věta 5. 4. Kaţdou neidentickou permutaci na mnoţině M = {1, 2,…, n} lze rozloţit aţ na pořadí jednoznačně v součin nezávislých cyklů, jeţ jsou délky větší neţ jedna. Důkaz: Viz [7]. Věta 5. 5. Kaţdou permutaci na mnoţině M = {1, 2,…, n} (n 2) lze rozloţit v součin transpozic. Důkaz: Libovolný cyklus můţeme rozloţit jako (p1, p2,…, pk) = (p1, pk) (p1, pk – 1) … (p1, p3) (p1, p2) (k 2). Je-li nyní I, pouţijeme větu 5. 4., a tedy danou permutaci můţeme napsat jako součin rozkladů všech jejích cyklů. Identickou permutaci I můţeme zapsat ve tvaru I = (p, q) (p, q), kde (p, q) je libovolná dvojice různých prvků z M. □ Definice 5. 2. Nechť je permutace mnoţiny M = {1, 2,…, n}. Říkáme, ţe dvojice (p, q) různých prvků z M představuje inverzi permutace , jestliţe (p – q) ( (p) – (q)) 0; tedy je-li např. (p) (q) a zároveň p q. Permutace se nazývá sudá nebo lichá podle toho, má-li sudý nebo lichý počet inverzí. Mluvíme pak o paritě permutace. Značí-li t počet inverzí permutace , pak definujeme sgn = (–1)t. Tedy, je-li sudá permutace, máme sgn = 1, kdeţto sgn = –1, jakmile je permutace lichá; sgn (čteme signum) nazýváme znaménko permutace . Poznámka: 1) Parita permutace je určena jednoznačně. 2) Grupa Sn má právě

sudých a

lichých permutací.

Věta 5. 6. Nechť , Sn. Potom platí: 1) sgn ( ) = sgn sgn , 2) sgn = sgn –1. Důkaz: Viz [7]. Poznámka: Podle definice 5. 2. a věty 5. 6. 1) je tedy součin dvou sudých nebo dvou lichých permutací sudá permutace, součin sudé a liché permutace (v libovolném pořadí) je lichá permutace.

30

Lemma 5. 7. Kaţdá transpozice je lichou permutací. Důkaz: Nechť = (p, q) je transpozice, kde p, q jsou různé prvky z M. Jelikoţ (p, q) = (q, p), lze předpokládat, ţe p q. Je-li q = p + 1, je dvojice {p, p + 1} jedinou dvojicí představující inverzi permutace . Nechť p + 1 q. V tomto případě dvojice {p, p + 1}, {p, p + 2},…, {p, q} a {p + 1, q},…, {q – 1, q} dávají mnoţinu všech dvojic představujících inverzi permutace = (p, q). Je jich celkem (q – p) + (q – p) – 1, coţ je liché číslo. □ Věta 5. 8. Permutace Sn je sudá nebo lichá podle toho, zda je součinem sudého nebo lichého počtu transpozic. Je-li = (p1, p2,…, pk) cyklus délky k, potom sgn = (–1)k – 1. Důkaz: Podle věty 5. 5. lze permutaci rozloţit alespoň jedním způsobem ve tvaru součinu transpozic = … r. Uţitím lemmatu 5. 7. a věty 5. 6. 1) dostáváme sgn = (–1)r, z čehoţ plyne první část věty. Je-li = (p1, p2,…, pk), potom = (p1, pk) (p1, pk – 1) … (p1, p2), a odtud sgn = (–1)k – 1. □ Věta 5. 9. Mnoţina An všech sudých permutací mnoţiny M = {1, 2,…, n}, n 2, tvoří podgrupu symetrické grupy Sn indexu 2 (tedy je to normální podgrupa). Důkaz: Mnoţina An je uzavřená vzhledem k operaci „ “, neboť součin dvou sudých permutací je opět sudá permutace, a tedy prvek mnoţiny An. Asociativnost je dědičná vlastnost, identická permutace I obsahuje 0 inverzí, je tedy sudá a patří do An. Inverzní permutace k sudé permutaci je také sudá. Tedy An je podgrupa Sn. Jelikoţ sudých permutací je polovina, je An řádu a indexu 2, a tedy podle věty 4. 11. je normální podgrupou grupy Sn. □ Definice 5. 3. Podgrupa An grupy Sn se nazývá alternující grupa permutací stupně n (nebo téţ alternující grupa n prvků). Jistě A1 = S1. Věta 5. 10. Je-li n 2, pak mnoţina transpozic {(1, p); p = 2,…, n} je mnoţinou generátorů symetrické grupy Sn. Je-li n 3, pak mnoţina cyklů délky 3 {(1, 2, p); p = 3,…, n} je mnoţina generátorů alternující grupy An. Důkaz: Kaţdou transpozici (p, q) je moţno vyjádřit ve tvaru (p, q) = (1, p) (1, q) (1, p). Odtud na základě věty 5. 5. jiţ dostáváme první část věty. Obraťme se nyní k alternující grupě An. Podle věty 5. 8. lze kaţdou sudou permutaci zapsat jako součin sudého počtu transpozic. Přitom (p, q) (r, s) = (p, q, r) (q, r, s) a (q, r) (p, q) = (p, r, q), takţe mnoţina všech cyklů délky 3 je mnoţina generátorů pro An. Jelikoţ (p, q, r) = (1, r, p) (1, p, q) a konečně (1, p, q) = = (1, 2, q) (1, 2, p) (1, 2, p), plyne odtud druhé tvrzení. □ Lemma 5. 11. Nechť H je podgrupa symetrické grupy Sn. Pak buď H řádu a obsahuje týţ počet lichých permutací jako sudých. Důkaz: Viz [7]. Věta 5. 12. Permutace čet cyklů kaţdé délky. Důkaz: Viz [6].

,

An, nebo je H sudého

jsou konjugované v grupě Sn právě tehdy, kdyţ mají stejný po-

31

Lemma 5. 13. Je-li permutace Sn k-členný cyklus, potom k = o( ). Důkaz: Nechť = (p1, p2,…, pk). Ukáţeme, ţe k = I, kde k je nejmenší kladné celé číslo s touto vlastností: (pk) = p1, 2(pk) = (p1) = p2, 3(pk) = (p2) = p3,…, k – 1(pk) = (pk – 2) = pk – 1, k (pk) = (pk – 1) = pk . Z poslední rovnosti dostáváme k = I, coţ znamená, ţe o( ) = k. □ Věta 5. 14. Řád permutace v grupě Sn, která je součinem navzájem nezávislých cyklů, je roven nejmenšímu společnému násobku délek jejích cyklů. Důkaz: Nechť = … m, kde , ,…, m Sn jsou nezávislé cykly, je délky ki, ki i = 1,2,…, m. Podle lemmatu 5. 13. je o( ) = ki, = I a hledáme nejmenší kladné celé číslo n n takové, ţe n = I: n = ( … m)n = n … mn = I, tedy n = I, n = I,…, mn. Odtud dostáváme, ţe ki | n pro i = 1,2,…, m. To ovšem znamená, ţe n = nsn(k1, k2,…, km). □ Poznámka: Nejsou-li cykly nezávislé, tak nemusí být zaměnitelné a řád permutace, která je jejich součinem, se nemusí rovnat nejmenšímu společnému násobku jejich délek. Věta 5. 15. Pro n Důkaz: Viz [5].

5 je alternující grupa An jednoduchá.

Věta 5. 16. (Cayleyho) Kaţdá konečná grupa (G, ) řádu n je izomorfní s jistou podgrupou symetrické grupy Sn (neboli grupu (G, ) lze izomorfně vnořit do grupy Sn). Důkaz: Mějme dánu grupu (G, ) řádu n. Její prvky označme a1, a2,…,an. Pro kaţdé x G označme Fx zobrazení G do G, které kaţdému prvku a G přiřazuje prvek ax, tj. ( a G) Fx(a) = ax. Takové zobrazení nazveme projekce grupy G (určená prvkem x). Protoţe v G lze krátit libovolným prvkem, je kaţdá projekce Fx prosté zobrazení (pro libovolné prvky a, b, x G platí: je-li Fx(a) = Fx(b), pak ax = bx, a tedy a = b). Protoţe G je struktura s dělením, je Fx zobrazení G na G (pro všechna b, x G existuje a G tak, ţe ax = b, tedy Fx(a) = b). To znamená, ţe pro kaţdé x G je projekce Fx vlastně permutace mnoţiny G, kterou díky označení prvků z G můţeme zapsat téţ takto: Fx =

=

, kde pro k = 1, 2,…, n je aik = akx, tedy

a) kaţdá projekce grupy G definuje jisté pořadí (i1, i2,…, in) čísel 1, 2,…, n. Jsou-li x, y různé prvky grupy G, je Fx(1) = x Fy(1) = y, kde 1 je jednotkový prvek grupy G. Odtud ihned plyne, ţe b) různé prvky grupy G určují různé projekce grupy G (a tedy i pořadí definovaná těmito projekcemi jsou různá). Díky asociativnosti grupy (G, ) snadno ukáţeme, ţe c) sloţení Fx Fy projekcí Fx a Fy grupy G je opět projekce grupy G, přičemţ platí: ( x, y G) Fx Fy = Fxy. K tomuto účelu zvolíme libovolné prvky x, y, a G a postupně ukáţeme: (Fx Fy)(a) = Fy(Fx(a)) = Fy(ax) = (ax)y = a(xy) = Fxy(a). Protoţe a je libovolný prvek grupy G, dostáváme odtud ihned platnost celého tvrzení c). 32

Definujme nyní zobrazení : G

Sn, jeţ kaţdému prvku x

G přiřadí permutaci

, kde (i1, i2,…, in) je pořadí definované projekcí Fx podle a).

(x) =

Z b) ihned plyne, ţe je prosté zobrazení mnoţiny G do symetrické grupy Sn. Stačí tedy ověřit, ţe má vlastnost homomorfismu. Nechť x, y jsou libovolné prvky z G a nechť (x) =

, takţe pro odpovídající projekce Fx, Fy

, (y) =

platí Fx(ak) = aik, Fy(ak) = ajk, k = 1, 2,…, n. Pak dostáváme Fxy(ak) = (Fx Fy)(ak) = Fy(Fx(ak)) = Fy(aik) = ajik, takţe . To však je permutace sloţená z permutací (x) a (y), neboť

(xy) = (x)

(y) =

Tedy (xy) = (x)

=

.

(y), čímţ je věta dokázána. □

Poznámka: Budeme-li permutací rozumět prosté zobrazení jakékoliv (i nekonečné) mnoţiny na sebe, můţeme právě dokázanou větu vyslovit v obecnějším tvaru, coţ ilustruje následující věta. Věta 5. 17. Libovolná grupa (G, ) je izomorfní s jistou podgrupou grupy všech permutací mnoţiny G. Poznámka: Kaţdá podgrupa symetrické grupy Sn se nazývá permutační grupa. Permutační grupou se však nazývá i kaţdá podgrupa permutací nekonečné mnoţiny. Věta 5. 18. Nechť (G, ) je struktura s krácením, s dělením a s jednotkovým prvkem. Potom (G, ) je asociativní, právě kdyţ skládání zobrazení je operací v mnoţině všech projekcí Fx struktury (G, ). Důkaz: Nechť struktura (G, ) je s krácením, s dělením a s jednotkovým prvkem. „ „

“: Předpokládejme, ţe (G, ) je asociativní. Pak G je grupou a podle bodu c) důkazu věty 5. 16. (či – v případě nekonečné mnoţiny G – analogicky podle věty 5. 17.) tvrzení platí. “: Předpokládejme, ţe skládání zobrazení je operací v mnoţině všech projekcí v G. Pak k libovolným prvkům x, y G musí existovat z G takové, ţe Fx Fy = Fz, neboli (Fx Fy)(a) = Fz(a) pro kaţdé a G. Podle definice skládání zobrazení a definice projekce pak pro jednotkový prvek 1 struktury G dostáváme (Fx Fy)(1) = Fy(Fx(1)) = = Fy(x) = xy, Fz(1) = z, tedy xy = z. To ovšem znamená, ţe Fx Fy = Fxy. Zvolme nyní libovolné prvky x, y, z G. Pak platí x(yz) = Fyz(x) = (Fy Fz)(x) = Fz(Fy(x)) = Fz(xy) = = (xy)z. Tedy struktura (G, ) je asociativní. □

Poznámka: V případě konečných struktur (G, ), jejichţ operace je zadaná multiplikativní tabulkou, lze větu 5. 18. uţít při ověřování asociativnosti operace „ “.

33

2. 6. Grupy symetrií Symetrie útvaru v rovině, resp. v prostoru, je shodné zobrazení roviny, resp. prostoru, které zobrazí daný objekt na sebe. Grupa symetrií objektu je pak mnoţina všech symetrií tohoto útvaru spolu s operací skládání symetrií. Skutečně jde o grupu: - sloţením dvou symetrií je opět symetrie, - skládání zobrazení je asociativní, - neutrálním prvkem je identické zobrazení I, které ponechává daný útvar na místě, - symetrie jsou vlastně bijekce, proto musí ke kaţdé symetrii nutně existovat symetrie inverzní. Mezi grupami symetrií v rovině zaujímají význačné postavení tzv. dihedrální grupy, jimiţ se budeme v dalším zabývat. Dihedrální grupa Dn je grupa symetrií pravidelného n-úhelníku, tedy mnoţina všech symetrií pravidelného n-úhelníku pro n 3 spolu s operací skládání. Při určování počtu symetrií pravidelného n-úhelníku je zřejmé, ţe máme 

n rotací: pravidelný n-úhelník lze otočit o úhel

, kde k = 0,…, n – 1, okolo svého

středu tak, aby se zobrazil opět sám na sebe (pro k = 0 jde o identickou symetrii); 

n osových souměrností, a to jak pro liché, tak i sudé n:  liché n: - osy procházející kaţdým vrcholem a středem protilehlé strany (celkem n),  sudé n: - osa pro kaţdou dvojici protilehlých vrcholů (celkem ), - osa pro kaţdou dvojici protilehlých středů stran (celkem ).

Tedy grupa Dn obsahuje minimálně 2n symetrií. Označme vrcholy pravidelného n-úhelníku postupně čísly 1, 2,…, n. Kaţdá symetrie je potom určena tím, jak zobrazuje vrcholy 1, 2,…, n tohoto n-úhelníku. Tedy dihedrální grupa Dn je podgrupou symetrické grupy Sn, neboť se skládá právě z těch permutací mnoţiny {1, 2,…, n}, které vzniknou, kdyţ čísly 1, 2,…, n očíslujeme vrcholy pravidelného n-úhelníku a poté uvaţujeme všechny jeho symetrie. Označme:  

R … otočení (rotace) o úhel okolo středu n-úhelníku v kladném směru O … osová souměrnost podle osy procházející vrcholem 1 (tzv. zrcadlení)

Rotace vţdy zachovávají pořadí vrcholů i jejich směr. Osová souměrnost naproti tomu vţdy mění směr. Dvojí změnou pořadí dostaneme původní pořadí (O ◦ O = I). Navíc sloţením libovolných dvou zrcadlení dostaneme rotaci. Vezmeme-li rotaci R a osovou souměrnost O, pak celou grupu Dn vygenerujeme jen s jejich pomocí. Platí: Rn = I, O2 = I, R ◦ O = O ◦ Rn – 1 (tzv. definující relace). Symetrie R je řádu n, symetrie O a sloţená symetrie R ◦ O je řádu 2. 34

Jak jiţ bylo řečeno, kaţdá symetrie je určená tím, jak zobrazuje vrcholy 1, 2,…, n pravidelného n-úhelníku. Potom pokud nějakou symetrií zobrazíme vrchol 1 na vrchol i, symetrie buď zachovává cyklické pořadí vrcholů a je rovna Ri – 1, nebo pořadí obrací a je rovna O ◦ Ri – 1. Proto řád grupy Dn je roven právě 2n a její prvky mají tvar: I, R, R2, R3,…, Rn – 1, O, O ◦ R, O ◦ R2, O ◦ R3,…, O ◦ Rn – 1. Tedy pro dihedrální grupu platí: Dn = [R, O] = { Oj ◦ Rk; 0

k

n, j

{0, 1}, k

}.

Pro určení sloţení libovolných dvou symetrií grupy Dn pouţíváme Cayleyho (multiplikativní) tabulku. Vyuţíváme přitom faktu, ţe Rn = I, O2 = I a pro libovolné i, 0

n, je Ri ◦ O = O ◦ Rn – i.

i

(Odvození: Ri ◦ O = Ri – 1 ◦ R ◦ O = Ri – 1 ◦ O ◦ Rn – 1 = Ri – 2 ◦ R ◦ O ◦ Rn – 1 = Ri – 2 ◦ O ◦ Rn – 1 ◦ Rn – 1 = = Ri – 2 ◦ O ◦ Rn – 2 = Ri – 3 ◦ R ◦ O ◦ Rn – 2 = Ri – 3 ◦ O ◦ Rn – 1 ◦ Rn – 2 = Ri – 3 ◦ O ◦ Rn – 3 =…= = Ri – i ◦ O ◦ Rn – i = O ◦ Rn – i.) Při skládání symetrií postupujeme takto:    

Ri ◦ Rj = R(i + j) mod n, 0 i, j n; Ri ◦ O ◦ Rj = O ◦ R(j – i) mod n (Ri ◦ O ◦ Rj = (Ri ◦ O) ◦ Rj = O ◦ Rn – i ◦ Rj = O ◦ R–i ◦ Rj = = O ◦ Rj – i = O ◦ R(j – i) mod n), 0 i, j n; O ◦ Ri ◦ Rj = O ◦ R(i + j) mod n, 0 i, j n; O ◦ Ri ◦ O ◦ Rj = R(j – i) mod n (O ◦ Ri ◦ O ◦ Rj = O ◦ (Ri ◦ O ◦ Rj) = O ◦ O ◦ R(j – i) mod n = = R(j – i) mod n), 0 i, j n.

Poznámka: x mod n značí zbytek po dělení čísla x číslem n, tj. 0

x mod n

n.

Cayleyho tabulka pro grupu Dn: ◦

I

R

R2

…

Rn – 1

O

O◦R

O ◦ R2

…

O ◦ Rn – 1

I

I

R

R2

…

Rn – 1

O

O◦R

O ◦ R2

…

O ◦ Rn – 1

R

R

R2

R3 mod n

…

I

O ◦ Rn – 1

O

O◦R

…

O ◦ Rn – 2

R2

R2

R3 mod n

R4 mod n

…

R

O ◦ Rn – 2 O ◦ Rn – 1

O

…

O ◦ Rn – 3

… Rn – 1

Rn – 1

I

R

… …

O

O

O◦R

O ◦ R2

O◦R

O◦R

O ◦ R2

O ◦ R3 mod n …

O ◦ R2

O ◦ R2 O ◦ R3 mod n O ◦ R 4 mod n …

… Rn – 2

O◦R

O ◦ R2

O ◦ R3 mod n

…

O

I

R

R2

…

Rn – 1

O

Rn – 1

I

R

…

Rn – 2

O◦R

Rn – 2

Rn – 1

I

…

Rn – 3

O ◦ Rn – 1

… O ◦ Rn – 1

O ◦ Rn – 1

O

O◦R

…

… O ◦ Rn – 2

35

R

R2

R3 mod n

…

I

Podgrupy Dn: Kaţdá podgrupa dihedrální grupy Dn je generována maximálně dvěma prvky. Dostáváme jen tři druhy podgrup grupy symetrií Dn pravidelného n-úhelníku:  {I, Rj, R2j,…,Rn – j} pro kaţdé j | n,  {I, O ◦ Ri} pro všechna 0 i n,  {I, Rk, R2k,…,Rn – k, O ◦ Rh, O ◦ Rk + h, O ◦ R2k + h,…, O ◦ Rn – k + h} pro kaţdé k | n a kaţdé 0 h k. Poznámka: Podgrupy Dn viz [8].

36

2. 7. Homomorfismy grup S homomorfním a izomorfním zobrazením algebraických struktur s jednou binární operací jsme se seznámili v 1. kapitole. Nyní se zaměříme čistě na homomofismy a izomorfismy grup. Definice 7. 1. Nechť je homomorfismus grupy (G, ) na grupu (H, ), jejíţ neutrální prvek je 1´. Potom mnoţina Ker = J = {x G; (x) = 1´}se nazývá jádro homomorfismu . Definice 7. 2. Nechť je homomorfismus grupy (G, ) na grupu (H, ), K podmnoţina v H. Mnoţina –1(K) = {x G; (x) K} ( G) se nazývá úplný vzor mnoţiny K při homomorfismu . Je-li L podmnoţina v G, pak mnoţinu (L) = { (y) H; y L} ( H) nazýváme obrazem mnoţiny L při homomorfismu . Obraz celé grupy G (tedy (G)) nazýváme obrazem homomorfismu a značíme Im . Poznámka: Z definice 7. 2. je zřejmé, ţe speciálně mnoţina jádro homomorfismu .

–1({1´}),

kde 1´ je neutrální prvek v H, je

Věta 7. 1. Nechť je homomorfismus grupy (G, ) na grupu (H, ). Pak je izomorfismus, právě kdyţ Ker je jednoprvková mnoţina, tj. kdyţ Ker = {1}, kde 1 je neutrální prvek grupy G. Důkaz: „ “: Předpokládejme, ţe je izomorfismus, tj. injektivní zobrazení. Jsou-li x, y Ker libovolné prvky, pak (x) = 1´ = (y), kde 1´ je neutrální prvek v H. Odtud jiţ dostáváme rovnost x = y, neboť je injekce. Tedy Ker je jednoprvková mnoţina. „

“: Předpokládejme, ţe není prosté zobrazení. Pak existují prvky x, y G takové, ţe x y a zároveň (x) = (y). Protoţe x y, je také xy–1 1 (kdyby xy–1 = 1, pak –1 –1 (xy )y = 1y, neboli x(y y) = y, takţe x = y). Přitom ale platí (xy–1) = (x) (y–1) = = (x) –1(y) = (x) –1(x) = 1´. To znamená, ţe Ker vedle prvku 1 obsahuje ještě prvek xy–1, a není tedy jednoprvkovou mnoţinou. □

Věta 7. 2. Nechť je homomorfismus grupy (G, ) na grupu (H, ). Pak platí: 1) Je-li K podgrupa v H, je –1(K) podgrupa v G. 2) Je-li K H, je –1(K) G. 3) Ker G. 4) Je-li L podgrupa v G, je (L) podgrupa v H. 5) Im je podgrupa v H. 6) Je-li L G, je (L) Im . Důkaz: 1) Předpokládejme, ţe K je podgrupa v H. G, –1(K) ( (1) = 1´ K, proto 1 –1(K) –1(K)). - Jsou-li x, y (x), (y) K, takţe –1(K) libovolné prvky, pak = (x) (y–1) = (x) –1(y) K. To znamená, ţe xy–1 –1(K). Tedy –1(K) je podgrupa v G. 2) Nechť K H. Podle 1) je –1(K) podgrupa grupy G. Jsou-li g G a x volné prvky, je (gxg–1) = (g) (x) (g–1) = (g) (x) –1(g) K, neboť K gxg–1 G. –1(K). Proto –1(K) 3) Plyne okamţitě z 2). 37

(xy–1) =

–1(K)

liboH, takţe

4) Předpokládejme, ţe L je podgrupa v G. (L) H, (L) (1 L, proto (1) = 1´ (L)). - Jsou-li x, y (L) libovolné prvky, pak existují x1, y1 L tak, ţe x = (x1), y = (y1). Odtud x1y1–1 L, takţe máme xy–1 = (x1) –1(y1) = (x1) (y1–1) = = (x1y1–1) (L). Tedy (L) je podgrupa v H. 5) Plyne bezprostředně ze 4), stačí volit L = G. 6) Nechť L G. Podle 5) a 4) je (L) podgrupa grupy Im . Jsou-li g Im a x (L) libovolné, pak existují g1 G, x1 L tak, ţe g = (g1), x = (x1). Potom je gxg–1 = = (g1) (x1) –1(g1) = (g1) (x1) (g1–1) = (g1x1g1–1) (L), neboť g1x1g1–1 L. Tedy (L) Im . □ Věta 7. 3. Nechť (G, ) je grupa, N normální podgrupa grupy G. Pak faktorová grupa (G N, ) je homomorfním obrazem grupy (G, ). Důkaz: Nechť jsou splněny předpoklady věty. Vytvořme faktorovou grupu G N a definujme zobrazení: :G G N ( x G) (x) = xN je surjekce, - ( x, y G) (xy) = xyN = (xN)(yN) = (x) (y) – splněna podmínka homomorfismu. Tedy je homomorfismus grupy G na grupu G N. □ Poznámka: 1) Homomorfismus grupy G na její faktorovou grupu G N (viz věta 7. 3.) se nazývá kanonický homomorfismus. 2) Jádro kanonického homomorfismu je totoţné s normální podgrupou N grupy G: Ker = {x G; (x) = N} = {x G; xN = N} = N. Věta 7. 4. (věta o izomorfismu pro grupy) Nechť grupa (H, ) je homomorfním obrazem grupy (G, ). Pak v grupě G existuje normální podgrupa N tak, ţe faktorová grupa (G N, ) je izomorfní s grupou (H, ). Důkaz: 1) Nechť je homomorfismus G na H. Poloţme N = Ker . Pak N je normální podgrupa (viz věta 7. 2. 3)), lze tedy vytvořit faktorovou grupu G N. 2) Ukáţeme, ţe předpis ( xN

G N)

(xN) = (x) definuje izomorfismus G N na H.

-

Nechť xN, yN G N libovolné takové, ţe xN = yN; pak podle věty 4. 3. máme y–1x N = Ker , tedy (y–1x) = 1´ (1´ je neutrální prvek v H). Protoţe je homomorfismus, dostáváme (y–1) (x) = –1(y) (x) = 1´, takţe (x) = (y), tj. (xN) = (yN). Výše uvedené vztahy jsou ekvivalentní, vyjdeme-li tedy z rovnosti (xN) = (yN), dostaneme postupně aţ xN = yN. To ovšem znamená, ţe je zobrazení, které je injektivní.

-

Zvolme libovolný prvek y H; protoţe je zobrazení G na H, existuje x G tak, ţe y = (x). Zároveň ale (x) = (xN), tudíţ k prvku y H existuje prvek xN G N tak, ţe y = (xN), tj. je surjekce.

-

Zřejmě

je zobrazení celé mnoţiny, tedy bijekce. 38

Jsou-li xN, yN G N libovolné, je (xNyN) = (xyN) = = (xN) (yN) – splněna podmínka homomorfismu. Tedy je izomorfismus faktorové grupy G N na grupu H. □ -

(xy) =

(x) (y) =

Vzhledem k tomu, co jiţ bylo řečeno o souvislosti mezi normálními podgrupami a jádry homomorfismu, lze větu 7. 4. formulovat téţ takto: Věta 7. 5. Nechť je homomorfismus grupy (G, ) na grupu (H, ), Ker fismu. Pak (G Ker , ) (H, ).

jádro homomor-

Věta 7. 6. Nechť (G, ) je grupa a g G je libovolný pevně zvolený prvek. Pak zobrazení g :G G definované pro kaţdé x G předpisem g(x) = g–1xg je automorfismus grupy G. Důkaz: - Pro libovolné x, y G je g(xy) = g–1(xy)g = (g–1xg)(g–1yg) = g(x) g(y), takţe g :G G je homomorfismus. - Pro kaţdé x G je g(gxg–1) = g–1(gxg–1)g = x, čili g je surjekce. - Zřejmě g je zobrazení celé mnoţiny. - Ker g = {x G; g(x) = 1} = {x G; g–1xg = 1} = {1} (neboť g–1xg = 1, právě kdyţ xg = g, tj. kdyţ x = 1). To znamená, ţe g je injekce. Tedy g je automorfismus grupy G. □ Definice 7. 3. Je-li (G, ) grupa, pak se pro kaţdý prvek g vnitřní automorfismus grupy G určený prvkem g.

G automorfismus

g

nazývá

Poznámka: 1) Mnoţinu všech automorfismů grupy G značíme symbolem Aut G, mnoţinu všech vnitřních automorfismů symbolem In G. 2) Mnoţina Aut G spolu s operací skládání zobrazení, tj. (Aut G, ◦), je grupa. Věta 7. 7. Je-li (G, ) grupa, pak mnoţina In G spolu s operací skládání zobrazení je normální podgrupa grupy (Aut G, ◦). Důkaz: 1) Ukáţeme, ţe In G je podgrupa Aut G. -

-

Zřejmě In G Aut G; In G (pro kaţdé x G je 1–1x1 = x, tj. 1(x) = x, čili 1 = I In G). Pro kaţdé tři prvky g, h, x G máme ( g ◦ h)(x) = h( g(x)) = h(g–1xg) = = h–1(g–1xg)h = (h–1g–1)x(gh) = (gh) –1x(gh) = gh(x), tedy g ◦ h = gh In G. Neutrálním prvkem je 1 = I In G. Asociativnost operace „◦“ na mnoţině In G plyne z téţe vlastnosti na mnoţině Aut G (dědičná vlastnost); nebo také z toho, ţe skládání zobrazení je obecně asociativní. Je-li g G libovolný prvek, existuje g–1 G a platí g ◦ g–1 = gg–1 = 1 = I a také g–1 ◦ g = g–1g = 1 = I. Tedy g–1 = ( g)–1 In G.

2) Nechť Aut G, g In G libovolné. Pak pro kaţdé x G máme ( –1 ◦ g ◦ )(x) = –1 = ( g( –1(x))) = (g–1 (x) g) = (g–1) ( –1(x)) (g) = –1(g) x (g) = (g) –1 g (g) = (x); tedy ◦ ◦ = In G. To však znamená, ţe In G Aut G. □

39

Poznámka: 1) Zobrazení g: G G definované pro kaţdé x G a pro pevně zvolené g g –1 sem (x) = g xg se také někdy nazývá konjugace (neboť prvky x, konjugované v grupě G). 2) Je-li (G, ) komutativní grupa, pak = x, tj. g(x) = I(x)).

g

= I (( g

G) ( x

G)

g

G předpig (x) jsou

(x) = g–1xg = xg–1g =

3) Nechť H je podgrupa a endomorfismus grupy G. Říkáme, ţe podgrupa H je invariantní vůči homomorfismu , právě kdyţ pro kaţdé h H je (h) H, neboli (H) H. 4) Podgrupa H je normální podgrupou grupy G, právě kdyţ H je invariantní vůči všem vnitřním automorfismům grupy G (H G, právě kdyţ pro kaţdé g G a kaţdé x H je g–1xg H, tj. kdyţ g(x) H). 5) Jestliţe podgrupa H je invariantní vůči všem automorfismům grupy G, pak se nazývá charakteristická podgrupa grupy G. Je-li H invariantní vůči všem endomorfismům grupy G, pak se nazývá úplně charakteristická podgrupa grupy G. 6) Zřejmě kaţdá úplně charakteristická podgrupa je jiţ charakteristická a kaţdá charakteristická je normální podgrupa. 7) Celá grupa G a jednotková podgrupa {1} představují příklady úplně charakteristických podgrup. Definice 7. 4. Nechť (G, ) je grupa. Mnoţina C(G) = {g nazývá centrum grupy G.

G; gx = xg pro kaţdé x

G} se

Věta 7. 8. Je-li (G, ) grupa, pak C(G) je charakteristická podgrupa grupy G a kaţdá podgrupa H taková, ţe H C(G), je normální v G. Důkaz: 1) Ukáţeme, ţe C(G) je podgrupa v G. -

Zřejmě C(G) G; C(G) (pro kaţdé x G je 1x = x1, tj. 1 C(G)). Jsou-li g, h C(G) libovolné, pak pro kaţdé x G je gx = xg a hx = xh, a tedy také xh–1 = h–1x. Potom však (gh–1)x = g(h–1x) = g(xh–1) = (gx)h–1 = (xg)h–1 = = x(gh–1), takţe gh–1 C(G), a podle věty 2. 4. je C(G) podgrupa v G.

2) Je-li g C(G) a Aut G, pak pro libovolné y G existuje x G tak, ţe y = (x), načeţ dostáváme (g)y = (g) (x) = (gx) = (xg) = (x) (g) = y (g). Odtud jiţ je (g) C(G), neboli C(G) je invariantní vůči kaţdému automorfismu Aut G. To ovšem znamená, ţe C(G) je charakteristická podgrupa grupy G. 3) Jestliţe H je podgrupa v G taková, ţe H C(G), pak pro kaţdé g je gh = hg, neboli g–1hg = h H. Odtud H G. □ Věta 7. 9. Pro kaţdou grupu (G, ) platí izomorfismus G C(G)

Gah

H

C(G)

In G.

Definice 7. 5. Je-li (G, ) grupa a x, y prvky z G, pak se prvek x–1y–1xy nazývá komutátor (uspořádané) dvojice prvků x, y. Podgrupa G´ grupy G generovaná mnoţinou všech komutátorů se nazývá komutant grupy G. Věta 7. 10. Pro kaţdou grupu G je komutant G´ úplně charakteristická podgrupa grupy G. 40

Věta 7. 11. Nechť G je komutativní grupa. Potom C(G) = G a komutant G´ = {1}. Poznámka: Důkazy vět 7. 9. – 7. 11. uvedeny v [7].

Zabývejme se nyní homomorfismy cyklických grup. Nechť tedy G = [a] je cyklická grupa řádu n s neutrálním prvkem 1 a H = [b] cyklická grupa řádu m s neutrálním prvkem 1´. 1) Je-li : G H homomorfismus grup, pak platí:  (a) = y, kde y H,  (1) = (an) = n(a) = yn = 1´,  ( x G) (x) = (al) = l(a) = yl, kde l ,  [ (a)] H, nebo [ (a)] = H (v takovém případě je

epimorfismus).

Kaţdý homomorfismus cyklické grupy je jednoznačně určen obrazem jejího generátoru. Chceme-li tedy nalézt všechny homomorfismy : G H, musíme určit obraz n generátoru a grupy G, tj. (a) = y H tak, aby y = 1´. Pomocí (a) pak pro kaţdé x G určíme (x). Poznámka: Jestliţe m | n, pak n = mq a yn = ymq = (ym)q = (1´)q = 1´. Homomorfismů : G H je právě tolik, kolik prvků má grupa H. 2) Uvaţujme endomorfismus : G G. n l n ln  ( y G) y = (a ) = a = (an)l = 1l = 1. Endomorfismů grupy G existuje právě tolik, kolik má grupa G prvků. 3) Nechť : G G je automorfismus. Obrazem generátoru musí být také generátor, takţe máme:  (a) = ak, kde k , nsd(k, n) = 1 (viz věta 3. 11.),  ( x G) (x) = (al) = l(a) = (ak)l = akl = (al)k = xk. Automorfismů grupy G je tedy právě tolik, kolik má grupa G generátorů. 4) Uvaţujme endomorfismus : ( , +) ( , +), = [1] = [–1].  (1) = y, kde y ,  ( x ) (x) = (x 1) = x (1) = x y. Endomorfismů grupy existuje nekonečně mnoho. 5) Nechť : ( , +) ( , +) je automorfismus.  (1) = y, y , a zároveň y musí být generátor grupy , proto máme a 2(1) = –1,  ( x ) 1(x) = x 1 = x, 2(x) = x (–1) = –x (viz 4)). Tedy Aut = { 1, 2} ( 2, ).

41

1(1)

=1

3. Sbírka příkladů 3. 1. Algebraické struktury s jednou operací 3. 1. 1. Řešené příklady Příklad 1. 1. 1: Uveďte, kolika způsoby je moţné definovat binární operaci v mnoţině X = {a, b, c, d}. Řešení: Mnoţina X je konečná (čtyřprvková), proto lze operaci v X zadat Cayleyho tabulkou. Počet všech navzájem různých binárních operací, jeţ lze definovat v mnoţině X, je roven 416, neboť do kaţdého z šestnácti polí tabulky můţeme zapsat libovolný ze čtyř prvků dané mnoţiny. Příklad 1. 1. 2: Je dána mnoţina M a předpis „ “. Rozhodněte, zda tento předpis definuje operaci v mnoţině M, jestliţe: a) M = {–1, 0, 1}, x y = x + y; b) M = , x y = x – y; c) M = – {–1}, x y = x + y + xy; d) M = {x ; x = 2k, k }, x y = ; e) M = , x y = tg (x + 2y). Řešení: Aby předpis „ “ definoval operaci v M, musí být mnoţina M uzavřená vzhledem k „ “, tj. musí platit x y M pro kaţdé x, y M. a) Např. pro x = 1 M, y = 1 M máme x y = 1 + 1 = 2 M, tedy předpis „ “ nedefinuje operaci v M. b) Např. pro přirozená čísla x = 2, y = 4 máme x y = 2 – 4 = –2 nedefinuje operaci v M = .

, takţe předpis „ “

c) Jsou-li x, y libovolné, pak xy , a tudíţ také x + y + xy . Protoţe ale uvaţujeme mnoţinu M = – {–1}, musíme ještě určit, pro která x, y nastane x y = –1: x y = –1 x + y + xy = –1 x + y + xy + 1 = 0 (x + 1) + y(1 + x) = 0 (x + 1) (y + 1) = 0 x = –1 y = –1. Tedy pokud je x –1 a zároveň y –1, je také x y –1, neboli x y – {–1}. To ovšem znamená, ţe předpis „ “ definuje operaci v M. d) Např. pro x = 20 M, y = –2 nuje operaci v M.

M je x y =

e) Protoţe x y = tg (x + 2y) = kde k . Např. ale pro x = , y = nedefinuje operaci v M.

=9

M. Předpis „ “ tudíţ nedefi-

, musí být cos (x + 2y) dostáváme x + 2y =

0, tj. x + 2y

+k ,

+ 2 , tedy předpis „ “

Příklad 1. 1. 3: Nechť operace „○“ je v mnoţině definovaná takto: x ○ y = xy – 4x – 4y + 16. Najděte všechna x tak, ţe (3 ○ x) ○ (3 ○ x) = 0. 42

Řešení: 3 ○ x = 3x – 12 – 4x + 16 = –x + 4 (3 ○ x) ○ (3 ○ x) = (–x + 4) ○ (–x + 4) = (–x + 4)2 – 4(–x + 4) – 4(–x + 4) + 16 = 0 x2 – 8x + 16 + 4x – 16 + 4x – 16 + 16 = 0 x2 = 0 x = 0. Příklad 1. 1. 4: Mějme strukturu (M, ), kde M = a operace „ “ je definovaná takto: ( (x1, y1), (x2, y2) M) (x1, y1) (x2, y2) = (x1 + x2, y1 y2). Zjistěte, zda struktura (M, ) je struktura s neutrálním prvkem. Řešení: Struktura (M, ) je s neutrálním prvkem, právě kdyţ platí: ( (xe, ye) M) ( (x, y) M) (x, y) (xe, ye) = (xe, ye) (x, y) = (x, y). Protoţe sčítání a násobení celých čísel je komutativní, stačí ověřit pouze jeden z těchto vztahů, např. (x, y) (xe, ye) = (x, y). Musí tedy platit (x + xe, y ye) = (x, y), takţe dostáváme: - x + xe = x, tedy xe = 0, - y ye = y, tedy ye = 1 (pro y 0). Protoţe ye = 1 pro nenulová y, musíme ještě ověřit, ţe uspořádaná dvojice (0, 1) je neutrálním prvkem také pro (x, 0) M libovolné: - (x, 0) (0, 1) = (x + 0, 0 1) = (x, 0). Tedy (0, 1) je neutrálním prvkem struktury (M, ). Poznámka: Pokud bude daná struktura komutativní, budeme při určování dalších vlastností této struktury (jiţ bez upozornění) vţdy ověřovat pouze jeden z definičních vztahů dané vlastnosti. Příklad 1. 1. 5: V mnoţině G = {a, b, c, d} je dána operace „○“ tabulkou. Rozhodněte, zda je grupoid (G, ○) komutativní, resp. asociativní, resp. jestli má neutrální prvek. a) b) ○ a b c d ○ a b c d a a b c d a c a b d b b c b d b c a b d c c c b d c c a b d d d d d d d c a b d Řešení: a) Struktura (G, ○) není komutativní, není asociativní (např. a ○ (b ○ c) = a ○ b = a, ale (a ○ b) ○ c = a ○ c = b) a nemá neutrální prvek. b) Struktura (G, ○) není komutativní, má neutrální prvek a. Protoţe G je strukturou s neutrálním prvkem a také s agresivním prvkem (= prvek d), stačí ověřit asociativnost operace „○“ pouze pro prvky b, c (viz kapitola 2. 1., poznámka na straně 14). Např. b ○ (b ○ c) = b ○ b = c, ale (b ○ b) ○ c = c ○ c = b, tedy G není asociativní. Poznámka: Jak poznáme vlastnosti konečné struktury, jejíţ operace je zadaná Cayleyho tabulkou, je uvedeno v kapitole 2. 1., str. 14.

43

Příklad 1. 1. 6: Je dán grupoid (G, ). Rozhodněte, zda je tento grupoid komutativní, resp. asociativní, resp. zda má neutrální prvek, jestliţe: a) G = , x y = (x – 1) (y – 1); b) G = +, x y = . Řešení: Nejprve vţdy uvedeme vztah, který musí platit, aby byla struktura (G, ) komutativní, resp. asociativní, resp. s neutrálním prvkem, a poté jej ověříme (takto budeme postupovat i v dalších příkladech na určování vlastností algebraických struktur). a) G = , x y = (x – 1) (y – 1) - Komutativnost: ( x, y ) x y=y x x y = (x – 1) (y – 1) = (y – 1) (x – 1) = y x, tedy ( , ) je komutativní. - Asociativnost: ( x, y, z ) (x y) z = x (y z) L = (x y) z = [(x – 1) (y – 1)] z = [(x – 1) (y – 1) – 1] (z – 1) = = (x – 1) (y – 1) (z – 1) – (z – 1) P = x (y z) = x [(y – 1) (z – 1)] = (x – 1) [(y – 1) (z – 1) – 1] = = (x – 1) (y – 1) (z – 1) – (x – 1) - např. pro x = 1, y = 2, z = 3 je L P (L = –2, P = 0), tj. ( , ) není asociativní. - Neutrální prvek: ( e )( x ) x e=x (x – 1) (e – 1) = x xe – e – x + 1 = x e(x – 1) = 2x – 1 e= (pro x 1) - protoţe neutrální prvek nesmí záviset na jiných prvcích dané struktury, nemá ( , ) neutrální prvek. b) G =

+

, x y=

- Komutativnost: + ( x, y ) x y=y x x y= = = y x, tedy (

+

, ) je komutativní.

- Asociativnost: + ( x, y, z ) (x y) z = x (y z) L = (x y) z = P = x (y z) = x

z= =

- např. pro x = 1, y = –1, z = 2 je L P (L = – , P = – ), tj. ( +, ) není asociativní. - Neutrální prvek: + + ( e )( x ) x e=x =x xe = x( + ) e= + (pro x 0), tedy ( +, ) nemá neutrální prvek. 44

Příklad 1. 1. 7: Dokaţte, ţe daná pologrupa (G, ) má neutrální prvek. Dále pak nalezněte kaţdý prvek z G, k němuţ existuje prvek inverzní, a tento inverzní prvek určete, jestliţe: a) G = , x y = x + y – xy; b) G = 7, operace „ “ je násobení zbytkových tříd podle modulu 7, tj. operace „ “. Řešení: Obě struktury jsou komutativní. a) G = , x y = x + y – xy - Neutrální prvek: ( e )( x ) x e=x x + e – xe = x e(1 – x) = 0, tedy e = 0 (pro x 1) - musíme ještě ověřit, ţe 0 je neutrálním prvkem také pro x = 1: 1 0 = 1 + 0 – 1 0 = 1, tedy e = 0 je neutrální prvek v ( , ). - Inverzní prvky: ( x )( ) x =e x+ –x =0 x + (1 – x) = 0 =– = (pro x 1) - tedy ( x

– {1})

, k číslu x = 1 inverzní prvek neexistuje.

=

b) Sestavíme pro pologrupu ( 7, a inverzní prvky:

) Cayleyho tabulku, z níţ určíme neutrální prvek

-

Neutrální prvek: . Inverzní prvky: Prvek je sám k sobě inverzní, prvek je sám k sobě inverzní, dále pak navzájem inverzními prvky jsou dvojice: , ; , . K prvku neexistuje inverzní prvek.

Příklad 1. 1. 8: Je dána mnoţina G = {a, b, c} a částečná tabulka operace „○“ v G. ○ a b c

a b c a c a b

Doplňte tabulku tak, aby (G, ○) a) byl grupoid s neutrálním prvkem, b) byl grupoid s inverzními prvky, c) byl komutativní grupoid, d) byla grupa.

45

Řešení: a)

b) ○ a b c

a a a a

b c b b

c) ○ a b c

c a b c

a a c a

b c b b

c a b c

○ a b c

a a c a

b c a b

c a b b

d) Tabulku nelze doplnit, neboť v kaţdém řádku a v kaţdém sloupci tabulky se kaţdý prvek mnoţiny G musí vyskytovat právě jednou (viz kapitola 2. 2., str. 20). Poznámka: Tučně zvýrazněny prvky, které můţeme volit libovolně. Příklad 1. 1. 9: Určete vlastnosti struktury (M, ) a její typ, jestliţe: a) M = {0, 1, 2, 3, 4}, x y = |x – y|; b) M = + – {1}, x y = ; c) M = P(A), A = {1, 2, 3}, X Y = X Y, X, Y P(A); d) M = , x y = 2x + 2y – 5. Řešení: a) Sestavíme pro strukturu (M, ) Cayleyho tabulku, ze které určíme její vlastnosti: * 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 0 1 2 3

2 2 1 0 1 2

3 3 2 1 0 1

4 4 3 2 1 0

-

M je uzavřená vzhledem k „ “. (M, ) je komutativní, s neutrálním prvkem 0, s inverzními prvky (kaţdý prvek je sám k sobě inverzní). (M, ) není s krácením ani s (jednoznačným) dělením.

- Asociativnost: ( x, y, z M) (x y) z = x (y z) L = (x y) z = |x – y| z = ||x – y| – z|, P = x (y z) = x |y – z| = |x – |y – z|| - např. pro x = 1, y = 2, z = 3 je L P (L = 2, P = 0), tj. (M, ) není asociativní. Tedy (M, ) je komutativní grupoid s neutrálním prvkem a s inverzními prvky. b) M = + – {1}, x y = - Uzavřenost: + + ( x, y – {1}) x y – {1} + Jsou-li x, y libovolné, pak ln x, ln y , a tudíţ také (ln x)(ln y) . Potom je + + ovšem . Protoţe uvaţujeme mnoţinu – {1}, musíme určit, pro + která x, y nastane x y = 1: x y=1 =1 (ln x)(ln y) = 0 ln x = 0 ln y = 0 x=1 y = 1. Pokud je x 1 a současně y 1, je také x y 1, neboli x y – {1}; tedy uzavřenost platí. - Asociativnost: + ( x, y, z – {1}) (x y) z = x (y z) L = (x y) z = [ ] z=a z= = = , kde a =

46

P = x (y z) = x [ ] =x b= = = = , kde Tedy L = P, takţe ( + – {1}, ) je asociativní. - Komutativnost: + ( x, y – {1}) x y = y x x y= = = y x, tj. ( + – {1}, ) je komutativní. - Neutrální prvek: + + ( n – {1}) ( x – {1}) x n = x =x (ln x)(ln n) = ln x ln n = 1, tudíţ n = e (tj. Eulerovo číslo) je neutrální prvek v ( + – {1}, ) - Inverzní prvky: + + ( x – {1}) ( – {1}) x =n =e (ln x)(ln ) = 1 ln

=

, tedy

=

+

, tj. (

– {1}, ) je struktura s inverzními prvky.

- Krácení: + ( x, y, z – {1}) x z = y z x=y x z=y z = (ln x)(ln z) = (ln y)(ln z) ln x = ln y x = y, tj. ( + – {1}, ) je struktura s krácením. - Dělení: + + ( x, y – {1}) ( z – {1}) x z = y =y (ln x)(ln z) = ln y ln z = , tedy z = , tj. ( ným dělením (pro kaţdé x, y x z = y). Tedy (

+

+

– {1}, ) je struktura s dělením, a to s jednoznač+ + – {1} existuje právě jedno z – {1} tak, ţe

– {1}, ) je abelovská grupa.

Poznámka: Protoţe grupa je struktura s krácením a s (jednoznačným) dělením, nemuseli jsme poslední dvě vlastnosti ověřovat. c) M = P(A), A = {1, 2, 3}, X Y = X Y, X, Y - Uzavřenost: ( X, Y P(A)) X Y P(A) – platí.

P(A)

- Pro libovolné mnoţiny X, Y, Z P(A) platí asociativnost a komutativnost průniku, tj. (X Y) Z = X (Y Z), X Y = Y X. - Neutrální prvek: ( E P(A)) ( X P(A)) X E = X E = A je neutrálním prvkem v P(A). - Inverzní prvky: ( X P(A)) ( P(A)) X =A - např. pro X = {1} neexistuje inverzní prvek, tudíţ P(A) není s inverzními prvky.

47

- Krácení: ( X, Y, Z P(A)) X Z = Y Z X=Y - neplatí např. pro X = {1, 2}, Y = A, Z = {1}, neboť X Z = Y Z = Z, přitom ale X Y. Tedy P(A) není s krácením. - Dělení: ( X, Y P(A)) ( Z P(A)) X Z = Y - neplatí např. pro X = {1}, Y = A, takţe P(A) není s (jednoznačným) dělením. -( X

P(A)) X

Tedy (P(A),

= , coţ znamená, ţe

je agresivním prvkem v P(A).

) je komutativní monoid s agresivním prvkem.

d) M = , x y = 2x + 2y – 5 - Uzavřenost: ( x, y ) x y Jsou-li x, y libovolné, pak 2x, 2y , a tudíţ také 2x + 2y – 5 . Tedy mnoţina je uzavřená vzhledem k operaci „ “. - Asociativnost: ( x, y, z ) (x y) z = x (y z) L = (x y) z = (2x + 2y – 5) z = 2(2x + 2y – 5) + 2z – 5 = 4x + 4y + 2z – 15 P = x (y z) = x (2y + 2z – 5) = 2x + 2(2y + 2z – 5) – 5 = 2x + 4y + 4z – 15 - např. pro x = 1, y = –1, z = 0 je L P (L = –15, P = –17), tj. ( , ) není asociativní. - Komutativnost: ( x, y ) x y=y x x y = 2x + 2y – 5 = 2y + 2x – 5 = y x, tedy ( , ) je komutativní. - Neutrální prvek: ( e )( x ) x e=x 2x + 2e – 5 = x 2e = 5 – x e= - tedy ( , ) nemá neutrální prvek, a tudíţ není ani strukturou s inverzními prvky. - Krácení: ( x, y, z ) x z=y z x=y x z=y z 2x + 2z – 5 = 2y + 2z – 5 2x = 2y x = y, takţe ( , ) je struktura s krácením. - Dělení: ( x, y )( z ) x z=y 2x + 2z – 5 = y 2z = y – 2x + 5 z= , tj. ( , ) je struktura s (jednoznačným) dělením. Tedy ( , ) je komutativní kvazigrupa. Příklad 1. 1. 10: Nechť G = {S, P, L, Z} je mnoţina, kde prvky mnoţiny G jsou povely: S – zůstaňte na místě, P – vpravo v bok, L – vlevo v bok, Z – čelem vzad. V mnoţině G definujme operaci „○“ takto: x ○ y = z, kde z značí ten povel, jímţ můţeme nahradit povely x, y provedené po sobě. Utvořte tabulku operace „○“ a určete typ struktury (G, ○). 48

Řešení: ○ S P L Z

S S P L Z

P P Z S L

L L S Z P

Z Z L P S

-

G je uzavřená vzhledem k „○“. (G, ○) je komutativní, s neutrálním prvkem S, s inverzními prvky: prvek S (Z) je sám k sobě inverzní, prvky P, L jsou navzájem inverzní.

Poznámka: Dá se dokázat, ţe je-li operace „○“ komutativní, pak platí:  pro kaţdé a G splňuje uspořádaná trojice (a, a, a) asociativnost operace „○“;  jestliţe pro kaţdé a, b, c G uspořádané trojice (a, b, c) a (b, a, c) splňují asociativnost operace „○“, pak také uspořádané trojice (a, c, b), (c, b, a), (b, c, a), (c, a, b) splňují asociativnost operace „○“;  pro kaţdé a, b G splňuje uspořádaná trojice (a, b, a) asociativnost operace „○“;  jestliţe pro kaţdé a, b G uspořádaná trojice (a, a, b) splňuje asociativnost operace „○“, pak také uspořádaná trojice (b, a, a) splňuje asociativnost operace „○“. Nemusíme tedy v případě asociativnosti ověřovat 33 definičních vztahů pro prvky P, L, Z, ale pouze tyto rovnosti: - (P ○ L) ○ Z = P ○ (L ○ Z) S○Z=P○P Z=Z - (L ○ P) ○ Z = L ○ (P ○ Z) S○Z=L○L Z=Z - (P ○ P) ○ L = P ○ (P ○ L) Z○L=P○S P=P - (P ○ P) ○ Z = P ○ (P ○ Z) Z○Z=P○L S=S - (L ○ L) ○ P = L ○ (L ○ P) Z○P=L○S L=L - (L ○ L) ○ Z = L ○ (L ○ Z) Z○Z=L○P S=S - (Z ○ Z) ○ P = Z ○ (Z ○ P) S○P=Z○L P=P - (Z ○ Z) ○ L = Z ○ (Z ○ L) S○L=Z○P L = L. Tedy struktura (G, ○) je komutativní, asociativní, s neutrálním prvkem a s inverzními prvky, tj. abelovská grupa. Příklad 1. 1. 11: + Je dán grupoid ( +, +) a podmnoţina H . Rozhodněte, zda (H, +) je podgrupoidem grupo+ idu ( , +), je-li: a) H = + – {1, 2, 4, 5}; b) H = + – {1, 2, 5, 6}; c) H je libovolná, neprázdná konečná podmnoţina mnoţiny +; + d) H = {x ; 3 | x 7 | x }. Řešení: Mnoţina H musí být uzavřená vzhledem k operaci „+“. a) H = {3, 6, 7, 8, 9, 10,…}; sečteme-li libovolné dva prvky z H, dostaneme opět prvek mnoţiny H, tedy (H, +) je podgrupoidem grupoidu ( +, +). b) H = {3, 4, 7, 8, 9, 10,…}; protoţe 3 grupoidu ( +, +). c) Je-li např. H = {1, 2, 3}, pak 2, 3 idem ( +, +).

H, ale 3 + 3 = 6 H, ale 2 + 3 = 5

d) H = {3, 6, 7, 9, 12, 14, 15, 18, 21,…}; tedy např. 6, 7 (H, +) není podgrupoidem ( +, +). 49

H, není (H, +) podgrupoidem H, takţe (H, +) není podgrupoH, ale 6 + 7 = 13

H, tudíţ

Příklad 1. 1. 12: V mnoţině G je daná operace „ “ tabulkou: a b c d

a a b b a

b c b c b

c c c b b

d a a a a

V grupoidu (G, ) pak nalezněte všechny podgrupoidy, resp. všechny podpologrupy, resp. všechny podgrupy. Řešení:  Podgrupoidy: Existuje celkem patnáct neprázdných podmnoţin mnoţiny G. Musíme zjistit, které z nich jsou uzavřené vzhledem k operaci „ “. Dostáváme: (G1, ) = ({a}, ), (G2, ) = ({b}, ), (G3, ) = ({b, c}, ), (G4, ) = ({a, d}, ), (G5, ) = ({a, b, c}, ), (G6, ) = (G, ).  Podpologrupy: (G1, ), (G2, ), (G3, ), (G4, ) (splňují asociativnost operace „ “, kdeţto (G5, ), (G6, ) nejsou asociativní; např. (a b) c = c c = b, ale a (b c) = a c = c).  Podgrupy: (G1, ), (G2, ), (G3, ) ((G4, ) není podgrupou, protoţe nemá neutrální prvek, tj. ani inverzní prvky). Příklad 1. 1. 13: Dokaţte, ţe operace „ “ a „ “ definované v mnoţině m, m , m 1, předpisem: ( , = , = m) a) nezávisí na volbě reprezentantů ( ); b) jsou asociativní a komutativní. Řešení: a) Předpokládejme, ţe = , = . Pak x1 = mq1 + r, x2 = mq2 + r, y1 = mt1 + s, y2 = mt2 + s, kde 0 r, s m; q1, q2, t1, t2 . Pak platí: - x1 + y1 = m(q1 + t1) + (r + s), x2 + y2 = m(q2 + t2) + (r + s), takţe = ; - x1y1 = m(q1t1m + q1s + t1r) + rs, x2y2 = m(q2t2m + q2s + t2r) + rs, takţe = . Tedy operace „ “ a „ “ v m nezávisí na volbě reprezentantů. b) (

, , - ( = -

m)

) ( =

= )

= =

- ( ) = = = = Tedy operace „ “ a „ “ v

=

=

=

= =

= = = ( . m jsou asociativní a komutativní.

50

)

3. 1. 2. Příklady k procvičení Příklad 1. 2. 1: Je dána mnoţina T a předpis „○“. Rozhodněte, zda tento předpis definuje operaci v mnoţině T, jestliţe: a) T = {–1, 0, 1}, x ○ y = xy; , x○y=

b) T =

;

c) T = , x ○ y = sin (xy – 3x3); d) T = , x ○ y = cotg (3x + 2y). Příklad 1. 2. 2: Nechť operace „ “ je v mnoţině

definovaná takto: x

y=

. Najděte všechna x

tak,

ţe (x 1) (x 1) = 0,4375. Příklad 1. 2. 3: V mnoţině G = {a, b, c, d} je dána operace „○“ tabulkou. Rozhodněte, zda je grupoid (G, ○) komutativní, resp. asociativní, resp. jestli má neutrální prvek. ○ a b c d

a c a b a

b a a d b

c b d b c

d a b c d

Příklad 1. 2. 4: Je dán grupoid (G, ). Rozhodněte, zda je tento grupoid komutativní, resp. asociativní, resp. zda má neutrální prvek, jestliţe: a) G = , x y = (x + y) (1 + xy); b) G = , x y = |x|. Příklad 1. 2. 5: Dokaţte, ţe daná pologrupa (G, ) má neutrální prvek. Dále pak nalezněte kaţdý prvek z G, k němuţ existuje prvek inverzní, a tento inverzní prvek určete, jestliţe: a) G = , x y = x + y – xy; b) G = 6, operace „ “ je násobení zbytkových tříd podle modulu 6, tj. operace „ “. Příklad 1. 2. 6: Určete vlastnosti struktury (M, ) a její typ, jestliţe: a) M = – {0}, x y = ; b) M = +, x y = x2y2; c) M = +, x y = ; d) M = P(A), A = {1, 2, 3}, X Y = X Y, X, Y

51

P(A).

Příklad 1. 2. 7: V mnoţině G = {a, b, c}, resp. G = {a, b, c, d}, je dána operace „○“ tabulkou. Určete typ algebraické struktury (G, ○), jestliţe: a) b) ○ a b c d ○ a b c a a a a a a a b c b a d b d b b c b c a b c d c c c b d a d d b Příklad 1. 2. 8: V mnoţině G je daná operace „ “ tabulkou: a b c d

a a c b d

b c b c b

c b c b b

d d a a d

V grupoidu (G, ) pak nalezněte všechny podgrupoidy, resp. všechny podpologrupy, resp. všechny podgrupy.

52

3. 2. Základní vlastnosti grup 3. 2. 1. Řešené příklady Příklad 2. 1. 1: Je dán komutativní grupoid (G, ). Rozhodněte, zda (G, ) je komutativní grupou, jestliţe: a) G = – {0}, x y = |x y|; b) G = {a + ib ; a, b (a2 + b2) 0}, operace „ “ je násobení komplexních čísel. Řešení: a) - Asociativnost: ( x, y, z G) (x y) z = x (y z) L = (x y) z = |x y| z = ||x y| z| = |x y z| P = x (y z) = x |y z| = |x |y z|| = |x y z| Tedy L = P, takţe (G, ) je asociativní. - Neutrální prvek: ( e G) ( x G) x e = x |x e| = x, tj. např. pro x = –10 by mělo platit |–10 e| = –10. To ovšem nelze, proto (G, ) nemá neutrální prvek, a tudíţ není ani strukturou s inverzními prvky. Tedy (G, ) není grupa, ale pouze komutativní pologrupa. b) - Násobení komplexních čísel je asociativní. - Neutrální prvek: ( e G) ( x G) x e = x - označme: e = k + il (a + ib ) (k + il ) = a + ib (ak – 5bl) + i (al + bk) = a + ib (ak – 5bl = a al + bk = b) (k = 1 l = 0) Tedy e = 1 + i 0 = 1 je neutrálním prvkem v (G, ). - Inverzní prvky: ( x G) ( G) x =e - označme: = p + iq (a + ib ) (p + iq ) = 1 = p + iq

=

=

=

+

G, (a2 + b2

0),

tj. (G, ) je s inverzními prvky. Tedy (G, ) je komutativní grupa. Příklad 2. 1. 2: Napište multiplikativní tabulku grupy (G, ), kde G = {e, f, g}, kdyţ víte, ţe e f = g. Řešení: ○ e f g Nejprve doplníme prvek e f = g. Neutrálním prvkem pak můţe být e f g e jedině prvek g, tj. vyplníme třetí řádek a třetí sloupec tabulky. Dále f g e f musí být e e = f (v kaţdém řádku a v kaţdém sloupci tabulky musí být g e f g kaţdý prvek právě jednou), potom ze stejného důvodu je f e = g, a nakonec f f = e.

53

Příklad 2. 1. 3( ): Rozhodněte, zda je (M2( ), +) grupa, popřípadě jestli je tato grupa komutativní. Poznámka: Symbolem Mn(T) označujeme mnoţinu všech čtvercových matic řádu n nad oborem integrity, resp. polem T. Řešení: - Součtem dvou matic z M2( ) je opět matice z M2( ), tedy M2( ) je uzavřená vzhledem k operaci „+“. - Sčítání matic je asociativní a komutativní, protoţe je asociativní a komutativní sčítání celých čísel. -

Neutrálním prvkem je nulová matice

-

Ke kaţdému prvku existuje inverzní prvek, k matici

. je to matice

.

Tedy (M2( ), +) je komutativní grupa. Příklad 2. 1. 4: Rozhodněte, zda (G, ) je grupa, kde G = {A Mn( ); det A = 1 det A = –1}. Řešení: - Součinem dvou čtvercových matic řádu n s celočíselnými prvky je opět čtvercová matice řádu n s celočíselnými prvky. Platí: det (A B) = det A det B - je-li det A = 1, det B = 1, pak det (A B) = 1 - je-li det A = 1, det B = –1 (nebo naopak), je det (A B) = –1 - je-li det A = –1, det B = –1, pak det (A B) = 1. Tedy mnoţina G je uzavřená vzhledem k operaci „ “. - Násobení matic je asociativní, není obecně komutativní. -

Neurálním prvkem je jednotková matice E =

-

Protoţe det A 0, kde A Mn( ) libovolná, je matice A regulární, proto k ní existuje matice inverzní a platí: = A*, kde A* je adjungovaná matice k matici A (A* má také celočíselné

.

prvky); A = E, det = (tj. det (G, ) je strukturou s inverzními prvky.

=1

det

= –1). To znamená, ţe

Tedy (G, ) je (nekomutativní) grupa. Příklad 2. 1. 5: Definujme zobrazení fi : – {0, 1} f1(x) = x, f2(x) = , f3(x) = 1 – x, f4(x) = Dokaţte, ţe pak mnoţina G = {f1, f2, f3, mutativní grupa. ◦ Řešení: f 1 Sestavíme Cayleyho tabulku: f 2 Protoţe skládání zobrazení je f 3 asociativní, z tabulky je hned f 4 zřejmé, ţe (G, ◦) je (nekomuf 5 tativní) grupa. f6

– {0, 1} pro i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 takto: , f5(x) = , f6(x) = . f4, f5, f6} spolu s operací skládání zobrazení je nekof1 f1 f2 f3 f4 f5 f6

f2 f2 f1 f6 f5 f4 f3

f3 f3 f5 f1 f6 f2 f4 54

f4 f4 f6 f5 f1 f3 f2

f5 f5 f3 f4 f2 f6 f1

f6 f6 f4 f2 f3 f1 f5

Příklad 2. 1. 6: Nechť (G, ○) je grupa, p G pevný prvek. V mnoţině G definujme operaci „ “ takto: ( x, y G) x y = x ○ p ○ y. Rozhodněte, zda (G, ) je grupa. Řešení: - Uzavřenost: ( x, y G) x y = x ○ p ○ y G – platí, neboť (G, ○) je grupa. - Asociativnost: ( x, y, z G) (x y) z = x (y z) L = (x y) z = (x ○ p ○ y) z = (x ○ p ○ y) ○ p ○ z = x ○ p ○ y ○ p ○ z P = x (y z) = x (y ○ p ○ z) = x ○ p ○ (y ○ p ○ z) = x ○ p ○ y ○ p ○ z Tedy L = P, takţe (G, ) je asociativní. - Neutrální prvek: ( e G) ( x G) x e = e x = x (neutrální prvek grupy (G, ○) označme n) x e=x e x=x x○p○e=x e○p○x=x ○x○p○e= ○x e ○ p ○ x ○ = x ○ ( je inverzní prvek k x v (G, ○)) n○p○e=n e○p○n=n p○e=n e○p=n ○p○e= ○n e ○ p ○ = n ○ ( je inverzní prvek k p v (G, ○)) n○e= e○n= e= e= -

Tedy neutrálním prvkem v (G, ) je . Inverzní prvky: ( x G) ( y G) x y = y x = e x y= y x= x○p○y= y○p○x= ○x○p○y= ○ y○p○x○ = ○ n○p○y= ○ y○p○n= ○ p○y= ○ y○p= ○ ○p○y= ○ ○ y○p○ = ○ ○ n○y= ○ ○ y○n= ○ ○ y= ○ ○ y= ○ ○ Tedy (G, ) je strukturou s inverzními prvky.

Struktura (G, ) je grupa. Příklad 2. 1. 7: V grupě ( *, ) nalezněte všechny prvky konečného řádu a určete jejich řád. Řešení: Řád prvku v grupě – viz definice 2. 3. Číslo 1 je jednotkový prvek grupy ( *, ), o(1) = 1. Dále o(–1) = 2, neboť (–1)2 = 1; ostatní + čísla jsou nekonečného řádu, neboť ţádná jejich mocnina n není rovna 1. Příklad 2. 1. 8: Zjistěte, zda (H, ○) je podgrupou grupy (G, ○), jestliţe: a) H = 2, (G, ○) = ( 4, ); b) H = 3 – { }, (G, ○) = ( 4, ); 55

c) H = {1, –1}, (G, ○) = ( , +); d) H = {1, –1}, (G, ○) = ( *, ). Řešení: a) ( 2, ) není podgrupou grupy ( 4, ), protoţe

2

není podmnoţinou mnoţiny

b) Mnoţina 3 – { } = { , } není uzavřená vzhledem k operaci „ “ ( ( 3 – { }, ) není ani algebraickou strukturou.

4.

= ), tedy

c) Stejný případ jako b), neboť mnoţina {1, –1} není uzavřená vzhledem k operaci „+“ (např. 1 + 1 = 2). d) Cayleyho tabulka: 1 –1 1 1 –1 –1 –1 1

-

{1, –1} je podmnoţinou mnoţiny *. ({1, –1}, ) je asociativní (dědičná vlastnost). Z Cayleyho tabulky je pak zřejmé, ţe ({1, –1}, ) je grupa.

Příklad 2. 1. 9: + a) Zjistěte, zda (H, ) je podgrupou grupy (K*, ), jestliţe H = {x K; xn = 1, n }. b) Nechť (G, ) je komutativní grupa, nechť H = {x G; x2 = 1}. Dokaţte, ţe (H, ) je podgrupou grupy (G, ). c) Je dána grupa ( , +). Rozhodněte, zda (H, +) je podgrupou grupy ( , +), je-li H={ ; a, k , k 0}. Řešení: a) - Uzavřenost: ( x, y H) x y H Jsou-li x, y H libovolné, pak xn = 1, yn = 1, a tedy (x y)n = xn yn = 1 1 = 1. To znamená, ţe x y H, neboli mnoţina H je uzavřená vzhledem k operaci „ “. - Asociativnost, komutativnost – platí (dědičné vlastnosti). - Neutrální prvek: Protoţe 1 je neutrálním prvkem (K*, ), stačí ověřit, zda 1 H: 1n = 1, tedy 1 je neutrálním prvkem také v (H, ). - Inverzní prvky: ( x H) ( x–1 H) x x–1 = 1 Je-li x H, pak x K*, a tedy existuje x–1 K*; (x–1)n = x–n = (xn)–1 = 1–1 = 1, takţe x–1 H. Tedy (H, ) je grupa, a protoţe H K*, je to podgrupa grupy (K*, ). b) - H G, H (12 = 1 H). - ( x, y H) x y–1 H Jsou-li x, y H libovolné, pak x2 = 1, y2 = 1; (x y–1)2 = x2 (y–1)2 = x2 (y2)–1 = = 1 1–1 = 1, tj. x y–1 H. Tedy (H, ) je podgrupou grupy (G, ). c) - H ,H Nechť x, y

(0 H). H libovolné. Potom x =

obecnosti lze předpokládat, ţe k x – y H.

, y = ; a, b, k, l

l. Pak x – y =

Tedy (H, +) je podgrupou grupy ( , +). 56

–

=

0. Bez újmy na

, k, l =

,c

, tudíţ

Poznámka:  Příklad a) jsme řešili pouţitím definice 2. 1. a při řešení příkladů b), c) jsme zase vyuţili větu 2. 4.;  v příkladu b) jsme vyuţili §2 na str. 21 a toho, ţe struktura (G, ) je komutativní. Příklad 2. 1. 10( ): Nechť X = {

M2( ); a

0}.

a) Ukaţte, ţe (X, ) je grupa. b) Zjistěte, zda (Y, ) je podgrupa (X, ), jestliţe Y = {

M2( ); a

0}.

0 (a

x

Řešení: a) - Uzavřenost: Nechť A = A

X libovolné. Pak

,B=

B=

=

, kde ax

0

0), proto

A B X. - Násobení matic je asociativní. - Neutrálním prvkem je jednotková matice E = - Inverzní prvky: Protoţe det A = a = A*. (A*)T =

X.

0, matice jsou regulární a existuje k nim matice inverzní:

, tedy A* =

,

=

,

0, takţe

X.

Tedy (X, ) je grupa. b) - Y X, Y (E - ( A, B Y) A Nechť A = A

Y). Y Y libovolné. Potom

,B=

=

=

Y (a

0, x

0, proto také

0).

Tedy (Y, ) je podgrupa grupy (X, ). Příklad 2. 1. 11: V grupě (G, ), kde G = {A Řešení: Hledáme n A=

+

.

nejmenší takové, ţe An = E:

, A2 =

A3 =

0}, určete řád matice A =

M2( ); det A

=

,

, A4 =

=

=

Tedy o(A) = 4. Příklad 2. 1. 12: Nalezněte všechny podgrupy grupy (

2

4,

) a určete řády všech jejích prvků. 57

= E.

Řešení: 2 4 = {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}. Sestavíme Cayleyho tabulku pro grupu ( 2 4, ), ze které určíme její podgrupy.



Podgrupy: Podle Lagrangeovy věty můţe mít grupa ( 2 ) pouze podgrupy řádu 1, 2, 4 4, nebo 8, tedy: (H1, ) = ({( , )}, ), (H2, ) = ({( , ), ( , )}, ), (H3, ) = ({( , ), ( , ), ), (H4, ) = ({( , ), ( , )}, ), (H5, ) = ({( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ), (H6, ) = =( 2 4, ).



Řády prvků: + Hledáme n nejmenší takové, ţe n ( , ) = ( , ), kde ( , ) - ( , )…řád 1; - ( , ), ( , ), ( , )…řád 2; - ( , ), ( , ), ( , ), ( , )…řád 4.

2

4:

Příklad 2. 1. 13: V grupě ( 8, ) ( 8, ) určete podgrupu ([M], ) generovanou mnoţinou: M = {( , ), ( , )} Řešení: Podgrupa ([M], ) musí obsahovat neutrální prvek grupy ( 8, ) ( 8, ), tj. prvek ( , ). Dále přidáváme postupně prvky z mnoţiny 8 8 tak, abychom obdrţeli grupu (viz věta 2. 7.): - ( , ) ( , )=( , ) - ( , ) ( , )=( , ) - ( , ) ( , ) = ( , ), tj. prvky ( , ), ( , ) jsou navzájem inverzní - ( , ) ( , ) = ( , ), tj. prvek ( , ) je sám k sobě inverzní - ( , ) ( , )=( , ) 58

-

( , )

( , ) = ( , ).

Protoţe struktura ( 8, ) ( 8, ) je komutativní, stačí uvaţovat pouze tyto moţnosti. Tedy ([M], ) = ({( , ), ( , ), ( , ), ( , )}, ) = ([( , )], ) = ([( , )], ). Příklad 2. 1. 14: V mnoţině G = {1, 2, 3,…, 12} je definovaná operace „ “ takto: x y = x + y, pro x + y 12; x y = x + y – 12, pro x + y 12. Dokaţte, ţe (G, ) je komutativní grupa. Vypište všechny její podgrupy a nakreslete Hasseův diagram uspořádané mnoţiny (S , ), kde S značí mnoţinu všech podgrup grupy (G, ). Dále nalezněte v grupě (G, ) podgrupu ([M], ), jestliţe: a) M = {3, 6} b) M = {4} c) M = {1}. Řešení:  Sestavíme Cayleyho tabulku:



Protoţe operace „ “ je asociativní, z Cayleyho tabulky je zřejmé, ţe (G, komutativní grupa.

) je

Podgrupy: (H1, ) = ({12}, ), (H2, ) = ({12, 6}, ), (H3, ) = ({12, 4, 8}, ), (H4, = ({12, 3, 6, 9}, ), (H5, ) = ({12, 2, 4, 6, 8, 10}, ), (H6, ) = (G, ).

)=

59



Hasseův diagram:



Při hledání ([M], ) vyuţíváme definici 2. 4.: a) ([M], ) = ([3, 6], ) = (H4, ), b) ([M], ) = ([4], ) = (H3, ), c) ([M], ) = ([1], ) = (H6, ).

3. 2. 2. Příklady k procvičení Příklad 2. 2. 1: Je dán komutativní grupoid (G, ). Rozhodněte, zda (G, ) je komutativní grupou, jestliţe: a) G = +, operace „ “ je násobení racionálních čísel. b) G = {a + bi; a, b }, operace „ “ je sčítání komplexních čísel. Příklad 2. 2. 2: Nechť A je libovolná pevná mnoţina. Dokaţte, ţe potom (P(A), Příklad 2. 2. 3: Rozhodněte, zda je daná struktura grupa. a) (Mn(K), +); b) (Mn( ), ); c) (G, ), kde G = {A Mn( ); det A

) je komutativní grupa.

0}.

Příklad 2. 2. 4: Zjistěte, zda (H, ○) je podgrupou grupy (G, ○), jestliţe: a) H = , (G, ○) = ( , +); b) H = +, (G, ○) = ( , +); c) H = +, (G, ○) = ( – {0}, ). Příklad 2. 2. 5: Zjistěte, zda (H, ) je podgrupou grupy (K*, ), jestliţe: a) H = {x K; |x| = 1}; b) H = {x K*; x je reálné číslo nebo x je ryze imaginární číslo}. Příklad 2. 2. 6: Nechť (G, ) je komutativní grupa, nechť H = {a podgrupou grupy (G, ).

G; ( n

Příklad 2. 2. 7: Určete řády všech prvků v grupě (G, ○), jestliţe: a) G = P(M), M = {1, 2}, A ○ B = A B, A, B b) (G, ○) = ( 8, ). 60

P(M);

+

) an = 1}. Dokaţte, ţe (H, ) je

3. 3. Cyklické grupy 3. 3. 1. Řešené příklady Příklad 3. 1. 1: Nalezněte všechny generátory grupy: a) ( 6, ); b) ( 13, ); c) ( 18, ). Řešení: Pro kaţdé m , m 1: ( m, ) = [ ] = [k větu 3. 11.)

] = [ ], právě kdyţ nsd(k, m) = 1 (vyuţíváme

a) nsd(k, 6) = 1 k = 1, 5 ( 6, ) = [ ] = [ ]. b) nsd(k, 13) = 1 k = 1, 2, 3, 4,…, 12 ( 13, ) = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] =…= [

].

c) nsd(k, 18) = 1 k = 1, 5, 7, 11, 13, 17 ( 18, ) = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] = [

].

Příklad 3. 1. 2: Jsou dány grupy: a) G = ({x ; x = 3k, k }, ); b) G = ({x ;x= ,k }, ). Určete všechny generátory těchto grup. Řešení: a) G = [3] = [ ]. b) G = [ ] = [2]. Poznámka: Vyuţíváme větu 3. 3., větu 3. 4. Příklad 3. 1. 3: V grupách ( , +), ( *, ) určete podgrupu H generovanou prvkem Řešení:  ( , +): H = [ ] = ({x ;x=k ,k }, +); * * k  ( , ): H = [ ] = ({x ;x=( ),k }, ).

.

Příklad 3. 1. 4: Určete počet generátorů cyklické grupy G řádu: a) 24 b) 81. Řešení: Vyuţijeme Eulerovu funkci (viz poznámka 2) str. 27); dále vyuţijeme toho, ţe platí: + - pro m, n , nsd(m, n) = 1, je (m n) = (m) (n). a) G ( 24, ), 24 = 23 3, (24) = (23 3) = (23) Tedy grupa G má 8 generátorů. 61

(3) = (23 – 22) (3 – 1) = 8.

b) G

(

81,

), 81 = 34, (81) = (34) = 34 – 33 = 54, tj. grupa G má 54 generátorů.

Příklad 3. 1. 5: V dané grupě ( m, ) vypište všechny její podgrupy a nakreslete Hasseův diagram uspořádané mnoţiny (S , ), kde S značí mnoţinu všech podgrup grupy ( m, ). Přitom daná grupa je: a) ( 3, ) b) ( 12, ) c) ( 21, ). Řešení: + Všechny podgrupy grupy ( m, ) jsou tvořeny mnoţinou {[d ]; d , d | m}. a) m = 3: d | 3 d = 1, 3 Podgrupy: H1 = [1 ] = [ ] = ( 3, ), H2 = [3 ] = [ ] = ({ }, ). Hasseův diagram:

b) m = 12: d | 12 d = 1, 2, 3, 4, 6, 12 Podgrupy: H1 = [1 ] = [ ] = ( 12, ), H2 = [2 ] = [ ] = ({ , , , , , }, ), H3 = [3 ] = [ ] = ({ , , , }, ), H4 = [4 ] = [ ] = ({ , , }, ), H5 = [6 ] = [ ] = ({ , }, ), H6 = [12 ] = [ ] = ({ }, ). Hasseův diagram:

c) m = 21: d | 21 d = 1, 3, 7, 21 Podgrupy: H1 = [1 ] = [ ] = ( 21, ), H2 = [3 ] = [ ] = ({ , , , , , , H3 = [7 ] = [ ] = ({ , , }, ), H4 = [21 ] = [ ] = ({ }, ). Hasseův diagram:

Poznámka: Vyuţíváme větu 3. 12. 62

}, ),

Příklad 3. 1. 6: V grupě ( 16, ) nalezněte podgrupu [M], jestliţe: a) M = b) M = { } c) M = { } Řešení: m = 16: d | 16 d = 1, 2, 4, 8, 16 Podgrupy: H1 = [ ] = ( 16, ), H2 = [ ] = ({ , , , , , , , }, H4 = [ ] = ({ , }, ), H5 = ({ }, ). a) b) c) d)

[M] = [ [M] = [ [M] = [ [M] = [

d) M = { , }.

), H3 = [ ] = ({ , , ,

},

),

] = H5, ] = H1, ] = H2, , ] = H3.

Příklad 3. 1. 7: Je dána mnoţina komplexních čísel M = {1, –1, i, –i}. Ověřte, ţe struktura (M, ), kde operace „ “ je násobení komplexních čísel, je grupa. Dále určete podgrupy [A], jestliţe: a) A = {1} b) A = {–1} c) A = {i} d) A = {–i}. Řešení:  Sestavíme Cayleyho tabulku: 1 –1 i –i 

1 –1 i –i 1 –1 i –i –1 1 –i i i –i –1 1 –i i 1 –1

- Protoţe násobení komplexních čísel je asociativní, z tabulky je zřejmé, ţe (M, ) je grupa.

a) [A] = [1] = ({1}, ), b) [A] = [–1] = ({1, –1}, ), c), d) [A] = [i] = [–i] = (M, ).

Příklad 3. 1. 8: V grupě (K*, ) určete podgrupu A generovanou prvkem a = + i . Řešení: Řád prvku v grupě je řád cyklické podgrupy generované daným prvkem. Určíme tedy řád prvku a: - a = ( + i ), a2 = i, a3 = ( + i ), a4 = –1, a5 = ( – i ), a6 = –i, a7 = (

–i

), a8 = 1.

Tedy A = [a] = ({a, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8 = 1}, ). Příklad 3. 1. 9( ): Dokaţte, ţe grupa všech řešení rovnice x3 – 1 = 0 spolu s operací násobení komplexních čísel je podgrupou grupy všech řešení rovnice x6 – 1 = 0. Určete řády všech prvků těchto grup. Jsou to cyklické grupy? Jestliţe ano, najděte všechny generátory obou grup. Řešení: Označme: A = ({x

K; x3 – 1 = 0}, ), B = ({x

63

K; x6 – 1 = 0}, ).

Kořeny rovnice x3 – 1 = 0: x1 = 1, x2 = – + i Kořeny rovnice x6 – 1 = 0: x1 = 1, x2 = – x6 = – i

, x3 = – – i +i

, x3 = –

. –i

, x4 = – 1, x5 =

+i

,

.

Cayleyho tabulka pro (B, ): x1 x2 x3 x4 x5 x6

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x2 x3 x1 x6 x4 x5 x3 x1 x2 x5 x6 x4 x4 x6 x5 x1 x3 x2 x5 x4 x6 x3 x2 x1 x6 x5 x4 x2 x1 x3

-

Z tabulky je zřejmé, ţe (A, ) je podgrupou (řádu 3) grupy (B, ), která je řádu 6.

Řády prvků: - o(x1) = 1 (x1 je neutrální prvek), - o(x4) = 2 ( = x1), - o(x2) = o(x3) = 3 ( = x3, = x1; = x2, = x1), - o(x5) = o(x6) = 6 ( = x2, = x4, = x3, = x6, = x2, = x5, = x1).

= x1;

= x3,

= x4,

Na základě řádů prvků pak dostáváme: - A = [x2] = [x3], - B = [x5] = [x6]. Příklad 3. 1. 10: Nechť : K K, : K K jsou zobrazení definované předpisem: ( x K) (x) = 4x, (x) = 2 – 4x. Označme: f1(x) = , f2(x) = – , f3(x) = , f4(x) = , f5(x) = – , f6(x) =

.

Ověřte, ţe A = ({f1, f2, f3, f4, f5, f6}, ◦), kde operace „◦“ je skládání zobrazení, je grupa, nalezněte všechny její podgrupy a nakreslete pro ně Hasseův diagram. Dále zjistěte, zda grupa A a její podgrupy jsou cyklické. Pokud ano, najděte všechny jejich generátory. Řešení:  Sestavíme Cayleyho tabulku (stejná jako v příkladě 2. 1. 5), z níţ je zřejmé, ţe A je grupa. ◦ f1 f2 f3 f4 f5 f6 f1 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f2 f2 f1 f5 f6 f3 f4 f3 f3 f6 f1 f5 f4 f2 f4 f4 f5 f6 f1 f2 f3 f5 f5 f4 f2 f3 f6 f1 f6 f6 f3 f4 f2 f1 f5 

Podgrupy: H1 = ({f1},◦), H2 = ({f1, f2},◦), H3 = ({f1, f3},◦), H4 = ({f1, f4},◦), H5 = ({f1, f5, f6},◦), H6 = A.

64



Hasseův diagram:



Zda grupa A a její podgrupy jsou cyklické, zjistíme tak, ţe určíme řády všech prvků grupy A: - o(f1) = 1 (f1 je neutrální prvek), - o(f2) = o(f3) = o(f4) = 2 ( = f1, i = 2, 3, 4), - o(f5) = o(f6) = 3 ( = f1, i = 5, 6). Tedy máme: - H1 = [f1], H2 = [f2], H3 = [f3], H4 = [f4], H5 = [f5] = [f6]. - Protoţe ţádný prvek grupy A není řádu 6, grupa A není cyklická.

Poznámka: Dá se dokázat, ţe platí: Je-li p prvočíslo, pak (

p

*

, )

(

p – 1,

), a tedy (

Příklad 3. 1. 11: Určete všechny generátory a všechny podgrupy grupy ( Řešení:

5

p

*

*

, ) je cyklická grupa.

, )a(

7

*

, ).

*



={ , , , } * Platí: ( p*, ) = [ ] = [ ] nsd(k, | p*|) = 1, p . Protoţe je neutrální prvek, nemůţe být generátorem grupy ( 5*, ), která je řádu 4. Zkusme prvek : 1 = , 2 = , 3 = , 4 = , tedy ( 5*, ) = [ ], - nsd(k, 4) = 1 k = 1, 3; proto také ( 5*, ) = [ 3] = [ ]. Podgrupy: + - tvořeny mnoţinou {[ ]; d , d dělí | p*|}, * - | p | = 4: d | 4 d = 1, 2, 4 1 H1 = [ ] = [ ] = ( 5*, ), H2 = [ 2] = [ ] = ({ , }, ), H3 = [ 4] = [ ] = = ({ }, ).



={ , , , , , } 1 = , 2 = , 3 = , 4 = , 5 = , 6 = , tedy ( 7*, ) = [ ], - nsd(k, 6) = 1 k = 1, 5; proto také ( 5*, ) = [ 5] = [ ]. Podgrupy: - | p*| = 6: d | 6 d = 1, 2, 3, 6 * - H1 = [ ] = ( 7 , ), H2 = [ 2] = [ ] = ({ , , }, ), H3 = [ 3] = [ ] = = ({ , }, ), H4 = [ 6] = [ ] = ({ }, ).

5

7

*

Poznámka: Obecně je obtíţné určit generátor grupy (

p

*

, ). 65

Příklad 3. 1. 12( ): Dokaţte, ţe ( 6, ) ( 2 3, ). Řešení: Libovolné k lze podle věty o dělení se zbytkem v zapsat ve tvaru: k = mq + km, kde + 0 km m, m ,q . Pro naše účely: k = 6q + k6, k = 2q´ + k2, k = 3q´´ + k3. Definujme zobrazení : ( 6, ) ( 2 3, ) předpisem: ( k6 (k6) = (k2, k3) 6) a) Ukáţeme, ţe je bijekce. - Nechť k, l libovolné takové, ţe k6 = l6. Pak 6 | k – l, tedy 2 | k – l a zároveň 3 | k – l. Odtud k2 = l2, k3 = l3, takţe (k2, k3) = (l2, l3), neboli (k6) = (l6). To znamená, ţe je zobrazení. je zobrazení celé mnoţiny.

-

Nechť k, l libovolné takové, ţe (k6) = (l6). Potom (k2, k3) = (l2, l3), takţe k2 = l2 a zároveň k3 = l3, tedy 2 | k – l a také 3 | k – l; přitom nsd(2, 3) = 1. Odtud dostáváme 6 | k – l, neboli k6 = l6. To znamená, ţe je injekce.

-

Injektivní zobrazení celé mnoţiny musí být na mnoţinu, tedy

Dohromady

je surjekce.

je bijekce.

b) Ukáţeme, ţe je homomorfismus Podle definice operace „ “ v m je km lm = (k + l)m. ( k6, l6 (k6 l6) = ((k + l)6) = ((k + l)2, (k + l)3) = (k2 l2, k3 6) = (k2, k3) (l2, l3) = (k6) (l6) – splněna podmínka homomorfismu. Tedy

je izomorfismus, tj. ( 6, )

(

2

3,

l3 ) =

).

Poznámka: Právě dokázané tvrzení je speciálním případem tzv. Čínské věty o zbytcích (viz poznámka na straně 26). Příklad 3. 1. 13: Jsou dány grupy: ( 3 4, ), ( 2 3 5, ), ( 6 8, ). Zjistěte, zda jsou tyto grupy cyklické. V kladném případě určete jejich generátory. Řešení:  Protoţe nsd(3, 4) = 1, tak podle Čínské věty o zbytcích je ( 3 ) ( 12, 4, Tedy ( 3 4, ) je cyklická grupa. Generátory určíme dvěma způsoby: - ( 12, ) = [ ] = [ ] = [ ] = [ ]. Kaţdému generátoru grupy ( 12, ) přiřadíme uspořádanou dvojici ze 3 ( , ), ( , ), ( , ), ( , ). Tedy ( 3 4, ) = [( , )] = [( , )] = [( , )] = [( , )]. -



).

4:

Určíme generátory grupy ( 3, ) a ( 4, ). Z nich potom sestavíme všechny uspořádané dvojice, čímţ získáme všechny generátory grupy ( 3 4, ). ( 3, ) = [ ] = [ ], ( 4, ) = [ ] = [ ]. Tedy ( 3 4, ) = [( , )] = [( , )] = [( , )] = [( , )].

Grupa ( 2 3 o zbytcích je ( 2

5, 3

) je cyklická, neboť nsd(2, 3, 5) = 1, a tudíţ podle Čínské věty ( 30, ). 5, )

66

Generátory: - ( 30, ) = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] = [ ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( -



2

3

5,

] = [ ]. ( , , ), ( , , ).

) = [( , , )] = [( , , )] = [( , , )] = [( , , )] = = [( , , )] = [( , , )] = [( , , )] = [( , , )].

( 2, ) = [ ], ( 3, ) = [ ] = [ ], ( 5, ) = [ ] = [ ] = [ ] = [ ]. Vytvoříme z generátorů těchto grup všechny uspořádané trojice, coţ jsou generátory grupy ( 2 3 5, ).

Protoţe nsd(6, 8) = 2 1, grupy ( 48, ) a ( 6 8, ) nejsou izomorfní, neboť grupa ( 48, ) obsahuje prvek řádu 48, ale grupa ( 6 ) má všechny prvky nejvýše 8, řádu nsn(6, 8) = 24. Opravdu: ( ( , ) ( , ) = (24 , 24 ) = (4 (6 ), 3 (8 )) = 6 8) 24 = (4 ,3 ) = ( , ).

3. 3. 2. Příklady k procvičení Příklad 3. 2. 1: Nalezněte všechny generátory grupy: a) ( 7, ); b) ( 14, ); c) ( 20, ). Příklad 3. 2. 2: V dané grupě ( m, ) vypište všechny její podgrupy a nakreslete Hasseův diagram uspořádané mnoţiny (S , ), kde S značí mnoţinu všech podgrup grupy ( m, ). Přitom daná grupa je: a) ( 5, ) ; b) ( 30, ). Příklad 3. 2. 3: Určete všechny generátory a všechny podgrupy grupy (

11

*

, ).

Příklad 3. 2. 4: Nechť A = { , , , } 8, B = { , , , , , } 9. Zjistěte, zda mnoţiny A, B jsou spolu s operací „ “ cyklické grupy. Pokud ano, nalezněte všechny generátory obou grup. Dále určete všechny jejich podgrupy a znázorněte je Hasseovým diagramem. Příklad 3. 2. 5: Jsou dány grupy ( 6 ) a ( 5 7, V kladném případě určete jejich generátory.

10,

67

). Zjistěte, zda jsou tyto grupy cyklické.

3. 4. Rozklady podle podgrupy 3. 4. 1. Řešené příklady Příklad 4. 1. 1( ): Určete faktorovou grupu grupy ( , +) podle podgrupy [k], kde k Řešení: [k] =   

k = 0: [0] = k = 1: [1] = k 0, k 1, k : Určíme třídy rozkladu: - x = 0: 0 + [k] = {y - x = 1: 1 + [k] = {y -

= =

= ={ }, tj. (

.

, tj. ( [0], +) ( , +); [1], +) ( , +);

; y = kq, q } = [k], ; y = 1 + kq, q },

x = k – 1: (k – 1) + [k] = {y

; y = (k – 1) + kq, q

[k] = {[k], 1 + [k],…, (k – 1) + [k]}, tj. (

[k], +)

}.

( k, ).

Příklad 4. 1. 2( ): Určete třídy rozkladu grupy G podle podgrupy H, jestliţe: a) G = (K*, ), H = ({z K; |z| = 1}, ); b) G = (K*, ), H = ( +, ); c) G = ( *, ), H = ({1, –1}, ); d) G = (K, +), H = ( , +); e) G = ( *, ), H = ( +, ). Řešení: Stačí hledat např. levé třídy rozkladu, protoţe všechny uvedené struktury jsou komutativní. Obecně: G H = = {xH; x G} (multiplikativní zápis); G H= = {x + H; x G} (aditivní zápis). a) G H = K* H = Určíme třídy rozkladu (dvojím způsobem): - xH = {y G; y = xh, h H} = {y K*; |y| = |xh|, h = {y K*; |y| = |x| |h|, h H} = {y K*; |y| = |x|}; -

Platí: xH = yH Tedy: xH = yH

y–1x

H H

x–1y H. | |=1 |y| = |x|.

b) G H = K* + = + = {y K*; y = xh, h } = {y = y = xh, h c) G H =

–

*

d) G H = K = {y e) G H = * = {y

=

= K; y – x

H} =

–

=

K*; Arg y = Arg x}; Arg y = Arg x. –

, tj. (

–

*

, )

(

= {y K; y = x + h, h } = {y K; y – x = h, h } = {y K; Im y = Im x}, tj. (K , +) ( , +).

+

= = {y * ; sgn y = sgn x}, tj.

* *

; y = xh, h + = { +,

68

+ –

}.

} = {y

*

;

+

}

+

, ). }=

Příklad 4. 1. 3: Určete faktorovou grupu G H, jestliţe: a) G = ( 16, ), H = [ ]; b) G = ( 12, ), H = ({ =3 , 12; 12}, ); c) G = ([5], +), H = ([20], +). Řešení: Stačí hledat např. levé třídy rozkladu, protoţe všechny uvedené struktury jsou komutativní. a) G = ( 16, ), H = [ ] = ({ , , , }, ); G H = 16 [ ] = = . Počet rozkladových tříd, tj. index [G : H] = 4 (|G| = |H| [G : H], kde |G| = 16, |H| = 4). = : + H = { , , , } = H, = : + H = { , , , } = H1, = : + H = { , , , } = H2, = : + H = { , , , } = H3. Tedy (G H, ) = ({H, H1, H2, H3}, ). b) G = ( 12, ), H = ({ 12; G H = 12 [ ] = = : +H={ , , = : +H={ , , = : +H={ , , (G H, ) = ({H, H1, H2}, ).

=3

,

= , } = H, , } = H1, , } = H2.

12},

) = ({ , , , }, ) = [ ]; ; [G : H] = 3.

c) G = ([5], +) = ({x ; x = 5k, k }, +), H = ([20], +) = ({x ; x = 20l, l }, +); G H = [5] [20] = . = {y ; y = x + h, h } = {y ; y = 5k + 20l, k, l }= = {y ; y = 5(k + 4l), k, l }; - pro k = 0 je x = 0: 0 = H, - pro k = 1 je x = 5: 5 = {y ; y = 5 + 20l, l } = H1, - pro k = 2 je x = 10: 10 = {y ; y = 10 + 20l, l } = H2 , - pro k = 3 je x = 15: 15 = {y ; y = 15 + 20l, l } = H3 . Tedy (G H, +) = ({H, H1, H2, H3}, +). Příklad 4. 1. 4( ): Nalezněte všechny normální podgrupy multiplikativní grupy šestých odmocnin z jedné. Dále určete všechny faktorové grupy podle těchto podgrup. Řešení: Vyuţijeme příkladu 3. 1. 9; B = ({x K; x6 – 1 = 0}, ) = ({x1, x2, x3, x4, x5, x6}, ). Podgrupy: B = [x5] = [x6], B1 = [x1] = ({x1}, ), B2 = [x2] = [x3] = ({x1, x2, x3}, ), B3 = [x4] = ({x1, x4}, ). Protoţe B je cyklická, a tudíţ komutativní grupa, jsou všechny její podgrupy normální.    

B B B B

B= = {B}, B1 = = ={ B2 = = B3: - [B : B3] = 3 (|B| = 6, |B3| = 2), 69

, = {{x1, x2, x3}, {x4, x5, x6}}.

-

x1 B3 = x1 {x1, x4} = {x1, x4} = B3, x2 B3 = x2 {x1, x4} = {x2, x6}, x3 B3 = x3 {x1, x4} = {x3, x5}.

Tedy B B3 = {{x1, x4}, {x2, x6}, {x3, x5}}. Příklad 4. 1. 5( ): Zjistěte, zda H je normální podgrupou grupy G, jestliţe G = ({

0}, ),

M2( )}, ). Pokud ano, určete G H.

H = ({

Řešení: Platí: N G ( g G) ( n N) gng–1 N. Musíme tedy ověřit, zda platí: ( A G) ( B H) A B A=

,B=

A B

=

Tedy H 

M2( ); a

,

H:

= =

=

H.

G.

G H= -

= {Y

G; Y = A B, B

= {Y

G; Y =

H} = {Y ,a

G; Y =

0} =

0}.

Příklad 4. 1. 6( ): Nechť G = ({A Mn( ); det A 0}, ), H = ({B Mn( ); det B 0}, ). Dokaţte, ţe G H je cyklická grupa řádu 2. Řešení: G H=  = {Y G; Y = A B, B H} = {Y G; det Y = det A det B, B - je-li det A 0, pak = H, - je-li det A 0, pak = G – H. Tedy (G H, ) = ({H, G – H}, )

,a

H}

( 2, ), coţ je cyklická grupa řádu 2.

Příklad 4. 1. 7: Nechť (G, ) je cyklická grupa řádu 9. Určete: a) řády všech prvků; b) podgrupu H řádu 3; c) [G : H]; d) G H. Řešení: G = [a] = ({1, a, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8}, ). a) Řády prvků určíme dvěma způsoby: + - Hledáme n nejmenší takové, ţe xn = 1, kde x G: o(1) = 1, o(a) = 9 (a9 = 1), o(a2) = 9 ((a2)9 = 1), o(a3) = 3 ((a3)3 = 1), o(a4) = 9 ((a4)9 = 1), o(a5) = 9 ((a5)9 = 1), o(a6) = 3 ((a6)3 = 1), o(a7) = 9 ((a7)9 = 1), o(a8) = 9 ((a8)9 = 1). 70

-

nsd(k, 9) = 1 k = 1, 2, 4, 5, 7, 8 G = [a] = [a2] = [a4] = [a5] = [a7] = [a8]. Tedy o(a) = o(a2) = o(a4) = o(a5) = o(a7) = o(a8) = 9, neboť G je řádu 9. - Podgrupy: d|9 d = 1, 3, 9 H1 = G = [a], H2 = [a3] = ({1, a3, a6}, ) = [a6], tedy o(a3) = o(a6) = 3, H3 = [a9] = [1] = ({1}, ), tedy o(1) = 1. b) H = H2 (viz a)). c) |G| = 9, |H| = 3, tedy [G : H] = 3. d) G H = [a] [a3] = . - x = 1: 1 [a3] = [a3] = {1, a3, a6}, - x = a: a [a3] = a {1, a3, a6} = {a, a4, a7}, - x = a2: a2 [a3] = a2 {1, a3, a6} = {a2, a5, a8}. G H = {{1, a3, a6}, {a, a4, a7}, {a2, a5, a8}}. Příklad 4. 1. 8: Nechť (G, ) je grupa, kde G = {a, b, c, d, e, f } a operace „ “ je dána tabulkou: a b c d e f

a a b c d e f

b b a f e d c

c c e a f b d

d d f e a c b

e e c d b f a

f f d b c a e

a) Nalezněte všechny podgrupy grupy G. b) Určete, které z nich jsou normální. c) Určete faktorové grupy podle těchto normálních podgrup. Řešení: a) Podgrupy: H1 = (G, ), H2 = ({a}, ), H3 = ({a, b}, ), H4 = ({a, c}, ), H5 = ({a, d}, ), H6 = ({a, e, f }, ). b) Normální podgrupy: H1 G, H2 G (triviální podgrupy); H6 G, neboť [G : H6] = 2 (viz věta 4. 11.) U podgrup H3, H4, H5 zjistíme, zda se rovnají rozklady na levé a pravé třídy: - H3: c H3 = c {a, b} = {c, f }, H3 c = {a, b} c = {c, e}; c H3 H3 c H3 G. -

H4: b H4 = b {a, c} = {b, e}, H4 b = {a, c} b = {b, f }; b H4 H4 b H4 G.

-

H5: e H5 = e {a, d} = {e, c}, H5 e = {a, d} e = {e, b}; e H5 H5 e H5 G. c) Faktorové grupy: - G H1 = G G = = {G}, - G H2 = G {a} = = , - G H6 = {H6, G – H6} = {{a, e, f }, {b, c, d}}. 71

Příklad 4. 1. 9: Nechť (G, ) je grupa. Dokaţte, ţe prvky, které jsou v grupě G konjugované, mají stejný řád. Řešení: + Pokud je x y, tj. y = g–1xg pro nějaké g G, pak také xn yn pro libovolné n , protoţe n –1 –1 –1 –1 n + y = g xgg xg…g xg = g x g. Nechť x G je prvek řádu n. Tedy n nejmenší takové, n n –1 –1 n ţe 1 x (x = g 1g = g g = 1, pro kaţdé g G). Protoţe 1 x a zároveň xn yn, je také + 1 yn (relace „ “ je tranzitivní), neboli yn = 1. Kdyby existovalo m , m n, takové, ţe m y = 1, pak by platilo: xm ym ( g G) xm = g–1ymg = g–11g = g–1g = 1, coţ je spor s tím, ţe o(x) = n. Tedy takové m neexistuje, a proto také o(y) = n. Příklad 4. 1. 10: V grupě ( , +) definujme relaci R takto: ( x, y ) xRy ( k ) x = y + 6k. Zjistěte, zda R je kongruence v grupě ( , +). Pokud ano, určete faktorovou grupu R. Řešení:  ( x ) x = x + 6 0, 0 , tj. xRx; ( x, y ) xRy ( k ) x = y + 6k y = x + 6(–k), –k , tj. yRx; ( x, y, z ) xRy yRz ( k, l ) x = y + 6k y = z + 6l x = z + 6l + 6k = = z + 6(l + k) = z + 6t, t , tj. xRz. Tedy R je ekvivalence. ( x1, x2, y1, y2 ) x1Rx2 y1Ry2 ( k, l ) x1 = x2 + 6k y1 = y2 + 6l x1 + y1 = x2 + 6k + y2 + 6l = x2 + y2 + 6(k + l) = x2 + y2 + 6t, t (x1 + y1)R(x2 + y2), tj. R je kongruence. 

R= = {y ; yRx} = {y - x = 0: = {y - x = 1: = {y - x = 2: = {y - x = 3: = {y - x = 4: = {y - x = 5: = {y Tedy

R={

,

; y = x + 6k, k ; y = 6k, k }, ; y = 1 + 6k, k ; y = 2 + 6k, k ; y = 3 + 6k, k ; y = 4 + 6k, k ; y = 5 + 6k, k ,

,

,

,

}. }, }, }, }, }. }.

3. 4. 2. Příklady k procvičení Příklad 4. 2. 1: Určete faktorovou grupu G H, jestliţe G = ( , +), H = ( , +). Příklad 4. 2. 2: Určete faktorovou grupu G H, jestliţe: a) G = ( 8, ), H = ({ , }, )

b) G = ( , +), H = ([2], +).

Příklad 4. 2. 3: Zjistěte, zda H je normální podgrupou grupy G, jestliţe G = ({ H = ({

M2( )}, ). Pokud ano, určete G H. 72

M2( ); a

0}, ),

3. 5. Permutační grupy 3. 5. 1. Řešené příklady Příklad 5. 1. 1: Ukaţte, ţe mnoţina P = { =

,

,

,

,

}, kde

=

,

=

,

jsou permutace mnoţiny M = {1, 2, 3, 4}, je spolu s operací

=

skládání zobrazení komutativní grupou. Řešení: Sestavíme Cayleyho tabulku: ◦

- Protoţe skládání zobrazení je asociativní, je z Cayleyho tabulky zřejmé, ţe (P, ◦) je komutativní grupa.

Příklad 5. 1. 2: Vyjádřete permutaci permutaci, jestliţe: a)

=

b)

=

ve tvaru součinu nezávislých cyklů, určete její řád, paritu, inverzní S7; S8.

Řešení: a) = (1, 3, 5) (2, 7, 4, 6). - o( ) = nsn(3, 4) = 12. - Paritu určíme třemi způsoby: 1) = (1, 5) (1, 3) (2, 6) (2, 4) (2, 7), je součinem pěti transpozic, tedy lichá; 2) počet inverzí: 13; 3) sgn = (–1)k – 1, je-li cyklus délky k; tedy sgn = (–1)2 (–1)3 = –1. -

=

= (1, 5, 3) (2, 6, 4, 7).

b) = (1, 4) (2, 6) (3, 5, 7). - o( ) = nsn(2, 2, 3) = 6. - Parita: 1) = (1, 4) (2, 6) (3, 7) (3, 5), 2) počet inverzí: 12; 3) sgn = (–1) (–1) (–1)2 = 1. -

=

je součinem čtyř transpozic, tedy sudá;

= (1, 4) (2, 6) (3, 7, 5).

Příklad 5. 1. 3: Nechť a) b)

S7. Určete:

= ; .

73

Řešení: = (1, 2, 4, 7) (3, 5, 6), takţe o( ) = 12, tj. = I, tudíţ ( q Pak = =( ) = , 0 r 12. a)

= = ; = (1, 4) (2, 7) (3, 6, 5),

b)

=

=

=

=I

)k = I, k

.

= (1, 7, 4, 2).

; =

= (7, 4, 2, 1) (6, 5, 3).

Příklad 5. 1. 4: Jsou dány permutace A = (1, 3) (2, 5, 4), B = (1, 3, 5, 2) z grupy S5. Určete: a) ; b) . Řešení: o(A) = 6, o(B) = 4 a)

= = (1, 5) (3, 2); = (1, 2) (3, 5, 4).

b)

= = = (2, 4, 5), = (1, 2, 5, 3), = (2, 4) (5, 1, 3).

=

,

, = (3, 5, 2, 1),

Příklad 5. 1. 5( ): Určete, jaký nejvyšší řád mohou mít permutace z grupy S8 a S14. Řešení: Permutace musíme rozloţit v součin nezávislých cyklů tak, aby nejmenší společný násobek jejich délek byl co největší. V grupě S8: nsn(3, 5) = 15; v grupě S14: nsn(3, 4, 7) = 84. Tedy permutace v grupě S8 mohou být aţ řádu 15, v grupě S8 aţ řádu 84. Příklad 5. 1. 6: Určete cyklickou podgrupu grupy S5 generovanou permutací: a) = (1, 3) (2, 5, 4); b) = (1, 4) (3, 5); c) = (1, 2, 3, 4). Řešení: a) Hledáme H = [ ] = ({I, , , , , }, ), neboť o( ) = 6. = (1, 3) (2, 5, 4), = (2, 4, 5), = (1, 3), = (2, 5, 4), = I. b) o( ) = 2

= (1, 3) (2, 4, 5),

H = [ ] = ({I, }, ).

c) o( ) = 4 H = [ ] = ({I, , , = (1, 2, 3, 4), = (1, 3) (2, 4),

}, ). = (1, 4, 3, 2),

= I.

Příklad 5. 1. 7: Řešte v S6 rovnici:

= . Přitom

=

,

= (1, 6, 4, 3) (2, 5). 74

=

,

Řešení: = (1, 5, 3) (2, 4), = (1, 2, 6) (3, 5), = (1, 6, 4, 3) (2, 5). = = = = (3, 5, 1) (2, 4), = (6, 2, 1) (3, 5), = (3, 1, 6, 4) (5, 2). Příklad 5. 1. 8: Určete permutaci = a její řád, jestliţe = (1, 7, 3, 5) jsou cykly z grupy S7. Řešení: = (2, 4, 3), = (1, 5, 6, 2, 3, 7, 4), = = (3, 7) (4, 5, 6), o( ) = nsn(2, 3) = 6.

= (2, 3, 4),

= (1, 3, 5, 7, 6, 4, 2),

Příklad 5. 1. 9: Určete řád permutací: = (1, 2, 4, 5) (3, 7, 8) (6, 9), = (1, 2, 4, 5, 3, 6, 7, 9) (3, 7, 8) (6, 2, 9) S9. Řešení: Permutace je součinem navzájem nezávislých cyklů, tedy o( ) = nsn(4, 3, 2) = 12. Permutaci musíme nejprve rozloţit v součin nezávislých cyklů: = (1, 9) (2, 4, 5, 7, 6, 8, 3), takţe o( ) = nsn(2, 7) = 14. Příklad 5. 1. 10: Dokaţte, ţe daná permutace je vţdy sudá. a) = ; b) = . Řešení: Vyuţijeme toho, ţe sgn ( ) = sgnn , a tedy jakákoli permutace umocněná na sudé číslo je sudá. a) sgn = sgn ( ) = sgn sgn sgn sgn = = 1 sgn 1 sgn = sgn ( ) = sgn ( ) = 1. Tím je tvrzení dokázáno. b)

= sgn

= = sgn ( = sgn = sgn

sgn = 1.

= sgn

= sgn = sgn

, sgn 1 sgn

sgn = sgn (

Poznámka: Pouţili jsme definici 5. 2., větu 5. 6. Příklad 5. 1. 11: V grupě S5 najděte permutaci Řešení: Obecně: =I = = =

takovou, ţe (1, 3) (2, 4, 5)

75

(1, 4) = I.

= )=

= (1, 3), = (5, 4, 2), = (1, 4), = (5, 4, 2) (1, 3) (1, 4) = (5, 1, 3, 4, 2). Příklad 5. 1. 12: Určete podgrupu grupy S4 generovanou mnoţinou M = {(1, 2), (1, 4)}. Řešení: Nalezneme nejmenší podgrupu grupy S4, která obsahuje mnoţinu M. Kromě identity I a generátorů musíme do [M] zahrnout další prvky, abychom obdrţeli grupu: - (1, 2) (1, 4) = (1, 2, 4), - (1, 2) (1, 2, 4) = (1, 4), - (1, 4) (1, 2, 4) = (4, 2), - (1, 2, 4) (1, 2, 4) = (1, 4, 2). Dále uţ nemusíme skládat, protoţe jsme jiţ vypsali všechny moţnosti. Tedy [M] = ({I, (1, 2), (1, 4), (4, 2), (1, 2, 4), (1, 4, 2)}, ). Skutečně jde o podgrupu v S4, neboť M je uzavřená vzhledem k operaci „ “, neutrálním prvkem je I a ke kaţdému prvku existuje prvek inverzní (kaţdý z prvků I, (1, 2), (1, 4), (4, 2) je sám k sobě inverzní; prvky (1, 2, 4) a (1, 4, 2) jsou navzájem inverzní). Příklad 5. 1. 13: a) Nalezněte všechny podgrupy grupy S3. b) Určete, které z nich jsou normální. c) Určete faktorové grupy podle těchto normálních podgrup. Řešení: S3 = ({

,

,

=

,

,

, =

, ,

}, ), kde

=

=

.

,

=

,

=

,

Sestavíme Cayleyho tabulku, z níţ určíme podgrupy.

a) Podgrupy: H1 = S3, H2 = ({ }, ), H3 = ({ , }, ), H4 = ({ , }, ), H5 = ({ , }, ), H6 = ({ , , }, ). b) Normální podgrupy: H1 S3, H2 S3 (triviální podgrupy), H6 S3 (neboť [S3 : H6] = 2). U podgrup H3, H4, H5 zjistíme, zda se rovnají rozklady na levé a pravé třídy: - H3: H3 = { , } = { , }, H3 ={ , } ={ , H3 H3 H3 S3. -

H4:

H4 = { H4 H4

,

}={ , H4 S3. 76

}, H4

={

,

}

={

,

}; };

-

H5:

H5 = { H5 H5

,

}={ , H4 S3.

c) Faktorové grupy: - S3 H1 = S3 S3= - S3 H2 = S3 { } = - S3 H6 = {H6, S3 – H6} = {{

}, H5

= {S3}, = , }, {

,

={

,

}

={

,

};

, ,

,

}}.

Příklad 5. 1. 14: Rozhodněte, zda podgrupa H generovaná cyklem = (1, 2, 3) je normální podgrupa v S4. Řešení: H = [ ] = ({I, , }, ) = ({I, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}, ) H S4 ( X S4) ( Y H) X Y H. Např. (1, 2, 4) (1, 2, 3) (4, 2, 1) = (1, 3, 4) H, tudíţ H S4.

3. 5. 2. Příklady k procvičení Příklad 5. 2. 1: Vyjádřete permutaci permutaci, jestliţe: a)

=

b)

=

ve tvaru součinu nezávislých cyklů, určete její řád, paritu, inverzní S7; S8.

Příklad 5. 2. 2: Nechť

S7. Určete:

=

a)

b)

c)

.

Příklad 5. 2. 3: Jsou dány permutace a) b) c) d)

=

,

=

S5.

Zapište tyto permutace jako součin navzájem nezávislých cyklů. Určete permutaci . Určete permutaci . Rozloţte permutaci na součin transpozic.

Příklad 5. 2. 4: Jsou dány permutace , , =

S9,

=

,

=

,

. a) Napište permutace , , jako součin navzájem nezávislých cyklů. b) Určete paritu permutací , , . c) Určete permutaci = .

Příklad 5. 2. 5: Nechť =

. Určete paritu permutace .

Příklad 5. 2. 6: Rozhodněte, zda podgrupa generovaná transpozicí (1, 2) je normální podgrupou v S3. 77

3. 6. Grupy symetrií 3. 6. 1. Řešené příklady Příklad 6. 1. 1: Sestavte Cayleyho tabulku pro grupu symetrií obdélníku a rozhodněte, zda je tato grupa komutativní. Řešení:

Všechny symetrie můţeme popsat pomocí permutací: I=

, S=

, O1 =

, O2 =

.

Cayleyho tabulka: ◦ I S O1 O2

I S O1 O2 I S O1 O2 S I O2 O1 O1 O2 I S O2 O1 S I

-

Protoţe tabulka je souměrná podle hlavní diagonály, je grupa symetrií obdélníku komutativní.

Poznámka: 1) Grupa symetrií obdélníku je izomorfní s grupou ( nova čtyřgrupa.

2

2,

), která se nazývá Klei-

2) Kaţdá čtyřprvková grupa je izomorfní s cyklickou grupou ( 4, symetrií obdélníku. (Jde o důsledek Lagrangeovy věty.) Příklad 6. 1. 2: Nechť H je podgrupa grupy D6, která ponechává vrchol číslo 2 na místě. a) Určete rozklad na levé a pravé třídy podle podgrupy H. b) Rozhodněte, zda H je normální podgrupou v D6. Řešení: D6 = ({I, R, R2, R3, R4, R5, O, O◦R, O◦R2, O◦R3, O◦R4, O◦R5}, ◦).

78

) nebo s grupou

Jednotlivé symetrie vyjádříme pomocí permutací: I=

, R2 =

, R=

R4 =

, R5 =

, R3 =

, O1 = O =

O3 = O◦R2 =

, O4 = O◦R3 =

O6 = O◦R5 =

.

, , O2 = O◦R =

, O5 = O◦R4 =

, ,

Tedy H = ({I, O◦R2}, ◦). a) Rozklad na levé třídy: S = {X◦H; X D6}. Rozklad na pravé třídy: S´ = {H◦X; X D6}. Protoţe |D6| = 12, |H| = 2, je [D6 : H] = 6, tj. rozklady S, S´mají šest tříd.  S: - I◦H = H = {I, O◦R2}, - O◦H = O◦{I, O◦R2} = {O, R2}, - R◦H = R◦{I, O◦R2} = {R, O◦R}, - R3◦H = R3◦{I, O◦R2} = {R3, O◦R5}, - R4◦H = R4◦{I, O◦R2} = {R4, O◦R4}, - R5◦H = R5◦{I, O◦R2} = {R5, O◦R3}. Tedy S = {{I, O◦R2}, {O, R2}, {R, O◦R}, {R3, O◦R5}, {R4, O◦R4}, {R5, O◦R3}}. 

b) S

S´: - H◦I = H = {I, O◦R2}, - H◦O = {I, O◦R2}◦O = {O, R4}, - H◦R = {I, O◦R2}◦R = {R, O◦R3}, - H◦R3 = {I, O◦R2}◦R3 = {R3, O◦R5}, - H◦R5 = {I, O◦R2}◦R5 = {R5, O◦R}, - H◦R2 = {I, O◦R2}◦R2 = {R2, O◦R4}. Tedy S = {{I, O◦R2}, {O, R4}, {R, O◦R3}, {R3, O◦R5}, {R5, O◦R}, {R2, O◦R4}}. S´

H

D6.

Příklad 6. 1. 3( ): a) Nalezněte všechny podgrupy grupy D3. b) Určete, které z nich jsou normální. c) Určete faktorové grupy podle těchto normálních podgrup. Řešení: D3 = ({I, R, R2, O, O◦R, O◦R2}, ◦) Cayleyho tabulka: ◦

I R R2 O O◦R 2 I I R R O O◦R R R R2 I O◦R2 O R2 R2 I R O◦R O◦R2 2 O O O◦R O◦R I R O◦R O◦R O◦R2 O R2 I O◦R2 O◦R2 O O◦R R R2

O◦R2 O◦R2 O◦R O R2 R I

79

a) Podgrupy: H1 = D3, H2 = ({I}, ◦), H3 = ({I, O}, ◦), H4 = ({I, O◦R}, ◦), H5 = ({I, O◦R2}, ◦), H6 = ({I, R, R2}, ◦). b) Normální podgrupy: H1 D3, H2 D3 (triviální podgrupy), H6 D3 (neboť [D3 : H6] = 2).  U podgrup H3, H4, H5 zjistíme, zda se rovnají rozklady na levé a pravé třídy: - H3: R◦H3 = R◦{I, O} = {R, O◦R2}, H3◦R = {I, O}◦R = {R, O◦R}; R◦H3 H3◦R H3 D3. - H4: R◦H4 = R◦{I, O◦R} = {R, O}, H4◦R = {I, O◦R}◦R = {R, O◦R2}; R◦H4 H4◦R H4 D3. - H5: R◦H5 = R◦{I, O◦R2} = {R, O◦R}, H5◦R = {I, O◦R2}◦R = {R, O◦R3}; R◦H5 H5◦R H5 D3.  Můţeme řešit také tím, ţe ověříme, zda platí: ( X D3) ( Y Hi) X ◦ Y ◦ Hi, i = 3, 4, 5 2 - H3: R ◦ O ◦ R = O◦R H3 H3 D3. - H4: R ◦ O◦R ◦ R2 = O◦R2 H4 H4 D3. 2 2 - H5: R ◦ O◦R ◦ R = O H5 H5 D3. c) Faktorové grupy: - D3 H1 = D3 D3= {X◦D3; X D3} = {D3}. - D3 H2 = D3 {I} = {X◦{I}; X D3} = {{X}; X D3}. - D3 H6 = {H6, D3 – H6} = {{I, R, R2}, {O, O◦R, O◦R2}}. Příklad 6. 1. 4: Zjistěte, zda D4 je podgrupou grupy D8. V kladném případě určete, zda je normální podgrupou. Řešení: D8 = ({I, R, R2, R3, R4, R5, R6, R7, O, O◦R, O◦R2, O◦R3, O◦R4, O◦R5, O◦R6, O◦R7}, ◦), kde R je rotace o úhel 45°. U grupy D4 je R rotací o úhel 90°. To znamená, ţe rotace R v grupě D4 odpovídá rotaci R2 v grupě D8. Takţe D4 = ({I, R2, R4, R6, O, O◦R2, O◦R4, O◦R6}, ◦), kde R je rotace o úhel 45°, a je tedy podgrupou grupy D8. Protoţe |D8| = 16, |D4| = 8, je [D8 : D4] = 2, takţe D4 D8 (viz věta 4. 11.). Příklad 6. 1. 5( ): Nechť L4, L6, L8, L12 a L20 jsou grupy symetrií pravidelných mnohostěnů. Určete jejich řád. Řešení: Uvaţujme nejprve dvanáctistěn, který má dvanáct pětiúhelníkových stěn. Symetrie musí zobrazit zvolenou stěnu na jednu z dvanácti stěn a můţe tento pětiúhelník otočit či zrcadlit celkem 2 5 = 10 způsoby (jako řád D5). L12 má tedy podle pravidla součinu stodvacet prvků, tj. |L12| = 120. Analogicky zjistíme řády dalších grup:   

L20 má 20 2 3 = 120 prvků, tj. |L20| = 120. L8 má 8 2 3 = 48 prvků, tj. |L8| = 48; L6 má 6 2 4 = 48 prvků, tj. |L6| = 48. L4 má 4 2 3 = 24 prvků, tj. |L4| = 24.

Poznámka: Grupy L12 a L20 jsou izomorfní, jelikoţ kaţdý vrchol dvanáctistěnu lze ztotoţnit se stěnou dvacetistěnu (a naopak). Totéţ platí pro krychli a osmistěn, tj. L6 L8. 80

Příklad 6. 1. 6( ): Dokaţte, ţe grupa otočení pravidelného čtyřstěnu je izomorfní grupě A4. Řešení: Označme si vrcholy pravidelného čtyřstěnu čísly 1, 2, 3, 4. Kaţdé jeho otočení pak můţeme reprezentovat jako permutaci čísel jeho vrcholů. Kaţdé otočení je jednoznačně určeno polohou jedné ze čtyř stěn (čtyři moţnosti) a jednoho ze tří vrcholů této stěny (tři moţnosti). Podle pravidla součinu tedy existuje celkem dvanáct otočení pravidelného čtyřstěnu. Osm z těchto otočení je podle osy procházející vrcholem a těţištěm protilehlé stěny (tj. rotace o 120° a 240°). Tato otočení jsou reprezentována trojcykly (vrchol, jímţ prochází osa, zůstává na místě). Tři otočení jsou podle os procházejících středy protilehlých hran (tj. rotace o 180°), ta jsou reprezentována součinem dvojic transpozic. Poslední otočení je identita. Všechny tyto permutace jsou sudé a jejich počet je roven počtu sudých permutací na čtyřprvkové mnoţině. Skládání otočení odpovídá skládání permutací. Tím je tvrzení dokázáno.

3. 6. 2. Příklady k procvičení Příklad 6. 2. 1: Sestavte Cayleyho tabulku pro grupu symetrií kosočtverce a rozhodněte, zda je tato grupa komutativní. Příklad 6. 2. 2: a) Nalezněte všechny podgrupy grupy D4. b) Určete, které z nich jsou normální. c) Určete faktorové grupy podle těchto normálních podgrup.

81

3. 7. Homomorfismy grup 3. 7. 1. Řešené příklady Příklad 7. 1. 1: Rozhodněte, zda následující zobrazení jsou homomorfismy, resp. izomorfismy grup. V kladném případě určete Ker homomorfismu . a) : ( , +) ( , +), ( a ) (a) = a – 1; 3 b) : ( 3, +) ( 2, +), ( (x1, x2, x3) ) ((x1, x2, x3)) = (x1 – x2, x2 – 2x3); c) : ( , +) ( , ), ( a ) (a) = a + 2, kde operace „ “ je definována takto: ( a, b ) a b = a + b – 2; d) : (G H, ) (G, ), ( (x, y) G H) ((x, y)) = x, kde (G, ), (H, ○) jsou grupy a (G H, ) jejich direktní součin. Řešení: Nejprve vţdy zapíšeme podmínku, která musí platit, aby dané zobrazení bylo homomorfismus. a) ( a, b ) (a + b) = (a) + (b) L = (a + b) = a + b – 1 P = (a) + (b) = a – 1 + b – 1 = a + b – 2 L P, tj. není homomorfismus. 3 b) ( (x1, x2, x3), (y1, y2, y3) ) ((x1, x2, x3) + (y1, y2, y3)) = ((x1, x2, x3)) + ((y1, y2, y3)) L = ((x1, x2, x3) + (y1, y2, y3)) = ((x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)) = = (x1 + y1 – x2 – y2, x2 + y2 – 2x3 – 2y3)

P = ((x1, x2, x3)) + ((y1, y2, y3)) = (x1 – x2, x2 – 2x3) + (y1 – y2, y2 – 2y3) = = (x1 – x2 + y1 – y2, x2 – 2x3 + y2 – 2y3) L = P, tj. je homomorfismus; 3 = {(x1, x2, x3) ; ((x1, x2, x3)) = (0, 0)} = 3 = {(x1, x2, x3) ; (x1 – x2, x2 – 2x3) = (0, 0)} - x1 – x2 = 0 x2 – 2x3 = 0 x1 = x2 = 2x3; Ker = {(2t, 2t, t); t }; není izomorfismus, neboť Ker mnoţina.

Ker

není jednoprvková

c) ( a, b ) (a + b) = (a) (b) L = (a + b) = a + b + 2 P = (a) (b) = (a + 2) (b + 2) = a + 2 + b + 2 – 2 = a + b + 2 L = P, tj. je homomorfismus; Určíme neutrální prvek grupy ( , ): ( e )( a ) a e=a a + e – 2 = a, tj. e = 2 Ker = {a ; (a) = 2} = {a ; a + 2 = 2}= {a ; a = 0} = {0}. Protoţe Ker je jednoprvková mnoţina a je surjekce, je izomorfismus. Poznámka: Vyuţili jsme větu 7. 1. d) ( (x1, y1), (x2, y2) G H) ((x1, y1) (x2, y2)) = ((x1, y1)) ((x2, y2)) ((x1, y1) (x2, y2)) = ((x1 x2, y1 ○ y2)) = x1 x2 = ((x1, y1)) ((x2, y2)), tedy homomorfismus; Ker = {(x, y) G H; ((x, y)) = eG} = {(x, y) G H; x = eG} = = {(eG, y) G H; y H}; tj. není obecně izomorfismus. 82

je

Příklad 7. 1. 2( ): a) Dokaţte, ţe grupa ({1, –1}, ) je homomorfním obrazem grupy ( *, ). b) Dokaţte, ţe grupa (A, ), kde A = {z K; |z| = 1}, je homomorfním, ale ne izomorfním obrazem grupy ( , +). Řešení: a) Musíme nalézt epimorfismus : ( *, ) ({1, –1}, ). + Definujme: ( x ) (x) = 1, ( x ) (x) = –1. Tedy je surjekce. * Ověříme, ţe je homomorfismus, tj. ţe platí: ( x, y ) (x y) = (x) (y) + + - x, y x y (x y) = 1 = 1 1 = (x) (y), + - x, y x y (x y) = 1 = (–1) (–1) = (x) (y), + - x ,y x y (x y) = –1 = 1 (–1) = (x) (y), - x ,y x y (x y) = –1 = (–1) 1 = (x) (y). Tedy grupa ({1, –1}, ) je homomorfním obrazem grupy ( *, ).

b) Je-li z A, pak z = cos x + i sin x = . Definujme : ( , +) (A, ) předpisem: ( x ) (x) = Tedy je surjekce. Pro kaţdé x, y je (x + y) = = = (x) mus. Tedy grupa (A, ) je homomorfním obrazem grupy ( , +). Ker = {x Protoţe Ker

-

Ker Ker

= 8; 2: 2( ) = 2( ) = Ker 3: 3( ) = 3( ) = Ker 4: 4( ) = 4( ) =

Poznámka: Platí: x =x

(y), tj.

je homomorfis-

; (x) = 1} = {x ; = 1} = {x ; x = 2k , k }. je víc jak jednoprvková mnoţina, není izomorfismus (není injekce).

Příklad 7. 1. 3: Nalezněte všechny homomorfismy a určete Ker , jestliţe: a) : ( 8, ) ( 4, ); b) : ( 6, ) ( 7, ); c) : ( 3, ) ( 12, ). Řešení: a) ( 8, ) = [ ]; určíme = ( ) = 4 takové, ţe 8 = , tj. 1( ) = ( 8) 1( ) = 1(x = , tj. 2( ) = ( 8) 2( ) = 2(x = , tj. 3( ) = ( 8) 3( ) = x 3( = , tj. 4( ) = ( 8) 4( ) = x 4( -

.

: )=x )=x )=x )=x

1(

)=x 2( ) = x =2 , =3 .

1

(k

, , , , , ,

) = xk

2( 2( 3( 3( 4( 4(

)= )= )= )= )= )= = kx

, 2( ) = , 2( ) = , 2( ) = , ; tj. Ker 2 = { , }; , 3( ) = , 3( ) = , 3( ) = , ; tj. Ker 3 = { , , , }; , 4( ) = , 4( ) = , 4( ) = , ; tj. Ker 3 = { , }. =k

83

(x

)=k

.

2(

)= ,

3(

)= ,

4(

)= ,

= , = ,

b) ( 6, ) = [ ]; určíme = , tj. ( ) = - Ker = 6.

= ( ) (

c) ( 3, ) = [ ]; = ( ) = , tj. 1( ) = = , tj. 2( ) = = , tj. 3( ) = -

Ker Ker Ker

= 3; 2: 2( ) = , 3: 3( ) = ,

takové, ţe 6 ( )=x 6)

= : = .

= : 3) 1( ) = x 3) 2( ) = x 3) 3( ) = x

= , =4 =8

7

3

12

( ( (

, .

1

2(

)= , 3( ) = ,

2(

) = ; tj. Ker 3( ) = ; tj. Ker

= { }; 3 = { }. 2

Příklad 7. 1. 4: Nalezněte všechny homomorfismy : ( , ) ( 5, ). Řešení: ( , +) = [1] ( x ) 1(x) = x = , 1(1) = 1(1) = x ( x ) 2(x) = x = , 2(1) = 2(1) = x ( x ) 3(x) = x =2 , 3(1) = ( x ) 4(x) = x =3 , 4(1) = ( x ) 5(x) = x =4 . 5(1) = Příklad 7. 1. 5: Dokaţte: a) Aut ( 5, ) ( 4, ) ( ); b) Aut ( 4, ) ( 2, ). Řešení: Automorfismů existuje právě tolik, kolik má daná cyklická grupa generátorů; obrazem generátoru je opět generátor. a) ( 5, ) = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] ( = , 1( ) = 5) 1( ) = x 1( ) = x ( =2 , 2( ) = 5) 2( ) = x 2( ) = x ( =3 , 3( ) = 5) 3( ) = x 3( ) = x ( =4 . 4( ) = 5) 4( ) = x 4( ) = x Tedy Aut ( 5, ) = ({

1,

2,

3,

4},

◦).

Aby platil daný izomorfismus, musí v grupě Aut ( Neutrálním prvkem je 1, tj. o( 1) = 1. Zkusme 2: = 2◦ 2 ( 5) ( 2 ◦ 2)( ) = 2 = 2 (2 )=4 = 4( ); = 4◦ 2 ( 5) ( 4 ◦ 2)( ) = 2 = 2 (4 )=3 = 3( ); = 3◦ 2 ( 5) ( 3 ◦ 2)( ) = 2 = 2 (3 ) = = 1( ). Tedy = 1, tj. o( 2) = 4, takţe Aut ( 5, ) = [ 2] 84

5,

) existovat prvek řádu 4.

2(

)) =

2(2

)=

4(

)) =

2(4

)=

3(

)) =

2(3

)=

( 4, ).

b) ( 4, ) = [ ] = [ ] ( 1( ) = ( 2( ) = Tedy Aut ( 4, ) = ({

4) 4) 1,

2},

1(

)= , 2( ) = 3 ◦)

( 2, ).

Příklad 7. 1. 6: Nalezněte automorfismus : ( 10, ) ( 10, a) ( ) = ; b) ( ) = . Řešení: ( 10, ) = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] ( 1( ) = 10) 1( ) = , ( 2( ) = 10) 2( ) = 3 ( 3( ) = 10) 3( ) = 7 ( 4( ) = 10) 4( ) = 9 a) b)

1(

)= , 1( ) = , neexistuje.

2(

)= , 2( ) = ,

.

) takový, ţe platí:

, , .

3(

) = , tj. 3. 3( ) = , 4( ) = ; tedy takový automorfismus, aby ( ) = ,

Příklad 7. 1. 7: Nechť G = ({X Mn( ); det X 0}, ), H = ({B Mn( ); det B = 1 Dokaţte, ţe platí izomorfismus: (G H, ) ( + , ). Řešení:  G H= X H = {Y G; Y = X B, B H}; -

XH=YH

H =1

Tedy X H = {Y 

= 1 det = –1

det = –1

G; det Y = det X

det B = –1}, ).

det Y = det X

det Y = – det X.

det Y = – det X}.

+ Definujme : G H předpisem: ( X H G H) (X H) = |det X|. - Platí: ( X H, Y H G H) (X H Y H) = (X Y H) = |det X Y| = |det X det Y| = = |det X| |det Y| = (X H) (Y H), tedy je homomorfismus.

-

+ Ke kaţdému X G existuje a takové, ţe a = |det X|. Zároveň ale máme + |det X| = (X H), tj. k prvku a existuje X H G H tak, ţe a = (X H). To znamená, ţe je zobrazení na mnoţinu. Protoţe je zobrazení celé mnoţiny, je to surjekce.

-

Ker Ker

-

Dohromady

= {X H G H; (X H) = 1} = {X H G H; |det X|= 1} = {H}; tedy je jednoprvková mnoţina, tj. je injekce. je bijekce, tedy izomorfismus.

85

Příklad 7. 1. 8: Nechť (G, ) je grupa, : G G zobrazení určené předpisem (x) = pro libovolné x G. Dokaţte, ţe je izomorfismus, je-li grupa (G, ) je komutativní. Řešení:  Nechť x, y G libovolné takové, ţe (x) = (y). Pak , a tedy x = y. To znamená, ţe je injekce. Protoţe je zřejmě surjekce, je to dohromady bijekce. 

Dále musí platit: ( x, y G) (x y) = = (x) (y) = . Je-li (G, ) komutativní, pak

(x y) = (x) (y) (viz věta 2. 1.), , a tedy (x y) = (x)

(y).

Příklad 7. 1. 9( ): Je dán předpis : ( 3, ) (S4, ), kde ( ( ) = (1, 2) (3, 4) (1, 2, 3)x. Rozhodněte, 3) zda korektně zadává zobrazení a zda se jedná o homomorfismus. Řešení: Zjistit, zda se jedná o korektně zadané zobrazení, znamená dokázat, ţe nezáleţí na volbě reprezentantů téţe zbytkové třídy. Musíme tedy zjistit, zda platí rovnost ( ) = ( ), kde x + 3k k . Protoţe (1, 2, 3) je řádu 3, máme (1, 2) (3, 4) (1, 2, 3) = (1, 2) (3, 4) (1, 2, 3)x. Rovnost tedy platí a předpis korektně definuje zobrazení. Dále ověříme, zda ( , ( ) = ( ) ( ): 3) L= ( ) = (1, 2) (3, 4) (1, 2, 3)x + y = (1, 2) (3, 4) (1, 2, 3)x (1, 2, 3)y P = ( ) ( ) = (1, 2) (3, 4) (1, 2, 3)x (1, 2) (3, 4) (1, 2, 3)y. Protoţe L P, není homomorfismus.

3. 7. 2. Příklady k procvičení Příklad 7. 2. 1: Rozhodněte, zda následující V kladném případě určete Ker a) : ( , +) ( , +), ( b) : (K*, ) ( *, ), ( c) : ( +, ) ( +, ), (

zobrazení jsou homomorfismy, resp. izomorfismy grup. homomorfismu . a ) (a) = 3a; z K*) (z) = 1 + |z|; + a ) (a) = .

Příklad 7. 2. 2: Nalezněte všechny homomorfismy a) : ( 6, ) ( 3, ); b) : ( 3, ) ( 9, ).

a určete Ker , jestliţe:

86

3. 8. Konečné grupy Definice: Nechť p je prvočíslo. Grupy řádu pk, kde k Věta: Nechť G je konečná abelovská grupa, |G|

+

, se nazývají p-grupy. …

1. Pak G

, kde p1,…, pm

+ jsou prvočísla a k1,…, km . Tento rozklad grupy G na součin netriviálních cyklických p-grup je určen aţ na pořadí činitelů jednoznačně.

Příklad 8. 1: Popište všechny (aţ na izomorfismus) komutativní grupy o 120 prvcích. Řešení: Číslo 120 vyjádříme jako součin mocnin prvočísel (ne nutně různých): 120 = 2 2 2 3 5 = 2 22 3 5 = 23 3 5. Dostáváme tedy tři grupy: 2 2 2 3 5, 2 3 4 5, 3

8.

5

Příklad 8. 2: Kolik existuje (aţ na izomorfismus) komutativních grup o 32 prvcích? Určete je. Řešení: 32 = 25 = 2 24 = 2 2 23 = 2 2 2 22 = 2 2 2 2 2 = 22 23 = 2 22 22. Aţ na izomorfismus tedy existuje sedm komutativních grup o 32 prvcích: 32, 2 16, 2 2 8, 2 2 2 4, 2 2 2 2 2, 4

8,

2

4

4.

Následující tabulka obsahuje seznam všech (aţ na izomorfismus) nejvýše osmiprvkových grup a několik obecných výsledků; p značí libovolné liché prvočíslo. n 1

Grupy s n prvky 1

2

2

3

3

4

4,

2

5

5

6

6,

S3

D3

7 8

7 8,

2

4,

2

2p

2,

2

p p2

2

p

,

p

2p,

87

Dp

p

D4, Q8

Poznámka: Grupa Q8 je generována dvěma prvky a, b takovými, ţe o(a) = o(b) = 4 a platí: a2 = b2, ab = ba3. Tedy Q8 = [a, b; a4 = b4 = 1, a2 = b2, ab = ba3] = ({1, a, a2, a3, b, ba, ba2, ba3}, ). Tato grupa se nazývá kvaternionová grupa. Příklad 8. 3( ): Zkonstruujte multiplikativní grupu P, která je generována prvky iox, ioy, ioz, kde = –1, x 2 y 2 z 2 x y z y x (o ) = (o ) = (o ) = 1, o o = io = –o o (v posledním vztahu lze cyklicky zaměňovat indexy, aniţ by to mělo vliv na jeho platnost). Dále nalezněte řád této grupy, třídy konjugovaných prvků a jejich řády. Srovnejte s grupou D4 symetrií čtverce a ukaţte, ţe nejsou izomorfní navzdory stejnému řádu grupy. Poznámka: Chápejme iox, ioy, ioz jako abstraktní algebraické objekty, o kterých víme jen to, ţe pro ně platí vztahy uvedené v zadání. Řešení: Kromě jednotkového prvku 1 a generátorů musíme do grupy zahrnout také (iox)2 = –1 a inverzní prvky ke generátorům, tj. prvky ( = – , kde j = x, y, z. Tedy P = ({ , iox, ioy, ioz}, ), proto |P| = 8. Skutečně jde o grupu: - P je uzavřená vzhledem k násobení (např. iox ioy = – ioz, analogicky se ověří všechny moţné součiny prvků z P); - P obsahuje jednotkový prvek a ke kaţdému prvku prvek inverzní; - násobení je asociativní. Třídy konjugovaných prvků, řády prvků: - Jednotkový prvek má vţdy svou vlastní třídu, o(1) = 1. - Prvek –1 má také svoji třídu, protoţe i ten komutuje se všemi prvky grupy, o(–1) = 2, neboť (–1)2 = 1. - Lze ověřit, ţe pro všechna g, h P je hg = h (resp. –h), tudíţ iox a ioy nemohou být x x konjugované. Naopak io –io (a podobně y, z), jelikoţ např.: ( (iox)( ) = ( (– ) = (–ioy)(– ) = –oyoz = –iox. Dostáváme tedy pět různých tříd: {{1}, {–1}, {iox , –iox}, {ioy , –ioy}, {ioz, –ioz}}. Řád kaţdého z šesti prvků ( ioj) je roven 4, zatímco grupa D4 má jen dva prvky řádu 4 (rotace R (o úhel 90°) a rotace R3 (o úhel 270°)). Tedy tyto grupy nemohou být izomorfní. Příklad 8. 4: Jsou dány grupy G = ( 2 ) a H = [a, x; a2 = x8 = 1, ax = x5a]. Ukaţte, ţe ačkoli mají 8, stejný počet prvků kaţdého řádu, nejsou izomorfní. Řešení: G=( 2 ) = ({( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), 8, ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}, ). Řády prvků grupy G: - ( , )…řád 1; - ( , ), ( , ), ( , )…řád 2; - ( , ), ( , ), ( , ), ( , )…řád 4; - ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )…řád 8. Tedy G má jeden prvek řádu 1, tři prvky řádu 2, čtyři prvky řádu 4 a osm prvků řádu 8. 88

H = ({1, x, x2, x3, x4, x5, x6, x7, xa, x2a, x3a, x4a, x5a, x6a, x7a, a}, ) Pro grupu H sestavíme Cayleyho tabulku, ze které určíme řády všech jejích prvků. K sestavení tabulky pouţijeme definující relace této grupy, tj. např. máme: xa x3 = x ax x2 = x x5a x2 = x6 ax x = x6 x5a x = x11 ax = x11 x5a = (x8)2a = a. Cayleyho tabulka:

1 x x2 x3 x4 x5 x6 x7 xa x2a x3a x4a x5a x6a x7a a

1 1 x x2 x3 x4 x5 x6 x7 xa x2a x3a x4a x5a x6a x7a a

x x x2 x3 x4 x5 x6 x7 1 x6a x7a a xa x2a x3a x4a x5a

x2 x2 x3 x4 x5 x6 x7 1 x x3a x4a x5a x6a x7a a xa x2a

x3 x3 x4 x5 x6 x7 1 x x2 a xa x2a x3a x4a x5a x6a x7a

x4 x4 x5 x6 x7 1 x x2 x3 x5a x6a x7a a xa x2a x3a x4a

x5 x5 x6 x7 1 x x2 x3 x4 x2a x3a x4a x5a x6a x7a a xa

x6 x6 x7 1 x x2 x3 x4 x5 x7a a xa x2a x3a x4a x5a x6a

x7 x7 1 x x2 x3 x4 x5 x6 x4a x5a x6a x7a a xa x2a x3a

xa xa x2a x3a x4a x5a x6a x7a a x6 x7 1 x x2 x3 x4 x5

x2a x2a x3a x4a x5a x6a x7a a xa x3 x4 x5 x6 x7 1 x x2

x3a x4a x3a x4a x4a x5a x5a x6a x6a x7a x7a a a xa xa x2a x2a x3a 1 x5 x x6 x2 x7 x3 1 x4 x x5 x2 x6 x3 x7 x4

x5a x6a x5a x6a x6a x7a x7a a a xa xa x2a x2a x3a x3a x4a x4a x5a x2 x7 3 x 1 x4 x 5 x x2 x6 x3 7 x x4 1 x5 x x6

x7a a x7a a a xa xa x2a x2a x3a x3a x4a x4a x5a x5a x6a x6a x7a x4 x 5 x x2 x6 x3 7 x x4 1 x5 x x6 x2 x7 3 x 1

Řády prvků grupy H: - 1…řád 1; - a, x4, x4a…řád 2; - x2, x6, x2a, x6a…řád 4; - x, x3, x5, x7, xa, x3a, x5a, x7a…řád 8. Tedy H má také jeden prvek řádu 1, tři prvky řádu 2, čtyři prvky řádu 4 a osm prvků řádu 8. Z Cayleyho tabulky je zřejmé, ţe H není komutativní; nemůţe být proto izomorfní s komutativní grupou G.

89

3. 9. Výsledky příkladů 3. 9. 1. Algebraické struktury s jednou operací Příklad 1. 2. 1: a) Ano, b) ne, c) ano, d) ne. Příklad 1. 2. 2: x = 0,28 Příklad 1. 2. 3: (G, ○) je komutativní, není asociativní, má neutrální prvek d. Příklad 1. 2. 4: a) Je komutativní, není asociativní, neutrální prvek je 0. b) Není komutativní, je asociativní, nemá neutrální prvek. Příklad 1. 2. 5: a) Neutrálním prvkem je 0; inverzním prvkem k 0 (resp. 2) je 0 (resp. 2), k ostatním prvkům inverzní prvky neexistují. b) Neutrálním prvkem je ; inverzním prvkem k (resp. ) je (resp. ), k ostatním prvkům inverzní prvky neexistují. Příklad 1. 2. 6: a) Grupoid s neutrálním prvkem 1 a s krácením. b) Komutativní kvazigrupa. c) Komutativní kvazigrupa. d) Komutativní pologrupa s neutrálním prvkem prvkem A.

(komutativní monoid) a s agresivním

Příklad 1. 2. 7: a) Grupoid s neutrálním prvkem a. b) Komutativní grupoid s neutrálním prvkem c a s agresivním prvkem a. Příklad 1. 2. 8: Podgrupoidy: ({a}, ), ({b}, ), ({d}, ), ({b, c}, ), ({a, d}, ), ({a, b, c}, ), (G, ). Podpologrupy: ({a}, ), ({b}, ), ({d}, ), ({b, c}, ), ({a, d}, ). Podgrupy: ({a}, ), ({b}, ), ({d}, ), ({b, c}, ).

3. 9. 2. Základní vlastnosti grup Příklad 2. 2. 1: a) Ano, b) ano. Příklad 2. 2. 2: Ano. Příklad 2. 2. 3: a) Ano, komutativní grupa. b) Ne, je to monoid (neutrálním prvkem je jednotková matice). c) Ano, nekomutativní grupa.

90

Příklad 2. 2. 4: a) Ne, ( , +) je komutativní monoid. b) Ne, ( +, +) je komutativní pologrupa. c) Ano. Příklad 2. 2. 5: a) Ano, b) ano. Příklad 2. 2. 6: Ano. Příklad 2. 2. 7: a) o( ) = 1, o({1}) = o({2}) = o({1, 2}) = 2. b) o( ) = 1, o( ) = 2, o( ) = o( ) = 4, o( ) = o( ) = o( ) = o( ) = 8.

3. 9. 3. Cyklické grupy Příklad 3. 2. 1: a) ( 7, ) = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] = [ ]. b) ( 14, ) = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] = [ ]. c) ( 20, ) = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] = [

]=[

].

Příklad 3. 2. 2: a) H1 = ( 5, ), H2 = ({ }, ). b) H1 = ( 30, ), H2 = ({ , , , ,…, }, ), H3 = ({ , , , ,…, }, ), H4 = ({ , , , , , }, ), H5 = ({ , , , , }, ), H6 = ({ , H7 = ({ , }, ), H8 = ({ }, ). Příklad 3. 2. 3: ( 11*, ) = [ ] = [ ] = [ ] = [ ]. Podgrupy: H1 = ( 11*, ), H2 = ({ , , , , }, ), H3 = ({ ,

,

},

),

}, ), H4 = ({ }, ).

Příklad 3. 2. 4: (A, ): - není cyklická (všechny prvky kromě neutrálního jsou řádu 2); - podgrupy: H1 = (A, ), H2 = ({ , }, ), H3 = ({ , }, ), H4 = ({ , }, ), H5 = ({ }, ). (B, ): - je cyklická, (B, ) = [ ] = [ ]; - podgrupy: H1 = (B, ), H2 = ({ , , }, ), H3 = ({ , }, ), H4 = ({ }, ). Příklad 3. 2. 5: - ( 6 7, ) = [( , )] = [( , )] = [( , )] = [( , )] = [( , )] = [( , )] = = [( , )] = [( , )] = [( , )] = [( , )] = [( , )] = [( , )]; - ( 5 10, ) není cyklická grupa.

91

3. 9. 4. Rozklady podle podgrupy Příklad 4. 2. 1: G H= =

;

= {y

;y–x

}.

Příklad 4. 2. 2: a) G H = {{ , }, { , }, { , }, { , }}. b) G H = {0 + [2], 1 + [2]}. Příklad 4. 2. 3: H G.

3. 9. 5. Permutační grupy Příklad 5. 2. 1: a) = (1, 6) (2, 7, 4) (3, 5), o( ) = 6, sudá, b) = (1, 4, 3) (2, 8, 6, 7), o( ) = 12, lichá, Příklad 5. 2. 2: a) = (3, 4, 6); b)

= (3, 6, 4); c)

= (1, 6) (4, 7, 2) (3, 5). = (3, 4, 1) (7, 6, 8, 2). = I.

Příklad 5. 2. 3: a) = (1, 2, 3) (4, 5), = (1, 4, 3, 2). b) = (3, 4, 5). c) = (4, 5). d) = (1, 2) (1, 3) (1, 4). Příklad 5. 2. 4: a) = (1, 9, 5) (2, 3, 7) (4, 8, 6), = (1, 8, 4, 2) (3, 5, 6), b) je sudá, je lichá, je lichá. c) = (1, 9, 6, 4, 8, 3, 7, 2, 5).

= (1, 9, 6, 2, 5, 8, 3, 7).

Příklad 5. 2. 5: Sudá. Příklad 5. 2. 6: Ne.

3. 9. 6. Grupy symetrií Příklad 6. 2. 1: Viz příklad 6. 1. 1. (grupa symetrií kosočtverce je izomorfní s grupou symetrií obdélníku). Příklad 6. 2. 2: a) H1 = D4, H2 = ({I}, ◦), H3 = ({I, R, R2, R3}, ◦), H4 = ({I, O}, ◦), H5 = ({I, O◦R}, ◦), H6 = ({I, O◦R2}, ◦), H7 = ({I, O◦R3}, ◦), H8 = ({I, R2}, ◦), H9 = ({I, R2, O, O◦R2}, ◦), H10 = ({I, R2, O◦R, O◦R3}, ◦). b) H1, H2, H3, H8, H9, H10. c) D4 H1 = {D4}, D4 H2 = {{X}; X D4}, D4 H3 = {H3, D4 – H3}, D4 H8 = {{I, R2}, {R, R3}, {O, O◦R2}, {O◦R, O◦R3}}, D4 H9 = {H9, D4 – H9}, D4 H10 = {H10, D4 – H10}.

92

3. 9. 7. Homomorfismy grup Příklad 7. 2. 1: a) je homomorfismus, ale není izomorfismus (není surjekce), Ker b) není homomorfismus; c) je izomorfismus, Ker = {1}. Příklad 7. 2. 2: a) ( 6) b) (

3)

1(

) = , 2( ) = , 3( ) = 2 ; Ker 1 = 6, Ker 2 = Ker 3 = { , }. 1(

) = , 2( ) = 3 , 3( ) = 6 Ker 1 = 3, Ker 2 = Ker 3 = { }.

93

;

= {0};

4. Literatura [1] BLAŢEK, Jaroslav, et al. Algebra a teoretická aritmetika I. díl. 1. vydání. Praha : SPN, 1983. 278 s. [2] BLAŢEK, Jaroslav; KOMAN, Milan; VOJTÁŠKOVÁ, Blanka. Algebra a teoretická aritmetika II. díl. 1. vydání. Praha : SPN, 1985. 258 s. [3] FADDEJEV, A. K.; SOMINSKIJ, J. S. Zbierka úloh z vyššej algebry. Bratislava : Alfa, 1968. [4] HORÁK, Pavel. Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky. Brno : MU, 2002. [5] CHAJDA, Ivan. Vybrané kapitoly z algebry. 2. vydání. Olomouc : Univerzita Palackého v Olomouci, 2000. [6] MAC LANE, S.; BIRKHOFF, G. Algebra. Bratislava : Alfa, 1967. 662 s. [7] PROCHÁZKA, Ladislav, et al. Algebra. 1. vydání. Praha : Academia, 1990. [8] HORÁKOVÁ, Lucie. Grupy symetrií [online]. Brno : Masarykova Univerzita, 2006. 66 s. Bakalářská práce. Masarykova Univerzita, Přírodovědecká fakulta. [cit. 2010-07-27]. Dostupné z WWW: . [9] MUSIL, Vít. Grupy : Sbírka příkladů [online]. Brno : Masarykova Univerzita, 2005. 48 s. Bakalářská práce. Masarykova Univerzita, Přírodovědecká fakulta. [cit. 2010-07-27]. Dostupné z WWW: . [10] STANOVSKÝ, David. Příklady z algebry [online]. Praha : Univerzita Karlova [cit. 2010-07-27]. Dostupné z WWW: .

94