0871. MODUL
GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓ Eltolás
KÉSZÍTETTE: BIRLONI SZILVIA
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 2
MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A képességfejlesztés fókuszai
Matematika „A” 8. évfolyam
Az eltolás vizsgálata, tulajdonságok megfogalmazása. A vektor fogalmának megértése. Adott vektorral való eltolás. A párhuzamos szárú szögek felismerése, alkalmazása. Eltolás rácson és szerkesztéssel. 4 óra 8. osztály Tágabb környezetben: művészetek területén: építészet, festészet, biológia, technika, fizika. Szűkebb környezetben: Geometriai ismétlés modul. Ajánlott követő tevékenységek: 0872 modul (pont körüli elforgatás). Számolás kompetencia: Koordinátarendszer használata, műveletek koordinátákkal, arányok megállapítása. Mérés, becslés: Alakzatok méretének becslése, mérése. Méretek változása különböző transzformációk során. Kombináció rendszerezés kompetencia: Transzformációk rendszerezése. Indukció dedukció: Transzformációk megfigyelése, konkrét esetekből általános tulajdonságok megfogalmazása, azonosságok és különbözőségek megfigyelése. Szövegértés kompetencia: tulajdonságok, eljárások megfogalmazása, állítások értelmezése, igazságtartalmuk megállapítása.
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 3
AJÁNLÁS A diákok négyfős csoportokban ülnek, olyan elrendezésben, hogy minden diák kényelmesen lássa a táblát is. A munkaformák egy része kooperatívan szervezett, ezért a tanárnak célszerű ennek módszertanát továbbképzés keretében elsajátítani. Ez a forma lehetővé teszi, hogy a matematikai kompetenciák mellett a diákok szociális készségeit is fejlesszük. Érdemes hangsúlyt fektetni a csoportépítésre és az együttműködési szándék kialakítására, mert a ráfordított idő a későbbi együttműködést kívánó feladatok megoldásánál megtérül. Idővel a gyerekeknek természetessé válik az együttműködés. Támogassuk őket, ha a feladatok megoldásánál a csoportokon belül szívesen segítik egymást, megbeszélik feladataik végeredményét.
TÁMOGATÓRENDSZER A modulban előforduló kooperatív módszerek részletes leírása, illetve további módszerek és útmutatások: Dr. S. Kagan: Kooperatív tanulás. c. könyvében találhatók. A geometriai transzformációk témájának feldolgozásához tanári demonstráció céljára ajánlom a Balázs-Diák Kft. Geometriai transzformációk c. matematika fólia mappáját. Ezek illusztrációs, applikációs fóliákat és feladatlapokat és tanári útmutatókat is tartalmaznak, melyek jól használhatók a modul kiegészítésére, szemléltetésre.
ÉRTÉKELÉS A tanár a csoportok munkáját folyamatosan figyelemmel kíséri, szükség esetén segíti, illetve javítja a feladatok megoldását. Visszajelzést ad a csoportok együttműködéséről. Az egyéni, páros és csoportos feladatok megoldása pontozható, szükség esetén osztályzattá váltható. A geometriai transzformáció témakör lezárásaként ajánljuk a felmérő megíratását.
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 4
MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek
Kiemelt készségek, képességek
Eszközök, feladatok
I. A geometriai transzformációk felelevenítése, a vektor 1. Ráhangolódás: játék vegyes transzformációkkal 2. 3. 4. 5.
Az eltolás bevezetése A vektor Speciális vektorok Gyakorlás
Analógiás gondolkodás, szerkesztési 2. tanári melléklet készség. Megfigyelési készség. 1.-2. feladatlap Következtetés, általánosítás. 3. feladatlap Induktív gondolkodás. 4. feladatlap, másolópapír 5. feladatlap
II. Az eltolás tulajdonságai 1. 2. 3. 4.
Ráhangolódás („Gondoltam egy transzformációra…”) Tapasztalatok gyűjtése Diákkvártett az eltolás tulajdonságaiból Gyakorlás
Logikus gondolkodás. Megfigyelés, dedukció. Szabályalkotás, – felismerés.
6. feladatlap 7. feladatlap
III. Szögpárfajták 1. Ráhangolódás: „Tedd, amit mondok!” 2. Szögpárfajták 3. Gyakorlás Matematika „A” 8. évfolyam
Szövegértelmezés. Megfigyelés, dedukció.
8. feladatlap 1. tanulói melléklet, ragasztó 9. feladatlap
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 5
IV. Eltolt kép szerkesztése 1. Ráhangolódás: „Keresem azt a paralelogrammát…”
geometriai látásmód
2. A szerkesztési eljárás felfedezése 3. A szerkesztés lépései (eljárás megfogalmazása) 4. Feladatok eltolt kép szerkesztésére
szabálykövetés, megfigyelőképesség Szabályalkotás, elvonatkoztatás szerkesztési készség, analógiás 11. feladatlap gondolkodás
Matematika „A” 8. évfolyam
Írásvetítő, 3. tanári melléklet fólián 10. feladatlap 1. feladat 10. feladatlap
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 6
A FELDOLGOZÁS MENETE I. A geometriai transzformációk felelevenítése, a vektor 1. Ráhangolódás: játék vegyes transzformációkkal Osszunk szét a kártyákból (1. tanári melléklet) minden gyereknek egyet! 2. tanári melléklet – Lásd a modul végén és az eszközei közt!
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 7
Mindenki csak a saját kártyáját nézheti meg. A teremben sétálgatva azoknak kell egymást megtalálni, akiknek a képén lévő alakzatokkal azonos jellegű változás (ugyanaz a geometriai transzformáció) történt. A keresés közben nem nézhetik meg egymás kártyáját, hanem barkochba kérdések alapján kell eldönteni, hogy összetartozó képek vannak-e náluk, vagy sem. Ha négy összetartozó kép tulajdonosa megtalálta egymást, akkor ezt a képek megtekintésével ellenőrzik, és a táblára – egymás mellé – felteszik a négy képet bluteck segítségével. Aki már feltette a képét a táblára, leül a helyére, és leírja a füzetébe, hogy milyen geometriai transzformáció volt az övé, az ügyesebbek megpróbálhatják megfogalmazni, hogy hogyan lehet megadni ezt a geometriai transzformációt függvényként. Amikor minden kép felkerült a táblára, akkor megbeszéljük az utasításokat, valamint, hogy melyik transzformációt tanultuk már az elmúlt években (tengelyes és középpontos tükrözés). Válogassuk ki, hogy melyek azok a transzformációk, amelyek elvégezhetők másolópapír segítségével, és miért! Emeljük ki, hogy van olyan geometriai transzformáció is, ami az alakzatokat eltorzítja! Elevenítsük fel, hogy milyen módon lehet megszerkeszteni egy pont tengelyes, illetve középpontos tükörképét! Gyakorlásként, órai munkára vagy házi feladatnak a feladatgyűjtemény elején található néhány szerkesztési feladat.
EMLÉKEZTETŐ: Az olyan hozzárendelést, amely a tér egy pontjához pontot rendel, geometriai transzformációnak nevezzük. Két geometria transzformációval részletesen foglalkoztunk már: a tengelyes tükrözéssel és a középpontos tükrözéssel. A tengelyes tükrözés megadható a következő utasítással: Adott egy e egyenes. Sík pontjai figyelem, minden pont a lehető legrövidebb úton menjen a megadott egyeneshez, és ugyanabba az irányba haladjon tovább ugyanannyit, mint amekkora utat az egyenesig megtett! A középpontos tükrözés megadható a következő utasítással: Adott egy O pont. Sík pontjai figyelem, minden pont a lehető legrövidebb úton menjen a megadott ponthoz, és ugyanabba az irányba haladjon tovább ugyanannyit, mint amekkora utat a pontig megtett! Ezek távolságtartó és szögtartó geometriai transzformációk. Az ilyeneket egybevágóságnak nevezzük.
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 8
Szerkesztések: Egy pont tengelyes tükörképének megszerkesztésére kétféle eljárást is megismertünk: 1. A tengely tetszőleges A pontjából egy AP sugarú kört rajzolunk. A tengely másik tetszőleges B pontjából egy BP sugarú kört rajzolunk. A két kör metszéspontja lesz a P pont tükörképe. A P pont tükörképét P’-vel jelöljük. kiindulási helyzet
1. lépés
2. lépés
végső helyzet
2. P középpontú körrel elmetsszük a tengelyt. Két ugyanilyen sugarú kört rajzolunk, amelyek középpontja a két metszéspont. A két kör metszéspontja a P pont tükörképe. P pont tükörképét P’-vel jelöljük. kiindulási helyzet
1. lépés
Matematika „A” 8. évfolyam
2. lépés
végső helyzet
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 9
Egy pont középpontos tükörképének megszerkesztése: Az utasítás alapján könnyen megszerkeszthetjük egy P pont középpontos tükörképét. Kössük össze a P pontot az O-val és hosszabbítsuk meg ezt az egyenest az O-n túl. Ezután az O pontból mérjük fel az OP távolságot a P-vel ellentétes oldalra! kiindulási helyzet
1. lépés
2. lépés
2. Az eltolás bevezetése A következő feladatlapnál mindenki a saját munkafüzetében dolgozzon! Ellenőrzésként a csoportokon belül hasonlítsák össze megoldásaikat a diákok!
1. FELADATLAP 1. Válassz ki a kék autón, illetve hajón 3-3 pontot, és keresd meg a nekik megfelelő pontokat a piros rajzokon!. Kösd össze az egymásnak megfelelő pont párokat!
Ezeket a rajzokat eltolással készítettük, ami azt jelenti, hogy a kisautó és a léghajó minden pontja ugyanolyan irányba, és ugyanakkora távolsággal mozdult el.
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 10
2. Színezd be a következő rajzok közül azokat, amelyek eltolással készültek! Válassz ki 3-3 pontot az ilyen alakzatpárok egyikén, és nyíllal jelöld meg, hogy honnan hová jutottak!. (Segítségként a katicabogárnál berajzoltunk egy ilyen nyilat.) a) b)
c)
d)
e)
f)
Az a), d), e) eltolás Beszéljük meg közösen, hogy az első és második feladatban szereplő transzformációt, amikor a sík minden pontja ugyanolyan irányba azonos távolsággal mozdul el, eltolásnak nevezzük! Rajzoljunk fel a táblára egy hasonló ábrát!
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 11
Beszéljük meg, hogy a képen berajzolt nyilak az eredeti ábra pontjaiból a pontok képébe mutatnak! Fogalmaztassuk meg a gyerekekkel, hogy ezek mind párhuzamosak, egy irányba mutatnak és egyenlő hosszúak. Bármelyik pont elmozdulását szemléltethetem egy ilyen nyíllal, de ha egyetlen nyilat adok meg, már az is meghatározza az eltolást. A következő feladatlapot önálló munkára ajánljuk. Körbejárva ellenőrizzük a gyerekek munkáját, illetve a csoporton belül hasonlítsák össze megoldásaikat!
2. FELADATLAP 1. Rajzold meg az alakzatok megadott nyíllal eltolt képét!
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 12
2. Told el az alakzatot a megadott nyilakkal! Mindig az eredeti alakzattal dolgozz! A kapott képeket színezd ki, a különbözőket más-más színnel. A nyilakat is színezd a képekkel azonos színűre! Figyeld meg azokat a nyilakat, amiket egyformára színeztél! Mit tapasztalsz? Miben hasonlítanak, és miben különböznek? Párhuzamosak, egyforma hosszúak és egyirányba mutatnak Miben hasonlítanak és miben különböznek a nem egyformán színezett nyilak? Pl. 1. és 4. azonos irányú, de hosszuk különböző, a 3. 5. egyforma hosszú, párhuzamos, de ellentétes irányú. 3. Válogasd ki azokat a nyilakat, amelyek egyforma eltolást eredményeznek, és színezd őket azonos színnel! Egyformák: Nincs párja: 5 → 1, 2, 6 9 → 3, 13 11 → 4, 7 12 → 8, 10 14
4. Döntsd el a következő állításokról, hogy melyik igaz (I), melyik hamis (H)! a) Ha két nyíl párhuzamos, akkor ugyanazt az elmozdulást eredményezik. H b) Ahhoz, hogy ugyanazt a képet kapjuk, az elmozdulást megadó nyilaknak azonos pontból kell kiindulniuk. H c) Úgy is megadhatok egy elmozdulást, hogy a nyíl nem érintkezik az elmozdítandó alakzattal. I d) Két nyíl azonos elmozdulást eredményez, ha párhuzamosak, és egyforma a hosszúságuk. I
3. A vektor Beszéljük meg közösen az előző feladatsor négyes feladatának a megoldását, és ismertessük a tudnivalót:
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 13
ÖSSZEGZÉS: Az eltolás olyan geometria transzformáció, hogy bármely pontból a képébe mutató irányított szakaszok egymással párhuzamosak, egyező irányításúak, és egyenlő nagyságúak. Ezek közül elég egyet megadni, mert mindegyik ugyanazt az eltolást határozza meg.
Ha az irányított szakaszoknak csak a nagyságát és az irányát vesszük figyelembe, – azzal nem törődünk, hogy melyik pontból indulnak – akkor azokat vektornak nevezzük.
A vektort nagyságával és irányával jellemezhetjük. A v-vel jelölt vektorok egyenlők, mert nagyságuk egyforma, párhuzamosak és irányuk azonos.
Az a, b, c, d vektorok mindegyike különböző, mert valamely jellemzőjük eltér egymástól: • Az a és c vektorok egyenlő hosszúságúak, de nem párhuzamosak, • a b és d vektor párhuzamos, de nem egyenlő hosszú, • az a és b vektor egyenlő hosszú, párhuzamos, de ellentétes irányú
A vektorokat írásban kétféleképpen jelölhetjük: → aláhúzott kisbetűvel: v uuur → a kezdő és végpontot megadva, nyíllal jelölve: AB
4. Speciális vektorok A következő feladatlapot és tudnivalót a gyerekek önállóan dolgozzák fel, a csoportban megbeszélve és ellenőrizve megoldásaikat.
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 14
3. FELADATLAP 1. Keress a w vektorral párhuzamos vektorokat. Színezd pirosra azokat, amelyek egyenlők vele, kékre pedig azokat, amelyek párhozamosak, azonos nagyságúak, de nem egyenlők vele! Az ilyen vektort a w ellentettjének nevezzük
Párhuzamos: b, c, k, e, f, j, h, azonos: e, k ellentettje: b, f, h 2. a) Rajzold meg a koordinátarendszerben azt a vektort, melynek kezdőpontja az A (4; –1) végpontja pedig auuu Br (–2; 2) koordinátájú pont! b) Rajzolj az AB vektorral egyenlő vektorokat! Hol lesz annak a végpontja, mely az origóból indul ki? (–6; 3) uuur 3. Rajzold fel ismét az előző feladat AB vektorát egy új koordinátarendszerbe! a) Rajzolj olyan vektorokat, amelyek ellentétes irányúak, de egyforma hosszúakuuuvele! r b) Rajzolj olyan vektort, amelyiknek az origóban van a kezdőpontja, és az AB vektorral azonos hosszúságú, de ellentétes irányú. Ennek végpontja: (6; –3)
4. Rajzolj egy háromszöget egyuuuúj r koordinátarendszerbe. a) Told el a háromszöget az AB vektorral! uuur b) Az a) feladatban kapott háromszöget told el az AB vektor ellentettjével! c) Mit tapasztalsz? Visszakerül az eredeti helyére.
ÖSSZEGZÉS: Az olyan vektorokat, melyek párhuzamosak, azonos nagyságúak, de ellentétes irányúak ellentett vektoroknak nevezzük. Ha egy alakzatot eltolunk egy vektorral majd az ellentettjével, akkor visszajutunk az eredeti alakzathoz. Ilyenkor azt is mondhatjuk, hogy egy olyan vektorral toltuk el, melynek hosszúsága nulla. Az ilyen vektort nullvektornak nevezzük. A nullvektor tetszőleges irányú, nulla hosszúságú vektor.
5. Gyakorlás A következő feladatlapból szükség szerint válogathatunk gyakorló feladatokat, otthoni vagy órai munkára.
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 15
4. FELADATLAP 1. a) Színezd az azonos vektorokat egyforma színnel!
Azonosak: 1-8, 2-7-10-13, 3-14, 4-12, 11-15 b) Válassz ki olyan párokat, amelyek ellentettjei egymásnak! Például: 1 és 15, 2 és 9, 4 és 6, 8 és 15… 2. Told el az alakzatokat a megadott vektorral! Válassz ki a szakaszon, a háromszögön, a paralelogrammán és a körön 3-3 pontot, és jelöld meg, hogy honnan hová került!
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 16
3. Told el a deltoidot egymás után a megadott vektorokkal. Mindig az előző eltolás után kapott képet toldd tovább. Mielőtt hozzákezdenél a rajzoláshoz, beszéljétek meg a csoporton belül, hogy mindenki más sorrendben végezze az eltolásokat.
Hasonlítsátok össze a három eltolás után kapott rajzaitokat a csoportban! Mit tapasztaltatok? Bármilyen sorrend esetén ugyanaz lett a végeredmény, csak a közbeeső állomások különböznek. 4. Másolópapír segítségével toldd el a képeket a zászlók segítségével! Rajzold be az eltolás vektorát!
Az eltolás vektora minden esetben berajzolható a fehér és fekete zászlók megfelelő pontjait összekötő irányított szakaszként.
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 17
5. A képen hasábokat és hengereket látsz. Rajzold meg színessel azt a vektort, ami az alaplap pontjait a másik alaplap pontjaiba viszi!
A következő feladatlapot gyorsabban haladó, és ügyesen szerkesztő gyerekeknek illetve csoportoknak lehet feladni. Megtapasztalhatják, hogy két középpontos tükrözés vagy két párhuzamos tengelyre való tengelyes tükrözés egymásutánja eltolás.
5. FELADATLAP 1. Rajzolj a füzetedbe egy háromszöget, és betűzd meg a csúcsait. Vegyél fel egy O1 és egy O2 pontot. Tükrözd a háromszöget az O1 pontra, majd az így kapott képet az O2 pontra! 2. Rajzolj a füzetedbe egy háromszöget, betűzd meg a csúcsait, és rajzol két egymással párhuzamos egyenest ( t1 és t 2 ). Tükrözd a háromszöget az egyik egyenesre, majd az így kapott képet a másik egyenesre! 3. Hasonlítsátok össze az előző két feladat megoldásait! Beszéljétek meg a tapasztalataitokat! Figyeljétek meg mindkét feladat esetén, hogy milyen módon kaphatnánk meg az eredeti háromszögből a harmadikat! Beszéljük meg, hogy az első és a második feladat esetén is a két egymást követő transzformáció helyettesíthető egyetlen eltolással. Mindkét esetben megkaphatjuk az eltolás vektorát úgy, hogy az eredeti alakzat valamely pontját összekötjük a második transzformáció eredményeként kapott háromszög megfelelő pontjával egy irányított szakasszal.
II. Az eltolás tulajdonságai 1. Ráhangolódás A következő játék segít feleleveníteni azokat a tulajdonságokat, amelyeket egy geometriai transzformációnál meg szoktunk vizsgálni. A tulajdonságokat addig kell sorolni, amíg a gyerekek egyértelműen meg tudják állapítani, hogy melyik volt a gondolt transzformáció. Az első fordulót úgy is játszhatjuk, hogy a táblára összegyűjtjük a tanult transzformációkat, és minden információ után kihúzzuk azokat, amelyekre az elhangzott tulajdonság nem érvényes. Az osztálytól, és a rendelkezésre álló időtől függően lehet egy menetet játszani, vagy többet is. Ügyesebb gyerekek maguk is adhatnak fel ilyen rejtvényt társaiknak.
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 18
„Gondoltam egy transzformációra” (tengelyes tükrözés) Van olyan egyenes, melynek képe önmaga. Minden szakasz és képe egyelő hosszú. Kétszer egymásután elvégezve a transzformációt visszajutunk az eredeti alakzathoz. A helyben maradó pontok egy egyenesen vannak. … „Gondoltam egy transzformációra” (középpontos tükrözés) Van olyan egyenes, melynek képe önmaga Bármely szögnek és képének a nagysága egyelő Egyenes és képe párhuzamos egymással Szakasz és képe egyelő hosszú. Van olyan pont, amely egy helyben marad a transzformáció során …
2. Tapasztalatok gyűjtése A következő feladatokat önállóan oldják meg a gyerekek a csoporton belül egyeztetve eredményeiket.
6. FELADATLAP 1. A képen egy órát és eltolt képét látod. Színezd azonos színnel a megfelelő részeket!
2. Toldd el az e egyenest és az AB szakaszt a megadott vektorokkal! Mindig az eredeti alakzatokat használd az eltoláshoz, és színezd a képet a vektor színének megfelelően.
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 19
3. M. C. Escher alkotásában egy halat pirosra színeztünk. Keresd meg a piros hal megadott vektorokkal eltolt képét, és színezd a vektorral azonos színnel!
4. Megadtuk az alakzatok valamely pontjának eltolt képét. Rajzold meg a teljes képet!
3. Diákkvártett az eltolás tulajdonságaiból A következő kérdéseket a diákkvártett módszerével dolgozzuk fel: Tegyük fel egyenként a következő kérdéseket. A csoportok vitassák meg a választ, majd sorsoljuk ki azt a diákot, aki a megbeszélt választ elmondja. A többi csoport tehet kiegészítéseket.
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 20
1. Mivel adhatunk meg egy eltolást? Egy vektorral vagy egy ponttal és eltolt képével. 2. Mikor mondunk két vektort egyenlőnek? Ha párhuzamosak, valamint nagyságuk és, irányuk megegyezik, vagy ha a két vektor egy egyenesbe beesik. 3. Mit tapasztalhatunk, ha egy szakaszt és eltolt képét megfigyeljük? A két szakasz párhuzamos egymással, vagy egy egyenesbe esik. 4. Van-e olyan négyszög, melynek szemközti oldalai eltolással egymásba vihetők? Igen, parallelogrammák, köztük az összes négyzet, téglalap, rombusz. Vagyis, ha a két szemközti oldal párhuzamos és egyenlő. 5. Igaz-e, hogy bármely szög és eltolt képe egyállású? Mi következik ebből a nagyságukra nézve? Igaz, emiatt bármelyik szög és eltolt képe egyenlő nagyságú. 6. Igaz-e, hogy bármely alakzat és eltolt képe egybevágó? Hogyan lehet ezt igazolni? Igaz, mivel mozgatással fedésbe lehet hozni az eredeti és a kép alakzatot. 7. Milyen egybevágósági transzformációkat ismertek? Tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, eltolás. 8. Mondjatok példát olyan geometriai transzformációkra, amelyek nem egybevágóságok! Nagyítás, kicsinyítés, merőleges vetítés, körre való tükrözés… 9. Mit lehet elmondani egy egyenesről és eltolt képéről? Párhuzamosak, vagy ha a vektor párhuzamos az egyenessel, akkor az egyenes eltolt képe önmaga. 10. Mit tudunk egy félegyenesről és eltolt képéről? Párhuzamosak és egyállásúak, és ha a vektor párhuzamos a félegyenessel, akkor az eltol kép egy egyenesbe esik az eredetivel. 11. Mi történik a körüljárási iránnyal eltolás esetén? Ismertek-e még ilyen transzformációt? És olyat, amire az ellenkezője teljesül? Eltolásnál a körüljárási irány nem változik. Ugyanez a helyzet a középpontos tükrözésnél is. A tengelyes tükrözésnél a körüljárási irány megváltozik. Foglaljuk össze tanári magyarázattal az eltolás megismert tulajdonságait:
TUDNIVALÓ: Az eltolás tulajdonságai: → Bármely szakasz és eltolt képe azonos hosszúságú → Szög és eltolt képe egyenlő nagyságú → Bármely alakzat és képe egybevágó → Alakzat és képe azonos körüljárási irányú → Egyenes és eltolt képe párhuzamos vagy egybeesik → Bármely félegyenes és képe egyállású
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 21
EMLÉKEZTETŐ: A tükrözések tulajdonságai: Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Adott egy egyenes: a tükörtengely. Adott egy pont: a tükörközéppont. Egy pont tükrözésének módja: Egy pont tükrözésének módja:
A tengely minden pontjának képe önmaga, és Egyetlen pont van, aminek a képe önmaga: a más ilyen pont nincs. tükörközéppont (O). Egyenestartó, szögtartó, távolságtartó, Alakzat és képe egybevágó. Bármelyik pont képének a képe megegyezik az eredeti ponttal. A körüljárási irány megfordul. A körüljárási irány nem változik. Tengelyre merőleges egyenes képe önmaga. A középponton áthaladó egyenes képe önmaga. A következő feladatsorból adjunk feladatokat gyakorlásnak az órára vagy házi feladatnak az osztály tudásának megfelelően.
3. Gyakorlás 7. FELADATLAP 1. Ábrázold koordinátarendszerben az A (2; 2), B (6; 2), C (6; 6), D (2; 6) pontokat. Milyen négyszöget kaptál? négyzetet a) Told el úgy a kapott négyszöget, hogy az B csúcsa a B’ (–1; –2) pontba kerüljön! b) Add meg az eltolt pontok koordinátáit! A (–2 –5), C (2; –1), D (–2; –1) c) Hol lesz az eltolás vektorának a végpontja, ha kezdőpontja az origó? (–4; –7) 2. Ábrázold koordinátarendszerben az A (–7; 2), B (–1; 2), C (–2; 6), D (–4; 6) pontokat. Milyen négyszöget kaptál? Trapézt a) Told el úgy a négyszöget, hogy a B pont a B’ (1; 2) pontba kerüljön! A képet rajzold pirossal. b) Olvasd le az eltolt négyszög csúcsának koordinátáit. A (–5; 2), C (0; 6), D (–2; 6) Mit tapasztalsz? A pontok első koordinátája kettővel nőtt, a második nem változott c) Tükrözd az eredeti négyszöget az y tengelyre! A képet rajzold kékkel. d) Olvasd le a csúcsok koordinátáit! A (7; 2), B (1; 2), C (2; 6) D (4; 6) Mit tapasztalsz? A pontok első koordinátája az ellentettjére változott, a második nem változott e) Tükrözd a négyszöget az origóra, a képet zölddel rajzold! f) Olvasd le a középpontosan tükrözött négyszög csúcsának koordinátáit! A (7; –2), B (1; –2) C (2; –6), D (4; –6) Mit tapasztalsz? Mindkét koordináta az ellentettjére változott.
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 22
3. a) Írd a halmazábra a megfelelő helyrére a tulajdonságokat! A címkék jelentése A: az eltolás tulajdonságai, B: a középpontos tükrözés tulajdonságai.
b) Rajzolj halmazábrát, és írd bele az eltolás és a tengelyes tükrözés tulajdonságait!
III. Szögpárfajták 1. Ráhangolódás: „Tedd, amit mondok!” A következő feladatot szóban adjuk fel. A gyerekek rajzoljanak egy koordinátarendszert a füzetükbe, és abban rajzolják az autó mozgását! Egy érzékelővel felszerelt autó mozgását figyelik az irányító központban. A térképen koordináták segítségével tájékozódnak. A kocsi a (–5; –1) koordinátájú helyről indul. Mozgását transzformációk segítségével adjuk meg. Kövesd az útját a füzetedbe rajzolt koordinátarendszerbe, és add meg a pont koordinátáit, ahová érkezett! → Először egy olyan vektorral mozdult el, amelyik kezdőpontja az origó, végpontja a (3; 4) pont (–2; 3) → A legrövidebb úton az x tengelyhez ment, és tovább haladt még ugyanabba az irányba annyit, amennyit a tengelyig megtett. (Ez milyen transzformáció?) tengelyes tükrözés (–2; –3) → Ezután egy olyan vektorral mozdult el, melynek kezdőpontja az origó, végpontja a (3; 0) koordinátájú pont. (1; –3) → Ezután egy olyan köríven mozgott az óramutató járásával egyező irányban, melynek középpontja az origó, és 90°˛-os középponti szöghöz tartozik. (Ez milyen transzformáció?) elforgatás (–3; –1) → Majd egyenesen a (2; –1) koordinátájú ponthoz ment, és ugyanabba az irányba továbbhaladt annyit, amennyit a pontig megtett. (Ez milyen transzformáció?) középpontos tükrözés (5; 0) → Az y tengellyel párhuzamosan haladt tovább, pozitív irányba 3 egységgel.(5; 3) Hová került a kocsi? Ha az idő engedi, akkor párban hasonló rejtvényeket adhatnak fel egymásnak a gyerekek.
2. Szögpárfajták Ez a téma részben ismétlés. Amennyiben a gyerekek tavaly használták az 5. feladat ábráit, akkor rendelkeznek „villámkártya” készlettel. Ha ez nincs meg nekik, akkor a párosítás után a Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 23
párok vágják ki a mellékletből (1. tanulói melléklet) a kártyákat, és az összetartozó képet és szöveget ragasszák össze egymásnak háttal! Az így nyert kártya alkalmas a fogalmak gyakorlására, amit az óra végén páros munkában lehet megtenni. 1. tanulói melléklet – Lásd a modul végén, a tanulói munkafüzetben és a modul eszközei közt! A
1.
Az olyan szögeket, melyek szárai fordított állású félegyenesek, fordított állású szögeknek nevezzük. A fordított állású szögek egyenlők. B
2.
Ha a fordított állású szögpár mindkét szára egybe esik, tehát közös a csúcspontjuk, akkor csúcsszögnek nevezzük őket. A csúcsszögek nagysága egyenlő. C
3.
Az olyan szögeket, melyek szárai egyállású félegyenesek, egyállású szögeknek nevezzük. Az egyállású szögek egyenlők. D
4.
Ha a fordított állású szögpár egyik szára egybeesik, akkor váltószögeknek nevezzük őket. A váltószögek egyenlő nagyságúak. E Lehet két szög párhuzamos szárú úgy is, hogy egyik száruk egyállású, a másik pedig fordított állású félegyenes-pár. Ezek a kiegészítő szögek A kiegészítő szögek 180°-ra egészítik ki egymást.
Matematika „A” 8. évfolyam
5.
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 24
8. FELADATLAP 1. a) Színezd a képen azonos színnel azokat a félegyeneseket, amelyek eltolással egymásba vihetők!
Az 1-4-6-10-14, a 2-7-9-12-16, a 3-5, és a 8-11-17. b) Van olyan a félegyenesek között, amelyek párhuzamosak és mégsem színezted őket azonos színnel? Miért? Igen, például a 8 és 13, vagy a 3 és 18, mert ezek nem azonos irányúak. c) Egészítsd ki a hiányos szöveget a felsorolt kifejezések valamelyikével! fordított állású , azonos , ellentétes , egyállású Az eltolással egymásba vihető félegyenesek, párhuzamosak, és irányuk azonos. Az ilyen félegyeneseket egyállású–nak nevezzük. A párhuzamos félegyenesek között vannak olyanok, amelyek nem vihetők egymásba eltolással, mert irányuk ellentétes. Az ilyen félegyeneseket fordított állású -nak nevezzük. 2. A képen egyenlő nagyságú szögeket látsz. Keress közöttük olyanokat, melyek eltolással egymásba vihetők. Színezd őket azonos színnel!
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 25
3. A rajz közepén van egy β-val jelzett szög. Keress vele azonos nagyságú szögeket a számmal jelöltek között! Milyen geometriai transzformációval lehet megkapni őket a β szögből? Ha kell, használj másolópapírt!
β = 6 középpontos tükrözés, β =4 eltolás, β =1. középpontos tükrözés, β =7 tengelyes tükörzés 4. Karikázd be azokat a szögeket, amelyeknek mindkét szára párhuzamos a δ szög száraival! Színezd pirosra azokat, amelyek megkaphatók a δ szög eltolásával!
Párhuzamos szárú: 1, 3, 4, 8, 9. Eltolással megkapható: 4, 8, 9. 5. Egészítsd ki a hiányos szöveget a megadott kifejezésekkel, a tapasztalataid alapján! fordított állású ,
egyenlő ,
egyenlő ,
180° ,
párhuzamos ,
egyállású
Ha egy szög egy másikból eltolással megkapható, akkor a két szög nagysága egyenlő, az ilyen szögeket egyállású szögeknek nevezzük. Ha két szög szárai páronként párhuzamosak egymással akkor a két szög nagysága vagy egyenlő, vagy összegük 180°. Ha két szög egymásnak középpontos tükörképe, akkor száraik páronként párhuzamosak, az ilyen szögek nagysága egyenlő. Az ilyen szögeket fordított állású szögeknek nevezzük.
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
6. Válaszd ki, hogy melyik ábra illik az egyes szövegekhez! A
Tanári útmutató 26
1.
Az olyan szögeket, melyek szárai fordított állású félegyenesek, fordított állású szögeknek nevezzük. A fordított állású szögek egyenlők. B
2.
Ha a fordított állású szögpár mindkét szára egybe esik, tehát közös a csúcspontjuk, akkor csúcsszögnek nevezzük őket. A csúcsszögek nagysága egyenlő. C
3.
Az olyan szögeket, melyek szárai egyállású félegyenesek, egyállású szögeknek nevezzük. Az egyállású szögek egyenlők. D
4.
Ha a fordított állású szögpár egyik szára egybeesik, akkor váltószögeknek nevezzük őket. A váltószögek egyenlő nagyságúak. E Lehet két szög párhuzamos szárú úgy is, hogy egyik száruk egyállású, a másik pedig fordított állású félegyenes-pár. Ezek a kiegészítő szögek. A kiegészítő szögek 180°-ra egészítik ki egymást. A–3, B–4, C–5, D–2, E–1
Matematika „A” 8. évfolyam
5.
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 27
ÖSSZEGZÉS: Párhuzamos félegyenesek Két párhuzamos félegyenes egyállású, vagy fordított állású. Egyállású félegyenesek:
Fordított állású félegyenesek:
Az egyállású félegyenesek eltolással, a fordított állású félegyenesek középpontos tükrözéssel kaphatók meg egymásból. A párhuzamos szárú szögek A párhuzamos szárú szögeket három nagy csoportba oszthatjuk: 1. Ha a két szög szárai páronként párhuzamosak és egyállásúak, akkor a két szög egyenlő nagyságú. Az ilyen szögeket egyállásúnak nevezzük.
2. Ha két szög szárai páronként párhuzamosak és fordított állásúk, akkor a két szög egyenlő nagyságú. Az ilyen szögeket fordított állásúnak nevezzük. Speciális fordított állású szögek a váltószögek és a csúcsszögek. Fordított állású szögek:
váltószög
csúcsszög
3. Ha két szög szárai páronként párhuzamosak, és egy-egy száruk egyállású, a másik pedig fordított állású félegyenes, akkor a két szög 180°-ra egészíti ki egymást. Az ilyen szögeket kiegészítő szögeknek nevezzük.
Emeljük ki, hogy a váltószög és a csúcsszög is fordított állású szög, csak annak egy speciális esete! A következő feladatok a szögpárok felismerésére és gyakorlati alkalmazásukra szolgál. Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 28
Feldolgozhatjuk önálló munkával, csoporton belüli megbeszéléssel. Az ellenőrzéshez írásvetítő használatát ajánljuk.
3. Gyakorlás 9. FELADATLAP 1. Keress az ábrán nevezetes szögpárokat!
egyállású szögek: pl. 10-4, 11-3… fordított állású szögek: pl. 8-14, 12-4 váltószögek: pl. 10-2, 13-7 csúcsszögek: pl. 10-12, 6-8 kiegészítő szögek: pl. 3-4, 15-16 fordított állású szögek, amelyek nem váltó, és nem csúcsszögek: pl. 4-12, 5-15 2. Számítsd ki a hiányzó szögek nagyságát! tükrös háromszög
paralelogramma
β’ = 107°, α = 73°, γ =34°, γ’ = 146°
γ = β = δ =α’= 128°, α = 52°
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 29
trapéz
α = 37°, δ =143°, β = 41°, γ =139°
β = 145°, λ =92°, α = 53°
Házi feladatnak adjunk paralelogramma szerkesztési feladatokat. Ilyenek például a feladatgyűjtemény 9-13. feladatai.
IV. Eltolt kép szerkesztése 1. Ráhangolódás: Keresem azt a paralelogrammát…” A diákok a munkafüzetük ábráján (10. feladatlap 1. feladat) megkeresik és kiszínezik a meghatározásnak megfelelő paralelogrammát, a megadott színnel. → Keresem azt a paralelogrammát, melynek egyik oldalpárja az AB szakasz, és annak eltolt képe. Ha megtaláltad színezd pirosra! → Keresem azt a paralelogrammát, melynek egyik oldala a kör OF sugara, és harmadik csúcsa F’. Ha megtaláltad színezd kékre! → Keresem azt a paralelogrammát, melynek egyik oldala az eltolás vektora, a másik pedig az eltolt hatszög E’D’ oldala. Ha megtaláltad színezd zöldre! A megoldásokat ellenőrizzük írásvetítőn! Beszéljük meg, hogy egy szakasz és eltolt képe az eltolás vektoraival paralelogrammát határoz meg. Kivétel, ha a szakasz párhuzamos a vektorral. 3. tanári melléklet – Lásd a modul végén és az eszközei közt!
2. A szerkesztési eljárás felfedezése A feladatlap megoldása során a diákok rájöhetnek, hogy hogyan lehet egy alakzat eltolt képét megszerkeszteni. Az első feladat közös megbeszélése után (lásd Ráhangolódás) a feladatlap további részét önálló munkára ajánljuk. Bíztassuk a csoportokat, hogy a kapott eredményeket egyeztessék egymással!
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 30
10. FELADATLAP 1. Színezd a képen a tanárod meghatározásainak megfelelő paralelogrammát a megadott színnel!
2. Toldd el a szakaszt és a háromszöget a megadott vektorral! Keress paralelogrammákat, és színezd ki őket!
3. Most már nem segít a rács! Körző és vonalzó segítségével szerkeszd meg a szakasz és a háromszög eltolt képét! Segítség: nézd meg az előző feladatban, hogy milyen paralelogrammát kell szerkeszteni!
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 31
4. Szerkeszd meg az alakzatok eltolt képét! Tudod, először mindig gondold végig, hogy milyen paralelogrammát kell szerkesztened! Ha szükséges, ellenőrizd a megoldásokat másolópapírral!
5. Toldd el a pontot és a szakaszt a megadott vektorral! Keress paralelogrammákat, és színezd ki őket!
6. Most megint rács nélkül kell boldogulnod, csak körzővel és vonalzóval! Segít az előző feladat.
3. A szerkesztés lépései Amikor a diákok végeztek a feladatlappal, akkor olvassák el, és próbálják ki a szerkesztési eljárást! Amikor a többség eljutott ide, akkor táblakörző és vonalzó segítségével mutassuk be az eltolt kép szerkesztését! Beszéljük meg és próbáljuk ki azt a speciális esetet is, amikor a pont, amit el kell tolni egy egyenesbe esik a megadott vektorral!
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 32
ÖSSZEGZÉS: Eltolt kép szerkesztése. Mivel bármely szakasz és eltolt képe párhuzamos és egyenlő hosszúságú, ezért az eltolt kép megszerkesztését általános esetben visszavezethetjük paralelogramma szerkesztésére. Egy A pont v vektorral történő eltolásánál olyan paralelogrammát kell szerkesztenünk, melynek egyik oldala a v vektor és harmadik csúcsa az A pont. Feladatunk tehát az ábrán pirossal rajzolt paralelogramma megszerkesztése
A szerkesztés menete: Jelöljük a vektor kezdőpontját P, végpontját S betűvel! kiindulási helyzet
1. lépés A középpontú PS sugarú kört rajzolunk
2. lépés S középpontú PA sugarú kört rajzolunk
Ez a megoldás minden olyan esetben alkalmazható, amikor az eltolni kívánt pont nem esik a megadott vektor egyenesére. Utóbbi esetben a szerkesztés a vektor ponton keresztül történő meghosszabbításával és a vektor hosszának felmérésével oldható meg.
4. Feladatok eltolt kép szerkesztésére 11. FELADATLAP 1. Rajzolj a füzetedbe egy 3 cm hosszúságú, tetszőleges irányú a vektort! Vegyél fel egy FG szakaszt úgy, hogy ne érintkezzen a vektorral! Toldd el a szakaszt a vektorral! 2. Rajzolj a füzetedbe egy O középpontú, 3,5 cm sugarú kört! Vegyél fel rajta kívül egy 7 cm hosszúságú, tetszőleges irányú b vektort! Told el a kört a b vektorral!
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 33
3. Szerkessz szabályos hatszöget egy 4 cm sugarú körbe! A kör középpontját jelölje O, a hatszög csúcsai: A, B, C, D, E, F. Rajzold be az OD vektort, és toldd el ezzel a vektorral a hatszöget!
FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Szerkessz háromszöget, melynek oldalai 4 cm, 4,5 cm és 6 cm! a) Tükrözd a háromszöget a legnagyobb szögénél lévő csúcsra középpontosan! b)Rajzolj egy olyan egyenest, amely nem metszi a háromszöget, és tükrözd rá tengelyesen! 2. Rajzolj egy ABCD konvex négyszöget! a) Vegyél fel egy egyenest, ami áthalad a négyszög B csúcsán. Tükrözd tengelyesen a négyszöget erre az egyenesre! b)Tükrözd az eredeti négyszöget középpontosan a B csúcsára! 3. Rajzolj egy O középpontú, 3 cm sugarú kört! a) Jelölj ki egy pontot a körvonalon, és tükrözd erre középpontosan a kört! b)Rajzolj egy egyenest, amely metszi a körvonalat, és tükrözd erre az egyenesre tengelyesen a kört! 4. Szerkessz téglalapot, melynek oldalai 5 cm és 4 cm hosszúak! a) Tükrözd tengelyesen a téglalapot egy egyik átlójára! b)Tükrözd középpontosan a téglalapot az egyik csúcsára! c) Tükrözd tengelyesen a téglalapot az egyik középvonalára! d)Tükrözd középpontosan a téglalapot az átlói metszéspontjára! 5. Rajzolj egy húrtrapézt! a) Tükrözd tengelyesen a szárinak felezőpontját összekötő egyenesre! b)Tükrözd középpontosan az átlói metszéspontjára! 6. Adott az A (–2; 1)uuu ésr B (4; 3) pont. a) Rajzold meg az AB vektort! Megoldás:
uuur b)Hová kerül az origó, ha eltoljuk az AB vektorral? Rajzold meg a vektort, és számítsd ki a hosszát! Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 34
A (6; 2) pontba, hossza Pitagorasz-tétellel: 6,3 uuur c) Rajzold meg az MN szakaszt, ha M (–4; –2) és N (–1; –4), és told el az AB vektorral! Megoldás:
d) Told el úgy az MN szakaszt, hogy egyik végpontja az origóba essen! Add meg az eltolás vektorát! (Hány megoldás van?) Két megoldás van, egyik esetben az M pont kerül az origóba, ekkor az N pont a (3; –2)-be kerül, és az eltolás vektora (4; 2). Másik esetben az N pont kerül az origóba, ekkor az M pont a (–3; 2)-be kerül, az eltolás vektora (1; 4) e) Milyen hosszú az MN szakasz? Pitagorasz-tétellel: 3,6. 7. Egy eltolásnál az A pont az A’ pontba került. Rajzold meg a hatszög eltolt képét!
’
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 35
8. Gondoltam egy eltolásra, nem árulom el, mi a vektora. Dönts el az állításokról, hogy melyik teljesül mindig, melyik az, amelyik sohasem teljesül, és melyik az, amelyik csak bizonyos körülmények között teljesül! Tegyél X-et a megfelelő oszlopba!
Bármely háromszögnek és képének az oldalai párhuzamosak. Az e egyenes és képe egybeesik. Egy négyzet és képének körüljárási iránya ellentétes. Két különböző vektorral történő eltolás után visszajutunk az eredeti alakzathoz. Egy szög és eltolt képének egyik szára egybeesik. A négyszögek szemközti oldalai eltolással egymásba vihetők. A paralelogrammák szemközti oldalai eltolással egymásba vihetők. Két eltolás egymásutánja egyetlen eltolással helyettesíthető. Egy körnek és eltolt képének ugyanakkora a sugara. Ha egy alakzatot és eltolt képét megadják, akkor egyértelműen tudunk következtetni az eltolás vektorára. Ha két szög egyenlő nagyságú, akkor eltolással egymásba vihetők.
biztosan lehet igaz x x
biztosan hamis x
x x x x x x x x
9. Szerkessz paralelogrammát, melynek két oldala 4 cm és 6 cm, és az oldalak által bezárt szög 60°-os! 10. Vegyél fel a füzetedbe egy AB szakaszt, és egy P pontot, amelyik nem esik a szakasszal egy egyenesbe! Szerkessz paralelogrammát, melynek oldala a megadott szakasz és harmadik csúcsa a P pont! 11. Vegyél fel a füzetedbe három pontot (P, R, S), melyek nem esnek egy egyenesbe! Szerkessz paralelogrammát, melynek három csúcs a három pont (nem feltétlen a megadott sorrendben)! Gondolkozz, hány megoldás lehetséges? 12. Szerkessz négyzetet, melynek oldalai 4cm-esek! Jelöld meg az egyik átlóját vektorként, és toldd el a négyzetet ezzel a vektorral! 13. Rajzolj egy tompaszögű háromszöget! Tükrözd egyik oldalegyenesére úgy, hogy az eredeti és a tükrözött háromszög együtt konkáv deltoidot alkosson! Toldd el ezt a deltoidot a szimmetriaátlója által meghatározott vektorral!
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 36
0871 – 1. tanulói melléklet Vágjátok ki a kártyákat, és az összetartozó képet és szöveget ragasszátok össze egymásnak háttal (kartonlapra is ragaszthatjátok)! A
1.
Az olyan szögeket, melyek szárai fordított állású félegyenesek, fordított állású szögeknek nevezzük. A fordított állású szögek egyenlők. B
2.
Ha a fordított állású szögpár mindkét szára egybe esik, tehát közös a csúcspontjuk, akkor csúcsszögnek nevezzük őket. A csúcsszögek nagysága egyenlő. C
3.
Az olyan szögeket, melyek szárai egyállású félegyenesek, egyállású szögeknek nevezzük. Az egyállású szögek egyenlők. D
4.
Ha a fordított állású szögpár egyik szára egybeesik, akkor váltószögeknek nevezzük őket. A váltószögek egyenlő nagyságúak. E Lehet két szög párhuzamos szárú úgy is, hogy egyik száruk egyállású, a másik pedig fordított állású félegyenes-pár. Ezek a kiegészítő szögek A kiegészítő szögek 180°-ra egészítik ki egymást.
Matematika „A” 8. évfolyam
5.
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Tanári útmutató 37
0871 – 2. tanári melléklet (Rajzok geometriai transzformációkhoz, 28 db) Osztályonként 1 kártyakészlet kartonlapra nyomva ebben a méretben. A kártyák a fekete vonalak mentén szétvágandók.
Matematika „A” 8. évfolyam
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Matematika „A” 8. évfolyam
Tanári útmutató 38
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
Matematika „A” 8. évfolyam
Tanári útmutató 39
0871. Geometriai transzformáció – Eltolás
0871 – 3. tanári melléklet: Írásvetítő fóliára kell készíteni osztályonként 1 db ebben a méretben.
Matematika „A” 8. évfolyam
Tanári útmutató 40