GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

Mérnökfizikus szak, Optika modul, III. évfolyam / 1. félév, Optika I. tárgy

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 2006.) AJÁNLOTT SZAKIRODALOM:

Klein-Furtak, Optics Richter, Bevezetés a modern optikába Born-Wolf, Principles of optics

ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egyenletek

∇ 2 E(r, t ) −



ε



0

ε

r

0

r

→

hullámegyenlet:

∂ 2 E(r, t ) =0 ∂t 2

a következő feltételezésével: grad n(r0 ) ⋅ (r0 ) λ

n(r0 )

<< 1 ;

n2 =

ε

(Maxwell reláció)

r r 

azaz hullámhosszal összemérhető tartományon a relatív törésmutató változásnak elhanyagolhatónak kell lennie. Ez nem teljesül nagyon gyorsan változó törésmutató struktúráknál, pl. hullámhossz alatti diffrakciós rácsok esetében. Megoldás speciális esetben: Síkhullám: Gömbhullám:

(r, t) = E0·ei( (r, t) = E0·ei(

t + k·r + 0)

ω



t + k·r + 0)

ω



;

φ

φ

(k

2 / )

≡

π

λ

/r

A hullámegyenlet megoldása általános esetben: 

(r, t) = E0(r)·ei

t + k0· S(r) + 0 



ω

φ

;

S(r) – „eikonál” (

ε

ι

κ

ώ

ν

= kép görögül)

Eikonál: a tér pontjait az elektromágneses hullám fázisviszonyai szerint jellemző mennyiség. (A fázis „siet” a fényterjedés irányában az előjel szerint – konvenció.) Hullámfront: S(r) = állandó (fázisfront, konstans fázisú felület)

P2

tetszőleges görbe

P1

r (helyvektor)

P2

Optikai úthossz (OPL = Optical Path Length): OPL(P1 , P2 ) = ∫ n (r )dl P1

–6/1–

A fáziskésés és az optikai úthossz kapcsolata: 2 π

∆ ϕ = OPL ⋅

[rad ]

λ

0

Geometriai optika: közelítés, amely a fényterjedést, közeghatáron való áthaladást geometriai alakzatok – görbék segítségével írja le. Ezen görbéket fénysugaraknak nevezzük. Fénysugár definíció I.: olyan görbe, amely minden pontban merőleges a hullámfrontokra. Mivel a a hullámszám vektor (k) definíció szerint merőleges a hullámfrontokra, a fénysugár érintője k irányába mutat.

fénysugár hullámfront

Ha az optikai úthosszat fénysugár mentén mérjük, az így kapott mennyiség egyenlő az eikonállal: S = OPL Eikonál-egyenlet: (a geometriai optika érvényességi körén belül igaz, ld. alább) │

│

grad S(r)

2

= n(r)2

& peremfeltételek

Az eikonál legfőbb alkalmazási területe az inhomogén közegek számítása. Inhomogén példák: • • • • • • • •

légköri effektusok (naplemente, délibáb) fénytörés gravitációs térben lévő folyadékokban szemlencse (színhiba korrekció) egyes hullámvezetők (diszperzió csökkentés) hullámvezető lencsék (planár) gradiens lencsék száloptikához, lézerdiódához, leképezéshez gravitációs lencsék elektronoptikák ~ ~ Poynting − vektor : S (r, t ) = E( r, t ) × H ∗ ( r, t ) (teljesítmény-sűrűség vektor, intenzitás) Időátlag: S(r ) =

E 0 (r ) × H 0 (r ) ; Teljesítmény: dP(r ) = S(r ) ⋅ dA = S(r ) ⋅ dA ⋅ cos(Θ) 2

dA ~ E( r, t )

S ( r, t ) S( r )

Θ

~ H ( r, t )

–6/2–

Fénysugár definíció II.: olyan görbe, amelynek érintője minden pontban a teljesítménysűrűség vektor irányába mutat. Az I. és II. definíció izotróp közegben egyenértékű.

Poynting-vektor fénysugár

Fénynyaláb : fénysugarak által határolt csőszerű tartomány, amelyből az energia nem képes kilépni (a geometriai közelítés érvényességi körén belül) „Intenzitás törvény”: < S1> · dA1 = < S2> · dA2 (olyan tértartományban igaz, ahol a sugarak nem kereszteződnek)

< S1>

dA2

dA1

< S2> A GEOMETRIAI OPTIKA ÉRVÉNYESSÉGI KÖRE Ahhoz, hogy a fénytörést (tükrözést) és a fényterjedést a geometriai optikában le tudjuk írni, szükségünk van arra, hogy a teret lokálisan síkhullámnak tekinthessük. Ez akkor teljesül, ha adott ∆ r helyvektor megváltozás esetén (r) megváltozásában E0(r) változásának hatása elhanyagolható eik0S(r) változásához képest. A levezetés mellőzésével a feltétel alakja: 

grad E i (r0 ) ⋅ (r0 ) λ

E i (r0 )

<< 2 π

, ahol „i” az x-y-z vektor komponenseket jelöli.

A feltétel jelenti, hogy a térerősség megváltozásának mértéke kicsi kell legyen magához a térerősség abszolút értékéhez képest, akkora tartományon mérve, amelyik a fény hullámhosszának nagyságrendjébe esik. E feltevés nem igaz pl. árnyék szélén, fókuszfolt közelében stb. A bemutatott feltétel teljesülése esetén megmutatható, hogy a térerősség a következőképpen közelíthető: ~ E(r0 + ∆r ) ≈ E 0 (r0 ) ⋅ e ik 0grad S(r0 )⋅∆r ⋅ e i (k 0S(r0 ) +ϕ0 ) ,

ahol klokális = k0 grad S(r0) a lokális síkhullám hullámszámvektora, vagyis eredeti célunknak megfelelően tényleg síkhullámot kaptunk. Az eikonál egyenletből következik, hogy n(r0) = grad S(r0) , ahol n(r0) a lokális törésmutató. Ezalapján: klokális = k0 n(r0). 

│

│



A geometriai optikát szokás „nulla hullámhosszúságú” közelítésnek is nevezni, mivel olyan esetekben igaz, amikor a hullámhossz mértéke elhanyagolható a törésmutató és relatív térerősségváltozás jellemző térbeli kiterjedéséhez képest. Egyéb esetekben diffrakciós közelítést kell alkalmazni. –6/3–

ÁLTALUNK ALKALMAZOTT TOVÁBBI KÖZELÍTÉSEK irányfüggés

– csak izotróp közegeket tekintünk, pl. üveget (ekkor az 1. és 2. sugárdefiníció ugyanazt adja, azaz a fénysugár || k || S)

polarizáció függés

– a teret skalár mennyiségnek tekintjük (mintha csak egy térerő-vektor komponens lenne )

helyfüggés

– csak homogén közegeket tekintünk (a fénysugarak nem görbék, hanem egyenesek)

térerő függés

– csak lineáris közegeket tekintünk (a fénysugarak kölcsönhatás nélkül keresztezhetik egymást ; a tér minden pontjában azonos a gerjesztés körfrekvenciájával) ω

hullámhossz függés – monokromatikus eset (csak egy hullámhossz van a spektrumban, időben koherens eset) térbeli koherencia

– térben koherens eset, pl. pontforrás, síkhullám (van hullámfront – csillagfény, lézer) vagy térben inkoherens eset (diffúz fény – pontforrásokra bontható)

A GEOMETRIAI OPTIKA ALKALMAZÁSI TERÜLETEI • •

képalkotó rendszerek (mi ezzel foglalkozunk) megvilágító rendszerek

Képalkotó / megvilágító rendszerek geometriai modellezésénél a tárgyat / fényforrást térben koherens források (pontforrások) összegére bontjuk. IDEÁLIS KÉPALKOTÁS – egyszerűsített definíció • • •

pontot pontba képez le, azaz a képpont és a tárgypont „konjugáltjai” egymásnak optikai tengelyre merőleges síkban lévő alakzatok hasonló alakzatokba képződnek le (azaz torzításmentesen) a képalkotó rendszer forgászimmetrikus

GEOMETRIAI OPTIKAI KÖZELÍTÉSEK A KÉPALKOTÁSBAN • • •

elsőrendű (paraxiális) közelítés nagyítás, tárgy-kép helyzet, fényerő, max. felbontás harmadrendű közelítés (aberráció elmélet) harmadrendű képalkotási hibák valós sugárátvezetés (törés, terjedés ismételgetése) képalkotási hibák, optimalizáció →

→

→

ELSŐRENDŰ (PARAXIÁLIS) KÖZELÍTÉS y

- beesési szög 2 - törési szög

α

1

α

1 α

α

y1

2

n1

n2 r1

–6/4–

z

f2

A paraxiális közelítés feltételei: sin( ) y1 << r1 ≈

α

α

≈

tg( )

[ ] = rad ; (ezért „elsőrendű” a közelítés) előjeles mennyiségek!

α

α

Azaz fénysugarak az optikai tengely közelében, vele kis szöget bezárva haladnak, és a felületek síkkal közelíthetőek. Ezekből következik: gömbhullám ~ paraboloid felület. n2 n Fókusztávolság: f 2 = r1 ⋅ ; Törőerő: p ≡ 2 [dioptria = m -1 ] n 2 − n1 f2 Tükör tárgyalása formálisan: n2 = −n1 ; a törésmutató különbség nagy: 2 n1 ! 

Paraxiális közelítésben a fénytörés ill. szabadtéri terjedés az X-Z és Y-Z síkokban egymástól függetlenül számolható! Ez a közelítés teljesíti az ideális leképzés feltételeit!

n2

n1

y

θ

1

d1

y1 x 1. felület Kérdés:

ha az 1. síkon adott (y1 ;

θ

2. felület 1),

z

akkor egy további 2. síkon mekkora (y2 ;

θ

2)

?

Válasz: mátrixos formalizmus:

 y2  A B   y1  n θ  =  C D  ⋅ n θ    1 1  2 2 

;

A részrendszerek mátrixai összeszorzódnak.

Pl. fénytörés: A B   1  C D = p    1

0 1

; p1 – felület törőereje

Pl. szabadtéri terjedés:  A B  1  C D =    0

  1 

d1

n2

; d2 az 1. és 2. sík távolsága, n2 a közöttük mért törésmutató

VÉKONYLENCSÉK JELLEMZŐI y

s2

n1 y1

n2

f2 θ

2

ω

z

θ

1

s1

y2

–6/5–

s1, s2 – tárgy-, képtávolság y1, y2 – tárgy-, képmagasság – tárgyszög NT – transzverzális nagyítás (NT y2/y1) – longitudinális nagyítás (NL ∂s2/ ∂s1) NL – szögnagyítás ( T = 2/ 1) T f2 – fókusztávolság (f2 = s2, ha s1 = − ) NA – numerikus apertúra (NA n2 sin 2) ω

≡

≡

θ

Γ

θ

Γ

∞

θ

≡



Alapvető törvényszerűségek: NL =

n2 2 NT n1

; ΓT ⋅ N T = 1

n1 n =− 2 f1 f2 λ

R = 0,61 ⋅

0

NA

(fókuszfolt diffrakciós sugara )

Lencsetörvény: 1 1 1 = + s 2 f s1

Két, közvetlenül egymás mögé helyezett (1. és 2. sz.) vékonylencse esetén: 1 f eredő

=

1 1 + f 1 f2

azaz p eredő = p1 + p 2

LENCSERENDSZEREK TÁRGYALÁSA - FŐSÍKOK

Fősíkok: az a tárgy-képsík pár, amelyre igaz: m +1. Ilyen minden optikai rendszernél meghatározható. A fősíkok helyzete egyértelmű. ≡

Ha a fősíkoktól mérjük a tárgy és képtávolságot, illetve a fókusztávolságot (effektív fókusztávolság), akkor tetszőleges lencserendszer esetén érvényes a lencsetörvény! A fősíkok meghatározása: feffektív

képoldali fősík Speciális lencserendszerek:

teleobjektív (feffektív > szerkezeti hossz) inverz teleobjektív (hátsó fókusztávolság > feffektív)

–6/6–