FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ Jiří Bouchala
Katedra aplikované matematiky, FEI VŠB–TU Ostrava
[email protected] www.am.vsb.cz/bouchala
2001
1
Upozornění
Tyto stránky jsou pracovní verzí vznikajícího učebního textu; průběžně je měním (opravuji a doplňuji). Budu čtenářům vděčný za shovívavost a sdělení všech připomínek. Současně s tímto textem píšu i Sbírku příkladů z komplexní analýzy; doporučuji čtenáři, aby si probíranou látku procvičoval na těchto příkladech. Jiří Bouchala
3
Obsah
1. Komplexní čísla, rozšířená Gaussova rovina 1.1. Komplexní čísla
5
. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Geometrická interpretace, argument komplexního čísla 1.3. Nekonečno 1.4. Okolí bodu
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Posloupnosti komplexních čísel
. . . . . . . . . . .
2. Komplexní funkce reálné a komplexní proměnné 2.1. Komplexní funkce
6 7 8 9 11
. . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Některé důležité komplexní funkce
5
. . . . . . . . . .
11 12
2.2.1. Exponenciální funkce
. . . . . . . . . . . .
12
2.2.2. Goniometrické funkce
. . . . . . . . . . .
13
. . . . . . . . . . . .
14
2.2.3. Hyperbolické funkce 2.2.4. Logaritmická funkce
. . . . . . . . . . . .
2.2.5. Obecná mocninná funkce 2.2.6. Funkce n-tá odmocnina 2.3. Reálná a imaginární část funkce
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Limita funkce komplexní proměnné 2.5. Spojitost funkce komplexní proměnné
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky
. . . . . .
3. Derivace komplexní funkce komplexní proměnné 3.1. Derivace funkce
3.3. Poznámka ke „geometrickému významuÿ derivace
. . . . . . . . .
4. Konformní zobrazení 4.1. Základní vlastnosti 4.2. Lineární lomené funkce
15 15 16 17 18 19 22
. . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Harmonické funkce, harmonicky sdružené funkce
14
22 24 27 28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28 29
4
5. Integrál komplexní funkce. Cauchyho věty. Cauchyho vzorce 5.1. Integrál komplexní funkce reálné a komplexní proměnné 5.2. Cauchyho věty
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Cauchyho integrální vzorce
. . . . . . . . . . . .
5.4. Primitivní funkce, nezávislost integrálu na cestě
. . . . .
6. Číselné řady. Posloupnosti a řady funkcí 6.1. Číselné řady
6.2. Posloupnosti funkcí. Bodová a stejnoměrná konvergence
. .
7. Mocninné řady. Taylorovy řady
7.2. Taylorovy řady
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
8.3. Laurentova řada o středu ∞, klasifikace bodu ∞
. . . . .
9. Rezidua. Reziduová věta 9.1. Reziduum funkce a jeho výpočet 9.2. Reziduová věta
35
39 42
44 49
53 57 58 60
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3. Výpočet integrálů funkcí reálné proměnné pomocí reziduové věty R 2π . . . . . . 9.3.1. Integrály typu 0 R(sin x, cos x) dx R ∞ P (x) dx . . . . . . . . . 9.3.2. Integrály typu −∞ Q(x)
Literatura
33
53
. . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Izolované singularity a jejich klasifikace
32
44
8. Laurentovy řady. Klasifikace singulárních bodů 8.1. Laurentovy řady
30
39
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1. Mocninné řady
30
60 62 63 63 63
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5
1. Komplexní čísla, rozšířená Gaussova rovina 1.1. Komplexní čísla. Připomeňme si: • Komplexní číslo z je číslo tvaru z = x + iy, kde x, y ∈ R a i2 = −1; číslo x resp. y nazýváme reálnou resp. imaginární částí komplexního čísla z a značíme Re z resp. Im z.1 • Speciálním případem komplexních čísel jsou čísla reálná a ryze imaginární.
Reálná čísla z jsou charakterizovaná podmínkou Im z = 0, ryze imaginární
čísla podmínkou Re z = 0. • Dvě komplexní čísla z1 a z2 se rovnají právě tehdy, mají-li tytéž reálné a tytéž imaginární části, tj. z1 = z2 ⇔
Re z1 = Re z2 ∧ Im z1 = Im z2 .
• Pro každé komplexní číslo z = x + iy definujme jeho absolutní hodnotu jako nezáporné (reálné!) číslo |z| =
p p x2 + y 2 = (Re z)2 + (Im z)2
a číslo komplexně sdružené vztahem
z = x − iy = Re z − i Im z. • Pro každá dvě komplexní čísla z1 = x1 + iy1 a z2 = x2 + iy2 definujeme z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ), z1 − z2 = (x1 − x2 ) + i(y1 − y2 ), z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ), a je-li z2 6= 0 = 0 + 0i, definujeme taky z1 z2
=
1 |z2 |2
(z1 z2 ) .
• Pro každé komplexní číslo z = x + iy platí: zz = (x + iy)(x − iy) = x2 − (iy)2 = x2 + y 2 = |z|2 . 1 Domluvme
se: napíšeme-li z = x + iy, myslíme tím (nebude-li řečeno jinak), že x = Re z ∈ R a y = Im z ∈ R.
6
Poznámka. Jedním ze zásadních rozdílů mezi reálnými a komplexními čísly je skutečnost, že komplexní čísla nejsou uspořádaná. Vztah z1 < z2 není mezi komplexními čísly z1 a z2 definován, nejsou-li obě čísla z1 a z2 reálná. Příklad. Určete Re z a Im z, je-li z = Řešení: z= a proto
2+3i 1−2i .
2 + 3i 1 + 2i −4 + 7i 4 7 · = = − + i, 1 − 2i 1 + 2i 5 5 5 Re z = −
7 4 a Im z = . 5 5
1.2. Geometrická interpretace, argument komplexního čísla. Protože zřejmě existuje vzájemně jednoznačný vztah mezi body R2 a komplexními čísly: (x, y) ↔ x + iy, je přirozené znázorňovat si komplexní čísla jako body roviny. Množinu všech komplexních čísel budeme nazývat Gaussovou rovinou a značit C. S geometrickou interpretací souvisí i tzv. goniometrický tvar komplexního čísla z. Uvažujme z ∈ C, z 6= 0. Pak zřejmě existuje ϕ ∈ R takové, že2 z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).
(∗)
Z periodicity funkcí sin a cos vyplývá, že číslo (úhel) ϕ není vztahem (∗) určeno jednoznačně. Definice. Množinu všech reálných čísel ϕ, pro něž platí rovnost (∗), nazýváme argumentem komplexního čísla z ∈ C \ {0} a značíme Arg z, tj. def.
Arg z = {ϕ ∈ R : z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ)}. Poznámka. Je-li z = 0, je i |z| = 0 a rovnost (∗) platí při jakékoliv volbě ϕ ∈ R. Z tohoto důvodu argument čísla 0 není definován! Věta 1.1. Buď z ∈ C \ {0} a ϕ ∈ Arg z. Potom Arg z = {ϕ + 2kπ : k ∈ Z}. 2 Bystrý
čtenář nepřehlédne souvislost s polárními souřadnicemi v R2 .
7
Důkaz. Z periodicity funkcí sin a cos a z předpokladu ϕ ∈ Arg z plyne, že {ϕ + 2kπ : k ∈ Z} ⊂ Arg z. Přesvědčme se, že platí i opačná inkluse. Buď ψ ∈ Arg z libovolný bod. Chceme
dokázat, že existuje k ∈ Z takové, že ψ = ϕ + 2kπ. ϕ, ψ ∈ Arg z ⇒
⇒ z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) = |z|(cos ψ + i sin ψ) ∧ |z| = 6 0 ⇒ cos ϕ = cos ψ ⇒ ⇒ cos ϕ + i sin ϕ = cos ψ + i sin ψ ⇒ ∧ sin ϕ = sin ψ cos2 ϕ = cos ψ cos ϕ ⇒ cos2 ϕ + sin2 ϕ = cos ψ cos ϕ + sin ψ sin ϕ ⇒ ∧ ⇒ sin2 ϕ = sin ψ sin ϕ ⇒ 1 = cos(ψ − ϕ) ⇒ ∃k ∈ Z : ψ − ϕ = 2kπ ⇒ ∃k ∈ Z : ψ = ϕ + 2kπ . Definice. Takovou hodnotu argumentu ϕ ∈ Arg z, pro kterou platí −π < ϕ ≤ π, nazýváme hlavní hodnotou argumentu komplexního čísla z ∈ C \ {0} a značíme
arg z.
√ Příklad. Určete Arg z a arg z, je-li z = − 3 − i. Řešení: Zřejmě3 π + arcsin a proto4 Arg z = {
π 7π 1 =π+ = ∈ Arg z, 2 6 6
7π 5π + 2kπ : k ∈ Z}, arg z = − . 6 6
1.3. Nekonečno. Podobně jako je v reálném oboru užitečné doplnit konečná reálná čísla o +∞ a −∞, ukazuje se i v komplexním oboru potřeba rozšířit
Gaussovu rovinu C. Nejúčelnější je přidat pouze jediný bod; budeme jej značit ∞
a nazývat nekonečno. 3 Rada 4 Viz
čtenáři: nakreslete si obrázek. Větu 1.1. a předcházející definici.
8
Ukažme si ještě jednu geometrickou interpretaci komplexních čísel5 , která nám přiblíží volbu bodu ∞. Uvažujme kulovou plochu umístěnou tak, že se dotýká svým „jižním pólemÿ roviny komplexních čísel právě v bodě 0, a označme si její „severní pólÿ N. Nyní přiřaďme každému nenulovému komplexnímu číslu z bod z ∗ ležící na dané kulové ploše tak, aby z ∗ byl průsečíkem této plochy s přímkou spojující obraz čísla z s bodem N . Tímto způsobem získáme vzájemně jednoznačnou korespondenci mezi (konečnými) komplexními čísly a body dané kulové plochy (samozřejmě zmenšené o bod N ). Všimněme si, že čím větší je |z|, tím menší je vzdálenost bodů z ∗ a N dané
sféry. I to nás vede k tomu přidat k C pouze jediný bod (∞), jehož obrazem při výše popsané projekci bude právě bod N . Množinu ozn.
C ∪ {∞} = C∞ budeme nazývat rozšířenou (nebo taky uzavřenou) Gaussovou rovinou. Definujme nyní pro každé z ∈ C: (1) z ± ∞ = ∞ ± z = ∞, (2) z · ∞ = ∞ · z = ∞, je-li navíc z 6= 0, (3)
z ∞
(4)
z 0
(5)
∞ z
= 0, = ∞, je-li navíc z 6= 0, = ∞,
(6) ∞n = ∞, ∞−n = 0, 0−n = ∞, je-li n ∈ N, (7) |∞| = ∞, ∞ = ∞.6 1.4. Okolí bodu. Definice. Okolím bodu množinu
z0 ∈ C resp. ∞ s poloměrem
ε ∈ R+ rozumíme
U (z0 , ε) = {z ∈ C : |z − z0 | < ε} resp. množinu
1 } ∪ {∞}. ε s poloměrem ε ∈ R+ rozumíme množinu
U (∞, ε) = {z ∈ C : |z| > Prstencovým okolím bodu z ∈ C∞
P (z, ε) = U (z, ε) \ {z}. 5 Tzv.
stereografickou projekci. není definováno: ∞ ± ∞, 0 · ∞, ∞ · 0,
6 Pozor,
0 ∞ , , 0 ∞
Arg ∞, arg ∞.
9
Nezáleží-li nám na „velikostiÿ okolí (tj. na konkrétní hodnotě ε), píšeme krátce U (z) resp. P (z) a mluvíme o okolí resp. prstencovém okolí bodu z. Definice. Množina M ⊂ C∞ se nazývá otevřená, obsahuje-li s každým svým bodem i nějaké okolí tohoto bodu. Tzn. M je otevřená
def.
⇔ (∀z ∈ M ) (∃U (z)) : U (z) ⊂ M.
Příklady. a) ∅, C a C∞ jsou otevřené množiny, b) {z ∈ C : |z − 3| < |z + 2 − i|} a {z ∈ C : Im z < 1} jsou otevřené množiny, c) {2 +
√
3i}, {z ∈ C : Re z + 2 Im z = 7} a {z ∈ C : Im z ≤ 1} nejsou
otevřené množiny.
1.5. Posloupnosti komplexních čísel. Definice. Buď z ∈ C∞ a buď (zn ) posloupnost v C∞ .7 Řekneme, že posloupnost
(zn ) má limitu z a píšeme lim zn = z nebo zn → z, platí-li
∀ε ∈ R+ (∃n0 ∈ N) (∀n ∈ N, n ≥ n0 ) : zn ∈ U (z, ε).
Posloupnost (zn ) nazveme konvergentní, existuje-li číslo z ∈ C takové, že lim zn = z. Pozorování. • Definice limity posloupnosti vlastně říká, že vně libovolného (tzn. „jakkoliv maléhoÿ) okolí bodu z leží nejvýše konečně mnoho členů posloupnosti (zn ).
• Uvažujme posloupnost (zn ) a bod z v C∞ a – při stereografické projekci
odpovídající – posloupnost (zn∗ ) a bod z ∗ na kulové ploše8 v R3 . Pak platí zn → z (v C∞ ) ⇔ zn∗ → z ∗ (v R3 ).
7 Posloupností
v C∞ rozumíme – podobně jako u reálných posloupností – zobrazení z N do C∞ , jehož definiční obor obsahuje všechna dost velká n ∈ N. 8 Viz kapitolu 1.3.
10
Věta 1.2. Nechť zn = xn + iyn pro všechna dost velká n ∈ N a nechť z = x + iy.
Potom platí
lim zn = z ⇔
lim xn = x ∧ lim yn = y .
. Příklad. Určete lim (2n−i)i n Řešení: (2n − i)i lim = lim n
1 1 + 2i = lim + i lim 2 = 0 + 2i = 2i. n n
Poznámka. Definice limity je formálně stejná jako definice limity reálných posloupností. Platí proto i analogie mnoha vět. Uveďme pro ilustraci některé z nich. Věta 1.3. Každá posloupnost komplexních čísel má nejvýš jednu limitu. Věta 1.4. Posloupnost komplexních čísel má limitu z ∈ C∞ právě tehdy, když každá posloupnost z ní vybraná má tutéž limitu z.
Věta 1.5. Je-li posloupnost (zn ) konvergentní a taková, že pro každé n ∈ N je
zn ∈ C, je posloupnost (zn ) omezená.9
9 Tzn.,
že existuje k ∈ R+ takové, že pro každé n ∈ N je |zn | ≤ k.
11
2. Komplexní funkce reálné a komplexní proměnné 2.1. Komplexní funkce. Definice. Komplexní funkcí (komplexní proměnné) rozumíme každé zobrazení z C∞ do množiny všech podmnožin C∞ .
Jinými slovy: komplexní funkcí f
rozumíme předpis, pomocí něhož je každému číslu z ∈ Df ⊂ C∞ 10 přiřazeno
jedno nebo více komplexních čísel z C∞ . Toto nebo tato komplexní čísla značíme f (z) a nazýváme f – obrazem čísla z.
Pokud je pro každé z ∈ Df množina f (z) jednoprvková, nazýváme funkci f
jednoznačnou. Pokud tomu tak není, nazýváme funkci f mnohoznačnou, případně – podle počtu prvků f (z) – dvojznačnou, trojznačnou, . . . , nekonečněznačnou. Je-li Df ⊂ R, nazýváme funkci f komplexní funkcí reálné proměnné. Úmluva. Zadáme-li funkci pouze předpisem, rozumíme jejím definičním oborem množinu všech čísel z C∞ , pro něž má daný předpis smysl.11 Příklady. def.
a) f (z) = z 2 . . . jednoznačná funkce, Df = C∞ ; def.
b) f (z) = Arg z . . . nekonečněznačná funkce, Df = C \ {0}. Úmluva. Někdy budeme – nepříliš přesně – psát Arg z = arg z + 2kπ, k ∈ Z, místo správného zápisu Arg z = {arg z + 2kπ : k ∈ Z}. (Podobně i pro jiné mnohoznačné funkce.)
10 Nikoho
nepřekvapí, že množinu Df nazýváme definičním oborem funkce f . definičním oborem funkce f definované předpisem
11 Například:
def.
f (z) = je množina Df = C ∪ {∞}.
1 z
12
Definice. Buď f mnohoznačná funkce. Jednoznačnou funkci ϕ nazýváme jednoznačnou větví (mnohoznačné) funkce f , platí-li: (1) Dϕ ⊂ Df, (2) ∀z ∈ Dϕ : ϕ(z) ∈ f (z). Příklad. Funkce def.
def.
ϕ1 (z) = arg z a ϕ2 (z) = arg z + 2π jsou dvě – navzájem různé – jednoznačné větve funkce Arg. 2.2. Některé důležité komplexní funkce. 2.2.1. Exponenciální funkci definujeme pro každé z = x + iy ∈ C předpisem:12 def.
ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y). Vlastnosti exponenciální funkce. (i) ez je funkce jednoznačná. (ii) Oborem hodnot funkce ez je C \ {0}. (iii) Funkce ez je periodická s periodou 2πi. ! ez+2πi = ex+iy+2πi = ex cos(y + 2π) + i sin(y + 2π) = = ex (cos y + i sin y) = ex+iy = ez .
12 Pozorný
čtenář může být touto definicí zneklidněn, značíme totiž symbolem „eÿ dvě různé
funkce: ez : C → C \ {0} a ex : R → R+ . Nemusíme se však bát, protože pro z = x + 0i = x je ez = ex+0i = ex (cos 0 + i sin 0) = ex ; jinak řečeno: „komplexníÿ exponenciální funkce je rozšířením „reálnéÿ exponenciální funkce na C. Ze stejného důvodu nebudeme v dalším měnit označení ani některých jiných komplexních funkcí (např. sin, cos, sinh, cosh, ln, ... ).
13
2.2.2. Goniometrické funkce jsou definovány rovnostmi: def.
sin z =
iz −iz eiz − e−iz def. e + e , cos z = , 2i 2 def.
tg z =
sin z def. cos z , cotg z = . cos z sin z
Vlastnosti goniometrických funkcí. (i) Všechny goniometrické funkce jsou jednoznačné. (ii) sin z a cos z jsou funkce periodické s periodou 2π, tg z a cotg z jsou funkce periodické s periodou π. (iii) Pro každé z ∈ C platí: sin(−z) = − sin z, cos(−z) = cos z, tg(−z) = − tg z, cotg(−z) = − cotg z. (iv) Pro každé z ∈ C platí tzv. Eulerův vzorec: eiz = cos z + i sin z. (v) sin z = 0 ⇔ cos z = 0 ⇔
∃k ∈ Z : z = kπ , ∃k ∈ Z : z =
π + kπ . 2
Příklad. Určete Re z a Im z, je-li z = cos(4 + i). Řešení: ei(4+i) + e−i(4+i) = 2 cos 4 + i sin 4 + e cos(−4) + i sin(−4) e−1 + e e−1 − e = cos 4 + i sin 4, 2 2 2 z = cos(4 + i) =
=
e−1
a proto Re z = cosh 1 cos 4, Im z = − sinh 1 sin 4.
14
2.2.3. Hyperbolické funkce definujeme předpisy: z −z ez − e−z def. e + e , cosh z = , sinh z = 2 2 def.
def.
tgh z =
sinh z def. cosh z , cotgh z = . cosh z sinh z
Poznámka. Podobně jako v reálném oboru můžeme i pro komplexní funkce zavést pojem inverzní funkce. Na rozdíl od funkcí reálných však budeme definovat inverzní funkci i pro funkce, které nejsou prosté. V takovém případě pak bude příslušná inverzní funkce funkcí mnohoznačnou. Příkladem může být níže definovaná logaritmická funkce. 2.2.4. Logaritmickou funkci definujeme jako funkci inverzní k funkci exponenciální, tzn. def.
Ln z = {w ∈ C : ew = z}. Z vlastnosti (ii) exponenciální funkce13 vyplývá, že definičním oborem funkce Ln z je množina C \ {0}. Buď z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ), kde |z| > 0 a ϕ ∈ R, a položme Ln z = u + iv. Potom je eu+iv = z, tj. eu (cos v + i sin v) = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) , a proto14 u = ln |z| ∧ ∃k ∈ Z : v = ϕ + 2kπ .
Zjistili jsme, že pro každé z ∈ C \ {0} je
Ln z = ln |z| + i(ϕ + 2kπ), k ∈ Z, neboli, že Ln z = ln |z| + i Arg z. 13 Viz
stranu 12. „lnÿ zde znamená přirozený logaritmus, tj. funkci z R+ do R.
14 Symbol
15
Příklad.
√ 3π i + 2kπi, k ∈ Z. Ln(−1 + i) = ln 2 + 4
Definice. Funkci hlavní hodnota logaritmu definujeme na C \ {0} předpisem def.
ln z = ln |z| + i arg z. Příklad.
√ 3π i. ln(−1 − i) = ln 2 − 4
2.2.5. Obecná mocninná funkce. Připomeňme si: je-li n ∈ N resp. −n ∈ N, je funkce z 7→ z n definovaná předpisem def.
. . . z} z n = zzz | {z
resp.
n-krát
1
def.
zn =
z −n
.
Definujme nyní mocninnou funkci i pro a ∈ C takové, že ± a ∈ / N: def.
ozn.
z a = {w ∈ C : w = eas , s ∈ Ln z} = ea Ln z . Příklad. 2i = ei Ln 2 = ei(ln 2+2kπi) = e−2kπ+i ln 2 = e−2kπ cos(ln 2) + i sin(ln 2) , k ∈ Z. 2.2.6. Funkci n-tá odmocnina (n ∈ N, n 6= 1) definujeme předpisem: √
n
def.
z = {w ∈ C : wn = z}.
Cvičení. a) Dokažte, že pro každé 0 6= z ∈ C a 1 < n ∈ N platí: √
n
1
z = zn
1
a že funkce z 7→ z n je právě n-značná. b) Dokažte, že pro a =
m n,
kde m ∈ Z\{0} a n ∈ N jsou navzájem nesoudělná
a
čísla, je funkce z 7→ z právě n-značná.
c) Dokažte, že pro a ∈ C \ Q je funkce z 7→ z a nekonečněznačná.
16
Příklad.
√
1
1
1
π
π
π
i = i 4 = e 4 Ln i = e 4 ( 2 i+2kπi) = e 8 i+k 2 i = π π π π = cos +k +k + i sin , k ∈ {0, 1, 2, 3}. 8 2 8 2 4
2.3. Reálná a imaginární část funkce. Úmluva. Pokud nebude řečeno jinak, budeme pojmem komplexní funkce rozumět funkci jednoznačnou. Poznámka. Ukažme si, jak lze každou konečnou komplexní funkci f ,15 pro niž platí Df ⊂ C, vyjádřit pomocí dvou reálných funkcí dvou reálných proměnných. Definice. Buď f : C → C. Funkci u : R2 → R resp. v : R2 → R definovanou na množině {(x, y) ∈ R2 : x + iy ∈ Df } předpisem def.
def.
u(x, y) = Re f (x + iy) resp. v(x, y) = Im f (x + iy) nazýváme reálnou resp. imaginární částí funkce f . Skutečnost, že u resp. v je reálnou resp. imaginární částí funkce f budeme zapisovat symbolem f = u + iv. Příklad. Najděme reálnou a imaginární část funkce def. z f (z) = . z Řešení: f (z) = f (x + iy) =
x + iy x2 − y 2 2xy = 2 +i 2 , 2 x − iy x +y x + y2
a proto f = u + iv, kde def.
u(x, y) =
15 Tzn.,
že f : C → C.
x2 − y 2 x2 + y 2
def.
a v(x, y) =
2xy . + y2
x2
17
2.4. Limita funkce komplexní proměnné. Úmluva. Píšeme-li z0 6= zn → z0 , myslíme tím, že zn → z0 a že pro všechna dost velká n ∈ N je zn ∈ C∞ \ {z0 }. Definice. Řekneme, že funkce f : C∞ → C∞ má v bodě z0 ∈ C∞ limitu
a ∈ C∞ a píšeme lim f (z) = a, platí-li: z→z0
z0 6= zn → z0 ⇒ f (zn ) → a. Věta 2.1. Nechť f : C∞ → C∞ a nechť z0 , a ∈ C∞ . Potom lim f (z) = a právě z→z0
tehdy, platí-li:
(∀U (a)) (∃P (z0 )) (∀z ∈ P (z0 )) : f (z) ∈ U (a). Věta 2.2. Nechť f = u + iv : C → C a nechť z0 = x0 + iy0 a a = α + iβ. Potom lim f (z) = a právě tehdy, platí-li: z→z0
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
u(x, y) = α
lim
∧
(x,y)→(x0 ,y0 )
v(x, y) = β.
Příklady. a) lim
z→i
z−i z2 + 1 =
=
lim
(x,y)→(0,1)
b)
lim
= lim
x+iy→i
z→i
1 z+i
=
lim
x+iy→i
1 x + i(y + 1)
−(y + 1) x +i 2 2 2 x + (y + 1) x + (y + 1)2
x 2 x + (y + 1)2
+i
lim
(x,y)→(0,1)
−(y + 1) 2 x + (y + 1)2
=
=
1 1 = 0 − i = − i. 2 2
lim arg z neexistuje, protože:
z→−1
def. • −1 6= zn = cos π +
• arg (z2n ) → −π,
• arg (z2n+1 ) → π.
(−1)n n
+ i sin π +
(−1)n n
→ −1,
18
2.5. Spojitost funkce komplexní proměnné. Definice. Řekneme, že funkce f : C∞ → C∞ je spojitá v bodě z0 ∈ C∞ , platí-li:
lim f (z) = f (z0 ).
z→z0
Řekneme, že funkce f je spojitá na množině M ⊂ C∞ , platí-li pro každé
z0 ∈ M implikace:
zn → z0
∀n ∈ N : zn ∈ M
)
⇒ f (zn ) → f (z0 ).
Řekneme, že funkce f je spojitá, je-li spojitá na svém definičním oboru. Věta 2.3. Nechť f : C∞ → C∞ a nechť z0 ∈ C∞ . Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní: (i) f je spojitá v bodě z0 , (ii) zn → z0 ⇒ f (zn ) → f (z0 ), (iii) (∀U (f (z0 ))) (∃U (z0 )) (∀z ∈ U (z0 )) : f (z) ∈ U (f (z0 )) . Cvičení. Rozmyslete si, jak spolu souvisí spojitost funkce f = u + iv : C → C
se spojitostí funkcí u, v : R2 → R. Příklady.
a) Funkce arg z není spojitá, neboť není spojitá (např.) v bodě −1.16 b) Funkce arg z je spojitá na množině {z ∈ C : z ∈ / R− ∧ z 6= 0}.
16 Viz
příklad b) na straně 17.
19
2.6. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Buď f komplexní funkcí reálné proměnné, tj. buď f zobrazením z R do C∞ .
Podobně jako u komplexních funkcí komplexní proměnné můžeme i zde zavést pojem limity a spojitosti. Definice. Buď f : R → C∞ .
Řekneme, že funkce f má v bodě t0 ∈ R limitu a ∈ C∞ a píšeme lim f (t) = a, t→t0
platí-li:
t0 6= tn → t0 (v R) ⇒ f (tn ) → a. Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě t0 ∈ R,
platí-li:
lim f (t) = f (t0 ).
t→t0
Řekneme, že funkce f je spojitá na množině M ⊂ R, platí-li pro každé
t0 ∈ M implikace:
tn → t0
∀n ∈ N : tn ∈ M
)
⇒ f (tn ) → f (t0 ).
Řekneme, že funkce f je spojitá, je-li spojitá na svém definičním oboru. Velice důležitou třídu spojitých funkcí tvoří křivky. Definice. Křivkou v C∞ (resp. v C) rozumíme každou spojitou komplexní funkci
reálné proměnné
γ : I → C∞ (resp. γ : I → C), kde I = Dγ ⊂ R je interval. Množinu
def.
hγi = γ(I) = {γ(t) : t ∈ I} ⊂ C∞ pak nazýváme geometrickým obrazem křivky γ. Je-li M = hγi, říkáme, že γ je parametrizací množiny M .
Pozorování a úmluva. Již jsme si všimli, že existuje vzájemně jednoznačný vztah mezi body R2 a body C: (x, y) ↔ x + iy. Podobně si lze všimnout, že existuje vzájemně jednoznačný vztah mezi křivkami v R2 a křivkami v C: γ = (γ1 , γ2 ) ↔ γ = γ1 + iγ2 .
20
Můžeme proto i pro křivky v C považovat za známé pojmy zavedené pro křivky v R2 (viz [2]). Uveďme pro příklad některé z nich: jednoduchá křivka, uzavřená křivka, jednoduchá uzavřená křivka, opačně orientovaná křivka, hladký oblouk, po částech hladká křivka, počáteční a koncový bod křivky, derivace křivky v bodě, tečný vektor křivky, . . . . Cvičení. Znázorněte v Gaussově rovině geometrický obraz křivky γ, je-li def.
a) γ(t) = 2 − 3i + 2 e−2it , t ∈ h0, 34 πi; it π 4 e , t ∈ h0, 2 i, def. b) γ(t) = i(4 + π2 − t), t ∈ h π2 , 4 + π2 i, t − 4 − π2 , t ∈ h4 + π2 , 8 + π2 i.
Definice. Množina Ω ⊂ C∞ se nazývá oblastí, platí-li současně tyto dvě podmínky:
(1) Ω je otevřená množina,17 (2) Ω je souvislá množina (tzn., že každé dva body Ω lze spojit křivkou v Ω; přesněji: pro každé dva body z1 , z2 ∈ Ω existuje křivka γ : ha, bi → Ω taková, že γ(a) = z1 , γ(b) = z2 ).
Definice. Buď M ⊂ C∞ . Množinu K ⊂ M nazýváme komponentou množiny M ,
má-li současně tyto dvě vlastnosti: (1) K je souvislá množina;
(2) je-li K ∗ ⊂ M souvislá množina obsahující K (tzn. K ⊂ K ∗ ), je K = K ∗ .18 Poznámka. Dá se ukázat,19 že každá množina M ⊂ C∞ je sjednocením systému všech svých komponent; tento systém je přitom disjunktní.
Definice. Oblast Ω ⊂ C∞ , jejíž doplněk v C∞ (tj. množina C∞ \ Ω) má právě n
různých komponent, se nazývá n–násobně souvislá oblast. Jednonásobně souvislá
oblast se nazývá jednoduše souvislá oblast.
17 Viz
str. 9.
18 Komponentou 19 Viz
např. [5].
množiny tedy nazýváme každou její maximální souvislou podmnožinu.
21
Příklady. a) ∅, C, C∞ , U (z), kde z ∈ C∞ , jsou jednoduše souvislé oblasti. b) P (z), C \ {z}, kde z ∈ C, jsou dvojnásobně souvislé oblasti. c) U (1, 2002) \ {2, 4, 5 + i} je čtyřnásobně souvislá oblast. d) U (3, 2) ∪ U (4i, 3) není oblast (není souvislá). e) C∞ \ {z ∈ C : arg z ∈ h0, π4 i} není oblast (není otevřená).
22
3. Derivace komplexní funkce komplexní proměnné 3.1. Derivace funkce. Definice. Buď f : C → C.
Derivaci funkce f v bodě z0 ∈ C definujeme rovností f 0 (z0 ) = lim
z→z0
f (z) − f (z0 ) , z − z0
existuje-li limita vpravo a je-li konečná. Řekneme, že funkce f je holomorfní na množině Ω, je-li Ω ⊂ C otevřená množina
a existuje-li f 0 (z) pro každé z ∈ Ω.
Řekneme, že funkce f je holomorfní v bodě z0 ∈ C, je-li f holomorfní na ně-
jakém okolí bodu z0 (tj. má-li derivaci v každém bodě nějakého okolí U (z0 )).
Poznámka. Všimněme si, že definice derivace je formálně totožná s definicí derivace reálné funkce reálné proměnné. Formálně stejné by byly formulace i důkazy mnoha vět o „počítáníÿ derivací.20 Nebudeme je proto uvádět. Věta 3.1. Má-li funkce f : C → C derivaci v bodě z0 ∈ C, je f v bodě z0 spojitá. Důkaz. Z předpokladu f 0 (z0 ) = lim
z→z0
f (z) − f (z0 ) ∈C z − z0
plyne existence prstencové okolí P (z0 ) takového, že platí
a proto taky
f (z) − f (z0 ) < |f 0 (z0 )| + 1, ∀z ∈ P (z0 ) : z − z0 ∀z ∈ P (z0 ) : 0 ≤ |f (z) − f (z0 )| < |f 0 (z0 )| + 1 |z − z0 |.
Vezměme nyní libovolnou posloupnost (zn ) takovou, že zn → z0 . Z výše uve-
deného tvrzení pak vyplývá, že |f (zn ) − f (z0 )| → 0, a proto f (zn ) → f (z0 ). Právě jsme dokázali spojitost funkce f v bodě z0 .21
20 Máme 21 Viz
na mysli např. věty o derivování součtu, rozdílu, součinu, podílu, složené funkce, . . . . Větu 2.3. na straně 18.
23
Věta 3.2. Funkce f = u+iv má v bodě z0 = x0 +iy0 derivaci právě tehdy, platí-li tyto dvě podmínky: (i) u a v jsou diferencovatelné v bodě (x0 , y0 ),22 (ii) u a v splňují v bodě (x0 , y0 ) tzv. Cauchyho–Riemannovy podmínky: ∂v ∂u (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ), ∂x ∂y −
∂u ∂v (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ). ∂y ∂x
Navíc, pokud f 0 (z0 ) existuje, platí: f 0 (z0 ) =
∂v ∂v ∂u ∂u (x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) − i (x0 , y0 ). ∂x ∂x ∂y ∂y
Poznámka k výše uvedené větě. Vyjádření f 0 pomocí parciálních derivací funkcí u a v a z něho plynoucí Cauchyho–Riemannovy podmínky by neměly být po prohlédnutí následujících řádků žádným překvapením.23 Všimněme si: existuje-li f 0 (z0 ), je f 0 (z0 ) = lim
z→z0
= lim
h→0 h∈R
f (z) − f (z0 ) f (x0 + h + iy0 ) − f (x0 + iy0 ) = lim = h→0 (x0 + h + iy0 ) − (x0 + iy0 ) z − z0 h∈R
u(x0 + h, y0 ) + iv(x0 + h, y0 ) − u(x0 , y0 ) − iv(x0 , y0 ) = (x0 + h − x0 ) + i(y0 − y0 )
u(x0 + h, y0 ) − u(x0 , y0 ) v(x0 + h, y0 ) − v(x0 , y0 ) + i lim = h→0 h→0 h h
= lim =
∂u ∂v (x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ), ∂x ∂x
22 Připomeňme
si důležité tvrzení - postačující podmínku diferencovatelnosti:
∂ϕ ∂ϕ a spojité v bodě (x0 , y0 ), ∂x ∂y je funkce ϕ diferencovatelná v bodě (x0 , y0 ). Buď ϕ : R2 → R. Jsou-li funkce
23 Je
třeba si ovšem domyslet smysl výrazů typu: „ lim . . .ÿ . h→0 h∈R
24
a podobně f 0 (z0 ) = lim
z→z0
= lim
s→0 s∈R
f (x0 + i(y0 + s)) − f (x0 + iy0 ) f (z) − f (z0 ) = lim = s→0 (x0 + i(y0 + s)) − (x0 + iy0 ) z − z0 s∈R
u(x0 , y0 + s) + iv(x0 , y0 + s) − u(x0 , y0 ) − iv(x0 , y0 ) = (x0 − x0 ) + i(y0 + s − y0 )
v(x0 , y0 + s) − v(x0 , y0 ) 1 u(x0 , y0 + s) − u(x0 , y0 ) + lim = s→0 s i s→0 s
= lim =
∂u ∂v (x0 , y0 ) − i (x0 , y0 ). ∂y ∂y
def.
Příklad. Zjistěte, ve kterých bodech má funkce f (z) = ez derivaci, a vyjádřete ji. Řešení: Pro každé x + iy ∈ C platí: f (x + iy) = ex+iy =
ex cos y | {z } def.
= u(x,y)
+i ex sin y , | {z } def.
= v(x,y)
∂u ∂v (x, y) = ex cos y = (x, y), ∂x ∂y −
∂v ∂u (x, y) = ex sin y = (x, y). ∂y ∂x
Protože funkce u a v jsou navíc zřejmě diferencovatelné v každém bodě (x, y) ∈ R2 , platí pro každé z = x + iy ∈ C:
f 0 (z) = f 0 (x+iy) =
∂v ∂u (x, y)+i (x, y) = ex cos y+i ex sin y = ex+iy = f (x+iy) = f (z). ∂x ∂x
3.2. Harmonické funkce, harmonicky sdružené funkce. Definice. Buď M ⊂ R2 otevřená množina. Řekneme, že funkce ϕ : R2 → R je
harmonická na množině M , platí-li pro každý bod (x, y) ∈ M tyto dvě podmínky: (1) ϕ má v bodě (x, y) spojité všechny parciální derivace až do druhého řádu včetně,24 def. ∂ 2 ϕ ∂x2 (x, y)
(2) ∆ϕ(x, y) =
24 Tj.
ϕ je třídy C 2 na M .
+
∂2ϕ ∂y 2 (x, y)
= 0.
25
Příklad. def.
a) Funkce ϕ(x, y) = x + y + ex cos y je harmonická na R2 . def. b) Funkce ϕ(x, y) = Im ln(x + iy) není harmonická na R2 \ {(0, 0)}.25 Úmluva. V dalším budeme psát zkráceně (ale nepříliš přesně), že „funkce ϕ je harmonická na množině Ω ⊂ Cÿ, místo správného: „funkce ϕ je harmonická na
množině {(x, y) ∈ R2 : x + iy ∈ Ω}ÿ.
Pozorování. Předpokládejme, že funkce f = u + iv má v každém bodě oblasti Ω ⊂ C derivaci druhého řádu26 a že funkce u a v jsou třídy C 2 na množině
{(x, y) ∈ R2 : x + iy ∈ Ω}. Z Věty 3.2. pak plyne, že pro každý bod x + iy ∈ Ω platí:
f 0 (x + iy) = f 00 (x + iy) =
∂u ∂v ∂v ∂u (x, y) + i (x, y) = (x, y) − i (x, y), ∂x ∂x ∂y ∂y
∂2v ∂2u ∂2v ∂2u (x, y) + i (x, y) = − (x, y) − i (x, y). ∂x2 ∂x2 ∂y 2 ∂y 2
Zaměřme nyní svoji pozornost na poslední z uvedených rovností: porovnáním reálných a imaginárních částí zjistíme, že ∀x + iy ∈ Ω : ∆u(x, y) = 0 = ∆v(x, y), neboli, že funkce u a v jsou na oblasti Ω harmonické. Následující věta toto pozorování ještě zobecňuje. Věta 3.3. Nechť funkce f = u + iv je holomorfní na oblasti Ω ⊂ C. Pak funkce u a v jsou harmonické na Ω.
Definice. Řekneme, že funkce u, v : R2 → R jsou harmonicky sdružené na oblasti
Ω ⊂ C, platí-li současně:
(1) u a v jsou harmonické na Ω, (2) u a v splňují na Ω Cauchyho–Riemannovy podmínky.
25 Otázka 26 Buď
tj.
čtenáři: Proč? n ∈ N. Definujme (n + 1)–ní derivaci funkce f : C → C v bodě z0 ∈ C indukcí: 0 f (n+1) (z0 ) = f (n) (z0 ), f (n+1) (z0 ) = lim
z→z0
existuje-li limita vpravo a je-li konečná.
f (n) (z) − f (n) (z0 ) , z − z0
26
Pozorování. Všimněme si, že harmonicky sdružené funkce tvoří právě reálné a imaginární části holomorfních funkcí. Příklad. Najděte (existuje-li) holomorfní funkci f = u + iv, je-li def.
u(x, y) = x2 − y 2 + 2xy. Řešení: Hledejme funkci v : R2 → R „svázanouÿ Cauchyho–Riemannovými podmínkami s funkcí u: ∂u ∂v (x, y) = 2x + 2y = (x, y) ⇒ v(x, y) = 2xy + y 2 + ϕ(x), ∂x ∂y
kde ϕ : R → R. Nyní dosaďme do druhé z Cauchyho–Riemannových podmínek: −
∂u ∂v (x, y) = 2y − 2x = (x, y) = 2y + ϕ0 (x), ∂y ∂x
a proto
ϕ(x) = −x2 + c, kde c ∈ R,
v(x, y) = 2xy + y 2 − x2 + c.
Snadno se lze přesvědčit,27 že funkce def.
f (x + iy) = x2 − y 2 + 2xy + i(2xy + y 2 − x2 + c) je při každé volbě c ∈ R holomorfní na C. Věta 3.4. Nechť u resp. v je harmonická funkce na jednoduše souvislé oblasti Ω ⊂ C. Potom existuje až na ryze imaginární resp. reálnou konstantu jednoznačně
určená funkce f : C → C taková, že • f je holomorfní na Ω,
• pro každé x + iy ∈ Ω platí: u(x, y) = Re f (x + iy) resp. v(x, y) = Im f (x + iy).
Cvičení. a) Najděte všechny na oblasti C \ {0} holomorfní funkce f = u + iv, kde y def. v(x, y) = 2 . x + y2 b) Dokažte, že je funkce def.
v(x, y) = ln(x2 + y 2 ) harmonická na oblasti C \ {0}, a že přesto neexistuje funkce u : R2 → R def.
taková, aby f = u + iv byla holomorfní na C \ {0}
27 Stačí
ověřit podmínky (i) a (ii) z Věty 3.2.
27
3.3. Poznámka ke „geometrickému významuÿ derivace. Předpokládejme, že je funkce f : C → C holomorfní v bodě z0 ∈ C a že 0 6= f 0 (z0 ) = |f 0 (z0 )| ei arg f
0
(z0 )
.
Z definice derivace pak plyne, že f (z) − f (z0 ) = |f 0 (z0 )| ∈ R+ , lim z→z0 z − z0
a proto pro z „blízkéÿ bodu z0 je číslo |f (z) − f (z0 )| „blízkéÿ číslu |f 0 (z0 )| · |z − z0 |. Jinak řečeno: pro „maláÿ δ > 0 se f –obraz kružnice {z ∈ C : |z − z0 | = δ} „málo
lišíÿ od kružnice {w ∈ C : |w − f (z0 )| = |f 0 (z0 )| · δ}.
Ukažme si nyní, jak lze geometricky interpretovat arg f 0 (z0 ).
Buď γ libo-
volný hladký oblouk v C takový, že γ(t0 ) = z0 . Pak číslo arg γ 0 (t0 ) udává úhel, který svírá tečný vektor γ 0 (t0 ) s kladnou částí reálné osy.28 Teď uvažujme (na def.
„dostatečně malémÿ okolí bodu t0 korektně definovanou) křivku Γ(t) = f (γ(t)) a zkoumejme odchylku tečného vektoru Γ0 (t0 ) od kladné části reálné osy, tj. ar gument Γ0 (t0 ). Protože Γ0 (t0 ) = f 0 γ(t0 ) γ 0 (t0 ) = f 0 (z0 )γ 0 (t0 ), je arg f 0 (z0 ) + arg γ 0 (t0 ) ∈ Arg Γ0 (t0 ).
Jinak řečeno: číslo arg f 0 (z0 ) udává úhel, o který je třeba otočit směrový vektor tečny hladkého oblouku γ v bodě γ(t0 ) = z0 tak, abychom dostali směrový vektor def.
tečny křivky Γ = f ◦ γ v bodě Γ(t0 ) = f (z0 ), přičemž na konkrétní volbě křivky γ nezáleží.
Tyto úvahy nás vedou k následující definici. Definice. Buď funkce f : C → C holomorfní v bodě z0 a buď f 0 (z0 ) 6= 0. Číslo |f 0 (z0 )| nazýváme koeficientem roztažnosti funkce f v bodě z0 .29
Číslo arg f 0 (z0 ) nazýváme úhlem otočení funkce f v bodě z0 .
28 Kreslete
si obrázek! navíc |f 0 (z0 )| < 1 resp. |f 0 (z0 )| > 1, mluvíme někdy o kontrakci resp. dilataci funkce f v bodě z0 . 29 Je-li
28
4. Konformní zobrazení 4.1. Základní vlastnosti. Definice. Řekneme, že funkce f : C∞ → C∞ je konformní na otevřené množině G ⊂ C∞ , platí-li:
(1) f je spojitá a prostá na G,
(2) f 0 existuje ve všech bodech množiny G s výjimkou nejvýše konečně mnoha. Cvičení. Rozmyslete si, na jakých oblastech jsou konformní funkce: ez , ln z, sin z, z 2 , z 4 , ... . Definice. Řekneme, že otevřené množiny G1 , G2 ⊂ C∞ jsou konformně ekviva-
lentní, existuje-li funkce f : C∞ → C∞ taková, že (1) f je konformní na G1 , (2) f (G1 ) = G2 . Vlastnosti konformních funkcí.
(i) Je-li f konformní na G, je f 0 (z) 6= 0 pro všechna z ∈ G s výjimkou nejvýše
dvou bodů: bodu ∞ (pokud patří do G) a bodu (je-li v G takový), jehož f –obrazem je ∞.30
(ii) Funkce inverzní ke konformnímu zobrazení je konformní. (iii) Obrazem oblasti při konformním zobrazení je oblast. (iv) Rozdělme nyní všechny jednoduše souvislé oblasti v C∞ do čtyř skupin: 1. skupina obsahuje pouze prázdnou množinu, 2. skupina obsahuje pouze C∞ ,
3. skupina obsahuje všechny oblasti tvaru C∞ \ {z0 }, kde z0 ∈ C∞ , 4. skupina obsahuje všechny ostatní jednoduše souvislé oblasti.31
Pak platí: jednoduše souvislé oblasti Ω1 a Ω2 jsou konformně ekvivalentní právě tehdy, patří-li obě do stejné skupiny. Prozkoumejme nyní podrobněji jeden velice důležitý typ konformních zobrazení. 30 Všimněme
si, že odtud vyplývá, že konformní funkce f zachovává úhly mezi křivkami vycházejícími z bodu z0 (z0 ∈ G, z0 6= ∞ = 6 f (z0 )) – viz geometrický význam arg f 0 (z0 ) na straně 27. Této vlastnosti funkce f se říká konformnost v bodě z0 . 31 Tzn. všechny neprádné jednoduše souvislé oblasti, jejichž doplněk obsahuje alespoň dva body.
29
4.2. Lineární lomené funkce. Definice. Lineární lomenou funkcí rozumíme každé zobrazení f : C∞ → C∞ , k němuž existují čísla a, b, c, d ∈ C taková, že ad − bc 6= 0 a že f (z) =
(
az+b cz+d a c
,
,
je-li z ∈ C, je-li z = ∞.
Vlastnosti lineárních lomených funkcí. (i) Lineární lomené funkce jsou jediná konformní zobrazení C∞ na C∞ . (ii) Inverzní zobrazení k lineární lomené funkci je lineární lomená funkce. (iii) Obrazem zobecněné kružnice při lineárním lomeném zobrazení je zobecněná kružnice. (Zobecněnou kružnicí rozumíme kružnici (v C) nebo přímku – k té počítáme i bod ∞.) (iv) Nechť každá z množin {z1 , z2 , z3 }, {w1 , w2 , w3 } obsahuje tři navzájem různá čísla z C∞ . Pak existuje právě jedna lineární lomená funkce f ,
pro niž je f (z1 ) = w1 , f (z2 ) = w2 a f (z3 ) = w3 .
(v) Speciálním případem lineárních lomených zobrazení jsou lineární funkce, def.
tj. funkce definované předpisem f (z) = az + b, kde a, b ∈ C, a 6= 0.32 Příklad. Najděte obraz kružnice K = {z ∈ C : |z − 1| = 1} def. 1 z.
při zobrazení f (z) =
Řešení: Protože pro body 0, 2, 1 + i ∈ K platí: f (0) = ∞, f (2) = 21 , f (1 + i) = 1 2
− 21 i, je obrazem kružnice K přímka:33
f (K) = {z ∈ C : Re z =
32 Rozmyslete
1 } ∪ {∞}. 2
si, že každou lineární funkci lze získat složením tří zobrazení: otočení (z 7→ ei arg a z), stejnolehlosti (z 7→ |a|z) a posunutí (z 7→ z + b). 33 Viz vlastnost (iii) lineárních lomených funkcí.
30
5. Integrál komplexní funkce. Cauchyho věty. Cauchyho vzorce. 5.1. Integrál komplexní funkce reálné a komplexní proměnné. Věta 5.1. (Jordanova). Nechť γ je jednoduchá uzavřená křivka v C. Potom C∞ \ hγi = Ω1 ∪ Ω2 , kde Ω1 a Ω2 jsou dvě disjunktní,34 neprázdné a jednoduše souvislé oblasti, jejichž společnou hranicí je hγi. Definice. Uvažujme situaci z Jordanovy věty. Tu z oblastí Ω1 , Ω2 , která neobsahuje ∞, nazýváme vnitřkem křivky γ a značíme int γ, tu, která ∞ obsahuje,
nazýváme vnějškem křivky γ a značíme ext γ.
Definice. Buď funkce f = u + iv : R → C spojitá na intervalu ha, bi (a, b ∈ R; a < b).35 Pak definujeme Z
b
f (t) dt =
a
Z
b
def.
u(t) + iv(t) dt =
a
Z
b
u(t) dt + i
a
Z
b
v(t) dt.
a
Definice. Buď γ : ha, bi → C po částech hladká křivka a buď funkce
f = u + iv : C → C spojitá na hγi. Pak definujeme36 Z
def.
f (z) dz =
γ
Z
(γ)
u(x, y) dx − v(x, y) dy + i
Z
v(x, y) dx + u(x, y) dy,
(γ)
kde integrály na pravé straně rovnosti jsou křivkové integrály 2. druhu (γ zde chápeme jako křivku v R2 ). Věta 5.2. Nechť γ : ha, bi → C je hladký oblouk a nechť funkce f : C → C je spojitá na hγi. Potom platí Z
γ
34 Tzn. 35 Tzn.,
f (z) dz =
Z
b
f (γ(t))γ 0 (t) dt.
a
Ω1 ∩ Ω2 = ∅. def.
def.
že funkce u(t) = Re f (t), v(t) = Im f (t) : R → R jsou spojité na ha, bi. 36 Pomůcka pro snadnější zapamatování: „f (z) dz = (u + iv)( dx + i dy) = u dx − v dy + i(v dx + u dy)ÿ.
31
Důkaz. Označme f = u + iv a γ = γ1 + iγ2 . Potom platí: Z Z Z f (z) dz = u(x, y) dx − v(x, y) dy + i v(x, y) dx + u(x, y) dy = (γ)
γ
=
Z
(γ)
b
u(γ1 (t), γ2 (t))γ10 (t) − v(γ1 (t), γ2 (t))γ20 (t) dt+
a
+i
Z
a
b
=
Z
b
=
Z
b
v(γ1 (t), γ2 (t))γ10 (t) + u(γ1 (t), γ2 (t))γ20 (t) dt =
u(γ1 (t), γ2 (t)) + iv(γ1 (t), γ2 (t) γ10 (t)+ a + i u(γ1 (t), γ2 (t)) + iv(γ1 (t), γ2 (t)) γ20 (t) dt = f γ1 (t) + iγ2 (t)
a
Příklad. Vypočtěte
γ10 (t)
Z
γ
+
iγ20 (t)
dt =
Z
b
f (γ(t))γ 0 (t) dt.
a
1 dz, z
def.
kde γ(t) = 5 eit , t ∈ h0, 2πi. Řešení – na „základěÿ definice: Z
γ
1 dz = z
=
Z
0
2π
Z
(γ)
y x dx + 2 dy + i 2 2 x +y x + y2
Z
−25 sin t cos t 25 sin t cos t + dt + i 25 25 =0+i
Z
(γ)
Z
x −y dx + 2 dy = 2 +y x + y2
x2
2π
0
25 sin2 t 25 cos2 t + dt = 25 25
2π
1 dt = 2πi ;
0
– „pomocíÿ Věty 5.2: Z
γ
1 dz = z
Z
0
2π
1 5i eit dt = 5 eit
Z
0
2π
i dt = 2πi .
32
5.2. Cauchyho věty. Věta 5.3. (Cauchyho). Nechť funkce f je holomorfní na jednoduše souvislé oblasti Ω ⊂ C. Pak pro každou uzavřenou po částech hladkou křivku γ v Ω37 platí:
Z
f (z) dz = 0.
γ
Důkaz. Označme f = u + iv a definujme vektorová pole def.
f1 (x, y) =
u(x, y), −v(x, y) ,
f2 (x, y) = v(x, y), u(x, y) . def.
Potom f1 a f2 jsou třídy C 2 na jednoduše souvislé oblasti Ω∗ = {(x, y) ∈ R2 : x + iy ∈ Ω} (viz Větu 3.3.), a protože navíc v Ω∗ platí ∂(−v) ∂u = ∂y ∂x
∂v ∂u = ∂y ∂x
a
(viz Větu 3.2.), jsou i potenciální na Ω∗ (viz [2], str. 23–25). Proto Z
f (z) dz =
γ
Z
f1 (x, y) ds + i
(γ)
Z
f2 (x, y) ds = 0 + i0 = 0.
(γ)
Věta 5.4. (zobecnění Cauchyho věty). Nechť Ω = int γ, kde γ je jednoduchá uzavřená po částech hladká křivka v C. Pak pro každou funkci f : C → C, která
je holomorfní na Ω a spojitá na Ω = Ω ∪ hγi, platí: 38 Z
f (z) dz = 0.
γ
Pozorování. Buď γ, γ1 , γ2 , . . . , γn takové jednoduché uzavřené po částech hladké a kladně orientované křivky v C, že pro každé i, j ∈ {1, 2, . . . , n} platí: 37 Tzn.
hγi ⊂ Ω. si souvislosti s Greenovou větou – viz [2].
38 Všimněme
33
hγi i ⊂ ext γj , je-li i 6= j, hγi i ⊂ int γ. Pak množina Ω = int γ ∩ ext γ1 ∩ ext γ2 ∩ · · · ∩ ext γn je (n + 1)-násobně souvislou oblastí.39 Věta 5.5. (Cauchyho věta pro vícenásobně souvislou oblast). Nechť Ω je (n + 1)-násobně souvislou oblastí výše popsaného typu a nechť f : C → C je
holomorfní na Ω a spojitá na
Ω = Ω ∪ hγi ∪ hγ1 i ∪ hγ2 i ∪ · · · ∪ hγn i. Pak platí: Z
n Z X
f (z) dz =
γ
f (z) dz.
γi
i=1
5.3. Cauchyho integrální vzorce. Věta 5.6. Nechť γ je jednoduchá uzavřená po částech hladká kladně orientovaná křivka v C a nechť funkce f : C → C je holomorfní na Ω = int γ a spojitá na Ω = Ω ∪ hγi. Potom pro každé z0 ∈ Ω platí: Z
1 f (z0 ) = 2πi
γ
f (z) dz. z − z0
(♣)
Navíc: je-li n ∈ N, existuje f (n) (z0 ) pro každé z0 ∈ Ω a platí: f
(n)
n! (z0 ) = 2πi
Z
γ
f (z) dz. (z − z0 )n+1
(♠)
Důkaz tvrzení (♣). Buď z0 ∈ Ω libovolný bod. Definujme pro každé r > 0 křivku def.
γr (t) = z0 + r eit , t ∈ h0, 2πi. Z Věty 5.5. pak plyne, že Z
γ
f (z) dz = lim r→0+ z − z0
39 Namalujte
Z
γr
si obrázek!
f (z) dz= lim r→0+ z − z0
Z
γr
f (z) − f (z0 ) dz + z − z0
Z
γr
f (z0 ) dz . z − z0
34
Z předpokladu f 0 (z0 ) = lim
z→z0
plyne:
f (z) − f (z0 ) ∈C z − z0
f (z) − f (z0 ) ≤ k, (∃δ > 0, k > 0) (∀z ∈ C : 0 < |z − z0 | < δ) : z − z0
a proto pro všechna „dost maláÿ r > 0 platí:40 Z f (z) − f (z0 ) dz ≤ k2πr, z − z0 γr
neboli
lim
r→0+
Z
γr
f (z) − f (z0 ) dz = 0. z − z0
Navíc platí: Z Z 2π f (z0 ) 1 it ri e dt = lim (f (z0 )2πi) = f (z0 )2πi, dz = lim f (z0 ) lim r→0+ r→0+ γ z − z0 r→0+ r eit 0 r a proto (stačí „zkombinovatÿ podtržená tvrzení) Z f (z) dz = f (z0 )2πi. γ z − z0 Pozorování. • Z Věty 5.6. vyplývá, že derivací holomorfní funkce získáme opět holomorfní funkci; jinak řečeno: je-li funkce f holomorfní na otevřené množině Ω
a n ∈ N, je funkce f (n) holomorfní na Ω. • Uvažujme situaci z Věty 5.6. Pak hodnoty funkce f na Ω jsou jednoznačně určeny hodnotami f na hγi.
• Vzorec (♠) můžeme získat, zderivujeme-li formálně n-krát podle z0 obě strany rovnosti (♣).
40 Využíváme
tohoto odhadu křivkového integrálu: Buď γ : ha, bi → C hladký oblouk a buď funkce f : C → C spojitá na hγi. Potom platí: Z Z b f (z) dz ≤ sup |f (z)| · |γ 0 (t)| dt . γ z∈hγi a | {z } . . . délka křivky γ
35
Příklad. Vypočtěte
Z
ez dz, z(1 − z)3
γ
def. 3 2
kde γ(t) =
eit , t ∈ h0, 2πi.
Řešení: Z Věty 5.5. plyne, že Z Z Z ez ez ez dz = dz + dz, 3 3 3 γ1 z(1 − z) γ2 z(1 − z) γ z(1 − z) kde 1 it e , t ∈ h0, 2πi; 4 1 def. γ2 (t) = 1 + eit , t ∈ h0, 2πi. 4 def.
γ1 (t) =
Nyní aplikujme tvrzení Věty 5.6: Z
γ1
Z
γ2
ez dz = z(1 − z)3
ez dz = z(1 − z)3
a proto
Z
γ1
ez (1−z)3
ez dz = 2πi z−0 (1 − z)3 z
Z
γ2
Z
γ
− ez 2πi dz = 3 (z − 1) 2!
"
ez − z
00 #
= 2πi,
z=0
= πi(− e), z=1
ez dz = πi(2 − e). z(1 − z)3
5.4. Primitivní funkce, nezávislost integrálu na cestě. Definice. Řekneme, že funkce F : C → C je primitivní k funkci f : C → C
na oblasti Ω ⊂ C, platí-li pro každé z ∈ Ω, že F 0 (z) = f (z).
Věta 5.7. Nechť F je primitivní funkcí k f na oblasti Ω. Pak funkce tvaru F + k, kde k ∈ C, tvoří právě všechny primitivní funkce k f na Ω. Důkaz. Máme dokázat: (i) k ∈ C ⇒ F + k je primitivní k f na Ω,
(ii) Φ je primitivní k f na Ω ⇒ ∃k ∈ C : Φ = F + k. Ad (i). (F + k)0 = F 0 + 0 = f v Ω. Ad (ii). Definujme funkci G = u + iv : C → C předpisem def.
G(z) = Φ(z) − F (z).
36
Pak pro každé z ∈ Ω platí: G0 (z) = 0, a proto41 ∀x + iy ∈ Ω : 0 = G0 (x + iy) =
∂v ∂u (x, y) + i (x, y), ∂x ∂x
a tedy taky ∀x + iy ∈ Ω :
∂u ∂v ∂v ∂u (x, y) = (x, y) = 0 = (x, y) = − (x, y) = 0. ∂x ∂y ∂x ∂y
Odtud plyne, že funkce u a v jsou na množině {(x, y) ∈ R2 : x+iy ∈ Ω} konstantní.
Dokázali jsme, že funkce G = u + iv = Φ − F je na Ω konstantní.
Definice. Řekneme, že integrál funkce f : C → C nezávisí v oblasti Ω ⊂ C na cestě, platí-li pro každé dvě po částech hladké křivky γ1 a γ2 takové, že • hγ1 i ∪ hγ2 i ⊂ Ω,
ozn.
• p.b.γ1 = p.b.γ2 = z1 , ozn.
• k.b.γ1 = k.b.γ2 = z2 ,
rovnost
Z
f (z) dz =
γ1
Z
ozn.
f (z) dz =
Z
z2
f (z) dz.
z1
γ2
Věta 5.8. Nechť funkce f : C → C je holomorfní na jednoduše souvislé
oblasti Ω ⊂ C. Pak integrál funkce f nezávisí v Ω na cestě.
Důkaz ponechme jako cvičení; dokazované tvrzení je přímým důsledkem Věty 5.3. Věta 5.9. (Morerova). Nechť funkce f : C → C je spojitá na oblasti Ω ⊂ C a nechť pro každou jednoduchou uzavřenou po částech hladkou křivku γ v Ω platí: Z f (z) dz = 0. γ
Pak f je holomorfní na Ω. Věta 5.10. Nechť integrál spojité funkce f : C → C nezávisí v oblasti Ω ⊂ C na cestě. Pak existuje primitivní funkce k f na Ω.
Navíc: je-li z0 ∈ Ω libovolný bod, je funkce F definovaná předpisem 42 Z z def. f (ξ) dξ F (z) = z0
41 Viz
Větu 3.2.R R „ zz f (ξ) dξÿ rozumíme integrál γ f (ξ) dξ, kde γ je libovolná po částech hladká 0 křivka v Ω, pro niž je p.b.γ = z0 a k.b.γ = z. 42 Symbolem
37
primitivní funkcí k f na Ω. def.
Důkaz. Buď z0 ∈ Ω a F (z) =
Rz
z0
f (ξ) dξ.
Máme dokázat, že pro každé z ∈ Ω platí: F (z + h) − F (z) lim − f (z) = 0. h→0 h
Buď z ∈ Ω libovolný bod.
Vezměme P (0) takové, aby ∀h ∈ P (0) : z + h ∈ Ω,
a definujme pro každé h ∈ P (0) křivku γh předpisem def.
γh (t) = z + th, t ∈ h0, 1i. Pak pro každé h ∈ P (0) platí: Z z+h F (z + h) − F (z) 1 0 ≤ − f (z) = f (ξ) dξ − f (z)h = h |h| z
≤
Z Z Z 1 1 1 dξ = f (ξ) dξ − f (z) f (ξ) − f (z) dξ ≤ = |h| γh |h| γh γh
1 · sup |f (ξ) − f (z)| · |h| = sup |f (ξ) − f (z)| → 0 pro h → 0, |h| ξ∈hγh i ξ∈hγh i
protože f je podle předpokladů spojitá v bodě z.
Příklad. Funkce def.
f (z) =
1 z
je holomorfní na jednoduše souvislé oblasti Ω = C \ {z ∈ R : z ≤ 0}, a proto (integrujeme přes křivky ležící v Ω) funkce def.
F (z) =
Z
z
f (ξ) dξ =
1
Z
1
|z|
1 dx + x
je primitivní funkcí k funkci f na Ω.43
43 Promyslete
si podrobně!
Z
z
|z|
1 |z| dξ = [ln x]1 + i ξ
Z
0
arg z
dt = ln z
38
Pozorování. Buď funkce F primitivní k funkci f na jednoduše souvislé oblasti Rz Ω a buď z1 , z2 ∈ Ω. Zkoumejme z12 f (z) dz.44 Zvolme libovolně bod z0 ∈ Ω. Pak existuje konstanta k ∈ C taková, že ∀z ∈ Ω : F (z) =
Z
z
f (ξ) dξ + k
z0
(viz Věty 5.7, 5.8 a 5.10), a proto: Z
Z
z2
f (z) dz =
=−
z1
f (z) dz + k +
z0
f (z) dz +
z1
z1
Z
z0
Z
Z
z2
f (z) dz =
z0
z2
f (z) dz + k
z0
ozn.
z
= F (z2 ) − F (z1 ) = [F (z)]z21 .
Toto pozorování lze zobecnit: Věta 5.11. Nechť existuje primitivní funkce k funkci f : C → C na oblasti Ω ⊂ C.
Pak integrál funkce f nezávisí v oblasti Ω na cestě. Navíc: je-li F primitivní funkcí
k funkci f na oblasti Ω a je-li γ po částech hladká křivka v Ω, je Z f (z) dz = F (k.b. γ) − F (p.b. γ). γ
Příklady. def.
a) Buď γ(t) = eit , t ∈ h0, 2πi. Pak v oblasti C \ {0}.
b) c)
R 1+i 0
R 2πi 0
sin z cos z dz =
R 1+i 0
2 pii
z ez dz = [z ez ]0
1 2
−
R
1 γ z2
sin(2z) dz =
R 2πi 0
1 4
dz = 0, protože − z1
2πi
ez dz = 2πi − [ez ]0
(počítali jsme „per partesÿ).
44 Opět
1+i
[− cos(2z)]0
integrujeme přes po částech hladké křivky ležící v Ω.
=
= 2πi
1 4
0
=
1 z2
(1 − cos(2 + 2i)) .
39
6. Číselné řady. Posloupnosti a řady funkcí. 6.1. Číselné řady. Definice. Řadou (komplexních čísel) rozumíme výraz ∞ X
ozn.
z1 + z2 + · · · + zn + . . . =
(♥)
zn ,
n=1
kde pro každé n ∈ N je zn ∈ C.
Číslo zn nazýváme n-tým členem řady (♥), posloupnost (sn ) definovanou před-
pisem def.
ozn.
sn = z 1 + z 2 + · · · + z n =
n X
zk
k=1
nazýváme posloupností částečných součtů řady (♥).
Říkáme, že řada (♥) konverguje, existuje-li (konečná) lim sn ∈ C; v takovém
případě pak číslo
s = lim sn nazýváme součtem řady (♥) a píšeme45 s=
∞ X
zn .
n=1
(Řadu, která není konvergentní, nazýváme divergentní řadou.) Věta 6.1. Uvažujme řadu
∞ P
zn . Pak platí: 46
n=1
(i) (nutná podmínka konvergence) ∞ X
n=1
zn konverguje ⇒ lim zn = 0.
(ii) („konvergence řady = konvergence řady reálných a řady imaginárních částíÿ) ∞ X
(xn + iyn ) konverguje ⇔ konvergují řady
n=1
navíc, konverguje-li řada
∞ P
∞ X
n=1
xn a
∞ X
yn ;
n=1
(xn + iyn ), platí pro její součet:
n=1 ∞ X
(xn + iyn ) =
n=1 45 Zde
nepřehlédněme, že symbolem
∞ X
n=1 ∞ P
n=1
xn + i
∞ X
yn .
n=1
zn značíme řadu i její součet, tj. číslo! Ale nebojme
se, z kontextu bude vždy jasné, o které z těchto dvou možností právě mluvíme. 46 Doporučuji čtenáři, aby si prohlédl [3].
40
(iii) (Bolzanova–Cauchyho podmínka) ∞ X
n=1
⇔
zn konverguje ⇔
∀ε ∈ R+ (∃n0 ∈ N) (∀n, m ∈ N; n, m > n0 ) : |sn − sm | < ε def.
(sn =
n X
zk ).
k=1
(iv) („absolutní konvergence řady ⇒ konvergence řadyÿ) ∞ X
n=1
|zn | konverguje ⇒
(Řekneme, že řada řada
∞ P
∞ P
∞ X
zn konverguje .
n=1
zn konverguje absolutně, konverguje-li
n=1
n=1
|zn |. Řadu, která konverguje, ale nekonverguje ab-
solutně, nazýváme neabsolutně konvergentní řadou.)
(v) (srovnávací kritérium) ∀n ∈ N : |zn | ≤ an ∞ P
n=1
an konverguje
⇒
∞ X
zn konverguje absolutně.
n=1
(vi) (d’Alembertovo kritérium)
∞ X zn+1 zn konverguje absolutně, <1 ⇒ lim zn n=1
∞ X zn+1 >1 ⇒ lim zn diverguje. zn n=1
(vii) (Cauchyho kritérium) lim
∞ X p zn konverguje absolutně, |zn | < 1 ⇒
n
n=1
∞ X p zn diverguje. lim |zn | > 1 ⇒ n
n=1
41
(viii) (integrální kritérium) Nechť funkce f : R → R je nezáporná, nerostoucí a spojitá na inter-
valu h1, +∞) a nechť pro každé n ∈ N je |zn | = f (n). Pak platí: ∞ X
n=1
|zn | < +∞ ⇔
Z
+∞
f (x) dx < +∞ .
1
(ix) (Leibnizovo kritérium) ∀n ∈ N : 0 ≤ zn+1 ≤ zn lim zn = 0
)
∞ X
⇒
(−1)n+1 zn konverguje.
n=1
(x) (tvrzení o konvergenci geometrické řady) ∞ P q n−1 , kde q ∈ C, konverguje právě tehdy, je-li |q| < 1. V takovém Řada n=1
případě pak platí:
∞ X
q n−1 =
n=1
1 . 1−q
Příklady. a) Řada
∞ X n (1 + i)n n 3 n=1
konverguje absolutně, protože
n+1 3n+1 n 3n
√ (1 + i)n+1 1 n + 1 → 2 < 1. = (1 + i) (1 + i)n 3 n 3
b) Řada
π ∞ X ei n √ n n=1
diverguje, protože pro každé n ∈ N je ∞ P √1 cos π diverguje.47 řada n n n=1
47 Rozmyslete
si podrobně!
π
i n e√ n
=
√1 n
cos nπ +i √1n sin nπ a současně
42
6.2. Posloupnosti funkcí. Bodová a stejnoměrná konvergence. Definice. Řekneme, že posloupnost komplexních funkcí (fn ) konverguje bodově na množině Ω ⊂ C∞ k funkci f , a píšeme fn → f na Ω, platí-li: ∀z ∈ Ω : lim fn (z) = f (z), tj. platí-li: (∀z ∈ Ω) ∀ε ∈ R+ (∃n0 ∈ N) (∀n ∈ N, n ≥ n0 ) : fn (z) ∈ U (f (z), ε). Poznámka. Přirozené číslo n0 vyskytující se ve výše uvedené podmínce závisí obecně na volbě z ∈ Ω a ε ∈ R+ . Jestliže lze číslo n0 zvolit nezávisle na volbě bodu z ∈ Ω a jsou-li funkce fn a f konečné, mluvíme o stejnoměrné konvergenci
na Ω. Řekněme to přesněji:
Definice. Buďte pro každé n ∈ N funkce fn a f konečné a definované na množině
Ω ⊂ C∞ . Řekneme, že posloupnost funkcí (fn ) konverguje stejnoměrně na množině Ω k funkci f , a píšeme fn → → f na Ω, platí-li:
lim sup |fn (z) − f (z)| = 0, z∈Ω
tj. platí-li:
∀ε ∈ R+ (∃n0 ∈ N) (∀n ∈ N, n ≥ n0 ) (∀z ∈ Ω) : fn (z) ∈ U (f (z), ε). Věta 6.2. Nechť fn → → f na Ω a nechť pro každé n ∈ N je funkce fn spojitá na Ω. Pak funkce f je spojitá na Ω.
Definice. Buďte pro každé n ∈ N funkce fn a f konečné a definované na množině
Ω ⊂ C∞ . Řekneme, že funkční řada
ozn.
f1 (z) + f2 (z) + · · · + fn (z) + . . . =
∞ X
fn (z)
(♠)
n=1
konverguje bodově resp. stejnoměrně na množině Ω ke svému součtu f , konvergujeli posloupnost (sn ) částečných součtů řady (♠)48 bodově resp. stejnoměrně na Ω k funkci f . 48 s
n (z)
def.
=
n P
k=1
fk (z).
43
Věta 6.3. (Weierstrassova). Nechť pro každé n ∈ N je funkce fn holomorfní na ∞ P oblasti Ω ⊂ C a nechť funkční řada fn (z) konverguje na Ω lokálně stejnoměrně, n=1
tzn., že
∞ X
(∀z ∈ Ω) (∃U (z) ⊂ Ω) :
fn (z) konverguje stejnoměrně na U (z).
n=1
Potom je funkce f definovaná předpisem def.
f (z) =
∞ X
fn (z)
n=1
holomorfní na oblasti Ω a pro každé p ∈ N a z ∈ Ω platí rovnost f
(p)
(z) =
∞ X
fn(p) (z).
n=1
Navíc: je-li γ po částech hladká křivka v Ω, platí: Z
γ
49 Zapsáno
f (z) dz =
∞ Z X
n=1
fn (z) dz.
49
γ
symbolicky: X
Z X 0 X X Z 0 ... = ... . ... , ... =
44
7. Mocninné řady. Taylorovy řady. 7.1. Mocninné řady. Definice. Mocninnou řadou o středu z0 ∈ C rozumíme funkční řadu tvaru ∞ X
n=0
an (z − z0 )n ,
(♣)
kde pro každé n ∈ N ∪ {0} je an ∈ C. Zabývejme se nyní konvergencí řady (♣), tj. zkoumejme, pro jaká z ∈ C daná
řada konverguje. Je zřejmé, že řada (♣) konverguje pro z = z0 , tj. ve svém středu,
a má tam součet a0 . Předpokládejme nyní, že řada (♣) konverguje v bodě z1 6= z0 , a buď z ∈ C takový bod, že |z − z0 | < |z1 − z0 |. Pak pro každé n ∈ N platí: z − z0 n n n an (z − z0 ) = an (z1 − z0 ) z1 − z0 .
Nyní aplikujme Větu 6.1. Z předpokladu, že řada
∞ P
n=0
vyplývá, že
(?)
an (z1 − z0 )n konverguje,
lim (an (z1 − z0 )n ) = 0, an (z1 − z0 )n ≤ k. a proto existuje k ∈ R + takové, že pro každé n ∈ N je z−z0 Navíc, z předpokladu z1 −z0 < 1 plyne konvergence (geometrické) řady ∞ X z − z0 n , k z − z 1 0 n=0
a proto ze vztahu (?) (a srovnávacího kritéria) vyplývá, že řada
∞ P
n=0
absolutně konverguje. Toto zjištění je zobecněno v následující větě. Věta 7.1. (Abelova). Nechť mocninná řada
∞ P
an (z − z0 )n
an (z − z0 )n konverguje v bodě n=0 z1 6= z0 . Pak konverguje absolutně a lokálně stejnoměrně v U z0 , |z1 − z0 | . ∞ P Důsledek. Pokud mocninná řada an (z − z0 )n diverguje v bodě z2 ∈ C, diverguje i v každém bodě množiny
n=0
{z ∈ C : |z − z0 | > |z2 − z0 |}.
45
Věta 7.2. Pro kadou mocninnou řadu (♣) o středu z0 existuje právě jedno číslo R ∈ h0, +∞)∪{+∞} (říkejme mu poloměr konvergence mocninné řady (♣)) takové,
že
(i) řada (♣) konverguje absolutně, je-li |z − z0 | < R, (ii) řada (♣) diverguje, je-li |z − z0 | > R. Důkaz.
Dokazované tvrzení je snadným důsledkem předchozí Věty 7.1. Stačí
definovat
∞ X def. R = sup |z − z0 | : an (z − z0 )n konverguje . n=0
Definice. Platí-li pro poloměr konvergence R mocninné řady (♣), že 0 < R < +∞, nazýváme U (z0 , R) kruhem konvergence mocninné řady (♣); je-li R = +∞, rozumíme kruhem konvergence mocninné řady (♣) množinu def.
U (z0 , +∞) = C. Poznámka. Předpokládejme, že pro poloměr konvergence R mocninné řady ∞ P an (z − z0 )n platí, že 0 < R < +∞. Uvědomme si, že obecně nelze říci nic n=0
o konvergenci této řady v bodech kružnice
{z ∈ C : |z − z0 | = R}. Situaci ilustrujme těmito třemi mocninnými řadami:50 ∞ ∞ X zn X zn z , . , n n=1 n2 n=1 n=1 ∞ X
Protože n+1 z z n → |z|,
n
n+1 z n+1 zn → |z|, n
n+1 z (n+1)2 n → |z|, z2 n
je (viz d’Alembertovo kritérium) poloměr konvergence každé z těchto mocninných řad roven 1. Navíc platí: ∞ P z n diverguje v každém bodě kružnice {z ∈ C : |z| = 1} (pro • řada n=1
žádné z ∈ C, |z| = 1, není totiž splněna nutná podmínka konvergence řady ∞ P z n , tj. podmínka lim z n = 0); n=1
50 Jedná
a a0 = 0.
se ve všech třech případech o mocninné řady tvaru
∞ P
n=0
an (z − z0 )n , kde z0 = 0
46
• řada
∞ P
n=1
zn n
konverguje (neabsolutně) pro z = −1 (viz Leibnizovo kritérium)
a diverguje pro z = 1 (viz integrální kritérium); • řada
∞ P
n=1
zn n2
konverguje (absolutně) pro každé z ∈ C, |z| = 1 (viz integrální
kritérium). Věta 7.3. Nechť existuje p an+1 ozn. = L, resp. lim n |an | ozn. lim = K. an Pak pro poloměr konvergence R mocninné řady
∞ P
n=0
R=
1 L,
je-li L ∈ R+ ,
0, je-li L = +∞,
resp.
R=
+∞, je-li L = 0,
an (z − z0 )n platí:
1 K,
je-li K ∈ R+ ,
0, je-li K = +∞, +∞, je-li K = 0.
Důkaz. Stačí si uvědomit, že pro z 6= z0 je p an+1 (z − z0 )n+1 = L|z − z0 |, resp. lim n |an (z − z0 )n | = K|z − z0 |, lim n an (z − z0 ) a užít d’Alembertovo, resp. Cauchyho kritérium.
Příklad. Určete obor konvergence51 mocninné řady ∞ X n n z . 2n n=0
Řešení: lim
r
n
√ n n n 1 = lim = , n 2 2 2
a proto R = 2; daná řada konverguje (absolutně) pro každé z ∈ U (0, 2) a diverguje
pro každé z ∈ C, |z| > 2. Je-li |z| = 2, je
a proto řada
∞ P
n=0
51 Tzn.
n 2n
n lim n z n = lim n = ∞ 6= 0, 2
z n diverguje (není splněna nutná podmínka konvergence).
určete množinu všech z ∈ C, pro něž daná řada konverguje.
47
Příklad. Určete poloměr konvergence mocninné řady ∞ X (2n)! n z . 2 (n!) n=0
Řešení:
(2(n+1))! ((n+1)!)2 (2n)! (n!)2
=
(2n + 2)(2n + 1) → 4, (n + 1)(n + 1)
a proto R = 14 . Věta 7.4. Nechť mocninná řada
∞ P
n=0
an (z − z0 )n má poloměr konvergence R > 0.
Pak je funkce f definovaná předpisem def.
f (z) =
∞ X
n=0
an (z − z0 )n
holomorfní na oblasti U (z0 , R). Navíc: pro každé p ∈ N a z ∈ U (z0 , R) platí rovnost f
(p)
(z) =
∞ X
n=p
a mocninná řada
∞ P
n=p
konvergence R.
n (n − 1) . . . (n − p + 1) an (z − z0 )n−p
n (n − 1) . . . (n − p + 1) an (z − z0 )n−p má taky poloměr
Důkaz. Věta je přímým důsledkem Weierstrassovy a Abelovy věty.52 Příklad. Určete součet mocninné řady ∞ X
(−1)n−1
n=1
zn n
v kruhu konvergence. Řešení: Protože
1 n+1 1 n
→ 1,
je kruhem konvergence dané mocninné řady oblast U (0, 1). Definujme funkci f předpisem: def.
f (z) =
∞ X
n=1 52 Viz
Věty 6.3 a 7.1.
(−1)n−1
zn . n
48
Pak pro každé z ∈ C, |z| < 1, platí: ∞ ∞ X X f 0 (z) = (−1)n−1 z n−1 = (−z)n−1 = n=1
n=1
1 1 = , 1 − (−z) 1+z
a proto existuje c ∈ C takové, že pro každé z ∈ U (0, 1) je f (z) = ln(1 + z) + c. Protože ale zřejmě platí: 0 = f (0) = ln 1 + c = c, je pro každé z ∈ U (0, 1) f (z) =
∞ X
n−1
(−1)
n=1
Věta 7.5 (Abel). Nechť mocninná řada
zn = ln(1 + z). n
∞ P
n=0
an (z −z0 )n má poloměr konvergence
R ∈ (0, +∞) a nechť tato řada konverguje v bodě z1 = z0 + R eiϕ , kde ϕ ∈ R. Pak je funkce f definovaná předpisem ∞ X def. f (z) = an (z − z0 )n n=0
spojitá na úsečce s krajními body z0 a z1 , tj. na množině z0 + r eiϕ : r ∈ h0, Ri = z0 + (z1 − z0 ) t : t ∈ h0, 1i . Speciálně:
f (z1 ) = f z0 + R eiϕ = lim f z0 + r eiϕ = lim f (z0 + (z1 − z0 ) t) . t→1−
r→R−
Příklad. Vypočtěte součet řady ∞ X
(−1)n−1
n=1
1 . n
Řešení: Předně si uvědomme, že uvedená řada konverguje.53 Uvažujme nyní funkci f definovanou předpisem: def.
f (z) =
∞ X
n=1
(−1)n−1
zn . n
Z Věty 7.5 a jí předcházejícího příkladu pak vyplývá, že ∞ X 1 (−1)n−1 = f (1) = lim f (z) = lim ln(1 + z) = ln 2. z→1− z→1− n n=1 53 Viz
Leibnizovo kritérium.
49
7.2. Taylorovy řady. Dosud jsme ukázali, že součtem mocninné řady je (v kruhu konvergence) holomorfní funkce. Následující věta říká, že každá holomorfní funkce je (alespoň lokálně) součtem jisté mocninné řady. Věta 7.6 (o rozvoji holomorfní funkce v Taylorovu řadu). Nechť funkce f je holomorfní na U (z0 , R), kde z0 ∈ C a R ∈ (0, +∞) ∪ {+∞}. ∞ P Pak existuje právě jedna mocninná řada an (z − z0 )n taková, že pro každé n=0
z ∈ U (z0 , R) platí:
f (z) =
∞ X
n=0
an (z − z0 )n .
Navíc, je-li % libovolné reálné číslo takové, že 0 < % < R, platí pro koeficienty výše uvedené (tzv. Taylorovy) řady: 1 f (n) (z0 ) = an = n! 2πi kde
Z
γ
f (z) dz, (z − z0 )n+1
def.
γ(t) = z0 + % eit , t ∈ h0, 2πi n ∈ {0, 1, 2, 3, . . . } . Pozorování. Je-li f holomorfní na C, je poloměr konvergence její Taylorovy řady (o středu v libovolném bodě z0 ∈ C) roven +∞. Příklady takovýchto funkcí (a jejich Taylorových řad o středu 0): ez =
∞ ∞ ∞ X X X zn z 2n+1 z 2n , sin z = , cos z = . (−1)n (−1)n n! (2n + 1)! (2n)! n=0 n=0 n=0
Příklad. Najděte Taylorovu řadu funkce f o středu z0 , je-li: def.
1 3−z ,
z0 = 0,
def.
1 3−z ,
z0 = −1 + 3i,
a) f (z) = b) f (z) =
def.
c) f (z) = ln z, z0 = 2. Řešení a): Předně si uvědomme, že funkce f je holomorfní na U (0, 3). Při hledání její Taylorovy řady nám dobře poslouží tvrzení o konvergenci geometrické řady:54 1 1 1 = ∀z ∈ U (0, 3) : f (z) = 3−z 3 1− 54 Viz
Větu 6.1.
z 3
∞ ∞ 1 X z n X z n = = . 3 n=0 3 3n+1 n=0
50
Řešení b): Postupujme podobně jako před chviličkou. Pro každé z ∈ U − 1 + 3i, |3 − (−1 + 3i)| = U − 1 + 3i, 5 platí:
∞ X 1 1 1 (z + 1 − 3i)n 1 f (z) = . = = = n+1 3−z 4 − 3i − (z − (−1 + 3i)) 4 − 3i 1 − z+1−3i (4 − 3i) 4−3i n=0
Řešení c): Funkce f je zřejmě holomorfní na U (2, 2). Pro každé z ∈ U (2, 2) platí: n X ∞ ∞ (−1)n 1 1 1 1X z−2 0 n = (z − 2)n , f (z) = = = (−1) z−2 n+1 z 2 1+ 2 2 n=0 2 2 n=0 a proto existuje c ∈ C takové, že pro každé z ∈ U (2, 2) platí: ∞ X (−1)n (z − 2)n+1 f (z) = + c. 2n+1 n+1 n=0
Protože zřejmě
f (2) = ln 2 = c, je
∞ X (−1)n−1 (z − 2)n . ∀z ∈ U (2, 2) : f (z) = ln 2 + nn 2 n=1
Věta 7.7 (Liouvillova). Nechť funkce f je na C holomorfní a omezená (tzn., že existuje M ∈ R+ takové, že pro každé z ∈ C je |f (z)| ≤ M ). Pak je f na C konstantní.
Důkaz. Už víme (viz Větu 7.6), že ∀z ∈ C : f (z) =
∞ X
an z n ,
n=0
kde – pro každé n ∈ N ∪ {0} a každé % ∈ (0, +∞) – 1 an = 2πi
Z
γ
1 f (z) dz = n+1 z 2πi
Z
0
2π
f (% eit ) n+1 (% eit )
%i eit dt
def. γ(t) = % eit , t ∈ h0, 2πi .
Odtud plyne (opět pro každé n ∈ N ∪ {0} a každé % ∈ (0, +∞)), že Z Z 2π 1 1 2π f (% eit ) M M |an | = dt = n . n i dt ≤ n it 2π 0 (% e ) 2π 0 % %
Protože konstantu % ∈ R+ lze volit libovolně velkou, plyne z odhadů |an | ≤
M %n ,
že pro každé n ∈ N je an = 0. Dokázali jsme, že pro každé z ∈ C je f (z) = a0 ; funkce f je tedy konstantní.
51
Věta 7.8 (Základní věta algebry). Každý polynom kladného stupně má v C alespoň jeden kořen. Jinak řečeno: buď funkce f : C → C definovaná předpisem: def.
f (z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 , kde n ∈ N, a0 , a1 , . . . , an ∈ C, an 6= 0. Pak existuje z ∈ C takové, že f (z) = 0. Důkaz. Předpokládejme sporem, že ∀z ∈ C : f (z) 6= 0, a uvažujme funkci def.
F (z) =
1 . f (z)
Pak zřejmě platí: • F je holomorfní na C
0 ∀z ∈ C : F 0 (z) = − ff2(z) (z) ,
• F je omezená na C lim F (z) = lim
z→∞
z→∞
zn
1
(an +an−1 z1 +···+a0 z1n
)
=
1 ∞ (an )
=
1 ∞
=0 ,
a proto je55 funkce F na C konstantní. To je však spor s definicí funkce F .
Definice. Buď funkce f holomorfní v bodě z0 ∈ C a buď p ∈ N. Řekneme, že z0 je p – násobným kořenem (nebo p – násobným nulovým bodem) funkce f , je-li f (z0 ) = f 0 (z0 ) = f 00 (z0 ) = · · · = f (p−1) (z0 ) = 0 6= f (p) (z0 ). Věta 7.9. Nechť funkce f je holomorfní v bodě z0 ∈ C a nechť f (z0 ) = 0. Pak
existuje U (z0 ) takové, že platí právě jedna z možností: • f je nulová na U (z0 ),
• f (z) 6= 0 pro každé z ∈ U (z0 ) \ {z0 }. Důkaz.
Jak víme, z výše uvedených předpokladů vyplývá, že funkce f je na
nějakém okolí bodu z0 rovna součtu své Taylorovy řady (o středu z0 ). Není-li tato 55 Viz
Větu 7.7.
52
řada nulová (tj. není-li f nulová na žádném okolí bodu z0 ), existuje zřejmě p ∈ N takové, že z0 je p – násobným kořenem funkce f ; tj. na nějakém okolí bodu z0 platí: ∞ ∞ X X f (n) (z0 ) f (n) (z0 ) n p f (z) = (z − z0 ) = (z − z0 ) (z − z0 )n−p = (z − z0 )p ϕ(z), n! n! n=p n=p
kde funkce def.
ϕ(z) =
∞ X f (n) (z0 ) (z − z0 )n−p n! n=p
je holomorfní (a proto spojitá) a nenulová v bodě z0 .56 Odtud plyne, že existuje U (z0 ) takové, že funkce ϕ je nenulová v U (z0 ), a proto ∀z ∈ U (z0 ) \ {z0 } : f (z) = (z − z0 )p ϕ(z) 6= 0.
Ukažme si jeden důležitý důsledek Věty 7.9. Věta 7.10. Nechť funkce f a g jsou holomorfní na oblasti Ω ⊂ C a nechť γ je taková jednoduchá křivka v Ω, že f = g na hγi. Pak f = g na Ω. Cvičení. Dokažte pomocí Věty 7.10, že pro každé z ∈ C platí: a) sin2 z + cos2 z = 1, b) sin(2z) = 2 sin z cos z, c) cos2 z =
1+cos(2z) , 2
sin2 z =
1−cos(2z) , 2
d) Re z > 0 ⇒ ln (z 2 ) = 2 ln z.
56 ϕ(z
0)
=
f (p) (z0 ) p!
6= 0
53
8. Laurentovy řady. Klasifikace singulárních bodů. 8.1. Laurentovy řady. Definice. Laurentovou řadou o středu z0 ∈ C rozumíme výraz tvaru ∞ X
n=−∞
an (z − z0 )n ,
(♠)
kde pro každé n ∈ {. . . , −3. − 2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } je an ∈ C. Mocninnou řadu
∞ X
n=0
an (z − z0 )n
nazýváme regulární částí Laurentovy řady (♠), funkční řadu ∞ X
n=1
a−n (z − z0 )
−n
=
∞ X
n=1
a−n
1 (z − z0 )n
hlavní částí Laurentovy řady (♠). Řekneme, že Laurentova řada (♠) konverguje na množině Ω ⊂ C, konverguje-li
na Ω její regulární i hlavní část. V takovém případě pak funkci f definovanou na def.
Ω předpisem f (z) = f1 (z) + f2 (z), kde f1 resp. f2 je součtem regulární resp. hlavní části Laurentovy řady (♠), nazýváme součtem Laurentovy řady (♠).
Zabývejme se nyní konvergencí Laurentovy řady (♠); a podívejme se nejdříve na konvergenci její hlavní části. Položíme-li ξ= bude
1 , z − z0
∞ X 1 = a−n ξ n , a−n n (z − z0 ) n=1 n=1 ∞ X
kde řada napravo je mocninnou řadou o středu 0 („v proměnnéÿ ξ). Buď ρ její poloměr konvergence. Pak platí:57 • je-li |ξ| < ρ, řada • je-li |ξ| > ρ, řada 57 Viz
Větu 7.2.
∞ P
n=1 ∞ P
n=1
a−n ξ n konverguje absolutně, a−n ξ n diverguje.
54
Definujeme-li číslo 1 ρ , je-li 0 < ρ < +∞, def. r = 0, je-li ρ = +∞, +∞, je-li ρ = 0,
tak z předchozích úvah plyne: • je-li |z − z0 | > r, řada • je-li |z − z0 | < r, řada
∞ P
n=1 ∞ P
n=1
a−n (z−z1 0 )n konverguje absolutně, a−n (z−z1 0 )n diverguje.
Nyní si označme R poloměr konvergence mocninné řady ∞ X
n=0
an (z − z0 )n ,
tj. regulární části Laurentovy řady (♠). Nastane právě jedna z možností: r < R, r = R, r > R.
(i) Je-li r < R, konverguje Laurentova řada (♠) absolutně (a lokálně stejnoměrně) na mezikruží def.
P (z0 , r, R) = {z ∈ C : r < |z − z0 | < R} a diverguje v každém bodě množiny {z ∈ C : |z − z0 | < r nebo |z − z0 | > R}. Navíc se dá ukázat, že součet f Laurentovy řady (♠) je funkce holomorfní na P (z0 , r, R) a že pro každé p ∈ N a z ∈ P (z0 , r, R) platí: ∞ n p X (z − z ) d 0 f (p) (z) = . an dz p n=−∞ (ii) Při rovnosti r = R Laurentova řada (♠) diverguje v každém bodě množiny {z ∈ C : |z − z0 | = 6 r = R}. (iii) V posledním z případů, tj. je-li r > R, neexistuje žádné z ∈ C, ve kterém Laurentova řada (♠) konverguje.
55
Situace je podobná té z kapitoly 7.2. Ukázali jsme, že součtem Laurentovy řady je (samozřejmě za předpokladu r < R) funkce holomorfní na mezikruží P (z0 , r, R). Následující věta říká, že každá funkce holomorfní na mezikruží P (z0 , r, R) je součtem jisté Laurentovy řady. Věta 8.1 (o rozvoji holomorfní funkce v Laurentovu řadu). Nechť funkce f je holomorfní na P (z0 , r, R), kde z0 ∈ C a 0 ≤ r < R ≤ +∞. ∞ P an (z − z0 )n taková, že pro každé Pak existuje právě jedna Laurentova řada n=−∞
z ∈ P (z0 , r, R) platí:
f (z) =
∞ X
n=−∞
an (z − z0 )n .
Navíc, je-li % libovolné reálné číslo takové, že r < % < R, platí pro koeficienty výše uvedené Laurentovy řady (tzv. Laurentova rozvoje funkce f ): Z 1 f (z) an = dz, 2πi γ (z − z0 )n+1 kde
def.
γ(t) = z0 + % eit , t ∈ h0, 2πi n ∈ {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } . Příklad. Najděte Laurentův rozvoj funkce def.
f (z) =
1 (z − 1)(z − 2)
na všech maximálních mezikružích se středem z0 = 0, na nichž je f holomorfní. Řešení: Laurentův rozvoj funkce f máme zřejmě najít na těchto třech mezikružích: P (0, 0, 1), P (0, 1, 2), P (0, 2, +∞). Nejdříve si uvědomme, že pro každé z ∈ C \ {1, 2} je f (z) =
1 1 − . z−2 z−1
Nyní přistupme zvlášť k jednotlivým mezikružím. a) Protože platí implikace: 1 1 1 =− |z| < 2 ⇒ z−2 21−
z 2
∞ ∞ 1 1 X z n X − n+1 z n , = =− 2 n=0 2 2 n=0
∞ X 1 1 |z| < 1 ⇒ − = = zn, z−1 1 − z n=0
56
je pro každé z ∈ P (0, 0, 1) = {z ∈ C : 0 < |z| < 1} : ∞ X f (z) = 1− n=0
1 2n+1
zn.
(Všimněme si, že jsme našli – jak bylo lze čekat – Taylorovu řadu.) b) Již víme (viz část a), že pro každé z ∈ C takové, že 1 < |z| < 2, platí: ∞ X 1 1 = − n+1 z n . z − 2 n=0 2
Protože navíc platí: 1 1 1 =− |z| > 1 ⇒ − z−1 z 1−
1 z
∞ ∞ n X 1X 1 1 =− = − n+1 , z n=0 z z n=0
je pro každé z ∈ P (0, 1, 2) = {z ∈ C : 1 < |z| < 2} : f (z) =
∞ X
n=0
−
1
n
2n+1
z +
∞ X
n=1
−
1 . zn
c) Z implikace uvedené v části b) a z pozorování: |z| > 2 ⇒
1 1 1 = z−2 z 1−
2 z
∞ ∞ n X 2n 1X 2 = = z n=0 z z n+1 n=0
snadno plyne, že pro každé z ∈ P (0, 2, +∞) = {z ∈ C : 2 < |z|} platí: f (z) =
∞ X
n=1
1 2n−1 − 1 n . z
Cvičení. Najděte Laurentův rozvoj funkce def.
f (z) =
1 (z − 1)(z − 2)
na všech maximálních mezikružích se středem z0 = 1, na nichž je f holomorfní.
57
8.2. Izolované singularity a jejich klasifikace. Definice. Bod z0 ∈ C nazýváme izolovanou singularitou funkce f , jsou-li splněny
tyto dvě podmínky:
• funkce f není holomorfní v bodě z0 , • existuje prstencové okolí P (z0 ), na němž je f holomorfní. Je-li bod z0 izolovanou singularitou funkce f , existuje číslo R ∈ R+ takové že
f je holomorfní na P (z0 , R) = P (z0 , 0, R), a proto:58 ∀z ∈ P (z0 , R) : f (z) =
∞ X
n=−∞
an (z − z0 )n .
Podle počtu nenulových koeficientů hlavní části této Laurentovy řady rozlišme tři případy: a) všechny koeficienty hlavní části jsou nulové (tj. a−n = 0 pro každé n ∈ N), b) existuje aspoň jeden ale nejvýše konečně mnoho nenulových koeficientů hlavní části (tzn. existuje n ∈ N takové, že a−n 6= 0 a že pro každé k ∈ N, k > n, je a−k = 0),
c) existuje nekonečně mnoho nenulových koeficientů hlavní části. Nastane-li případ a), nazýváme bod z0 odstranitelnou singularitou funkce f , v případě b) se bod z0 nazývá pólem násobnosti n funkce f 59 a za situace c) budeme bodu z0 říkat podstatná singularita funkce f . Věta 8.2. Buď z0 ∈ C izolovanou singularitou funkce f . Pak platí: (i) z0 je odstranitelnou singularitou funkce f právě tehdy, je-li lim f (z) ∈ C;
z→z0
(ii) z0 je pólem funkce f (resp. pólem násobnosti n funkce f ) právě tehdy, je-li lim f (z) = ∞
z→z0 58 Viz 59 Pól
Větu 8.1. násobnosti 1 nazýváme taky jednoduchým pólem.
58
resp. je-li
lim [(z − z0 )n f (z)] ∈ C \ {0} ;
z→z0
(iii) z0 je podstatnou singularitou funkce f právě tehdy, jestliže lim f (z) z→z0
neexistuje.
Věta 8.3 (Velká Picardova). Nechť z0 ∈ C je podstatnou singularitou
funkce f . Pak f nabývá na libovolném prstencovém okolí bodu z0 všech hodnot z C s výjimkou nejvýš jedné, tzn. (∀P (z0 )) (∃z ∈ C) : C \ {z} ⊂ f P (z0 ) . 8.3. Laurentova řada o středu ∞, klasifikace bodu ∞. Definice. Laurentovou řadou o středu ∞ rozumíme výraz tvaru ∞ X an , zn n=−∞
(♠)
kde pro každé n ∈ {. . . , −3. − 2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } je an ∈ C. Mocninnou řadu
∞ X
n=1
a−n z n
nazýváme hlavní částí Laurentovy řady (♠), funkční řadu ∞ X an zn n=0
regulární částí Laurentovy řady (♠).60 Podobně jako u Laurentových řad o středu z0 ∈ C zavádíme pojem konvergence
Laurentovy řady o středu ∞ a jejího součtu; podobně bychom dospěli k mezikruží
konvergence – tentokrát tvaru:
def.
P (∞, r, R) = {z ∈ C :
1 1 < |z| < }. R r
I zde platí, konverguje-li Laurentova řada (♠) na mezikruží P (∞, r, R) 6= ∅, je součet této řady na P (∞, r, R) holomorfní funkcí. Platí i analogie Věty 8.1: 60 Všimněme
si, že formálně není rozdíl mezi Laurentovou řadou o středu 0 a Laurentovou řadou o středu ∞. Chceme-li tyto dva případy rozlišit, je nutno udat střed řady nebo určit její hlavní resp. regulární část.
59
Věta 8.4. Nechť funkce f je holomorfní na P (∞, r, R) 6= ∅. Pak existuje právě ∞ P an jedna Laurentova řada z n taková, že pro každé z ∈ P (∞, r, R) platí: n=−∞
∞ X an f (z) = . zn n=−∞
Navíc, je-li % libovolné reálné číslo takové, že 1 1 <%< , R r platí pro koeficienty výše uvedené Laurentovy řady: Z Z 1 f (z) 1 an = f (z)z n−1 dz, dz = 2πi γ z −n+1 2πi γ
kde
def.
γ(t) = % eit , t ∈ h0, 2πi n ∈ {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } .
Definice. Řekneme, že ∞ je izolovanou singularitou funkce f , existuje-li P (∞),
na němž je f holomorfní.
Je-li ∞ izolovanou singularitou funkce f , můžeme na nějakém P (∞) funkci f
rozložit v Laurentovu řadu o středu ∞; tzn.
∀z ∈ P (∞) : f (z) =
∞ X an . n z n=−∞
Stejně jako u konečných izolovaných singularit i zde podle počtu nenulových koeficientů hlavní části této Laurentovy řady klasifikujeme bod ∞. Platí i analogie Věty 8.2:
Věta 8.5. Buď ∞ izolovanou singularitou funkce f . Pak platí: (i) ∞ je odstranitelnou singularitou funkce f právě tehdy, je-li lim f (z) ∈ C;
z→∞
(ii) ∞ je pólem funkce f (resp. pólem násobnosti n funkce f ) právě tehdy, je-li
lim f (z) = ∞
z→∞
resp. je-li
f (z) ∈ C \ {0} ; z→∞ z n lim
(iii) ∞ je podstatnou singularitou funkce f právě tehdy, jestliže lim f (z) neexistuje.
z→∞
60
9. Rezidua. Reziduová věta 9.1. Reziduum funkce a jeho výpočet. Definice. Buď z0 ∈ C (resp. ∞) izolovanou singularitou funkce f a buď ∞ X
n=−∞
an (z − z0 )
n
∞ X an (resp. ) zn n=−∞
Laurentův rozvoj funkce f na nějakém prstencovém okolí bodu z0 (resp. ∞). Číslo a−1 (resp.
−a1 ) nazýváme reziduum funkce f v bodě z0 (resp.
a značíme res f (z0 ) (resp. res f (∞)).61
∞)
Poznámka. Na místě je přirozená otázka, proč se číslo a−1 (resp. −a1 ) nazývá „reziduum funkceÿ.62 K odpovědi si stačí uvědomit, že za situace z výše uvedené definice platí:63 1 res f (z0 ) = 2πi
Z
1 f (z) dz = 2πi γ
1 (resp. res f (∞) = − 2πi
Z X ∞ γ
n=−∞
Z
1 f (z) dz = − 2πi γ
an (z − z0 )n dz
Z X ∞ an dz). n γ n=−∞ z
Věta 9.1. Platí: (i) Je-li z0 ∈ C odstranitelnou singularitou funkce f , je res f (z0 ) = 0.64 (ii) Je-li funkce f holomorfní v bodě z0 ∈ C a má-li funkce g v bodě z0 jednoduchý pól, je
res f (z)g(z) = f (z0 ) res g(z).
z=z0
z=z0
(iii) Jsou-li funkce f a g holomorfní v bodě z0 ∈ C a je-li bod z0 jednonásobným kořenem funkce g,65 je
res
z=z0 61 Někdy
budeme používat i značení:
62 „Reziduumÿ
f (z) g(z)
=
f (z0 ) . g 0 (z0 )
res f (z) (resp. res f (z)).
z=z0
z=∞
znamená „zbytekÿ nebo „zůstatekÿ. 63 Viz Větu 8.1 (resp. Větu 8.4). 64 Varovný
def. 1 , z
příklad! Uvažujeme-li funkci f (z) = funkce f , a přesto platí: res f (∞) = −1 6= 0. 65 Tzn. g(z ) = 0 6= g 0 (z ). 0 0
je ∞ odstranitelnou singularitou
61
(iv) Je-li bod z0 ∈ C, resp. ∞ pólem násobnosti k funkce f , je k−1 d 1 k lim res f (z) = f (z)(z − z0 ) , z=z0 (k − 1)! z→z0 dz k−1 resp.
k+1 (−1)k k+2 d lim z f (z) . res f (z) = z=∞ (k + 1)! z→∞ dz k+1
(v) Je-li funkce f holomorfní v C \ {z1 , z2 , . . . , zn }, kde z1 , z2 , . . . , zn ∈ C jsou (navzájem různé) izolované singularity funkce f , je res f (∞) +
n X
res f (zi ) = 0.
i=1
Cvičení. Pokuste se o důkaz Věty 9.1. Příklady. a) Vypočtěte
1 2 . res z sin z=0 z
Řešení: Pro každé z ∈ C \ {0} platí: ∞ ∞ X X 1 (−1)n 1 1 1 n 2 (−1) z sin = z = , 2n+1 2n−1 z (2n + 1)! z (2n + 1)! z n=0 n=0 2
a proto res
z=0
1 z sin z 2
=
−1 1 =− . 3! 6
b) Vypočtěte resπ
z= 4
Řešení: Protože
π 4
z 3 sin z . cos(2z)
je zřejmě jednonásobným kořenem funkce def.
g(z) = cos(2z), je66
√ 3 3 z 3 sin z 2π z sin z =− = . resπ z= 4 cos(2z) −2 sin(2z) z= π 256 4
66 Viz
Větu 9.1 – část (iii).
62
c) Vypočtěte res
z=2πi
1 . (ez −1)2
Řešení: Protože 2πi je zřejmě pólem násobnosti 2 funkce, jejíž reziduum počítáme, je67 0 1 1 (z − 2πi)2 res = · · · = −1. = lim z=2πi (ez −1)2 1! z→2πi (ez −1)2 9.2. Reziduová věta. Věta 9.2 (Reziduová). Nechť Ω ⊂ C je jednoduše souvislá oblast, nechť γ je
jednoduchá uzavřená po částech hladká kladně orientovaná křivka v Ω a nechť
funkce f je holomorfní na Ω \ {z1 , z2 , . . . , zn }, kde {z1 , z2 , . . . , zn } ∈ int γ jsou
(navzájem různé) izolované singularity funkce f . Potom platí: Z
f (z) dz = 2πi
γ
n X
res f (zi ) .
i=1
Důkaz je snadným důsledkem definice rezidua a Vět 5.5 a 8.1. Příklad. Vypočtěte
Z
z 2 sin
γ
kde
1 dz, z+1
def.
γ(t) = 2 eit , t ∈ h0, 2πi. Řešení: Z reziduové věty plyne, že Z 1 1 z 2 sin dz = 2πi res z 2 sin . z=−1 z+1 z+1 γ
Protože pro každé z ∈ C \ {−1} platí: ∞ X 1 (−1)n 1 2 2 = (z + 1) − 2(z + 1) + 1 , z sin z+1 (2n + 1)! (z + 1)2n+1 n=0 je68 Z z 2 sin γ
67 Viz
1 1 dz = 2πi res z 2 sin = 2πi z=−1 z+1 z+1
Větu 9.1 – část (iv). si podrobně!
68 Rozmyslete
5 (−1)1 (−1)0 = πi. 1 +0+1 3! 1! 3
63
9.3. Výpočet integrálů funkcí reálné proměnné pomocí reziduové věty. 9.3.1. Integrály typu
Z
2π
R(sin x, cos x) dx,
0
kde R : R2 → R je racionální funkce dvou proměnných a integrovaná funkce (tj. funkce x 7→ R(sin x, cos x)) je spojitá na intervalu h0, 2πi. Zvolme substituci eix = z. Pak (zatím pouze formálně) dostaneme: sin x = a proto
Z
z − z1 z + z1 1 dz, , cos x = , dz = eix i dx, tj. dx = 2i 2 iz 2π
R(sin x, cos x) dx =
0
kde
Z
R
γ
z − z1 z + , 2i 2
1 z
1 dz, iz
(♥)
def.
γ(x) = eix , t ∈ h0, 2πi. Správnost rovnosti (♥), kterou jsme získali pouze „formálním dosazenímÿ, plyne přímo z Věty 5.2. Integrál vystupující napravo lze často spočítat pomocí reziduové věty. Příklad. Z
2π
0
2 =− i
Z
γ
5 4
dx dx = − cos x
2 dz 1 = − i 2πi res1 (z − 2)(z − 2 ) z= 2
9.3.2. Integrály typu
Z
Z
1
γ 5 4
−
z+ z1 2
1 dz = iz
1 (z − 2)(z − 21 )
= −4π
1 2
1 8 = π 3 −2
γ(x) = e , x ∈ h0, 2πi .
+∞
−∞
ix
P (x) dx, Q(x)
kde P, Q : R → R jsou polynomy, pro něž platí: • Q nemá reálný kořen, • stupeň polynomu Q je alespoň o 2 větší než stupeň polynomu P .
64
Z výše uvedených předpokladů vyplývá, že lim
k→+∞
Z
αk
P (z) dz = lim k→+∞ Q(z)
Z
k
P (x) dx = Q(x)
−k
Z
+∞
−∞
P (x) dx, Q(x)
kde def.
αk (t) = t, t ∈ h−k, ki, a že lim
k→+∞
Z
βk
P (z) dz = 0, Q(z)
kde def.
βk (t) = k eit , t ∈ h0, πi. Proto platí: Z
+∞
P (x) dx = lim k→+∞ Q(x)
−∞
kde69 def.
γk (t) =
(
Z
γk
P (z) dz, Q(z)
αk (t + k), je-li t ∈ h−2k, 0), βk (t), je-li t ∈ h0, πi.
Nyní uvažujme kruh U (0, r) ⊂ C tak velký, aby obsahoval všechny kořeny
polynomu Q (takový jistě existuje!). Pak pro každé reálné číslo k > r platí: Z
P (z) dz = Q(z)
γk
Z
γr
P (z) dz, Q(z)
a proto Z
+∞
−∞
P (x) dx = lim k→+∞ Q(x)
Z
γk
P (z) dz = Q(z)
Z
γr
P (z) dz. Q(z)
A teď aplikujme reziduovou větu: Z
+∞
−∞
69 Namalujte
P (x) dx = Q(x)
Z
γr
P (z) dz = 2πi Q(z)
X
zk ∈C: Q(zk )=0, Im zk >0
si geometrické obrazy křivek αk , βk , γk .
res
z=zk
P (z) Q(z)
.
65
Příklad. Z
+∞
−∞
= 2πi res
dx dx = (x2 + 2x + 2)2
z=−1+i
Z
+∞
−∞
dx 2 dx = x − (−1 + i) x − (−1 − i)
1
z − (−1 + i)
"
z − (−1 − i)
= 2πi −2
lim 2 = 2πi z→−1+i
1 z − (−1 − i)
3
#
= z=−1+i
π . 2
1 z − (−1 − i)
2
!0
=
66
Literatura [1] [2]
J. Bouchala, Sbírka příkladů z komplexní analýzy, www.am.vsb.cz/bouchala, 2001. J. Bouchala, Matematická analýza 3 (Diferenciální a integrální počet vektorových funkcí), VŠB – TU, Ostrava, 2001. [3] J. Bouchala, Číselné řady, www.am.vsb.cz/bouchala, 2001. [4] I. Černý, Analýza v komplexním oboru, Academia, Praha, 1983. [5] I. Černý, Základy analysy v komplexním oboru, Academia, Praha, 1967. [6] M. Dont, B. Opic, Matematická analýza III – úlohy, ČVUT, Praha, 1989. [7] J. Eliaš, J. Horváth, J. Kajan, R. Šulka, Zbierka úloh z vyššej matematiky 4, Alfa, Bratislava, 1979. [8] P. Galajda, Š. Schrötter, Funkcie komplexnej premennej a operátorový počet, Alfa, Bratislava, 1991. [9] I. Kluvánek, L. Mišík, M. Švec, Matematika II., SVTL, Bratislava, 1965. [10] K. Rektorys a spolupracovníci, Přehled užité matematiky I a II, Prometheus, Praha, 1995. [11] J. Veselý, Komplexní analýza pro učitele, Karolinum, Univerzita Karlova, Praha, 2001.
