FUNGSI TRIGONOMETRI DALAM GEOMETRI TAKSI

FUNGSI TRIGONOMETRI DALAM GEOMETRI TAKSI

Al Kausar dan Oki Neswan Program Studi Magister Pengajaran Matematika FMIPA-ITB, Kelompok Keahlian Matematika Geometri FMIPA - ITB E-mail: [email protected], [email protected] ABSTRAK : Geometri taksi (taxicab geometry) adalah salah satu geometri nonEuclid, dimana jarak antara dua titik dan bukan merupakan panjang dari segmen garis ̅̅̅̅ seperti dalam geometri Euclid, tetapi jumlah dari nilai mutlak selisih koordinat dari A dan B yaitu . Pada makalah ini kami membahas konsekuensi penggunaan konsep jarak tersebut pada pengertian sudut, relasi trigonometri, fungsi trigonometri khususnya fungsi sinus dan cosinus. Kami memberikan deskripsi rumus fungsi sinus dan cosinus jumlah dan selisih dua sudut. Selanjutnya diberikan rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus. Kata Kunci : Jarak taksi, sudut, kuadran, lingkaran satuan, fungsi sinus dan cosinus.

Geometri taksi (taxicab geometry) pertama kali diperkenalkan oleh Herman Minkowski (1864-1909) yang berkebangsaan Jerman. Geometri taksi pada dasarnya menyiratkan tentang studi sebuah kota yang ideal dengan semua jalan adalah horizontal atau vertikal. Misalkan seorang sopir taksi berangkat dari kota A ke kota B, dimana semua jalan dapat digunakan maka sopir taksi mulai dari A dapat mengambil cara yang berbeda, yang memiliki jarak yang sama untuk sampai ketujuan B. Geometri taksi mendapat perhatian kembali pada tahun 1975, ketika Krause menerbitkan sebuah buku “Taxicab Geometry”. Dalam bukunya, Krause (1986) mendefinisikan jarak antara dua titik dan adalah | | | |. Akibat dari fungsi jarak tersebut, sifat kekongruenan SAS (sisi sudut sisi) tidak berlaku. Karena keunikannya itu, penelitian tentang geometri taksi terus dikembangkan. Akca dan Kaya (1997) dan Thompson dan Dray (2011) telah

mengembangkan/menuliskan masalah trigonometri dalam geometri taksi. Berdasarkan tulisan mereka, kami mencoba mengembangkan fungsi trigonometri dalam geometri taksi khususnya fungsi sinus dan cosinus sampai pada rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus yang tidak termuat dalam tulisan mereka. 1. Teori Dasar 2.1 Jarak antara Dua Titik Jarak taksi antara titik didefinisikan sebagai

dan

. Adapun hubungan jarak antara dua titik di geometri Euclid dan di geometri taksi, Colakoglu dan Kaya (2008) memberikan teorema dan pada makalah ini diberikan bukti yang lebih detail. Teorema 2.1 Misalkan diberikan 2 titik berbeda yaitu dan , maka 1. , jika

906

907, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013

√

2.

[a,b]

, jika

dengan m adalah gradien ruas garis AB. Bukti : Misalkan

dan

maka

√

dan dengan dan

1. Jika

, maka √ (√

)

√

⁄√

oleh

∫ √ Untuk menemukan formula dari panjang kurva pada geometri taksi, digunakan metode tradisional yakni membagi kurva menjadi n bagian, (Thompson , 2011). Pertama, pandang suatu partisi P dari selang [a,b] menjadi n selang bagian (tidak perlu panjangnya sama) memakai titik-titik dan andaikan . Selanjutnya, nilai-nilai fungsi f untuk titiktitik berturut-turut dimisalkan seperti pada gambar berikut :

maka

√ 2. Jika

diberikan

⁄√ ⁄√

⁄√ √

(

)

√

⁄

⁄ Pada tiap selang bagian menurut geometri taksi diperoleh panjang kurva

sebab √ bentuk terakhir

. Kemudian kalikan dengan bentuk satu

lainnya, yaitu

untuk mem-

peroleh √ ⁄|

|

√

| |

|

|

|

|

√ | |

2.2 Panjang Kurva Pada geometri Euclid, panjang kurva dari suatu fungsi f yang terdefinisi pada selang

. Menurut teorema nilai rata-rata, terdapat titik diantara dan sedemikian sehingga . Dengan demikian panjang kurva dari ke menjadi ( ) sehingga diperoleh panjang kurva adalah ∑ ∑ ( )

.

Selanjutnya, tetapkan │P│ menyatakan panjang selang bagian yang terpanjang dari partisi P. Jika │P│semakin kecil atau dapat ditulis │P│→ 0 maka panjang kurva menjadi ∑

(

)

.

Kausar dan Neswan, Fungsi Trigonometri, 908

Ruas kanan dari persamaan ini memenuhi definisi dari integral tentu, sehingga panjang kurva fungsi pada interval adalah ∫ (

)

Teorema 2.2 (Thompson, 2011) Jika suatu fungsi monoton naik atau turun dan terdeferensialkan pada titik-titik dalam selang , maka panjang kurva pada interval adalah

Bukti: Panjang kurva dari fungsi interval adalah ∫ (

Grafik dari lingkaran terdiri dari empat ruas garis dengan persamaan :

pada

) ∫ (

)

Jika monoton naik maka sehingga diperoleh

,

Jika monoton turun maka sehingga diperoleh

,

Dari kedua kasus diperoleh 2.3 Lingkaran Lingkaran adalah himpunan semua titik yang berjarak tetap terhadap titik tertentu (pusat lingkaran). Lingkaran taksi dengan pusat P dan jari-jari r dapat dituliskan dalam bentuk . Jika dan maka . Khususnya, bila

maka

dapat digambarkan sebagai berikut :

Keliling lingkaran yang berjari-jari r dapat ditentukan dengan menggunakan rumus jarak taksi diantara dua titik, sebagai berikut :

Dapat juga menghitung panjang dengan menggunakan rumus dari panjang kurva. Garis dipandang sebagai fungsi dengan persamaan Sehingga panjang adalah ∫ ( ∫

) |

|

∫

Diperoleh panjang satuan. Dengan demikian keliling lingkaran taksi yang berjari-jari satuan adalah satuan. Lingkaran yang berjari-jari 1 satuan dengan pusat O(0,0) akan dinamakan sebagai lingkaran satuan.

909, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013

Ada yang menarik/aneh dari panjang kurva yang diberikan oleh Thompson (2011). Sebagai contoh, lingkaran taksi dan lingkaran Euclid yang berjari-jari satuan memiliki keliling yang sama. Telah diketahui bahwa lingkaran taksi berjari-jari pada kuadran I adalah kurva atau garis dengan persamaan

Bukti : Dengan menggunakan lingkaran satuan, misalkan α adalah sebuah sudut Euclid pada posisi standar di kuadran I, diperoleh garis dari titik pusat sehingga berpotongan dengan lingkaran yaitu garis terminal dengan persamaan seperti pada gambar berikut :

Maka panjang kurva adalah ∫ (

)

|

∫

|

Adapun hubungan sudut taksi dan sudut Euclid, Thompson dan Dray (2011) memberikan teorema berikut : Teorema 2.3 Misalkan α adalah sebuah sudut Euclid pada posisi standar di kuadran I dan t adalah sudut taksi, maka

∫

Sedangkan pada lingkaran Euclid yang berjari-jari , diketahui bahwa pada kuadran I memiliki kurva dengan √ persamaan sehingga panjang kurva adalah ∫ (

)

∫ ( (

) √

)

Diperoleh bahwa kurva dengan persamaan dan √ memiliki panjang yang sama. Akibatnya, lingkaran taksi dan lingkaran Euclid yang berjari-jari satuan memiliki keliling yang sama yaitu satuan. 2.4 Sudut Sebuah sudut pada pusat lingkaran satuan yang dibentuk oleh penyadapan busur lingkaran sepanjang satuan memiliki besar sudut -radian. Thompson dan Dray (2011) menyatakan bila sudut Euclid , dan π dalam posisi standar, di geometri taksi sekarang memiliki ukuran masingmasing 1, 2, dan 4.

Misalkan t adalah sudut taksi, diperoleh

(

)

Dengan proses yang sama seperti pada pembuktian Teorema 2.3 diperoleh hubungan dan untuk di kuadaran II, III atau IV yakni :

Kausar dan Neswan, Fungsi Trigonometri, 910

sama dengan dipahami bahwa

. Dengan mudah dapat

Selanjutnya, misalkan diketahui sudut seperti pada gambar berikut : { atau |

|

| |

| |

|

|

|

|

| |

| |

|

|

{

Maka dinamakan sebagai sudut dengan referensi , dengan adalah sudut pada posisi standar. Pada pembahasan selanjutnya, sudut yang akan dibahas adalah sudut dengan referensi . 3. Fungsi Trigonometri Misalkan adalah suatu pemetaan dari | | ke lingkaran taksi | | seperti gambar berikut :

Pada pemetaan di atas merupakan fungsi 1-1 dan pada, selanjutnya dikatakan sebagai fungsi trigonometri (Akca dan Kaya, 1997). 3.1 Fungsi Sinus dan Cosinus pada Bidang Geometri Taksi Misalkan sebuah sudut pada posisi standar dan sebuah titik di luar lingkaran | | | | dengan ̅̅̅̅ , maka didefinisikan perbandingan (rasio) trigonometri dan .

Untuk tiap adalah titik | | pada lingkaran taksi | | sehingga total panjang kurva dari ke dalam arah berlawanan jarum jam

911, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013

Diperoleh empat sistem persamaan yaitu

1.

dan

2.

dan

3.

dan

4.

dan

Pada sistem mengeliminasi (

persamaan 1, maka diperoleh

) dan jika mengeliminasi

diperoleh

jika maka

( ). Dengan cara yang

serupa untuk sistem persamaan 2, 3 dan 4. Selanjutnya, semua solusi dari keempat sistem persamaan di atas disubstitusi pada perbandingan trigonometri

dan

diperoleh nilai fungsi sinus dan

Asumsikan titik bayangan merupakan pencerminan dari terhadap sumbu . Akibatnya, bila ) maka

Sehingga dan

Selanjutnya, dengan menggunakan aturan sudut negatif dan nilai fungsi trigonometri diperoleh relasi trigonometri. Thompson dan Dray (2011) menuliskan relasi trigonometri seperti pada tabel berikut : Tabel 1: Relasi Trigonometri

cosinus sebagai berikut :

{ dan

{

Untuk sudut negatif, pandang jari-jari pada lingkaran satuan berputar searah jarum jam maka sudut yang terbentuk adalah negatif, seperti pada gambar berikut :

Fungsi sinus dan cosinus merupakan fungsi periodik dengan perioda 8 sehingga dapat dituliskan dan , untuk setiap bilangan bulat. Sehingga grafiknya

Kausar dan Neswan, Fungsi Trigonometri, 912

berulang setiap satu putaran, yaitu setiap 8 radian. dapat dilihat pada gambar berikut :

(

)

(

)

{ 3.2 Fungsi Cosinus Jumlah Dua Sudut Misalkan ada dua sudut dan maka akan ada 10 situasi, salah satunya di kuadran II dan di kuadran I yang dapat dinotasikan dan . Karena kekongruenan SAS (sisi sudut sisi) tidak berlaku, maka untuk membuktikan rumus fungsi cosinus jumlah dua sudut digunakan situasi-situasi dari dan , dimana dan sudut dengan referensi 0. Thompson dan Dray (2011) memberikan teorema berikut : Teorema 3.1 ( ), dimana akan dipenuhi untuk tanda positif ketika t dan s berada pada sisi yang berbeda dari sumbu X dengan sumbu Y yang sama atau t dan s pada kuadran yang sama, jika tidak maka memenuhi tanda negatif. Bukti : Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan karena jika sebuah sudut terletak di luar maka terdapat sehingga dan dapat digunakan relasi . Untuk tanda positif , berarti ada 6 kasus yaitu dan ; ; ; . Kasus : t

II, s

I berarti , sehingga

; ;

dan

Cara yang serupa untuk kasus yang lain. Untuk tanda negatif , berarti ada 4 kasus yaitu dan ; dan dan . Kasus : t

dan ;

;

III, s I berarti , sehingga

(

)

(

)

Cara yang serupa untuk kasus yang lain. Sehingga untuk semua kasus dapat dideskripsikan rumus fungsi cosinus jumlah dua sudut secara lengkap melalui tabel berikut : Tabel 2: Rumus t I II IV

s I I III

IV

IV

II II III

I II III

IV

III

t+s

913, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013

t III III IV III

s I II I II

IV

I

IV

II

Tabel 3: Rumus dari

t+s

t II II III IV

Sebagai akibat dari Teorema diperoleh aturan untuk sudut ganda.

3.1

Akibat 3.2

s I II I IV

II III III

II I II

IV

III

IV

IV

I III

I III

IV

I

IV

II

I III

I III

IV

II

t+s

Bukti :

3.3 Fungsi Sinus Jumlah Dua Sudut Berdasarkan Teorema 3.1 serta relasi dapat diturunkan rumus fungsi sinus jumlah dua sudut sebagai berikut : ( (

) (

)

( (

Akibat 3.3

)

) ) 3.4 Fungsi Cosinus Selisih Dua Sudut

Selanjutnya dengan menggunakan informasi dari tabel 2 dan relasi , diperoleh deskripsi rumus fungsi sinus jumlah dua sudut untuk semua kondisi dari t dan s sebagai berikut:

Berdasarkan Teorema 3.1 dapat diturunkan rumus fungsi cosinus selisih dua sudut sebagai berikut : ( karena

), maka ( )

Adapun rumus , untuk semua kondisi dari t dan s dideskripsikan pada tabel berikut :

Kausar dan Neswan, Fungsi Trigonometri, 914

Tabel 4: Rumus t I

s I

II

II

II

I

III

III

IV

IV

IV

III

III

I

IV

I

IV

II

III

I

III

II

IV

II

(

)

Adapun rumus kondisi dari dan tabel berikut :

, untuk semua dideskripsikan pada

Tabel 5: Rumus

t

s

I IV

I I

III IV IV

III I II

(

)

II I III I III II IV III IV IV

Dapat dilihat bahwa rumus dari memiliki bentuk yang sama dengan rumus , namun pada penggunaannya perlu diperhatikan kuadran letak sudut sebab akan berbeda untuk setiap kondisi dan . 3.5 Fungsi Sinus Selisih Dua Sudut Berdasarkan rumus fungsi cosinus selisih dua sudut dan relasi , dapat diturunkan rumus fungsi sinus selisih dua sudut sebagai berikut :

II II III IV

I II II III

3.6 Jumlah dan Selisih Cosinus ( karena

) maka ( ).

Rumus jumlah dan selisih cosinus, ditentukan dengan menggunakan informasi dari tabel 2 dan tabel 4. Misalkan : dan , jika keduanya dijumlahkan maka diperoleh

915, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013

dan jika diperoleh

dikurangkan maka {

.

Dalam hal ini, perlu diselidiki semua kemungkinan dari kondisi t dan s yang memenuhi dan yaitu yaitu ; dan ; ; dan ; dan ; dan . Untuk kasus

, diperoleh

tanda positif berlaku jika dan pada kuadran yang sama, atau dan berada pada sisi yang berbeda dari sumbudengan sumbuyang sama. Untuk kondisi yang lain memenuhi tanda negatif. Sedangkan rumus selisih cosinus dideskripsikan pada tabel berikut :

; dan

Tabel 7 : Rumus

; Jika kedua diperoleh

persamaan

dijumlahkan ⟺

Jika kedua diperoleh

persamaan

dikurangkan

⟺

Dengan cara yang serupa untuk kasus yang lain sehingga untuk semua kondisi dan , rumus jumlah cosinus dapat dideskripsikan pada tabel berikut :

I II II

I I II

III III IV

I II I

III IV IV

II I II

III IV IV

III III IV

Tabel 6 : Rumus

a B I I II I II II III III IV III IV IV III I III II IV I IV II Sehingga untuk semua kondisi a dan b, rumus dari dapat ditulis

Dari tabel 7 di atas, tampak 2 hasil yang berbeda pada saat dan pada saat tergantung dari kuadran letak

.

Pada kondisi

, baik pada saat maupun pada saat

, diperoleh . Sedangkan pada kondisi baik pada saat pada saat

, maupun

, diperoleh .

Kausar dan Neswan, Fungsi Trigonometri, 916

Sehingga untuk semua kondisi dan rumus dari dapat ditulis

,

2.

Rumus selisih sinus

( ), masing-masing untuk tanda yang sama. {

3.7 Jumlah dan Selisih Sinus Dengan cara yang serupa seperti pada penyelidikan rumus jumlah dan selisih cosinus, menggunakan informasi dari tabel 3 dan tabel 5 diperoleh :

Untuk semua kondisi dari a dan b dideskripsikan melalui tabel berikut : Tabel 9 : Rumus

a

B

I IV

I IV

II

I

Untuk semua kondisi dari a dan b dideskripsikan melalui tabel berikut :

II III III

II II III

Tabel 8 : Rumus

II III

I I

IV

I

IV IV

II III

IV

III

1.

Rumus jumlah sinus {

a I II III III IV

B I II II III IV

II III

I I

IV

I

IV IV

II III

Dari tabel 9 di atas, tampak 2 hasil yang berbeda pada saat dan pada saat sama halnya seperti pada tabel 7 tergantung dari kuadran letak . kondisi

Untuk

,

pada

diperoleh , tetapi pada

kondisi

diperoleh .

917, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013

Sedangkan untuk kondisi

, pada

4. Kesimpulan

diperoleh ,

tetapi pada kondisi diperoleh .

Fungsi sinus dan cosinus merupakan fungsi periodik dengan perioda 8 sehingga dapat dituliskan dan , untuk setiap bilangan bulat. Selanjutnya dalam penggunaan rumus fungsi sinus dan cosinus jumlah dan selisih dua sudut, serta rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus perlu diperhatikan kuadran letak sudut.

DAFTAR RUJUKAN Akca, Z. dan Kaya, R. 1997. On The Taxicab Trigonometry. Jour. of Inst. of Math. & Comp. Sci. [Math. Ser.] Vol. 10, No. 3 (1997) 151159. Colakoglu, H. B. dan Kaya, R. 2008. Taxicab Versions of the Pythagorean Theorem. ΠME. Journal. Vol. 12. No. 9, pp 535 – 539. Krause, F. E. 1986. Taxicab Geometry. Dover Publications, Inc., New York.

Thompson, K. 2011. The Nature of Length, Area, and Volume in Taxicab Geometry. arXiv:1101. 2922v1 [math.MG] 14 Jan 2011. Thompson, K. dan Dray, T. 2011. Taxicab Angles and Trigonometry. arXiv: 1101.2917v1 [math.MG] 14 Jan 2011.