M AT E M AT I K A E K O N O M I
FUNGSI EKSPONENSIAL DAN FUNGSI LOGARITMIK
TONI BAKHTIAR I N S T I T U T P E RTA N I A N B O G O R 2012
Pangkat 2
Jika suatu bilangan a dikalikan dirinya sendiri sebanyak n kali
maka ditulis
a ⋅ a ⋅ a ⋅ ⋯ ⋅ a = an n kali
Bilangan n disebut eksponen atau pangkat. Beberapa sifat: n
m
a a =a
n+m
(a n ) m = a nm 1 −n a = n a
a
n−m
=a
n+( − m)
n
=a a
−m
an n−n 0 a a = = =1 n a
Eksponen n dapat diperluas ke bilangan real.
1 an =a m = m a a n
Fungsi Pangkat 3
Fungsi pangkat memiliki bentuk:
y := f ( x) = kx p Jika p = 1 maka f fungsi linear, jika p = 2 maka f fungsi kuadratik. Untuk x taknegatif, beberapa grafik fungsi f diberikan oleh: y
y
y
p >1
p < −1 p =1 x
x
x
Fungsi Eksponensial 4
Jika eksponen dipandang sebagai variabel dalam fungsi, maka
diperoleh fungsi eksponensial: f ( x) = ka x ,
a > 0.
Bilangan k adalah koefisien dan a disebut basis. Untuk k = 1:
y
y
y = ax , a > 1 1 0
1 x 1
0
y = ax , 0 < a < 1 x 1
Fungsi Eksponensial Natural 5
Di banyak aplikasi, basis a dipilih sama dengan e (bilangan
natural), sehingga diperoleh fungsi eksponensial natural
f ( x) = e x e = 2. 7182818284 5904523536 0287471352 6624977572
4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 ... Rekor: 1012 dijit, Shigeru Kondo & Alexander Yee (5 Juli 2010), 224 jam
Sejarah e 6
Muncul pertama kali tidak secara eksplisit pada 1618 di sebuah
tabel lampiran oleh John Napier. Jacob Bernoulli mencoba menghitung nilai konstanta tersebut menggunakan rumus: 1 x lim (1 + x ) x→∞
Gottfried Leibniz dan Christiaan Huygens menggunakan
konstanta tersebut, dilambangkan dengan b, pada 1690-1691. Pada 1727 Leonhard Euler menggunakan bilangan tersebut dan melambangkannya dengan e.
Berbagai Rumus e 7
∞
1 x x
e = lim (1 +
1 e=∑ n=0 n!
)
x →∞
1
e=2+
1
1+
e = lim (1 + x )
1
2+
1
1+
x →0
1
1+ 4+
1 1 1+ 1 +⋱
e = lim
n →∞ n
n n!
1 x
Kurva Grafik 8 y
4
y
f ( x) = e x
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
4
3
3
2
2
1
1
0.0
0.5
1.0
1.5
-2.0
2.0
x
y
-1.5
-1.0
-0.5
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6
ex f ( x) = 1 + ex
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
f ( x) = e − x
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
Kurva Grafik 9
y=e
y = 2e x
2x
y = ex
y = ex
1 2 0
t
t0
t0
Interpretasi e 10
Pokok A yang diinvestasikan pada tingkat bunga r per tahun akan
bernilai V setelah t tahun, yaitu:
V = A(1 + r )t . Jika dalam satu tahun pokok dan bunga dibayarkan sebanyak m
kali, maka pada periode m pokok A akan bernilai
V (m) = A(1 + mr ) mt . Suku r/m menunjukkan bahwa di setiap periode dalam satu tahun,
hanya 1/m bagian dari sukubunga r yang dibayarkan. Sedangkan eksponen mt menyatakan bahwa, karena bunga harus dibayarkan sebanyak m kali setahun maka ada sebanyak mt kali pembayaran dalam t tahun.
Interpretasi e 11
Jika pokok dan bunga dibayarkan secara kontinu sepanjang
tahun, yaitu m menjadi takhingga, maka diperoleh V = lim V (m) m →∞
= A lim(1 + mr ) mt m →∞
= A lim[(1 + 1k ) k ]rt , k := m →∞
m r
= Ae rt . Jadi, di ruang kontinu, pokok A yang diinvestasikan dengan bunga r per tahun akan bernilai V setelah t tahun dengan Ve−rt.
Diperoleh: A = e−rt disebut faktor diskon.
V = Ae rt .
Jika A = 1, r = 100%, t = 1, maka V = e.
Fungsi Logaritmik 12
Didefinisikan:
x = log b y ⇔ Contoh:
y = bx.
Fungsi Logaritmik Natural 13
Jika diambil basis b = e, maka
y = ex .
x = log e y = ln y ⇔ Dapat ditulis juga
x = ln y ⇔
y = ex
⇔
y = eln y .
Terlihat bahwa fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik saling
invers.
y
5
y = ex
4
3
y = ln x
2
1
-2
-1
1 -1
-2
2
3
4
5
x
Sifat-sifat Fungsi Logaritmik 14
ln e = 1, ln1 = 0, ln(ab) = ln a + ln b, a ln = ln a − ln b, b b ln a = b ln a, ln b log a b = , ln a log a b = log a c ⋅ log c b.
Terapan Logaritma 15
Penskalaan logaritmik: penyajian data dalam skala logaritma
seringkali bermanfaat apabila data memiliki range yang sangat besar (atau sangat kecil). Contoh: Skala Richter: log(energy), pH: −log(aktivitas ion hidronium). Pelinearan Fungsi produksi Cobb-Douglas: Y = β K α L1−α ⇔ log Y = log( β K α L1−α ) ⇔ log Y = log β + α log K + (1 − α ) log L ⇔ Y = β + α K + (1 − α ) L .
Terapan Logaritma 16
Pelinearan (regresi logistik):
eb0 +b1 X1 +b2 X 2 +⋯+bn X n P= 1 + eb0 +b1 X1 +b2 X 2 +⋯+bn X n P ⇔ = eb0 +b1 X1 +b2 X 2 +⋯+bn X n 1− P P ⇔ log = b0 + b1 X 1 + b2 X 2 + ⋯ + bn X n 1 − P ⇔ logit( P) = b0 + b1 X 1 + b2 X 2 + ⋯ + bn X n .
Terapan Logaritma 17
Menyelesaikan persamaan:
ab x − c = 0 (a, b, c > 0) ⇔ ab x = c ⇔ bx =
c a
⇔ ln b x = ln ac ⇔
x ln b = ln c − ln a
⇔
ln c − ln a x= . ln b
Turunan 18
Turunan fungsi logaritmik:
y = ln x ⇒ Secara umum dengan aturan rantai: y = ln g ( x) ⇒
1 y'= . x
y'=
1 ⋅ g '( x) g ( x)
Turunan fungsi eksponensial:
y=e
x
⇒ ln y = x ⇒
1 y' =1 ⇒ y
y ' = y = ex .
Secara umum:
y = eg ( x)
⇒
y ' = e g ( x ) g '( x).
Penurunan Logaritmik 19
Perhatikan bahwa: y = f ( x) g ( x) ⇒ ln y = ln f ( x) + ln g ( x) ⇒
1 1 1 y' = f '( x) + g '( x) y f ( x) g ( x)
1 1 y' = y f '( x) + g '( x) . g ( x) f ( x) f ( x) y= g ( x) ⇒ ln y = ln f ( x) − ln g ( x ) 1 1 1 ⇒ y' = f '( x) − g '( x) y f ( x) g ( x) ⇒
⇒
1 1 y' = y f '( x) − g '( x) . g ( x) f ( x)
y = f ( x) g ( x ) ⇒ ln y = g ( x) ln f ( x) ⇒
1 1 y ' = g '( x) ln f ( x) + g ( x) f '( x) y f ( x)
⇒
1 y ' = y g '( x) ln f ( x) + g ( x) f '( x) . f ( x)
Penurunan Logaritmik 20
Contoh: Tentukan dy/dx dari
y = x 2e2 x , 3sin x y= 2 , ( x + 1)(2 x − 1) 2
2 x x3 − x
y = (x + e )
,
x 2 y − e 2 y = ln( x − y ).
Terapan Ekonomi 21
Penyimpanan anggur: Nilai penjualan anggur (wine) V setelah
disimpan selama t tahun diberikan oleh
V (t ) = Ke t e − rt , dengan K konstanta dan r tingkat bunga. Tentukan t yang memaksimumkan V. Pemanenan kayu: Nilai penjualan kayu (timber) V setelah t tahun diberikan oleh
V (t ) = 2 t e − rt . Tentukan waktu pemanenan kayu yang memaksimumkan V.
