Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial

Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial Irisan Kerucut, Permukaan Definisi fungsi dua peubah Turunan Parsial Maksimum dan Minimum Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

1

Irisan Kerucut •

Parabola Sebuah parabola dengan

F(a+p,b)

titik puncak (a,b) memiliki bentuk persamaan baku :

( y − b )2 = 4 p( x − a ) Dengan F(a+p,b) menyatakan koordinat titik fokus parabola

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

2

Irisan Kerucut •

Ellips Sebuah ellips dengan

Pusat (a,b)

pusat (a,b) dengan jari – jari tegak adalah d dan jari – jari horisontal adalah c memiliki persamaan baku

( x − a )2 ( y − b )2 c

2

+

d

2

=1


3

Irisan Kerucut •

Hiperbola Sebuah hiperbola dengan pusat (a,b) dengan gradien garis asymtot d/c atau -d/c

memiliki

persamaan baku

( x − a )2 ( y − b )2 c

2

−

d

2

=1


4

Jenis – jenis permukaan dimensi tiga •

Elipsoida Persamaan baku Elipsoid dengan pusat (0,0,0) adalah

x2 y2 z 2 + 2 + 2 =1 2 a b c Jejak pada bidang xy, xz dan yz berupa elips


5


Hiperboloid Lembar Satu Persamaan baku Hiperboloid Lembar Satu dengan pusat (0,0,0) adalah

x2 y2 z 2 + 2 − 2 =1 2 a b c Jejak pada bidang xy adalah elips, sedangkan jejak pada bidang xz dan yz adalah hiperbola Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

6


Hiperboloid Lembar Dua Persamaan baku Hiperboloid Lembar Dua dengan pusat (0,0,0) adalah

x2 y2 z 2 − 2 − 2 =1 2 a b c Jejak pada bidang xy dan

xz

adalah hiperbol sedangkan jejak pada bidang yz tidak ada, tetapi perpotongan bidang yang sejajar bidang yz dengan permukaan akan membentuk elips. Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

7


Paraboloid Elips Persamaan baku paraboloid elips dengan pusat (0,0,0) adalah

x2 y2 z= 2+ 2 a b Jejak pada bidang xy adalah titik tetapi perpotongan bidang yang sejajar

bidang

xy

dengan

permukaan membentuk elips. Jejak pada bidang xz dan bidang yz adalah parabol. Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

8


Paraboloid Hiperbol Persamaan baku paraboloid hiperbol dengan pusat (0,0,0) adalah

z= Jejak

y2

b

2

pada

sepasang

−

x2

a2

bidang garis

xy

berupa

yang

saling

berpotongan tetapi jejak bidang yang sejajar dengan xy adalah hiperbol. Jejak pada bidang xz dan bidang yz adalah parabol . Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

9


Kerucut Ellips Persamaan baku kerucut dengan pusat (0,0,0) adalah

elips

x2 y2 z 2 + 2 − 2 =0 2 a b c Jejak

pada

bidang

xy

berupa

sebuah titik tetapi jejak bidang yang sejajar dengan xy adalah elips. Jejak pada bidang xz dan bidang yz adalah

sepasang

garis

yang

berpotongan . . Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

10

Definisi funsi Dua Peubah Fungsi dua peubah adalah aturan yg mengaitkan setiap bilangan riil f (x,y) ke setiap titik (x, y) terhadap himpunan D dalam bidang xy. Notation : z = f(x,y). Himpunan (x,y) disebut domain

Df =

{(x, y )∈ R

2

f (x, y )∈ ℜ

}

Himpunan nilai f(x,y) disebut range

{

R f = f (x, y ) (x, y )∈ D f

}


11

Contoh Tentukan domain Jawab :

(

z = ln y − x 2

y

Df =

{(x, y )∈ R

Df =

{(x, y )∈ R ( y − x )> 0 }

Df =

{(x, y )∈ R

2

2

)

(

2

) }

z = ln y − x ∈ ℜ

y = x2

2

2

y > x2

}


x

12

Latihan z = f ( x, y ) Cari domain xy 1. z = 16 − x 2 − y 2 2.

z=

dibawah ini :

x y

x2 + y2 3. z = ln ( x + y ) 4. z =

25 − x 2 − y 2 x+ y


13

Jenis – jenis permukaan dimensi tiga Dengan menyederhanakan persamaan permukaan kuadrik

Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 Ke salah satu bentuk persamaan permukaan baku tersebut maka dapat ditentukan bentuk persamaan permukaan kuadrik tersebut.

Contoh 1 Berupa permukaan apakah persamaan permukaan

− 9 x 2 + 4 y 2 − 36 z + 36 = 0


14

Jenis – jenis permukaan dimensi tiga Jawaban − 9 x 2 + 4 y 2 − 36 z + 36 = 0 Dibagi dengan 36 diperoleh persamaan x2 y 2 − 2 + 2 − z +1=0 2 3 Atau bisa dituliskan sebagai

y 2 x2 z −1 = 2 − 2 3 2 Jadi − 9 x 2 + 4 y 2 − 36 z + 36 = 0 merupakan permukaan paraboloid hiperbol dengan pusat (0,0,1) Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

15

Jenis – jenis permukaan dimensi tiga Contoh 2 Berupa permukaan apakah persamaan permukaan 9 x 2 + 4 y 2 − 6 z 2 + 18 x − 8 y − 24 z − 11 = 0 Jawaban Dengan menuliskan bentuk (x–a)2, (y–b)2 dan (z–c)2 diperoleh persamaan

9( x + 1)2 + 4( y − 1)2 − 6 ( z + 2 )2 = 0 Dengan membagi persamaan dengan 36 ( x + 1)2 ( y − 1)2 ( z + 2 )2 + − =0 2 2 2 2 3 6 Jadi permukaan tersebut merupakan permukaan kerucut elips dengan pusat (–1,1,–2). Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

16

Soal Latihan 1. Nyatakan persamaan hiperboloid lembar dua dalam persamaan umum permukaan kuadrik 2. Berupa permukaan apakah persamaan permukaan

4 x 2 − 3 y 2 − 3 z 2 + 16 x − 6 y − 18 z − 26 = 0 3. Tentukan jejak dibidang xy dan yz permukaan kuadrik

3 x 2 + 4 y 2 − 6 z 2 + 18 x + 16 y − 12 z + 25 = 0 Kemudia tuliskan persamaan jejak xy dan yz tersebut dalam bentuk baku


17

Kurva ketinggian dan peta Kontur Kurva ketinggian adalah proyeksi

pada bidang xy dari

kurva/permukaan yang dibentuk dari perpotongan bidang mendatar z = c dengan permukaan f(x,y). Kumpulan dari kurva ketinggian disebut peta kontur. Kurva ketinggian dari beberapa jenis permukaan yang telah dibahas sebelumnya akan berupa irisan kerucut. Berikutnya akan digambarkan beberapa peta kontur untuk beberapa jenis permukaan.


18

Kurva ketinggian dan peta Kontur • Kerucut Elips Kurva ketinggian pada kerucut elips ini berbentuk elips karena untuk z = k persamaan yang konik yang didapat adalah

x2 y2 + 2 =k 2 a b Ini merupakan persamaan baku elips. Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

19

Kurva ketinggian dan peta Kontur • Hiperboloid lembar dua Kurva ketinggian pada hiperboloid lembar dua ini berbentuk hiperbola karena untuk z = c persamaan yang konik yang didapat adalah x2 c

2

−

y2 d

2

=k

Ini merupakan persamaan baku hiperbol. Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

20

Kurva ketinggian dan peta Kontur • Paraboloid hiperbol Kurva ketinggian pada Paraboloid hiperbol ini berbentuk hiperbola pada dua sumbu x dan y karena untuk z = k persamaan yang konik yang didapat adalah x2 y2 − 2 = k untuk k > 0 2 c d Atau y2 d2

−

x2 c2

=k

untuk k < 0

Ini merupakan hiperbola pada sumbu x dan y


21

Kurva ketinggian dan peta Kontur Contoh 1 Berupa apakah kurva ketinggian dari

9 x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 36 untuk z = 1

Jawaban 2

2

2

Dengan substitusi nilai z = 1 kedalam persamaan 9 x + 4 y + 9 z = 36 diperoleh persamaan

9 x 2 + 4 y 2 = 27

Atau bisa dituliskan dalam bentuk baku

x2

( 3)

2

+

y2  1 27    2

2

=1

Ellips dengan jari – jari mendatar = 3 dan jari – jari tegak = 1 27 = 3 . 3 2


2

22

Kurva ketinggian dan peta Kontur Contoh 2 Berupa apakah kurva ketinggian dari untuk z = 3

( y + 2 )2 ( x − 1)2 2

2

−

3

2

−z+2=0

Jawaban Dengan substitusi nilai z = 3 diperoleh persamaan

( y + 2 )2 ( x − 1)2 2

2

−

3

2

=1

Ini merupakan persamaan hiperbola dengan pusat (1,–2) yang memiliki koordinat puncak (1,0 ) dan (1,-4 ) serta memiliki gradien garis asymtot 2. dan −

2 . 3


3 23

Soal Latihan Untuk soal 1–3, gambarlah kurva ketinggian untuk nilai k yang diberikan 1.

x2 + y 2 − 2 z

k = 2,4,6,8

k = –4,–1,0,1,4 z = x2 + y x2 + y 3. k = 0,1,2,4 z= 2 x+ y Untuk soal 4–5, gambarlah peta kontur dari persamaan 2.

permukaan yang diberikan 4.

100 x 2 + 16 y 2 + 25 z 2 = 1

5.

− 4 x 2 + 25 y 2 + 8 x + 100 y − 100 z − 204 = 0


24

Turunan Parsial Definisi Secara sederhana turunan parsial terhadap x bisa diartikan sebagai turunan pada f(x,y) dengan menganggap y sebagai konstan. Sebaliknya turunan parsial terhadap y bisa diartikan sebagai turunan pada y dengan menganggap x sebagai konstan. Pada persamaan permukaan z = f ( x , y ) maka secara geometris f x (x 0 , y 0

) menyatakan gradien suatu garis singgung kurva dititik ( x 0 , y 0 , z 0 ) dimana kurva tersebut merupakan perpotongan permukaan z = f ( x , y ) dan bidang y = y 0


25

Turunan Parsial Contoh 1 Tentukan f (2 ,3 ) dan f y (2 ,3 ) dari f ( x , y ) = x 3 y 2 + x 2 y + 3 x 2 + 2 y x

Jawaban f x ( x , y ) = 3 x 2 y 2 + 2 xy + 6 x

f y (x , y ) = 2 x 3 y + x 2 + 2

f x (2 ,3 ) = 32 2 3 2 + 2.2.3 + 6.2 = 132 f y (2 ,3 ) = 22 3 3 + 2 2 + 2 = 54


26

Turunan Parsial Contoh 2

x2 y2 z 2 + + =1 Tentukan gradien garis singgung 2 2 3 2 4 2 Dititik A (1,0 , 3 ) yang terletak didalam bidang y = 0 Jawaban Dengan mengubah ke fungsi (x,y) diperoleh persamaan  x2 y2  z = ± 4 1 −  2 + 2  3  2

Karena titik A terletak di sumbu z positif, maka yang diambil adalah persamaan  x2 y2  z = 4 1− 2 + 2  2 3   Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

27

Turunan Parsial Jawaban (lanjutan) Turunan parsial terhadap x z'x =

−x  x2 y 2  1− 2 + 2  2 3  

Gradien garis singgung adalah

(

)

m = z'x 1,0 , 3 = −

2 3


28

Soal Latihan 1. Tentukan f x (0 ,−1)dan f y (0 ,−1) dari f ( x , y ) = xy 2 + x ySin( x )

( )

2. Tentukan f x (0 ,2 ) dan f y (0 ,2 ) dari f ( x , y ) = y 2Cos xy 2 + x Sin( xy ) x2 y2 3. Tentukan gradien garis singgung dari permukaan z = 2 + 2 2 3 dititik (2,3,2) yang terletak didalam bidang x = 2 x2 y2 z 2 4. Tentukan gradien garis singgung dari kerucut elips 2 + 2 − 2 = 0 4 3 2 dititik (4,0,4) yang terletak pada bidang xz


29

Maksimum dan Minimum Definisi 1. Suatu fungsi 2 peubah memiliki nilai maksimum relatif pd titik (xo, yo) jika terdapat lingkaran berpusat di (xo, yo) s.d.h f ( xo , yo ) ≥ f ( x, y ) utk setiap (x, y) di dlm lingkaran dan f memiliki nilai maksimum mutlak di (xo, yo) bila f ( xo , yo ) ≥ f ( x, y ) utk semua titik (x, y) di domain f 1.

Suatu fungsi 2 peubah memiliki nilai minimum relatif pd titik (xo, yo) jika terdapat lingkaran berpusat di (xo, yo) s.d.h f ( xo , yo ) ≤ f ( x, y ) utk setiap (x, y) di dlm lingkaran dan f memiliki f ( x o , y o ) ≤ f ( x, y ) nilai miniimum mutlak di (xo, yo) bila utk semua titik (x, y) di domain f


30

Maksimum dan Minimum Teorema : Jika f memiliki nilai ekstrim relatif pada titik (xo, yo) dan bila turunan parsialnya ada pada titik tsb maka

f x ( xo , y o ) = 0

dan

f y ( xo , y o ) = 0


31

Maksimum dan Minimum Teorema : Misal f fungsi 2 peubah dg turunan parsial orde 2 kontinu dalam beberapa lingkaran pada titik kritis (xo, yo) dan misalkan

D = f xx (xo , yo ) f yy (xo , yo ) − f xy 2 (xo , y o ) a.

Jika D > 0 dan

f xx (xo , yo ) > 0 , maka f punya minimum relative

b.

Jika D > 0 dan

f xx (xo , yo ) < 0 ,maka f punya maksimum relatif

c.

If D < 0 , maka f memiliki titik pelana (a saddle point)

d.

If D = 0 , maka tdk ada kesimpulan yg dpt digambarkan


32

Maksimum dan Minimum Contoh: Tentukan semua nilai ekstrim relatif dan titik pelana dari f (x, y ) = 4 x y − x 4 − y 4 Jawaban : Titik Kritis : ( 2) f x (x, y ) = 4 y − 4 x 3 = 0 → y = x 3 ( 1) dan f y (x, y ) = 4 x − 4 y 3 = 0 → x = y 3

(

)

x 9 − x = 0 → x x 8 −1

x = 0 , x = 1 , x = −1

dan

y = 0 , y = 1 , y = −1

( 0, 0) , ( 1, 1) , ( − 1, − 1)

Tiik Kritis :

Turunan partial orde 2: f xx (x, y ) = −12 x

2

f xy (x, y ) = 4

f yy (x, y ) = −12 y 2


33

Maksimum dan Minimum Titik Kritis

fxx

fyy

fxy

D

(0, 0)

0

0

4

-16

(1, 1)

-12

-12

4

128

(-1, -1)

-12

-12

4

128

Dari tabel, diperoleh kesimpulan : 1. Pd titik (1, 1) dan (-1, -1), D > 0 dan f xx (xo , yo ) < 0 maka maksimum relatif terjadi 2.

Pada titik (0, 0) : titik pelana karena D < 0.


34

Latihan Tentukan semua nilai maksimun/ minimum relatif, dan titik pelana 1.

f ( x, y ) = x 2 + x y + y 2 − 3 x

3 3 ( ) f x , y = x − 3 x y − y 2.

3. f (x, y ) = − y x 2 + 4 x y + 2 y 2 x 4. f (x, y ) = x 2 + y 2 +

2 xy


35

Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial

Recommend Documents