FUNGSI DAN GRAFIK Definisi Fungsi 𝑓 adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik 𝑓 𝑥 dari himpunan kedua. Himpunan nilai yag diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (jelajah).
Fungsi 𝑓
Daerah asal
Bukan Fungsi 𝑓
Daerah hasil
Daerah asal
Daerah hasil
Daerah asal dan daerah hasil
-2 -1 0 1 2
𝐹 𝑥 = 𝑥2
4 1 0
Daerah asal adalah himpunan elemen-elemen pada mana fungsi itu mendapat nilai. Notasi 𝐷𝑓 , yaitu 𝐷𝑓 = 𝑥 ∈ 𝑅 𝑓 𝑥 ∈ 𝑅 . Daerah hasil adalah himpunan nilai-nilai yang bersesuaian dengan daerah asal. Notasi 𝑅𝑓 , yaitu 𝑅𝑓 = 𝑓 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 Misalkan 𝐹 𝑥 = 𝑥 2 jika daerah asalnya adalah −2, −1, 0, 1, 2 maka daerah hasilnya adalah 0, 1, 4
Contoh: Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari: 1. 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 − 1 2. 𝑓 𝑥 = 3. 𝑥 =
1 𝑥−3 𝑥2 1+𝑥 2
Jawab: 1. Karena fungsi 𝑔 𝑥 selalu terdefinisi untuk setiap x maka 𝐷𝑔 = 𝑥 ∈ 𝑅 = −∞, ∞ 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 − 1 → 𝑅𝑔 = [−1, ∞) 2. Agar 𝑓 𝑥 ∈ ℝ, syaratnya adalah 𝑥 − 3 > 0 maka 𝐷𝑓 = 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 > 3 = (3, ∞) Karena 𝑥 − 3 > 0, maka untuk 𝑥 > 3 → 𝑅𝑓 = 0, ∞ 3. Karena penyebutnya berbentuk kuadrat, maka nilai 𝑥 mengakibatkan daerah asal fungsi adalah 𝐷 = −∞, ∞ . Untuk menentukan daerah hasilnya misal 𝑦 =
𝑥2
1+𝑥 2
terdefinisi untuk setiap nilai 𝑥. Ini
maka dapat dibentuk
KED
𝑦 1 + 𝑥2 = 𝑥2 ↔ 𝑦 − 1 𝑥2 + 𝑦 = 0 Karena fungsi bernilai real, maka persamaan kuadrat ini harus mempunyai akar real, yang syaratnya adalah diskriminan 𝐷 ≥ 0. Ini memberikan −4𝑦 𝑦 − 1 ≥ 0 ↔ 𝑦 𝑦 − 1 ≤ 0 ↔ 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 Maka 𝑅 = [0,1) Garis Lurus Jarak antara dua titik 𝑃 𝑥1 , 𝑦1 dan 𝑄 𝑥2 , 𝑦2 , dengan menggunakan terorema Phytagoras yaitu: 𝑃𝑄 =
𝑥1 − 𝑥2
2
+ 𝑦1 − 𝑦2
2
Bentuk umum persamaan garis: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 dengan 𝑎 ≠ 0 Suatu garis yang melalui titik 𝑥1 , 𝑦1 dan mempunyai gradien 𝑚 adalah 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 Suatu garis yang melalui titik 𝑥1 , 𝑦1 dan 𝑥2 , 𝑦2 adalah 𝑦 − 𝑦1 𝑥 − 𝑥1 = 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 Garis 𝑔: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 dan : 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑟 = 0 dikatakan:
Sejajar jika,
Berimpit jika
𝑎 𝑝 𝑎 𝑝
𝑏
𝑐
𝑞 𝑏
𝑟 𝑐
= ≠ = = 𝑞
Berpotongan, jika
𝑎 𝑝
𝑟
𝑏
≠ 𝑞 , dan berpotongan tegak lurus, jika 𝑎𝑝 + 𝑏𝑞 = 0, 𝑏, 𝑞 ≠ 0
Garis 𝑔: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑐 dan : 𝑦 = 𝑝𝑥 + 𝑞 dikatakan tegak lurus jika 𝑎𝑝 = −1 Jarak dari titik 𝑃 𝑥0 , 𝑦0 ke garis 𝑔: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 adalah 𝑑 𝑃, 𝑔 =
𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦𝑜 + 𝑐 𝑎2 + 𝑏 2
Sistem Koordinat Sistem koordinat kartesis terdiri dari dua sumbu, garis horizontal (sumbu x) dan garis vertikal (sumbu y) yang berpotongan tegak lurus di titik O. Grafik fungsi Misal 𝑦 = 𝑓 𝑥 , himpunan titik
𝑥, 𝑦 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 , 𝑦 ∈ 𝑅𝑓 disebut grafik fungsi 𝑓.
Secara umum cara menggambar grafik fungsi: 1. Tentukan beberapa titik koordinat yang memenuhi fungsi 2. Gambar dalam sistem koordinat 3. Hubungkan dengan menggunakan kurva halus
KED
Grafik fungsi linier 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 Cara menggambar: 1. Tentukan titik-titik potong sumbu x dan sumbu y 2. Gambar dalam sistem koordinat 3. Hubungkan titik-titik tersebut menggunakan kurva mulus.
y
Contoh: Gambarkan grafik 𝑦 = 𝑥 + 2 Titik potong dengan sumbu x
2
𝑦 = 0 ↔ 𝑥 = −2 → −2,0
-2
Titik potong dengan sumbu y
0
y
𝑥 = 0 → 𝑦 = 2 → 0,2 Garfik fungsi kuadrat 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Untuk bentuk umum fungsi kuadrat: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, maka diskriminan dari fungsi tersebut 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 Pengaruh nilai diskriminan terhadap fungsi: 1. Jika fungsi memiliki diskriminan positif maka fungsi akan memiliki dua akar real 2. Jika fungsi memiliki diskriminan negatif maka fungsi tidak akan memiliki akar real 3. Jika fungsi memiliki diskriminan sama dengan nol maka fungsi akan memiliki akar kembar Pengaruh nilai a terhadap grafik fungsi: 1. Jika 𝑎 > 0 maka grafik menghadap keatas 2. Jika 𝑎 < 0 maka grafik menghadap ke bawah Contoh: Gambarkan grafik 𝑦 = 𝑥 2 − 4 Jawab: a =1 Definit fungsi 𝑓 𝑥 , 𝐷 = 02 − 4 1 −4 = 16 > 0 Maka grafik akan menghadap keatas dan memiliki dua akar real Titik potong dengan sumbu x (akar real) 𝑦 = 0 ↔ 𝑥 2 − 4 = 0 ↔ 𝑥 = ±2 Titik potong dengan sumbu y 𝑥 = 0 ↔ 𝑦 = −4 Untuk titik-titik lain 𝑥 𝑦
-3 5
-1 -3
1 -3
3 5
KED
Operasi Fungsi 1. 2. 3. 4.
𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 daerah asalnya 𝐷𝑓 +𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 daerah asalnya 𝐷𝑓 −𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 𝑓. 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 daerah asalnya 𝐷𝑓𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 𝑓 𝑔
𝑥 =
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥
, daerah asalnya 𝐷𝑓
𝑔
= 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 − 𝑥 𝑔 𝑥 = 0
Contoh Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 dan 𝑔 𝑥 = untuk 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓. 𝑔,
𝑓 𝑔
2
dengan masing-masing daerah asal −∞, ∞ dan 3, ∞ . Cari rumus
𝑥−3
dan berikan daerah asalnya.
Jawab: 1.
𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑥2 +
2.
𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑥2 −
3. 4.
𝑓. 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔
𝑥 =
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥
=
𝑥2 2 𝑥 −3
=
2𝑥 2 𝑥−3
𝑥−3
, 𝐷𝑓+𝑔 = 3, ∞ , 𝐷𝑓−𝑔 = 3, ∞
, 𝐷𝑓𝑔 = 3, ∞
𝑥 2 𝑥 −3 2
2 𝑥−3 2
, 𝐷𝑓
𝑔
= 3, ∞
KOMPOSISI Komposit 𝒇 dengan 𝒈 adalah jika 𝑔 bekerja pada 𝑥 menghasilkan 𝑔 𝑥 dan kemudian 𝑓 bekerja pada 𝑔 𝑥 untuk menghasilkan 𝑓 𝑔 𝑥 dinyatakan 𝑓∘𝑔 =𝑓 𝑔 𝑥 . Daerah asal 𝑓 ∘ 𝑔, 𝐷𝑓 ∘𝑔 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑔 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 . Maka syarat yang harus dipenuhi agar 𝑓 ∘ 𝑔 ada (terdefinisi) adalah 𝑅𝑔 ∩ 𝐷𝑓 ≠ ∅. Dalam komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 ≠ 𝑔 ∘ 𝑓 Contoh: Diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 dan 𝑔 𝑥 =
2 𝑥−3
, tentukan 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 , 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 , 𝐷𝑓 ∘𝑔
Jawab Untuk menentukan 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 ada maka 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 → 𝐷𝑓 = −∞, ∞ , 𝑅𝑓 = [0, ∞) 𝑔 𝑥 =
2 𝑥−3
→ 𝐷𝑔 = 3, ∞ , 𝑅𝑔 = 0, ∞
𝑅𝑔 ∩ 𝐷𝑓 = 0, ∞ 𝑓∘𝑔 𝑥 =𝑓 𝑔 𝑥
=𝑓
2 𝑥−3
=
2 𝑥−3
2
=
4 𝑥−3
Untuk menentukan 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 ada maka
KED
𝑅𝑓 ∩ 𝐷𝑔 = 3, ∞ 𝑔∘𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥
= 𝑔 𝑥2 =
Daerah asal 𝑓 ∘ 𝑔, 𝐷𝑓 ∘𝑔 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑔 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 = 𝑥 ∈ 3, ∞
2 𝑥 −3
2 𝑥2
−3
∈ −∞, ∞
= 3, ∞
TRANSLASI Jika diketahui grafik fungsi 𝑦 = 𝑓 𝑥 , maka grafik fungsi 𝑦 = 𝑓 𝑥 − + 𝑘 diperoleh dengan cara menggeser grafik 𝑦 = 𝑓 𝑥 : 1. Sejauh h satuan ke kanan jika > 0 atau sejauh h satuan ke kiri jika < 0 2. Sejauh k satuan ke atas jika 𝑘 > 0 atau sejauh k satuan ke bawah jika 𝑘 < 0. Jenis-jenis Fungsi: 1. Fungsi konstanta Bentuk umum: 𝑓 𝑥 = 𝑘, dengan k adalah bilangan real. 2. Fungsi polinom (suku banyak) Bentuk umum: 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 Daerah asal untuk fungsi polinom adalah 𝑥 ∈ 𝑅 3. Fungsi rasional Bentuk umum:
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥
Dengan 𝑓 𝑥 dan 𝑔 𝑥 merupakan fungsi polinom dan 𝑔 𝑥 ≠ 0 Daerah asal untuk fungsi rasional adalah 𝑥 ∈ 𝑅 kecuali untuk 𝑥 pembuat nol penyebut. 4. Fungsi genap dan fungsi ganjil Fungsi genap: 𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥 , contoh: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 Fungsi ganjil: 𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥 , contoh: 𝑓 𝑥 = 𝑥 5. Fungsi periodik Fungsi 𝑓 𝑥 disebut periodik dengan perioda 𝑇 jika 𝑓 𝑥 + 𝑇 = 𝑓 𝑥 , contoh:𝑓 𝑥 = cos 𝑥 merupakan fungsi periodik dengan perioda 2𝜋 karena 𝑓 𝑥 + 2𝜋 = cos 𝑥 + 2𝜋 = cos 𝑥, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅
Kesamaan trigonometri sin 𝜃 =
𝑦
cos 𝜃 =
𝑥
tan 𝜃 =
𝑦
𝑟
r
𝑟
𝑥
=
cot 𝜃 =
cos 𝜃
𝑟
1
𝑥
cos 𝜃
sec 𝜃 = = csc 𝜃 =
sin 𝜃
𝑟 𝑦 𝑥 𝑦
= =
y
θ x
1 sin 𝜃 cos 𝜃 sin 𝜃
KED
Kesamaan ganjil-genap sin −𝑥 = − sin 𝑥 cos −𝑥 = cos 𝑥 tan −𝑥 = − tan 𝑥
Kesamaan ko fungsi 𝜋 sin − 𝑥 = cos 𝑥 2 𝜋 cos − 𝑥 = sin 𝑥 2 𝜋 tan − 𝑥 = cot 𝑥 2 Kesamaan sudut ganda sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥 cos 2𝑥 = cos 2 𝑥 − sin2 𝑥 = 2 cos 2 𝑥 − 1 = 1 − 2 sin2 𝑥
Kesamaan penambahan sin 𝑥 ± 𝑦 = sin 𝑥 cos 𝑦 ± cos 𝑥 sin 𝑦 cos 𝑥 ± 𝑦 = cos 𝑥 cos 𝑦 ∓ sin 𝑥 sin 𝑦 tan 𝑥 ± tan 𝑦 tan 𝑥 ± 𝑦 = 1 ∓ tan 𝑥 tan 𝑦 Kesamaan jumlah 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 sin 𝑥 + sin 𝑦 = 2 sin cos 2 2 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 cos 𝑥 + cos 𝑦 = 2 cos cos 2 2
Kesamaan phytagoras sin2 𝑥 + cos 2 𝑥 = 1 1 + tan2 𝑥 = sec 2 𝑥 1 + cot 2 𝑥 = csc 2 𝑥
Kesamaan setengah sudut 1 − cos 2𝑥 sin2 𝑥 = 2 1 + cos 2𝑥 2 cos 𝑥 = 2 Kesamaan hasilkali 1 sin 𝑥 sin 𝑦 = − cos 𝑥 + 𝑦 − cos 𝑥 − 𝑦 2 1 cos 𝑥 cos 𝑦 = cos 𝑥 + 𝑦 + cos 𝑥 − 𝑦 2 1 sin 𝑥 cos 𝑦 = sin 𝑥 + 𝑦 + sin 𝑥 − 𝑦 2
KED
