Fungsi Bernilai Vektor

Fungsi Bernilai Vektor

1

Definisi Fungsi bernilai vektor adalah suatu aturan yang memadankan setiap t  R dengan tepat satu vektor 

F (t )  R 2(3) Notasi :

f : R  R 2 ( 3) t

F (t )  f1 (t )i  f 2 (t ) j  f1 (t ), f 2 (t ) 

t







F (t )  f1 (t ) i  f 2 (t ) j  f3 (t ) k

dengan

f1 (t ), f 2 (t ), f3 (t ) fungsi bernilai real 2

Contoh :

1. F (t )  t  2 iˆ  (t  3)1 ˆj

2. F (t )  cos t iˆ  sin t ˆj  kˆ 2 3. F (t )  ln  t 

ˆ  i  6  t ˆj 

Daerah Asal (DF )



DF  t  R | t  D f1  D f2  D f3 



Daerah Hasil (RF )



RF  F (t )  R3 | t  DF

 3



Contoh : Tentukan Domain dari F (t ) 



t  2 i  (t  3)

1



j

Jawab : f1 (t )  t  2  D f 1  [2, )

f 2 (t )  (t  3)1  D f 2  R  {3} Jadi

   t  R t [2, )  R  3

DF  t  R t  D f 1  D f 2

  t [2, )  3  [2,3)  (3, ) 4

2 2. F (t )  ln   iˆ  6  t ˆj t Jawab:

2 f1 (t )  ln   t

 D f1  (0, )

f 2 (t )   6  t

 D f2  (, 6]



DF  t  R t  D f 1  D f 2



 t  R t  (0, )  (,6]  (0,6] 5

Latihan Tentukan daerah asal dari fungsi vektor berikut

1. F (t )  (t  4) iˆ  t ˆj 2. F (t )  t iˆ  4  t 2 ˆj 1 ˆ 3. F (t )  i  t ˆj (t  4)

4. F (t ) 

1 4 t

iˆ  t 2 ˆj 6

Persamaan Parameter Persamaan kurva di ruang dalam bentuk parameter: x  f1 (t ) ; y  f 2 (t ) ; z  f3 (t ) , t  I Contoh :

1. F (t )  cos t iˆ  sin t ˆj  t kˆ

 x  cos t , y  sin t , z  t

2. F (t )  (t  4) iˆ  t ˆj

 x  (t  4) , y  t

7

Garis Garis adalah himpunan semua titik P sehingga

z

P0=(x0,y0,z0)

 w0

P0 P  t v

P(x,y,z)

 w

 v x

y 8

P0 P  t v

v = vektor yang sejajar dengan garis

w0  w  t v

w  w0  t v Jika



(Persamaan garis dalam bentuk vektor)

w  x, y, z 



w0  x0 , y 0 , z 0 



v  a, b, c 

Maka persamaan garis dalam bentuk parameter:

x  x0  at

y  y0  bt z  z 0  ct 9

Contoh 1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4,-5,2) dan sejajar vektor<-1,2,3> Jawab:

x, y, z  4,5, 2  t  1, 2, 3 Persamaan parameter garis itu:

x  4t y  5  2t

z  2  3t

10

Contoh 2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,-3,-1) dan (5,-1,-4) Jawab: Vektor yang sejajar dengan garis tersebut adalah

v  5  2, 1  3,  4  1  3, 2, 3 Pilih titik (2,-3,-1)

Sehingga Persamaan parameter garis tersebut:

x  2  3t ; y  3  2t ; z  1  3t 11

Latihan 1. Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui pasangan titik yang diberikan: a. (1, -2, 3), (4 , 5, 6) b. (2, -1, 5), (7, -2, 3) c. (4, 2, 3), (6, 2, -1)

2. Tuliskan persamaan parameter garis yang melalui titik yang diberikan dan sejajar terhadap vektor yang diberikan a. (4,-6,3), <-2,1,5> b. (2,5,-3) , <,-1,4,2> 12

Grafik Fungsi Bernilai Vektor  Misalkan F (t )  f1 (t ) iˆ  f 2 (t ) ˆj Df=[a,b] [

y  f (a)

] atb

c  f (t) f(b)

x

Jika t berubah sepanjang [a,b]  ujung-ujung f ( t ) menjelajahi lengkungan (kurva) C dengan arah tertentu f (a) disebut titik pangkal lengkungan C f (b) disebut titik ujung lengkungan C

Jika f (a)  f (b)  kurva C disebut kurva tertutup 13

Grafik fungsi vektor 

Grafik fungsi bernilai vektor berupa lengkungan/kurva di R2(3) dengan arah tertentu



Cara menggambar grafik fungsi vektor : 1. Tentukan persamaan parameter dari kurva 2. Tentukan persamaan Cartesius kurva(eliminasi parameter t ) dan gambarkan 3. Tentukan arahnya

14

Contoh Gambarkan grafik fungsi vektor

1. F (t )  3cos t iˆ  2sin t ˆj ; 0  t  2 Persamaan parameternya: x = 3 cos t  x/3 = cos t y = 2 sin t



cos2 t + sin2 t =1 2 2 x  y       1 (ellips) 3  2

y/2 = sin t

Arahnya

F (0)  3 ˆ i  (3, 0)  F( )  2 ˆ j  (0, 2) 2 F ( )  3 ˆ i  (3, 0) 3 F ( )  2 ˆ j  (0,  2) 2 F (2 )  3 ˆ i  (3, 0)

y

2

C

3

-3

x

-2 15

2. F (t )  (t  4) iˆ  t ˆj ; 0  t  4 Persamaan parameternya:

x t 4 t  x4

y t

y  x  4  x  y2  4 (parabola)

y

Arahnya:

C

2

F (0)  4 iˆ  (4,0)

F (4)  2 ˆj  (0, 2)

-4

x

16

Latihan Gambarkan grafik fungsi vektor berikut:

1. F (t )  t iˆ  4  t 2 ˆj ;  2  t  2 2. F (t )  4  t 2 iˆ  t ˆj ;  2  t  2

3. F (t )   4t  1 iˆ  2t ˆj ; 0  t  3 4. F (t )   t 2  2t  iˆ  t  3 ˆj ;  2  t  3

5. F (t )  t iˆ  a 2  t 2 ˆj ;  a  t  a 17

Ekivalen  Fungsi f (t ) dan g (t ) disebut ekivalen jika f (t ) dan g (t )



menjelajahi suatu lengkungan C yang sama dengan arah yang sama pula. Contoh

f (t )  a cos t iˆ  a sin t ˆj , 0  t   g (t )  t iˆ  a 2  t 2 ˆj ,  a  t  a

Norm

Misalkan f (t )  f1 (t ) iˆ  f 2 (t ) ˆj  f3 (t ) kˆ maka norm dari f (t )

f (t ) 

 f1 (t )    f2 (t )    f3 (t )  2

2

2

18

Sifat fungsi vektor   ˆ ˆ ˆ Misalkan f (t )  f1(t ) i  f2(t ) j  f3(t ) k dan g(t )  g1(t )ˆi  g2(t )ˆj  g3(t ) kˆ

    1. f (t ). g(t )  f1(t ) g1(t )  f2(t ) g2(t )  f3(t ) g3(t )  f (t ) g(t ) cos 

 adalah sudut antara dua vektor tersebut ˆ ˆj i kˆ   f (t ) f3(t ) f (t ) f3(t ) f (t ) f2 (t ) ˆ ˆ ˆj  1 2. f (t ) x g(t )  f1(t ) f2(t ) f3(t )  2 i  1 k g2 (t ) g3(t ) g1(t ) g3(t ) g1(t ) g2 (t ) g1(t ) g2 (t ) g3(t )





  3. c f (t )  g(t )  c f1(t )  g1(t )ˆ i  c f2(t )  g2(t )ˆ j  c f3(t )  g3(t )kˆ

c =konstanta 19

Limit Definisi

lim f (t )  L    0   0  0  t  a    f (t )  L   t a

y

Ilustrasi

 f(t) - L

 f(t)

.

( a- a

) a+

ε L

x

20

Teorema Misalkan f (t )  f1 (t ) iˆ  f 2 (t ) ˆj , maka f (t ) mempunyai limit di a  f1(t) dan f2(t) mempunyai limit di a, dan



 



lim f (t )  lim f1 (t ) iˆ  lim f 2 (t ) ˆj t a

t a

t a

Contoh: Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan):

 t 2  9 ˆ t 2  t  6 ˆ 1. lim  i  2 j t  3 t 9 t 3 

 sin t ˆ t 2. lim  i  t t 0  t e

3. lim ln(t 2 ), t ln t t 0

 ˆ j  21

Jawab  t 2  9 ˆ t 2  t  6 ˆ t2  9 ˆ t2  t  6 ˆ 1. lim  i  2 j   lim i  lim j 2 t  3 t   3 t   3 t 3 t 9 t 9 t 3 

t  3t  3 ˆi  lim t  3t  2 ˆj t  3 t  3 t  3t  3 t 3 t  2 ˆ ˆ  lim t  3 i  lim  j t  3 t  3

 lim

t  3

 sin t ˆ t 2. lim  i  t t 0 e  t

 ˆ j 

5   6ˆ i  ˆj 6 sin t ˆ t  lim i  lim t ˆ j t 0 t  0 t e

 ˆ i  0ˆ j ˆ i

22

3. lim ln(t 2 ), t ln t t 0



lim ln(t 2 ), lim t ln t

t 0

t 0

karena lim ln(t 2 )   (tidak ada) t 0

Maka lim ln(t 2 ), t ln t tidak ada t 0

23

Latihan Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan):  t  2 ˆ t 2  t  6 ˆ 1. lim  2 i  j t 2 t 2 t  4 

 sin t ˆ t 2  1 2. lim  i  2 t   t 2t  3t 3. lim e1 / t , t 0

ˆj  

1 t

24

Turunan Definisi: Misalkan

f (t )  f1 (t ) iˆ  f 2 (t ) ˆj  f3 (t ) kˆ

 f1 (t  h) iˆ  f 2 (t  h) ˆj  f3 (t  h) kˆ    f1 (t ) iˆ  f 2 (t ) ˆj  f3 (t ) kˆ     f '(t )  lim  h 0 h  f (t  h)  f1 (t ) ˆ f 2 (t  h)  f 2 (t ) ˆ f3 (t  h)  f3 (t ) ˆ   lim  1 i j k h 0 h h h   f3 (t  h)  f3 (t ) ˆ f1 (t  h)  f1 (t ) ˆ f 2 (t  h)  f 2 (t ) ˆ  lim i  lim j  lim k h 0 h  0 h  0 h h h

 f1 '(t ) iˆ  f 2 '(t ) ˆj  f3 '(t )kˆ Jadi f '(t )  f1 '(t ) iˆ  f 2 '(t ) ˆj  f3 '(t ) kˆ 25

Contoh 2 2t 1. Diketahui f (t )  (2t  3) iˆ  e ˆj. Tentukan f '(0) dan f ''(0)

Jawab

i.

f '(t )  2  2 t  3 2 iˆ  2e2t ˆj  8 t  12 iˆ  2e2t ˆj f '(0)  12 iˆ  2 ˆj

ii.

f "(t )  8 iˆ  4e2t ˆj f ''(0)  8 iˆ  4 ˆj

26

Contoh 2. Diketahui

f (t )  cos 2t iˆ  et ˆj

Tentukan

a. f '(t ) dan f ''(t )

b. sudut antara f '(0) dan f ''(0) Jawab a. f '(t )  2sin 2t iˆ  et ˆj , b. f '(0)  ˆj ;

cos  

f ''(t )  4cos 2t iˆ  et ˆj

f "(0)  4iˆ  ˆj

f '(0). f "(0) f '(0) f "(0)

1  17



 1    cos   17   1

27

Latihan 1. Diketahui

f (t )  tan 1 t iˆ  t e2t ˆj  ln t 2  1 kˆ

Tentukan f '(0)

2. Diketahui

f ''(0)

r (t )  e2t iˆ  ln(t 3 ) ˆj

Tentukan 3. Tentukan

dan

Dt [r (t ).r '(t )] dan

r '(t )



t



r "(t )

ˆi  et 2 ˆj

a.

r (t )  e  e

b.

r (t )  tan t iˆ  2t 5/ 3 ˆj

t

28

Arti Geometris z Df=[a,b] [

Vektor

P

  f(t  h) - f(t)

 f(t)

c  f(t  h)

] a t b

O y x f (t  h)  f (t ) , h  0 searah dengan vektor f (t  h) - f (t )

h

Jika h 0, maka lim h 0

f (t  h)  f (t )  f '(t ) h

merupakan vektor singgung pada kurva C di titik P pada saat t  D f Arti Geometris f '(t ) : Vektor Singgung 29

Garis Singgung  P f ' (t 0 )

z Df=[a,b] [

 f(t 0 )

] atb

x

O

c

y

Persamaan garis singgung pada kurva C pada titik P adalah

x (t )  f (t0 )  t f '(t0 ) atau

 x, y, z   f1 (t0 ), f 2 (t0 ), f3 (t0 )  t  f1 '(t0 ), f 2 '(t 0), f3 '(t0 )  30

Contoh Diketahui

f (t )  cos t iˆ  sin t ˆj  t kˆ

Tentukan persamaan garis singgung di titik P (–1, 0, ). Jawab: t0 = waktu saat P tercapai, yaitu t0 = 

f '(t )   sin t iˆ  cos t ˆj  kˆ f '( )  0 iˆ  (1) ˆj  kˆ

 0,  1, 1 

f ( )  (1) iˆ  0 ˆj   kˆ

  1,0,  

Persamaan parameter garis singgung di titik P (–1, 0, ) adalah x = –1, y = – t , z =  + t

31

Latihan 1. Diketahui

f (t )  3sin t iˆ  4cos t ˆj

Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 4).

2. Diketahui

f (t )  et sin t iˆ  et cos t ˆj  1  t 2  kˆ

Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 1, 1).





2 3. Diketahui f (t )   2t  2  iˆ  3 t  2 ˆj

Tentukan persamaan garis singgung di titik P (–2, –2).

32

Gerak Sepanjang Kurva Misalkan t menyatakan waktu dan P titik yang bergerak ditentukan oleh persamaan parameter  x = f(t); y = g(t). maka r (t )  f (t ) iˆ  g (t ) ˆj

menyatakan vektor posisi dari titik P.

 Jika t berubah  ujung vektor r ( t ) bergerak sepanjang lintasan titik P. Gerak ini dinamakan Gerak Sepanjang Kurva (Gerak Curvilinear)

33

Definisi

Contoh

1. Kecepatan  v( t ) titik P adalah 1. Gerak Linear      ˆ ˆ r ( t )  p  h ( t ) q v(t )  r ' (t )  f ' (t ) i  g' (t ) j    p, q vektor tetap; h(t ) fungsi real v( t ) di sebut laju titik P  2. Gerak pada Lingkaran 2. Percepatan a ( t ) titik P    r (t )  a cos t ˆi  a sin t ˆj , a  0 a (t )  r ' ' (t )  f ' ' (t ) ˆi  g' ' (t )ˆj  a ( t ) di sebut besar percepatan 3. Gerak pada ellips  pada saat t r (t )  a cos t ˆi  b sin t ˆj , a, b  0 4. Gerak pada heliks Lingkaran

 r (t )  a cos t ˆi  a sin t ˆj  bt kˆ 34

Contoh Gerak Sepanjang Kurva Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah x = 3 cos t dan y = 2 sin t (t = waktu) a. Gambarkan grafik lintasan P. b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan percepatan c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan pada saat mana nilai itu dicapai

35

Jawab a. Persamaan parameter x = 3 cos t  x/3 = cos t y = 2 sin t



y/2 = sin t y  v (t) 2 P

cos2 t + sin2 t =1 2 2 x y        1 (ellips) 3 2

. 

a(t)

3

-3

x

-2

 i  2 sin t ˆ j b. r (t )  3 cos t ˆ   r ' (t )  v(t )  3 sin t ˆ i  2 cos t ˆ j    ˆ ˆ r " (t )  a(t )  3 cos t i  2 sin t j  r (t ) 36

 v(t )  9 sin 2 t  4 cos 2 t



 5 sin 2 t  4 sin 2 t  4 cos 2 t  5 sin 2 t  4 sin 2 t  cos 2 t

 5 sin 2 t  4 b. Laju maks = 3, dicapai saat sin t = ±1, atau t = /2, 3/2 yaitu pada titik (0, ±2) Laju min = 2, dicapai saat sin t = 0, atau t = 0,  yaitu pada titik (±3, 0)

37



Latihan Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah x = 4 cos t dan y = 3 sin t (t = waktu) a. Gambarkan grafik lintasan P. b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan percepatan c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan pada saat mana nilai itu dicapai

38

Kelengkungan Andaikan atb,

 r (t )  f (t ) iˆ  g (t ) ˆj vektor posisi titik P.

Panjang lintasan s dari P(a) ke P(t) adalah b

s 

f ' (u)

2

t

 g' (u )  du  

a

2

 r ' (u ) du

a

Laju titik yang bergerak itu adalah

 ds   r ' (t )  v (t ) dt dt 1   ds v (t )

39

 Definisi. Vektor Singgung Satuan di P,

y

 Notasi T (t ) didefinisikan sbb    r ' (t ) v (t ) T (t )     r ' (t ) v (t ) o  Apabila P bergerak  T (t ) berubah arah  dT disebut vektor kelengkungan di P ds

x

40

 dT  Kelengkungan di P;  (kappa).   ds Dengan aturan rantai diperoleh     dT dT dt 1 T ' (t )   T ' (t )    ds dt ds v (t ) v (t )   T ' (t ) dT   Jadi   ds v (t ) dan

1 R 

disebut jari-jari kelengkungan

41

Contoh: Tentukan kelengkungan dan jari-jari kelengkungan dari

 1. r (t )  8 cos3 t ˆ i  8 sin3 t ˆ j , di titik P pada t   Jawab:   r ' (t )  v(t )  24 cos2 t sin t ˆ i  24 sin2 t cos t ˆ j  v(t )  24 cos 4 t sin 2 t  sin4 t cos2 t

12

 24 cos 2 t sin 2 t (cos2 t  sin2 t )  24 cos t sin t   v(t ) T (t )     cos t ˆ i  sin t ˆj v(t )  T ' (t )  sin t ˆ i  cos t ˆ j  T ' (t ) sin2 t  cos2 t 1 1  (t )      v(t ) 24 cos t sin t 24 cos t sin t 12 sin 2t 42

 ( )  12

1

1

1 1        1 6 12 sin 2  12 sin   12 .  12  6 2    1 R   6 (Jari-jari kelengkungan)



Jadi kelengkungan () kurva diatas di t= /12 adalah 1/6, Sedangkan jari-jari kelengkungannya (R) adalah 6

43

Latihan Tentukan vektor singgung satuan, kelengkungan dan jari-jari kelengkungan di titik yang diberikan

 1. r (t )  et sin t iˆ  et cos t ˆj , di titik P pada t   2  2 2. r (t )  2t iˆ  t  1 ˆj , di titik P pada t  1  3. r (t )  4t 2 iˆ  4t ˆj , di titik P pada t  1 2  4. r (t )  8 sin t iˆ  8 cos t ˆj  4t kˆ, di titik P pada t    5. r (t )  sin 3t iˆ  cos 3t ˆj  t kˆ , di titik P pada t  

6

9

44

Teorema Andaikan x = f (t) dan y = g (t) adalah persamaan parameter kurva yang mulus. Maka



x' y" y ' x"

x'   y'  2

3

2

2

Khususnya, untuk kurva dengan persamaan y =g(x), berlaku



y"

1   y'  2

3

2

45

Contoh

1. Tentukan kelengkungan elips

x = 2 cos t, y = 3 sin t pada titik t = 0 dan t = /2 Jawab: x’ = –2 sin t x” = –2 cos t

y’ = 3 cos t y” = –3 sin t

Kita peroleh 2 2 x' y" y ' x" 6 sin t  6 cos t   3 2 2 2  x '   y '  2 sin t  2  3 cos t  2









3

 2

4 sin

6 2

t  9 cos t 2



3

2

Sehingga

 (0) 

4 sin

6 2

0  9 cos 0 2



3

 2

6

9 2 3

2  9

 6 3 ( )   3 2  4 2   2   2 4 sin  9 cos       2  2   46

2. Tentukan kelengkungan kurva y = x2 di P(1, 1) Jawab: y’ = 2x Kita peroleh



y” = 2

y"

1   y'  2

3

 2

2

1  2x 

2 32

Sehingga

 1 

2

1  2.1 

2 32



2 53 / 2

2 5  25

47

Latihan Tentukan kelengkungan kurva berikut di titik P

1. 2. 3. 4.

y = x2 – x, di P(1,0) r(t)=(t+t3) i + (t+t2) j , di P(2,2) r(t)=2t2 i + (4t+2) j , di P(2,-2) r(t)=4(1 – sint) i + 4(t+cos t) j , di P(8,6)

48