Fungsi Analitik
Fungsi Harmonik
Fungsi Analitik (Bagian Keempat) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:
[email protected],
[email protected]
(Pertemuan Minggu VII)
Fungsi Analitik
Outline
1
Fungsi Analitik
2
Fungsi Harmonik
Fungsi Harmonik
Fungsi Analitik
Fungsi Harmonik
Fungsi Analitik Fungsi kompleks f dikatakan analitik (atau regular/holomorpik) pada himpunan terbuka A jika f 0 (z) ada untuk setiap z ∈ A. Apabila himpunan E tidak terbuka, maka fungsi f dikatakan analitik pada E jika f analitik pada suatu himpunan terbuka A yang memuat E. Khususnya, fungsi f dikatakan analitik di titik z0 jika f analitik di suatu persekitaran z0 . Example (a) Diberikan f (z) = z1 . Karena f 0 (z) ada untuk stiap z 6= 0, maka f analitik di setiap z 6= 0. (b) Pada Contoh terdahulu telah ditunjukkan bahwa f (z) = |z|2 mempunyai turunan hanya di titik z = 0, sedangkan di titik z 6= 0, f 0 (z) tidak ada. Jadi, f tidak analitik di mana-mana.
Fungsi Analitik
Fungsi Harmonik
Fungsi Analitik
Titik di mana suatu fungsi analitik disebut titik analitik fungsi tersebut. Sedangkan titik z0 di mana fungsi f tidak analitik, tetapi di suatu titik di setiap persekitaran z0 f analitik, disebut titik singular f . Dari Contoh sebelumnya, z 6= 0 dan z = 0 masing-masing merupakan titik analitik dan titik singular f (z) = z1 . Sedangkan f (z) = |z|2 tidak mempunyai titik analitik maupun titik singular.
Fungsi Analitik
Fungsi Harmonik
Fungsi Analitik
Sifat-sifat aljabar fungsi analitik secara langsung dapat diturunkan dari sifat-sifat turunan. Theorem Jika f dan g analitik di titik z0 dan c ∈ C, maka f + g, cf , danfg masing-masing analitik di z0 , dan apabila g(z0 ) 6= 0, maka gf juga analitik di z0 . Mudah ditunjukkan bahwa f (z) = z analitik di setiap z0 ∈ C.
Fungsi Analitik
Fungsi Harmonik
Fungsi Analitik
Berdasarkan sifat-sifat di atas Pn (z) = a0 z n + a1 z n−1 + a2 z n−2 + . . . + an analitik pula di setiap z0 ∈ C. Fungsi yang analitik di seluruh bidang kompleks C disebut fungsi utuh (entire function). Dari uraian sebelumnya, mudah ditunjukkan bahwa apabila fungsi f dan fungsi g masing-masing analitik pada E dan D, dengan f (E) ⊂ D, maka (g ◦ f ) analitik pada E. 2 Jadi, f (z) = ( z−1 z−i ) analitik keculai di titik z = i.
Fungsi Analitik
Fungsi Harmonik
Fungsi Analitik
Teorema di bawah ini menerangkan sifat fungsi analitik yang cukup bermanfaat di dalam teori fungsi kompleks. Theorem Jika f analitik pada D dan f 0 (z) = 0 untuk setiap z ∈ D, maka f konstan pada D.
Fungsi Analitik
Fungsi Harmonik
Fungsi Harmonik
Sebagaimana telah dijelaskan pada definisi fungsi analitik, jika fungsi f analitik di titik z0 , maka f 0 (z) ada untuk setiap z di dalam suatu persekitaran z0 . Sementara, bagaimana hubungannya dengan turunan-turunan partial u dan v tidak dijelaskan. Di dalam bagian ini, akan dijelaskan hubungan antara fungsi analitik f (z) = u(x, y ) + iv (x, y ) dengan turunan-turunan partial u dan v . Dalam kaitannya dengan hal itu, berikut diberikan pengertian fungsi harmonik.
Fungsi Analitik
Fungsi Harmonik
Fungsi Harmonik
Definition Fungsi dua perubah H(x, y ) yang didefinisikan pada suatu domain D ⊂ C dikatakan harmonik pada D jika H mempunyai turunan-turunan partial sampai dengan tingkat dua, masing-masing kontinu pada D, dan memenuhi ∂ 2 H(x, y ) ∂ 2 H(x, y ) + =0 ∂x 2 ∂y 2 Persamaan (1) pada definisi di atas dikenal dengan nama persamaan differensial Laplace.
(1)
Fungsi Analitik
Fungsi Harmonik
Example Fungsi H(x, y ) = xy 3 − x 3 y merupakan fungsi harmonik pada bidang D = R2 , sebab Hx , Hy , Hxx , Hxy , Hyx , dan Hyy semua ada dan kontinu pada D, dan berlaku Hxx (x, y ) + Hyy (x, y ) = 0 untuk setiap (x, y ) ∈ D.
Fungsi Analitik
Fungsi Harmonik
Fungsi Harmonik Diberikan fungsi f (z) = u(x, y ) + iv (x, y ) yang analitik pada domain D. Artinya, f 0 (z) ada untuk setiap z ∈ D. Oleh karena itu, di z ∈ D berlaku persamaan Cauchy-Riemann ux = vy
dan
uy = −vx
Apabila kedua ruas masing-masing persamaan pada (2) diturunkan terhadap x, maka diperoleh uxx = vyx
dan
uyx = −vxx
dan apabila diturunkan terhadap y , maka uxy = vyy
dan
uyy = −vxy
Selanjutnya, apabila semua turunan partial u dan v kontinu pada D, maka uxy = uyx dan vxy = vyx . Akibatnya, diperoleh uxx + uyy = 0
dan
vxx + vyy = 0,
(2)
Fungsi Analitik
Fungsi Harmonik
Fungsi Harmonik
Diberikan dua fungsi sebarang u(x, y ) dan v (x, y ) yang masing-masing harmonik di dalam domain D. Fungsi v dikatakan merupakan sekawan harmonik (harmonic conjugate) u jika turunan-turunan partial v dan u memenuhi persamaan Cauchy-Riemann pada D. Jadi, apabila f (z) = u(x, y ) + iv (x, y ) ana- litik pada suatu domain D, maka v merupakan sekawan harmonik u pada D. Sebaliknya, apabila v merupakan sekawan harmonik u pada D, maka fungsi f (z) = u(x, y ) + iv (x, y ) analitik pada D.
Fungsi Analitik
Fungsi Harmonik
Fungsi Harmonik
Dengan demikian telah dibuktikan pernyataan berikut ini. Theorem Fungsi f (z) = u(x, y ) + iv (x, y ) analitik pada suatu domain D jika dan hanya jika v merupakan sekawan harmonik u pada D. Example Tunjukkan bahwa u(x, y ) = 4x 3 y − 4xy 3 + x harmonik di seluruh bidang-xy. Selanjutnya, tentukan fungsi utuh f (z) = u(x, y ) + iv (x, y ).
