Fungsi Analitik (Bagian Kedua)

Limit Menuju Tak Hingga

Fungsi Kontinu

Fungsi Analitik (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:[email protected], [email protected]

(Pertemuan Minggu V)

Turunan (Derivative)


Fungsi Kontinu

Outline

1


2

Fungsi Kontinu

3

Turunan (Derivative) Rumus-rumus Turunan



Fungsi Kontinu


Limit menuju tak hingga

Pada kuliah terdahulu telah dijelaskan titik di tak hingga di dalam bidang kompleks diperluas (extended complex plane). Apabila w = z1 dan > 0 konstanta real cukup kecil, maka himpunan {z : |z| < } akan berkorespondensi 1-1 dengan himpunan {w : |w| > 1 }. Karena di dalam bidang kompleks diperluas, titik 0 oleh w = z1 dipetakan ke titik ∞, maka himpunan {w : |w| > 1 } disebut persekitaran titik ∞. Dengan adanya pengertian persekitaran titik ∞ ini, selanjutnya dapat didefinisikan pengertian limit f (z) untuk z menuju titik tak hingga.


Fungsi Kontinu



Definition limz→∞ f (z) = L jika untuk setiap bilangan real > 0 terdapat bilangan M > 0 sehingga untuk setiap z ∈ Df dengan |z| > M berakibat |f (z) − L| <


Fungsi Kontinu


Contoh

Example Tunjukkan limz→∞

1 z

= 0.

Bukti: Diberikan bilangan real > 0 sebarang. Jika M = 1 , maka M > 0 dan untuk setiap z dengan |z| > M berlaku |

1 1 1 − 0| = | | < = . z z M


Fungsi Kontinu

Sifat-sifat

Theorem limz→∞ f (z) = L jika dan hanya jika limz→0 f ( z1 ) = L.



Fungsi Kontinu



Example (i) limz→∞

z+1 z−i

= 1 sebab 1 z +1 z→0 1 − i z

lim

(ii) limz→∞ lim

z→0

z 2 +z−1 3z 2 −i 1 z2

=

+

1 z

3 z2

−i

1 3

−1

= lim

z→0

1+z 1+0 = =1 1 − iz 1−0

sebab 1 + z − z2 1+0−0 1 = = 3−0 3 z→0 3 − iz 2

= lim


Fungsi Kontinu


Limit Menuju Tak Hingga Definition limz→z0 f (z) = ∞ jika untuk setiap bilangan real M > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap z ∈ Df dengan 0 < |z − z0 | < δ berakibat |f (z)| > M Example 1 z−i

Tunjukkan limz→i

= ∞.

Bukti: Diberikan bilangan real M > 0. Jika diambil δ = maka untuk setiap z dengan 0 < |z − i| < δ berakibat |

1 1 1 |= > = M. z −i |z − i| δ

1 M,


Fungsi Kontinu



Theorem limz→z0 f (z) = ∞ jika dan hanya jika limz→z0

1 f (z)

Example limz→2i

z+1 z−2i

= ∞ sebab lim

1

z→2i ( z+1 ) z−2i

= lim

z→2i

z − 2i =0 z +1

=0


Fungsi Kontinu


Limit Menuju Tak Hingga Definition limz→∞ f (z) = ∞ jika untuk setiap bilangan real M > 0 terdapat bilangan N > 0 sehingga untuk setiap z ∈ Df dengan |z| > N berakibat |f (z)| > M. Theorem limz→∞ f (z) = ∞ jika dan hanya jika limz→0

1 f ( z1 )

=0

Example limz→∞ (z 2 + 2i) = ∞ sebab lim

z→0 12 z

1 z2 0 = lim = =0 2 1+0 z→0 1 + 2iz + 2i


Fungsi Kontinu


Fungsi Kontinu

Pada pengertian limit, dapat dilihat meskipun limz→z0 f (z) ada, namun f (z0 ) belum tentu terdefinisikan, dan kalaupun f (z0 ) ada, maka nilainya belum tentu sama dengan limz→z0 f (z). Pada bagian ini, akan dipelajari fungsi f sehingga memenuhi sifat-sifat i. f (z0 ) ada (terdefinisikan), ii. limz→z0 f (z) ada, dan iii. limz→z0 f (z) = f (z0 ).

Fungsi f yang demikian dikatakan kontinu di z0 .


Fungsi Kontinu


Fungsi Kontinu

Definition Fungsi f dikatakan kontinu di z0 ∈ Df jika untuk setiap bilangan real > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap z ∈ Df dengan |z − z0 | < δ berlaku |f (z) − f (z0 )| < Fungsi f dikatakan kontinu pada A ⊂ Df jika f kontinu di setiap z ∈ A. Example Fungsi f (z) = z 2 kontinu di setiap c ∈ C.


Fungsi Kontinu


Fungsi Kontinu

Dalam kaitannya dengan fungsi real dua perubah, maka diperoleh teorema sebagai berikut. Theorem Diketahui f (z) = u(x, y ) + iv (x, y ) dan z0 = x0 + iy0 . Fungsi f kontinu di z0 jika dan hanya jika u(x, y ) dan v (x, y ) keduanya kontinu di (x0 , y0 ). Lebih lanjut, jika f dan g kontinu di z0 dan c ∈ C, maka dapat ditunjukkan bahwa f + g, cf , dan fg kontinu di z0 . Demikian pula, gf kontinu di z0 asalkan g(z0 ) 6= 0.


Fungsi Kontinu


Turunan Diberikan fungsi f dengan domain definisi Df dan titik z0 ∈ Df . Turunan f di titik z0 , ditulis dengan notasi f 0 (z0 ), didefinisikan sebagai f (z0 + ∆z) − f (z0 ) , ∆z ∆z→0

f 0 (z0 ) = lim

(1)

asalkan nilai limit di ruas kanan ada. Apabila di dalam persamaan (1) didefinisikan z0 + ∆z = z, maka definisi turunan f di titik z0 dapat pula ditulis sebagai f 0 (z0 ) = lim

z→z0

f (z) − f (z0 ) , z − z0

(2)


Fungsi Kontinu


Turunan Apabila pada persamaan (1) titik z0 diambil sebarang di dalam Df dan indeks ditanggalkan, maka diperoleh f (z + ∆z) − f (z) , ∆z ∆z→0 yaitu turunan f di sebarang titik z. Apabila w = f (z) dan f 0 (z) = lim

(3)

∆w = f (z + ∆z) − f (z) maka persamaan (3) dapat ditulis kembali sebagai f 0 (z) = lim

∆z→0

∆w ∆z

dw Selanjutnya, lim∆z→0 ∆w ∆z dinotasikan dz . 0 Jadi, selain f (z), turunan w = f (z) juga dapat dinotasikan dengan dw dz . Notasi ini dikenal dengan nama notasi Liebniz.


Fungsi Kontinu


Turunan

Example Diberikan fungsi f (z) = z1 . Di sebarang titik z ∈ Df , ∆w = lim lim ∆z→0 ∆z→0 ∆z

1 z+∆z

− ∆z

1 z

= lim

∆z→0

−∆z 1 =− 2 (z + ∆z)z∆z z

Jadi, f 0 (z) = − z12 . Example Tunjukkan bahwa f (z) = |z|2 tidak mempunyai turunan di setiap z 6= 0.


Fungsi Kontinu


Bukti: Perhatikan bahwa ∆w |z + ∆z|2 − |z|2 (z + ∆z)(z + ∆z) − zz ∆z = = = z+∆z+z( ) ∆z ∆z ∆z ∆z Andaikan f 0 (z) ada, maka lim∆z→0 ∆w ∆z ada dan nilainya tidak bergantung kepada cara pendekatannya. Apabila limit diambil sepanjang kurva ∆y = 0, maka lim

∆z→0

∆w =z +0+z ∆z

(4)

Sedangkan, disepanjang kurva ∆x = 0, diperoleh lim

∆z→0

∆w =z +0−z ∆z

(5)

Karena lim∆z→0 ∆w ∆z ada, maka dari (4) dan (5) diperoleh z = 0. 0 Jadi, f (z) ada hanya di titik z = 0.


Fungsi Kontinu


Turunan

Pada Contoh kedua telah ditunjukkan bahwa untuk z 6= 0, f 0 (z) tidak ada, tetapi dapat ditunjukkan bahwa f kontinu di manapun, khususnya di z 6= 0. Sedangkan pada Contoh yang pertama, f 0 (z) ada untuk setiap z ∈ Df dan dapat ditunjukkan bahwa f kontinu pada Df . Adakah hubungan antara turunan dan kekontinuan? Jawaban dari pertanyaan ini diberikan di dalam teorema berikut. Theorem Jika f 0 (z0 ) ada, maka f kontinu di z0 .


Fungsi Kontinu


Turunan

Example Fungsi f dengan rumus

f (z) =

 

xy x 2 +2y 2



2 3

+ i(x 2 + 2xy ) , z 6= 0 ,z = 0

tidak mempunyai turunan di z = 0, karena f tidak kontinu di z = 0.


Fungsi Kontinu

Rumus-rumus Turunan

Rumus-rumus Turunan

Theorem (i) (ii)

d(c) dz = 0 untuk setiap c ∈ C. d(z n ) n−1 untuk setiap n dz = nz

∈ N.



Fungsi Kontinu


Rumus-rumus Turunan

Rumus-rumus Turunan Theorem Jika f dan g keduanya mempunyai turunan di titik z dan c ∈ C, maka f + g, cf , fg, dan gf mempunyai turunan di z asalkan untuk yang terakhir g(z) 6= 0, dan (i) (ii) (iii) (iv)

d(f (z)+g(z)) (z) = dfdz + dg(z) dz dz , d(cf (z)) df (z) = c dz , dz df (z)g(z) df (z) = f (z) dg(z) dz dz + g(z) dz , f (z) d( g(z) )

dz

=

g(z)

df (z) dg(z) −f (z) dz dz (g(z))2

dan

.

Berdasarkan definisi turunan dan Teorema terdahulu, dapat ditunjukkan d(z n ) = nz n−1 , n∈Q dz


Fungsi Kontinu


Rumus-rumus Turunan

Contoh

Example (a) Jika f (z) = f 0 (z) =

√

z(z 2 + 1) maka

√ z2 + 1 1 df (z) √ 1 = z(2z+0)+(z 2 +1)( )(z − 2 ) = 2z z+ √ dz 2 2 z

(b) Diberikan f (z) = f 0 (z) =

z z+1 ,

maka

df (z) (z + 1).1 − z.(1 + 0) 1 = = 2 dz (z + 1) (z + 1)2


Fungsi Kontinu


Rumus-rumus Turunan

Rumus-rumus Turunan

Sebagaimana halnya di dalam kalkulus, di dalam fungsi kompleks ini juga dikenal konsep turunan fungsi bersusun (aturan rantai). Theorem (Aturan Rantai) Jika g mempunyai turunan di z dan f mempunyai turunan di g(z), maka fungsi w(z) = f (g(z)) mempunyai turunan di z, dan w 0 (z) = f 0 (g(z))g 0 (z)


Fungsi Kontinu


Rumus-rumus Turunan

Contoh

Example Tentukan turunan dari f (z) =

√

z 4 + z 2 + 3.

Penyelesaian: Namakan u = z 4 + z 2 + 3 dan w = f (z) = maka dengan Teorema sebelumnya, diperoleh f 0 (z) =

√

1 dw du 2z 3 + z = √ (4z 3 + 2z + 0) = √ . du dz 2 u z4 + z2 + 3

u,

Fungsi Analitik (Bagian Kedua)

Recommend Documents