ESTIMASI PARAMETER MODEL ARMA UNTUK PERAMALAN DEBIT AIR SUNGAI MENGGUNAKAN GOAL PROGRAMMING

ESTIMASI PARAMETER MODEL ARMA UNTUK PERAMALAN DEBIT AIR SUNGAI MENGGUNAKAN GOAL PROGRAMMING Nama: Zahroh Atiqoh 1205 100 021 Dosen Pembimbing: Dra. Nuri Wahyuningsih, MKes Drs. Sulistiyo, MT Jurusan Matematika Fakultas Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2010 Abstrak Peramalan debit air sungai merupakan salah satu langkah untuk mengantisipasi ketidakstabilan aliran sungai. Salah satu metode yang dapat digunakan dalam peramalan debit air sungai adalah metode time series. Model ARMA (autoregressive moving average) merupakan salah satu model time series. Pada proses peramalan, setelah identifikasi model dilakukan estimasi parameter. Untuk mengestimasi parameter model ARMA digunakan pendekatan conditional least square dan selanjutnya dioptimalkan dengan menggunakan goal programming. Model ARMA untuk rata-rata bulanan debit air sungai Brantas stasiun pengamatan Kediri adalah: 𝑍"𝑡 = 𝜇 + 𝜙1 𝑍"𝑡−1 + 𝜙2 𝑍"𝑡−2 + 𝑎𝑡 − 𝜃1 𝑎𝑡−1 − 𝛩1 𝑎𝑡−12 − 𝜃1 𝛩1 𝑎𝑡−13 𝑍"𝑡 = 𝜇 + 𝐴𝑅1𝑍"𝑡−1 + 𝐴𝑅2𝑍"𝑡−2 + 𝑎𝑡 − 𝑀𝐴1𝑎𝑡−1 − 𝑆𝑀𝐴1𝑎𝑡−12 − 𝑀𝐴1𝑆𝑀𝐴1𝑎𝑡−13

Dengan: 𝐴𝑅1 = 0,791156, 𝐴𝑅2 = 0,000, 𝑀𝐴1 = 0,000, 𝑆𝑀𝐴1 = 0,000, 𝐶𝑚 = 0,450847, 𝑍𝑡 " =

ln 𝑍𝑡

Kata kunci: debit air, time series, ARMA, goal programming. 1.

Pendahuluan Air merupakan sumber daya alam yang memiliki manfaat bagi keberlangsungan hidup manusia serta makhluk hidup lainnya. Sungai merupakan tempat dan wadah serta jaringan pengaliran air dari mata air sampai ke muara (Suharti, 2004). Setiap sungai memiliki beberapa Daerah Aliran Sungai (DAS) yang berfungsi penting dalam mendukung pembangunan ekonomi yang berkelanjutan. Maka perlu dilakukan langkah-langkah untuk mengantisipasi ketidakstabilan aliran sungai. Salah satunya adalah dengan peramalan debit air sungai. Salah satu metode umum dalam peramalan debit air sungai adalah dengan menggunakan analisis time series berdasarkan data masa lalu yang relevan. Seiring berkembangnya pengetahuan, analisis time series mengalami perubahan dalam dekade terakhir. Meskipun demikian, masih terdapat aplikasi-aplikasi dimana estimasinya akurat untuk digunakan dalam analisis time series, seperti model Autoregressive Moving Average (ARMA). (Mohammadi, 2006). Cuaca saat ini semakin sulit diprediksi, hal ini berakibat pula pada debit air sungai yang semakin sulit diprediksi, terutama saat musim hujan. Oleh karena itu, perlu digunakan metode untuk mengestimasi parameter model ARMA yang bisa memprediksi debit air sungai dengan meminimalkan nilai penyimpangan. Metode yang dapat digunakan adalah goal programming. Goal programming merupakan pengembangan dari linier programming (LG). Goal programming diperkenalkan oleh Charnes dan Cooper pada awal tahun enam puluhan. Teknik ini disempurnakan dan diperluas oleh Ijiri pada pertengahan tahun enam puluhan, dan penjelasan yang lengkap dengan beberapa aplikasi, dikembangkan oleh Ignizio dan Lee pada tahun tujuh puluhan. Dalam goal programming semua tujuan digabungkan dalam sebuah fungsi tujuan. Ini dapat dilakukan dengan mengekspresikan tujuan itu dalam bentuk sebuah kendala (goal constraint), memasukkan 1

suatu variabel simpangan (deviational variable) dalam kendala tersebut, dan menggabungkan variabel simpangan dalam fungsi tujuan. Tujuan goal programming adalah meminimumkan penyimpanganpenyimpagan dari tujuan-tujuan tertentu. (Mulyono, 2004). Tujuan dari tugas akhir ini adalah untuk menerapkan goal programming dalam teknik hidrologi, yaitu dalam mengestimasi parameter model ARMA untuk peramalan debit air sungai. Tujuannya adalah untuk meminimalkan kesalahan perkiraan-perkiraan dalam time series. 2.

ARMA Peramalan merupakan suatu teknik untuk memprediksi suatu nilai pada masa yang akan datang dengan memperhatikan data masa lalu maupun saat ini. Secara umum, metode peramalan dibagi dalam dua kelompok utama, yaitu metode kualitatif (subjektif) dan metode kuantitatif (Salamah dkk., 2003). Time series adalah serangkaian pengamatan terhadap suatu variabel yang diambil dari waktu ke waktu dan dicatat secara berurutan menurut urutan waktu kejadiannya dengan interval waktu yang tetap (Wei, 1994). Data yang dianalisis time series haruslah stasioner dalam varian dan mean. Beberapa model time series diantaranya ialah model autoregressive (AR), model moving average (MA), dan model autoregressive moving average (ARMA). Model Autoregressive Moving Average merupakan model campuran dari model autoregressive dan moving average. Bentuk umum model ARMA (p,q) adalah(Makridakis dkk., 1999): Z t    1 Z t 1  ...   p Z t  p  at  1 at 1  ...   q at q atau  p ( B)Z t     q ( B)at dengan: : besarnya pengamatan (kejadian) pada waktu ke-t Zt : konstanta model 

at

: nilai kesalahan pada waktu ke-t 𝜙1 , 𝜙2 , … , 𝜙𝑝 : parameter autoregressive 𝜃1 , 𝜃2 , … , 𝜃𝑞 : parameter moving average ARMA (p,q)(P,Q)S adalah model ARMA reguler dan ARMA musiman. Bentuk umum ARMA (p,q)(P,Q)S adalah:  P ( B S ) p BZ t     q B Q ( B S )at dengan: 1 ,  2 ,...,  P : parameter autoregressive musiman 1 ,  2 ,...,  Q : parameter moving average musiman 2.1 Identifikasi Syarat terpenting yang harus dipenuhi agar data dapat diolah dengan metode time series adalah stasioner, baik dalam mean maupun varian (Wei, 1990). Sebuah deret disebut stasioner jika sifat statistiknya bebas dari waktu periode selama pengamatan (Makridakis dkk.,1999). Untuk mengatasi ketidakstationeran dalam varian perlu dilakukan transformasi terlebih dahulu. Transformasi yang biasa digunakan adalah transformasi Box-Cox (Wei, 1990). Nilai 𝜆 (parameter transformasi) yang umum digunakan dalam transformasi Box-Cox dapat dilihat pada Tabel 2.1. Tabel 2.1 Transformasi Box-Cox  -1 -0.5 0 0.5

Transformasi 1/𝑍𝑡 1/ 𝑍𝑡 ln 𝑍𝑡

1

Zt (tidak ditransformasi)

𝑍𝑡

2

2.2. Estimasi dan Uji Signifikansi Parameter Pada penelitian ini metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter Model ARMA adalah Conditional Least Squares (CLS) dengan bentuan software Minitab. Model ARMA yang baik adalah model yang menunjukkan bahwa penaksiran parameternya signifikan. Secara umum, misalkan  adalah suatu parameter pada model ARMA dan ˆ adalah nilai taksiran dari parameter tersebut, serta SE (ˆ) adalah standar error dari ˆ , maka uji kesignifikanan parameter dapat dilakukan dengan hipotesa sebagai berikut: Hipotesa: H0 :   0 H1 :   0 Statistik uji: t

ˆ SE (ˆ)

H0 ditolak jika

t t

 , df  n  n p 2

dengan: np : banyaknya parameter yang ditaksir atau H0 ditolak jika P-value <  . 2.3. Diagnostic Checking dan Overfitting Pemeriksaan diagnostik pada residual meliputi uji asumsi white noise (independen dan identik) dan berdistribusi normal. Pengujian dengan menggunakan uji L-jung Box dilakukan dengan hipotesa sebagai berikut: Hipotesa: H0 : 1   2  ...   k  0 H1 : minimal ada satu nilai  k  0 , k = 1, 2,..., K. Statistik uji: K

Q  nn  2 (n  k ) 1 ˆ k2 k 1

dengan: K : lag maksimum n : banyak pengamatan ˆ k : sampel ACF residual pada lag-k. Daerah Kritis : H0 ditolak jika Q   2 (1 ); df  K  p q dimana p dan q adalah order dari ARMA. Untuk mengetahui apakah residual berdistribusi normal atau tidak dilakukan uji Kolmogorov Smirnov dengan hipotesa sebagai berikut (Daniel, 1989): Hipotesa: H0 : F (a t )  F0 (a t ) H1 : F (a t )  F0 (a t ) Statistik Uji: D  Sup S (a t )  F0 (a t ) at

dengan: S (a t ) : fungsi peluang kumulatif yang dihitung dari data sampel. F0 (a t ) : fungsi peluang kumulatif distribusi yang dihipotesiskan. F (at ) : fungsi distribusi yang belum diketahui Sup

: nilai supremum untuk semua a t .

3

Daerah Kritis: H0 ditolak jika D  D1 ,n  atau P-value <  , dengan  = 5%. Salah satu prosedur diagnostic checking yang dikemukakan oleb Box dan Jenkins adalah overfitting. Yaitu penggunaan beberapa parameter lebih banyak daripada yang diperlukan. Ini merupakan prosedur yang berguna meskipun memerlukan banyak waktu. 2.4. Goal Programming Goal programming merupakan salah satu teknik optimasi dari beberapa tujuan yang dikembangkan dari linier programming dalam riset operasi. Bentuk umum dari goal programming yang digunakan dalam mengestimasi parameter model ARMA adalah (Mohammadi dkk., 2006): 𝑚𝑖𝑛 𝑁𝑇 m = 1,2,3,...,12 (2.3) 𝑖=1 𝑈𝑚 × 𝐸𝑃𝑖 + 𝑉𝑚 × 𝐸𝑁𝑖 dan fungsi kendalanya adalah: 𝐴𝑅1 × 𝑋𝑖−1 + ⋯ + 𝐴𝑅𝑛 × 𝑋𝑖−𝑛 − 𝑀𝐴1 × 𝑅𝑖−1 … + 𝑀𝐴𝑛 × 𝑅𝑖−𝑛 + 𝑆𝐴𝑅1 × 𝑋𝑖−12 + ⋯ + 𝑆𝐴𝑅𝑛 × 𝑋𝑖−𝑛×12 − 𝑆𝑀𝐴1 × 𝑅𝑖−12 + ⋯ + 𝑆𝑀𝐴𝑛 × 𝑅𝑖−𝑛×12 + 𝐶𝑚 − 𝐸𝑃 + 𝐸𝑁 < 1 + 𝑑𝑖𝑣𝑖 × 𝑋𝑖 𝐴𝑅1 × 𝑋𝑖−1 + ⋯ + 𝐴𝑅𝑛 × 𝑋𝑖−𝑛 − 𝑀𝐴1 × 𝑅𝑖−1 + ⋯ + 𝑀𝐴𝑛 × 𝑅𝑖−𝑛 + 𝑆𝐴𝑅1 × 𝑋𝑖−12 + ⋯ + 𝑆𝐴𝑅𝑛 × 𝑋𝑖−𝑛×12 − 𝑆𝑀𝐴1 × 𝑅𝑖−12 + ⋯ + 𝑆𝑀𝐴𝑛 × 𝑅𝑖−𝑛×12 + 𝐶𝑚 − 𝐸𝑃 + 𝐸𝑁 > 1 − 𝑑𝑖𝑣𝑖 × 𝑋𝑖 0 ≤ 𝐸𝑃𝑖 ≤ 𝐸𝑑𝑖𝑣 × 𝑋𝑖 0 ≤ 𝐸𝑁𝑖 ≤ 𝐸𝑑𝑖𝑣 × 𝑋𝑖

dengan: 𝐴𝑅1 , … , 𝐴𝑅𝑛 𝑀𝐴1 , … , 𝑀𝐴𝑛 𝑆𝐴𝑅1 , … , 𝑆𝐴𝑅𝑛 𝑆𝑀𝐴1 , … , 𝑆𝑀𝐴𝑛 𝑉𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑈𝑚 𝐸𝑃 𝑑𝑎𝑛 𝐸𝑁 𝑑𝑖𝑣 𝐸𝑑𝑖𝑣 𝑋 𝑅 𝐶𝑚 𝑁𝑇

: parameter autoregressive : parameter moving average : parameter autoregressive musiman : parameter moving average musiman : koefisien deviasi bulanan dari nilai sebenarnnya : error relatif positif dan negatif : error relatif untuk peramalan : error relatif maksimum untuk peramalan : nilai data : nilai residual : konstanta dalam model : jumlah data

2.5. Pemilihan Model Terbaik Untuk menentukan model terbaik dapat digunakan beberapa kriteria antara lain kriteria in-sample dan out-sample. Kriteria in-sample antara lain AIC dan SBC. Kriteria out-sample antara lain RMSE dan MAPE. Penjelasan mengenai kriteria pemilihan model adalah sebagai berikut:

a.

AIC (Akaike’s Information Criterion) Kriteria AIC dirumuskan sebagai berikut (Wei, 1990): 2 AIC(M)  n ln ˆ a  2M dengan; n : banyaknya residual ˆ a2 : estimasi dari varians residual M : jumlah parameter dalam model

b.

SBC (Schwart’z Bayesian Criterion) Schwartz (1978) di dalam Wei (1990) menggunakan kriteria Bayesian dalam pemilihan model terbaik yang disebut dengan SBC dengan perumusan sebagai berikut: SBC(M)= n ln ˆ a2  M ln n

c.

Mean Square Error (MSE) Kriteria MSE dirumuskan sebagai berikut

 Z n

MSE 

t 1

t

 Zˆ t



2

n

4

Pada penelitian ini akan digunakan kriteria RMSE (Root Mean Square Error), dengan nilai RMSE = MSE .

d.

Mean Absolute Percentage Error (MAPE) Kriteria MAPE dirumuskan sebagai berikut : n

 MAPE 

t 1

Z t  Zˆ t Zt n

 100 %

3. Debit Air Dalam hidrologi dikemukakan, debit air sungai adalah, tinggi permukaan air sungai yang terukur oleh alat ukur pemukaan air sungai. Pengukurannya dilakukan tiap hari, atau dengan pengertian yang lain debit atau aliran sungai adalah laju aliran air (dalam bentuk volume air) yang melewati suatu penampang melintang sungai per satuan waktu. Dalam sistem satuan SI besarnya debit dinyatakan dalam satuan meter kubik per detik (m3/dt). 4.

Metodologi Penelitian

4.1. Pembentukan model ARMA Pada pembentukan model ARMA dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: a. Data dibagi menjadi dua, yaitu data in sample dan data out sample. b. Melakukan identifikasi Model ARMA dengan langkah sebagai berikut:

i.

Membuat time series plot untuk melihat kestationeran data, jika data belum stationer dalam varian maka dilakukan transformasi.

ii. c. d. e. f. g.

Membuat plot Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF) dari data yang sudah stasioner. Melakukan estimasi dan uji signifikansi parameter model ARMA (p, q)(P,Q)s. Melakukan diagnostic checking, yang meliputi uji residual white noise dan uji kenormalan residual. Melakukan overfitting yaitu mencoba beberapa model yang lain. Melakukan estimasi parameter model ARMA menggunakan goal programming sebagai pengoptimalan dari hasil estimasi parameter model yang telah dilakukan sebelumnya. Melakukan seleksi model untuk menentukan model terbaik dengan menghitung nilai AIC, SBC, RMSE, MAPE dari seluruh model yang mungkin.

4.2. Peramalan Peramalan debit sungai dilakukan dengan memanfaatkan model yang telah diperoleh.

4.3. Penarikan Kesimpulan Dari hasil pembahasan dapat disimpulakn beberapa hal sebagai berikut: a. Diperoleh model yang sesuai dan terbaik untuk memprediksi debit air sungai. b. Penggunaan model yang telah diperoleh untuk memprediksi debit air sungai pada periode mendatang. Program yang digunakan dalam penelitian ini adalah Minitab dan LINDO. 5. Hasil Penelitian 5.1. Identifikasi Model Identifikasi model dilakukan dengan pemeriksaan plot time series, ACF dan PACF untuk variabel input jumlah debit air sungai Brantas rata-rata bulanan. Tahap identifikasi model dapat dilihat dari plot time series dan plot Box-Cox, selain itu dapat juga dilihat dari plot ACF. Jika pada plot BoxCox nilai rounded value mendekati 1 maka data sudah stasioner dalam varian. Karena model yang dicari adalah model ARMA, maka data diasumsikan stasioner dalam mean dan tidak perlu dilakukan differencing. Untuk deret in sample menggunakan data debit air mulai dari januari tahun 2000 sampai desember tahun 2008 dan untuk deret out sample menggunakan data debit air mulai januari tahun 2009 sampai april tahun 2010. Untuk mengetahui apakah data sudah stasioner varian harus dilakukan plot time series. Dari plot Box-Cox pada Gambar 5.1 diperoleh 𝜆 = 0 sehingga data debit air belum stasioner dalam varian. Untuk mengatasi ketidakstationeran dalam varians perlu dilakukan transformasi 𝑍 ′ = ln 𝑍. Setelah 5

dilakukan transformasi 𝑍 ′ = ln 𝑍 diperoleh plot time series dan plot Box-Cox seperti dalam Gambar 5.2. Dari gambar tersebut diperoleh 𝜆 = 0,50 sehingga data debit air belum stasioner dalam varian 1

1

dan perlu dilakukan transformasi 𝑍" = 𝑍′2 = ln 𝑍. Setelah dilakukan transformasi 𝑍" = 𝑍′2 = ln 𝑍 diperoleh plot time series dan plot Box-Cox seperti dalam Gambar 5.3. Time Series Plot of debit ait (in sampel)

Box-Cox Plot of debit ait (in sampel)

350

Upper C L Lambda (using 95,0% confidence)

300 250

600

Estimate

-0,05

500

Lower C L Upper C L

-0,36 0,29

Rounded Value

200

StDev

debit ait (in sampel)

Lower C L

700

150

300

100

200

50

100

0

Limit

0 1

11

22

33

44

55 Index

66

77

88

0,00

400

99

-5,0

-2,5

0,0 Lambda

2,5

5,0

Gambar 5.1 Plot Time Series dan Box-Cox (In Sample) Debit Air Stasiun Kediri Time Series Plot of transformasi 1

Box-Cox Plot of transformasi 1

6,0

Lower C L

0,36

Upper C L Lambda (using 95,0% confidence)

0,35

5,5

Estimate

4,5

0,67

Lower C L Upper C L

0,33

5,0

StDev

transformasi 1

0,34

-0,79 2,10

Rounded Value

0,50

0,32 0,31 0,30

4,0

0,29 0,28

3,5

Limit

0,27 1

11

22

33

44

55 Index

66

77

88

99

-5,0

-2,5

0,0 Lambda

2,5

5,0

Gambar 5.2 Plot Time Series dan Box-Cox Transformasi 𝑍 ′ = ln 𝑍 Box-Cox Plot of transformasi 2

Time Series Plot of transformasi 2 2,4

0,069

2,3

0,068

2,2

0,067

Lower C L

Upper C L Lambda

StDev

transformasi 2

(using 95,0% confidence)

2,1

Estimate

1,35

Lower C L Upper C L Rounded Value

-1,51 4,35 1,00

0,066

2,0

0,065

1,9

0,064

Limit

0,063

1,8 1

11

22

33

44

55 Index

66

77

88

-5,0

99

-2,5

0,0 Lambda

2,5

5,0

1

Gambar 5.3 Plot Time Series dan Box-Cox Transformasi 𝑍" = 𝑍′2 = ln 𝑍 Pada Gambar 5.3 terlihat bahwa data debit air sudah stasioner dalam varian karena diperoleh λ=1. Autocorrelation Function for transformasi 2

Partial Autocorrelation Function for transformasi 2 (with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

1,0

0,8

0,8

0,6

0,6

Partial Autocorrelation

Autocorrelation

(with 5% significance limits for the autocorrelations)

1,0

0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8

0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8

-1,0

-1,0 2

4

6

8

10

12

14 Lag

16

18

20

22

24

26

2

4

6

8

10

12

14 Lag

16

18

1 2

20

22

Gambar 5.4 Plot ACF dan PACF Transformasi 𝑍" = 𝑍′ = ln 𝑍 Debit Air 5.2. Estimasi dan Uji Signifikansi Parameter Tabel 5.1 Estimasi Parameter Debit Air Model ARMA(2,2)(0,0) Par Estimasi Standart Error t hitung P value 0 1,6762 0,0478 35,04 𝜙1 0 -0,9295 0,0443 -20,98 𝜙2 0 1,1324 0,0988 11,47 𝜃1 0 -0,5336 0,0975 -5,47 𝜃2 0 0,547726 0,003166 173,03 𝜇 6

24

26

Pada Gambar 5.4 pola dari ACF adalah cuts off setelah lag 2 dan pola dari PACF adalah cuts off setelah lag 2. Maka untuk sementara, model yang diduga adalah ARMA(2,2)(0,0). Selanjutnya akan dilakukan estimasi parameter dan pengujian signifikansi parameter dari model tersebut dengan menggunakan statistik uji t-student dengan 𝛼 = 5%. Hasil estimasi parameter dapat dilihat pada tabel 5.1 kolom 2 dan pengujian signifikansi masing-masing parameter adalah sebagai berikut: Uji Signifikansi Parameter 𝝓𝟏 Hipotesis: 𝐻0 : 𝜙1 = 0 𝐻1 : 𝜙1 ≠ 0 Statistik Uji : 𝜙1 1,6762 𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = = = 35,04 0,0478 𝑠𝑑 𝜙1 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 𝑡𝛼 ,𝑛−𝑝−𝑞−1 = 𝑡0,025,103 = 1,98326 2

Karena |𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 | > 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 atau 𝑝 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 0 < 0,05 maka H0 ditolak artinya parameter 𝜙1 signifikan. Begitu juga untuk uji signifikansi parameter 𝜇, 𝜙2 , 𝜃1 dan 𝜃2 dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti pada parameter 𝜙1 . Berdasarkan hasil uji signifikasi paramater 𝜇, 𝜙1 , 𝜙2 , 𝜃1 dan 𝜃2 dapat disimpulkan bahwa pada model ARMA(2,2)(0,0) semua parameternya signifikan. 5.3. Diagnostic Checking dan Overfitting Ada dua asumsi yang harus dipenuhi dalam menentukan kecukupan model, yaitu residual bersifat white noise dan berdistribusi normal. Pengujian asumsi residual white noise dapat dilakukan dengan menggunakan uji Ljung-Box dengan 𝛼 = 5% sebagai berikut : Hipotesis: Ho ∶ 𝜌1 = 𝜌2 = ⋯ = 𝜌𝑘 = 0 H1 ∶ minimal ada satu 𝜌𝑗 ≠ 0, dengan 𝑗 = 1, 2, ⋯ , 𝐾 Statistik uji Ljung-Box : 𝐾

𝑄 =𝑛 𝑛+2 𝑘=1

𝜌𝑘 2 , 𝑛−𝑘

𝑛>𝑘

Untuk K = 12 maka: 𝑄 = 108 108 + 2

𝜌𝑘 2 12 𝑘=1 108 −𝑘

= 17,723

2 𝜒𝛼2 ,𝐾−𝑝−𝑞−1 = 𝜒0.05,7 = 14,0671 Dengan cara yang sama seperti perhitungan 𝑄 di atas maka untuk K = 12, 24, 36, dan 48 hasil 𝑄 2 yang diperoleh dapat dilihat pada Tabel 5.2. Karena pada lag 12 dan 24 𝑄 > 𝜒0.05,7 atau 𝑝 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 0,05 maka H0 ditolak artinya residual tidak white noise.

Tabel 5.2 Uji Asumsi Residual White noise ARMA(2,2)(0,0) 𝝌𝟐𝜶,𝑲−𝒑−𝒒−𝟏 Lag Q P-value 12 17,7 14,0671 0,013 24 30,3 30,144 0,049 36 40,3 44,9853 0,122 48 56,2 59,3035 0,085 Sedangkan pengujian asumsi distribusi normal dapat dilakukan dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov dengan 𝛼 = 5%. Pengujian ini dapat dilakukan melalui hipotesis sebagai berikut :

7

Hipotesis : H0 ∶ 𝐹 𝑥 = 𝐹0 (𝑥) H1 ∶ 𝐹 𝑥 ≠ 𝐹0 (𝑥) Statistik uji : D  Sup S ( x)  F0 ( x)  0,040014778 x

D ,n  D0.05,108  0,11739 Karena 𝐷 < 𝐷0.05,108 maka H0 diterima artinya residual model berdistribusi normal. Hal ini sesuai dengan hasil yang ada pada Gambar 5.5 yaitu 𝑝 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 0,150 > 0,05 yang berarti residual model berdistribusi normal. Probability Plot of (2,2)(0,0) Normal

99,9

Mean StDev N KS P-Value

99 95

Percent

90

0,0005779 0,08038 108 0,046 >0,150

80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0,1

-0,3

-0,2

-0,1

0,0 (2,2)(0,0)

0,1

0,2

0,3

Gambar 5.5 Plot Kenormalan Residual Model ARMA(2,2)(0,0) Dari hasil pengujian parameter signifikan, residual tidak white noise dan residual berdistribusi normal dapat disimpulkan bahwa model ARMA(2,2)(0,0) tidak sesuai untuk deret in sample debit air stasiun Kediri. Selanjutnya dilakukan overfitting dengan melihat kemungkinan model-model yang lain, yaitu ARMA(2,1)(0,0), ARMA(2,1)(0,1)12, ARMA(2,1) (0,2)12 , ARMA(1,0)(1,1)12.

Dari estimasi parameter, uji signifikansi parameter, uji residual white noise, dan uji kenormalan residual, maka model ARMA(2,1)(0,0) dan ARMA (2,1)(0,1)12 memenuhi kecukupan model. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 5.6. Tabel 5.3 Estimasi dan Uji Signifikansi Model ARMA (2,1)(0,0)

(2,1)(0,1)12

(2,1)(0,2)12

(1,0)(1,1)12

Parameter 𝜙1 = 1,5433 𝜙2 = -0,7494 𝜃1 = 0,6341 𝜇 = 0,4458 𝜙1 = 1,4903 𝜙2 = -0,6733 𝜃1 = 0,6657 𝛩1 = -0,3204 𝜇 = 0,3965 𝜙1 = 1,5061 𝜙2 = -0,6958 𝜃1 =0,6509 𝛩1 = -0,2895 𝛩2 = 0,0805 𝜇 = 0,4106 𝜙1 = 0,6702 𝛩1 = 1,0041 𝛷1 = 0,8882 𝜇 = -0,0032

thitung

ttabel

14 -8,98 4,3 149,66 9,78 -6,45 3,62 -3,34 113,28 10,75 -6,89 3,74 -2,79 0,73 120,93 9,07 40,12 9,77 1,77

1,98304

1,98326

1,98350

1,983

8

P value 0 0 0 0 0 0 0 0,001 0 0 0 0 0,006 0,469 0 0 0 0 0,079

Keputusan signifikan signifikan signifikan signifikan signifikan signifikan signifikan signifikan signifikan signifikan signifikan signifikan signifikan Tidak signifikan signifikan signifikan signifikan signifikan Tidak signifikan

Tabel 5.4 Uji Residual White Noise Model ARMA (2,1)(0,0)

(2,1)(0,1)12

(2,1)(0,2)

12

(1,0)(1,1)12

Lag

Q

𝝌𝟐𝜶,𝑲−𝒑−𝒒

12 24 36 48 12 24 36 48 12 24 36 48 12 24 36 48

12,95 27,6 41,9 57,7 8,1 24,8 38,6 55,3 7,6 23,5 36,1 54,1 7,4 24,1 33,1 42,1

15,5073 31,4104 46,1943 60,4809 14,0671 30,1435 44,9853 59,3035 12,5916 28,8693 43,7730 58,1240 15,5073 31,4104 46,1943 60,4809

P value 0,114 0,118 0,112 0,081 0,323 0,168 0,164 0,099 0,264 0,171 0,206 0,100 0,494 0,328 0,415 0,525

Kepu tusan white noise white noise white noise white noise white noise white noise white noise white noise white noise white noise white noise white noise white noise white noise white noise white noise

Tabel 5.5 Uji Kenormalan Residual Model ARMA

D

(2,1)(0,0)

0,04309

>0,150

(2,1)(0,1)12

0,04639

>0,150

D ,n

P value

0,1174 12

0,00339

>0,150

(1,0)(1,1)12

0,03699

>0,150

(2,1)(0,2)

Kepu tusan mengikuti distribusi normal mengikuti distribusi normal mengikuti distribusi normal mengikuti distribusi normal

Tabel 5.6 Kecukupan Model Model ARMA (2,2)(0,0) (2,1)(0,0) (2,1)(0,1)12 (2,1)(0,2)12 (1,0)(1,1)12

Uji Signifikansi signifikan signifikan signifikan tidak signifikan tidak signifikan

Uji Residual White Noise tidak white noise white noise white noise white noise white noise

Uji Kenormalan Residual berdistribusi normal berdistribusi normal berdistribusi normal berdistribusi normal berdistribusi normal

5.4.

Estimasi Parameter menggunakan Goal Programming Dari dua model yang telah memenuhi kecukupan model, akan dilakukan estimasi atau penaksiran parameternya dengan menggunakan goal programming. Tujuannya adalah untuk meminimalisasi deviasi. ARMA (2,1)(0,0) Dengan menggunakan persamaan (2.3) didapatkan: 𝐴𝑅1 = 0,756629, 𝐴𝑅2 = 0, 𝑀𝐴1 = 0, dan 𝐶𝑚 = 0,53481 ARMA (2,1)(0,1)12 Dengan menggunakan persamaan (2.3) didapatkan: 𝐴𝑅1 = 0,791156, 𝐴𝑅2 = 0, 𝑀𝐴1 = 0, 𝑆𝑀𝐴1 = 0 dan 𝐶𝑚 = 0,450847 Metode goal programming dapat meminimalkan deviasi atau penyimpangan pada deret out sampel. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 5.7. Oleh karena itu, model ARMA yang parameternya telah diestimasi menggunakan goal programming lebih akurat (dari pada yang sebelum diestimasi menggunakan goal programming) untuk digunakan pada peramalan debit air. Tabel 5.7 Mean Absolut Error Mode ARMA (2,1)(0,0) (2,1)(0,1)12

Metode CLS GP CLS GP

Mean absolut error Deret in sample Deret out sample 0,067793 0,097768 0,073034 0,083665 0,065012 0,095023 0,071197 0,075543

9

5.5. Pemilihan Model Terbaik Tabel 5.8 Seleksi Model Model ARMA (2,1)(0,0) (2,1)(0,1)12

In sample AIC SBC -496,01 -485,358 -446,55 -433,731

Out sample RMSE MAPE 0,09768 3,8544% 0,09186 3,4486%

Dari hasil Tabel 5.8, terlihat bahwa model ARMA(2,1)(0,1)12 adalah model terbaik untuk peramalan debit air karena memiliki nilai RMSE dan MAPE yang lebih kecil dibandingkan dengan model yang lain. 5.6. Peramalan Hasil peramalan delapan periode berikutnya berdasarkan model yang diperoleh adalah sebagai berikut: Tabel 5.9 Peramalan Debit Air (dalam m3/ detik) Periode Ramalan Periode Ramalan Mei 2010 191,5882 September 2010 132,5817 Juni 2010 168,0118 Oktober 2010 126,3893 Juli 2010 152,2268 November 2010 121,7165 Agustus 2010 140,8916 Desember 2010 118,1544 6.

Penutup Dari analisa yang dilakukan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut: a. Model yang sesuai untuk peramalan debit air sungai Brantas pada stasiun pengamatan Kediri adalah: ARMA(2,1)(0,1)12 atau: 𝑍"𝑡 = 𝜇 + 𝜙1 𝑍"𝑡−1 + 𝜙2 𝑍"𝑡−2 + 𝑎𝑡 − 𝜃1 𝑎𝑡−1 − 𝛩1 𝑎𝑡−12 − 𝜃1 𝛩1 𝑎𝑡−13 𝑍"𝑡 = 𝜇 + 𝐴𝑅1𝑍"𝑡−1 + 𝐴𝑅2𝑍"𝑡−2 + 𝑎𝑡 − 𝑀𝐴1𝑎𝑡−1 − 𝑆𝑀𝐴1𝑎𝑡−12 − 𝑀𝐴1𝑆𝑀𝐴1𝑎𝑡−13

dengan: 𝐴𝑅1 = 0,791156, 𝐴𝑅2 = 0,00 , 𝑀𝐴1 = 0,00, 𝑆𝑀𝐴1 = 0,00, 𝐶𝑚 = 0,450847, 𝑍𝑡 " =

ln 𝑍𝑡

b. Rata-rata debit air sungai pada bulan Mei tahun 2010 sampai dengan Desember tahun 2010 adalah 143,82 m3/detik dan standar deviasinya adalah 25,15 m3/detik. Pada penelitian ini menggunakan data rata-rata bulanan. Maka disarankan pada penelitian selanjutnya menggunakan data yang lebih banyak seperti rata-rata harian. Selain itu, disarankan pula menggunakan goal programming untuk mengestimasi parameter model selain ARMA, seperti ARIMA, ARFIMA, maupun model yang lainnya. Daftar Pustaka Daniel, W. W. 1989. Statistika Non Parametrik Terapan. Jakarta: Penerbit PT. Gramedia. Makridakis, W. M. G. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan. Edisi kedua. Bina Rupa Aksara. Jakarta. Mohammadi, K., Eslami H.R., dan Kahwita R. May 2006. Parameter estimation of an ARMA model for rifer flow forecasting using goal programming. Journal of Hydrology 331, 293-299. Mulyono, S. 2004. Operation Research. Jakarta: Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia. Perum Jasa Tirta I. 2002. Profil Perusahaan Perum Jasa Tirta I. Malang. http://www.jasatirta1.co.id/index.php (diakses tanggal 5 Juli 2010) Salamah, M., Suhartono., dan Wulandari S. 2003. Analisis Time Series. Surabaya: Jurusan Statistika ITS. Suharti, T. 2004. Pengelolaan sungai, danau, dan waduk untuk konservasi sumber daya air. http://www.rudyct.com/PPS702-ipb/09145/titing_suharti.pdf (diakses tanggal 4 Juli 2010) Wei, W.W.S. 1990. Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods. United State of America: Addison-Wesley Publishing Company. 10