1
Érdekes geometriai számítások – 10. Találtunk az interneten egy könyvrészletet – [ 1 ] – , ahol egy a triéder - geometriában fontos összefüggést egyszerű módon vezetnek le. Ennek eredményét összevetjük más úton nyert összefüggéseinkkel, ami tetőgeometriai ismereteinket tovább gazdagíthatja. A kifejtéshez tekintsük az 1. ábrát is!
1. ábra Itt azt láthatjuk, hogy a triéder / háromél egyik élére az A pontban egy merőleges síkot állítottunk, amely kimetszette a triéderből az ABC háromszöget, ezzel együtt pedig az A nál lévő x lapszöget is. Közvetlen feladatunk: az x lapszög kifejezése az élek által bezárt α, β, γ szögekkel. Előkészítésként: (1) (2) Most írjuk fel kétféleképpen a BC távolság négyzetét! Koszinusz - tétellel: (3) (4) Most ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: (5) Majd ( 1 ), ( 2 ) és ( 5 ) - tel: egyszerűsítve:
2
azonos átalakítással: rendezve: innen: (6) Ez a keresett kifejezés. Alkalmazzuk ezt (7) esetére! Ekkor ( 6 ) és ( 7 ) szerint: (8) Most emlékeztetünk arra a tényre, hogy egy korábbi dolgozatunkban – melynek címe: Érdekes geometriai számítások - 9. – levezettük a téglalap alaprajzú, ϕ1 és ϕ2 tetőhajlású kontytetőre, hogy a szomszédos tetősíkok olyan ϕ szöget zárnak közre, melyre nézve fennáll, hogy (9) Minthogy az itteni jelöléssel x = ϕ, ezért ( 9 ) átírható: ( 10 ) Most a ( 8 ) és ( 10 ) egyenletek azonosságát kell belátnunk. Ehhez tekintsük a 2. ábrát is!
2. ábra
3
Eszerint: ( 11 ) ( 12 ) így ( 8 ), ( 11 ) és ( 12 ) - vel: tehát: ( 13 ) vagyis ( 8 ) és ( 10 ) ugyanazt fejezik ki. A ( 13 ) képletből kapjuk még, hogy ( 14 ) Úgy tűnik, megint sikerült nagyobb rálátásra szert tennünk a közönséges kontytető esetére. Megjegyzések: M1. A fentiekkel látszólag nem vagyunk előrébb, mint korábban. Valójában igen, mert a ( 6 ) és a belőle származtatott ( 10 ) képletek előállításához nem kellett gömbháromszög tani kifejezésekkel bajlódni. Ez komoly előny lehet a kezdő számára. M2. Az [ 1 ] munkában még további átalakításokat is végeznek a ( 6 ) képleten. Most ezt is megmutatjuk. Egy trigonometriai azonossággal – [ 2 ] : ( 15 ) Majd ( 6 ) - ból: ( 16 ) ezután megint egy ismert azonossággal: ( 17 ) most ( 16 ) és ( 17 ) - tel: ( 18 ) Ismét egy azonossággal:
4
( 19 ) majd ( 18 ) és ( 19 ) - cel: ( 20 ) ezután ( 15 ) és ( 20 ) - szal: innen:
( 21 ) Gyökvonással: ( 22 )
Innen: majd ebből:
( 23 )
Hasonlóképpen levezethetően a másik két lapszögre fennállnak, hogy ( 24 )
valamint: ( 25 )
5
M3. Az utóbbi képletek nagyfokú szimmetriát mutatnak. Ha jók – ez valószínű, hiszen nagyrészt az [ 1 ] forrásból származnak – , akkor fenn kell állnia az alábbi típusú korláto zásoknak: (a) (b) (c) ( a1,2 ) ( b1,2 ) ( c1,2 ) Képezve az ( a ), ( b ), ( c ) relációk összegét, kapjuk, hogy , vagy ( d1 ) A szemlélet alapján a ( d1 ) relációnál erősebb megszorítást is adhatunk: minthogy (e) így ( e ) - vel: ( d2 ) Azonban ismét a szemléletre alapozva további megszorítás is tehető; nevezetesen: a ( d ) képletekben szereplő szögösszeg – a triéder oldalainak összege – kisebb 2π - nél, azaz: ( d3 ) Ezt [ 3 ] – ban úgy magyarázzák, hogy „…különben nem lehetne ilyen szögtartományok ból a triédert összeragasztani.” Egy másik szemléltető példa a 3. ábra szerinti. Itt a szögösszeg: ( d4 ) Ez ugyan nem bizonyítás, azonban látható belőle, hogy esetén a térbeli helyzet síkbelivé fajul, a triéderből „monoéder” lesz; ennek elkerülése végett ( d3 ), illetve ( d4 ) nek fenn kell állnia.
6
3. ábra
[ 1 ] – ben az alábbi korlátozások olvashatók e feladat kapcsán: (k) Ezek közül a harmadikat ( b1 ), a másodikat (d4 ) alatt találtuk meg. Az első pedig kiolvasható a ( 23 ), ( 24 ), ( 25 ) képletekből, a ( f1 ) ( f2 ) ( f3 ) típusú összefüggésekből. Azt találtuk, hogy a számítással kapott képletek taglalásával a triéder élei által bezárt szögek közötti relációkra deríthető fény. Ez nem annyira egyszerű feladat, mint ahogyan azt a fentiekben láthattuk is. M4. A triéder geometriájának vizsgálata során sok szerző a gömbháromszögtan megfelelő összefüggéseit alkalmazza. Erre láthatunk példát a [ 4 ] internetes anyagban is. Itt megtalálhatjuk pl. a ( d4 ) összefüggés igazolását is.
7
Irodalom: [ 1 ] – R. V. Gangnusz ~ Ju. O. Gurvic: Geometrija, Csaszty 2. Sztyereometrija Moszkva, „Knyiga po Trebovanyiju”, ? vagy: https://books.google.hu/books?id=yW_7AgAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=inauthor: %22%D0%A0.%D0%92.+%D0%93%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%BD%D1%83% D1%81%22&hl=hu&sa=X&ei=08UWVaGoJsjtO5_NgZgC&ved=0CB4Q6AEwAA#v=o nepage&q&f=false [ 2 ] – Obádovics J. Gyula: Matematika 15. kiadás, Scolar Kiadó, Budapest, 1998. [ 3 ] – Reiman István: A geometria és határterületei Gondolat, Budapest, 1986. [ 4 ] – http://phil.elte.hu/~attila/math/geometriajegyzet/geometria_.pdf
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2015. március 30.
