EKUIVALENSI INTEGRAL BOCHNER DENGAN INTEGRAL MCSHANE KUAT UNTUK FUNGSI DENGAN NILAI DI DALAM RUANG BANACH Y.D. Sumanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Integral McShane fungsi-fungsi bernilai real ekuivalen dengan Integral Lebesque, namun untuk fungsi bernilai vektor tidak selalu demikian. Dapat ditunjukkan bahwa Integral Bochner (Integral Lebesque untuk fungsi bernilai vektor) ekuivalen dengan Integral McShane kuat. Kata kunci : Integral McShane, Integral McShane kuat, Integral Bochner. 1. PENDAHULUAN Integral McShane fungsi-fungi dengan nilai di dalam suatu Ruang Banach didefinisikan sejalan dengan Integral McShane fungsi-fungsi bernilai real, yaitu dengan
menggantikan tanda nilai mutlak dengan tanda norm . Gordon, 1994, menunjukkan bahwa Integral McShane ekuivalen dengan Integral Lebesque. Dalam tulisan ini akan didefinisikan Integral McShane Kuat dan ditunjukkan bahwa Integral Bochner ekuivalen dengan Integral McShane Kuat. Dalam tulisan ini dengan norm
merupakan interval tertutup di dalam garis real, X ruang Banach
. Fungsi-fungsi di dalam tulisan ini dengan domain bilangan real dan
dengan nilai di dalam X. Fungsi
f : ( X dikatakan kontinu absolut kuat pada
jika untuk setiap bilangan ( > 0 terdapat ( > 0 sehingga jika
tumpang tindih di dalam
dengan
barisan interval tak saling
berlaku .
Fungsi f : ( X dikatakan terintegral Bochner pada
jika dan hanya jika ada fungsi-fungsi
kontinu absolut kuat F pada dengan F((x) = f(x) hampir di mana-mana pada . Dalam hal ini derivatif F adalah derivatif Frechet. 2. PEMBAHASAN Berikut ini didefinisikan Integral McShane untuk fungsi bernilai vektor. Definisi 1
Fungsi f : ( X dikatakan terintegral McShane pada
jika terdapat vektor A ( X sehingga
untuk setiap bilangan ( > 0 tedapat fungsi positif ( pada berlaku
sehingga jika
dengan a = dan
.
Himpunan pasangan titik interval
seperti dalam Definisi 1 disebut partisi (-fine pada , dan
vektor A ( X dalam definisi tersebut adalah tunggal dan disebut nilai integral f pada dan ditulis
.
Koleksi semua fungsi berniali vektor terintegral McShane pada
ditulis .
Sejalan dengan Integral McShane fungsi bernilai real dapat ditunjukkan bahwa :
1. Jika f, g ( , maka f + g ( dan
2. Jika f, g ( dan c skalar, maka c f ( dan
3. Jika f ( , maka f ( untuk setiap
( .
4. Jika f ( dan c ( , maka
Dari 3 dan 4 di atas diperoleh bahwa untuk setiap interval
(
terdapat vektor
F(u,v) =
di dalam X. Dari sini diperoleh integral tak tentu fungsi f pada , yaitu untuk setiap t (
Fungsi f : ( X tersebut disebut fungsi primitif f pada . Berikut ini didefinisikan Integral McShane Kuat. Definisi 2
Fungsi f : ( X dikatakan terintegral McShane kuat pada , jika f ( bilangan ( > 0 terdapat fungsi positif ( pada sehingga
dan untuk setiap
untuk setiap partisi (-fine
pada
. Dalam hal ini
Koleksi semua fungsi terintegral McShane kuat pada
( S, maka terintegral Bochner.
ditulis dengan S. Jelas bahwa jika f
f ( . Berikut ini akan ditunjukkan bahwa jika f ( S, maka f
Theorema 3
Jika f ( S dengan primitif F, maka F kontinu absolut kuat pada . Bukti
Diberikan sebarang bilangan ( > 0, maka terdapat fungsi positif ( pada
untuk setiap partisi (-fine
pada . Karena
terdapat koleksi berhingga interval terbuka
sehingga
kompak, maka dengan Theorema Heine-Borel
dengan sehingga
tindih
kosong. Diambil ,
dan
. Diambil koleksi interval tak saling tumpang
dengan .
Ada dua kemungkinan hubungan antara dengan
1. ada k sehingga
2. ada k dan
yang memenuhi
Jika menyatakan intervalyang termuat di dalam, maka Selanjutnya diperoleh
Jadi F kontinu absolut kuat. Theorema 4
Jika f ( S dengan primitif F, maka F( (x) = f (x) hampir di mana-mana pada
.
Bukti Diambil A himpunan t (
Akan ditunjukkan bahwa
sehingga F (t) tidak mempunyai darivatif atau F( (t)
dengan
0 terdapat fungsi positif ( pada
ukuran luar A. Karena f ( S, maka untuk setiap
sehingga jika
Tanpa mengurangi sifat umum diambil
sehingga untuk setiap terdapat
atau terdapat
Namakan
sehingga
( F (t).
dan
sehingga
partisi
untuk t ( .
(-fine pada
( <
berlaku
Diambil t ( A, maka ada
n = 1, 2, … , maka .
Diperoleh bahwa
Vitali dari , maka untuk ( > 0 di atas
dan
terdapat
k =1, 2, … merupakan liput
sehingga
,
dengan Jadi
Jadi
atau
dan
Karena
maka
merupakan partisi (-fine.
, yang berarti
Dari kedua theorema di depan diperoleh bahwa jika f ( S, maka f terintegral Bochner pada .
Fungsi f : ( X terintegral Bochner pada
jika terdapat fungsi sederhana
pada
sehingga
h.d. pada
dan . Integral Bochner f pada
adalah
Berikut ini akan ditunjukkan bahwa jika f terintegral Bochner maka f terintegral McShane kuat. Theorema 5
Jika f terintegral Bochner pada , maka f ( S. Bukti
Diketahui f terintegral Bochner pada , maka terdapat barisan fungsi sederhana
sehingga
h.d. pada
terdapat bilangan asli
dan
pada
. Mudah ditunjukkan bahwa untuk setiap bilangan ( > 0
sehingga jika n, m (
berlaku
. Untuk dengan
dengan
( > 0 tersebut terdapat barisan berhingga interval tak saling sehingga
tumpang
tindih
Karena
h.d. pada
, maka tanpa mengurangi arti untuk setiap x (
dan untuk bilangan
( > 0 di depan terdapat bilangan asli N, sehingga jika , maka berlaku
Dapat ditunjukkan bahwa setiap fungsi sederhana terintegral McShane kuat. Oleh karena
itu, untuk ( > 0
di atas terdapat fungsi positif pada , sehingga jika
partisi -fine pada
berlaku
+ Untuk setiap n = 1, 2, . . .
. Dari sini diperoleh bahwa untuk setiap n ( N berlaku
+
Selanjutnya diambil n ( N dan
Jadi f ( S.
pada , maka untuk partisi (-fine
pada
diperoleh
Dari Theorema 3, 4, dan 5 diperoleh bahwa f ( S, jika dan hanya jika f terintegral Bochner pada
.
DAFTAR PUSTAKA 1.
Congxin, W U dan Xiaobo Yao, A Riemann-Type Definition Integra, Journal of Mathematical Study : Xiamen, China, 1994.
of
the
Bochner
2.
Gordon, Russell A, The Integrals of Lebesque, Denjoy, Perron, and Henstock, American Mathematical Society, USA, 1994.……..
