Eigen value & Eigen vektor

Eigen value & Eigen vektor

Hubungan antara vektor x (bukan nol) dengan vektor Ax yang berada di Rn pada proses transformasi dapat terjadi dua kemungkinan : 1)

Tidak mudah untuk dibayangkan hubungan keduanya.

2)

Keduanya, mempunyai hubungan geometri yang cukup jelas.

Definisi : Jika terdapat suatu matrik A berukuran n x n dan vektor tak nol x berukuran n x 1, x Rn, maka dapat dituliskan :

Ax = λx Ax : vektor berukuran n x 1 λ : skalar riil yang memenuhi persamaan, disebut nilai eigen (karekteristik) x : vektor eigen

Cara menentukan nilai eigen dari A : Untuk mencari nilai eigen dari matrik A yang berukuran n x n yang memenuhi persamaan : Ax = λx dapat ditulis sebagai : Ax = λIx atau ekivalen : (λI – A)x = 0 Sistem persamaan tersebut memiliki jawab bukan nol (singular), jika dan hanya jika :

I  A  0 Ini disebut sebagai persamaan karakteristik (polinomial dalam λ)

Contoh soal : 1. Buktikan vektor

 2 x    -1 

adalah vektor eigen dari

1 4  A  2 3  

dan tentukan nilai eigennya! Jawab : Untuk membuktikannya dilakukan dengan cara mengalikan matrik dengan vektor, sehingga diperoleh hasil kelipatan dari vektor iatu sendiri. 1 4   2   -2   2 Ax          1    2 3   -1   1  -1  vektor eigen nilai eigen

2. Carilah nilai eigen dari :

0  A  1   1

0 -2   2 1  0 3 

Jawab : Persamaan karakteristik :  0 2  1 0 0   0 0 -2       I  A   0 1 0  1 2 1  -1  -2 -1  0      0 0 1   1 0 3  -1 0  -3

= (λ)(λ-2)(λ-3)+2(λ-2) = (λ-2) (λ(λ-3)+2)=0 = (λ-2)(λ-2)(λ-1)= 0

Nilai-nilai eigen: 1 dan 2

Cara menentukan vektor eigen dari A :  Banyaknya nilai eigen maksimal n buah. Untuk setiap nilai eigen dapat dicari ruang solusi untuk x dengan memasukkan nilai eigen ke dalam persamaan : (λI – A)x =0  Ruang solusi yang diperoleh disebut : ruang eigen. Dari ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tertentu dapat dicari minimal sebuah basis ruang eigen yang saling bebas linier.  Vektor eigen yang berhubungan dengan λ adalah vektor-vektor tidak nol dalam ruang eigen.

Contoh soal : 1. Tentukan basis dari ruang eigen :A 

0  1   1

0 -2   2 1  0 3 

Jawab : Dari hasil perhitungan sebelumnya diperoleh nilai eigen A adalah 1 dan 2. Dengan substitusi λ=1 ke persamaan : (λI-A)x = 0 diperoleh :   -1   -1

2    -2 -1 x  0  0  -3  0

 1  -1   -1

0 -1 0

2  -1 x  0  -2 

A

0

 1   -1   -1

0

2

-1

-1

0

-2

0  0  0 

~

1  0   0

0

2

-1

1

0

0

0   0  0 

~

1  0   0

0 1 0

0   -1 0  0 0 

2

 -2 s   -2      x  s  s 1      s   1 

Basis dari ruang eigen yang berhubungan dengan λ=1 adalah :

 -2    1    1 

Untuk λ=2 :   -1   -1

A

 2  -1   -1

2    -2 -1 x  0  0  -3  0

 2  0   -1   -1

0

2

0

-1

0

-1

0  0  0 

0 0 0

1 0 1 0    0 0 0 0    0 0 0 0 

2  -1 x  0  -1 

 -2 t  0   -2        x  s  1 s 0 t        t   0   1 

Basis dari ruang eigen yang berhubungan dengan λ=2 adalah :  0  dan  -2    1    0 

  0    1 

2. Carilah nilai-nilai eigen dan basis-basis untuk

ruang eigen dari :

 3 2 A    -1 0  

Jawab : Persamaan karakteristik : 1 0   3 2    -3 -2  I  A          0 1 -1 0 1       

det (λI – A)= 0 (λ-3)(λ) – (1)(-2)=0 λ 2- 3 λ + 2 = 0

Nilai eigen : λ1 = 2, λ2 = 1

Ruang vektor :

  -3   1

-2   

Untuk λ1 = 2 diperoleh : -x1 – 2x2 = 0 x1 + 2x2 = 0

 x1   0        x2  0   -1   1

-2   x 1  0       2   x2  0 

x1 = –2x2

Jadi vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ adalah vektor tak nol :

 -2 s   -2  x     s   s  1

 -2  Jadi untuk λ=2, basisnya adalah :    1

3.

4.

Catatan : • Untuk kasus yang khusus, jika A memiliki n buah nilai eigen = λ, maka akan memiliki nilai eigen λk. • Jika banyaknya nilai eigen dari Ak sebanyak n juga, maka basis ruang eigennya tetap sama. • Tetapi jika jumlah nilai eigennya kurang dari n (terjadi jika ada nilai eigen yang saling berlawanan tanda), maka salah satu nilai eigennya akan memiliki basis ruang eigen yang berbeda

Misalkan :

Contoh soal : Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari A5, bila :

3 1 1    A  2 4 2    1 1 3 

Jawab : Nilai eigen dari A5 adalah nilai eigen dari A dipangkatkan 5 sehingga diperoleh : 25 dan 65. Sedangkan vektor eigen untuk λ =25 tetap sama dengan

vektor eigen λ = 2 yaitu :

 -1    1 dan    0 

 -1    0    1 

Serta vektor eigen untuk λ =65 sama seperti λ = 6 yaitu

1  :  2   1 

• Pada contoh ini, untuk λ=1 memiliki dua basis ruang eigen yang berasal dari nilai eigen -1 dan 1. • Karena berasal dari dua nilai eigen yang berbeda, maka basis ruang eigennya juga mengalami sedikit perubahan basis yaitu basis ruang eigen dengan λ= -1 • Basis ruang eigen dari

 1   -1    1 

1    0    1 

ini merupakan vektor proyeksi

terhadap vektor

1    0    1 

Dalam hal ini basis ruang eigen untuk λ= -1 dibuat saling orthogonal

Diagonalisasi Definisi : Suatu matrik A berukuran n x n disebut dapat didiagonalisasi jika terdapat matrik P yang memiliki invers sehingga diperoleh matrik diagonal : D = P-1AP. P matrik n x n disebut matrik yang mendiagonalisasi A dengan kolom-kolomnya merupakan kolom dari basis ruang eigen A.

D merupakan matrik diagonal yang elemen diagonalnya merupakan semua nilai eigen dari A

Cara menentukan P • Jika matrik A ukuran n x n mempunyai n vektor eigen bebas linier {x1, x2, …., xn} berhubungan dengan n nilai eigen {λ1, λ2, ….., λn} kemudian didiagonalisasi matrik P, maka formulasi matrik P adalah: P=[x , x , ….., x ] 1 2 n • Jika D adalah matrik diagonal ukuran n x n dan D = P-1AP, maka :  0 0 0  1

  0 2 0 0  D        0 0 0  n 

• Nilai λ1, λ2, ….., λn tergantung pada nilai x1, x2, …., xn

Langkah-langkah yang digunakan untuk mendiagonalisasi suatu matrik adalah sebagai berikut : 1. Tentukan n buah vektor eigen yang saling bebas linier dari A, misalkan p1, p2, …., pn 2. Bentuk matrik P yang isinya adalah p1, p2, …., pn sebagai vektor kolomnya. 3. Hasil kali P-1AP adalah matrik diagonal dengan λ1, λ2, …., λn adalah nilai eigen yang sesuai dengan vektor eigen p1, p2, …., pn

Catatan :  Tidak semua matrik bujur sangkar dapat didiagonali-sasi, tergantung dari jumlah basis ruang eigen yang dimiliki.  Jika matrik n x n : basis ruang eigen yang bebas linier = n, dapat didiagonalisasi. < n, tidak dapat.  Saat matrik n x n memiliki nilai eigen sejumlah n, maka basis ruang eigennya juga berjumlah n.  Saat matrik n x n jumlah nilai eigen kurang dari n, maka ada 2 kemungkinan yaitu basis ruang eigen juga berjumlah n atau kurang dari n  Jadi pada saat jumlai nilai eigen sama dengan n, maka matrik dapat didiagonalisasi, sedangkan pada saat nilai eigen kurang dari n, maka matrik belum bisa ditentukan bisa atau tidak didiagonalisasi.

Contoh soal : 1. Carilah matrik P yang dapat mendiagonalisasi matrik  0 0 -2    A  1 2 1    1 0 3 

dan matrik diagonalnya !

Jawab : Dari perhitungan sebelumnya diperoleh bahwa :   -2   Basis ruang eigen yang berhubungan dengan λ= 1 adalah :   1    1  

Basis ruang eigen yang berhubungan dengan λ= 2 adalah :

  -2     0  1  

0    1    0   

Diperoleh basis ruang eigen dari A : Maka :

 -2 -2 0    P  1 0 1    1 1 0 

Dan matrik diagonal : D=P-1AP=

1  0   0

  -2     1  1  

0 2 0

0  0  2 

 -2    , 0    1 

0    , 1     0   

2. Diketahui :

 1 0 -2    A  0 1 2    -1 0 0 

Tentukan matrik yang mendiagonalisasi A dan matrik diagonalnya ! Jawab :

Dari perhitungan sebelumnya didapatkan nilai eigen : - 1, 1 dan 2 dengan basis ruang eigen yang bersesuaian berturut-turut adalah :

 1   0   -2        -1 , 1 , 2        1   0   1 

Jadi matrik pendiagonal P bisa ditentukan sebagai :  1 0 -2    P  -1 1 2    1 0 1 

dengan matrik diagonal :

 -1 0 0    D  0 1 0    0 0 2 

Kolom-kolom pada matrik P bisa diubah-ubah urutannya

sehingga terdapat 6 matrik yang memenuhi jawaban. Matrik D tentu saja juga mengikuti urutan dari matrik P

3.

matrik

Apakah matrik C dapat didiagonalisasi ?

Diagonalisasi ortogonal Definisi : matrik bujursangkar P disebut matrik

ortogonal apabila berlaku PT = P-1 Matrik A dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matrik P yang ortogonal sehingga : P-1AP=D dengan D adalah matrik diagonal.

Berbeda dengan diagonalisasi sebelumnya, matrik yang dapat didiagonalisasi atau tidak dijabarkan sebagai berikut : • P-1AP = D • PDP-1 = A • PDPT = A (dari sifat PT = P-1 ) ………………(1) • (PDPT)T = AT (kedua ruas ditransposekan) • PDPT = AT ….………………………………………………(2) Dari persamaan 1 dan 2 disimpulkan bahwa agar supaya matrik A dapat didiagonalisasi secara ortogonal, maka matrik A harus memenuhi sifat A = AT ( A harus matrik simetri)

Menentukan matrik P yang mendiagonalisasi secara ortogonal • Sama seperti saat menentukan P pada diagonal biasa yaitu didasarkan pada basis ruang eigen. • Misalkan : x1, x2, …., xn merupakan basis ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ1, λ2, ….., λn, kemudian u1, u2, …., un merupakan himpunan ortonormal hasil transformasi dari x1, x2, …., xn dengan hasil kali dalam Euclides, maka matrik yang mendiagonalisasi secara ortogonal adalah : P = [u1, u2, …., un] dan matrik diagonalnya adalah D

Contoh Soal :

Latihan soal :

1. Carilah semua nilai eigen yang bersesuaian dengan vektor eigen dari matrik :

3 1 A   1 3  

2. Tentukan matrik P yang dapat membuat matrik  1 0 0   A  1 2 0    -3 5 2 

menjadi matrik diagonal !