Universiteit Gent Faculteit Ingenieurswetenschappen

Universiteit Gent Faculteit Ingenieurswetenschappen

Vakgroep Architectuur en Stedenbouw Voorzitter : prof. dr. Bart Verschaffel

DUBBELGEKROMDE MEMBRAANDAKEN: Het paviljoen Marie Thumas op Expo 58 als basis voor structurele modelleringen

Vincent Jaspaert

Promotor : prof. dr. ir. arch. Mil De Kooning Scriptiebegeleiders : dr. ir. arch. Jan Belis en ir. arch. Rika De Vos

Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van burgerlijk bouwkundig ingenieur

Academiejaar 2006-2007

Dankwoord

Bij het onderzoek en de uitwerking van deze scriptie heb ik dankbaar gebruik kunnen maken van de bereidwillige hulp van diverse leden van het onderwijzend korps van twee ingenieursfaculteiten. Vooreerst wens ik drs. Rika Devos te bedanken, voor de uitgebreide toelichtingen omtrent het structurele denken ten tijde van Expo 58. Eveneens dank aan prof. dr. Rudy Van Impe die, naast essentiële vakliteratuur, ook het Easy 8-rekenprogramma ter beschikking heeft gesteld, een programma dat voor het welslagen van de onderneming onontbeerlijk is gebleken. Dank aan prof. dr. Marijke Mollaert, Vakgroep Architecturale Ingenieurswetenschappen, VUBrussel, voor de toelating haar colleges ‘Vormactieve Constructies’ te mogen bijwonen. Aan de VUB werd ik ook geholpen door ir.arch. Niels De Temmerman voor zijn hulp bij praktische problemen met het rekenprogramma. Bijzondere dank aan dr. Jan Belis, die deze studie tijdens de afgelopen maanden intensief begeleid heeft en die bereid was om als lid van de examencommissie op te treden. Dank aan prof. dr. Ronald De Meyer, eveneens lid van de examencommissie, en tenslotte, dank aan mijn promotor, prof. dr. Mil De Kooning, voor de vrijheid die mij bij het verkennen en bijsturen van het onderzoek werd toegestaan. Als laatste wil ik mijn familiaal korps , in het bijzonder Marc en papa, bedanken voor logistieke en andere steun.

Overzicht

DUBBELGEKROMDE MEMBRAANDAKEN Het paviljoen Marie Thumas op Expo 58 als basis voor structurele modelleringen

Vincent Jaspaert

Universiteit Gent Faculteit Ingenieurswetenschappen Vakgroep Architectuur en Stedenbouw Voorzitter: prof. dr. Bart Verschaffel. Promotor: prof. dr. ir. arch. Mil De Kooning. Scriptiebegeleiders : dr. ir. arch. Jan Belis en ir. arch. Rika De Vos Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van burgerlijk bouwkundig ingenieur. Academiejaar 2006- 2007

Samenvatting : Het paviljoen van Marie Thumas op Expo 58 vertoont qua uitzicht enkele gelijkenissen met vormactieve membraanconstructies. De structuur van het paviljoen is echter fundamenteel verschillend van deze van een voorgespannen membraanconstructie. Een voorgespannen membraanconstructie dankt haar stijfheid aan de voorspanning van een ruimtelijk dubbel gekromde anticlastische vorm. De structuur van het paviljoen van Marie Thumas is echter opgevat als een hybridisch systeem waarin een aantal liggers worden geïntegreerd in een kabelsysteem waarna het geheel wordt voorgespannen. Men is er dus niet in geslaagd de vorm te vertalen in een logische structuur.

Allereerst moet opgemerkt worden dat in der tijd de constructie niet kon ontworpen worden met een vormactieve structuur, omdat de vorm van het paviljoen te complex was om berekening toe te laten met de toen beschikbare berekeningsmethodes. De vraag werpt zich dan op of het a priori mogelijk is om de vorm van het Marie Thumas paviljoen te vertalen in een vormactieve structuur. Vormactieve membraanconstructies laten zich niet zomaar kneden in een welbepaalde vorm. Een vormactieve constructie volgt de door het evenwicht opgelegde weg van de krachten door middel van zuivere normaalkrachten. Om de verschillende belastingen op te nemen, moet de vorm steeds krommingen vertonen in twee tegengestelde richtingen. Speciale formfinding-software, onder meer deze gebaseerd op de force-density methode (zoals ‘Easy8’), laat toe evenwichtsvormen te berekenen voor membranen of kabelnetten. Met deze software werd getracht de vorm van het paviljoen van Marie Thumas te vertalen in een vormactieve constructie. Dit bleek niet mogelijk zonder het invoeren van buigstijve elementen die het geheel manipuleren tot een vorm die erg goed aansluit bij deze van het oorspronkelijke paviljoen. Dit kan niet de bedoeling zijn. Het is dus niet mogelijk om deze uitgangsvorm zomaar te vertalen in een vormactieve structuur. Vervolgens werd nagegaan in welke mate de vorm van zou moeten veranderen indien men een membraanconstructie zou willen ontwerpen met een concreet gekozen structureel membraan (dat op dit moment voorhanden is) en rekening houdend met specifieke vereisten van membraanconstructies. Het is duidelijk dat niet elke vorm die men kan ontwikkelen automatisch ook aanvaardbaar is. Men moet immers rekening houden met onder meer de sterkte van het gebruikte materiaal, het behoud van de vorm onder externe lasten en bepaalde gebruikseisen die aan het bouwwerk worden gesteld. Berekeningen tonen aan dat de verhoudingen van het paviljoen van Marie Thumas niet geschikt is voor het ontwerp met een membraan, omdat de vorm op zich niet voor voldoende stijfheid zorgt. Men kan de stijfheid kunstmatig verhogen door bijvoorbeeld extra kabels toe te voegen (maar dan werkt het geheel niet meer als zuivere membraanstructuur) of men kan de verhoudingen zodanig aanpassen dat de ruimtelijke vorm stijf genoeg wordt voor een zuivere membraanstructuur (maar dan wijkt de vorm sterker af van de oorspronkelijke ).

Trefwoorden : Expo 58, paviljoen Marie Thumas, vormactief, membraanstructuur, formfinding.

Double curved membrane roofs: the pavilion Marie Thumas at Expo 58 as basis for structural modeling Vincent Jaspaert Supervisors: Prof.dr.ir.-arch. M. de Kooning, dr. ir.-arch. J. Belis, ir.-arch. R. Devos

Abstract This paper discusses a form research of double curved membrane structures based on the form of the pavilion Marie Thumas, at Expo 58 in Brussels. The paper deals with the question in what way the structure influences the form. Models and calculations were made, using the software packet ‘Easy 8’. Keywords membranestructure, form-active, force-density, formfinding, Expo 58, Marie Thumas

B. The structure of the pavilion Marie Thumas The idea of the form of Marie Thumas could not be implemented in a cable net or a membrane structure because calculation in that form was not possible. The structure was designed as a prestressed system in wich cables were connected by a number of light beams, forming a hybrid structural system. III. FORM RESEARCH WITH CONCLUSION

I. INTRODUCTION A form-active membrane or cable net structure is a structural system wich is entirely based on tensile forces. It can resist load by prestressing. Therefore, its form should have an anticlastic double curvature. The relationship between form and structure is very important. The pavilion of Marie Thumas seems to be a form-active construction but it has in fact a hybrid structure: resisting load is achieved by a combined system of pure tensile forces and bending stiffness. The purpose is to investigate in what measure Marie Thumas can be implemented as a form-active structure and what the implications are with respect to the form.

II. DEALING WITH THE PAVILION MARIE THUMAS A. The evolution of membrane and cable roofs The evolution of lightweight membrane and cable roofs shows that one can situate the Marie Thumas pavilion in a time period were the first cable roofs were erected. Only limited forms of prestressed cable or membrane roofs were susceptible for calculation. The form of Marie Thumas was unable to be calculated as a prestressed cable or membrane roof. Since that time, calculation techniques for prestressed cable and membrane structures have been tremendously changed. Nowadays, calculations are made by specialized computer software. Materials also have been evolved. Now it is possible to generate high performing and durable structural membranes.

A. Formfinding The process of formfinding form-active membrane structures is possible thanks to specialized software. For this form research the software program ‘Easy 8’,wich is based on the force- density method, is used. The program also allows statical analysis. B. Modeling Marie Thumas The results of formfinding calculations show that it is impossible to model the form of Marie Thumas with a pure form-active structure. C. Design of sort-like formactive membrane structures The question arises in what way the form of the pavilion of Marie Thumas should be adjusted to become designed as a form-active membrane structure, using a coated fabric, and dealing with the specific demands of membrane structures. Not every form that can be showed in a model can actually be built because of limitations of the used materials, retaining form under extern forces and demands about practical use of the building. Calculation models show that the proportions of the pavilion of Marie Thumas are not suitable for form-active membrane structures because the form implements a lack of spatial stiffness (deformations are vast). Several solutions are proposed to increase the stiffness. The conclusion is that one can increase the stiffness by adding extra elements like cables. (By doing so the structure isn’t a pure membrane structure any more.) One can also make adjustments to the form and proportions of the structure to become a more spatial stiff form. (By doing so the form differs even more of the original form of the Marie Thumas pavilion.)

Inhoudsopgave 1 Inleiding

1

1.1 Aanleiding

1

1.2 Het begrip “vormactief”

3

1.3 De werking van vormactieve constructies

5

1.3.1 De enkelvoudige kabel

5

1.3.2 Ruimtelijke vormen

8

2 De ontwikkeling van membraan- en kabeldaken

10

2.1 Tenten voor 1945

10

2.2 Membraan- en kabeldaken na 1945

12

2.2.1 Kabeldaken

13

2.2.2 Membraandaken

17

3 Het paviljoen van Marie Thumas

21

3.1 Algemene informatie

21

3.2 Structuurbeschrijving

22

4 Materialen

27

4.1 Kabelnetten en kabels

27

4.2 Membranen

28

4.2.1 Folies en films

28

4.2.2 Gecoate weefsels

29

5 Verbindingen en technologische details

35

5.1 Verbindingen

35

5.2 Technologische details

37

5.2.1 De masttoppen

37

5.2.2 Randpunten

38

6 Ontwerpen van membranen en formfinding

39

6.1 Algemene principes

39

6.2 Force density methode

41

6.3 Softwarepakket ‘Easy 8’

42

6.4 Toepassingsvoorbeeld

43

6.4.1 Module 1 : Formfinding

44

6.4.2 Module 2 : Statical Analysis

46

7 Modelleringen op basis van het Marie Thumas paviljoen

50

7.1 Op zoek naar een aanvaardbaar voorontwerp

51

7.1.1 Eerste denkpiste : benadering oorspronkelijke vorm

54

7.1.2 Tweede denkpiste : zoektocht naar een zuivere vorm

56

7.1.3 Vergelijking van het resultaat van beide denkpistes

64

7.2 Uitwerking voorontwerp

65

7.2.1 Materiaalkeuze en belastingen

65

7.2.2 Statische windbelasting op het bouwwerk

67

7.2.3 Iteratief ontwerp

70

7.2.4 Conclusie

80

7.3 Mogelijke oplossingen

81

7.4 Overzicht

87

7.5 Conclusie

90

8 Algemene conclusie

91

Referentielijst

92

INLEIDING

1 Inleiding 1.1 Aanleiding Het is pas in de jaren ’50 dat vormactieve systemen aangewend worden als structuur voor daken (zie hoofdstuk 2). Wereldtentoonstellingen vormen vaak de aanleiding om nieuwe technieken uit te proberen. De wereldtentoonstelling in Brussel in ’58 werd zo onder meer een testcase voor allerhande kabeldaken. [1] Hieronder worden enkele voorbeelden gegeven:

Fig. 1-1 paviljoen van de O.E.C.E. op Expo 58 [2]

Fig. 1-2 paviljoen van Brazilië op Expo 58 [2]

1

INLEIDING

Fig. 1-3 paviljoen van Frankrijk op Expo 58 [2]

Fig. 1-4 paviljoen van Marie Thumas op Expo 58 [2]

Het valt op dat enkele van deze bouwwerken een structuur hebben die niet zuiver vormactief is, maar hybride. Hiermee wordt bedoeld dat sommige onderdelen ook op buiging werken. In dit opzicht lijkt één van de meest opvallende structuren het paviljoen van Marie Thumas (zie hoofdstuk 3). Omdat vormactieve constructies het natuurlijk verloop van de krachten volgen valt hun vorm niet arbitrair te kiezen. Vorm en structuur zijn onlosmakelijk met elkaar verbonden. Bij hybride structuren is dit minder het geval. Het lijkt dan ook interessant om na te gaan in welke mate de vorm de structuur beïnvloedt en omgekeerd. In wat volgt zal ik trachten dit uit te werken specifiek voor het paviljoen van Marie Thumas.

2

INLEIDING

Het aanvankelijke opzet van de scriptie was het verrichten van een historisch onderzoek naar vroege structuren van hangdaken, meer bepaald in het kader van Expo 58. Door literatuurstudie en de cursus ‘Ruimtelijke constructies’[3], die in het eerste semester van dit academiejaar wordt gedoceerd door professor R. Van Impe, ben ik meer te weten gekomen over de actuele kennis en berekeningsmethoden van vormactieve constructies. Omdat ik bij het bestuderen van de kabelstructuren op Expo 58 reeds had gemerkt dat deze vaak hybride waren, leek het interessant om de actuele kennis te gebruiken voor een nieuw vormonderzoek, vertrekkend van een historische constructie op Expo 58. Het objectief is dus gaandeweg gewijzigd van een zuiver historisch onderzoek naar een onderzoek waarbij een historische constructie wordt bekeken door een hedendaagse bril. In functie van deze wijziging heb ik mij verdiept in het berekeningsprogramma ‘Easy 8’[4], dat mij ter beschikking werd gesteld door Professor R. Van Impe. Ik heb ook lessen gevolgd aan de VUB bij Professor M. Mollaert die specifiek handelden over vormactieve constructies.

In volgende paragrafen worden een aantal begrippen en principes besproken die de basis vormen voor de komende hoofdstukken.

1.2 Het begrip “vormactief” In deze tekst worden begrippen als ‘vormactief’, ‘vectoractief’, ‘doorsnedenactief’ en ‘oppervlak actief’ gebruikt. Deze begrippen zijn geen officiële benamingen, maar ze zijn ontleend aan het werk ‘Tragsysteme’ van Heino Engel.[5] Sommige auteurs gebruiken deze benamingen of deze indeling dan ook niet en gebruiken andere benamingen. Het is voornamelijk de bedoeling om vormactieve systemen te plaatsen tussen andere structurele systemen.

Een ‘vormactieve constructie’ is een soepel systeem dat is samengesteld uit soepele elementen (kabels, kettingen, zeilen,…) die op een soepele manier met elkaar zijn verbonden (scharnierend, glijdend,…) en die door middel van normaalkrachten hun belasting overdragen naar de vaste punten. Een vormactieve constructie kan van vorm veranderen. De vorm wordt bepaald door de belastingen, het eigengewicht en de randvoorwaarden.

3

INLEIDING

Een vormactieve constructie volgt de door het evenwicht opgelegde weg van de krachten door middel van zuivere normaalkrachten. Dit betekent dat het materiaal optimaal wordt gebruikt. Structurele kabel- en tentconstructies en pneumatische constructies zijn typische vormactieve constructies. De draagkabels van een hangbrug zijn vormactieve elementen. Het wegdek werkt als verstijvingsligger en zorgt ervoor dat het geheel geen mechanisme wordt onder verkeerslasten.

Fig. 1-5 ‘Ponte 25 de Abril’ in Lissabon

Engel [5] beschouwt ook sommige starre constructies als vormactief, zoals een funiculaire boog of een funiculaire schaalconstructie. Het is duidelijk dat deze constructies slechts vormactief kunnen zijn voor één soort belasting, namelijk deze waarvoor de vorm funiculair is. Die belasting is dan meestal het eigengewicht of het eigengewicht en een permanente belasting.

Fig. 1-6 schaal over BP-Station, H.Isler

4

INLEIDING

Een ‘vectoractieve constructie’ is een star systeem. Het is samengesteld uit rechtlijnige elementen die scharnierend zijn verbonden. De elementen zijn enkel onderhevig aan normaalkrachten en kunnen meestal zowel trek als druk opnemen. Vakwerken zijn uitgesproken vectoractieve constructies.

Een ‘doorsnedeactief systeem’ maakt hoofdzakelijk gebruik van buigstijfheid om lasten naar de steunpunten over te brengen. Bij een systeem dat werkt op buigstijfheid komen de grootste spanningen voor aan de uiterste vezels. In de zone rond de neutrale vezel zijn de spanningen laag, zodat de doorsnede niet ten volle wordt benut. De meeste traditionele constructies zijn doorsnedeactief: balkenstructuren, platen, balkenroosters en raamwerken zijn allemaal doorsnedeactief.

Een ‘oppervlak actief systeem’ is een star systeem. Het berust op overdracht van krachten met behulp van oppervlakken die in hun vlak worden belast (dus niet loodrecht op het vlak van het oppervlak zoals bij platen). Dit zijn onder meer systemen werkend met vouwplaten en schaalstructuren.

1.3 De werking van vormactieve constructies 1.3.1 De enkelvoudige kabel Een kabel is het eenvoudigste vormactieve element. Toch is het mogelijk om, aan de hand van een enkelvoudige kabel, enkele algemeen geldende principes duidelijk te maken. Een kabel is soepel en kan enkel trekkrachten opnemen. Een vrij hangende kabel tussen twee vaste steunpunten neemt de vorm aan van een kettinglijn. Hij verandert van vorm (evenwichtsvorm) in functie van de belastingen die overdwars in het vlak aangrijpen. Een kabel waarop een gelijkmatig verdeelde last langs een horizontale aangrijpt neemt de vorm van een parabool aan.

5

INLEIDING

Fig. 1-7 aanpassing van de vorm van de kabel onder een variabele last

De statica van een rekloze kabel met een puntlast in het midden leert dat de kabelkracht en haar horizontale component toenemen naarmate de zeeg vermindert. De verticale reacties blijven dezelfde. Men heeft er dus belang bij de zeeg voldoende groot te nemen.

Fig. 1-8 krachtswerking in kabelsystemen met een verschillend pijl

Dit geldt ook voor kabels onderhevig aan verdeelde belastingen. Indien de zeeg (en dus de kromming) toeneemt zullen de kabelkrachten en de horizontale componenten die op de steunpunten worden uitgeoefend verminderen. De kromming dient dus voldoende groot te zijn. Een bijkomende reden om de kromming voldoende groot te nemen is dat het geometrisch niet-lineaire gedrag vermindert. Ondiepe kabels onderworpen aan overdwarse belastingen in het vlak vertonen een sterk niet- lineair gedrag. Een geringe verplaatsing van de steunpunten geeft aanleiding tot grote verplaatsingen [3].

Een bouwwerk moet aan externe sollicitaties (wind, sneeuw,…) weerstaan. Kabelsystemen zijn uiterst licht en kunnen enkel trek opnemen. Dit betekent dat er zich grote vervormingen kunnen voordoen onder liftkrachten afkomstig van de wind (mogelijks

6

INLEIDING

vorminversie) en onder sterk geconcentreerde lasten. In het algemeen geldt dat vormactieve systemen niet geschikt zijn om sterk geconcentreerde belastingen te dragen.

Fig. 1-9 mechanisme ten gevolge van liftkrachten van de wind [5]

Om aan wisselende belastingen te kunnen weerstaan moet men kabelconstructies stabiliseren. Men kan dit doen door de constructie te verzwaren, door ze te verstijven (door constructie als omgekeerde boog of schaal), door het opspannen tegenover een kabelsysteem met tegengestelde kromming of door de doorhangende kabels rechtstreeks naar de grond af te spannen.

Fig. 1-10 Mogelijke stabilisaties van een enkelvoudig kabelsysteem [5]

7

INLEIDING

1.3.2 Ruimtelijke vormen De systemen die in vorige paragraaf zijn aangeduid om een enkelvoudige kabel te stabiliseren geven aanleiding tot een reeks tweedimensionale systemen die gemakkelijk kunnen worden uitgebreid naar driedimensionale vormen door ze naast elkaar te plaatsen:

Fig. 1-11 Ontstaan van ruimtelijke vormen door translatie [6]

Het is structureel echter interessanter om een reeks kabels met een bepaalde kromming voor te spannen met een andere reeks kabels die niet in hetzelfde vlak liggen. Op die manier ontstaat een ruimtelijk voorgespannen systeem dat stabiel is onder wisselende belastingen. In plaats van kabels kan men ook gebruik maken van een voorgespannen membraan dat de vereiste tegengestelde krommingen heeft.

Men kan drie basisvormen onderscheiden: de zadelvorm, de conusvorm en de golfvormen. Alledrie beschrijven ze een ruimtelijk dubbel gekromd oppervlak. De zadelvorm wordt bekomen door een aantal hoge en eveneens een aantal lage randpunten tegenover elkaar te plaatsen:

Fig. 1-12 zadelvorm [5]

8

INLEIDING

De conische vorm wordt bekomen door een intern punt hoger te plaatsen dan de randpunten:

Fig. 1-13 conische vorm [5]

Golfvormen worden bekomen door draag- en spankabels in verschillende vlakken te plaatsen en op die manier een ruimtelijk oppervlak te creëren:

Fig. 1-14 ontstaan van zadelvormen [6]

Zadelvormen en conische vormen kunnen worden samengesteld om grotere oppervlakken te overdekken, maar eveneens kan een ruimtelijk complexe vorm worden bekomen door een aantal hoge en/of lage interne punten te voorzien en eveneens een aantal hoge en/of lage randpunten. Vormen met interne bogen die het membraan of kabelnet ondersteunen kunnen ook voorkomen.

Fig. 1-15 kabelnetten ondersteund door boog [7]

9

DE ONTWIKKELING VAN MEMBRAAN- EN KABELDAKEN

2 De ontwikkeling van membraan- en kabeldaken 2.1 Tenten voor 1945

De eerste tenten dateren al van in de oudheid. Ze werden ontwikkeld door nomaden, uit noodzaak, als een vorm van beschutting die gemakkelijk te transporteren was en die eenvoudig kon worden opgezet en afgebroken.[8] De tenten bestonden uit een soort houten frame dat werd bespannen met dierenhuiden of met geweven materiaal. Dit is bijvoorbeeld het geval bij de Indiaanse teepee en de Mongoolse yurt.

Fig. 2-1 yurt

Fig. 2-2 Teepee

Een ander soort is de zogenaamde ‘zwarte tent’ van de woestijnnomaden in Noord- Afrika, Arabië en Iran. Deze bestaat uit doeken van geweven geitenhaar die over een aantal steunpunten

wordt

gespannen.

Deze vorm

leunt

dichter

aan bij

een echte

membraanstructuur, aangezien het membraan een deel van de structuur uitmaakt en tegelijk de nodige bescherming biedt. De ‘zwarte tenten’ zijn ook de eerste spantenten, wat betekent dat een grotere stijfheid wordt bekomen door het opspannen van het doek (membraan). Dit principe ligt aan de basis van de verdere ontwikkeling van tentconstructies. [6,9]

Fig. 2-3 zwarte tent [10]

10


In het Westen werd, in de periode van de Romeinen tot de 19e eeuw, de tent als constructievorm maar weinig ontwikkeld. Tenten werden bij de Romeinen en in de Middeleeuwen vooral gebruikt als tijdelijk onderkomen bij militaire campagnes. Ze bestonden uit relatief eenvoudige, enigszins opgespannen geweven zeilen. Het gebrek aan verdere ontwikkeling valt deels te verklaren door de gebrekkige treksterkte van de weefsels en de moeilijkheid om verbindingen te maken die belangrijke krachten konden overbrengen. De zeilen van zeilschepen werden vervaardigd uit geweven doek van vlas, hennep of linnen[9].

Fig. 2-4 Duitse houtsnede van middeleeuwse tenten [11]

De Industriële Revolutie in de 19e eeuw maakte het mechanisch spinnen en weven mogelijk en ook het katoendoek deed zijn intrede [6,9]. Een van de belangrijkste vormen van entertainment in die tijd was het circus. Eerst werden voorstellingen gegeven in grote hallen van steden. Later, om ook voorstellingen te kunnen geven in steden die niet beschikten over zulke hallen, werden grote tenten ontwikkeld die aan veel volk plaats moesten bieden. Tenten als de klassieke ‘chapiteau’ bestonden uit een machine-geweven doek van linnen of hennep. Het dakzeil dat van de nok van het dak hing tot aan de onderste perimeter werd in het midden ondersteund en opgespannen door een stel masten. Op deze manier kwam ook een lichte dubbele kromming van het zeil tot stand. Verder werd het zeil aan de onderste perimeter door kleinere masten ondersteund en opgespannen door trekkers die in de grond waren bevestigd [6,9,10].

11


Fig. 2-5 klassieke circustent [12]

Hoewel deze structuren geometrisch eenvoudig waren, werd er toch heel wat ervaring opgedaan over onder meer knippatronen en verbindingen. Deze praktische kennis werd overgedragen door verschillende generaties tentenmakers (bijvoorbeeld de Stromeyer Co.) [6].

2.2 Membraan- en kabeldaken na 1945 Na de 2e wereldoorlog ontstond een ware revolutie: de oorlog (en de daaropvolgende jaren) had gezorgd voor sterke ontwikkelingen op het vlak van materialen (metalen en plastics met voldoende sterkte, kruipbestendigheid en duurzaamheid), op het vlak van technieken (voldoende hoge voorspanning) en analysemethodes van ingenieurs (matrix methodes gekoppeld aan de elektronische computer).[6,13] Bovendien had men door de instorting van de Tacoma Narrows brug een beter inzicht gekregen in de dynamische stabiliteit van kabelstructuren.[6,13]

Voor de duidelijkheid wordt vanaf hier een onderscheid gemaakt tussen membraan- en kabeldaken.

12


2.2.1 Kabeldaken Kabeldaken zijn ontstaan als rechtstreekse uitbreiding van het hangbrugprincipe dat in de 19e eeuw was ontworpen en geëvolueerd.[6] Een kabelsysteem met een enkele, doorhangende kromming moet echter voldoende verzwaard en/of extra verstijfd worden zodat bij windzuiging het dak niet wordt opgetild.[12] Een voorbeeld hiervan is de terminal van Dulles Airport, door Saarinen en Severud (1958).

Fig. 2-6 Terminal van Dulles Airport, Saarinen en Severud [14]

Een andere manier om een kabelsysteem stabiel te maken is het voorspannen tegen een andere reeks kabels met tegengestelde kromming die in hetzelfde vlak liggen. Een dergelijk systeem werd in de jaren ’50 uitgewerkt door D. Jawerth onder de vorm van een voorgespannen kabelvakwerk.[6,15]

Een kabelsysteem kan ook gestabiliseerd worden door een reeks naar onder doorhangende kabels voor te spannen met een reeks kabels met tegengestelde kromming die haaks op de eerste reeks liggen zodat in feite een ruimtelijk, voorgespannen kabelnet ontstaat.[12] Het beschreven oppervlak heeft een dubbele kromming en is anticlastisch. Allicht een van de eerste toepassingen van dit systeem is de ‘Raleigh Arena’ in North Carolina (V.S.), gebouwd in 1953 door Nowicki en Severud, waarbij een kabelnet wordt gespannen tussen 2 bogen uit gewapend beton.

13


Fig. 2-7 Raleigh Arena, M. Nowicki en F. Severud [12]

De bogen liggen tegengesteld geheld onder een hoek van 20° met de horizontale en worden verticaal ondersteund door een reeks kolommen. Het kabelnet vlakt sterk af in de zones waar het kabelnet en de bogen het hoogst zijn. Naar de uiteinden van het kabelnet toe zijn dan ook extra windkabels nodig om het gedeeltelijk ‘wapperen’ van het dak te verhinderen.[6,11,16]

De Raleigh Arena vormde een voorbeeld voor een groot aantal kabeldaken gebouwd in de jaren ’50 onder meer door Eero Saarinen, Frei Otto en Kenzo Tange die onmiddellijk de mogelijkheden van dit soort kabeldaken wilden benutten.[6,11,17] Toch voelden ze zich sterk beknot in hun fantasie door het beperkte aantal geometrische vormen die berekening toelieten. De geometrische vorm moest een vrij hangende structuur zijn of de vorm moest in een mathematische uitdrukking kunnen worden uitgedrukt om als een elastische, voorgespannen structuur te kunnen worden berekend (zoals de hyperbolische paraboloïde) - een ontwerpprocedure die vertrouwd was bij ingenieurs van voorgespannen betonschalen.[12] Dit was ook het geval bij de vroege kabelstructuren op expo ’58. Men treft vooral structuren aan met een enkele doorhangende kromming (bvb. paviljoen van Brazilië en de kerk van het paviljoen van het Vaticaan) en structuren met hyperbolisch paraboloïde vormen (bvb. Paviljoen van Frankrijk).[1]

14


Fig. 2-8 maquette Frans paviljoen, het dak bestaat uit 2 hyparvormen [2]

Afwijkingen op deze vormen (zoals het Marie Thumas paviljoen) leverden problemen op naar berekeningshypothesen toe (zie hoofdstuk 3 en [18]). Het is Frei Otto, eerder geïnspireerd door de Raleigh Arena, die voor een aardverschuiving zorgde zowel in het ontwerp als in de berekening van membraan- en kabeldaken. Hij experimenteerde met een grote variatie aan modellen van kettingen en netten (zoals ook Gaudí had gedaan voor het ontwerp van zijn kathedraal in Barcelona). Hij haalde inspiratie uit de vorm van zeepbellen en slaagde erin een enorme hoeveelheid vormen te creëren met behulp van elastische bladen en materiaal voor nylonkousen.[12,19] De vormen van deze modellen konden niet in mathematische vergelijkingen worden gevat en konden dus ook niet op de traditionele manier worden berekend door ingenieurs. Het was in het bijzonder voor architecten een uiterst frustrerende zaak om op schaal mooie vormen te kunnen maken die, enkel omdat ze niet wiskundig konden gevat worden, niet konden worden berekend en gebouwd[12].

Fig. 2-9 model met rekbaar materiaal[20]

15


De oplossing voor deze crisis bestond erin om ook ingenieursontwerpen te maken op modellen door het belasten en meten van opeenvolgende modellen die steeds verfijnder en meer accuraat werden.[6,12,21] Verschillende problemen kwamen hierbij naar boven. Het eerste probleem was een techniek van modellen maken ontwikkelen waarvan werd aangenomen dat deze een gepaste weerspiegeling zou geven van de materialen en van de structuur die in werkelijkheid zou gebouwd worden. Het tweede probleem was er een van schaal: de specialisten en producenten van materialen en verbindingen moesten voldoende informatie krijgen uit modellen, die vaak honderden keren kleiner waren dan de werkelijkheid.

Fig. 2-10 draadmodel Olympisch dak München [22]

De oplossing voor het eerste probleem bestond erin modellen te maken met zeer uiteenlopende materialen (van zeer vervormbare zeepbellen over verschillende soorten elastische bladen tot niet elastische netten). Geen van deze modellen bleek een adequate voorstelling en vaak moesten modellen met de verschillende types materialen allen worden gemaakt om allerlei soorten van informatie te genereren. Het tweede probleem werd opgelost door gebruik te maken van teststructuren (op grotere schaal) die vaak enkele meters overspanden en dan beproefd werden om de effectiviteit van de ontwerpprocedures aan te tonen.[12,21]

16


Fig. 2-11 Paviljoen van Duitsland op expo ’67, Frei Otto [23]

De methode van Frei Otto leverde als belangrijkste bouwwerken twee enorme kabelnetten op : het Duits paviljoen op expo ’67 in Montréal en het dak van het stadium voor de Olympische Spelen van 1972 in München.

Fig. 2-12 Dak van de Olympische Spelen in München [7]

2.2.2 Membraandaken In ‘Das hängende Dach’ (1954) [12] beschrijft Frei Otto structurele membranen als de meest pure vorm van hangdaken omdat, in tegenstelling tot kabeldaken, de structuur en de afscherming door één en hetzelfde element worden bekomen. Membranen die gebruikt worden als structuurelement moeten echter gestabiliseerd worden tegen uitwendige krachtswerkingen.

17


Dit is bijvoorbeeld mogelijk door het aanwenden van een voldoende groot drukverschil tussen de binnen- en de buitenzijde van het membraan (pneumatische constructie). Deze methode was geïnspireerd op de 19e eeuwse luchtballonnen en luchtschepen.[6]

Fig. 2-13 pneumatische dakconstructie van Romeins amfitheater in Nîmes[7]

Maar net als bij kabelnetten is dit ook mogelijk door een voorgespannen, dubbel gekromd, anticlastisch oppervlak te vormen met het membraan. Een bijkomend probleem, ten opzichte van kabelnetten, was ook het genereren van de gepaste knippatronen zodat uit een vlakke reep membraan een ruimtelijk gekromd oppervlak kon worden bekomen.[6,21] Frei Otto’s samenwerking in de jaren ’50 met de tentmaker Peter Stromeyer zorgde ervoor dat de praktische kant van het maken van tenten gecombineerd werd met de kennis die Frei Otto had vergaard bij het maken van modellen (zie 1.2.1), wat leidde tot experimenten zoals op de Lausanne tentoonstelling.[6,21]

Fig. 2-14 Vroege membraanstructuur : muziekpaviljoen in Kassel (1955), Frei Otto [20]

18


Fig. 2-15 Lausanne tentoonstelling 1964, Frei Otto[20]

Door de toenemende performantie van de materialen (zie hoofdstuk 4) konden grotere overspanningen bereikt worden en konden membranen gebruikt worden voor permanente constructies. De conische vormen van ‘La Verne College’ (1973) was het eerste dak gebouwd met een PTFE/glasvezel membraan(zie hoofdstuk 4), een materiaal met voldoende duurzaamheid om als permanent materiaal te kunnen dienen.[6]

In dezelfde periode begonnen verschillende ontwerpers ook te zoeken naar manieren om beweegbare daken te maken met membranen door de membranen te ontspannen en terug op te vouwen.[6] Eén van de grootste beweegbare daken is het Montréal Olympisch stadiondak (1989).[6,22]

19


Fig. 2-16 Opvouwbaar dak van de Olymische Spelen in Montréal 1989 [22]

In de jaren ’60 deed de computer zijn intrede en werd het een essentieel hulpmiddel om te kunnen omgaan met de complexe geometriën en het niet- lineair gedrag van netten en membranen. Numerieke methodes voor form-finding, analyse van belastingen en generatie van knippatronen werden ontwikkeld. Momenteel is het mogelijk om via software de complexe vorm tevoorschijn te toveren en informatie over spanningen en verplaatsingen op te vragen. De computer helpt de ontwerper ook bij het vinden van de meest geschikte knippatronen. Modellen worden enkel nog gemaakt om een globaal idee te krijgen van de constructie en voor communicatie binnen een ontwerpteam.[13,24]

20

HET PAVILJOEN VAN MARIE THUMAS

3 Het paviljoen van Marie Thumas 3.1 Algemene informatie Architecten: L.-J. Baucher, J.-P. Blondel en O. Filippone Raadgevend Ingenieur: René Sarger Studiebureau:Génie Civil: Claude Gérard Metaalconstructie : C.E.T.AG. Aannemers: Eric Meyer, Entreprises Maurice Delens

Fig. 3-1 Impressie van het paviljoen aan de buitenzijde [2]

21


3.2 Structuurbeschrijving De structuurbeschrijving is gebaseerd op [18] Het bouwwerk was 53 m lang, 37 m breed en had een hoogte van 12 m. De structuur bestond uit acht stalen masten in de vorm van vier V’s. Elk paar V’s werd onder een hoek van ongeveer 33° (t.o.v. de loodlijn) naar buiten geplaatst. In de lengterichting van het paviljoen. werden de toppen van de V-masten verbonden door rechtlijnige kabels. Drie kabels B,D en F (concaaf naar boven) verbonden de toppen van de masten in de breedterichting, waar ze verticaal werden verankerd in zes funderingssokkels.

Fig. 3-2 principeschetsen(1) [18]

Twee kabels C en E (convex naar boven) kwamen uit op de knopen gevormd door (dak)liggers aan de randen van het dak (tussen de toppen van de 4 V’s) en werden vervolgens schuin verlengd naar funderingsschragen bestaande uit een schuine drukker en een verticale trekker in gewapend beton. Persoonlijk lijkt mij deze manier nogal omslachtig, het zou logischer zijn om de trekkers schuin in de fundering te verankeren. Op die manier zou men geen schuine drukker nodig

22


hebben. Het zou kunnen dat deze uitvoeringswijze werd gekozen wegens gebrek aan ruimte voor een schuine verankering in de fundering.

Fig. 3-3 principeschetsen(2)[2]

Fig. 3-4 schets van de kabelstructuur[2]

De vijf kabels werden onderling en in de lengte van de kleine gevelvlakken verbonden met de fundering door een groot aantal vlakke metalen spanten. Deze spanten waren opgebouwd uit kokerprofielen, met een rechtlijnige bovenzijde en een onderzijde in de vorm van een visbuik. De onder- en bovenzijde werden verbonden met tussengelaste staalplaatjes.

23


Fig. 3-5 binnenzicht tijdens de uitvoering[2]

De dakbedekking werd gerealiseerd met geprefabriceerde films van soepele plastic, met een dikte van 0.4 mm. Ze werden ter plaatse uitgerekt en gelast. Deze bedekking was kwetsbaar maar relatief eenvoudig te herstellen. Ingangen werden voorzien aan de zijkanten van één van de eindbeuken.

Fig. 3-6 buitenzicht van de structuur [2]

24


Fig. 3-7 binnenzicht van het afgewerkt paviljoen [2]

De berekening en de realisatie van dit paviljoen stelde in het bijzonder problemen met betrekking tot de berekeningshypotheses en de verankering van de kabels. De statica laat toe de krachten te determineren in alle onderdelen van het systeem zonder het gewicht in rekening te brengen. De effecten van dood gewicht, sneeuw en wind waren niet zo duidelijk gedefinieerd. De eerste hypothese bestond uit het aannemen dat de dakspantjes, die elkaar telkens raakten op een lage kabel (C en E), tezamen werkten als een ketting en geen enkele last op de kabel teweeg brachten. In plaats daarvan zouden verticale en horizontale krachten op de naburige kabels worden teweeg gebracht. Deze hypothese was klaarblijkelijk geïnspireerd door het feit dat de kabels waarop de liggers samen kwamen convex waren naar boven toe waardoor ze geen krachten naar beneden toe konden opnemen. Eigenlijk konden de kabels in dezelfde mate krachten opnemen als de kabels die concaaf naar boven waren, de belasting zou enkel een partiële ontspanning van de kabel veroorzaken. De uiteindelijke hypothese toegepast voor de berekening van de sollicitaties van eigengewicht, sneeuw en wind bestond erin de dakspanten te beschouwen als liggers op eenvoudige steunpunten. Deze hypothese was geen exacte weerspiegeling van de werkelijkheid.

25


De inrichting van de funderingen en hun verbindingen vloeide rechtstreeks voort uit de sollicitaties ten gevolge van de bovenstructuur: bepaalde zolen moesten weerstaan aan opwaartse belasting, andere aan neerwaartse krachten en het merendeel ook aan horizontale krachten. De horizontale krachten werden in evenwicht gehouden door verbindingsbalken (vierkant) tussen de zolen van de V-masten (zie Fig 3-2).

Omtrent de verankering van de verticale of schuine kabels in de funderingsmassieven, was het eerste idee om hun uiteinden te verbinden aan dikke gegroefde stangen uit staal ingewerkt in de kolommen van gewapend beton (zie Fig.3-2). Omwille van de belangrijke krachten die op de fundering moesten overgedragen worden en omwille van de onmogelijkheid

(tijdsgebrek)

om

laboratoriumproeven

uit

te

voeren

op

de

verankeringssterkte van de gegroefde stangen werden deze vervangen door niet gegroefde stangen die aan de wapeningskorf van de kolommen uit gewapend beton werden gelast.

De methode om het systeem onder voorspanning te brengen was de volgende: eerst werden de liggers onder trek gebracht door het aanspannen van de kabels aan de uiteinden, door de kabels aan te spannen met moffen. Vervolgens werd het volledige systeem voorgespannen door de hoofden van de masten naar de buitenzijde te verplaatsen door de verticale neerwaartse kabels naar beneden te trekken (zie ook Fig 3-3). De volledige operatie van het onder spanning brengen werd gecontroleerd met behulp van sonars die op de verschillende plaatsen werden aangebracht.

26

MATERIALEN

4 Materialen Tentconstructies bestaan meestal uit een aantal stijve en soepele elementen. De soepele of vormactieve elementen zijn bijvoorbeeld kabels en membranen. De stijve elementen bestaan meestal uit de gebruikelijke traditionele materialen (hout, staal, gewapend beton…) zodat deze weinig verdere uitleg behoeven. De materialen van de vormactieve elementen zijn echter minder gekend. Het lijkt dan ook zinvol om er hier dieper op in te gaan, temeer omdat de fysische eigenschappen van de soepele materialen uiterst belangrijk zijn bij het ontwerp. De tekst die volgt is gebaseerd op [3],[6],[24],[25].

4.1 Kabelnetten en kabels Kabels zijn elementen die zowel in kabelnetten als in membraanconstructies voorkomen. Staalkabels worden bekomen door het wikkelen van verschillende strengen om een kern, vervaardigd uit staal natuurlijke vezels of synthetisch materiaal. De strengen bestaan uit verschillende staaldraden die op hun beurt rond een stalen of ander soort kern worden gewikkeld.

Staaldraden

worden

vervaardigd

door

warm

walsen

en

trekken

(koudvervorming).

Fig. 4-1 typische opbouw van een staalkabel [6]

Kabelnetten bestaan uit een netwerk van staalkabels die in de knopen met elkaar zijn verbonden. Door de hoge treksterkte van de staalkabels is het mogelijk zeer grote overspanningen te maken met behulp van kabelnetten.

27

MATERIALEN

Om een gesloten geheel te bekomen moet het kabelnet bedekt worden met een materiaal dat een afdichtende functie heeft. Het materiaal voor de afdichting moet voldoende soepel zijn om de vervormingen van het kabelnet te kunnen volgen, maar moet toch ook voldoende stijf zijn zodat er zich lokaal, tussen de mazen van het kabelnet, geen waterzakken kunnen vormen.

4.2 Membranen In tegenstelling tot kabelnetten zijn structurele membranen ruimtescheidend en lastenoverbrengend tegelijker tijd. Een membraan moet aan een aantal structurele, economische en functionele vereisten voldoen. Structureel zijn vooral de sterkte (De term ‘sterkte’ heeft betrekking op zowel de treksterkte als de scheursterkte van het membraan. De ene eigenschap impliceert echter niet noodzakelijk de andere.) en de stijfheid van belang. Economisch houdt men vooral rekening met het licht gewicht (Men evalueert in feite

de

lichtheid

van

het

totaalproject),

een

voldoende

levensduur,

de

onderhoudsvriendelijkheid en de prijs. Functioneel bekijkt men onder meer het gedrag bij brand, de lichttransmissie (natuurlijk licht overdag) en de soepelheid (voldoende soepelheid om meervoudig plooien toe te laten zonder beschadiging). Voor een gespannen membraan kan men een folie (of film) gebruiken, een niet- gecoat weefsel een gecoat weefsel of een gebreid doek. De meeste membranen die gebruikt worden voor structurele doeleinden die een hoog performant membraan vereisen, zijn gecoate weefsels. Om deze reden zal in wat volgt voornamelijk aandacht worden gegeven aan deze membranen.

4.2.1 Folies en films Folies en films zijn te verkrijgen onder vorm van bladen als doorzichtig vinyl of polyethyleen. Ze zijn goedkoper dan weefsels maar minder sterk en minder duurzaam. Interessante bouwkundige toepassingen zijn bijvoorbeeld de transparante opgeblazen ETFE kussens die concurrentiëel worden voor glas bij grote lichtkoepels [zie fig. 4-2].

28

MATERIALEN

Fig. 4-2 opblaasbare PTFE kussens van het ‘Eden Project’ [26]

4.2.2 Gecoate weefsels Een gecoat weefsel bestaat uit een weefsel dat wordt gedrenkt in een basiscoating, daarna worden een binnen- en buitencoating aangebracht door het weefsel in te strijken of de coating er op te walsen. Topcoatings zijn eventueel mogelijk en dienen als extra beschermlaag. Men merkt dus dat een gecoat weefsel niets meer is dan een niet- gecoat weefsel met enkele beschermlagen en in die zin een logische uitbreiding. Een gecoat weefsel is opgebouwd uit een anisotroop weefsel met stijve vezels (hoge elasticiteitsmodulus) en een coating met een lage elasticiteitsmodulus. Het vertoont een biaxiaal gedrag in de hoofdrichtingen van het weefsel.

Fig. 4-3 typische meerlagige opbouw van een gecoat weefsel [6]

Wanneer men een structureel membraan wil gebruiken dan moet men steeds volgende materiaaleigenschappen nagaan: het gebruikte weefselmateriaal, het gewicht van het weefsel [N/m!], het coatingmateriaal, eventuele topcoatings, het totale gewicht van het membraan, de treksterkte (van een strip) [N/m], de scheursterkte de hechtingssterkte van

29

MATERIALEN

de coating, de weerstand tegen plooien, het brandgedrag, de verbindingsmogelijkheden van afzonderlijke stroken (lassen of lijmen), de verwachte levensduur. Verder kunnen, naargelang de toepassing, ook volgende eigenschappen belangrijk zijn: maatvastheid, kruipgedrag, relaxatie, kleurvastheid, thermische en optische eigenschappen, akoestische eigenschappen…

Het weefsel Men krijgt een weefsel door het weven van draden. Weven op zich is niets meer dan het over elkaar slaan van draden om zo een 2 dimensionaal plat vlak te verkrijgen. Er bestaan verschillende soorten weeftechnieken waarbij men toch steeds een, in meer of mindere mate, structureel anisotroop materiaal bekomt. De reden hiervoor is dat het weefsel steeds een schering– en inslagrichting heeft. Indien aan het weefsel wordt getrokken in de inslagrichting, dan zal in het begin een belangrijke vervorming optreden omdat de inslagdraden zich eerst gaan strekken.

Fig. 4-4 draden in Schering- en inslagrichting van het weefsel[6]

Men kan dit fenomeen in zekere mate verminderen door een speciale weeftechniek (Rachel Tramer [6]) aan te wenden, of door de inslagdraden voor te spannen tijdens het coaten. Dit laatste heeft als gevolg dat de draden in beide richtingen een golvend verloop vertonen. De fysische kenmerken (en ook de prijs) van een weefsel hangen, naast de gebruikte weeftechniek, vooral af van het soort draden waaruit het weefsel is samengesteld. Men bekomt draden door het spinnen van vezels. (Men kan draden verder bundelen tot strengen die op hun beurt tot bundels kunnen gevlochten worden. Men kan in principe ook hiermee weven.) Enkele belangrijke eigenschappen van verschillende vezels zijn hieronder weergegeven.

30

MATERIALEN

Fig. 4-5 Tabel met enkele eigenschappen van vezels[6]

De reden waarom bepaalde vezels al dan niet worden gebruikt, ligt uiteraard aan het geheel van fysische kenmerken gekoppeld aan de prijs. Twee soorten vezels verdienen bijkomende aandacht omdat deze het meest worden gebruikt in gecoate weefsels: Polyestervezels: Polyestervezels zijn lichter dan glasvezels. Ze hebben een goede sterkte maar zijn sterk vervormbaar. Verder vertonen ze geen gunstig brandgedrag en worden ze aangetast door UV- straling. Men merkt dus reeds waartoe een coating zal moeten dienen. Glasvezels: Glasvezels hebben een hoge sterkte en een hoge elasticiteitsmodulus. Glasvezels vertonen, in tegenstelling tot de polyestervezels, een gunstig brandgedrag en ze zijn ook UVbestendig. Glasvezels zijn relatief bros en zijn dus niet geschikt voor veelvuldig plooien. Ze kunnen een deel van hun sterkte verliezen door contact met water (spanningscorrosie). Het weefsel moet dus beschermd worden tegen langdurige bevochtiging. Een weefsel dat uit glasvezels bestaat is evenwel duurder dan een weefsel bestaande uit polyestervezels.

De coating De belangrijkste bedoeling van het coaten is de realisatie van een duurzaam lucht- en waterdicht membraan. De coating vult de openingen tussen de draden van het weefsel op en versterkt het weefsel zowel voor vervorming in het vlak als loodrecht op het vlak. De coating heeft dus een duidelijke bijdrage tot het vervormingsgedrag van het membraan. De coating beïnvloedt onder meer de dichtheid, de duurzaamheid, de lasbaarheid (zie hoofdstuk 5), de lichttransmissie, de reinigingsaspecten, het brandgedrag en ook de prijs.

31

MATERIALEN

De coating kan op verschillende manieren worden aangebracht: het weefsel kan met een vloeibare coating worden bedekt en in een oven worden opgewarmd, een verwarmde film of pasta kan op het weefsel gedrukt worden met een pers of het weefsel kan worden ondergedompeld in een coatingbad en vervolgens worden gedroogd. Welke coating op een bepaald weefsel wordt toegepast is afhankelijk van de eigenschappen van het weefsel zelf en van de eisen (brandgedrag, lichtdoorlatendheid, vochtbestendigheid,…) die men aan het gecoate weefsel stelt. De meest voorkomende coatings zijn: PVC, PTFE (teflon), synthetische rubbers en PU.

Soorten gecoate weefsels PTFE gecoat glasweefsel: De PTFE-coating is duurzaam maar duur. De coating is bestand tegen allerlei soorten chemicaliën, tegen UV- straling en tegen vocht (wat belangrijk is ter bescherming van het glasweefsel). Verder is het vuilafstotend en blijft het intact onder hoge temperaturen. Op die manier bekomt men een gecoat weefsel dat sterk is, niet brandbaar, en bestand tegen UV- straling. Omwille van brandveiligheid wordt het vaak in de Verenigde Staten gebruikt. Het weefsel plooien blijkt niet altijd even gemakkelijk door de coating die minder soepel is en door de stijve glasvezels. Een toepassingsvoorbeeld is de gevelbekleding van het Burj Al Arab hotel.

Fig. 4-6 Burj Al Arab hotel in Dubai

32

MATERIALEN

PVC gecoat polyesterweefsel: De PVC coating is zeer soepel en in beperkte mate UV- bestendig. Meestal wordt nog een extra topcoating voorzien voor een betere bestandheid tegen UV- straling en om aanhechting van vuil te reduceren.

Fig. 4-7 Gottlieb Daimler Stadium in Stuttgart [7]

PVC gecoat polyesterweefsel is in Europa het meest gebruikte membraanmateriaal. Het is en sterk en soepel materiaal. Het is tot driemaal goedkoper dan met teflon gecoat glasweefsel. Nadelen zijn de brandbaarheid, het sterkteverlies in de tijd door UVaantasting

en

de

grote

thermische

uitzettingscoëfficiënt

(De

thermische

uitzettingscoëfficiënt bedraagt 0,5.10^4/m. Men moet vermijden dat het membraan slap komt te hangen). In Fig 4-7 wordt een toepassing getoond.

Glasweefsel gecoat met siliconenrubbers: Deze membranen zijn sterk, UV- bestendig en duurzaam. Zowel hun verwerkbaarheid als de prijs ligt tussen deze van de PVC-gecoate polyesterweefsels en de PTFE-gecoate glasweefsels in. Ze worden vaak gebruikt bij pneumatische membranen.

Andere gecoate weefsels: De gecoate weefsels die hierboven nader zijn toegelicht zijn materialen die qua prijskwaliteit verhouding erg goed scoren. Er bestaan ook gecoate membranen die op gebied van fysische eigenschappen algemeen beter scoren maar navenant zijn ze ook duurder. Zo

33

MATERIALEN

bestaat er bijvoorbeeld een weefsel met aramidevezels gecoat met PVC. Het is sterk, heeft een goede brandbestendigheid maar is duur. Er worden nog steeds nieuwe materialen geproduceerd, soms met opmerkelijke toepassingen tot gevolg. Voor de opvouwbare parasols die de binnenplaats van de moskee van de Heilige profeet in Medina (Saudi- Arabië) overdekken werd gebruik gemaakt van een relatief nieuw materiaal dat pas in 2003 werd gecommercialiseerd door de firma Gore en dat de naam ‘Tenara’ meekreeg. In feite is dit een gecoat weefsel dat bestaat uit PTFE vezels en waarop een PTFE coating werd aangebracht. Het voordeel, zeker in verband met deze specifieke toepassing, is dat dit materiaal goed bestand is tegen UV- straling en dat het ook zijn sterkte niet verliest bij meervoudig plooien. Het materiaal heeft dus de goede eigenschappen van de beide traditionele gecoate weefsels.

Fig. 4-8 Opvouwbare parasols met ‘Tenara’ materiaal [25]

34

VERBINDINGEN EN TECHNOLOGISCHE DETAILS

5 Verbindingen en technologische details De verbindingen en technologische details die hier aan bod komen worden beperkt tot deze die relevant zijn voor de tentconstructies die zullen worden gemodelleerd. De tekst is gebaseerd op [3,6]

5.1 Verbindingen Verbindingen

hebben

als

doel

om

de

verschillende

onderdelen

van

de

membraanconstructie te laten samenwerken tot één geheel. De verbindingen zijn nodig om de voorspanning in het systeem te kunnen bewerkstelligen en om krachten over te brengen. De mogelijkheid moet bestaan om de voorspanning bij te regelen omwille van het kruipgedrag dat membraan en kabels ondergaan. Dit kan bijvoorbeeld gebeuren via spanwartels. De verbindingen in vormactieve systemen moeten voldoende soepel zijn aangezien vormactieve systemen vaak grote verplaatsingen ondergaan.

Intern in het membraan kunnen verbindingen voorkomen tussen membraanstrips onderling en tussen het membraan en interne kabels. De verbinding tussen verschillende membraanstrips onderling is veel voorkomend. Meestal gebeurt dit via thermisch of hoogfrequent lassen of via een speciale fusielijm. De naden zijn, afhankelijk van het soort materiaal, 25 mm tot 50 mm breed. Indien membraanvlakken te groot worden om in één deel gebouwd te worden, kunnen membraandelen ook demonteerbaar verbonden worden. Soms wordt een kabel over of onder een membraan gespannen. Men voorziet dan een lokale versterking van het membraan, of de kabel loopt door een omzoomde rand. Een membraan kan ook door een interne kabel worden versterkt.

35


Fig. 5-1 kabel boven membraan [22]

Een belangrijke verbinding is deze tussen een membraan en een stijve rand, een buigstijf element of een randkabel. Een membraan kan aan een stijve rand worden bevestigd door het af te werken met een zoom waardoor een randkabel loopt. De zoom wordt vervolgens afgewerkt met platen aan de onder- en bovenzijde. De onderste plaat wordt aan het stijve randlid bevestigd. Op deze manier worden de spanningen uniform verdeeld en overgebracht naar het randlid. De stijve rand moet een helling hebben die zo goed mogelijk tangentiaal aan het membraan is. Het principe is hieronder weergegeven.

Fig. 5-2 verbinding membraan aan vaste rand [6]

De verbinding van een membraan met een stang of profiel kan bijvoorbeeld door de rand van het membraan te voorzien van ogen en het membraan aan de stang te rijgen met een touw.

36


Fig. 5-3 verbinding van membraan met profiel [6]

De verbinding van een membraan met een randkabel kan op verschillende manieren gebeuren. Een manier die vaak wordt gebruikt, is het membraan afwerken met een zoom waardoor een koord wordt getrokken. Deze wordt vastgehouden met klemplaten die worden vastgebout in U- vormige strips waardoor ook een randkabel loopt.

Fig. 5-4 verbinding membraan met randkabel

5.2 Technologische details 5.2.1 De masttoppen In masttoppen ontstaan steeds spanningsconcentraties die hoog kunnen oplopen. Het membraan kan deze spanningen niet zomaar opnemen. Verschillende schikkingen zijn mogelijk om een geleidelijke spanningsovergang te realiseren:

37


Fig. 5-5 Principes voor masttoppen[3]

5.2.2 Randpunten In de randpunten worden krachten van het membraan overgebracht naar de ondersteuningsconstructie. Dit gebeurt meestal via randkabels of interne kabels. Deze kabels kunnen dan toekomen op een metalen platen. Een andere mogelijkheid is een open hoek voorzien.

Fig. 1-6 membraan en kabels komen uit op metalen klemplaat [6]

Fig. 5-7 open hoek [6]

38

ONTWERPEN VAN MEMBRANEN EN FORMFINDING

6 Ontwerpen van membranen en formfinding

6.1 Algemene principes

Deze paragraaf berust op kennis die hoofdzakelijk ontleend werd aan [3],[6],[24],[25].

Het is belangrijk om, alvorens te beginnen rekenen, een beeld in gedachte te hebben van hoe een constructie er min of meer moet uitzien. Dit is niet enkel een architecturaal probleem aangezien vorm en structuur volledig samenhangen. Het is daarom aangewezen enkele schaalmodellen te maken met rekbare stof of met zeepvliezen. Op die manier is het mogelijk om een globaal idee te krijgen van het uitzicht van de constructie en om een indruk te krijgen van de krommingen. De kromming in een oppervlak moet voldoende zijn omdat kleinere krommingen aanleiding geven tot grotere spanningen voor eenzelfde belasting. Het kan nodig zijn om bijkomende kabels toe te voegen om aan opwaartse windkrachten te weerstaan. Ook indien men randkabels voorziet moet men deze voorzien van voldoende kromming om de kracht erin niet nodeloos te laten oplopen. Een goede verhouding tussen de hoogte van de constructie en de overspanning is dus noodzakelijk. Voldoende hoogte zal nodig zijn om de noodzakelijke kromming te realiseren en ook om praktische redenen (bijvoorbeeld gebruikshoogte van de interne ruimte). Anderzijds vangt een hogere constructie meer zijwind zodat de belasting groter zal zijn. Voorts is het van belang te controleren of de helling van het oppervlak overal voldoende groot is om accumulatie van water of sneeuw te voorkomen. Meestal vormt dit geen probleem indien de kromming steeds voldoende groot blijft. De afwatering kan dan op een natuurlijke manier gebeuren. Bijkomend dient de mogelijkheid te bestaan om de voorspanning bij te regelen. Dit moet steeds mogelijk zijn, vermits tengevolge van dimensionele variaties door bijvoorbeeld temperatuursschommelingen en effecten van kruip en relaxatie, het membraan steeds onder voldoende spanning dient te blijven staan.

De keuze van de voorspanning is essentieel bij het ontwerp. De voorspanning moet voldoende groot zijn zodat onder uitwendige belasting de vorm in grote mate behouden

39


blijft en dus geen vorminversie ontstaat of zakken worden gevormd. Ook is het niet aanvaardbaar dat er, ten gevolge van uitwendige belastingen, spanningen gelijk aan nul ontstaan in bepaalde zones van het gemodelleerde net (tenzij zeer plaatselijk). In de praktijk zal dit overeenstemmen met rimpelvorming van het membraan. Men moet dus nagaan of de verplaatsingen van het membraan ‘aanvaardbaar’ blijven. Hier bestaan echter geen objectieve maatstaven voor.

Het materiaal legt ook beperkingen op naar maximum trekspanningen: de spanning in het membraan moet beperkt blijven onder voorspanning alleen met veiligheidsfactor 8 à 10 op de breuklast. De spanning in het membraan moet beperkt blijven in extreme condities (in uiterste grenstoestand) met een veiligheidsfactor 5 op de breuklast.

Het is mogelijk om een membraan als kabelnet te simuleren. Men moet dan aan de ‘kabelelementen’ de gepaste stijfheden toekennen van de schering- en inslagrichting van het membraan. Meestal laat men de scheringrichting (grootste stijfheid) samenvallen met de richting van de kortste overspanning of de richting die de grootste kracht moet opnemen. De simulatie van een membraan als kabelnet is vooral belangrijk naar de berekening toe.

Met het oog op de uitvoering is het voor de ontwerper essentieel dat er knippatronen worden gegenereerd. Membranen gefabriceerd tot lange stroken met een breedte van ongeveer 2 m. Uit deze vlakke stroken moeten vormen worden gesneden die, indien ze zijn samengesteld met de andere stukken, onder voorspanning het gewenste ruimtelijk gekromd oppervlak beschrijven. In de praktijk gaat men in de omgekeerde volgorde tewerk: op het ruimtelijk

gekromd

oppervlak

worden

naden

gedefinieerd

die

preferentieel

overeenstemmen met geodetische lijnen op het oppervlak. Een geodetische lijn is een lijn die op een ruimtelijk oppervlak is gelegen maar die slechts een kromming in één vlak heeft. Praktisch gezien is een geodetische lijn een lijn zonder torsie. Dit betekent dat na planarisering tot een 2 dimensioneel vlak de geodetische lijn recht blijft. Dit is handig bij het

vervaardigen

van

de

strips.

Na

de

planarisering

dient

men

nog

een

spanningsdecompensatie uit te voeren aangezien bij het knippen de stroken niet onder spanning staan.

40


6.2 Force density methode Deze paragraaf is gebaseerd op [24],[27]. De vormbepaling van een kabelconstructie (of membraanconstructie) komt neer op het bepalen

van

de evenwichtsvorm

onder

een

gegeven belasting

met

gegeven

randvoorwaarden. Samen met de vorm wordt ook de krachtswerking berekend. De Force Density methode werd ontworpen door Prof. H. Schek aan de universiteit van Stuttgart. Het is een wiskundige strategie om vergelijkingen op te lossen voor een netwerk van lineaire elementen die scharnierend zijn verbonden en waarvan de uitwendige krachten aangrijpen in de knopen van het netwerk. Het netwerk kan bijvoorbeeld een kabelnet zijn of een orthotroop membraan dat door een bidirectioneel net kan worden gesimuleerd. Belangrijk is dat de initiële coördinaten van de knopen van het netwerk niet vereist zijn. Dit wordt mogelijk gemaakt door een wiskundige truc. De methode baseert zich op de veronderstelling dat het netwerk in evenwicht verkeert met betrekking tot de belasting die er op aangrijpt. De evenwichtsvergelijkingen in een knoop drukken uit dat de uitwendige belasting in een knoop gelijk en tegengesteld is aan de som van de normaalkrachten van de kabelelementen die samenkomen in die knoop. Zowel vaste als vrije punten komen voor. De vaste punten zijn ophangpunten of aanspanpunten van het net. Principieel komt het hier op neer:

Fig. 6-1 een willekeurige knoop i in een ruimtelijk netwerk

Voor knoop i schrijft men: sa cos(a,x) + sb cos(b,x) + sc cos(c,x) + sd cos(d,x) = px sa cos(a,y) + sb cos(b,y) + sc cos(c,y) + sd cos(d,y) = py sa cos(a,z) + sb cos(b,z) + sc cos(c,z) + sd cos(d,z) = pz

41


Hierin zijn sa, sb, sc en sd de normaalkrachten. De factoren van de vorm cos(a,x) stellen de lengte voor van de projectie van een eenheidsvector volgens de richting van het element a op de x- as. Deze genormaliseerde projectielengtes kunnen ook worden uitgedrukt in de vorm: (xm – xi) / a. Op die manier krijgt men:

sa (xm - xi)/a + sb (xj - xi)/b + sc (xk - xi)/c + sd (xl - xi)/d = px sa (ym - yi)/a + sb (yj - yi)/b + sc (yk - yi)/c + sd (yl - yi)/d = py sa (zm - zi)/a + sb (zj - zi)/b + sc (zk - zi)/c + sd (zl - zi)/d = pz

In deze vergelijkingen zijn de lengtes a, b, c en d tevens functie van de coördinaten van het punt i en zijn daarom niet-lineair. Ook de uitwendige krachten kunnen functie zijn van de maaswijdtes. De wiskundige truc bestaat er nu in om de waarde van de normaalkracht te delen door de overeenkomstige lengtes: sa / a. De waarde van qa = sa / a noemt men de force density. Indien we deze als parameters beschouwen die we kunnen kiezen dan wordt het stelsel lineair en kunnen de coördinaten van het punt i worden bepaald:

qa (xm - xi) + qb (xj - xi) + qc (xk - xi) + qd (xl - xi) = px qa (ym - yi) + qb (yj - yi) + qc (yk - yi) + qd (yl - yi) = py qa (zm - zi) + qb (zj - zi) + qc (zk - zi) + qd (zl - zi) = pz

Voor elk stel parameters kan men een overeenkomstige vorm bepalen. Dit principe valt op een relatief eenvoudige manier om te zetten in een matrixformalisme dat geschikt is voor programmeren.

6.3 Softwarepakket ‘Easy 8’ Deze paragraaf is gebaseerd op [3], [27]. Het softwarepakket Easy werd ontworpen door Prof. Gründig van de Universiteit van Stuttgart en gecommercialiseerd door de firma Technet uit Berlijn. De programmacode is gebaseerd op de Force Density methode van Schek. Het pakket bestaat uit verschillende

42


modules die aan bod (kunnen) komen bij het ontwerp van kabelnetwerken en membraanconstructies. De eerste module is de module ‘Formfinding’ en laat toe om een evenwichtsvorm te bepalen. Bij dubbel gekromde membranen wordt deze evenwichtsvorm vaak onder voorspanning alleen bepaald. Als ontwerper legt men een aantal punten vast (mogelijks legt men ook interne punten vast of zelfs volledige randen) en kiest men de voorspanning (eigenlijk worden de force densities vastgelegd) van het net (membraan). Men kan het resultaat van de formfinding beschouwen als een soort vertrekpunt, een voorontwerp. In een tweede module, ‘Statical Analysis’, is het mogelijk om uitwendige belastingen (wind, sneeuw, eigengewicht,…) te laten aangrijpen op het resultaat van de formfinding. Het is mogelijk om spanningen, vervormingen en verplaatsingen te bepalen. Wanneer blijkt dat het voorontwerp met een zekere voorspanning om bepaalde redenen niet voldoet dan moet de eerste module opnieuw worden doorlopen met een andere keuze van voorspanning of door met aangepaste randvoorwaarden. Een derde module, ‘Cutting Pattern Generation’ laat toe om knippatronen te generen. Dit gebeurt nadat de vorige modules met succes zijn doorlopen en wanneer het membraan dus reeds aan alle structurele eisen heeft voldaan. Deze derde module laat toe om in een aantal stappen de vlakke vorm te bepalen die moet uitgesneden worden. De module moet meestal enkele keren worden doorlopen om een resultaat te bekomen dat bevredigend is. Tot slot is er nog een bijkomende module, ‘Beam Analyis’ die de analyse toelaat van hybride draagsystemen. De wisselwerking tussen buigstijve elementen en het membraan kan worden onderzocht. (De laatste module is enkel nodig indien een deel van het ondersteuningssysteem ook daadwerkelijk op buiging werkt. Een scharnierende mast, die een membraan ondersteunt, en die praktisch enkel normaalkrachten te verwerken krijgt kan eveneens in de eerste twee modules worden geanalyseerd.)

6.4 Toepassingsvoorbeeld De bedoeling van deze paragraaf is aantonen hoe een bepaalde modellering concreet tot stand komt en tevens alle tussenstappen die daarbij doorlopen worden toe te lichten. Bij formfinding systemen gebaseerd op de force-density methode is het mogelijk om de formfinding onafhankelijk te laten verlopen van de generatie van knippatronen.[25] Hoewel de generatie van knippatronen erg belangrijk is in de praktijk zullen we dit niet

43


verder behandelen aangezien de knippatronen de vorm niet bepalen. De knippatronen bepalen wel enigszins het uitzicht van het bouwwerk aangezien de naden tussen de verschillende stukken iets donkerder zijn. In wat volgt zal een gedetailleerde beschrijving van de eerste twee modules worden gegeven aan de hand van een eenvoudig voorbeeld.

6.4.1 Module 1: Formfinding Het uiteindelijke doel van deze module is om tot een evenwichtsvorm te komen. Deze evenwichtsvorm wordt meestal bepaald enkel onder voorspanning. Om een resultaat te bekomen moeten enkele subprogramma’s doorlopen worden. In ‘Front’ worden de belangrijkste gegevens van het membraan ingesteld. De geometrie in planzicht wordt geschetst (vastleggen van vaste punten), de randkabels (voor zover deze aanwezig zijn) worden voorzien van een pijl, de richting van de vezels wordt ingesteld, de grootte van de mazen wordt gekozen, het nettype (regelmatig of radiaal) wordt ingesteld en de forcedensities worden opgelegd.

Fig. 6-2 karakterisering van de netstructuur in ‘Front’

Hierna worden opeenvolgend ‘Ranggenn’, ‘Netgenn’, ‘Loop2d’ en ‘Zusn’ doorlopen. ‘Rangenn’ en ‘Netgenn’ genereren respectievelijk de randen en het net met de informatie uit ‘Front’. De verbinding van de randen met het net gebeurt met behulp van zogenaamde T- elementjes (in ‘Laggen’ automatisch aangemaakt) die het glijden van de uiteinden van het net over de randkabels mogelijk maakt [27]. Het subprogramma ‘Loop2d’ is niet nodig voor de formfinding maar genereert oppervlakte-elementen van het net die later kunnen worden gebruikt, bijvoorbeeld bij het bekijken van contourlijnen [27]. In de grafische

44


editor ‘Gedein’ is het mogelijk om de resultaten te bekijken. Hieronder werd het resultaat van ‘Netgenn’ weergegeven. De plaatsen waar de T- elementjes komen zijn in het donker aangeduid.

Fig. 6-3 het resultaat van ‘netgenn’ is een vlakke netvorm

‘Zusn’ combineert beide tot een geheel, rekening houdend met de ruimtelijkheid van de constructie [27]. Het resultaat wordt gebruikt bij de vormgeving in ‘Fofin’. Het resultaat van ‘Zusn’ en ‘Fofin’ is weergegeven in het zwart respectievelijk rood.

Fig. 6-4 resultaat van ‘Zusn’ en ‘Fofin’

45


De krachten kunnen worden bekeken in de editor ‘Stressvu’. Indien spanningen worden weergegeven worden deze uitgedrukt in kN/m, krachten worden weergegeven in kN.

Fig. 6-5 resultaat in ‘Stressvu’

Indien meerdere netten worden samengesteld, is het verloop iets ingewikkelder, maar in grote lijnen analoog. Verder bestaat nog de mogelijkheid om het ondersteuningssysteem in rekening te brengen. Dit gebeurt door bijkomende elementen in ‘Gedein’ te tekenen op het resultaat van ‘Zusn’ en dit als input te nemen voor ‘fofin’. Een alternatieve manier is om apart een ondersteuningssysteem te tekenen en dat als input voor ‘Zusn’ te nemen in plaats van ‘Fest’ dat de coördinaten van de vaste punten bevat zoals gedefinieerd in ‘Front’.

6.4.2 Module 2: Statical Analysis Zoals in de eerste module moeten ook in de tweede module een aantal subprogramma’s worden doorlopen. Eerst worden in ‘Emodul’ de materiaaleigenschappen vastgelegd. Meer bepaald wordt de stijfheid van het membraan in schering- en inslagrichting vastgelegd. ‘Dismem’ associeert de membraanstijfheden met het net [27].

46


Daarna berekent ‘Materi’ de ongerekte lengte van elke link, gebruik makend van de gegeven geometrie (resultaat forfinding), de stijfheid en de forcedensities. Vertrekkend van de forcedensities en de uitgerekte lengte van de afzonderlijke elementen worden de krachten berekend. De ongerekte lengtes worden dan gerekend, gebruik makend van de elementstijfheid EA in de wet van Hooke [27]:

"=

l ! l0 met ! = rek , l = uitgerekte lengte , l 0 = onuitgerekte lengte l0

" = E # ! met ! = spanning , E = elasticiteitmodulus.

l0 =

EAl met EA = de stijfheid in ‘Easy’ en q = de forcedensity EA + ql

In ‘load’ kan een bepaalde belastingsgroep worden gedefinieerd. We kunnen bijvoorbeeld een loodrecht naar beneden werkende belasting definiëren. De vectoren kunnen samen met de constructie worden voorgesteld in ‘Gedein’.

Fig. 6-6 voorstelling van een neerwaarts werkende belasting

47


Men kan in ‘Stressvu’ de spanningen onder de belasting bekijken en in ‘Bild’ kan men de contourlijnen nagaan van de vervormde constructie en de verplaatsingen nagaan. Indien de contourlijnen sluiten worden zakken of builen gevormd wat ontoelaatbaar is.

Fig. 6-7 voorstelling van de contourlijnen onder belasting

Fig. 6-8 voorstelling van de verplaatsingen ten gevolge van de belasting

48


Fig. 6-9 voorstelling van de spanningen onder belasting

Zoals men kan zien in Fig. 6-7 sluiten de contourlijnen in dit geval niet zodat geen vorminversie (doorzakking) ontstaat. Er zijn wel plaatsen waar spanningen gelijk aan nul ontstaan (Fig. 6-9) zodat het aangrijpen van de belasting gepaard gaat met rimpelvorming. De grootste verplaatsingen doen zich voor waar de rode cirkels (Fig. 6-8) het grootst zijn.

We kunnen concluderen dat de structuur niet voldoet omdat over grote delen nulspanningen ontstaan (Fig. 6-9). We hadden dus de voorspanning initieel hoger moeten kiezen. Dit betekent dat de volledige ‘formfinding’ module opnieuw moet worden doorlopen met een hogere voorspanning en dat daarna opnieuw de volledige module ‘Statical Analysis’ moet worden doorlopen om te zien of de nieuwe vorm voldoet. Hierbij moet ook rekening worden gehouden met de sterkte van het materiaal zoals beschreven in 6.1. Indien het onmogelijk is om tot een resultaat te komen waarbij aan alle vereisten is voldaan dan moet men overgaan tot een alternatieve ruimtelijke schikking van de randpunten.

49

MODELLERINGEN OP BASIS VAN HET MARIE THUMAS PAVILJOEN

7 Modelleringen op basis van het Marie Thumas paviljoen Het ontwerp van het paviljoen van Marie Thumas is vermoedelijk gebaseerd op een artikel van Frei Otto uit 1956 waarin enkele voorstellen voor tentontwerpen beschreven worden.[1] Reeds in ‘Das hängende Dach’[12] uit 1954 beschrijft hij ook tentontwerpen die opmerkelijke gelijkenissen vertonen met het ontwerp van Marie Thumas, de zogenaamde ‘golfvormen’. De vormen die Frei Otto beschrijft mogen dan wel gelijkenissen vertonen met het Marie Thumas paviljoen, de structuur verschilt toch in belangrijke mate. Frei Otto heeft duidelijk een vormactief systeem in gedachten dat werkt op membraan – of kabelnetspanningen tussen de afwisselend convexe en concave kabels. Het is duidelijk dat men er in het ontwerp van Marie Thumas niet in geslaagd is om deze structurele gedachte te verwezenlijken. De redenen hiervoor zijn al aangehaald in hoofdstuk 2: berekeningsmethodes voor zulke vormen waren niet voorhanden en het is onzeker of de kennis op dat ogenblik voorhanden was om een uitgebreid modelonderzoek uit te voeren, zoals Frei Otto later zou doen bij het Duitse paviljoen op Expo 67, laat staan dat er voldoende tijd was. Het lijkt dan ook zinvol om na te gaan of de vorm van Marie Thumas a priori kan worden bekomen, gesteld dat men over de huidige materialen, berekeningsmethodes en knowhow zou beschikt hebben, door gebruik te maken van een ruimtelijke structuur, werkend op membraankrachten en voorspanning.

Vandaag zijn er membranen van hoge kwaliteit beschikbaar. In vergelijking met kabelnetten zijn membranen goedkoper, sneller te monteren en hoeven ze geen bijkomende afdekking. Daarom zal worden getracht een structuur te ontwerpen die uitgerust is met een membraan, bestaande uit een gecoat weefsel. Hierbij zal ik uitgaan van een vorm die zo goed mogelijk aansluit bij de vorm van Marie Thumas. Afwijkingen van de vorm kunnen (zullen) echter noodzakelijk zijn om aan de eisen te voldoen die een voorgespannen membraanconstructie oplegt.

50


7.1 Op zoek naar een aanvaardbaar voorontwerp Er wordt op zoek gegaan naar een vorm die zo goed mogelijk de contouren van de oorspronkelijke constructie benadert. We willen hierbij zoveel mogelijk het karakter van een tentstructuur behouden. Dit betekent dat we in principe enkel gebruik maken van membranen, kabels en masten.

We tekenen een vorm in ‘Front’ uit de eerste module. De afmetingen komen overeen met deze van het oorspronkelijke paviljoen: 53 m op 37 m met een hoogte van 12 m. Punten die gekleurd zijn in de tekening (zie fig. 7-1) zijn vast in de ruimte ondersteld. De hoge punten kunnen in eerste instantie vast worden verondersteld. We gaan er impliciet van uit dat dit punt door de ondersteuningsconstructie zal worden vastgehouden. De punten van het grondvlak zijn vast ondersteld (wat betekent dat de randen volledig zijn vastgemaakt aan een stijve constructie). Dit is zo gemodelleerd omdat de wanden van de oorspronkelijke constructie ook volledig gesloten zijn tot beneden. De schuine liggers die vertrekken van de toppen van de masten en die uitkomen om de spankabels trachten we te vervangen door kabels. De voorspanning (forcedensities) wordt in alle netten gelijk genomen aan 1 kN/m. Er wordt een net gedefinieerd met mazen van 1m op 1 m.

Fig. 7-1 randen van de structuur in ‘Front’

51


We kunnen nu na enkele stappen de vorm laten berekenen die met deze gegevens overeenstemt. Dit is weergegeven in Fig. 7-2.

Fig. 7-2 resultaat van Formfinding onder een arbitrair genomen voorspanning

Men kan merken dat de kabels, die in plaats van de buigstijve liggers zijn aangebracht, helemaal niet hun oorspronkelijk verloop behouden. Bij het voorspannen wordt het verloop van deze kabels beïnvloed door de spanningen in het membraan. Het resultaat is een vorm die minder ‘hoekig’ is dan het origineel en een vloeiender verloop van het dak naar de wanden vertoont.

Indien we nu de spanningen in het membraan nagaan, dan vinden we sterke pieken in de zones waar hoge punten voorkomen (de toppen van de masten). In die zones zullen lokaal versterkingen moeten aangebracht worden.

52


Fig. 7-3 Indicaties van de spanningsconcentraties

Er stellen zich een aantal problemen: - ten eerste is er in de bovenhoeken van de tent (waar de toppen van de masten moeten toekomen) weinig plaats. Indien men de ondersteuningen op dezelfde manier maakt als in de oorspronkelijke constructie dan zullen de masten en het membraan elkaar hinderen zodat het membraan mogelijks kan worden beschadigd. - ten tweede is er een belangrijk probleem met betrekking tot de voorspanning. Aangezien het membraan langs de onderzijde volledig is vastgemaakt, is het moeilijk om de voorspanning aan te brengen. Dit kan enkel via de spankabels en door het verplaatsen van de masten. Dit betekent ook dat het zeer moeilijk is om de voorspanning bij te regelen. Dit is nochtans noodzakelijk aangezien men rekening moet houden met vervormingen ten gevolge van kruip en temperatuursschommelingen. We stellen ook vast dat het membraan van de wanden tamelijk vlak is in de zones onder de masten. Er is dus weinig dubbele kromming (dus veel flappergedrag).

Omwille van deze moeilijkheden omtrent praktische realisatie en de conflicten tussen vorm en krachtswerking is het dus niet mogelijk om het paviljoen (in zijn oorspronkelijke vorm) zomaar te transformeren in een tentstructuur met membranen en kabels.

53


Op dit moment kan er een onderscheid worden gemaakt tussen 2 denkpistes. De eerste denkpiste bestaat erin de oorspronkelijke vorm zo goed als mogelijk pogen te benaderen. De andere denkpiste is om een zuivere tentstructuur te bekomen, een structuur die praktisch enkel uit een opgespannen membraan bestaat. Het zal onvermijdelijk zijn dat op deze denkpiste vrijer met de oorspronkelijke vorm wordt omgegaan: de hoofdgedachte van de structuur wordt behouden maar de resulterende vorm zou op een meer “natuurlijke” vorm tot stand moeten komen, rekening houdend met de praktische eisen voor het opspannen van een membraan en het gebruik van de tent.

7.1.1 Eerste denkpiste: benadering oorspronkelijke vorm Zoals reeds werd vermeld was de oorspronkelijke vorm scherp afgelijnd en hoekig. Dit komt doordat in het oorspronkelijke paviljoen buigstijve liggers voorkomen die de overgang tussen het dak en de wanden scherp aftekenen. In het oorspronkelijke paviljoen waren deze liggers noodzakelijk omdat de wanden bestonden uit slanke wandliggers die op de liggers aan de rand van het dak uitkwamen. De enige manier om deze oorspronkelijke vorm te bereiken is door in de huidige vorm eveneens buigstijve liggers in te voeren langs de rand van het dak en de wanden. In eerste instantie worden de punten die op de buigstijve liggers gelegen zijn volledig (ruimtelijk) vastgezet. Dit is een aanvaardbare benadering indien men in acht neemt dat het membraan in vergelijking veel meer zal vervormen. Het resultaat is hieronder weergegeven:

54


Fig. 7-4 resultaat van formfinding

Men bekomt een structuur die uit een reeks onafhankelijke membranen bestaat. De mogelijkheid bestaat dan ook om aan de verschillende membranen een verschillende voorspanning te geven. Dit is handig omdat een membraan dat een kleiner oppervlak beslaat doorgaans een kleinere voorspanning nodig heeft. De membranen die één van deze liggers als rand hebben, oefenen krachten uit op deze liggers die niet volgens de lengterichting van de liggers zijn gelegen. De liggers zullen dus op buiging worden belast. De structuur die ontstaat is hybridisch, waarmeer wordt bedoeld dat er een wisselwerking is tussen het membraan en stijve elementen. Het is mogelijk om zulke structuren te analyseren in de extra module ‘Easy Beam’. Er is te merken dat in de figuur de ondersteuningsconstructie nog niet is opgenomen. De ondersteuningsconstructie kan er op dezelfde manier uitzien als het oorspronkelijke ondersteuningssysteem. De stijvere randliggers zorgen voor voldoende ruimte in de bovenhoeken van de tent zodat het membraan niet in de weg van de masten zit. In- en uitgangen zijn nog niet voorzien. Deze kunnen desgewenst op dezelfde plaatsen worden voorzien als in het oorspronkelijke paviljoen. Het is echter niet mogelijk om zomaar ergens een rechthoekige vorm uit te snijden die als ingang dienst zou doen. Omdat het membraan onder spanning staat zullen openingen moeten afgewerkt worden met randkabels die de nodige kromming zullen moeten bezitten.

55


De randen die van de toppen van de masten recht naar beneden lopen in het oorspronkelijke paviljoen zijn in deze modellering lichtjes geheld. Dit was noodzakelijk omwille van de beperkingen van het rekenprogramma! Het programma laat niet toe om netten te definiëren waarvan de projectie evenwijdig met de verticale z- as op het xy- vlak (dat steeds het grondvlak vormt) resulteert in een lijn en niet in een vlak. Het is dan ook onmogelijk voor het programma om een net aan te maken aangezien de oriëntatie van het net gebeurt aan de hand van de x- en y- richting van het net.

7.1.2 Tweede denkpiste: zoektocht naar een zuivere tentvorm Het basissysteem waarop het paviljoen is gebaseerd is een golfvorm, bestaande uit een afwisseling van draag en spankabels die tegen elkaar zijn opgespannen door een membraan zodat men een ruimtelijk gekromd oppervlak verkrijgt. In het oorspronkelijk paviljoen worden de eindvlakken aan de korte zijden

van het

paviljoen aan de onderzijde volledig vastgemaakt. Dit betekent dat het niet handig is om de spanning aan te passen in deze eindvlakken: dit moet dan gebeuren door verplaatsing van de masttoppen of onrechtstreeks via de spanning in de spankabels bij te regelen.

Fig. 7-5 formfinding dak (1): vaste eindranden

De voorspanning kan beter worden bijgeregeld indien de eindvlakken worden afgewerkt met kabels aan de eindranden. De membraanspanningen in de eindvlakken kunnen dan veel makkelijker worden bijgeregeld door de spanning in de kabels aan de eindranden bij te regelen. Enkele mogelijkheden worden hieronder weergegeven:

56


Fig. 7-6 formfinding dak (2): eindkabel over verschillende punten

Fig. 7-7 formfinding dak (3): enkele eindkabel

Er moet aan gedacht worden dat er nog in- en uitgangen worden voorzien. Dit betekent dat, in de oplossing met een vaste onderrand bijvoorbeeld, nog een opening in het membraan zal moeten worden gesneden. Op de derde manier komt een toegang op een natuurlijke manier tot stand. Er moet niet meer geprutst worden aan het membraan. Deze oplossing heeft ook het voordeel dat het eindvlak dat sowieso minder kromming vertoont (en dus minder stijf is) wordt verkleind. De verbeterde stijfheid van de eindvlakken wordt dus bekomen door ze te verkleinen. De

57


vorm die op deze manier tot stand komt wijkt wel sterker af van de vorm van het oorspronkelijke paviljoen. Ondanks de afwijkingen van de oorspronkelijke vorm wordt er, om eerder vermelde redenen, toch voor gekozen om verder te werken met de laatste vorm.

Indien men de zijwanden niet volledig wil open laten dan moet men het dak nog van wanden voorzien. Het is duidelijk dat ook op de wanden belastingen kunnen werken. De wanden zullen dus ook moeten opgespannen worden en voldoende ruimtelijke kromming vertonen. Indien de driehoekige openingen van de wanden worden toegemaakt door een membraan te spannen tussen het hoge punt en de 2 lage punten dan zal dat membraan slechts geringe krommingen vertonen, wat niet optimaal is naar het ontwerp toe. Indien men voor elke opening een laag punt toevoegt, dat gelegen is op de middelloodlijn van de twee lage punten van de opening (maar niet op dezelfde lijn ligt als de 2 andere lage punten), dan ontstaat samen met het hoge punt en de 2 andere lage punten per beuk een ruimtelijk dubbel gekromd oppervlak:

Fig. 7-8 resultaat formfinding met zijwanden

In deze figuur zijn de lage punten van de eindvlakken verder (naar buiten toe) verplaatst ten opzichte van de 6 dakpunten. Dit is gebeurd om de zijvlakken die de wanden vormen zo regelmatig mogelijk te maken. In al mijn enthousiasme heb ik daar wat in overdreven en het zal worden verfijnd in de modellen die volgen. Een praktische opmerking bij het model is dat onder de spankabels de hoogte binnenin beperkt is. Dit kan worden opgelost door de eindpunten van de spankabels hoger te

58


plaatsen. De wanden worden dan opener maar er ontstaat onder het zeil meer vrije ruimte. Op die manier verkrijgen we volgende vorm:

Fig. 7-9 resultaat formfinding met aangepaste zijwanden

We beschouwen nu deze vorm als definitief voorontwerp. Deze vorm zal dus dienst doen als basisvorm waarop belastingen worden geplaatst. Indien blijkt dat er zich onder belasting problemen voordoen (bijvoorbeeld vorming van zakken) dan zal in eerste instantie de voorspanning worden aangepast. Het ondersteuningssysteem is nog niet weergegeven. Het ondersteuningssysteem moet, naast het ondersteunen ook zorgen voor het dwars- en langsevenwicht van het geheel.

We kiezen ervoor om de steunpunten onderaan de masten scharnierend op te vatten (in het originele paviljoen was dit ook het geval). De masten zullen dan in principe enkel aan normaalkrachten (druk) worden onderworpen.

In de dwarse richting kan men het systeem stabiliseren door de toppen van de masten, die door de doorhangende draagkabels worden verbonden, naar beneden af te spannen. Dit kan gebeuren op volgende manieren:

59


Fig. 7-10 dwarse stabiliteit

De draagkabel zal een kracht met zowel een horizontale als een verticale component uitoefenen op de top van de mast. Om de krachten in het systeem te beperken is het belangrijk om de hoek tussen de afspankabels en de masten groot genoeg te nemen. Zoals uit volgende schetsen blijkt is de krachtenafdracht van het tweede systeem duidelijk gunstiger:

Fig. 7-11 Schetsen krachtenafdracht

De dwarse stabiliteit in het oorspronkelijke paviljoen wordt bekomen op een manier die goed aansluit bij de tweede manier. In het oorspronkelijke systeem lopen de trekkers verticaal naar beneden. Om de hoek tussen de masten en de trekkers voldoende groot te maken worden de masten zeer schuin geplaatst. Hierdoor worden de masten erg lang zodat de kniklengte toeneemt.

60


Fig. 7-12 Schets dwarse stabiliteit oorspronkelijke paviljoen

In de langse richting wordt de stabiliteit in het oorspronkelijke paviljoen gegarandeerd door een systeem dat er als volgt uitziet:

Fig. 7-13 Schets langse stabiliteit oorspronkelijke paviljoen

Het ondersteuningssysteem van het oorspronkelijke paviljoen is niet geschikt voor dit voorontwerp omdat de masten en het membraan elkaar hinderen in bovenhoeken van de tent waar maar weinig plaats is. Eén van onderstaande systemen kan eveneens zorgen voor langse stabiliteit (geen van beide is een mechanisme voor horizontale belastingen). Het tweede systeem is minder vervormbaar met betrekking tot asymmetrische belastingen.

Fig. 7-14 mogelijkheden voor de langse stabiliteit

61


Het geheel zou er dan als volgt kunnen uitzien:

Fig. 7-15 voorstelling met het ondersteuninssysteem

In dit model zijn de toppen van de masten en de uiteinden van de spankabels vrijgemaakt, ze kunnen dus enkel op hun plaats blijven doordat ze ruimtelijk verbonden zijn met trekkers. De spankabels worden aan elk uiteinde naar beneden getrokken met 2 schuine trekkers, dit is in feite niet nodig (eigenlijk is één trekker aan elk uiteinde van een spankabel voldoende).

De horizontale kabels die de toppen van de masten verbinden kunnen als vormelijk hinderlijk worden ervaren. Men kan er zich van ontdoen (zonder het verlies van langse stabiliteit) door de kabels schuin naar beneden te spannen. Men kan deze schuine kabels laten toekomen op de punten waar de spankabels op toekomen. Het is in dit geval wél nodig de trekkers te ontdubbelen omdat ook dwars op de richting van de spankabels krachten moeten opgenomen worden. Dit is hieronder weergegeven:

62


Fig. 7-16 voorstelling ander ondersteuningssysteem

Men zou zich ook kunnen afvragen of het membraan op zich niet kan instaan bijvoorbeeld voor de langse stabiliteit. In principe zou het immers mogelijk zijn dat door het aanpassen van de spanningen in het membraan de mast in min of meerdere mate op zijn plaats wordt gehouden. Dit is echter een zeer moeilijke evenwichtsoefening waarbij de mate waarin het membraan is opgespannen en de mate waarin de kabels zijn gespannen van belang zijn. Dat het membraan niet zomaar voor de langse stabiliteit kan zorgen blijkt duidelijk uit onderstaand model waarin het langsverband werd weggelaten.

Fig. 7-17 voorstelling zonder langsverband

63


Het is duidelijk dat, bij het aanspannen van het geheel, de gekromde membranen aan de uiteinden zich gaan strekken waardoor de verplaatsingen zeer groot worden.

7.1.3 Vergelijking van het resultaat van beide denkpistes Bij het resultaat van beide denkpistes kunnen enkele bedenkingen worden gevormd:

Fig. 7-18 vergelijking van de 2 vormen

Het is duidelijk dat de eerste vorm nauw aansluit bij de oorspronkelijke constructie. De tweede vorm wijkt er sterk vanaf: de vorm is veel meer open en daarenboven komen de contouren niet volledig overeen met deze van het oorspronkelijke paviljoen (wat belangrijk kan zijn op een Expo waar de hoeveelheid plaats die aan elk bouwwerk wordt toegezegd waarschijnlijk strikt vastligt). Dit zijn dan ook 2 punten van kritiek op het tweede ontwerp.

Het tweede ontwerp komt op een natuurlijke wijze tot stand komt (door het uitdenken van een structureel principe tot een bepaald voorontwerp). De vorm wordt, naast het gekozen grondprincipe, grotendeels bepaald door de eisen dat het membraan zelf stelt. Het eerste ontwerp daarentegen, wordt in een eerder onnatuurlijke vorm gedwongen door het gebruik van stijve elementen, precies om de gewenste vorm te bereiken. De stijve elementen vormen een kader waarbinnen een zeil kan worden opgespannen. De structuur van de eerste vorm is in die zin dus hybride en is dus als tentstructuur minder interessant.

Ondanks de opmerkelijke verschillen tussen beide vormen is de vorm en structuur van het dakvlak (dus afgezien van de zijwanden) voor beide voorontwerpen gelijkend. De voorspanning die het membraan van het dak in beide gevallen zal moeten hebben zal dus ongeveer overeenstemmen. In wat volgt zal vooral op de tweede vorm worden gefocust.

64


7.2 Uitwerking voorontwerp

7.2.1 Materiaalkeuze en belastingen Een belangrijk punt betreft nog de keuze van het materiaal die wordt aangewend bij verdere berekeningen (zie ook hoofdstuk 4). Er wordt gekozen voor een PTFE gecoat glasweefsel. Dit materiaal is weliswaar duurder dan bijvoorbeeld een PVC gecoat polyesterweefsel, hoewel het even sterk is, maar een gecoat glasweefsel heeft enkele uitgesproken voordelen die zeker van dienst zijn bij een dergelijk ontwerp. Het eerste voordeel is het brandgedrag: gecoat glasweefsel is onbrandbaar. Dit lijkt erg belangrijk voor exposities waar vaak veel volk in één ruimte aanwezig kan zijn en de eisen voor brandveiligheid streng zullen zijn. Het tweede voordeel is dat een gecoat glasweefsel relatief stijf is in vergelijking met een gecoat polyesterweefsel. Dit betekent dat bij een zelfde vorm en een zelfde belasting de vervormingen van het glasweefsel kleiner zullen uitvallen. Dit lijkt vooral van belang omdat een golfvorm, zoals die van het dak, op zich al minder stijf is dan bijvoorbeeld een zadelvorm of een conusvorm en omdat bovendien de ‘golven’ erg breed zijn, zodat het dak nog minder stijf wordt. De eigenschappen van de weefsels kunnen verschillen naargelang de fabrikant. Het type 18359 van de firma ‘Verseidag Indutex’[20] is een type met hoge sterkte en een gemiddeld gewicht. De treksterkte in de scheringrichting bedraagt 146 kN/m, deze in de inslagrichting 130 kN/m. De stijfheid bedraagt 2450 kN/m in de scheringrichting en 1660 kN/m in de inslagrichting. Het gewicht van het gecoate weefsel bedraagt 1,350 kg/m! of 0.0135 kN/m!. In 6.1 werd reeds aangegeven dat de voorspanning voldoende moet zijn zodat onder belasting het membraan onder trek blijft staan. De spanningen in het membraan moeten beperkt blijven onder voorspanning alleen met veiligheidsfactor 8 à 10 op de breuklast en in extreme condities (UGT) met een veiligheidsfactor 5 op de breuklast. Dit betekent concreet dat de trekspanning kleiner moet blijven dan 14.6 kN/m à 18.25 kN/m in de scheringrichting en 13 kN/m à 16.25 kN/m in de inslagrichting onder voorspanning alleen. Meestal neemt men spanning in het grootste deel van het membraan niet veel hoger dan 10 kN/m.

65


In de bezwijkgrenstoestand moeten de spanningen kleiner blijven dan 29.2 kN/m in de scheringrichting en 26 kN/m in de inslagrichting.

Als belastingen op het bouwwerk worden het eigengewicht van de constructie en de windbelasting

in rekening

gebracht.

Er

wordt

geen

rekening gehouden met

sneeuwbelasting. Dit kan worden gerechtvaardigd indien men in acht neemt dat het bouwwerk slechts tijdelijk, hoofdzakelijk tijdens de zomer (van april tot oktober), moet dienst doen. Belastingen die te maken hebben met onderhoud en herstellingen werden niet gesimuleerd maar zijn in principe wel noodzakelijk. Men moet echter ook de juiste condities kunnen evalueren waarin het onderhoud of de herstelling plaatsvindt (mogelijk partiële ontspanning van het membraan e.d.).

Het is niet evident de windbelasting nauwkeurig te bepalen. Eerst moet men de onder- en overdrukcoëfficiënten begroten, afhankelijk van de richting van de windstroom op het bouwwerk. Dit kan gebeuren door gebruik te maken van windtunneltesten op schaalmodellen of door simulaties van de stroming rond het bouwwerk op computermodellen (CFD of Computational Fluid Dynamics). [25] In feite zal de vorm van het zeil zich aanpassen onder de windbelasting. Dit betekent dat de aanstroomrichting van de wind op het bouwwerk wijzigt. Hierdoor zullen de onder- en overdrukcoëfficiënten anders zijn dan bij de oorspronkelijke vorm. Men kan dit effect op een iteratieve manier begroten door bij elk stel onder- en overdrukcoëfficiënten de vervormingen na te gaan en bij de aangepaste vorm een nieuw stel coëfficiënten te bepalen. Dit procédé wordt herhaald tot wanneer opeenvolgende iteraties niet meer verschillen in windbelasting of vervormingen. Dit wordt ook wel ‘quasi- statische steady – state windbelastingssimulatie’ genoemd.[25] Zowel in de eerste als in de tweede benadering gaan we er impliciet van uit dat de wind een statische belasting levert op het bouwwerk. Desalniettemin zijn de eigenlijke belastingen inherent dynamisch van aard. Dit is belangrijk omdat membranen buigzame bouwwerken zijn die de neiging hebben om sterker te reageren op dynamische acties.[29] De dynamische aard van het bouwwerk zal moeten worden vertaald in de vorm van een dynamische belastingsfactor. Deze factor hangt zowel af van het dynamische karakter van de wind (tubulentie) als van het dynamisch gedrag van de structuur (eigenfrequenties).[25]. De beschrijving van dit gedrag is erg ingewikkeld en komt erop neer dat de transiënte analyse van de wind beschreven met een CFD- code (zie boven) gekoppeld wordt aan een 66


transiënte dynamische respons van de structuur, gebruik makend van een CSD (Computational Structural Dynamics) eindige elementen code. [25] De beschrijving van de windbelasting op bovenstaande wijze valt niet binnen de mogelijkheden van dit werk. Er zal op een zeer benaderende manier worden omgegaan met een windbelasting die als statisch zal worden beschouwd en die wordt beschreven aan de hand van over- en onderdrukcoëfficiënten van gelijkende starre bouwwerken waarvan de drukcoëfficiënten in de Belgische norm [29]zijn opgenomen. Dit wordt in volgende paragraaf beschreven.

7.2.2 Statische windbelasting op het bouwwerk De omschrijving van de windsnelheid gebeurt statistisch. De ogenblikkelijke windsnelheid kan men beschrijven als een gemiddelde snelheid over een bepaald tijdsinterval, van vijf minuten tot twee uur, en een component toe te schrijven aan de turbulentie. Tijdens een vlaag overtreft de ogenblikkelijke windsnelheid de gemiddelde snelheid vele malen. Voor de berekening van de grootste belasting van een bouwwerk moet de karakteristieke waarde van de quasi ogenblikkelijke, maximale windsnelheid worden ingevoerd. Dit wordt ook wel de pieksnelheid genoemd. De karakteristieke waarde is gerelateerd aan een herhalingstijd. [30] Uit registratie van de windsnelheden gedurende een gegeven jaar kan de extremale waarde worden weerhouden. Door dit over vele jaren te doen kan men de distributiefunctie van deze extremale waarden bepalen. Hieruit bepaalt men het verband tussen de gemiddelde referentiesnelheid vref en de herhalingstijd tr.[30] In de Belgische norm [29] wordt als karakteristieke waarde van de gemiddelde windsnelheid de referentiesnelheid vref = 23,35 m/s genomen. Deze heeft een herhalingstijd van 10 jaar. Voor de berekening van referentiesnelheden met een herhalingstijd verschillend van 10 jaar definieert men een statistische factor kt zodat vref(tr) = kt.vref. Voor tijdelijke bouwwerken met een verwijzingsduur tverw kleiner dan 10 jaar kan men rekening houden met de statistische factor. Indien de verwijzingsperiode kleiner is dan een jaar dan kan bijkomend rekening worden gehouden met seizoenschommelingen van de wind. [29,30] Op die manier kan men als waarde voor de statistische factor kt=0,742 toekennen.

67


De snelheid van de wind verandert met de hoogte tot het aardoppervlak. Dit is te wijten aan de wrijving die de wind ondervindt in de buurt van het aardoppervlak.

$ * z !v ref + , + ln(( v mb ( z ) = # ) z0 !v ( z ) " mb min

' %% als z min < z < 200m &

De gemiddelde basissnelheid vmb(z) is functie van de parameters !, z0 en zmin. Deze zijn afhankelijk van de ruwheidsklasse van het terrein. De parameter ! is een maat voor de wrijving en neemt toe met de ruwheid van het terrein. z0 is de zogenaamde ruwheidslengte en heeft betrekking op de afmetingen van een typische wervel, ontstaan ten gevolge van wrijving.[berecon2] We kennen aan het terrein een ruwheidsklasse 3 toe. Dit stemt overeen met een verstedelijkt gebied of nijverheidsgebied. (klasse 2 stemt overeen met landelijk gebied en klasse 4 met steden).

klasse III zmin

12

m

z0

0,3

m

!

0,234

"

0,91

De karakteristieke windsnelheid wordt vervolgens gegeven door: v mk = k s ! k t ! k" ! v mb (z ) . Hierin is ks afhankelijk van de terreinhelling, kt is de statistische factor en k# is een factor rekening houdend met de windrichting. Zoals reeds aangegeven is kt= 0,742 en ks en kt zijn beide gelijk aan 1. De basiswindsnelheid vb is de karakteristieke waarde van de grootste ogenblikkelijke windsnelheid op een vlak terrein met een herhalingstijd van 10 jaar: vb = v mb 1 + 7 ! I u . De intensiteit van de turbulentie Iu(z) = "/ln(z/z0) is hierin opgenomen. De parameter " is afhankelijk van de terreinruwheid.

68


De stuwdruk is de overdruk ten opzichte van de atmosfeerdruk die ontstaat op plaatsen

1 waar de lucht tot stilstand komt. De basisstuwdruk wordt gegeven door: qb = " # v b ! 2 met 2 $ de densiteit van lucht (ongeveer 1,25kg/m" ). De karakteristieke stuwdruk wordt:

! 2 qk = ks ! 2 " k t ! 2 " k# ! " qb . Door in voorgaande

tussenstappen de gepaste getalwaarden in te vullen verkrijgt men een karakteristieke

! stuwdruk qk = 0.37kN /m 2 ! . De rekenwaarde in uiterste grenstoestanden wordt bekomen door het vermenigvuldigen met een veiligheidsfactor 1,5.

! winddruk in een punt van de constructie wordt gegeven door: w = c ! q . De parameter De p cp stelt een onder- of overdrukcoëfficiënt weer. Deze coëfficiënten zijn constant voor constructies met scherpe randen omdat de wervels steeds op dezelfde plaats (de scherpe randen) loslaten. Bij constructies met afgeronde vormen zijn de waarden van deze coëfficiënten tevens afhankelijk van het getal van Reynolds [31] (dus ook van de snelheid van de wind).

We zullen ons baseren op de vormen van vrijstaande meervoudige dakschilden in de Belgische norm om de drukcoëfficiënten te bepalen. De drukcoëfficiënten hangen af van de helling van de dakschilden. De helling van ons dak is veranderlijk. We nemen benaderend een waarde aan die representatief kan zijn voor het gehele dakschild en gemiddeld aan de hoge kant ligt. We merken dat bij aanstroming van de wind in de lengterichting de dakschilden zowel aan volledige windzuiging als aan volledige winddruk als aan afwisselende windzuiging en winddruk kunnen onderhevig zijn. Er mag een verminderingsfactor worden toegepast op de dakschilden die door het eerste dakschild worden beschut van directe winddruk.

69


Fig. 7-19 drukcoëfficiënten op starre structuren [29]

We nemen drukcoëfficiënten aan cp= +0,5 bij winddruk en cp= -1,25 bij windzuiging. Zoals hierboven vermeld mag voor de beschutte dakschilden een verminderingsfactor worden toegepast. Zeer belangrijk is dat waarden van deze coëfficiënten dienen te worden verdubbeld aangezien we niet over windtunneltesten beschikt.[6]

7.2.3 Iteratief ontwerp We vertrekken van het voorontwerp zoals uitgewerkt in 7.1.2. De keuze van de voorspanning gebeurt op een iteratieve manier. Telkens worden de spanningen, de vervormingen en de verplaatsingen bekeken en wordt er nagegaan of deze aan de gestelde criteria (zie 6.1 en 7.2.1) voldoen. Bij het construeren van de voorontwerpen werden default waarden voor de voorspanning gebruikt. Dit komt overeen met een voorspanning van 1 kN/m in de 12 netten met vierkante mazen.

70


Figuur 7-20 netten voor berekening in ‘Front’

De schering- en inslagrichting van het membraan worden aangegeven. De scheringvezels worden in de lengterichting van het paviljoen gelegd. Dit is volgens de kortste overspanning en tevens volgens de richting waar vermoedelijk de grootste krachten zullen optreden.[3] De spanningen die optreden onder voorspanning alleen, blijven erg laag omdat de voorspanning (1kN/m!) niet zo hoog is in vergelijking met de toegelaten waarden (meer dan 10 kN/m!). Fig.7-21 toont de contourlijnen (hoogtelijnen) van de voorgespannen, maar verder onbelaste constructie.

71


Fig. 7-21 contourlijnen van de voorgespannen constructie

Om te beginnen laten we naast het eigengewicht een belasting aangrijpen die voor volledige, overal even grote zuiging van 0.8 kN/m! op het paviljoen zorgt. Dit is niet realistisch maar het is eenvoudig te modelleren en het belastingsgeval waarbij het dak volledig aan zuiging wordt onderworpen moet toch bekeken worden.

Fig. 7-22 belastingsvectoren op de constructie

72


Indien we de vervormingen bekijken ten gevolge van de windzuiging dan ziet men onmiddellijk dat de oorspronkelijke vorm niet kan worden behouden met deze voorspanning. Bepaalde contourlijnen, die niet rond hoge punten zijn gelegen, sluiten zich zodat zich op die plaatsen vorminversie voordoet, wat ontoelaatbaar is. Het valt dan ook niet te verbazen dat op sommige plaatsen nulspanningen ontstaan in bepaalde richtingen.

Fig. 7-23 De vervormde constructie ten gevolge van windzuiging

Fig. 7-24 De contourlijnen van de vervormde constructie onderhevig aan windzuiging

73


We kunnen ook zien dat volledige winddruk van 0.4 kN/m! op de structuur zorgt voor bijkomende problemen, die zeker niet kleiner zijn dan deze ten gevolge van windzuiging.

Fig. 7-25 De vervormde constructie ten gevolge van winddruk

Fig. 7-26 De contourlijnen van de vervormde constructie onderhevig aan winddruk

74


We moeten dus de voorspanning verhogen, zeker in de gedeelten van de tent waar de grootste membraanvlakken zich bevinden. We kunnen nu de voorspanning stelselmatig verhogen en de bijhorende vervormingen en spanningen ten gevolge van de windlasten opvragen. Zoals reeds vermeld moet onder voorspanning alleen steeds worden nagegaan of de spanningen niet te hoog oplopen. Dit is een langdurig en tijdrovend proces. Telkens de voorspanning aangepast wordt, moet het volledige programma opnieuw worden overlopen om tot resultaten te komen. Daarenboven vereist het programma bij momenten enige rekentijd.

Uiteindelijk komt men tot een ontwerp waarbij de voorspanning in de 12 netten als volgt wordt opgelegd: De netten 2, 5, 7 en 8 van het dak (zie Fig.7-20) krijgen een (voorlopig gekozen) voorspanning van 12 kN/m. Dit is reeds erg hoog en men zal zeker moeten nagaan of de spanningen, onder voorspanning alleen, in bepaalde zones niet hoger dan toelaatbaar zijn. In de netten 1 en 10 van het dak leggen we een lagere voorspanning van 7 kN/m op omdat deze netten kleiner zijn in oppervlakte. De rest van de netten (wanden) zijn ongeveer zadelvormig en zijn niet al te groot. Deze zijn dus minder vervormbaar; we leggen een voorspanning van 3 kN/m op.

Indien we de spanningen bekijken onder voorspanning alleen dan valt het op dat hoge spanningen optreden in de buurt van de toppen van de masten zodat daar lokaal verstevigingen nodig zijn. Toch zien we op enige afstand nog spanningen van 15 kN/m à 17 kN/m. De spanningen zijn nog net toelaatbaar tussen de 14,6 kN/m à 18 kN/m (veiligheidsfactor 10 respectievelijk 8 op de treksterkte). Dit betekent echter wel dat de voorspanning niet hoger mag zijn.

75


Fig. 7-27 spanningen tengevolge van de voorspanning alleen in één van de uiterste hoeken

Indien we windzuiging laten aangrijpen dan zien we dat de vorm in grote mate wordt behouden. Men krijgt dus zeker geen vorminversie. Ook de contourlijnen van het belastte model bevestigen dit.

Fig. 7-28 vervormde constructie ten gevolge van windzuiging

76


Fig. 7-29 contourlijnen van de aan windzuiging onderhevige constructie

Indien men echter de verplaatsingen opvraagt dan moet men vaststellen dat de maximale verplaatsing toch meer dan anderhalve meter (1,61 m) bedraagt. Deze verplaatsing doet zich voor op de plaatsen waar de rode cirkels het grootste zijn. (zie Fig 7-30)

Fig. 7-30 verplaatsingen ten gevolge van windzuiging

77


Nu zijn dit soort constructies steeds erg vervormbaar en er bestaan geen objectieve maatstaven voor de maximale verplaatsingen. Toch ben ik de mening toegedaan dat deze verplaatsingen moeilijk aanvaardbaar zijn. Het kan immers zijn dat de grote verplaatsingen de normale gebruiksdoeleinden binnenin het bouwwerk hinderen of dat dit psychologisch niet aanvaardbaar is voor de gebruikers van het paviljoen.

Ook als gevolg van de winddruk doen zich zeer grote verplaatsingen (in de tegengestelde zin) voor (zie onderstaande Fig. 7-31). Ook hier doen de grootste verplaatsingen zich voor waar de rode cirkels het grootst zijn.

Fig. 7-31 verplaatsingen ten gevolge van de winddruk

Daarenboven treden ten gevolge van de winddruk op sommige plaatsen, zij het zeer lokaal, spanningen gelijk aan nul op zodat in die zones rimpels zullen ontstaan:

78


Fig. 7-32 spanningen in de aangegeven zone onder winddruk

In feite moet men nog trachten de windbelasting realistischer te simuleren, maar uit het voorgaande is reeds duidelijk dat de verplaatsingen niet aanvaardbaar zullen zijn. Daarnaast moet men eigenlijk ook nog het gedrag in de uiterste grenstoestanden bekijken.

79


Ook dit zal niet expliciet worden uitgevoerd omdat het ontwerp eigenlijk toch al wordt verworpen op basis van de verplaatsingen die te groot zijn.

Het is echter wel zo, dat deze besluiten zijn genomen op onnauwkeurige schattingen met betrekking tot de windbelasting. Indien men uit windtunnelonderzoek of dergelijke zou kunnen besluiten tot lagere windlastcoëfficiënten dan zou de structuur misschien wel kunnen voldoen.

Het resultaat is ook erg afhankelijk van het gebruikte materiaal en de kennis hierover. Indien men een membraan zou gebruiken met een grotere treksterkte (kostprijs!), dan zal men de voorspanning hoger kunnen nemen zodat de structuur minder zal vervormen. Betere kennis en onderzoek naar de gebruikte materialen zou er ook voor kunnen zorgen dat de (zeer grote) veiligheidscoëfficiënten (8 à 10) kleiner zouden kunnen genomen worden.

7.2.4 Conclusie We kunnen concluderen dat het niet mogelijk is om met de beschikbare gegevens en met normale (betaalbare) membranen tot een aanvaardbaar ontwerp te komen met de huidige vorm. Deze vorm is blijkbaar niet stijf genoeg om de verplaatsingen binnen aanvaardbare limieten te houden. De stijfheid van de structuur moet worden vergroot. Dit kan op verscheidene manieren bekomen worden (zie verder). Maar het heeft implicaties ofwel op de globale vorm, ofwel op de zuivere membraanwerking ofwel op beide. Deze vorm zou misschien wel kunnen behouden blijven indien men gebruik zou maken van een voorgespannen kabelnet, maar omdat mijn uitgangspunt was om een ontwerp te maken met een structureel membraan, werd deze mogelijkheid niet verder onderzocht.

80


7.3 Mogelijke oplossingen

Uit het voorgaande bleek dat de vervormingen te groot waren. Daarom moeten we op zoek gaan naar alternatieven die een grotere stijfheid bezitten. Zoals vermeld kan de stijfheid niet meer worden vergroot door de voorspanning te verhogen omwille van de beperkingen van het materiaal. Dit betekent dat ofwel het membraan zal moeten verstijfd worden (bijvoorbeeld met extra kabels) ofwel de vorm zal moeten worden aangepast zodat deze op zich stijver wordt. In wat volgt stel ik enkele mogelijkheden voor die in min of meerdere mate zorgen voor kleinere verplaatsingen. Ondersteuningen zijn niet opgenomen in onderstaande modelleringen. Punten die quasi vast zouden zijn in de ruimte, door toedoen van de ondersteuningen, zijn in het vet aangeduid. De berekeningen zijn uitgevoerd met dezelfde belastingen als op het voorontwerp. In feite zal de windbelasting in bepaalde gevallen anders zijn omdat de luchtstroom rond het bouwwerk verandert als de vorm van het bouwwerk verandert. Nauwkeurige berekening is dus enkel mogelijk indien gepaste gegevens voorhanden zijn ten gevolge van windtunneltesten of dergelijke (zie 7.2.1).

Een eerste mogelijkheid is het aanbrengen van kabels die van de toppen van de masten naar de spankabels lopen en die in het membraan zijn gelegen. Deze kabels, met een zekere voorspanning, zorgen voor een grotere stijfheid van het membraan in de zones waar de grootste verplaatsingen plaatsvonden in het voorontwerp. De voorspanning van het membraan verandert niet. De verplaatsingen ten gevolge van de windlast zijn afhankelijk van de voorspanning van de kabels. Een voorspanning van 300 kN op de kabels zorgt voor vermindering van de verplaatsingen met meer dan een derde tot iets meer dan een meter (zie Fig 7-34). De grootste verplaatsingen situeren zich waar de grootste rode cirkels voorkomen op dezelfde figuur.

81


Fig. 7-33 mogelijkheid 1a : verstijving van het membraan met interne kabels

Fig. 7-34 verplaatsingen bij windzuiging

82


Een andere mogelijke schikking die gebruikt maakt van verstijvende kabels gelegen in het membraan is de volgende:

Fig. 7-35 mogelijkheid 1b: stijvere schikking van de interne kabels

Fig. 7-36 verplaatsingen bij windzuiging

83


De verplaatsingen zijn gereduceerd tot 74 cm bij windzuiging.

Nog een andere mogelijke oplossing zou kunnen zijn om de hoogte van de masten te verhogen zodat de kromming van de kabels kan toenemen en een ruimtelijk stijvere vorm ontstaat. Zulks is hieronder afgebeeld:

Fig. 7-37 mogelijkheid 2: masten verhogen

De masten werden verhoogd van 12 meter naar 16 meter en de zeeg van de draag- en spankabels werd iets groter gemaakt. De voorspanning van het membraan blijft weer gelijkaardig. Indien men dezelfde windlast zou beschouwen, dan zijn de grootste verplaatsingen tot 30 cm minder. In werkelijkheid zal de windlast groter zijn aangezien door de grotere hoogte de zijwind toeneemt. Men zou kunnen zoeken naar een optimale hoogte waar men de kleinste verplaatsingen krijgt voor een bepaalde hoogte. Dit zou men kunnen doen door de masten gradueel te verhogen (waardoor het membraan een gradueel stijvere vorm krijgt) en bij elke veranderde vorm na te gaan welke de windlast (die ook verhoogt naarmate de masten hoger worden) is en wat de verplaatsingen van het membraan zijn. Een optimale hoogte zou dan kunnen corresponderen met de vorm die aanleiding geeft tot de kleinste verplaatsingen. Dit is echter alleen mogelijk door gebruik te maken van een gedetailleerd windonderzoek op de verschillende modellen. Het is dus onzeker in welke mate men op deze manier voor

84


kleinere verplaatsingen zou kunnen zorgen. Daarenboven neemt ook de kniklengte toe van hogere masten en moet het bekomen resultaat architecturaal aanvaardbaar zijn.

Een nog andere manier om de verplaatsingen te verkleinen is door de vlakken waarop de wind speelt te verkleinen. Dit kan men doen door de breedte van een ‘beuk’ te verkleinen en door dus meer ‘beuken’ te nemen voor een zelfde grondoppervlak.

Fig. 7-38 mogelijkheid 3a: de oppervlakken verkleinen

Fig. 7-39 verplaatsingen onder windzuiging

85


Men merkt (Fig 7-38) dat de verplaatsingen niet spectaculair afnemen indien we de dit model aan dezelfde windlast onderwerpen. Hoe meer beuken men heeft, hoe stijver dat het membraan wordt, maar hoe sterker de vorm afwijkt van de oorspronkelijke vorm (zie Fig 7-39).

Fig. 7-40 mogelijkheid 3b: meerdere beuken

Het is ook mogelijk om verschillende systemen te combineren: het is bijvoorbeeld mogelijk om bovenstaande vorm te combineren met extra kabels ter verstijving van het membraan. Dit is afhankelijk van de juiste windlast en de verplaatsingen die men als aanvaardbaar bestempelt.

86


7.4 Overzicht

model 3 model 2 model 1

Vormactieve constructie: ++ Vormactieve constructie: Verplaatsingen: redelijk groot ( > 1,5 m) Verplaatsingen: zelfde grootteorde als model 2

Gelijkenis met Marie Thumas: +-

Vormactieve constructie: + Verplaatsingen: middelmatig ( +- 1 m) Gelijkenis met Marie Thumas: +-

Gelijkenis met Marie Thumas: ++

87


model 4

model 5 model 6

Vormactieve constructie: ++ Vormactieve constructie: +

Vormactieve constructie: ++

Verplaatsingen: klein (< 1 m)

Verplaatsingen: onzeker (waarschijnlijk tussen 1 m en 1,5 m)

Verplaatsingen: middelmatig



Gelijkenis met Marie Thumas: 88


model 7

Vormactieve constructie: ++ Verplaatsingen: klein (< 1 m) Gelijkenis met Marie Thumas: --

89


7.5 Conclusie

Uit vorige paragrafen blijkt dat bij het ontwerp van een membraanconstructie er een voortdurend dilemma is tussen een gewenste vorm en een zuivere membraanstructuur. Indien een zuivere membraanwerking gewenst is, dan zullen de mogelijkheden van vormgeving eerder beperkt zijn en zal men misschien genoegen moeten nemen met een bepaald ontwerp dat ver verwijderd is van de vorm die men oorspronkelijk in gedachte had (zie bijvoorbeeld Fig. 7-40). Daarentegen is het mogelijk om gebruik makend van enkele verstijvingen (bijvoorbeeld met kabels) het membraan te verstijven zodat het oorspronkelijk idee van vormgeving beter kan worden benaderd. De zuivere membraanwerking vermindert in dat geval.

90

ALGEMENE CONCLUSIE

8 Algemene conclusie De vorm van het paviljoen van Marie Thumas op Expo 58 vertoont enkele gelijkenissen met een vormactieve membraanconstructie. De aangewende structuur is echter niet in die optiek geconcipieerd (hoofdstuk 3). Bij nader onderzoek en gebruikmakend van (de nu beschikbare) hedendaagse berekeningsmethoden, blijkt de vorm niet houdbaar, indien men het gebouw zou willen ontwerpen als een zuiver vormactieve structuur (dus met een voorgespannen kabelnet of een membraan). De vorm van het oorspronkelijke ontwerp is maar mogelijk door het aanwenden van buigstijve elementen, die de vorm “manipuleren” (hoofdstuk 6).

In hoofdstuk 7 werd nagegaan in welke mate het ontwerp dient aangepast te worden om een vorm te bekomen die wel op zuivere membraankrachten werkt. Hierbij werd gekozen voor een gecoat weefsel als structureel membraan. Berekening toont aan dat ook deze gecorrigeerde vorm niet aanvaardbaar is: de verplaatsingen tengevolge van de windlasten zijn te groot, het gebruikte weefsel laat immers maar een bepaalde voorspanning toe. Vervolgens werden enkele oplossingen voorgesteld waarbij de verplaatsingen werden verkleind. Er blijft echter een conflict bestaan tussen een zuivere membraanstructuur en de nagestreefde vertrekvorm.

Historisch gezien gaan bij architecturale bouwwerken vorm en structuur steeds hand in hand. Deze natuurlijke wetmatigheid geldt bij uitstek voor vormactieve constructies.

91

Referentielijst [1] R. DEVOS, M. DE KOONING (eds.), Moderne Architectuur op Expo 58. ‘Voor een humaner wereld’, Mercatorfonds en Dexia Bank, Brussel, 2006.

[2] Plans and images of the Fabulous 1958 Fair in Brussels, cdrom 18, collectie Vakgroep Architectuur & Stedenbouw, Universiteit Gent, 2003.

[3] R. VAN IMPE, cursus Ruimtelijke constructies, Universiteit Gent, academiejaar 20062007.

[4] Technet GmbH, Easy (release 8.0), Berlijn, 2003.

[5] H. ENGEL, Tragsysteme, Verlag Gerd Hatje, Obertshausen, 1997.

[6] M. MOLLAERT, cursus ‘Vormactieve constructies’, Vrije Universiteit Brussel, academiejaar 2006-2007.

[7] A. HOLGATE, The Art of The Structural Engineering – The work of Jörg Schlaich and his team, Axel Menges, Stuttgart/Londen, 1997.

[8] T. FAEGRE, Tent, Architecture of the Nomads, John Murray, Londen, 1979.

[9] B. FORSTER, Cable and Membrane Roofs – A Historical Survey, in: Structural Engineering Review, Vol. 6, Nrs. 3-5, 1994.

[10] N. FOSTER, S. BEHLING, Sol Power, the Evolution of Solar Architecture, Prestel Verlag, Londen, 1996.

[11] www.greydragon.org

[12] F. OTTO, Das Hängende Dach – Gestalt und Struktur, Bauwelt Verlag, Berlijn, 1954.

92

[13] W. ADDIS, Design Revolutions in the History of Tension Structures, in: Structural Engineering Review, Vol. 6, No.1, 1994.

[14] www.ou.edu

[15] A.C. VAN HEESEWIJCK, Het Systeem Jawerth, in: Bouwen, nr. 12, 1967 (themanummer Van Traditionele naar Industriële Bouwmethoden).

[16] H. BANDEL, Hung Roofs and their Structural Solutions, in: N. ESQUILLAN, Y. SAILLARD (eds.), Hanging Roofs, Proceedings of the IASS colloquium on hanging roofs, continuous metallic shell roofs and superficial lattice roofs, North-Holland Publishing, Amsterdam, 1963.

[17] P. DREW, Tensile architecture, Granada/Hatje, Londen, 1979.

[18] SECO, Enseignements receuillis lors du contrôle de toitures suspendues realisées en Belgique, in : N. ESQUILLAN, Y. SAILLARD (eds.), Hanging Roofs... (cfr. [16]).

[19] P. DREW, Frei Otto – Form and Structure, Crosby Lockwood Staples, Londen, 1976.

[20] www.freiotto.com

[21] M. BARNES, M. DICKSON, Widespan Roof Structures, University of Bath / Thomas Telford Publishing, Bath, 2000.

[22] JÖRG SCHLAICH, RUDOLF BERGERMANN, Leicht weit – Light Structures, Prestel, München/Berlin/London/New York, 2003.

[23] www.britannica.com

[24] M.MOLLAERT (ed.), The Design of Membrane and Lightweight Structure’, VUBPress, Proceedings of the symposium at VUB, Brussels, 2000.

93

[25] M. MOLLAERT, J. HAASE, J. CHILTON, E. MONCRIEFF, M. DENCHER, M. BARNES, Designing Tensile Architecture, Tensinet Symposium, VUB, Brussels, 2003.

[26] www.projects.ex.ac.uk

[27] G. KNÖDLER-BITTNER, Easy Training Manual, Technet GmbH, Berlijn, 2003.

[28] www.vsindutex.de

[29] Belgische Norm NBN 03-002-1 (1988).

[30] R. VAN IMPE, cursus Berekening van Bouwkundige Constructies 2, Universiteit Gent, academiejaar 2004-2005.

[31] J. WELTY, C. WICKS, R. WILSON, G. RORNER, Fundamentals of Momentum, Heat and mass Transfer, Oregon State University / John Wiley, Oregon, 2001.

94

Universiteit Gent Faculteit Ingenieurswetenschappen

Recommend Documents