Soal Latihan dan Pembahasan Dimensi Tiga Di susun Oleh :
Yuyun Somantri1 http://bimbinganbelajar.net/
Di dukung oleh :
Portal edukasi Gratis Indonesia Open Knowledge and Education http://oke.or.id
Tutorial ini diperbolehkan untuk di copy, di sebarluaskan, di print dan diperbaiki dengan tetap menyertakan nama penulis、 tanpa ada tujuan komersial
1
Lahir di Bandung tahun 1956, Lulus dari SMK Kimia melanjutkan studinya ke UPI (IKIP Bandung), lalu meneruskan studinya lagi bidang matematika dan dari tahun 1984 sampai saat ini mengajar matematika di SMA Negeri 3 Tasikmalaya
1
Dimensi Tiga 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a . Melalui diagonal DF dan titik tengah rusuk AE dibuat bidang datar. Tentukan luas bagian bidang di dalam kubus ! Jawab : H
G
E
F Q
P
D
C
A
a
B a
LPQDF =
1 2
.PQ.DF =
1 2
.a 2 .a 3 =
1 2
a2 6
2. Kubus ABCD.EFGH berusuk a cm. Titik P, Q dan R adalah titik-titik tengah dari AD, AB dan BF. Berupa apakah penampang bidang PQR ! Jawab : H
T
E
S
Garis bantu
F U
P A
G
R
D
C
Q
B
Sumbu afinitas Jadi berupa segienam beraturan PQR.STU
2
3. Kubus ABCD.EFGH panjang rusuknya 4 cm. Titik P tengah-tengah EH. Tentukan jarak titik P ke garis BG ! Jawab :
H
G
G
20
P
P
E
F
4 2− x 6
D
P’
C
A
x
B
B
P’ adalah proyeksi titik P pada garis BG.
PG =
42 + 22 =
20
BG = 4 2
(4 2 )
BP =
2
+ 22 = 6
( PP') 2 = ( PP') 2 2
20 − (4 2 − x) 2 = 62 − x 2 ⇔ x = 3 2 ( PP' ) 2 = 36 − x 2 = 36 − (3 2 ) 2 = 18 ⇒ PP' = 3 2
4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk-rusuknya 10 cm. Tentukan jarak titik F ke garis AC ! Jawab : H E
G F
F
10 2 10 2 D
C
C
5 2 A
B
FF ' =
(10 2 ) 2 − (5 2 ) 2 = 5 6
A
F’
3
5. Panjang setiap rusuk kubus ABCD.EFGH ialah 3 , sedangkan titik Q pada AD dan AQ = 1. Tentukan jarak A ke bidang QBF ! Jawab : H
G
E
F Q
D
x
A’
1
C
2–x
A A
B
B
BQ =
3
1+ 3 = 2
( AA' ) 2 = ( AA' ) 2 1 − x 2 = 3 − (2 − x) 2 ⇒ x = AA' =
1 − x2 =
1−
1 4
=
1 2
1 2
3
Cara lain :
L∆ QAB =
1 2
AB. AQ =
1 2
BQ. AA'
AB. AQ = BQ. AA' 3.1 = 2. AA' ⇔ AA' =
1 2
3
6. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan jarak antara titik C dengan bidang BDG yang panjang rusuknya 6 cm ! Jawab : H
G
E
G
F 6
C’ D A
C
T B
GT =
T
3 2
36 + 18 = 3 6
CT .CG = GT .CC ' ⇔ CC ' =
CT .CG 3 2 .6 = = 2 3 GT 3 6
C
4
7. Jika BE dan AH masing-masing diagonal bidang sisi ABFE dan ADHE pada kubus ABCD.EFGH, maka tentukan besar sudut antara BE dan AH ! Jawab : H
G
E
F
D
C
A
B
BG sejajar AH.
∠ ( BE , AH ) = ∠ ( BE , BG ) = 60
8. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan sudut antara garis AF dan BH ! Jawab : H
Q
E
G
F a P
A
D
a
a
C
B
PQ sejajar AF
∠ ( BH , AF ) = ∠ ( BH , PQ ) = x PR =
1 2
PQ =
1 2
a 2
BR =
1 2
BH =
1 2
a 3
BP =
a 2 + ( 12 a ) 2 =
1 2
a 5
( BR) 2 + ( PR) 2 − ( BP) 2 34 a 2 + 24 a 2 − 54 a 2 cos x = = = 0 ⇒ x = 90 1 1 2.BR.PR 2. 2 a 3. 2 a 2
5
9. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan sudut antara garis AH dan bidang BFHD ! Jawab : H
G
E
F
D
C
A’
A
B
∠ ( AH , BFHD ) = ∠ ( AH , A' H ) = α sin α =
AA' 12 a 2 1 = = ⇒ α = 30 AH 2 a 2
10. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan tangen sudut antara CG dan bidang BDG ! Jawab :
H
G
E
F
D
C T
A
B
∠ ( CG , BDG ) = ∠ ( CG , GT ) = θ tan θ =
CT = CG
1 2
a 2 = a
1 2
2
11. Pada kubus ABCD.EFGH. P adalah titik tengah FG dan Q adalah titik tengah EH. Jika θ adalah sudut antara bidang ABGH dan ABPQ, maka tentukan tan θ ! Jawab :
H E
Q
G P
F
D A
C B
6
PB⊥ AB ⇒ ∠ ( ABPQ, ABGH ) = ∠ ( PB, GB ) = θ GB⊥ AB AB = a ⇒ BP =
5 , BG = a 2
a 2
cosθ =
( PB) 2 + ( BG ) 2 − ( PG ) 2 = 2.PB.BG
tan θ =
1 3
5 4
a 2 + 2a 2 − 2.
a 2
1 4
5.a 2
a2
=
3a 2 = a 2 10
3 10
12. Pada bangun D.ABC diketahui bahwa bidang ABC sama sisi. DC tegak lurus ABC. Panjang DC = 1 dan sudut DBC = 30 . Bila θ menyatakan sudut antara bidang DAB dengan CAB maka tentukan tan θ ! Jawab : D
A
θ
T
C
30 B
sin 30 = BC =
1 ⇔ BD = 2 BD
22 − 12 =
BT =
1 2
BA =
1 2
3 3
CT =
( 3) − (
tan θ =
CD 1 2 = 3 = CT 3 2
2
1 2
3
)
2
=
3 2
13. Pada kubus ABCD.EFGH, titik S adalah titik tengah sisi CD dan P adalah titik tengah diagonal BH. Tentukan perbandingan antara volume limas P.BCS dan volume kubus ABCD.EFGH ! Jawab :
H
G
E
VP. BCS : VABCD.EFGH = 1 : 24
F P
S
D A
C B
7
14. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a. T adalah suatu titik pada perpanjangan AE sehingga TE = ½ a. Jika bidang TBD memotong bidang atas EFGH sepanjang PQ, maka tentukan panjang PQ ! Jawab : T H EP
G
Q
F
D
C
A
B
TE PQ = ⇒ EA BD
1 2 3 2
a PQ = ⇔ PQ = a a 2
1 3
a 2
15. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Tentukan panjang proyeksi DE pada bidang BDHF ! Jawab : H E
G
E’ F
D A
C B
Proyeksi DE pada BDHF adalah DE’.
DE ' =
82 + (4 2 ) 2 = 4 6 cm.
8
16. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik P adalah titik tengah rusuk AE. Tentukan bentuk irisan bidang yang melalui titik-titik P, D dan F dengan kubus ! Jawab : H
G
E
F
P
Sumbu afinitas
D
C
A
B
Jadi berupa belah ketupat.
17. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan panjang proyeksi AH pada bidang BDHF ! Jawab : H
G
E
F
D
C A’
A
B
Proyeksi AH pada BDHF adalah A’H
A' H =
82 + ( 4 2 ) 2 = 4 6
18. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. K adalah titik tengah rusuk AB. Tentukan jarak antara titik K ke garis HC ! Jawab :
H
G
E
H
F
12 2 − x K’
D A
C K
B
x C
K
9
KC =
12 2 + 6 2 =
KH =
12 2 +
180 2
180 =
324
( KK ') 2 = ( KK ') 2 2
180 − x 2 = KK ' =
2
324 − (12 2 − x ) 2 ⇒ x = 3 2
180 − (3 2 ) 2 = 9 2
19. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a. Tentukan jarak titik A ke diagonal BH ! Jawab : H
G
E
H
F
a 3− x a 2 D
A’
C
A
B
A
x B
a
( AA' ) 2 = ( AA' ) 2 a 2 − x 2 = (a 2 ) 2 − (a 3 − x) 2 ⇒ x = AA' =
a2 − (
a 3
a 2 a ) = 6 3 3
20. Pada limas T.ABC diketahui AT, AB dan AC saling tegak lurus. Panjang AT = AB = AC = 5 cm. Tentukan jarak titik A ke bidang TBC ! Jawab :
T
T x A’ 5 2
6− x
C A
D B
A
D
10
AD =
52 − ( 52 2 ) 2 =
5 2
TD =
52 + ( 52 2 ) 2 =
5 2
2 6
( AA' ) 2 = ( AA' ) 2 52 − x 2 = ( 52 2 ) 2 − ( 52 6 − x) 2 ⇒ x = AA' =
25 − ( 53 6 ) 2 =
5 3
5 3
6
3
21. Diketahui limas beraturan T.ABCD. Panjang rusuk alas 12 cm dan panjang rusuk tegaknya 12 2 cm. Tentukan jarak A ke TC ! Jawab :
T T A’
D
C
A
C
B
AA' =
A
(12 2 ) 2 − (6 2 ) 2 = 6 6
22. Prisma segi-4 beraturan ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm dan tinggi prisma 8 cm. Titik potong diagonal AC dan BD adalah T. Tentukan jarak titik D ke TH ! Jawab : H
G
E
H
F
x 8 D’
D
C
82 − x D
T A
3 2 B
HT =
64 + 18 =
82
82 − x 2 = (3 2 ) 2 − ( 82 − x) 2 ⇒ x = DD' =
T
82 − ( 32 82 ) 2 = 41
24 41
41
32 41
82
11
23. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan jarak titik H ke DF ! Jawab : H
G
E
H
F
F
6 3− x x
D
C
A
H’
D
B
36 − x 2 = 72 − (6 3 − x) 2 ⇒ x = 2 3 HH ' =
36 − (2 3 ) 2 = 2 6
24. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Jika S merupakan proyeksi titik C pada bidang AFH, maka tentukan jarak titik A ke titik S ! Jawab : H
G
P
E
P
F
S’
D
C
A
B
AP = CP =
a2 + (
A
a 2 2 ) = a 2
(a 2 ) 2 − ( AS ) 2 = (a
) − (a
3 2 2
C
3 2 3 2
− AS ) 2 ⇒ AS =
1 3
a 6
25. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan jarak titik C ke bidang AFH ! Jawab :
P H E
G
P
x
F
C’
54 − x D A
C B
A
C
12
AP = CP =
62 + (3 2 ) 2 =
54
2
54 − x 2 = (6 2 ) 2 − ( 54 − x ) 2 ⇒ x = CC ' =
6
54 − 6 = 4 3
26. Bidang empat (tetrahedron) T.ABC mempunyai alas segitiga siku-siku ABC, dengan sisi AB = AC, TA = 5 3 dan tegak lurus pada alas. Jika BC = 10, maka tentukan sudut antara TBC dan bidang alas ! Jawab :
T
T
5 3
θ
C
A
A
D
D
5
B
AB 2 + AC 2 = 10 2 Karena AB = AC maka 2 AB 2 = 100 ⇔ AB = AD =
50 − 25 = 5
tan θ =
5 3 = 5
50
3 ⇒ θ = 60
27. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika sudut antara BF dan bidang BEG adalah α maka tentukan sin α ! Jawab : H
G P
E
P
F
2 2
F 4
D A
C B
α B
13
BP =
16 + 8 = 2 6
sin α =
2 2 1 = 3 2 6 3
28. Pada kubus ABCD.EFGH, α adalah sudut antara bidang ACF dan ABCD. Tentukan nilai sin α ! Jawab :
H
G
E
F
F
a
D
P
α
C
A
B
a
sin α =
=
3 2
a
1 3
a
3 2
a 2 2
P
B
6
29. Pada limas segiempat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya sama panjang, tentukan besar sudut antara TA dan bidang ABCD ! Jawab :
T T a
D
C
α
P a A
a
cosα =
a 2 2
a
B
=
1 2
2 ⇒ α = 45
A
a 2 2
P
14
30. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 Titik T pada perpanjangan CG, sehingga CG = GT. Jika sudut antara TC dan bidang BDT adalah α maka tentukan tan α ! Jawab :
T
T
α H
G
E
8
F
D
C
P
C
P
2 2
A
B
tan α =
2 2 1 = 2 8 4
31. Pada kubus ABCD.EFGH, α adalah sudut antara bidang ADHE dan ACH. Tentukan nilai cosα ! Jawab :
H
G
E
P
α
F a 2 2
a
3 2
P D
C
A
B 2
CP = cosα =
a 2 3 2 2 + a = a 2 a 2 2
a
3 2
=
1 3 3
D
a
C
15
32. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan rusuk 4 cm. Titik P pada pertengahan AB. Sudut antara TP dengan bidang alas adalah α . Tentukan nilai tan α ! Jawab : T
T
4
4
2 3 B
4
α
P A
P 4
CP = PT = cosα =
C
2 3
C
42 − 22 = 2 3
(2 3 ) 2 + (2 3 ) 2 − 42 1 8 = ⇒ tan α = = 2 2 3 1 2.2 3.2 3
33. Bidang empat A.BCD dengan AD siku-siku dengan alas dan segitiga BCD siku-siku di D. Sudut antara bidang BCD dan BCA adalah α . Tentukan nilai tan α ! Jawab :
A A
C 4
E
4
2 D
α 2
BC = 2 2 DE =
4− 2 = 2 4 tan α = = 2 2 2
B
D
2
E
16
34. Pada limas tegak T.ABCD alasnya berbentuk persegi panjang. Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah α . Tentukan nilai tan α ! Jawab :
T
T
α
13
3 17 D
3 17
C
P
Q8
A
6
P
6
Q
B
TP = TQ =
132 − 42 = 3 17
(3 17 ) 2 + (3 17 ) 2 − 6 2 15 8 = ⇒ tan α = 17 15 2.3 17 .3 17
cosα =
35. Pada limas beraturan T.ABCD dengan rusuk tegak 2 5 cm dan rusuk alas 4 cm, tentukan tangen sudut antara bidang TBC dengan bidang ABCD ! Jawab :
T T
2 5 4 D
C
P
Q
α
2 Q
A
4
B
TP =
(2 5 ) 2 − 2 2 = 4
TQ =
16 − 4 = 2 3
tan α =
2 3 = 2
3
2
P
17
36. ABCD adalah empat persegi panjang pada bidang horizontal dan ADEF empat persegi panjang pula pada bidang vertikal. Panjang AF = 3 m, BC = 4 m dan CE = 7 m. Jika α dan β berturut-turut sudut antara BE dengan bidang ABCD dan bidang ADEF, maka tentukan tan α . tan β ! Jawab :
E
β
7
F D
C
3
4
α A
B
CD = AB =
7 2 − 32 = 2 10
BD =
16 + 40 = 2 14
AE =
32 + 42 = 5
tan α . tan β =
3 2 10 . = 2 14 5
3 35
37. Dari limas beraturan T.PQRS diketahui TP=TQ=TR=TS=2 dan PQ=QR=RS=SP=2. Jika α adalah sudut antara bidang TPQ dan TRS, maka tentukan nilai cosα ! Jawab :
T
T
α 2
3
Q
R
A P
B2
TA = TB =
A
S
2
cosα =
3
22 − 12 =
3
( 3 ) 2 + ( 3 ) 2 − 22 2. 3. 3
=
1 3
2
B
18
38. Pada bidang empat T.ABC, bidang alas ABC merupakan segitiga sama sisi, TA tegak lurus pada bidang alas, panjang TA sama dengan 1 dan besar sudut TBA adalah 30 . Jika α adalah sudut antara bidang TBC dan bidang alas, maka tentukan nilai tan α ! Jawab : T
1 C
α
A
30
D
B
1 = tan 30 3 AD = ( 3 ) 2 − ( 23 ) 2 = 2 TA 1 2 tan α = = = AD 32 3 AB = AC = BC =
3
39. Limas beraturan T.ABC dengan panjang rusuk alas 6 cm dan panjang rusuk tegak 9 cm. Tentukan nilai sinus sudut antara bidang TAB dan bidang ABC ! Jawab :
T
9 C
6 A
α
3 D B
TD =
9 2 − 32 =
72
CD =
62 − 32 =
27
cosα =
72 + 27 − 81 6 = ⇒ sin α = 12 2. 72 . 27
138 12
19
40. Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak 11 cm dan panjang rusuk alas 2 2 cm. Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah α , maka tentukan nilai cosα ! Jawab :
T T
α
11 3 D
3
C
P
Q
P
Q
2 2 A
B
TP = TQ = cosα =
( 11) 2 − ( 2 ) 2 = 3
9+ 9− 8 5 = 2.3.3 9
