SIFAT OPERASI DAN EKSISTENSI INVERS SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS
SISKA MARYANA DEWI
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Sifat Operasi dan Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, November 2014 Siska Maryana Dewi NIM G54070006
ABSTRAK SISKA MARYANA DEWI. Sifat Operasi dan Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus. Dibimbing oleh SISWANDI dan FARIDA HANUM. Karya ilmiah ini membahas sifat-sifat operasi dalam aljabar max-plus dan sifat-sifat yang diaplikasikan pada matriks serta eksistensi invers matriks dalam aljabar max-plus. Operasi-operasi matriks yang dapat diaplikasikan dalam aljabar max-plus meliputi operasi penjumlahan dan perkalian antar matriks, matriks transpose, matriks identitas, matriks segi pangkat ke-k, serta perkalian matriks dengan skalar. Sifat- sifat yang berlaku untuk matriks dalam aljabar max-plus yaitu sifat asosiatif (untuk operasi penjumlahan dan perkalian), komutatif (hanya untuk operasi penjumlahan), dan distributif. Eksistensi invers suatu matriks A ∈ nxn max dalam aljabar max-plus dapat dipastikan ada jika dan hanya jika A merupakan perkalian matriks permutasi P dan matriks diagonal D(i ) . Kata kunci: matriks, aljabar max-plus
ABSTRACT SISKA MARYANA DEWI. Properties of Operations and Existence of the Inverse Matrix in Max-Plus Algebra. Supervised by SISWANDI dan FARIDA HANUM. This paper discusses the properties of operations in max-plus algebra and properties that valid for the matrix and existence of the inverse matrix in max-plus algebra. The operations that can be applied in max-plus algebra includes operations of addition and multiplication between matrices, transpose of a matrix, the identity matrix, the k-th rank of a square matrix, and the matrix multiplication by a scalar. Properties that valid for the matrix in max-plus algebra is an associative properties (for addition and multiplication operations), commutative (only for addition operation), and distributive. The existence of the inverse matrix nxn A ∈ max in max-plus algebra can be guarantied if and only if A is a multiplication of a permutation matrix P and a diagonal matrix D(i ) . Keywords: matrix, max-plus algebra
SIFAT OPERASI DAN EKSISTENSI INVERS SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS
SISKA MARYANA DEWI
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
Judul Skripsi : Sifat Operasi dan Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus Nama : Siska Maryana Dewi NIM : G54070006
Disetujui oleh
Drs Siswandi, MSi Pembimbing I
Dra Farida Hanum, MSi Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah berjudul Sifat Operasi dan Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-plus ini dapat penulis selesaikan. Shalawat dan salam penulis curahkan kepada Nabi Muhammad SAW, beserta sahabat dan umatnya. Ucapan terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Drs Siswandi, MSi dan Ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen pembimbing I dan II atas semua ilmu, kesabaran, dan motivasi, serta Bapak Muhammad Ilyas, MSi, MSc selaku dosen penguji dan Dr Donny Citra Lesmana, SSi, MFinMath atas segala saran dalam penulisan karya ilmiah ini. Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh dosen di Departemen Matematika atas semua ilmu yang telah diberikan, serta staf dan pegawai atas bantuan dan pelayanannya selama ini. Karya ilmiah ini penulis persembahkan untuk bapak, ibu, kakak, adik, dan keluarga. Terima kasih atas semua doa, dukungan, dan kasih sayang yang tiada habisnya. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada teman-teman Matematika 44, kakak-kakak dan adik-adik tingkat di Institut Pertanian Bogor, teman-teman kos, dan semua pihak yang tak henti memberikan dukungan serta bantuan dalam menyelesaikan karya ilmiah ini. Selain itu, penulis juga ingin memberikan terima kasih kepada Super Junior, khususnya Cho Kyuhyun karena secara tidak langsung telah memberi motivasi agar tidak menyerah dalam mengejar pendidikan. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, November 2014 Siska Maryana Dewi
DAFTAR ISI PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
1
HASIL DAN PEMBAHASAN
5
Sifat Operasi Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus SIMPULAN DAN SARAN
5 12 15
Simpulan
15
Saran
15
DAFTAR PUSTAKA
16
RIWAYAT HIDUP
17
PENDAHULUAN Latar Belakang Aljabar max-plus pertama kali muncul pada tahun 1956 dalam paper Kleene yang berjudul “Representation of events in nerve sets and finite automa”. Dalam aljabar max-plus, yang menjadi fokus utama adalah semi ring ℝmax = {𝜀} ∪ ℝ dengan operasi ⨁ dan ⨂. Saat ini aljabar max-plus telah banyak dikembangkan untuk menyelesaikan berbagai macam permasalahan matematika, seperti pada kombinatorika, optimasi, dan aljabar geometri. Berdasarkan (Subiono 2013) Aljabar max-plus juga digunakan dalam teori kontrol, penjadwalan mesin, sistem even diskrit (SED), sistem manufaktur, jaringan komunikasi, sistem proses paralel, kontrol lalu lintas, dan lain-lain. Karya Ilmiah ini merupakan hasil penjabaran kembali karya Kesie G. Farlow yang berjudul “Max-Plus Algebra” yang membahas mengenai dasar-dasar aljabar max-plus beserta kaitannya dengan beberapa konsep matematika seperti, matriks, vektor, teori graf, bahkan sampai rantai Markov. Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas sifat-sifat dan eksistensi invers matriks dalam aljabar maxplus.
Tujuan Penelitian Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah membahas sifat-sifat operasi dan eksistensi invers suatu matriks dalam aljabar max-plus.
TINJAUAN PUSTAKA Matriks Definisi 1 (Matriks) Matriks adalah beberapa skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Skalar tersebut disebut elemen matriks. Untuk batasnya, biasa digunakan ( ), [ ], atau || ||. Matriks diberi nama dengan huruf besar, misalnya A, B, dan lain-lain. Sedangkan elemen-elemen matriks ditulis dengan huruf kecil, misalnya a11, b21, dan lain-lain. Kadang suatu matriks A dapat ditulis A = aij . (Sutojo et al. 2010)
2
Operasi-operasi pada matriks: 1. Penjumlahan matriks Misalkan diketahui matriks A = aij berukuran m n dan matriks B =
a1n a11 a12 a21 a22 a2 n dan B = bij berukuran m n, maka A = amn am1 am 2 b1n b11 b12 b2 n b21 a22 . Penjumlahan A dan B didefinisikan sebagai : bmn bm1 bm 2 ( a1 n b1 n ) (a11 b11 ) ( a12 b12 ) (a21 b21 ) (a22 b22 ) ( a2 n b2 n ) A+B = aij + bij = aij bij = ( amn bmn ) (am1 bm1 ) ( am 2 bm 2 ) 2. Perkalian matriks dengan skalar Misalkan k suatu skalar, maka perkalian k dengan matriks A = aij berukuran m n didefinisikan dengan ka1n ka11 ka12 ka21 ka22 ka2 n kA = k aij = kaij kamn kam1 kam 2 3. Perkalian matriks Hasil perkalian matriks A = aij berukuran m p dan matriks B =
b berukuran p n adalah ij
matriks C = cij berukuran m n, dengan p
nilai cij ai1b1 j ai 2b2 j ... aipbpj aik bkj , untuk i = 1, 2,..., m dan j = 1, k 1
2,..., n. Definisi 2 (Transpos Matriks) Suatu matriks A = aij berukuran m n, maka transpos dari A adalah matriks AT berukuran n m yang didapatkan dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari AT.
3
a11 a T A = 12 a1n
a21 a22 a2 n
am1 am2 amn (Sutojo et al. 2010)
Definisi 3 (Matriks Identitas) Matriks identitas adalah matriks yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainnya adalah 0. Matriks identitas dinotasikan dengan I. 0 1 0 0 1 0 I= 1 0 0 (Sutojo et al. 2010) Definisi 4 (Invers Matriks) Sebuah matriks segi A berukuran n n disebut memiliki invers jika ada suatu matriks B, sehingga AB = BA = I. Matriks B disebut invers matriks A dan dapat ditulis A-1. (Sutojo et al. 2010)
Aljabar Max-Plus Definisi 5 (Semigrup) Semigrup adalah suatu himpunan dengan operasi biner asosiatif. (Fraleigh 1997) Definisi 6 (Semiring (S, + , × )) Suatu semiring (S, + , × ) adalah suatu himpunan tak kosong S disertai dengan dua operasi biner + dan × yang memenuhi aksioma berikut: 1. (S, +) merupakan semigrup yang komutatif dengan elemen netral 0, yaitu x, y, z ∈ S memenuhi x+y = y+x (x + y) + z = x + (y+ z) x+0 = 0+x 2. (S, × ) adalah semigrup dengan elemen satuan 1, yaitu x, y, z ∈ S memenuhi (x × y) × z = x × (y × z) x×1 = 1×x 3. Sifat absorbing elemen netral 0 terhadap operasi × , yaitu x ∈ S memenuhi x×0 = 0×x =0
4 4. Operasi × bersifat distributif terhadap + , yaitu x, y, z ∈ S berlaku (x + y) × z = (x × z) + (y × z) = (x × y) + (x × z) x × (y + z) (Subiono 2013) Definisi 7 (Aljabar Max-Plus) Aljabar max-plus adalah suatu semi ring (ℝmax, ⨁, ⨂) dengan ℝmax = {𝜀} ∪ ℝ. ℝ adalah himpunan semua bilangan real dan 𝜀 = −∞ yang memenuhi operasi ⨁ dan ⨂ yang didefinisikan sebagai berikut : x, y ∈ ℝmax , x ⨁ y = max (x, y) = maksimum (x, y). x ⨂ y = x + y. Biasanya cukup ditulis ℝmax . (Farlow 2009) Contoh : 3 ⨁ (-7) = max (3, (-7)) = 3 3 ⨂ (-7) = 3 + (-7) = -4 Sifat-sifat aljabar max-plus Untuk setiap x, y, z ∈ ℝmax akan memenuhi 1. Sifat asosiatif, yaitu : x ⨁ (y ⨁ z) = (x ⨁ y) ⨁ z dan x ⨂ (y ⨂ z) = (x ⨂ y) ⨂ z 2. Sifat komutatif, yaitu : x ⨁ y = y ⨁ x dan x ⨂ y = y ⨂ x 3. Sifat distributif, yaitu : x ⨂ (y ⨁ z) = (x ⨂ y) ⨁ (x ⨂ z) 4. Ada elemen nol terhadap operasi ⨁, yaitu ε, dengan 𝜀 = −∞. x⨁ε=ε⨁x=x 5. Ada elemen satuan terhadap operasi ⨂, yaitu ℯ, dengan ℯ = 0. x⨂ℯ=ℯ⨂x=x 6. Ada elemen invers terhadap operasi ⨂, Jika x 𝜀 maka ada bilangan tunggal y sehingga x ⨂ y = ℯ. 7. Ada elemen absorbing terhadap operasi ⨂, yaitu ε, sehingga x ⨂ ε = ε ⨂ x = ε. 8. Sifat idempoten terhadap operasi ⨁, yaitu x ⨁ x = x (Farlow 2009) Bukti : 1. x ⨁ (y ⨁ z) = max (x, max (y, z)) = max (x, y, z) = max (max (x, y), z) = (x ⨁ y) ⨁ z x ⨂ (y ⨂ z) = x + (y + z) = (x + y) + z = (x ⨂ y) ⨂ z 2. x ⨁ y = max (x, y) = max (y, x) = y ⨁ x x⨂y=x+y=y+x=y⨂x 3. x ⨂ (y ⨁ z) = x + max (y, z) = max (x + y, x + z) = (x ⨂ y) ⨁ (x ⨂ z)
5 4. x ⨁ ε = max (x, −∞) = max (−∞, 𝑥) = ε ⨁ x = x 5. x ⨂ ℯ = x + 0 = 0 + x = ℯ ⨂ x = x 6. Misalkan x ∈ ℝmax dengan x 𝜀, maka ∃ y ∈ ℝmax ∋ y = -x dan x + y = x + (-x) = 0 sehingga x ⨂ y = ℯ 7. x ⨂ ε = x + (−∞) = (−∞) + x = ε ⨂ x = ε 8. x ⨁ x = max (x, x) = x Definisi 8 (Pangkat Aljabar Max-Plus) Untuk x ∈ ℝmax dan n ∈ , x pangkat n didefinisikan dengan : x n = x ⨂ x ⨂ .... ⨂ x. Jika x 𝜀, maka x 0 = ℯ. Jika α ∈ ℝ, maka x = αx. Jika k > 0, maka k = ε (jika k ≤ 0, maka k tidak terdefinisi). Sifat-sifat operasi pangkat dalam aljabar max-plus Untuk setiap m, n ∈ , x ∈ ℝmax berlaku : 1. x m ⨂ x n = x( mn ) n
2. ( xm )n = x( m ) 3. x 1 = 1x = x 4. x m ⨂ y m = ( x y)m (Farlow 2009) Bukti : m n ( m n ) 1. x ⨂ x = mx + nx = (m+n)x = x n
2. ( xm )n = (mx)n = nmx = x( m ) 3. x 1 = 1x = x 4. x m ⨂ y m = mx + my = m(x+y) = ( x y)m
HASIL DAN PEMBAHASAN Sifat Operasi Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus Bagian ini akan mendefinisikan matriks dalam ℝmax. Matriks berukuran m × n untuk m, n ∈ dan elemen-elemennya ∈ ℝmax dalam aljabar max-plus mn n dinotasikan dengan max . Suatu matriks A ∈ mmax dapat ditulis sebagai berikut
6
a11 a A = 21 am1 Nilai untuk baris ke-i dan atau sebagai Aij .
a1n a22 a2 n am 2 amn kolom ke-j dari matriks A dinotasikan dengan aij a12
Operasi penjumlahan dan perkalian dari matriks dalam aljabar max-plus hampir serupa dengan operasi penjumlahan dan perkalian dalam matriks dalam aljabar biasa dengan + dan × didefinisikan sebagai ⨁ dan ⨂. Definisi 9 1. Untuk penjumlahan matriks A, B ∈
mn max
dinotasikan dengan A ⨁ B dan
didefinisikan sebagai : A B ij = aij ⨁ bij = max ( aij , bij ) 2. Untuk perkalian matriks A ∈
mk max
dan matriks B ∈
kxn max
, dinotasikan
dengan A ⨂ B dan didefinisikan sebagai :
A B il
= kj1 ( aij ⨂ b jl ) = max j1,2,...,k (aij + bjl)
3. Matriks transpos A dalam aljabar max-plus dinotasikan dengan AT dan didefinisikan AT = ij
A ji .
4. Matriks identitas n × n dalam aljabar max-plus dinotasikan dengan E dan didefinisikan sebagai : e jika i j E ij = jika i j 5. Untuk matriks segi A pangkat ke-k (dengan k bilangan bulat positif) dalam aljabar max-plus dinotasikan dengan Ak dan didefinisikan sebagai : Ak = A A ... A k
kali
Untuk k = 0, didefinisikan A0 = E. n 6. Untuk sebarang matriks A ∈ mmax dan sebarang skalar α ∈ ℝmax, didefinisikan perkalian skalar α ⨂ A sehingga : Aij = α ⨂ Aij Sifat-sifat suatu matriks dalam aljabar max-plus: 1. Sifat asosiatif, yaitu : A ⨁ (B ⨁ C) = (A ⨁ B) ⨁ C dan A ⨂ (B ⨂ C) = (A ⨂ B) ⨂ C 2. Sifat komutatif, yaitu : A ⨁ B = B ⨁ A dan A ⨂ B = B ⨂ A
7 3. Sifat distributif, yaitu : A ⨂ (B ⨁ C) = (A ⨂ B) ⨁ (A ⨂ C) Bukti : 1. Sifat asosiatif a). A ⨁ (B ⨁ C) = (A ⨁ B) ⨁ C n , i menyatakan baris matriks dan j Misalkan A, B, C ∈ mmax menyatakan kolom matriks, maka : A ⨁ (B ⨁ C) = ( A ( B C ))ij = aij (bij cij ) = aij (max(bij , cij )) = max(aij , max(bij , cij )) = max(aij , bij , cij ) (A ⨁ B) ⨁ C = (( A B) C))ij = (aij bij ) cij = max(aij , bij ) cij = max(max( aij , bij ), cij ) = max(aij , bij , cij ) Terbukti A ⨁ (B ⨁ C) = (A ⨁ B) ⨁ C. b). A ⨂ (B ⨂ C) = (A ⨂ B) ⨂ C p p q n , B ∈ max , C ∈ qmax , i menyatakan baris Misalkan A ∈ mmax matriks dan j menyatakan kolom matriks, maka : A ⨂ (B ⨂ C) = ( A ( B C ))ij q = ail blk ckj k 1 p q = ail blk ckj l 1 k 1 p
q
= ail blk ckj l 1 k 1
(A ⨂ B) ⨂ C = (( A B) C ))ij p = ail blk ckj l 1 q p = ail blk ckj k 1 l 1 p
q
= ail blk ckj l 1 k 1
Terbukti A ⨂ (B ⨂ C) = (A ⨂ B) ⨂ C.
8 Karena terbukti A ⨁ (B ⨁ C) = (A ⨁ B) ⨁ C dan A ⨂ (B ⨂ C) = (A ⨂ B) ⨂ C , maka sifat asosiatif dalam matriks aljabar max-plus berlaku untuk operasi penjumlahan dan perkalian. 2. Sifat komutatif a). A ⨁ B = B ⨁ A n mn Misakan A, B ∈ mmax max , i menyatakan baris matriks dan j menyatakan kolom matriks, maka : A ⨁ B = ( A B)ij = (aij bij ) = max(aij , bij ) B ⨁ A = ( B A)ij = (bij aij ) = max(bij , aij ) = max(aij , bij ) Terbukti A ⨁ B = B ⨁ A. b). A ⨂ B = B ⨂ A p Misalkan A ∈ mmax dan B ∈ j menyatakan kolom matriks, maka : A ⨂ B = ( A B)ij
p n max
, i menyatakan baris matriks dan
p
= aik bkj k 1
= max(aik bkj ) k p
Sedangkan B ⨂ A belum tentu bisa dioperasikan karena dalam operasi perkalian matriks aljabar matriks banyaknya kolom matriks pertama harus sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Oleh karena itu, B ⨂ A hanya bisa dioperasikan jika banyaknya kolom matriks B sama dengan banyaknya baris matriks A (n = m), sehingga sifat komutatif dalam matriks aljabar max-plus hanya berlaku untuk operasi penjumlahan. 3. Sifat distributif A ⨂ (B ⨁ C) = (A ⨂ B) ⨁ (A ⨂ C) p Misalkan A ∈ mmax , B, C ∈ j menyatakan kolom matriks, maka : A ⨂ (B ⨁ C) = ( A ( B C ))ij
p n max
, i menyatakan baris matriks dan
p
= aik (bkj ckj ) k 1 p
= (aik bkj aik ckj ) k 1
p p = aik bkj aik ckj k 1 k 1
9 = ( A B)ij ( A C ))ij = (A ⨂ B) ⨁ (A ⨂ C) Terbukti A ⨂ (B ⨁ C) = (A ⨂ B) ⨁ (A ⨂ C). Contoh: 2 5 Diberikan A = , B = e 3
1 e dan C = 1 6
3 2 maka: 1 4
2 5 1 e max(2,1) max(5, e) 1 5 A⨁B= ⨁ = = e 3 1 6 max(e, 1) max(3, 6) e 3 2 5 1 e A⨂B= ⨂ e 3 1 6 max((( 2) 1),(5 ( 1))) max((( 2) e),(5 ( 6))) = max(( e e),(3 ( 6))) max((e 1),(3 ( 1))) max(1, 4) max( 2, 1) 4 1 = = max( e, 3) 2 e max(1, 2) 2 e AT = 5 3 Matriks identitas dalam aljabar max-plus untuk matriks berukuran 2 2 adalah: e E= e Matriks identitas dalam aljabar max-plus untuk matriks berukuran 3 3 adalah: e E = e e 2 5 2 5 A2 = ⨂ e 3 e 3 max(( 2) ( 2),5 e) max(( 2) 5,5 3) = max( e 5,3 3) max(e ( 2),3 e) max( 4,5) max(3,8) 5 8 = = max(2,3) max(5,6) 3 6
Diberikan α = 3, maka : 2 5 3 (2) 3 5 3 (2) 3 5 1 8 α⨂A=3⨂ = = = 3 3 3 e 3 3 3 6 e 3 3 e
Contoh untuk sifat asosiatif :
10 2 A ⨁ (B ⨁ C) = e 2 = e 2 = e 3 = 1
5 1 e 3 2 ⨁ 3 1 6 1 4 5 max(1,3) max(e, 2) ⨁ 3 max(1,1) max(6, 4) 5 3 e max(2,3) max(5, e ) ⨁ = 3 1 4 max(e,1) max(3, 4) 5 4
2 5 1 e 3 2 (A ⨁ B) ⨁ C = ⨁ e 3 1 6 1 4 max(2,1) max(5, e ) 3 2 = ⨁ max(e, 1) max(3, 6) 1 4 1 5 3 2 max(1,3) max(5, 2) = ⨁ = e 3 1 4 max(e,1) max(3, 4) 3 5 = 1 4 Terlihat bahwa A ⨁ (B ⨁ C) = (A ⨁ B) ⨁ C. 2 5 1 e 3 2 A ⨂ (B ⨂ C) = ⨂ e 3 1 6 1 4 max((1 (2)), (e 4) 2 5 max((1 3), (e 1)) = ⨂ e 3 max(((1) 3), ((6) 1)) max(((1) (2)), ((6) 4)) max(1, 4) 2 5 max(4,1) = ⨂ e 3 max(2, 5) max(3, 2) 2 5 4 4 = ⨂ e 3 2 2 max(((2) 4), (5 2)) max((( 2) 4), (5 ( 2))) = max((e 4), (3 ( 2))) max((e 4), (3 2)) max(2, 7) max(2,3) 7 3 = = max(4,5) max(4,1) 5 4
2 5 1 e 3 2 (A ⨂ B) ⨂ C = ⨂ e 3 1 6 1 4 max(((2) 1), (5 (1))) max((( 2) e ), (5 ( 6))) 3 2 = ⨂ max((e e ), (3 ( 6))) 1 4 max((e 1), (3 (1))) max(1, 4) max(2, 1) 3 2 = ⨂ max(e, 3) 1 4 max(1, 2)
11 4 1 3 2 = ⨂ 2 e 1 4 max((4 3), ((1) 1)) max((4 ( 2)), (( 1) 4)) = max((2 ( 2)), (e 4)) max((2 3), (e 1)) max(7, e) max(2,3) 7 3 = = max(5,1) max(e, 4) 5 4 Terlihat bahwa A ⨂ (B ⨂ C) = (A ⨂ B) ⨂ C.
Contoh untuk sifat komutatif : 2 5 1 e A⨁B= ⨁ = e 3 1 6 1 e 2 5 B⨁A= ⨁ = 1 6 e 3 Terlihat bahwa A ⨁ B = B ⨁ A.
max(2,1) max(5, e) 1 5 = max(e, 1) max(3, 6) e 3 max(1, 2) max( e,5) 1 5 = max(1, e) max( 6,3) e 3
2 5 1 e A⨂B= ⨂ e 3 1 6 max((( 2) 1),(5 ( 1))) max((( 2) e),(5 ( 6))) = max(( e e),(3 ( 6))) max((e 1),(3 ( 1))) max(1, 4) max( 2, 1) 4 1 = = max( e, 3) 2 e max(1, 2) 1 e 2 5 B⨂A= ⨂ 1 6 e 3 max((1 ( 2)),( e e)) = max((( 1) ( 2)),(( 6) e)) max(6,3) max( 1, e) = = max(3, 6) max(4, 3) Tidak terlihat bahwa A ⨂ B = B ⨂ A.
Contoh sifat distributif: 2 5 A ⨂ (B ⨁ C) = ⨂ e 3
max((1 5),( e 3))
max((( 1) 5),(( 6) 3)) e 6 3 4
1 e 3 2 1 6 1 4 2 5 max(1,3) max(e, 2) = ⨂ e 3 max(1,1) max(6, 4) 2 5 3 e = ⨂ e 3 1 4 max((2) 3), (5 1)) max((( 2) e ), (5 4)) = max((e e ), (3 4)) max((e 3), (3 1))
12 max(1, 6) max(2,9) 6 9 = = max(3, 4) max(e, 7) 4 7
2 5 1 e 2 5 3 2 (A ⨂ B) ⨁ (A ⨂ C) = ⨁ e 3 1 6 e 3 1 4 max((( 2) 1),(5 ( 1))) max((( 2) e),(5 ( 6))) = max(( e e),(3 ( 6))) max((e 1),(3 ( 1))) max(((2) 3), (5 1)) max(((2) (2)), (5 4)) ⨁ max((e (2)), (3 4)) max((e 3), (3 1)) max(1, 4) max(2, 1) max(1, 6) max(4,9) = ⨁ max(e, 3) max(3, 4) max(2, 7) max(1, 2) 4 1 6 9 max(4, 6) max(1,9) = ⨁ = 2 e 4 7 max(2, 4) max(e, 7) 6 9 = 4 7 Terlihat bahwa A ⨂ (B ⨁ C) = (A ⨂ B) ⨁ (A ⨂ C)
Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus Definisi 10 n dikatakan memiliki invers kanan Dalam aljabar max-plus, matriks A ∈ nmax jika ada sebuah matriks B sehingga A ⨂ B = E, dan B disebut invers dari A, ditulis B = A1 . Definisi 11 n Dalam aljabar max-plus, matriks A ∈ nmax dikatakan memiliki invers kiri jika ada sebuah matriks B sehingga B ⨂ A = E, dan B disebut invers dari A, ditulis B = A1 . Definisi 12 Dalam aljabar max-plus, matriks permutasi A adalah matriks yang pada setiap baris dan kolomnya memuat tepat satu elemen e dan elemen yang lainnya adalah 𝜀. Jika pemetaan : {1, 2, ...., n} → {1, 2, ...., n} adalah suatu permutasi, maka didefinisikan matriks permutasi P = pij dengan e jika i ( j) pij = jika i ( j) Sehingga elemen kolom ke-j dari P mempunyai e di baris ke- ( j ) .
Perkalian kiri oleh P mempermutasikan baris dari matriks, sehingga baris ke-i dari matriks A nampak sebagai baris ke- ( j ) dari matriks P ⨂ A.
13 Contoh : Diberikan : {1, 2} → {1, 2} (1) 2 (2) 1 maka: e jika 1 (1) , p11 = . p11 jika 1 (1) e jika 1 (2) , p12 = e . p12 jika 1 (2) e jika 2 (1) , p21 = e . p21 jika 2 (1) e jika 2 (2) , p22 = . p22 jika 2 (2) e Matriks permutasinya adalah . e Definisi 13 Jika 1 , 2 ,...., n ∈ ℝmax, i maka matriks diagonal didefinisikan sebagai : ... 1 2 ... D(i ) = ... ... ... ... ... n n Teorema 1a. Matriks A ∈ nmax , mempunyai invers kanan jika dan hanya jika ada permutasi dan nilai i , i ∈ {1, 2, ...., n} sedemikian rupa sehingga A = P ⨂ D(i ) . Teorema 1b. Analog terhadap Teorema 1a, matriks A ∈
nn max
, mempunyai invers
kiri jika dan hanya jika ada permutasi dan nilai i , i ∈ {1, 2, ...., n} sedemikian rupa sehingga A = D(i ) ⨂ P . Bukti. Anggap ada matriks B sedemikian rupa sehingga A ⨂ B = E. Hal ini mengakibatkan bahwa : maxk (aik bki ) = e = 0 untuk setiap i ..................................................... (1) maxk (aik bkj ) = 𝜀 = -∞ untuk setiap i j ............................................ (2) dan (1) untuk setiap i ada suatu nilai k sehingga aik bki e . Ini berarti ada suatu fungsi k = (i) dengan ai (i ) dan b (i )i . Dari persamaan (2) dapat ditemukan ai ( j ) untuk semua i j .................................................................... (3)
14 Karena ai (i ) = ai ( j ) untuk i j , berarti bahwa adalah suatu injeksi dan ada suatu permutasi. Persamaan (3) menunjukkan bahwa ai (i ) adalah satusatunya elemen dari kolom ke- (i) dari matriks A yang nilainya bukan . Misalkan A = P ⨂ A. Baris ke- (i) dari A adalah baris ke-i matriks A, yang mempunyai elemen lebih besar dari dalam kolom ke- (i) . Maka dari itu, semua elemen diagonal dari matriks A lebih besar dari . Hal ini juga berarti bahwa matriks A hanya mempunyai satu elemen selain dalam setiap kolom, sehingga P ⨂ A = A = D(i ) dengan a 1 (i )i . Misalkan 1 . Karena P ⨂ P = E, maka A = P ⨂ D(i ) . Sebaliknya, diasumsikan bahwa A = P ⨂ D(i ) dengan i ∈
nn max
dan
i . Jika ini benar, dimisalkan B = D(i ) ⨂ P , i = i , sehingga A ⨂ B = P ⨂ D(i ) ⨂ D(i ) ⨂ P = P ⨂ P = E. 1
1
1
1
Jadi, A ⨂ B = E dan B adalah invers kanan dari matriks A. Teorema ini memberikan karakteristik invers matriks dalam aljabar maxplus. Berdasarkan ini, dapat diketahui bahwa matriks yang mempunyai invers merupakan suatu permutasi matriks diagonal. Contoh:
2 Misal A = , maka A mempunyai invers kanan karena diambil dari P = 1 e 1 dan D(i ) = sehingga : e 2 e 1 P ⨂ D(i ) = ⨂ e 2 max(( 1), (e )) max(( ), (e 2)) = max((e 1), ( )) max((e ), ( 2)) max( , ) max( , 2) = max(1, ) max( , ) 2 = =A 1 n Teorema 2. Untuk A, B ∈ nmax jika A ⨂ B = E maka B ⨂ A = E , dan B adalah suatu matriks unik yang ditentukan oleh matriks A.
Bukti. Berdasarkan teorema 1, dapat diketahui bahwa A = P ⨂ D(i ) untuk beberapa nilai i dan permutasi . Telah diketahui bahwa B = D(i ) ⨂ P 1 adalah invers kiri dari matriks A. Jika A ⨂ B = E , maka B = B ⨂ (A ⨂ B)
15 = ( B ⨂ A) ⨂ B = E ⨂ B = B, hal ini menunjukkan bahwa B adalah suatu matriks unik yang ditentukan oleh matriks A dan juga invers kiri dari matriks A. n Teorema 3. Jika A ∈ nmax dan B ∈ maka A ⨂ B juga mempunyai invers.
nn max
adalah matriks yang mempunyai invers,
Bukti. Berdasarkan teorema 1, dapat diketahui bahwa A = P a ⨂ D(ia ) dan B = D(ib ) ⨂ P b . maka A ⨂ B = P a ⨂ D(ia ) ⨂ D(ib ) ⨂ P b . Hasil perkalian dua matriks diagonal adalah matriks diagonal, maka A ⨂ B = P a ⨂ D( ia ⨂ ib )⨂ P b . Hal ini membuktikan bahwa A ⨂ B merupakan permutasi matriks diagonal, maka A ⨂ B juga mempunyai invers.
SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Berbagai operasi terhadap suatu matriks dapat diaplikasikan dalam bentuk aljabar max-plus. Operasi-operasi tersebut meliputi operasi penjumlahan dan perkalian antarmatriks, matriks transpos, matriks identitas, matriks segi pangkat ke-k, serta perkalian matriks dengan skalar. Sifat- sifat yang berlaku untuk matriks dalam aljabar max-plus yaitu sifat asosiatif (operasi penjumlahan dan perkalian), komutatif (hanya operasi penjumlahan), dan distributif. Selain itu, invers suatu matriks A berukuran n n dalam aljabar max-plus dapat dijamin ada jika dan hanya jika A merupakan perkalian matriks permutasi P dan matriks diagonal D(i ) .
Saran Masih banyak hal yang ada dalam aljabar max-plus yang belum dibahas dalam karya ilmiah ini, termasuk implementasi nyata dari manfaat aljabar maxplus dalam berbagai bidang. Saya berharap akan ada yang melanjutkan karya ilmiah ini agar lebih memahami penerapan aljabar max-plus.
16
DAFTAR PUSTAKA Farlow, KG. 2009. Max-Plus Algebra [Tesis]. Virginia (US): Virginia Polytechnic Institute and State University. Subiono. 2013. Aljabar Maxplus dan Terapannya. Surabaya (ID): Institut Sepuluh Nopember. Fraleigh, JB. 1997. A First Course in Abstract Algebra. New York (US): Addison-Wesley. Sutojo T, N Bowo, Z.A Erna, Astuti S, Rahayu Y, Mulyanto E. 2010. Teori dan Aplikasi Aljabar Linier dan Matriks. Yogyakarta (ID): Penerbit ANDI.
17
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Kuningan, Jawa Barat pada tanggal 18 Juli 1989 dari pasangan bapak Hadi dan ibu Amilah. Penulis merupakan anak ketiga dari empat bersaudara. Pada tahun 2007, penulis lulus dari MA Husnul Khotimah dan pada tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih mayor Matematika dan minor Ilmu Komunikasi. Selama mengikuti perkuliahan, penulis mendapatkan beasiswa Bantuan Belajar Mahasiswa (BBM) pada semester ganjil 2009-2010 sampai semester ganjil 2011-2012. Penulis pernah aktif di berbagai organisasi seperti DKM Al-Hurriyah IPB, BEM FMIPA IPB, dan SERUM-G IPB serta menjadi panitia dalam MPKMB, MPF, MPD, LKCM, Pesta Sains, dan lain-lain.