PENGENDALIAN KUALITAS MENGGUNAKAN MODEL FUZZY GOAL PROGRAMMING

PENGENDALIAN KUALITAS MENGGUNAKAN MODEL FUZZY GOAL PROGRAMMING

SKRIPSI

KIKI WINARTI 050803056

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009

Kiki Winarti : Pengendalian Kualitas Menggunakan Model Fuzzy Goal Programming , 2009.

2


SKRIPSI


DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009


3

PERSETUJUAN

Judul Kategori Nama Nomor Induk Mahasiswa Program Studi Departemen Fakultas

: PENGENDALIAN KUALITAS MENGGUNAKAN MODEL FUZZY GOAL PROGRAMMING : SKRIPSI : KIKI WINARTI : 050803056 : SARJANA (S1) MATEMATIKA : MATEMATIKA : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Diluluskan di Medan,02 September 2009

Komisi Pembimbing

:

Pembimbing 2

Pembimbing 1

Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si NIP. 130 810 774

Drs. Marwan Harahap, M.Eng NIP.130 422 443

Diketahui/Disetujui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP. 131 796 149


4

PERNYATAAN


SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, 02 September 2009



5

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, dengan limpahan dan karuniaNya skripsi ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan. Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada Drs. Marwan Harahap, M.Eng dan Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan kajian ini. Panduan ringkas, padat dan professional telah diberikan kepada saya agar penulis dapat menyelesaikan tugas ini. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU Dr. Saib Suwilo, M.Sc. dan Drs. Henry Sitepu, M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matemetika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, dan pegawai di FMIPA USU. Akhirnya tidak terlupakan kepada kedua orang tua, semua ahli keluarga dan rekan-rekan terdekat saya Fitri, Astri, Jayanti, Firdaus, Taufik, Amin, Mindo, Kak Desni, Bang gudhi, adikku Bayu serta kakanda saya Fachri yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan. Semoga Allah SWT memberikan balasan yang layak.


6

ABSTRAK

Pengendalian kualitas (Quality Control) dalam keadaan tertentu merupakan suatu proses pengambilan keputusan yang kompleks. Kompleksitas tersebut terjadi karena banyaknya karakteristik input, parameter proses dan karakteristik output yang harus dipenuhi sesuai dengan spesifikasi dan kemungkinan terjadinya konflik antar karakteistik dan parameter proses. Sehingga diperlukan sistem pengendalian kualitas secara simultan. Penelitian ini menggunakan model Fuzzy Goal Programming untuk pengendalian kualitas apabila hubungan karakteristik input dan parameter proses terhadap karakteristik output adalah persamaan regresi linier. Model fuzzy goal programming yang digunakan mampu memenuhi seluruh spesifikasi yang ditetapkan si pembuat keputusan dengan nilai keanggotaan yang mengindikasikan terpenuhinya spesifikasi dalam hubungannya dengan nilai tengah deviasi spesifikasi.


7

QUALITY CONTROL USE FUZZY GOAL PROGRAMMING MODEL

ABSTRACT

The Quality Control in presence of certain features is a complex decision making process. The complexity happened due to the number of characteristic inputs, process parameters and characteristic outputs which must be fulfilled according to specification and possibility the happening of conflict between the characteristics and process parameters. Thus the simultaneously quality control system is required. This research uses the fuzzy goal programming model for quality control if the relationship of characteristic input and process parameter to characteristic output is linear regression equation. The fuzzy goal programming model used is able to fullfil all the specifications that is determined by decision maker with membership function that indicates the fulfillment of specifications in terms of specification deviation central value.


8

DAFTAR ISI

Persetujuan Pernyataan Penghargaan Abstrak Abstract Daftar Isi Daftar Tabel Daftar Gambar

Halaman ii iii iv v vi vii viii ix

Bab 1. Pendahuluan 1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Kontribusi Penelitian 1.5 Tinjauan Pustaka 1.6 Metode Penelitian

1 1 2 3 3 3 5

Bab 2. Landasan Teori 2.1 Quality Control (Pengendalian Kualitas) 2.1.1 Definisi Kualitas 2.1.2 Macam-macam Kualitas 2.1.3 Ciri-ciri Kualitas 2.1.4 Definisi Quality Control (Pengendalian Kulaitas) 2.1.5 Peta Kontrol 2.1.5.1 Peta Kontrol Variabel 2.1.5.2 Peta Kontrol Atribut 2.2 Analisis Regresi 2.2.1 Regresi Linier Sederhana 2.2.2 Regresi Linier Berganda 2.2.3 Interval Kepercayaan 2.2.4 Estimasi Parameter β 2.3 Goal Programming 2.3.1 Konsep Goal Programming 2.3.1.1 Variabel Deviasi 2.3.1.2.Fungsi Tujuan 2.3.1.3 Kendala Tujuan 2.3.1.4 Kendala Non-Negatif 2.3.1.5 Kendala Struktural 2.3.2 Model Goal Programming 2.3.3 Prioritas Tujuan 2.4 Desain Quality Control System dengan Model Goal Progrmming 2.5 Model Fuzzy Goal Programming 2.5.1 Fungsi Keanggotaan Fuzzy 2.5.2 Model Fuzzy Goal Programming untuk

6 6 7 7 8 8 9 9 11 11 12 13 13 14 15 16 16 18 19 21 21 22 24


25 27 28

9

Pengendalian Kualitas 2.6 Pengenalan Program Matlab versi 6 2.7 Pengenalan Program Lindo for Windows Bab 3. Pembahasan 3.1 Penentuan Variabel dan Spesifikasi yang Digunakan 3.2 Pengambilan Acak dari Masing-masingVariabel 3.3 Pembentukan Variabel Output dalam bentuk Persamaan Regresi Linier 3.3.1 Estimasi parameter β menggunakan Matlab 3.3.2 Bentuk Variabel Output dalam Persamaan Regresi 3.4 Nilai Fuzzy Spesifikasi masing-masing Variabel 3.5 Konstanta Deviasi yang berhubungan dengan Imprecise Aspiration Level 3.6 Persamaan Kendala masing-masing Variabel 3.6.1 Persamaan Kendala Output 3.6.2 Persamaan Kendala Input 3.6.3 Persamaan Kendala Proses 3.7 Penyelesaian Model Fuzzy Goal Programming 3.7.1 Penyelesaian Model Fuzzy Goal Programming dengan menggunakan LINDO

31 33 34 35 35 36

Bab 4. Kesimpulan dan Saran 4.1 Kesimpulan 4.2 Saran

60 60 61

Daftar Pustaka Lampiran


38 38 45 46 48 49 49 51 52 53 55

10

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Jenis-jenis Kendala Tujuan

Halaman 20

Tabel 3.1 Spesifikasi Masing-masing Variabel

36

Tabel 3.2 Nilai 14 variabel bebas Input dan 10 observasi

37

Tabel 3.3 Nilai 5 variabel output dengan 10 observasi

37

Tabel 3.4 Hasil Perhitungan dengan Fuzzy Goal Programming

58


11

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Peta kontrol untuk rata-rata Gambar 2.2 Peta kontrol untuk rentang

Halaman 10 10

Gambar 2.3 Interval kepercayaan untuk garis regresi dalam batas spesifikasi variabel

14

Gambar 2.4 Tampilan command window pada Matlab

33

Gambar 2.5 Tampilan awal program Lindo

34

Gambar 3.1 Tampilan listing program penyelesaian Fuzzy Goal Programming menggunakan Lindo

56

Gambar 3.2 Tampilan hasil program fuzzy goal programming dengan menggunakan Lindo

56

Gambar 3.3 Sambungan tampilan hasil dari gambar 3.2

57

Gambar 3.4 Tampilan hasil terakhir model fuzzy goal programming

57


12

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang

Suatu produk yang berkualitas adalah sebuah produk yang sangat unggul atau jasa yang sangat memuaskan sesuai dengan harapan. Kualitas adalah semua ciri-ciri dan sifat-sifat yang khas dari produk atau jasa yang memberikan kepuasan yang diinginkan pelanggan. Kesesuaian dari produk atau jasa terhadap spesifikasi dan derajat kesesuaian adalah ukuran dari kualitas. Pengendalian kualitas adalah teknik dan aktivitas yang dilakukan untuk memperoleh, meneruskan dan meningkatkan kualitas dari produk dan jasa. Pengendalian

kualitas dilakukan untuk menjamin suatu produk atau jasa

memenuhi spesifikasi yang ditetapkan. Dalam keadaan tertentu pengendalian kualitas (Quality Control ) menjadi proses pengambilan keputusan yang kompleks. Hal ini terjadi karena banyaknya karakteristik input, parameter proses, dan karakteristik output yang harus memenuhi spesifikasi yang telah ditetapkan. Kompleksitas ini dapat menimbulkan konflik antar tujuan. Salah satu pendekatan yang dapat digunakan dalam melakukan pengendalian kualitas secara simultan adalah goal programming. Sebuah teknik baru untuk menganalisis dan membuat solusi persoalan yang melibatkan banyak tujuan telah dikembangkan sebagai penunjang programa tujuan. Teknik ini memberi peluang kepada pembuat keputusan untuk melibatkan berbagai tujuan yang kadang-kadang bahkan saling konflik ke dalam proses formulasinya, berikut prioritas tujuannya. Penggunaan teknik goal programming merefleksikan sebuah filosofi dari upaya untuk mencapai solusi optimal kompromistis untuk berbagai tujuan yang kadang-kadang saling konflik. Penyelesaian goal programming adalah mencari solusi yang meminimumkan jumlah deviasi ( penyimpangan ) yang tidak


13

dikehendaki antara fungsi tujuan dengan masing-masing nilai tujuan, dengan tidak mengabaikan kendala-kendala yang ada. Beberapa hal yang dipertimbangkan secara simultan yaitu karakteristik input, parameter proses dan karakteristik ouput yang dinyatakan melalui regresi linier berganda. Dengan konsep regresi linier dengan metode kuadrat terkecil yang meminimumkan deviasi yaitu pencapaian sesungguhnya dikurangi dengan pencapaian ramalan. Hal ini sesuai dengan konsep goal programming yang meminimumkan deviasi berbagai tujuan, sasaran atau target yang telah ditetapkan. Maka kedua konsep tersebut ini digunakan untuk pengendalian kualitas. Di dunia nyata banyak situasi dimana tujuan si pembuat keputusan adalah kabur (tidak jelas). Pengendalian kualitas menjadi kompleks ketika banyak karakteristik output yang dipertimbangkan dan masing-masing karakteristik ini harus memenuhi spesifikasi. Spesifikasi masing-masing karakteristik tersebut dalam bentuk interval dimana suatu produk dikatakan berkualitas apabila nilai karakteristik input, proses dan karakteristik output nya memenuhi interval spesifikasi. Sehingga pendekatan fuzzy goal programming yang digunakan untuk pengendalian kualitas. Di dalam pendekatan fuzzy goal programming dianggap bahwa tujuan nya merupakan himpunan kabur yang mana fungsi keanggotaannya memberikan derajat kepuasan sesuai dengan pencapaian target. Model fuzzy goal programming (Cherif, 2008) dipergunakan untuk melakukan pengendalian kualitas suatu produk.

1.2

Perumusan Masalah

Implementasi model fuzzy goal programming dalam pengendalian kualitas apabila hubungan karakteristik input dan parameter proses terhadap karakteristik output adalah persamaan regresi linier.


14

1.3

Tujuan Penelitian

Bertujuan untuk dapat memperoleh kualitas produk yang memenuhi spesifikasi yang dibuat oleh si pembuat keputusan dengan menggunakan moel fuzzy goal programming apabila hubungan karakteristik input dan parameter proses terhadap karakteristik output adalah persamaan regresi linier.

1.4

Kontribusi Penelitian

Mempermudah melakukan pengendalian kualitas dengan menggunakan model fuzzy goal programming. Bermanfaat sebagai alat pertimbangan bagi pengambil keputusan dalam melakukan pengendalian kualitas.

1.5

Tinjauan Pustaka

Sebagai sumber pendukung teori dalam penulisan penelitian ini, maka penulis menggunakan beberapa pustaka antara lain:

Konsep pengendalian kualitas diperkenalkan selama revolusi industri di dunia. Shewhart

(1924)

mengembangkan

sebuah

perencanaan

statistik

untuk

pengendalian dari variabel produk dan berkembang menjadi Statistical Quality Control. Kemudian Dodge dan Romig (1942) melanjutkan dengan mencari nilai dari Statistical Quality Control menjadi nyata. Pengendalian kualitas semakin berkembang seiring dengan perkembangan industri di dunia.

Dale (1986) menyatakan bahwa Quality Control melibatkan beberapa teknik dan aktivitas yang saling berhubungan antara lain: 1. Spesifikasi dari apa yang dibutuhkan 2. Tujuan dari produk atau jasa memenuhi spesifikasi 3. Yang dihasilkan atau pemasangan benar-benar memenuhi spesifikasi 4. Pemeriksaan untuk menentukan kesesuaian terhadap spesifikasi


15

5. Memeriksa pemakaian untuk menyediakan informasi dalam merevisi spesifikasi yang dibutuhkan

Charnes dan Cooper (1961) pertama kali memperkenalkan goal programming sebagai pendekatan untuk menyelesaikan masalah yang infeasibility (tidak layak) pada program linier yang disebabkan oleh tujuan yang bertentangan. Ijiri (1981) dan Jaaskelainen (1969) kemudian melanjutkan melengkapinya sehingga dapat dipakai secara operasional.

Nasendi dan Affendi (1985) dalam bukunya menyatakan bahwa dalam keadaan dimana seseorang pengambil keputusan dihadapkan kepada suatu persoalan yang mengandung beberapa tujuan didalamnya, maka program linier tak dapat membantu untuk memberikan pertimbangan yang rasional. Karena Linier Progammning hanya terbatas pada analisis tujuan tunggal (single objective function). Oleh karena itu, maka persoalan tersebut memerlukan bantuan program tujuan ganda (goal programming). Dunia nyata yang kita hadapi ini adalah dunia yang penuh dengan berbagai tujuan sebagai target dan sasaran. Oleh karena itu maka goal programming merupakan alat analisis yang tepat untuk itu. Goal programming berusaha untuk meminimumkan deviasi berbagai tujuan, sasaran, atau target yang ditetapkan. Dengan analisis goal programming maka dicoba untuk memuaskan atau memenuhi target yang telah ditentukan.

Kusumadewi (2002) dalam bukunya menyatakan selama beberapa dekade yang lalu, himpunan fuzzy dan hubungannya dengan logika fuzzy telah digunakan pada lingkup domain permasalahan yang cukup luas. Lingkup ini kendali proses, klasifikasi dan pencocokan pola, manajemen dan pengambilan keputusan, riset operasi ekonomi, dll. Sejak tahun 1985, terjadi perkembangan yang sangat luas pada logika fuzzy tersebut terutama dalam hubungannya dengan penyelesaian masalah kendali, terutama yang bersifat nonlinier dan situasi-situasi yang sangat kompleks.

Hannan (1981) juga Ignizio (1982) pertama kali memaparkan teori himpunan fuzzy untuk masalah goal programming. Hannan mengembangkan persamaan


16

fuzzy goal programming Narasimhan dalam standard linier goal programming. Berdasarkan pada formulasi yang diberikan Hannan, fuzzy goal programming untuk proses kontrol diformulasikan kembali oleh Cherif (2008).

1.6

Metodologi Penelitian

Secara umum penelitian ini merupakan studi literatur yang dilakukan dengan beberapa tahapan berikut: 1. Penetapan karakteristik-karakteristik input, proses, dan output yang harus memenuhi spesifikasi yang ditetapkan dalam konsep pengendalian kualitas. 2. Menguraikan pendekatan model Goal Programming yang digunakan dalam proses pengendalian kualitas. 3. Mengembangkan pendekatan model Goal Programming menjadi model Fuzzy Goal Programming yang dapat digunakan untuk pengendalian kualitas karena nilai spesifikasi dari karakteristik-karakteristik yang ada dalam bentuk interval. 4. Mengimplementasikankan model Fuzzy Goal Programming tersebut dengan menyelesaikan contoh simulasi dalam penyelesaiaan masalah pengendalian kualitas.


17

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1

Quality Control ( Pengendalian Kualitas )

Ketika ungkapan “ kualitas produk “ digunakan, biasanya didefinisikan sebagai suatu hal yaitu produk yang terbaik atau jasa yang sesuai dengan harapan kita. Produk terdiri dari barang-barang yang dihasilkan pabrik, seperti mobil, komputer, dan pakaian, serta jasa seperti tenaga listrik, angkutan umum, dan pemeliharaan kesehatan. Tidak hanya dalam industri pengendalian kulitas dibutuhkan tetapi pada manajemen pun memegang peranan sangat penting. Pada pengendalian kualitas statistik tidak menghendaki “ terbaik “ absolut, tetapi kualitas yang diinginkan adalah yang memenuhi permintaan konsumen.

Biasanya permintaan konsumen ini diwujudkan dalam dua syarat: •

Akhir kegunaan suatu produk

•

Harga jual suatu produk

Sebagai contoh, seandainya suatu industri pembuat roda kendaraan ingin memproduksi suatu roda dengan diameter tertentu. Jika bahan yang digunakan besi tua, maka harga produksinya dapat Rp.5000/biji, tetapi mutunya tidak dijamin. Daya tahan roda tidak diketahui. Tetapi seandainya bahan yang digunakan adalah baja berkualitas tinggi, maka harga roda produksi nya Rp.100.000/biji tetapi mutunya terjamin. Daya tahan roda sangat kuat, baik untuk kendaraan dengan beban berat maupun untuk balapan (race).


18

2.1.1 Definisi Kualitas

Produk dan jasa yang berkualitas adalah produk dan jasa yang sesuai dengan apa yang diinginkan konsumennya. Pengertian kualitas menurut beberapa ahli yang banyak dikenal antara lain: Juran (1962) ” Kualitas adalah kesesuian dengan tujuan atau manfaatnya” Crosby (1979) ” Kualitas adalah kesesuaian dengan kebutuhan yang meliputi availability, delivery, reliability, maintainability, dan cost effectiveness.” Deming (1982) “ Kualitas harus bertujuan memenuhi kebutuhan pelannggan sekarang dan di masa yang akan datang.” Feigenbaum (1991) ” Kualitas merupakan keseluruhan karakteristik produk dan jasa yang meliputi marketing, engineering, manufacture, dan maintenance, dalam mana produk dan jasa tersebut dalam pemakaiannya akan sesuai dengan kebutuhan dan harapan.”

2.1.2 Macam-macam Kualitas

Produk yang dihasilkan oleh produsen akan memberikan nilai kualitas. Kualitas yang diukur apakah produk tersebut sesuai dengan design yang dibuat oleh produsen atau seberapa cocok produk tersebut dengan spesifikasi yang telah ditetapkan. Berikut adalah 2 segi umum tentang kualitas:

1. Kualitas rancangan Semua barang dan jasa dihasilkan dalam berbagai kualitas. Sehingga kualitas rancangan adalah variasi dalam tingkat kualitas yang memang disengaja. Misalnya semua mobil mempunyai tujuan dasar memberikan angkutan yang aman bagi konsumen. Tetapi, mobil-mobil berbeda dalam ukuran penentuan, rupa, dan penampilan. Perbedaan-perbedaan ini adalah hasil perbedaan rancangan yang disengaja antara jenis-jenis mobil itu. Perbedaan rancangan ini meliputi jenis bahan yang digunakan dalam pembuatan, daya tahan dalam proses pembuatan, dan lain-lain.


19

2. Kualitas kecocokan Kualitas kecocokan adalah seberapa baik produk itu sesuai dengan spesifikasi dan kelonggaran yang diisyaratkan oleh rancangan itu.

2.1.3 Ciri-ciri Kualitas

Kualitas suatu produk ditentukan oleh ciri-ciri produk itu. Segala ciri yang mendukung produk itu memenuhi persyaratan disebut karakteristik kualitas. Adapun ciri-ciri kualitas ada beberapa jenis: 1. Fisik Misalnya panjang, berat, voltase, kekentalan 2. Indera Misalnya rasa, penampilan, warna 3. Orientasi Waktu Misalnya keandalan (dapat dipercaya), dapatnya dipelihara, dapatnya dirawat.

2.1.4 Definisi Quality Control ( Pengendalian Kualitas )

Definisi 2.1.5.1. Pengendalian Kualitas adalah aktivitas teknik dan manajemen, yang dengan aktivitas itu diukur ciri-ciri kualitas produk, membandingkannya dengan spesifikasi atau persyaratan, dan mengambil tindakan penyehatan yang sesuai apabila ada perbedaan antara penampilan yang sebenarnya dan yang standar.

Definisi 2.1.5.2. Pengendalian kualitas adalah penggunaan teknik dan kegiatan dalam mencapai, menopang, dan meningkatkan kualitas suatu produk dan layanan. Ini meliputi penggabungan yang menghubungkan teknik dan kegiatan antara lain: 1. Spesifikasi terhadap apa yang dibutuhkan 2. Perencanaan produk atau jasa dalam memenuhi spesifikasi 3. Produksi dan instalasi dalam memenuhi maksud dari pengspesifikasian


20

4. Pemeriksaan untuk menentukan kesesuaian terhadap spesifikasi 5. Memeriksa kembali penggunaan untuk menyediakan informasi dalam merevisi spesifikasi yang dibutuhkan

2.1.5 Peta Kontrol

Salah satu alat yang dapat digunakan untuk pengendalian kualitas adalah peta kontrol. Peta kontrol memberikan informasi tentang kemampuan proses, nilai parameter proses yang penting, dan stabilitas terhadap waktu sehingga memberikan taksiran kemampuan proses dan menyajikan secara grafik keadaan produksi secara kronologi ( jam per jam atau hari per hari). Informasi ini sangat berguna bagi perancangan produk dan proses. Peta kontrol dapat digunakan untuk: •

Mengetahui apakah telah terjadi perubahan proses produksi.

•

Mendeteksi adanya penyebab-penyebab yang mempengaruhi proses.

•

Membuat standar suatu proses. Peta kontrol dapat dibagi menjadi dua jenis, yaitu:

a. Peta kontrol variabel b. Peta kontrol atribut

2.1.5.1 Peta Kontrol Variabel

Banyak karakteristik kualitas yang dapat dinyatakan dalam bentuk ukuran angka. Suatu karakteristik kualitas yang dapat diukur seperti dimensi, atau volume dan dinyatakan secara kuantitatif dinamakan variabel. Metode peta

kontrol

untuk

beberapa

variabel

adalah

suatu

cara

dalam

memvisualisasikan varisi yang terjadi dalam pusat kecendrungan atau penyebaran pada sekumpulan pengamatan ( observasi ). Pengendalian rata-rata atau mean tingkat kualitas biasanya dengan grafik pengendali untuk mean atau yang disebut dengan peta kontrol untuk rata-rata. Berikut adalah model peta nya:


21

UCL

Upper Control Limit

Rata-rata ( X )

Central Limit

LCL

Lower Control Limit

Gambar 2.1 Peta kontrol untuk rata-rata

Sedangkan grafik pengendali untuk rentang disebut dengan peta kontrol untuk rentang. Berikut adalah model peta nya:

UCL

Upper Control Limit

Range ( R )

Central Limit

LCL

Lower Control Limit

Gambar 2.2 Peta kontrol untuk rentang

Dalam membuat chart kontrol untuk rata-rata ( X ) dan range ( R ) sangat diperlukan mengikuti sekumpulan prosedur. Langkah –langkah dalam prosedur ini adalah sebagai berikut: 1. Menyeleksi atau memilih karakteristik kualitas 2. Memilih subgroup yang rasional 3. Mengumpulkan data 4. Menentukan garis tengah percobaan dan limit kontrolnya 5. Membuat garis tengah yang telah diperbaiki dan limit kontrolnya 6. Mencapai tujuannya Penggunaan peta kontrol variabel dipakai di dalam tujuan berikut: 1. Untuk menyediakan informasi bagi kemajuaan suatu kualitas. 2. Untuk memberikan informasi dalam menentukan kemampuan suatu proses. 3. Untuk memberikan informasi terhadap keputusan-keputusan dalam hal spesifikasi produk.


22

4. Untuk memberikan informasi untuk keputusan yang sekarang ini dalam hal proses produksi. 5. Untuk memberikan informasi ntuk menentukan keputusan dalam hal barang-barang yang diproduksi baru-baru ini.

2.1.5.2 Peta Kontrol Atribut

Banyak karakteristik kualitas tidak dapat dengan mudah dinyatakan secara numerik. Dalam hal seperti itu, biasanya tiap benda yang diperiksa diklasifikasi sebagai sesuai dengan spesifikasi pada karakteistik kualitas itu atau tidak sesuai dengan spesifikasi. Istilah “cacat”atau “tidak cacat” kadangkadang digunakan untuk mengidentifikasi kedua klasifikasi tersebut. Karakteristik kualitas seperti ini dinamakan sifat (atribut). Pengertian atribut dalam pengendalian kualitas berkaitan dengan karakteristik kualitas yang dapat digolongkan atas baik (diterima) dan cacat (ditolak). Beberapa macam peta kontrol atribut yaitu (Feigenbsum, 1994): 1. Peta kontrol p (p chart), yaitu peta kontrol untuk fraksi defektif (fraction rejected fraction nonconforming) atau dengan kata lain bagian produk

yang tidak sesuai cacat yang diproduksi oleh suatu proses produksi. 2. Peta kontrol np (np chart), yaitu peta kontrol untuk jumlah item yang tidak sesuai (number of nonconforming). 3. Peta kontrol c (c chart), yaitu peta kontrol untuk jumlah ketidaksesuaian (number of nonconformities). 4. Peta kontrol u (u chart), yaitu peta kontrol untuk jumlah ketidaksesuaian per unit (number of nonconformities per unit).

2.2

Analisis Regresi

Analisis regresi adalah teknik statistika yang berguna untuk memeriksa dan memodelkan hubungan diantara variabel-variabel. Analisis regresi berguna dalam menelaah hubungan dua variabel atau lebih, dan terutama untuk menelusuri pola


23

hubungan yang modelnya belum diketahui dengan sempurna, sehingga dalam penerapannya lebih bersifat eksploratif.

2.2.1 Regresi Linier Sederhana

Regresi linier sederhana adalah analisis regresi yang melibatkan hubungan antara satu variabel tak bebas dihubungkan dengan satu variabel bebas. Variabel tak bebas adalah variabel yang nilai nya selalu bergantung dengan nilai variabel lain dalam hal ini variabel tak bebas nilainya selalu dipengaruhi oleh variabel bebas, sehingga sering disebut dengan variabel terkait sedangkan variabel bebas adalah variabel yang nilainya tidak tergantung dengan variabel lain. Dan biasanya variabel tak bebas dinotasikan dengan Y dan variabel bebas dinotasikan dengan X . Hubungan-hubungan itu bila dinyatakan dalam model matematis akan memberikan persamaan-persamaan tertentu. Model matematis dalam menjelaskan hubungan antar variabel dalam analisis regresi menggunakan persamaan regresi. Persamaan regresi adalah suatu persamaan matematis yang mendefinisikan hubungan antara dua variabel. Persamaan regresi digunakan untuk membuat taksiran mengenai nilai variabel tak bebas yang disebut dengan persamaan regresi estimasi. Bentuk umum persamaan regresi linier sederhana yang menunjukkan hubungan antara dua variabel, yaitu variabel X sebagai variabel bebas dan variabel Y sebagai variabel tak bebas adalah

Yi = a + bxi + ei untuk i = 1, 2,..., n

dengan:

Yi adalah variabel tidak bebas ke-i xi adalah variabel bebas ke-i a adalah titik potong kurva terhadap sumbu Y b adalah kemiringan (slope) kurva linier


24

2.2.2 Regresi Linier Berganda

Regresi linier berganda adalah analisis regresi yang melibatkan hubungan dari dua atau lebih variabel bebas. Adakalanya persamaan regresi dalam menganalisis hubungan antar variabel tidak hanya dipengaruhi oleh satu faktor atau peubah bebas tapi dapat pula dipengaruhi oleh dua atau lebih faktor yang mempengaruhinya. Maka regesi linier yang mengandung lebih dari satu peubah bebas digunakan regresi linier berganda. Jadi model ini dikembangkan untuk mengestimasi nilai variabel tak bebas Y dengan menggunakan lebih satu variabel bebas ( x1 , x2 ,..., xn ) . Model regresi linier berganda merupakan suatu model yang dapat dinyatakan dalam persamaan linier yang memuat peubah dan parmeter. Parameter ini umumnya tidak diketahui dan dapat ditaksir. Hubungan linier lebih dari dua variabel bila dinyatakan dalam bentuk persamaan matematisnya adalah

Yi = β 0 + β1 xi1 + β 2 xi 2 + ... + β p xip + ε i

untuk i = 1, 2,..., n

dengan:

Yi adalah variabel tak bebas ke-i xi adalah variabel bebas ke-i

β 0 adalah konstanta yang merupakan titik potong kurva terhadap sumbu Y βi adalah kemiringan (slope) kurva linier ε i adalah nilai kesalahan (error) pada pengamatan

2.2.3 Interval Kepercayaan

Dari persamaan regresi garis lurus Y = β 0 + β1 X dengan segugus data

( X i , Yi ) dengan i = 1,2,...,n. Untuk suatu nilai Y tertentu katakanlah Y0 , diperoleh nilai ramalan X 0 , nilai peubah X yang menjadi padanan Y0 , dan selang kepercayaan bagi X disekitar X 0 .


25

Karena adanya batas spesifikasi atas dan spesifikasi bawah maka setiap variabel X memiliki batas atas dan batas bawah yaitu X L yang merupakan batas spesifikasi bawah dan X U yang merupakan batas spesifikasi atas. Maka dengan adanya interval kepercayaan dimana sampai batas kurva tersebut nilai variabel X dapat diterima.

Y

Kurva atas yang merupakan batas atas interval kepercayaan Garis regresi

Garis Mendatar Y = Y0

Kurva bawah yang merupakan batas bawah inteval kepercayaan

XL Gambar 2.3

X0

XU

X

Interval kepercayaan untuk garis regresi dalam batas spesifikasi variabel

2.2.4 Estimasi parameter β

Berdasarkan model persamaan regresi linier berganda dibawah ini: Y = β 0 + β1 X 1 + β 2 X 2 + ... + β p −1 X p −1 + ε

(2.2.3.1)

dimana X 1 , X 2 ,..., X p −1 adalah konstanta dan β j adalah parameter yang hendak diestimasi dan ε adalah nilai eror. Jika X j adalah bervariasi dan ada sebanyak n buah dari Y diobservasikan, didenotasikan sebagai: Y ' = (Y1 , Y2 ,..., Yn )

Dari persamaan regresi sederhana berikut: Y = Xβ +ε

dimana


(2.2.3.2)

26

X ' = ( X 1' , X 2' ,..., X n' ) dan Sama

dengan

banyaknya

X i = (1, X i1 ,..., X ip −1 )

ke-i

variabel

X 1 ,..., X p −1

,

parameter

β ' = ( β 0 ,..., β p −1 ) dan ε ' = (ε1 ,..., ε n ) Berdasarkan metode kuadrat terkecil dalam estimasi parameter β yaitu meminimumkan

∑

i

ε i2 berkenaan dengan β . Disini erorr tersebut

diminimumkan ε 'ε = Y − X β

2

yang juga berkenaan dengan β

Kemudian

ε 'ε = (Y − X β ) '(Y − X β ) = Y 'Y − 2β ' X 'Y + β ' X ' X β Differensialkan ε 'ε terhadap β dimana

∂ε 'ε = 0 maka ∂β

−2 X ' Y + 2 X ' X β = 0

atau

X ' X β = X 'Y

(2.2.3.3)

Persamaan 2.2.3.3 dikatakan persamaan normal. Jika X mempunyai rank p kemudian X ' X adalah definite positif dan nonsingular. Sehingga ∧

β = ( X ' X ) −1 X ' Y

(2.2.3.4)

∧

β adalah estimasi parameter β untuk setiap variabel.

2.3

Goal Programming

Program tujuan ganda yang dalam bahasa asingnya dikenal sebagai Goal Programming merupakan modifikasi atau variasi khusus dari program linier. Analisis goal programming bertujuan untuk meminimumkan jarak antara atau deviasi terhadap tujuan, target atau sasaran yang telah ditetapkan dengan usaha yang dapat ditempuh untuk mencapai target atau tujuan tersebut secara memuaskan sesuai dengan syarat ikatan yang ada, yang membatasinya berupa sumber daya yang tersedia, teknologi yang ada, kendala tujuan dan sebagainya.


27

2.3.1 Konsep Goal Programming

Goal programming biasanya diterapkan pada masalah-masalah linier dengan memasukkan berbagai tujuan dalam formulasi modelnya. Setiap tujuan dinyatakan sebagai suatu goal dan direpresentasikan secara numerik. Goal inilah yang ingin dicapai. Tetapi, berbagai goal tidak selalu dapat dicapai secara bersamaan, penyimpangan (deviasi) dari goal dapat terjadi. Oleh karena itu, dalam formulasi goal programming, goal dalam numerik untuk setiap tujuan harus ditetapkan lebih dahulu. Kemudian, solusi yang ingin dicapai adalah meminimumkan jumlah penyimpangan tujuan-tujuan ini terhadap masing-masing goalnya. Dengan kata lain, fungsi tujuan dalam Goal Programming dinyatakan sebagai minimasi penyimpangan dari fungsi pencapaian goal. Dalam model Goal Programming paling tidak memuat tiga komponen yaitu sebuah fungsi tujuan, kendala tujuan dan kendala non negatif.

2.3.1.1 Variabel Deviasi

Definisi : Misalkan d adalah variabel yang bertanda sembarang, maka d dapat dinyatakan sebagai : d = d+ - ddengan : untuk d ≥0 d + = { 0+d,, untuk d <0 d ≥0 d − ={ 0−d ,, untuk untuk d <0

Dimana d+ = komponen positif dari d d- = komponen negatif dari d Dari dalil d = d + + d − Bukti : Dari sifat harga mutlak :

d ≥0 d = { +− dd ,, untuk untuk d < 0

Dari definisi :


28

untuk d ≥0 d + = { 0+ d,, untuk d <0 d ≥0 d − ={ 0− d ,, untuk untuk d <0

Atau d ≥0 d + + d − = { +− dd ,,untuk untuk d <0

Jadi, d = d + + d − (Terbukti) Variabel deviasi sesuai dengan fungsinya yaitu menampung deviasi terhadap tujuantujuan yang dikehendaki, dibedakan menjadi dua yaitu: 1) Variabel deviasi untuk menampung deviasi yang berbeda dibawah tujuan yang dikehendaki dan tercermin pada nilai ruas kanan suatu kendala tujuan. Dengan kata lain variabel deviasi ini berfungsi untuk menampung deviasi negatif. Digunakan notasi d- untuk menandai jenis variabel deviasi ini, karena variabel deviasi ini berfungsi untuk menampung deviasi negatif maka d- akan selalu brkoefisien +1 pada setiap kendala tujuan sehingga bentuk umum fungsi kendalanya adalah: n

∑A X ij

j

+ d − = bi …………………………………………………(2.1)

j =1

dengan i=1,2,3,…,m j = 1,2,3,…,n 2) Variabel deviasi untuk menampung deviasi yang berada diatas tujuan yang dikehendaki, dengan kata lain variabel deviasi ini berfungsi untuk menampung deviasi positif. Digunakan notasi d+ untuk menandai jenis variabel deviasi ini, karena variabel deviasi ini bertujuan untuk menampung deviasi positif, maka d+ akan selalu berkoefisien -1 pada setiap kendala tujuan sehingga bentuk kendalanya adalah: n

∑A X ij

j

− d + = bi ………………………………………………..(2.2)

j =1

dengan i=1,2,3,…,m j = 1,2,3,…,n

Fungsi kendala persamaan (2.1) juga dapat ditulis:


29

n

∑A X ij

j

= bi − d − ………………………………………………..(2.3)

j =1

dan fungsi kendala persamaan (2.2) juga dapat ditulis: n

∑A X ij

j

= bi + d + ………………………………………………..(2.4)

j =1

Dengan demikian jelas bahwa kedua jenis variabel deviasi tersebutkan mendekati sebuah garis kendala dari dua arah yang berlawanan. Secara matematika hal ini tercermin pada persamaan berikut: n

∑A X ij

j

= bi + d + − d −

j =1

atau n

∑A X ij

j

− d + + d − = bi ………………………………………………….(2.5)

j =1

Karena nilai minimum d+ dan d- adalah nol maka persamaan (2.5) akan terpenuhi apabila: n

1. d i + = d i − = 0 sehingga

∑A X ij

j

= bi artinya tujuan tercapai

j =1 n

2. d i + > 0 dan di − = 0 sehingga

∑A X ij

j

= bi + di + artinya tujuan tidak tercapai

j =1 n

∑A X

karena

ij

j

> bi

j =1 n

3. d i + = 0 dan d i − > 0 sehingga

∑A X ij

j

= bi − d i + artinya akan terlampaui karena

j =1 n

∑A X ij

j

= bi − d i +

j =1

Jadi jelas bahwa kondisi dimana d i + > 0 dan d i − > 0 pada sebuah kendala tujuan tidak akan mungkin terjadi.

2.3.1.2 Fungsi Tujuan


30

Fungsi tujuan dalam Goal Programming pada umumnya adalah masalah minimisasi karena dalam model Goal Programming terdapat variabel deviasi didalam fungsi tujuan yang harus diminimumkan. Hal ini merupakan konsekuensi logis dari kehadiaran variabel deviasi dalam fungsi kendala tujuan. Sehingga fungsi tujuan dalam goal programming adalah minimisasi penyimpangan atau minimisasi variabel deviasi. Ada tiga jenis fungsi tujuan dalam Linier Goal Programming: m

1. Minimumkan Z = ∑ d i − + di + i =1

Fungsi tujuan diatas digunakan apabila variabel deviasi dalam suatu masalah tidak dibedakan menurut prioritas atau bobot. m

2. Minimumkan Z = ∑ Pk (di − + d i + ) untuk k = 1, 2,..., K i =1

Fungsi tujuan diatas digunakan apabila urutan dari tujuan diperlukan, tetapi variabel deviasi setiap tingkat prioritas dari tujuan memiliki kepentingan yang sama. m

3. Minimumkan Z = ∑ Wki Pk (d i − + di + ) untuk k = 1, 2,..., K i =1

Fungsi tujuan diatas digunakan apabila tujuan-tujuan diurutkan berdasarkan prioritasnya dan variabel deviasi pada setiap tingkat prioritas dibedakan dengan diberikan bobot yang berlainan Wki.

2.3.1.3 Kendala Tujuan

Dalam model Goal Programming didapat sepasang variabel yang dinamakan variabel deviasi dan berfungsi untuk menampung penyimpangan atau deviasi yang akan terjadi pada ruas kiri suatu persamaan kendala terhadap nilai ruas kanannya. Agar deviasi ini minimum, artinya ruas kiri suatu persamaan kendala “ sebisa mungkin “ mendekati nilai ruas kanannya maka variabel deviasi itu harus diminimumkan didalam fungsi tujuan. Pemanipulasian model Goal Programming yang dilakukan oleh Charnes dan Cooper telah mengubah makna kendala fungsional. Pada Linier


31

Programming, kendala-kendala fungsional menjadi pembatas bagi usaha pemaksimuman atau peminimuman fungsi tujuan. Sedangkan pada Goal Programming kendala-kendala merupakan sarana untuk mewujudkan tujuan yang hendak dicapai.

Tujuan-tujuan yang dinyatakan sebagai nilai konstan pada ruas kanan kendala, mewujudkan suatu tujuan berarti mengusahakan agar nilai ruas kiri suatu persamaan kendala sama dengan nilai ruas kanannya. Itulah sebabnya Kendala-kendala didalam model Goal Programming selalu berupa persamaan yang dinamakan kendala tujuan.

Bentuk persamaan kendala tujuan secara umum: Aij X j (≤, =, ≥)bi

Dan dikonversikan secara umum menjadi:

Aij X j + di − − di + = bi

Ada enam jenis kendala tujuan yang berlainan. Maksud setiap jenis kendala itu ditentukan oleh hubungannya dengan fungsi tujuan. Jenis-jenis kendala tersebut disajikan di tabel berikut:

Tabel 2.1 Jenis-jenis Kendala Tujuan Persamaan ke

Kendala Tujuan

Variabel deviasi dalam fungsi tujuan

Kemungkinan Simpangan

Penggunaan Nilai RHS yang diinginkan

1

Aij X j + d i − = bi

di −

Negatif

= bi

Positif

= bi

2

Aij X j − di = bi

di

3

Aij X j + d i − − d i + = bi

di −

Negatif dan positif

bi atau lebih

4

Aij X j + d i − − d i + = bi

di −

Negatif dan positif

bi atau kurang

5

Aij X j + d i − − d i + = bi

d i − dan d i +

Negatif dan positif

= bi

6

Aij X j − di + = bi

d i + (artificial)

Tidak ada

= bi

+

+


32

Sumber : Mulyono, Sri. 1991. Operation Research. Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia, Jakarta

Dari tabel diatas dapat dijelaskan bahwa pada persamaan ke-1 serupa dengan pertidaksamaan ≤ dalam masalah linier programming maksimisasi, persamaan ke-2 serupa dengan pertidaksamaan ≥ dalam linier programming minimisasi. Sedangkan persamaan ke-3 sampai ke-5 kesemuanya memperoleh penyimpangan dua arah, tetapi persamaan ke-5 mencari penggunaan sumber daya yang diinginkan sama dengan bi . Ini serupa dengan kendala persamaan LP, tetapi tidak menempel pada solusi kerena dimungkinkan adanya penyimpangan negatif dan positif. Jika kendala persamaan dianggap perlu dalam perumusan model LGP, ia dapat dimasukkan dengan menempatkan sebuah artificial variabel d i + , seperti pada persamaan keenam. persamaan memperbolehkan adanya penyimpangan positif dan negatif dari nilai RHS nya. Dalam kendala LP tak ada pembanding untuk persamaan ketiga dan keempat.

2.3.1.4 Kendala Non-Negatif

Dalam Linier Programming variabel-variabel bernilai lebih besar atau sama dengan nol. Demikian halnya dengan Goal Programming yang terdiri dari variabel keputusan dan variabel deviasi. Keduanya bernilai lebih besar atau sama dengan nol. Pernyataan non-negatif dilambangkan dengan :

x j , di + , di − > 0 .

2.3.1.5 Kendala Struktural

Disamping ketiga komponen yang dijelaskan sebelumnya, dalam Goal programming terdapat komponen lain yaitu kendala struktural. Kendala struktural adalah kendala-kendala lingkungan yang tidak berhubungan langsung dengan tujuan-tujuan masalah yang dihadapi. Variabel deviasi tidak dikatakan kendala struktural karena kendala struktural tidak diikut sertakan dalam fungsi tujuan.


33

2.3.2 Model Goal Programming

Goal programming merupakan pengembangan proses linier dan non linier, karena model pemograman linier biasa tidak mampu menyelesaikan masalah manajemen yang dikehendaki sasaran-sasaran tertentu secara simultan. Karena model goal programming merupakan perluasan dari model Program Linier, sehingga seluruh asumsi, notasi, formulasi model matematika, prosedur perumusan model dan penyelesaiannya tidak berbeda. Perbedaannya hanya terletak pada kehadiran sepasang variabel deviasional yang akan muncul di fungsi tujuan dan fungsi-fungsi kendala. Goal programming berusaha untuk meminimumkan deviasi atau simpangan diantara berbagai tujuan atau sasaran yang telah ditetapkan sebagai targetnya, artinya nilai ruas kiri suatu persamaan kendala sebisa mungkin mendekati nilai ruas kanannya. Dalam goal programming terdapat dua tipe kendala yaitu kendala teknologi (technological constraint) yang merupakan permasalahan kapasitas sumber dan kendala lainnya yang bukan terhadap tujuan, kendala tujuan (goal constraint) yang mewakili atau menggambarkan target dari objek-objek dalam urutan prioritas. Jadi, bentuk umum dari goal programming adalah:

m

Z = ∑ Wi ( d i + + d i − )

Minimumkan

i =1 m

= ∑ Wi + di + + Wi − di − i =1

Syarat ikatan: n

∑a

ij

X j + di − − di + = bi

i =1

untuk i = 1, 2,..., m tujuan


34

n

∑g

kj

X j ≤ atau ≥ Ck

j =1

untuk k = 1, 2,..., p kendala fungsional

j = 1, 2,..., n dan X j , di − , d i + ≥ 0 dimana: d i + dan d i −

= jumlah unit deviasi yang kekurangan (-) atau kelebihan (+) terhadap tujuan ( bi )

Wi + dan Wi −

= bobot untuk masing-masing penyimpangan d i + dan d i −

aij

= koefisien variabel keputusan

Xj

= variabel keputusan

bi

= tujuan atau target yang diinginkan

g kj

= koefisien teknologi fungsi kendala biasa

Ck

= jumlah sumber daya k yang tersedia

Model tersebut menyatakan tentang persoalan pengoptimuman yang dihadapi sebagai suatu usaha untuk meminimumkan jumlah agregat dari semua deviasi positif dan negatif yang individual dari tujuan yang telah ditetapkan. Dalam goal programming dapat dimasukkan satu atau lebih dari satu tujuan yang langsung berhubungan dengan fungsi tujuan dalam bentuk peubahpeubah deviasional. Algoritma simpleks menjamin persyaratan non-negatif. Berhubung tidak dapat mencapai deviasi plus dan deviasi minus dari tujuan atau target yang ditetapkan secara sekaligus atau simultan, maka salah satu dari peubah deviasional atau kedua-duanya akan menjadi nol yang berarti target terpenuhi dengan sangat memuaskan. Hal ini berarti bahwa:


35

li − Z i , jika li > Z i di − =  , jika li ≤ Z i 0

dan

, jika li ≥ Zi 0 di + =   Z i − li , jika li < Z i

dimana: li = target Z i = tujuan

2.3.3 Prioritas Tujuan

Dalam

kenyataan

semua

fungsi

tujuan

tidak

sama

tingkat

kepentingannya. Tujuan satu dengan yang lainnya dapat saling bertentangan (multiple and conflicting goals). Untuk memecahkan persoalan tersebut maka si pengambil keputusan harus menentukan mana dari antara berbagai tujuan tersebut yang diutamakan atau diprioritaskan. Katakanlah tujuan yang paling penting ditentukan sebagai prioritas ke1. Tujuan yang kurang begitu penting ditentukan sebagai ke-2, demikian seterusnya. Pembagiaan prioritas tersebut dikatakan sebagai pengutamaan (preemptive), yaitu mendahulukan tercapainya kepuasan pada sesuatu tujuantujuan atau prioritas-prioritas berikutnya. Jadi, harus disusun dalam suatu urutan (rangking) menurut prioritasnya. Dalam perumusan Goal Programming faktor prioritas dinyatakan sebagai Pi (untuk i = 1,2,3,…,m). Faktor-faktor prioritas tersebut memiliki hubungan sebagai berikut: P1 >>> P2 >>> ... >>> Pi >>> Pi +1

dimana >>> berarti “ jauh lebih tinggi dari pada”. Hubungan prioritas tersebut menunjukkan bahwa faktor prioritas Pi tersebut digandakan atau dikalikan


36

sebanyak n kali (dimana n > 0 ), namun faktor prioritas yang diprioritaskan tersebut akan tetap menjadi yang teratas.

2.4

Desain Quality Control System dengan Model Goal Programming

Sengupta

mengusulkan

sebuah

model

lexicographic

Goal

Programming QCS didalam industri kertas. Didalam konteks Quality Control input-input yang di proses untuk menghasilkan suatu output. Output ini telah memenuhi spesifikasi untuk sejumlah karakteristik kualitas. Diketahui bahwa rentang dari nilai masing-masing input akan diproses dan limit-limit dari variabel proses yang dapat beragam. Masalahnya adalah untuk menemukan suatu solusi dari setiap input dan variabel proses yang harus memenuhi setiap spesifikasi dari karakteristik-karakteristik output dari suatu kendala tertentu. Dalam kasus ini tidak terdapat suatu solusi optimal kemudian kita cari solusi terbaik dari sekumpulan solusi layak. Anggap X1,...,Xl, l adalah banyaknya karekteristik input ; R1, ...,Rk, k adalah banyknya variabel proses dan Y1,...,Yr, r adalah banyaknya karakteristik output. Ada tiga tipe kemungkinan dari spesifikasi yaitu spesifikasi dua arah, spesifikasi satu arah, dan spesifikasi yang mendekati. Dalam kasus ini dianggap bahwa

karekteristik output adalah fungi linier dari parameter-parameter input

dan proses yang ditunjukan dibawah ini : Yi = H i ( X 1 ,..., X l ; R1 ,..., Rk )

untuk i = 1, 2,..., r

Dimana H adalah fungsi linier. Untuk memformulasikan masalah tersebut kedalam model Goal Programming, berikut adalah langkah-langkah mendasar yang sangat diperlukan : (a)

Memodifikasi bentuk spesifikasi : memodifikasi spesifikasi dua arah ke satu arah dengan mengurangi batas atas spesifikasi (USL) dengan batas bawah spesifikasi (LSL) dari setiap variabel. Semua variabel akan menjadi spesifikasi satu arah atau spesifikasi yang mendekati. Jelasnya setiap variabel-variabel tersebut hanya dapat bernilai non-negatif..


37

(b)

Bentuki persamaan linier : Persamaan harus ditulis kembali kedalam bentuk Yi ' = H i' ( X 1' ... X l' ; R1' ...Rk' ) dimana Yi ' , X 'j dan Rt' adalah varaibel yang telah dimodifikasi.

Masalah yang dimodfikasi dapat kemudian dibuat sebagai berikut : Untuk i = 1,2,...,r cari nilai-nilai dari X 'j dan Rt' selanjutnya Yi ' yang diperoleh dengan memenuhi spesifikasi berdasarkan ( dalam bentuk batasan ) pada nilai-nilai dari X 1 ,..., X l dan R1 ,..., Rk . Selanjutnya melalui langkah-langkah yang mendasar diatas, Sengupta menganggap spesifikasi-spesifikasi inilah sebagai kendala goal dan faktor-faktor prioritas pre-emtive untuk variabel-variabel. Demikian masalah dikurangi untuk meminimalkan jumlah variabel-variabel deviasi goal untuk kendala tujuan dengan memberikan faktor-faktor prioritas. Selajutnya masalah umum proses kontrol diformulasikan sebagai masalah lexsicographic GP : r

l

k

Min PYi ∑ (δ Y+' + δ Y−' ) + PXj ∑ (δ X+ ' + δ X− ' ) + PRt ∑ (δ R+' + δ R−' ) i

i =1

i

j =1

j

j

t =1

t

Kendala: Kendala goal Output Yi ' + δ Y+' − δY−' = SYi' i

(untuk i = 1,2,...,r)

i

Kendala goal Input X 'j + δ X+ ' − δ X− ' = S Xi' (untuk j = 1,2,…,l) j

j

Kendala goal proses Rt' + δ R+' − δ R−' = S Rt' t

(untuk t = 1,2,…,k)

t

Yi ' , X 'j dan Rt' ≥ 0 Dimana: Yi ' : karakteristik output yang telah dimodifikasi

X 'j : karakteristik input yang telah dimodifikasi Rt' : parameter proses yang telah dimodifikasi

δ Y+ : deviasi positif output '

i

δ Y− : deviasi negatif output '

i


t

38

δ X+ : deviasi positif input ' j

δ X− : deviasi negatif input ' j

δ R+ : deviasi positif proses ' t

δ R+ : deviasi negatif proses ' t

PYi , PXj dan PRt adalah faktor prioritas

S 'Yi , S ' Xj dan S ' Rt adalah limit spesifikasi yang dimodifikasi

2.5

Model Fuzzy Goal Programming

Bentuk klasik dari model multi objective programming adalah:

Max

Ax

s.t Cx ≤ d x≥0

………………………………………………………(2.6)

Dimana x adalah matriks (nx1) variabel keputusan, A adalah (mxn) matriks koefisien dari fungsi tujuan, C adalah (pxn) matriks koefisien dari kendala dan d adalah (px1) nilai RHS dari model. Model (2.6) dapat diformulasikan sebagai masalah Fuzzy Goal Programming, di dalam pemaparan kasus ini dari informasi fuzzy yang mana himpunan tingkat aspirasi b0 dapat dibangun dengan menggunakan tabel pay-off seperti berikut:

Find x ∼

s.t

Ax ≅ b0 (or b )

…………………………………………………..(2.7)

Cx ≤ d x ≥0 ∼

Dimana keduanya simbol ≅ (or b ), merupakan tujuan yang dimaksud sehingga “ target seharusnya berada di sekitar b”.


39

Berdasarkan persamaan diatas, jika nilai RHS adalah fuzzy, model (2.7) dapat dituliskan sebagai

Find x ∼

s.t

Ax ≅ b0 (or b )

Cx < d

……………………………………………….(2.8)

≅

x ≥0

dimana kendala persamaan fuzzy merupakan target yang diperoleh seharusnya berada disekitar bi, dan simbol < mengindikasikan kekaburan dari kendala dan ≅

dibaca sebagai “ pendekatan lebih kecil atau sama dengan”. Persamaan (2.7) dan (2.8) dapat diselesaikan dengan metode yang serupa jika fungsi keanggotaan yang serupa digunakan untuk memodelkan berdasarkan dunia nyata dari “fuzzy goal” dan “fuzzy equality”.

2.5.1 Fungsi Keanggotaan Fuzzy

Untuk

menyelesaikan

kembali

persamaan

fuzzy

diatas,

akan

didapatkan fungsi keanggotaan mereka berdasarkan konsep yang dipilih si pembuat keputusan. Berdasarkan konsep yang dipilih tesebut maka fungsi keanggotaan fuzzy triangular yang digunakan untuk menentukan fungsi keanggotaan fuzzy dalam fuzzy goal programming.

Berikut adalah definisi sederhana dari fuzzy triangular:

Definisi 1. Misalkan A adalah himpunan fuzzy di S. A dikatakan bilangan fuzzy jika A adalah himpunan fuzzy normal, A adalah himpunan fuzzy konveks, A mempunyai support terbatas dan semua α -level dari A adalah interval tertutup di S.(Wang, 1997). Bilangan fuzzy triangular A dinyatakan dengan A = (a,b,c) adalah himpunan fuzzy A di S yang fungsi keanggotaannya adalah:


40

 ( x − a)  (b − a )   (c − x ) µ A ( x) =   (c − b )   0

,a ≤ x ≤ b ,b ≤ x ≤ c

, x < a dan x > c

Dimana a,b,c ∈ S

Berdasarkan definisi fuzzy triangular diatas maka fungsi keanggotaan untuk masalah fuzzy goal programming dapat diformulasikan dengan:

[( Ax)i − (bi − di )]  di  [(b − d ) − ( Ax )i ] µi ( x ) =  i i di  0  

bi − di ≤ ( Ax)i < bi bi ≤ ( Ax)i ≤ bi + d i

……..(2.9)

bi + d i < ( Ax)i atau ( Ax )i < bi − d i

Untuk menyelesaikan Persamaan (2.8), berdasarkan persamaan (2.9) diberikan, Narasimhan mengemukakan dua sub-masalah yang hampir sama dengan linier goal programming standar sebagai berikut:

 [( Ax)i − (bi − di )]  maxmin  di   dim ana bi − d i ≤ ( Ax)i < bi

………………………………….(2.10)

x≥ 0 Dan  [(b − d i ) − ( Ax )i ]  max min i  di   dim ana bi ≤ ( Ax)i ≤ bi + di ……………………………………..(2.11) x≥0

Dengan menggunakan kedua persamaan (2.10) dan (2.11), maka diperoleh


41

max α

s.t

[( Ax)i − (bi − di )] ≥α di bi − d i ≤ ( Ax)i ≤ bi

...........................………………… (2.12)

[(bi − di ) − ( Ax)i ] ≥α di bi ≤ ( Ax)i ≤ bi + di

α ∈[0,1] dan x ≥ 0

Selanjutnya, kendala pertama dan kedua dari pesamaan (2.12) dapat diekspresikan sebagai berikut:

α ≤1+

[( Ax)i − bi ] dan di

Perhatikan

(bi − di ) ( Ax)i bi ≤ ≤ di di di

………………………(2.13)

( Ax)i bi = − δ + , dimana adalah δ + adalah taksiran berlebih, dan di di

diperoleh:

α + δ i+ ≤ 1 dan

b ( Ax) − δ i+ = i ………………………………………..(2.14) di di

Sama dengan kendala ketiga dan keempat dari Persamaan (2.12) adalah ekivalen dengan :

α + δ i− ≤ 1 dan

b ( Ax) + δ i− = i …………………………………………(2.15) di di

Kemudian Hannan mengkombinasikan (2.14) dan (2.15) untuk memperoleh model linier goal programming berikut yang ekivalen dengan dua sub-masalah Narasimhan sebagai berikut: max α ( Ax)i b s.t + δ i− − δ i+ = i di di

α + δ i− + δ i+ ≤ 1 − i

.....................................................................(2.16)

+ i

δ ,δ ≥ 0 δ i−δ i+ = 0 α ∈[0,1] dan x ≥ 0


42

2.5.2 Model Fuzzy Goal Programming untuk Pengendalian Kualitas

Berdasarkan formulasi goal programming Sengupta untuk proses kontrol secara umum. Sehingga untuk memformulasikan kembali model umum proses kontrol, akan diambil dari model Fuzzy Goal Programming yang diformulasikan oleh Hannan seperti yang dinyatakan sebelumnya. Kemudian Cherif (2008) memformulasikan kembali secara lebih lengkap sebagai berikut: Maksimumkan : λ Batasan : Output − + Yi gy + δ yi − δ yi = i (untuk i =1, 2,..., m) ∆yi ∆yi

Input Xj ∆x j

−

+

+ δ xj −δ xj =

gx j ∆x j

(untuk j =1, 2,..., l )

Proses − + Rt gR + δ Rt − δ Rt = t (untuk t =1, 2,..., k ) ∆Rt ∆Rt −

+

−

+

λ + δ yi + δ yi ≤1; λ + δ x j + δ x j ≤1; −

+

λ + δ Rt + δ Rt ≤ 1; −

+

−

+

−

+

λ , δ yi , δ yi , δ x j , δ x j , δ Rt , δ Rt , Yi , X j , dan Rt ≥ 0 dimana:

λ adalah fungsi keanggotaan dalam hubungan dengan nilai tengah dari spesifikasi. X j : karakteristik input Rt

: parameter proses

Yi

: karakteristik output +

δ yi : deviasi positip output −

δ yi : deviasi negatip output


43

+

δ x j : deviasi positip input −

δ x j : deviasi negatip input +

δ Rt : deviasi positip proses −

δ Rt : deviasi negatip proses

•

gyi , gx j , gRt adalah nilai fuzzy (tingkat aspirasi / target) spesifikasi yang diberikan oleh pembuat keputusan. Dengan cara mencari gyi , gx j , gRt adalah sebagai berikut:

g yi = gxj =

( g yiL + gUyi )

2 ( g + gUxj ) L xj

2 ( g + gURt ) gRt = 2 L Rt

Dalam kasus ini, tipe interval spesifikasi masing-masing variabel adalah tertutup yaitu [ g L , g U ] dengan g U adalah limit atas spesifikasi

(USL) dan

g L adalah limit bawah spesifikasi (LSL).

•

Parameter ∆yi , ∆x j , ∆Rt adalah konstanta deviasi yang berhubungan dengan

imprecise

aspiration level gyi , gx j dan gRt . Dalam kasus spesifikasi fuzzy, nilai

dari ∆ dipilih secara subjektif oleh si pembuat keputusan. ∆ dapat dihitung dengan cara sebagai berikut: ∆ = g − g L = gU − g

Sebagai contoh : ∆ yi = g yi − g yiL = g Uyi − g yi

•

Yi = H i ( X j ,..., X i ; Rt ,..., Rk ) menyatakan hubungan input dan proses terhadap

output dalam bentuk regresi linier.


44

2.6

Pengenalan Program Matlab versi 6

Perangkat lunak MATLAB aslinya dikembangkan untuk menjadi sebuah laboratorium matriks, yaitu perangkat lunak untuk memanipulasi matriks. MATLAB saat ini memiliki kemampuan jauh melewati MATLAB asli dan adalah sebuah sistem interaktif dan bahasa pemogramman untuk perhitungan ilmiah dan teknis umum. Elemen dasarnya adalah sebuah matriks. Untuk memulai matalab, klik ikon MATLAB pada dekstop atau dalam barisan menu. MATLAB menggunakan beberapa window display. Diantaranya adalah command window (window perintah), graphics window (window

grafik), dan edit window. Untuk menyelesaikan berbagai manipulasi matriks digunakan command

window dengan menggunakan operator-operator MATLAB pada operasi matriks.

Gambar 2.4

Tampilan command window pada Matlab


45

2.7

Pengenalan Program Lindo for windows

LINDO ( Linier, Interaktif, dan Discrete Optimizer) adalah suatu alat yang mudah, tangguh untuk memecahkan permasalahan linier, bilangan bulat, dan permasalahan pemogramman kuadratik. Permasalahan ini terjadi di dalam bidangbidang untuk urusan ( bisnis, industri, riset dan pemerintahan).

Bidang-bidang aplikasi-aplikasi spesifik dimana LINDO sudah terbukti penggunaannya dalam memasukkan distribusi produk, campuran ramuan, penjadwalan produksi dan personil, manajemen inventori. Perangkat lunak LINDO dirancang bersifat sederhana untuk belajar dan untuk digunakan.

Gambar 2.5

Tampilan awal program LINDO


46

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1

Penentuan Variabel dan Spesifikasi yang digunakan

Untuk menetukan variabel dan spesifikasi yang digunakan maka akan diambil contoh pengujian terhadap model fuzzy goal programming pada sebuah perusahaan tekstil. Berikut adalah variabel yang digunakan: •

Variabel Input: X1 = Moisture regain ( % ) X2 = Crimp X3 = Staple length ( panjang serat ) X4 = Oil pick up ( kandungan minyak ) X5 = Nomor serat

•

Variabel Proses : R1 = RH pada blowing R2 = Temperatur pada blowing R3 = Kecepatan motor (a) pada mesin blowing R4 = Kecepatan motor (b) pada mesin blowing R5 = Tekanan udara pada blowing R6 = Tekanan terhadap material R7 = Kecepatan mesin carding R8 = RH mesin carding R9 = Temperatur pada mesin carding

•

Variabel Output: Y1 = Nomor sliver (wrapping) Y2 = Ketidakkaratan (unevennesess)


47

Y3 = Waste Y4 = Nep Y5 = Hard bit Tabel 3.1 Spesifikasi Masing-masing Variabel No

Satuan

Variabel

Spesifikasi

Input 1

X1 = Moisture regain ( % )

(%)

0.3 – 1.0

2

X2 = Crimp

(crimp per panjang serat)

10 – 20

3

X3 = Staple length ( panjang serat )

(mm)

38 – 40

4

X4= Oil pick up ( kandungan minyak )

(%)

0.1 – 0.3

5

X5 = Nomor serat

(denier)

1.38 – 1.44

(%)

62 – 68

Proses 1

R1 = RH pada blowing

0

2

R2 = Temperatur pada blowing

( C)

26 – 30

3

R3 = Kecepatan motor (a) pada mesin blowing

(RPM)

10 – 25

4

R4 = Kecepatan motor (b) pada mesin blowing

(RPM)

120 – 150

5

R5 = Tekanan udara pada blowing

(pa)

540 – 550

6

R6 = Tekanan terhadap material

(pa)

50 – 60

7

R7 = Kecepatan mesin carding

(RPM)

100 – 150

8

R8 = RH mesin carding

(%)

60 – 66

9

R9 = Temperatur pada mesin carding

0

( C)

27 – 31

Output 1

Y1 = Nomor sliver (wrapping)

(Ne)

0.109 - 0.113

2

Y2 = Ketidakkaratan (unevennesess)

(U%)

≤5

3

Y3 = Waste

(%)

4

Y4 = Nep

(nep per gram)

5

Y5 = Hard bit

(hard bit per gram)

≤ 1.00 ≤ 1.00 ≤ 2.00

Sumber : Ria, Rosleni, Santosa, Budi dan Kurniati, Nani. 2008. Perancangan Sistem Pengendalian Kualitas Menggunakan Model Fuzzy Goal Proggramming. Jurnal Teknik Industri Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

3.2

Pengambilan Acak dari Masing-masing Variabel

Berdasarkan atas nilai-nilai spesifikasi yang diambil oleh si pembuat keputusan maka dapat diambil nilai-nilai dari masing-masing variabel. Karena masing-masing variabel dari X dan R merupakan variabel bebas maka variabel


48

R1,...R9 dapat dimuat dalam variabel X6,...,X14 yaitu: X6 = R1, X7 = R2, X8 = R3 , X9 = R4, X10 = R5, X11 = R6, X12 = R7, X13 = R8, X14 = R9. Dari 10 observasi maka nilai-nilai dari masing-masing variabel adalah sebagai berikut:

Tabel 3.2 Nilai 14 variabel bebas Input dan 10 observasi: N0 X0

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

X10

X11

X12

X13

X14

38,5 0,15 1,39 62

26

11

125 541

51

101

60

29

1

1

0,5 11

2

1

0,4 15

39

0,2

1,4

63

28

20

129 549

56

120

65

30

3

1

0,6 13

39

0,1

1,38 64

30

22

130 540

58

125

64

28

4

1

0,7 17

40

0,3

1,42 65

27

15

140 542

51

140

63

29

5

1

0,3 19

27,5 16

145 544

55

130

62

30

6

1

0,5 13

38

7

1

0,9 12

38,5

8

1

9 10

1

39,5 0,17 1,43 67 0,25 1,38 65

26

19

137 548

54

137

63

30,5

0,3

66

28

21

122 546

56

145

65

28

1,4

18

40

0,15 1,43 67

27

24

149 550

59

133

64

27,5

1

0,8 16

39

0,18 1,38 63

29

22

150 543

60

136

61

31

1

0,6 17

38

0,2

30

20

130 547

50

141

65

29

1,38 64

Tabel 3.3 Nilai 5 variabel Output dengan 10 observasi No

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

1

0,110

4

0,5

0,6

1,5

2

0,111

3

1

1

2

3

0,112

2

0,75 0,75

1,9

4

0,109

1

0,9

0,8

1,5

5

0,113

5

0,5

0,4

0,5

6

0,110

4

0,25 0,25

7

0,111

3

0,15

0,9

1,25

8

0,112

2

0,27

1

1,6

9

0,109

3

0,5

0,7

1,8

10

0,111

2

0,5

0,75

0,5

1


49

3.3

Pembentukan Variabel Output dalam bentuk Persamaan Regresi Linier

Berdasarkan model persamaan regresi linier berganda dibawah ini:

Y = β 0 + β1 X 1 + β 2 X 2 + ... + β p −1 X p −1 + ε dimana X 1 , X 2 ,..., X p −1 adalah konstanta dan β j adalah parameter yang hendak diestimasi dan ε adalah nilai eror. Jika X j adalah bervariasi dan ada sebanyak n buah dari Y diobservasikan, didenotasikan sebagai: Y ' = (Y1 , Y2 ,..., Yn )

Maka untuk mengestimasi parameter β digunakan formulasi: ∧

β = ( X ' X ) −1 X ' Y Dalam menyelesaikan pengestimasian parameter β digunakan progam Matlab untuk mendapatkan estimasi β .

3.3.1 Estimasi parameter β menggunakan Matlab

Dengan menggunakan Command Window pada Matlab dapat diperoleh parameter β . Adapun langkah-langkah yang dapat diambil adalah: 1. Memasukkan nilai-nilai variabel X dalam bentuk matriks 2. Transpose matriks X dengan command X ' 3. Lalu kalikan X ' dengan X dengan command X ' * X 4. Buat kedalam matriks segitiga atas dengan command triu( X ' * X ) 5. Masukkan nilai variabel Y1 dalam bentuk matriks kemudian kalikan dengan X transpose

6. Untuk persamaan Y1 estimasi parameter β dicari dengan command Y1= inv(triu( X ' * X ))*( X ' *Y1) 7. Lakukan langkah 5 dan 6 kembali untuk masing-masing Y2,Y3,Y4dan Y5 Maka untuk semua nilai-nilai variabel input dan proses pada Tabel 3.2 dan nilai-nilai variabel output pada Tabel 3.3 dilakukan langkah-langkah diatas:


50

Langkah 1:

Berikut matriks X yang berisikan nilai-nilai variabel X

1 1  X = 1   1

0.5 0.4 0.6 0.6

11 38.5 0.15 1.39 ... 15 39 0.2 1.4 13 39 0.1 1.38 17 38 0.2 1.38 ...

29  30  28    29 

Langkah 2:

Setelah matriks X ditranspose maka X ' menjadi:

 1  0.5   11  38.5 X '=  0.15  1.39    29

1 1 … 1  0.4 0.6 0.6  15 13 17   39 39 38  0.2 0.1 0.2   1.4 1.38 1.38   30 28 29 

Langkah 3:

X transpose dikalikan dengan matriks X

X 'X = 6.3 151  10  6.3 4.41 95.2  151 95.2 2347    292 182.75 4412.5 

389.5 245.75 5892

2 1.285 30.11

11371.5 58.48

13.99 8.818 211.56

646 278.5 407.9 175.75 9776 4211.5

190 124 2889

408.445 18857 8130.5 5539.5

1357 858.9 20672

5450 3434.7 82319

550 349.3 8313

39657 159140

16059.5


292  182.75  4412.5   38190 18446.5 8538.5 

1308 835.9 19874

632 398.9 9548

51

Langkah 4:

Karena matriks X ' X adalah simetris maka dapat hanya ditunjukan dalam bentuk matriks segitiga atas. Bentuk matriks X ' X dalam matriks segitiga atas adalah:

triu( X ' * X ) = 389.5 2 13.99 646 278.5 190 1357 5450 550 1308 632 292  10 6.3 151   4.41 95.2 245.75 1.285 8.818 407.9 175.75 124 85 8.9 3434.7 349.3 835.9 398.9 182.75    2347 5892 30.11 211.56 9776 4211.5 2889 20672 82319 8313 19874 9548 4412.5    15175.75 77.86 545.02 25166.5 10846.25 7402 52894 212275.5 21430 50949 24615.5 11371.5    0.4388 2.7995 129.43 55.445 37.68 270.4 1090.47 109.25 266.13 126.67 58.48    19.5759 903.98 389.515 256.73 1899.23 7624.69 769.49 1830.1 884.18 408.445   41758 17987.5 12292 87722 352090 35541 84610 40836 18857    7775.25 5319 37780.5 151775 15328.5 36478 17611 8130.5    3748 25876 103609 10540 25093 12045 5539.5    185045 739604 74775 177811 85712 39657    2970360 299765 712992 344471 159140    30360 71968 34763 16059.5    172586 82769 38190    39970 18446.5    8538.5  

Langkah 5:

1. Matriks Y1

0.110   0.111   0.112    0.109   0.113 Y1 =   0.110   0.111   0.112  0.109     0.111

Matriks X transpose dikalikan dengan matriks Y1

 1.108   0.6975     16.74     43.158   0.22123   1.55019   71.588    X ' Y1 = 30.8615   21.064    150.354    603.869   60.95    144.916  70.033    32.348 


52

2. Matriks Y2

4 3   2   1  5  Y2 =   4 3   2 3    2 

3. Matriks Y3

 0.5   1     0.75     0.9   0.5  Y3 =    0.25   0.15     0.27   0.5     0.5 

Matriks X transpose dikalikan dengan matriks Y2  29   16.9     433     1127   5.69     40.57   1874    X ' Y2 =  801.5   536     3934    15806   1596     3743   1824     853 

Matriks X transpose dikalikan dengan matriks Y3  5.32   3.11     81.46     207.825   1.043     7.4441   341.74    X ' Y3 =  149.04   98.88     720.28     2896.7   291.23     685.66   336.48     155.85 


53

4. Matriks Y4

 0.6   1     0.75    0.8   0.4  Y4 =    0.25  0.9     1   0.7     0.75

5. Matriks Y5

 1.5   2     1.9     1.5   0.5  Y5 =    1  1.25    1.6   1.8     0.5 

Matriks X transpose dikalikan dengan matriks Y4  7.15   4.775     108.55     279.1   1.4315     10.013   461.75    X ' Y4 =  200.2   139.55     967.05     3898.55   395.3     937.05   453.9     207.375 

Matriks X transpose dikalikan dengan matriks Y5  13.55   8.855     200.3    528.925  2.639     18.944   871.7    X ' Y5 =  377.65   262.05     1837.9     7381.9   754.1    1750.35   856.05     395 


54

Langkah 6: 1. Estimasi parameter β untuk persamaan Y1  −0.00057161  0.00094378     −0.00000296     0.00000833   −0.00163473    −0.00002081  0.00000028    β y1 =  −0.00000666   0.00001643    −0.00000068     −0.00000003  0.00000034     −0.00000042   0.00000371     0.00378848 

2. Estimasi parameter β untuk persamaan Y2  0.17869213   −0.23038048    −0.00181823    0.00121364   −0.26881582     −0.00117582   0.00035965    β y2 =  0.00181805   −0.00360342    −0.00002635    −0.00000292   0.00072054     −0.00019259   −0.00047069     0.09990045 


55

3. Estimasi parameter β untuk persamaan Y3

 0.03015051   −0.05892172     0.00035218     0.00030077   −0.05124889     0.00212488   −0.00009395    β y3 =  0.00049090   −0.00046043    −0.00000844     0.00000365   0.00009425     −0.0006349   −0.00000542     0.01825262 

4. Estimasi parameter β untuk persamaan Y4

 −0.0428232   0.06235061     0.00010120     0.00004284   −0.00417631     0.00061088   −0.00006083    β y4 =  −0.000566610  0.00118976     −0.00002398     −0.00000626   0.00004126     −0.00001545   0.00014733     0.02428705 


56

5. Estimasi parameter β untuk persamaan Y5  −0.05033456   0.12562065     −0.00211556     0.00094152   −0.16427836     0.00323367   −0.000992    β y5 =  −0.00085896   0.00141488     −0.0000904     −0.00003035   0.00059216     −0.00012713  0.00006743     0.04626105 

3.3.2 Bentuk Variabel Output dalam Persamaan Regresi

Berdasarkan estimasi parameter β diatas untuk masing-masing variabel output dengan mengalikan βYi dengan (1, X 1 ,..., X 5 , R1 ,..., R9 ) yaitu Yi = ( βYi )(1, X 1 ,..., X 5 , R1 ,..., R9 ) untuk i = 1,2,...,5 maka diperoleh persamaan

regresi linier untuk kelima variabel output sebagai berikut:

Y1 = −0.00057161 + 0.00094378 X 1 − 0.00000296 X 2 + 0.00000833 X 3 − 0.00163473 X 4

− 0.00002081X 5 + 0.00000028R1 − 0.00000666 R2 + 0.00001643R3 − 0.00000068R4 − 0.00000003R5 + 0.00000034 R6 − 0.00000042 R7 + 0.00000371R8 + 0.00378848R9 Y2 = 0.17869213 − 0.23038048 X 1 − 0.00181823 X 2 + 0.0012164 X 3 − 0.26881582 X 4

− 0.00117582 X 5 + 0.00035965 R1 + 0.00181805 R2 − 0.00360342 R3 − 0.00002635 R4 − 0.00000292 R5 + 0.00072054 R6 0.00019259 R7 − 0.00047069 R8 + 0.09990045 R9


57

Y3 = 0.03015051 − 0.05892172 X 1 + 0.00035218 X 2 + 0.00030077 X 3 − 0.05124889 X 4 + 0.00212488 X 5 − 0.00009395R1 + 0.00049090 R2 − 0.00046043R3 − 0.00000844 R4 + 0.00000365 R5 + 0.00005425R6 − 0.00006349 R7 − 0.000000542 R8 + 0.01825262 R9 Y4 = −0.04248232 + 0.06235061X 1 + 0.00010120 X 2 + 0.00004284 X 3 − 0.00417631X 4

+ 0.00061088 X 5 − 0.00006083R1 − 0.00056610 R2 + 0.00118976 R3 − 0.00002398R4 − 0.00000626 R5 + 0.00004126 R6 − 0.00001545 R7 + 0.00014733R8 + 0.02428705R9 Y5 = −0.05033456 + 0.12562065 X 1 − 0.00211556 X 2 + 0.00094152 X 3 − 0.016427836 X 4

+ 0.00323367 X 5 − 0.00009928R1 − 0.0008596 R2 + 0.00141488R 3 −0.00000904 R4 − 0.00003035 R5 + 0.00059216 R6 − 0.00012713R7 + 0.0006743R8 + 0.04626105R9

3.4

Nilai Fuzzy Spesifikasi masing-masing Variabel

Dari spesifikasi yang dipaparkan diatas maka dapat dicari nilai fuzzy spesifikasi masing-masing variabel berdasarkan formulasi Cherif. Dalam kasus ini tipe

interval

spesifikasi

masing-masing

variabel

adalah

tertutup

yaitu

[ g L , g U ] dengan g U adalah limit atas spesifikasi (USL) dan g L adalah limit bawah

spesifikasi (LSL). Maka dari tabel 3.1 untuk masing-masing variabel nilai fuzzy spesifikasi nya adalah: 1) Variabel Input Berdasarkan formulasi Cherif g xj = g L + gU 2 L g + gU gx2 = 2 g L + gU g x3 = 2 L g + gU gx4 = 2 L g + gU g x5 = 2 g x1 =

( g xjL + g Uxj ) 2

0.3 + 1 = 0.65 2 10 + 20 = = 15 2 38 + 40 = = 39 2 0.1 + 0.3 = = 0.2 2 1.38 + 1.44 = = 1.41 2

=


58

2) Variabel Proses Berdasarkan formulasi Cherif g Rt = g L + gU 2 L g + gU gR2 = 2 L g + gU g R3 = 2 L g + gU gR4 = 2 L g + gU g R5 = 2 L g + gU gR6 = 2 L g + gU gR7 = 2 L g + gU g R8 = 2 L g + gU g R9 = 2 g R1 =

( g RtL + g URt ) 2

62 + 68 = 65 2 26 + 30 = = 28 2 10 + 25 = = 17.5 2 120 + 150 = = 135 2 540 + 550 = = 545 2 50 + 60 = = 55 2 100 + 150 = = 125 2 60 + 66 = = 63 2 27 + 31 = = 29 2

=

3) Variabel Output Berdasarkan formulasi Cherif g yi =

g L + gU 2 L g + gU g y2 = 2 L g + gU g y3 = 2 L g + gU g y4 = 2 L g + gU g y5 = 2 g y1 =

( g yiL + g Uyi ) 2

0.109 + 0.113 = 0.111 2 0+5 = = 2.5 2 0 +1 = = 0.5 2 0 +1 = = 0.5 2 0+2 = =1 2

=


59

3.5

Konstanta Deviasi yang berhubungan dengan Imprecise Aspiration Level

Parameter ∆yi , ∆x j , ∆Rt adalah konstanta deviasi yang berhubungan dengan imprecise

aspiration level gyi , gx j dan gRt . Dalam kasus spesifikasi

fuzzy, nilai dari ∆ dipilih secara subjektif oleh si pembuat keputusan. ∆ dapat dihitung dengan cara sebagai berikut: ∆ = g − g L = gU − g

Berdasarkan nilai fuzzy spesifikasi yang diperoleh sebelumnya maka konstanta deviasi masing-masing variabel adalah:

a. Variabel Input

∆ x1 = g x1 − g xL1 = g Ux1 − g x1 = 0.65 − 0.3 = 1 − 0.65 = 0.35 ∆ x 2 = g x 2 − g xL2 = g Ux 2 − g x 2 = 15 − 10 = 20 − 15 = 5 ∆ x 3 = g x 3 − g xL3 = g Ux 3 − g x 3 = 39 − 38 = 40 − 39 = 1 ∆ x 4 = g x 4 − g xL4 = g Ux 4 − g x 4 = 0.2 − 0.1 = 0.3 − 0.2 = 0.1 ∆ x 5 = g x 5 − g xL5 = g Ux 5 − g x 5 = 1.41 − 1.38 = 1.44 − 1.41 = 0.03 b. Variabel Proses

∆ R1 = g R1 − g RL1 = g UR1 − g R1 = 65 − 62 = 68 − 65 = 3 ∆ R 2 = g R 2 − g RL2 = g UR 2 − g R 2 = 28 − 26 = 30 − 28 = 2 ∆ R 3 = g R 3 − g RL3 = g UR 3 − g R 3 = 17.5 − 10 = 25 − 17.5 = 7.5 ∆ R 4 = g R 4 − g RL4 = g UR 4 − g R 4 = 135 − 120 = 150 − 135 = 15 ∆ R 5 = g R 5 − g RL5 = g UR 5 − g R 5 = 545 − 540 = 550 − 545 = 5

∆ R 6 = g R 6 − g RL6 = g UR6 − g R 6 = 55 − 50 = 60 − 55 = 5 ∆ R 7 = g R 7 − g RL7 = g UR 7 − g R 7 = 125 − 100 = 150 − 125 = 25

∆ R 8 = g R8 − g RL8 = g UR 8 − g R 8 = 63 − 60 = 66 − 63 = 3 ∆ R 9 = g R 9 − g RL9 = g UR 9 − g R 9 = 29 − 27 = 31 − 29 = 2

c. Variabel Output ∆ y1 = g y1 − g yL1 = g Uy1 − g y1 = 0.111 − 0.109 = 0.113 − 0.111 = 0.002 ∆ y 2 = g y 2 − g yL2 = g Uy 2 − g y 2 = 2.5 − 0 = 5 − 2.5 = 2.5


60

∆ y 3 = g y 3 − g yL3 = g Uy 3 − g y 3 = 0.5 − 0 = 1 − 0.5 = 0.5 ∆ y 4 = g y 4 − g yL4 = g Uy 4 − g y 4 = 0.5 − 0 = 1 − 0.5 = 0.5 ∆ y 5 = g y 5 − g yL5 = g Uy 5 − g y 5 = 1 − 0 = 2 − 1 = 1

3.6

Persamaan Kendala masing-masing Variabel

Setelah didapat persamaan regresi linier dari variabel output, nilai spesifikasi fuzzy dan konstanta deviasi yang berhubungan dengan Impricise Aspiration Level maka persamaan kendala harus disempurnakan lagi untuk menyelesaikan model Fuzzy Goal Programming dalam pengendalian kualitas.

3.6.1 Persamaan kendala Output

Dari persamaan kendala output pada formulasi Cherif yakni: − + Yi gy + δ yi − δ yi = i (untuk i =1, 2,..., m) ∆yi ∆yi

maka, 1)

− + Y1 gy + δ y1 − δ y1 = 1 ∆y1 ∆y1

−0.00057161 + 0.00094378 X 1 − 0.00000296 X 2 + 0.00000833 X 3 − 0.00163473 X 4

−0.00002081X 5 + 0.00000028 R1 − 0.00000666 R2 + 0.00001643R3 − 0.00000068R4 − + −0.00000003R5 + 0.00000034 R6 − 0.00000042 R7 + 0.00000371R8 + 0.00378848 R9 0.111 + δ y1 − δ y1 = 0.002 0.002

0.47189 X 1 − 0.00148 X 2 + 0.004165 X 3 − 0.817356 X 4 − 0.010405 X 5 + 0.00014 R1 − 0.0033R2 +0.008215 R3 − 0.00034 R4 − 0.000015 R5 + 0.00017 R6 − 0.00021R7 + 0.001855R8 + 1.89424 R9 −

+

+δ y1 − δ y1 = 55.785805

2)

− + Y2 gy + δ y2 − δ y2 = 2 ∆y2 ∆y 2

0.17869213 − 0.23038048 X 1 − 0.00181823 X 2 + 0.0012164 X 3 − 0.26881582 X 4 −0.00117582 X 5 + 0.00035965 R1 + 0.00181805R2 − 0.00360342 R3 − 0.00002635 R4 −0.00000292 R5 + 0.00072054 R6 0.00019259 R7 − 0.00047069 R8 + 0.09990045 R9 2.5


−

+

+ δ y2 − δ y2 =

2.5 2.5

61

−0.092152 X 1 − 0.000727 X 2 + 0.000485 X 3 − 0.107526 X 4 − 0.000470 X 5 + 0.000143 R1 + 0.0007242 R2

−0.001441R3 − 0.00001054 R4 − 0.00000116 R5 + 0.000288 R6 − 0.0000770 R7 − 0.0001882 R8 + 0.039960 R9 −

+

+δ y2 − δ y2 = 0.928523

3)

− + Y3 gy + δ y3 − δ y3 = 3 ∆y3 ∆y3

0.03015051 − 0.05892172 X 1 + 0.00035218 X 2 + 0.00030077 X 3 − 0.05124889 X 4

+0.00212488 X 5 − 0.00009395R1 + 0.00049090 R2 − 0.00046043R3 − 0.00000844 R4 − + +0.00000365 R5 + 0.00005425 R6 − 0.00006349 R7 − 0.000000542 R8 + 0.01825262 R9 0.5 + δ y3 − δ y3 = 0.5 0.5

−0.117843 X 1 + 0.000704 X 2 + 0.0006054 X 3 − 0.102497 X 4 + 0.004249 X 5 − 0.0001269 R1

+0.0009818R2 − 0.0009208R3 − 0.0000168 R4 + 0.0000073R5 + 0.0001085R6 − 0.0001269 R7 −

+

−0.00001084 R8 + 0.03650524 R9 + δ y3 − δ y3 = 0.939698

4)

− + Y4 gy + δ y4 − δ y4 = 4 ∆y4 ∆y4

−0.04248232 + 0.06235061X 1 + 0.00010120 X 2 + 0.00004284 X 3 − 0.00417631X 4

+0.00061088 X 5 − 0.00006083R1 − 0.00056610 R2 + 0.00118976 R3 − 0.00002398R4 − + −0.00000626 R5 + 0.00004126 R6 − 0.00001545R7 + 0.00014733R8 + 0.02428705 R9 0.5 + δ y4 − δ y 4 = 0.5 0.5

0.124701X 1 + 0.0002024 X 2 + 0.00008568 X 3 − 0.0083526 X 4 + 0.0012217 X 5 − 0.00012166 R1

−0.0011322 R2 + 0.002379 R3 − 0.0000479 R4 − 0.0000125 R5 + 0.0000825 R6 − 0.00309 R7 −

+

+0.0002946 R8 + 0.048574 R9 + δ y4 − δ y4 = 1.084964

5)

− + Y5 gy + δ y5 − δ y5 = 5 ∆y5 ∆y5

−0.05033456 + 0.12562065 X 1 − 0.00211556 X 2 + 0.00094152 X 3 − 0.016427836 X 4

+0.00323367 X 5 − 0.00009928 R1 − 0.0008596 R2 + 0.00141488 R 3 −0.00000904 R4 −0.00003035 R5 + 0.00059216 R6 − 0.00012713R7 + 0.0006743R8 + 0.04626105 R9 1

−

0.12562065 X 1 − 0.00211556 X 2 + 0.00094152 X 3 − 0.016427836 X 4 + 0.00323367 X 5 −0.00009928 R1 − 0.0008596 R2 + 0.00141488 R 3 −0.00000904 R4 − 0.00003035 R5 −

+

+0.00059216 R6 − 0.00012713R7 + 0.0006743R8 + 0.04626105R9 + δ y5 − δ y5 = 1.05033456


+

+ δ y5 − δ y5 =

1 1

62

3.6.2 Persamaan kendala Input

Dari persamaan kendala Input pada formulasi Cherif yakni: Xj ∆x j

−

+

+ δ xj −δ xj =

gx j ∆x j

(untuk j =1, 2,..., l ) dan dengan konstanta masing-

masing variabel X adalah 1, maka 1.

− + X1 gx + δ x1 − δ x1 = 1 ∆x1 ∆x1 − + 1X 1 0.65 + δ x1 − δ x1 = 0.35 0.35 −

+

2.8571X 1 + δ x1 − δ x1 = 1.8571

2.

− + X2 gx + δ x2 − δ x2 = 2 ∆x2 ∆x2 − + 1X 2 15 + δ x2 − δ x2 = 5 5 −

+

0.2 X 2 + δ x2 − δ x2 = 3 3.

− + X3 gx + δ x3 − δ x3 = 3 ∆x3 ∆x3 − + 1X 3 39 + δ x3 − δ x3 = 1 1 −

+

X 3 + δ x3 − δ x3 = 39 4.

− + X4 gx + δ x4 − δ x4 = 4 ∆x4 ∆x4 − + 1X 4 0.2 + δ x4 − δ x4 = 0.1 0.1 −

+

10 X 4 + δ x4 − δ x4 = 2 5.

− + X5 gx + δ x5 − δ x5 = 5 ∆x5 ∆x5 − + 1X 5 1.41 + δ x5 − δ x5 = 0.03 0.03 −

+

33.3333 X 5 + δ x5 − δ x5 = 47


63

3.6.3 Persamaan kendala Proses

Dari persamaan kendala Proses pada formulasi Cherif yakni: − + Rt gR + δ Rt − δ Rt = t (untuk t =1, 2,..., k ) dan dengan konstanta masing∆Rt ∆Rt

masing variabel R adalah 1, maka 1.

− + R1 gR + δ R1 − δ R1 = 1 ∆R1 ∆R1 − + 1R1 65 + δ R1 − δ R1 = 3 3 −

+

0.333R1 + δ R1 − δ R1 = 21.67 2.

− + R2 gR + δ R2 − δ R2 = 2 ∆R2 ∆R2 − + 1R2 28 + δ R2 − δ R2 = 2 2 −

+

0.5 R2 + δ R2 − δ R2 = 14

3.

− + R3 gR + δ R3 − δ R3 = 3 ∆R3 ∆R3 − + 1R3 17.5 + δ R3 − δ R3 = 7.5 7.5 −

+

0.13333R3 + δ R3 − δ R3 = 2.333 4.

− + R4 gR + δ R4 − δ R4 = 4 ∆R4 ∆R4 − + 1R4 135 + δ R4 − δ R4 = 15 15 −

+

0.0667 R4 + δ R4 − δ R4 = 9

5.

− + R5 gR + δ R5 − δ R5 = 5 ∆R5 ∆R5 − + 1R5 545 + δ R5 − δ R5 = 5 5 −

+

0.2 R5 + δ R5 − δ R5 = 109 6.

− + R6 gR + δ R6 − δ R6 = 6 ∆R6 ∆R6


64

− + 1R6 55 + δ R6 − δ R6 = 5 5 −

+

0.2 R6 + δ R6 − δ R6 = 11 7.

− + R7 gR + δ R7 − δ R7 = 7 ∆R7 ∆R7 − + 1R7 125 + δ R7 − δ R7 = 25 25 −

+

0.04 R7 + δ R7 − δ R7 = 5

8.

− + R8 gR + δ R8 − δ R8 = 8 ∆R8 ∆R8 − + 1R8 63 + δ R8 − δ R8 = 3 3 −

+

0.3333R8 + δ R8 − δ R8 = 21 9.

− + R9 gR + δ R9 − δ R9 = 9 ∆R9 ∆R9 − + 1R9 29 + δ R9 − δ R9 = 2 2 −

+

0.5 R9 + δ R9 − δ R9 = 14.5

3.7

Penyelesaian dengan Model Fuzzy Goal Programming

Model fuzzy goal programming yang telah dikembangkan oleh Cherif untuk pengendalian kualitas seperti berikut: Maksimumkan : λ Batasan : Output − + Yi gy + δ yi − δ yi = i (untuk i =1, 2,..., m) ∆yi ∆yi

Input Xj ∆x j

−

+

+ δ xj −δ xj =

gx j ∆x j

(untuk j =1, 2,..., l )

Proses


65

− + Rt gR + δ Rt − δ Rt = t (untuk t =1, 2,..., k ) ∆Rt ∆Rt −

+

−

+

λ + δ yi + δ yi ≤1; λ + δ x j + δ x j ≤1; −

+

λ + δ Rt + δ Rt ≤ 1; −

+

−

+

−

+

λ , δ yi , δ yi , δ x j , δ x j , δ Rt , δ Rt , Yi , X j , dan Rt ≥ 0

Untuk

menyelesaikan

contoh

kasus

pengendalian

kualitas

menggunakan model fuzzy goal programming pada sebuah perusahaan tekstil yang telah dipaparkan sebelumnya, maka persamaan kendala output, persamaan kendala input dan persamaan kendala proses dimasukkan kedalam formulasi Cherif. Sehingga model penyelesaian fuzzy goal programming dalam pengendalian kualitas untuk contoh kasus pada sebuah perusahaan tekstil adalah: Maksimumkan : λ Batasan : Output 0.47189 X 1 − 0.00148 X 2 + 0.004165 X 3 − 0.817356 X 4 − 0.010405 X 5 + 0.00014 R1 − 0.0033R2 +0.008215 R3 − 0.00034 R4 − 0.000015 R5 + 0.00017 R6 − 0.00021R7 + 0.001855R8 + 1.89424 R9 −

+

+δ y1 − δ y1 = 55.785805 −0.092152 X 1 − 0.000727 X 2 + 0.000485 X 3 − 0.107526 X 4 − 0.000470 X 5 + 0.000143R1 + 0.0007242R2 −0.001441R3 − 0.00001054 R4 − 0.00000116 R5 + 0.000288R6 − 0.0000770 R7 − 0.0001882 R8 + 0.039960 R9 −

+

+δ y2 − δ y2 = 0.928523 −0.117843 X 1 + 0.000704 X 2 + 0.0006054 X 3 − 0.102497 X 4 + 0.004249 X 5 − 0.0001269 R1 +0.0009818R2 − 0.0009208R3 − 0.0000168R4 + 0.0000073R5 + 0.0001085R6 − 0.0001269 R7 −

+

−0.00001084 R8 + 0.03650524 R9 + δ y3 − δ y3 = 0.939698 0.124701X 1 + 0.0002024 X 2 + 0.00008568 X 3 − 0.0083526 X 4 + 0.0012217 X 5 − 0.00012166 R1 −0.0011322 R2 + 0.002379 R3 − 0.0000479 R4 − 0.0000125R5 + 0.0000825R6 − 0.00309 R7 −

+

+0.0002946 R8 + 0.048574 R9 + δ y4 − δ y4 = 1.084964 0.12562065 X 1 − 0.00211556 X 2 + 0.00094152 X 3 − 0.016427836 X 4 + 0.00323367 X 5 −0.00009928 R1 − 0.0008596 R2 + 0.00141488R 3 −0.00000904 R4 − 0.00003035 R5 −

+

+0.00059216 R6 − 0.00012713R7 + 0.0006743R8 + 0.04626105R9 + δ y5 − δ y5 = 1.05033456


66

Input −

+

2.8571X 1 + δ x1 − δ x1 = 1.8571 −

+

0.2 X 2 + δ x2 − δ x2 = 3 −

+

X 3 + δ x3 − δ x3 = 39 −

+

10 X 4 + δ x4 − δ x4 = 2 −

+

33.3333 X 5 + δ x5 − δ x5 = 47

Proses −

+

0.333R1 + δ R1 − δ R1 = 21.6 −

+

0.5 R2 + δ R2 − δ R2 = 14 −

+

0.13333R3 + δ R3 − δ R3 = 2.333 −

+

0.0667 R4 + δ R4 − δ R4 = 9 −

+

−

+

0.2 R5 + δ R5 − δ R5 = 109 0.2 R6 + δ R6 − δ R6 = 11 −

+

0.04 R7 + δ R7 − δ R7 = 5 −

+

0.3333R8 + δ R8 − δ R8 = 21 −

+

0.5 R9 + δ R9 − δ R9 = 14.5 −

+

−

+

−

+

λ + δ yi + δ yi ≤1; λ + δ x j + δ x j ≤1; λ + δ Rt + δ Rt ≤1; −

+

−

+

−

+

λ , δ yi , δ yi , δ x j , δ x j , δ Rt , δ Rt , Yi , X j , dan Rt ≥ 0

3.7.1 Penyelesaian Model Fuzzy Goal Progrmming dengan menggunakan LINDO

Untuk mempermudah perhitungan dalam mencari nilai dari variabelvariabel input dan output digunakan sofware Lindo for windows. Adapun tampilan program awal sebelum diperoleh hasilnya adalah berikut:


67

Gambar 3.1

Tampilan

listing

program

penyelesaian

Fuzzy

Goal

Programming menggunakan Lindo

Selanjutnya dengan memilih pilihan solve pada menu akan keluar hasil perhitungan dengan menggunakan Lindo

Gambar 3.2

Tampilan hasil program fuzzy goal programming dengan

menggunakan Lindo.


68

Gambar 3.3 Sambungan tampilan hasil dari gambar 3.2

Gambar 3.4 Tampilan hasil terakhir model fuzzy goal programming

Dari hasil yang diperoleh maka nilai-nilai variabel X dan R, sedangkan nilai variabel Y diperoleh dengan memasukkan nilai variabel X dan R ke dalam persamaan regresi masing-masing variabel Y yakni:

Y1 = −0.00057161 + 0.00094378 X 1 − 0.00000296 X 2 + 0.00000833 X 3 − 0.00163473 X 4

− 0.00002081X 5 + 0.00000028 R1 − 0.00000666 R2 + 0.00001643R3 − 0.00000068 R4 − 0.00000003R5 + 0.00000034 R6 − 0.00000042 R7 + 0.00000371R8 + 0.00378848 R9 = 0.1099


69

Y2 = 0.17869213 − 0.23038048 X 1 − 0.00181823 X 2 + 0.0012164 X 3 − 0.26881582 X 4 − 0.00117582 X 5 + 0.00035965 R1 + 0.00181805 R2 − 0.00360342 R3 − 0.00002635 R4 − 0.00000292 R5 + 0.00072054 R6 0.00019259 R7 − 0.00047069 R8 + 0.09990045 R9 = 2.9350 Y3 = 0.03015051 − 0.05892172 X 1 + 0.00035218 X 2 + 0.00030077 X 3 − 0.05124889 X 4 + 0.00212488 X 5 − 0.00009395 R1 + 0.00049090 R2 − 0.00046043R3 − 0.00000844 R4 + 0.00000365 R5 + 0.00005425 R6 − 0.00006349 R7 − 0.000000542 R8 + 0.01825262 R9 = 0.7248 Y4 = −0.04248232 + 0.06235061X 1 + 0.00010120 X 2 + 0.00004284 X 3 − 0.00417631X 4 + 0.00061088 X 5 − 0.00006083R1 − 0.00056610 R2 + 0.00118976 R3 − 0.00002398 R4 − 0.00000626 R5 + 0.00004126 R6 − 0.00001545 R7 + 0.00014733R8 + 0.02428705R9 = 0.1722 Y5 = −0.05033456 + 0.12562065 X 1 − 0.00211556 X 2 + 0.00094152 X 3 − 0.016427836 X 4 + 0.00323367 X 5 − 0.00009928 R1 − 0.0008596 R2 + 0.00141488 R 3 −0.00000904 R4 − 0.00003035 R5 + 0.00059216 R6 − 0.00012713R7 + 0.0006743R8 + 0.04626105 R9 =1.3581

Dari hasil yang diperoleh menggunakan program Lindo diamana Z adalah sama dengan λ

pada model fuzzy goal programming Cherif yang

merupakan fungsi tujuan yang dimaksimumkan maka seluruh nilai variabel yang diperoleh adalah sebagai berikut:

Tabel 3.4 Hasil Perhitungan dengan Fuzzy Goal Programming Variabel

Hasil Perhitungan

λ

0.6380

X1

0.5223

0.3 – 1.0

X2

13.1900

10 – 20

X3

39.3619

38 – 40

X4

0.1638

0.1 – 0.3

X5

1.3991

1.38 – 1.44

R1

66.1621

62 – 68

R2

28.7239

26 – 30

R3

14.7829

10 – 25

R4

140.3596

120 – 150

R5

546.8099

540 – 550

R6

53.1900

50 – 60


Spesifikasi

70

R7

134.0496

100 – 150

R8

61.9202

60 – 66

R9

29.0909

27 – 31

Y1

0.1099

0.109 - 0.113

Y2

2.9350

≤5

Y3

0.7248

≤ 1.00

Y4

0.1722

≤ 1.00

Y5

1.3581

≤ 2.00

Seluruh nilai dari masing-masing variabel yang diperoleh memenuhi spesifikasi si pembuat keputusan. Dengan fungsi keanggotaan (Z= λ ) sebesar 0.6380 yang mengindikasikan bahwa spesifikasi dipenuhi dengan 63.80 % dalam hubungan nya dengan nilai tengah deviasi spesifikasi. Kondisi ini berarti bahwa hasil yang diperoleh kebanyakan mendekati batas spesifikasi bawah atau batas spesifikasi atas meskipun semua variabel memenuhi spesifikasi yang ditetapkan pembuat keputusan.


71

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1

Kesimpulan

Dari penelitian ini dapat disimpulkan beberapa hal mengenai pendekatan model fuzzy goal programming dalam pengendalian kualitas yaitu:

1. Fuzzy Goal Programming dapat digunakan dalam pengendalian kualitas yang mempunyai hubungan linier diantara karakteristik input, parameter proses dan karakteristik output.

2. Model fuzzy goal programming yang digunakan mampu memenuhi seluruh spesifikasi dari 19 (Sembilan belas) spesifikasi yang ditetapkan pembuat keputusan dengan nilai keanggotaan 0.6380 atau 63.80% yang berarti bahwa setiap spesifikasi karakteristik dipenuhi sebesar 63.80% dalam hubungan dengan nilai tengah deviasi spesifikasi masing-masing karakteristik.


72

4.2

Saran

Sebagai saran yang ditujukan kepada pembaca yaitu:

1. Hubungan antara karakteristik input, parameter proses dan karakteristik output dalam kenyataannya tidak selalu linier, sehingga diperlukan pendekatan baru untuk menangani masalah yang mempunyai hubungan nonlinier dengan menggunakan persamaan regresi nonlinier.

2. Pada penelitian ini perlu dikembangkan dengan menggunakan fuzzy regresi sehingga nilai fungsi keanggotaan hasil yang diperoleh dapat ditingkatkan dan nilai-nilai karakteristik yang diperoleh lebih akurat maka tercapai kualitas produk yang baik.


73

DAFTAR PUSTAKA

Anthanari, T. S. dan Dodge, Yadolah. 1981. Mathematichal Programming in Statistic . New York: Wiley. Ariani, D.Wahyu. 2004. Pengendalian Kualitas Statistik ( Pendekatan Kuantitatif dalam Manajemen Kualitas). Yogyakarta : Penerbit Andi. Banks,J. 1989. Principle of Quality Control. John Wiley &Sons,Inc. Besterfield, Dale H. 1986. Quality Control. 2nd Edition. Prentice Hall,Inc. Cherif, M.Sadok., Chabchoub, Habib., Aouni, Belaid. 2008. Quality control system design through the goal programming model and the satisfaction functions . European Journal of Operational Research 186 : 1084-1098 Draper, N. R, dan Smith, H, diterjemahkan Sumantri, Bambang. 1992. Analisis Regresi Terapan jilid Kedua. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. Etter, Dolores dan Kuncicky, David, diterjemahkan Tanya, Carley. 2003. Pengantar Matlab 6 . Penerbit : PT. Indeks kelompok Gramedia. Gunes, M. dan Umarosman,N. 2005. Fuzzy Goal Progrmming Approch on Computation of the Fuzzy Arithmetic Mean. Mathematical and Computational Application, Vol.10, No. 2, pp 221-220. Hanselman, Duane dan Littlefield, Bruce. 1999. Matlab Bahasa Komputasi Teknis. Yogyakarta: Penerbit Andi. Hiller S., Frederick and Lieberman, Gerald J., diterjemahkan Gunawan S., Ellen dan Wirda M., .1994. Pengantar Riset Operasi jilid 1. Jakarta : Penerbit Erlangga. Kusumadewi, Sri. 2002. Analisis dan Desain Sistem Fuzzy menggunakan Toolbox Matlab. Yogyakarta: Graha Ilmu. Mulyono, Sri . 1991 . Operation Research. Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia, Jakarta. Nachrowi, D. dan Usman, H . 2004. Teknik Pengambilan Keputusan. Jakarta: PT.Gramedia Widiasarana Indonesia. Nasendi , B.D. dan Anwar , Affendi . 1985 . Program Linier dan Variasinya. Jakarta:PT.Gramedia. Siswanto,. 2007. Operation Research Jilid 1. Jakarta : Penerbit Erlangga. Supranto, J. 2001. Statistik Teori dan Aplikasi. Jakarta : Penerbit Erlangga.


74

LAMPIRAN A. Listing Program menggunakan Lindo

maximize Z subject to 0.47189X1-0.00148X2+0.004165X3-0.817365X4-0.010405X5+0.00014R10.0033R2+0.008215R3-0.00034R4-0.000015R5+0.00017R60.00021R7+0.001855R8+1.89424R9+y1neg-y1pos=55.785805 -0.092152X1-0.000727x2+0.000485X3-0.107526X40.000470X5+0.000143R1+0.0007242R2-0.001441R3-0.00001054R40.00000116R5+0.000288R6-0.0000770R7-0.0001882R8+0.039960R9+y2negy2pos=0.928523 -0.117843X1+0.000704X2+0.00060154X3-0.12497X4+0.004249X50.0001269R1+0.0009818R2-0.0009208R30.0000168R4+0.0000073R5+0.0001085R6-0.0001269R70.00001084R8+0.03650524R9+y3neg-y3pos=0.939698 0.124701X1+0.0002024X2+0.00008568X3-0.0083526X4+0.0012217X50.00012166R1-0.0011322r2+0.002379R3-0.0000479R4-0.0000125R5+0.0000825R60.000309R7+0.0002946R8+0.048574R9+y4neg-y4pos=1.084964 0.12562065X1-0.00211556X2+0.00094152X3-0.16427836X4+0.00323367X50.0009928R1-0.00085896R2+0.00141488R3-0.00000904R40.0003035R5+0.00059216R6-0.00012713R7+0.00006743R8+0.04626105R9+y5negy5pos=1.05033456 2.857X1+x1neg-x1pos=1.8571 0.2X2+x2neg-x2pos=3 X3+x3neg-x3pos=39 10X4+x4neg-x4pos=2 33.3333X5+x5neg-x5pos=47 0.333R1+r1neg-r1pos=21.67 0.5R2+r2neg-r2pos=14 0.13333R3+r3neg-r3pos=2.333 0.0667R4+r4neg-r4pos=9 0.2R5+r5neg-r5pos=109 0.2R6+r6neg-r6pos=11 0.04R7+r7neg-r7pos=5 0.3333R8+r8neg-r8pos=21 0.5R9+r9neg-r9pos=14.5 Z+y1neg+y1pos<=1 Z+y2neg+y2pos<=1 Z+y3neg+y3pos<=1 Z+y4neg+y4pos<=1 Z+y5neg+y5pos<=1 Z+x1neg+x1pos<=1 Z+x2neg+x2pos<=1 Z+x3neg+x3pos<=1 Z+x4neg+x4pos<=1 Z+x5neg+x5pos<=1 Z+r1neg+r1pos<=1 Z+r2neg+r2pos<=1


75

Z+r3neg+r3pos<=1 Z+r4neg+r4pos<=1 Z+r5neg+r5pos<=1 Z+r6neg+r6pos<=1 Z+r7neg+r7pos<=1 Z+r8neg+r8pos<=1 Z+r9neg+r9pos<=1 end


76

LAMPIRAN B. Out-put Program LP OPTIMUM FOUND AT STEP

17

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)

0.6380130

VARIABLE Z X1 X2 X3 X4 X5 R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 Y1NEG Y1POS Y2NEG Y2POS Y3NEG Y3POS Y4NEG Y4POS Y5NEG Y5POS X1NEG X1POS X2NEG X2POS X3NEG X3POS X4NEG X4POS X5NEG X5POS R1NEG R1POS R2NEG R2POS R3NEG

VALUE 0.638013 0.523316 13.190065 39.361988 0.163801 1.399142 66.162125 28.723974 14.782967 140.359634 546.809937 53.190063 134.049683 61.920231 29.090900 0.361987 0.000000 0.000000 0.177146 0.000000 0.074957 0.000000 0.361987 0.000000 0.129914 0.361987 0.000000 0.361987 0.000000 0.000000 0.361987 0.361987 0.000000 0.361987 0.000000 0.000000 0.361987 0.000000 0.361987 0.361987

REDUCED COST 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.046807 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.825337 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.071940 0.000000 0.002194 0.000039 0.000000 0.000000 0.002301 0.000000 0.000082 0.000687 0.000000 0.003824 0.000000 0.000000


77

R3POS R4NEG R4POS R5NEG R5POS R6NEG R6POS R7NEG R7POS R8NEG R8POS R9NEG R9POS

0.000000 0.000000 0.361987 0.000000 0.361987 0.361987 0.000000 0.000000 0.361987 0.361987 0.000000 0.000000 0.045450

0.029685 0.001072 0.000000 0.000111 0.000000 0.000000 0.000713 0.013855 0.000000 0.000000 0.001353 0.000000 0.000000

ROW 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34)

SLACK OR SURPLUS 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.184841 0.287030 0.000000 0.232073 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

DUAL PRICES -0.023404 0.000000 0.000000 0.912669 0.000000 -0.035970 -0.001097 0.000019 -0.001151 -0.000041 0.000343 0.001912 -0.014843 0.000536 0.000055 -0.000357 0.006927 -0.000676 0.000000 0.023404 0.000000 0.000000 0.912669 0.000000 0.035970 0.001097 0.000019 0.001151 0.000041 0.000343 0.001912 0.014843 0.000536


78

35) 36) 37) 38) 39)

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.316537

0.000055 0.000357 0.006927 0.000676 0.000000

NO. ITERATIONS


79

LAMPIRAN C. Output Parameter β Menggunakan Matlab >> X = [1,0.5,11,38.5,0.15,1.39,62,26,11,125,541,51,101,60,29;1,0.4,15,39,0.2,1.4,63,28,20,129,549,56,120,65 ,30;1,0.6,13,39,0.1,1.38,64,30,22,130,540,58,125,64,28;1,0.7,17,40,0.3,1.42,65,27,15,140,542,51,140,6 3,29;1,0.3,19,39.5,0.17,1.43,67,27.5,16,145,544,55,130,62,30;1,0.5,13,38,0.25,1.38,65,26,19,137,548,5 4,137,63,30.5;1,0.9,12,38.5,0.3,1.4,66,28,21,122,546,56,145,65,28;1,1,18,40,0.15,1.43,67,27,24,149,55 0,59,133,64,27.5;1,0.8,16,39,0.18,1.38,63,29,22,150,543,60,136,61,31;1,0.6,17,38,0.2,1.38,64,30,20,13 0,547,50,141,65,29] Columns 1 through 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0.5 0.4 0.6 0.7 0.3 0.5 0.9 1 0.8 0.6

11 15 13 17 19 13 12 18 16 17

38.5 39 39 40 39.5 38 38.5 40 39 38

0.15 0.2 0.1 0.3 0.17 0.25 0.3 0.15 0.18 0.2

Columns 6 through 10 1.39 1.4 1.38 1.42 1.43 1.38 1.4 1.43 1.38 1.38

62 63 64 65 67 65 66 67 63 64

26 28 30 27 27.5 26 28 27 29 30

11 20 22 15 16 19 21 24 22 20

125 129 130 140 145 137 122 149 150 130

51 56 58 51 55 54 56 59 60 50

101 120 125 140 130 137 145 133 136 141

60 65 64 63 62 63 65 64 61 65

29 30 28 29 30 30.5 28 27.5 31 29

Columns 11 through 15 541 549 540 542 544 548 546 550 543 547 >> X' ans = Columns 1 through 5 1 0.5 11 38.5

1 0.4 15 39

1 0.6 13 39

1 0.7 17 40


1 0.3 19 39.5

80

0.15 1.39 62 26 11 125 541 51 101 60 29 Columns 6 through 10 1 0.5 13 38 0.25 1.38 65 26 19 137 548 54 137 63 30.5

0.2 1.4 63 28 20 129 549 56 120 65 30

0.1 1.38 64 30 22 130 540 58 125 64 28

0.3 1.42 65 27 15 140 542 51 140 63 29

0.17 1.43 67 27.5 16 145 544 55 130 62 30

1 0.9 12 38.5 0.3 1.4 66 28 21 122 546 56 145 65 28

1 1 18 40 0.15 1.43 67 27 24 149 550 59 133 64 27.5

1 0.8 16 39 0.18 1.38 63 29 22 150 543 60 136 61 31

1 0.6 17 38 0.2 1.38 64 30 20 130 547 50 141 65 29

>> X'*X ans = Columns 1 through 5 10 6.3 151 389.5 2 13.99 646 278.5 190 1357 5450 550 1308 632 292

6.3 4.41 95.2 245.75 1.285 8.818 407.9 175.75 124 858.9 3434.7 349.3 835.9 398.9 182.75

151 95.2 2347 5892 30.11 211.56 9776 4211.5 2889 20672 82319 8313 19874 9548 4412.5

389.5 245.75 5892 15175.75 77.86 545.02 25166.5 10846.25 7402 52894 212275.5 21430 50949 24615.5 11371.5

2 1.285 30.11 77.86 0.4388 2.7995 129.43 55.445 37.68 270.4 1090.47 109.25 266.13 126.67 58.48

Columns 6 through 10 13.99 8.818 211.56 545.02 2.7995 19.5759

646 407.9 9776 25166.5 129.43 903.98

278.5 175.75 4211.5 10846.25 55.445 389.515

190 124 2889 7402 37.68 265.73


1357 858.9 20672 52894 270.4 1899.23

81

903.98 389.515 265.73 1899.23 7624.69 769.49 1830.1 884.18 408.445

41758 17987.5 12292 87722 352090 35541 84610 40836 18857

17987.5 7775.25 5319 37780.5 151775 15328.5 36478 17611 8130.5

12292 5319 3748 25876 103609 10540 25093 12045 5539.5

550 349.3 8313 21430 109.25 769.49 35541 15328.5 10540 74775 299765 30360 71986 34763 16059.5

1308 835.9 19874 50949 266.13 1830.1 84610 36478 25093 177811 712992 71986 172586 82769 38190

632 398.9 9548 24615.5 126.67 884.18 40836 17611 12045 85712 344471 34763 82769 39970 18446.5

87722 37780.5 25876 185045 739604 74775 177811 85712 39657

Columns 11 through 15 5450 3434.7 82319 212275.5 1090.47 7624.69 352090 151775 103609 739604 2970360 299765 712992 344471 159140

292 182.75 4412.5 11371.5 58.48 408.445 18857 8130.5 5539.5 39657 159140 16059.5 38190 18446.5 8538.5

>> triu(X'*X) ans = Columns 1 through 5 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6.3 4.41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

151 95.2 2347 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

646 407.9 9776 25166.5 129.43 903.98 41758

278.5 175.75 4211.5 10846.25 55.445 389.515 17987.5

389.5 245.75 5892 15175.75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 1.285 30.11 77.86 0.4388 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Columns 6 through 10 13.99 8.818 211.56 545.02 2.7995 19.5759 0

190 124 2889 7402 37.68 265.73 12292


1357 858.9 20672 52894 270.4 1899.23 87722

82

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

7775.25 0 0 0 0 0 0 0

5319 3748 0 0 0 0 0 0

37780.5 25876 185045 0 0 0 0 0

1308 835.9 19874 50949 266.13 1830.1 84610 36478 25093 177811 712992 71986 172586 0 0

632 398.9 9548 24615.5 126.67 884.18 40836 17611 12045 85712 344471 34763 82769 39970 0

292 182.75 4412.5 11371.5 58.48 408.445 18857 8130.5 5539.5 39657 159140 16059.5 38190 18446.5 8538.5

Columns 11 through 15 5450 3434.7 82319 212275.5 1090.47 7624.69 352090 151775 103609 739604 2970360 0 0 0 0

550 349.3 8313 21430 109.25 769.49 35541 15328.5 10540 74775 299765 30360 0 0 0

>> Y1 = [0.110;0.111;0.112;0.109;0.113;0.110;0.111;0.112;0.109;0.111] Y1 = 0.11 0.111 0.112 0.109 0.113 0.11 0.111 0.112 0.109 0.111 >> X'*Y1 ans = 1.108 0.6975 16.74 43.158 0.22123 1.55019 71.588 30.8615 21.064 150.354 603.869 60.95 144.916


83

70.033 32.348 >> Y2 = [4;3;2;1;5;4;3;2;3;2] Y2 = 4 3 2 1 5 4 3 2 3 2 >> X'*Y2 ans = 29 16.9 433 1127 5.69 40.57 1874 801.5 536 3934 15806 1596 3743 1824 853 >> Y3 = [0.5;1;0.75;0.9;0.5;0.25;0.15;0.27;0.5;0.5] Y3 = 0.5 1 0.75 0.9 0.5 0.25 0.15 0.27 0.5 0.5 >> X'*Y3 ans = 5.32 3.11


84

81.46 207.825 1.043 7.4441 341.74 149.04 98.88 720.28 2896.7 291.23 685.66 336.48 155.85 >> Y4 = [0.6;1;0.75;0.8;0.4;0.25;0.9;1;0.7;0.75] Y4 = 0.6 1 0.75 0.8 0.4 0.25 0.9 1 0.7 0.75 >> X'*Y4 ans = 7.15 4.775 108.55 279.1 1.4315 10.013 461.75 200.2 139.55 967.05 3898.55 395.3 937.05 453.9 207.375 >> Y5 = [1.5;2;1.9;1.5;0.5;1;1.25;1.6;1.8;0.5] Y5 = 1.5 2 1.9 1.5 0.5 1


85

1.25 1.6 1.8 0.5 >> X'*Y5 ans = 13.55 8.855 200.3 528.925 2.639 18.944 871.7 377.65 262.05 1837.9 7381.9 754.1 1750.35 856.05 395 >> Y1 = inv(triu(X'*X))*(X'*Y1) Y1 = -0.00057161775995566 0.000943787714907517 -2.96448128142607e-006 8.33355116488762e-006 -0.00163473875445165 -2.08173316207437e-005 2.80629398722393e-007 -6.66306474284408e-006 1.6433960952079e-005 -6.86613419901186e-007 -3.65732458051718e-008 3.43601238485572e-007 -4.29875744620417e-007 3.71945088698845e-006 0.00378848743924577 >> Y2 = inv(triu(X'*X))*(X'*Y2) Y2 = 0.1786921396198 -0.2303804832073 -0.00181823512556373 0.0012146435827129 -0.268881582093994 -0.00117582986689242 0.000359650197697857 0.00181805780496711 -0.00360342159270351 -2.63548748917856e-005


86

-2.92598763807105e-006 0.000720541820237749 -0.000192595514612853 -0.000470694708681565 0.0999004508988698 >> Y3 = inv(triu(X'*X))*(X'*Y3) Y3 = 0.0301505132854562 -0.0589217288607428 0.000352181750796179 0.000300774450189141 -0.051248892059448 0.00212488117346232 -9.39545447024449e-005 0.000490901708997813 -0.000460439462896673 -8.44130863938942e-006 3.65807087328733e-006 9.42512689953235e-005 -6.34946779504098e-005 -5.42816493408725e-006 0.0182526204836915 >> Y4 = inv(triu(X'*X))*(X'*Y4) Y4 = -0.0424823280206416 0.0623506183695772 0.000101202023080769 4.28487473232614e-005 -0.00417631484713795 0.000610881014686364 -6.08395262499606e-005 -0.000566100872377163 0.00118976361702373 -2.39809924328624e-005 -6.26011636718925e-006 4.12652620147904e-005 -1.54538094620101e-005 0.000147332530492324 0.0242870527610236 >> Y5 = inv(triu(X'*X))*(X'*Y5) Y5 = -0.0503345640892977 0.125620658386518 -0.00211556096524474 0.000941529693385722 -0.164278362184614 0.00323367713936911 -9.92873977644663e-005 -0.00085896832999477 0.00141488319268614


87

-9.04637511676417e-006 -3.03597326267369e-005 0.000592163181136388 -0.00012713294858074 6.74377804199891e-005 0.0462610528781402


PENGENDALIAN KUALITAS MENGGUNAKAN MODEL FUZZY GOAL PROGRAMMING

Recommend Documents