UNIVERSITI SAINS MALAYSIA Peperiksaan Semester Pertama Sidang Akademik Oktober
2004/2005
2004
ZCA 110/4 - KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Masa:
3
jam
Sila pastikan ba,hawa kertas peperiksaan ini mengandungi LAPAN muka surat yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini. Jawab kesemua ENAM soalan . Kesemuanya wajib dijawab dalam Bahasa Malaysia. Diberi bersama kertas soalan ini ialah A Brief Table of Integrals
(5
muka surat) .
1. (a) Tulis sistem persamaan linear berikut, _x l + x2 + 2x3
=
5
2x 1 - x2 + 5x3
=
3
2x 1 + 5x2 - 2x4
=
0
3x2 - x3 + x4
=
1.
dengan menggunakan nyataan matriks. Apakah matriks koefisien A sistem persamaan ini? Cari kofaktor
a3 4
clan
a34
bagi matriks A clan dengan menggunakan
keputusan ini cari determinan bagi matriks koefisien A.
275
[ZCA 110]
2 (b) Cari penyelesaian sistem ini dengan menggunakan kaedah Cramer. (16 Markah) 2.
Cari titik-titik dan persamaan-persamaan bagi tangen pada lengkung y = 2 .x3 3x2 - 12x + 20 di mana tangennya adalah;
(a) bersudut tepat dengan garis y = 1 24' (b) selari dengan garis y = vl'2- - 12x . (16 Markah) 3. (a) Nilaikan kamiran-kamiran berikut : W (iii)
f
2t" sect x dx
2
3 dt
f2 4 + 3t2
(b) Cari luas kawasan di antara graf, (16 Markah)
(ii) (iv) f (x) = 1 -
(ln(v + 1))2 dv f1 v+l 3
f
(t + 1)
dt
t2 + 2t - 8
4 , - 2 < x < 3, dan paksi-x.
4. Diberi terbitan pertama y'(x) = x4 - 2x2 , suatu fungsi (a)
y = f (x) .
Jika fungsi y(x) ini melalui pusat koordinat (0, 0), cari persamaan fungsi ini.
(b) Cari titik-titik minimum, maksimum, dan titik perubahan kecekungan fungsi ini. (c) Cari selang-selang di mana fungsi ini bertambah dan selang-selang di mana is berkurang. (d) Cari selang-selang di mana fungsi ini bercekung ke atas dan selang-selang di mana is bercekung ke bawah. (e) Lukis fungsi y(x) ini atas selang [-2, 2], di kertas graf yang dibekalkan. Tunjukkan titik-titik minimum, maksimum, dan titik perubahan kecekungannya atas
[ZCA 110]
3 graf ini. (16 Markah) 5. Nilaikan kamiran-kamiran berikut : (a)
(c) (e)
tan x dx tanx+secx
f dv 9 f 81 f x' sin x dx
(b)
(d)
v4
(f)
f f f
x3 + x2 dx x2 +x-2 z+1
z2 ( z2 +
4) dz
n3 dy.
(18 Markah) 6. (a) Bagi siri,
(x + 4)n n3n
cari (i) jejari siri dan (ii) selang menumpunya. Untuk nilai apa x siri itu menumpu (iii) mutlak dan (iv) menumpu bersyarat? (b) Cari perkembangan Siri Fourier bagi fungsi, f(x)=~
-1,
2,
-7r<x<0
0<x<-Jr.
(c) Cari perkembangan Siri Kosinus Fourier bagi fungsi, f (x) _ ~
(18 Markah)
0
1/2 < x <
1~2
[ZCA 110]
- 4
A Brief Table of Integrals J udu=crv - J v du
1. 3.
f
2. Ja"du= 4.
eosudu=sine+C
f (ax+b)"dY= (crx+ a(n + 1)
5.
7. fMax+b)'dx=
+C .
+C,
a.K+h CLV =2
+bJ
12 .
J
13. (a)
Jx
(b)
Jx
14 . 16 .
cr
cG = ?tan-' VT cr.Y - h dx
a.r+b
=
1
Vb as dr=x-
9. 11 .
dr
20 .
a d.V a.Y _ + b +-J x 2 x cr
2
i
cr
n T -2
a
c8 c
.Y
In (x + 1 +C
dY I a + V'a" + C' + C dY
de
I
IV
+
.Y
.Y
.Y -
Y
21 . Jticiv+.udr=~ Vu +.r'+ rte In (.r+V w +s - )+C a= + x= ) + C
.Y J f 1 xV C' +X71 1 Cr '.Y'
6.
Vax + b
cLr
.Y
(a - + 2.Y=)%ICI
cr + ~-d.Y=+x-- aln
a' + _Y'
ccY + h)"Tz + C, n+2
C 26 J .Y" cr_r + 6 crr + b dr , , x + tan - ' + C 17 . J (a + x = ? a (a 2a +a + + I In C 19. , a J («= - . = )= 2u -(u = - .r") 4a ;
di_ n-- )+C = sinh -1 - + C = In (x + ~+a
23,
1,)" (ti cr~r+ do = a (
15 .
+C
Y
8
J
1,CIn I u.r+bI +all+h]+C a'
x(ccr+b) - 'dx_
In ~ Vax+b-V1 ~ +C a.Y+I,+ b~
(IX
a- _ +r " , a = + x- dr = 22 . xJ
J
/cr.Y - b + C b
J J a2 +x2 = Icl tan- ' 'v + C dr 1 In .r + , = , .r - a I +C 2a J cr' - . J
f sinudu=-cosu+C
xV,tv + b
cLY u '
18.
«>0
nT-1,-2
8. fx(ax+b) -C dr= a - h,lnIax+b~+C w
+C
ar l,
c lnIccv+bj +C 6. J (ax +b) - 'dr= i
rr ; -1
(crx+b)"ax+b - h an+l n+2
dr = _I In I 10 . -b iax+hl f .r(ar+b)
a" +C. In a
2
a.
,
7.
J
V11
J x"
2
+
x'
.r =
2 2 x`) dr=ln(.r+Y,1a_1
Cr _ + Y'
- - V a- - -r" + C a ".Y
Y'ct - T .V 2 _r
C
[ZCA 110]
5 T-2 ~g .
A Brief Table of Integrals
f
dr- .t- = sin-' + C x a Va-
29.
.r - C1.1: = c$ sin- ' - g xti 30. ( x-V ci-r-Y2 dr=Va--x--aI n 31 . x 33 .
f f
f
1c
.r-
cfr =
sin-'
_
a-
_
38. 39 . 40 .
f f(
32 .
i +C
x
x- + C
.r
34 . 36.
.z cr ` a - - ~ inI .r+ x- a2 dr=~ r.r( x--a =)" dx =
f f x( xf .z f
clx _ (N/x2 _ _ a 2)11
f( n - 3 f
n 1+ 1
a2).r(V-
(n - 2)a 2 (2 _ 11)a2 ( (I - n+= )
+ C,
n + 2
, , z x41 .a-x- .r=-cr=CLV= 8(2X--a-) 42. 44. 45 .
-
f f
cr dx=
.r - -cr - -asec
_iI
2 I .z+
49 . 50 .
f f f( f
54 . 56 . 58 .
z
a
2a~ z - x' +
(x a) ( crx-y'-)" dr= r+ al
x
2.
2crr - x- dx =
f f f
f = f f --,1 x_
x
z-
-1
dx
n
2
n
= a sin-' x a) a \
x dx 2a sin ax dx = sin= ax dx
-a cos ax + C
= 2 - si~acu + C
+C
=cosh - '~+C=lnI x+
8 In I x+
l+C
x-- a -- ~+C 43.
f
46 .
f
2 sin-'
X2)n
a - x , -cLr=ln~x+ x-
x'-
x`-a-~-
z_
a
,+ C
= ~ad +C - a'-x
x aa +C ( )
f( n - 3 , f (n -
+ nrZ+ 1
2)a -
tax - x )n ' dx dx
x")n-2 -
+ sin 2 6 x-a 2awax-x', x-a + gas-xdx = -2v 53 . + a sin- ( a C dx = 2a x x-
x'
a x -x
1 I a+ -a In
-2
+C
(x - a)(V2ax - x-) -,, + dr _ ( (n - 2)a = tax - x-')" tax - x= d,c =
n+ C
, x
a-
dr=-sin
dx
n
dx = _ sec- ' _ aI+C=~rcos`Ia +C a I .r xx- - a"
_ x a +C 47 . f-- -sin-' a ~cu -x 2 \ l 48 .
n
,
x- - cr =) ,,-z dx,
x2 +C ~+ 2 1n ~ , dr=
r- -u -
sin- '
+C
'_
n')n + 1 cl
,_
z (a- - 2x') + C
(Ix =- a--x- +C 35 . ~ cr -.z x x-V u 37 .
f
a = - x' +
- dx =
tea-
f _ f dx 1 f f tax - x= + C
55 .
x
tax _ x
57 .
cos ax dx =
59.
cos' ax dx =
a
x
x
2a-x +C
sin ax + C
2
, - sin- ( a
+ si~Qax + C
+ C
[ZCA 110]
6
A Brief Table of Integrals
60. 62.
63 . 65 . 67 .
sin ax dz = -
sin " axa COs ax + n ~ 1
f (a)f sin ax cos bx dx =
cos (a - b)x C, 2(a - b) + sin (a - b)x sin (a + b)x (b) sin ax sin bx dx = C. f 2(a b) - 2(a + b) + sin (a + b)x sin (a - b)x (c) cos ax cos bx dz = 2( C, b) + 2(a + b) + f a-
f f
sin ax cos ax dz = -
Cos (a + b)x - 2( a + b)
70 .
f b + sin
n
rre x cos
ax
__
__ - I dx a 1 + sin ax a tan (4
f b+cdcos
ax
dx cos ax
f b+ c
=
a
-1
c
ctx -2 +C
66.
f cos" ax sin ax dz =
a z dz
sin"-1 ax + I )a + C. -
ri T -1
cos" + C, (n + 1)a
n ~ -I
a-\/c7 2 - b 2
In
l c+bCosax+ VP b + c cos ax
xrr
sin ax dx= - a
n
-1
+af x
Cos ax
f tan ax dx = In I sec ax I C f tan= ax dx = -aI tan ax - x + C
cos
-1
f
77. 79. ax dx
81 . 83 . 85 .
n#1
87 .
sec ax dx = 1 In sec ax + tan ccx + C
f sec 2 ax dx = a tan ax f sec" ax dx = SeC" -('ax
89 .
+C o ax + sec" -2 ax dz, 2-2f n
(reduces cosm ax)
m # -n
b2 < c'1 - dc sin ax
sinax + C,
+
ax f tan" ax dx = tan" - 1 ) - tan" - = ax dz, ta a(n f
(reduces sin"s ax)
-m
__ 1
ti
an
7r
+
ax
+C
62 > c-
Itanax+C dx a 2 f= I + Cos ax f x sin ax dx = 1 , sin ax - Cos ax + C a_ x
n
b= > c=
73 . ,
b-c tan-' tan "+C, 2 2~ ~Jb+c b'---c=
82 .
92.
f
tan (7T-ax)] + C, , tan-1 [ ~lb-c b+c
f
90.
sin" ax cos ax dx =
Qz
a(m + n)
80 .
88.
64.
In ~ c + b sin ax + c= -b '- cos az i + C, b + c sin ax
72 .
f
" ax COs'""
,2
a
dx = b + c sin ax a
86.
"
, a- T b-
n- I "-= sin ax cos m ax dz, + m+ nf sin" +1 ax COs"' - l ax in - I " m-2 CL,( ax dx = sin" ax cos dx, + m + ri f a(m + n)
71 . f
84.
f COS' 1
, a- T b-
cos tax + 4a C
sin sin"" a., cosm ax dz = -
f sin"
78 .
~ 1
a= 0 b'-
sin ax
69 .
76 .
f COs" ax dx = cos" -1 na~ sin ax + n
f FO_Sax dx=-ulnI cosax~+C f
75 .
61 .
cos axax 1 dz = - In ~ sin ax ~ + C sin ax a
68 .
74 .
f sin" -2 ax dx
91 . n# 1
b- < c`
=-Icotclx+C a 2 f 1-~ Cos ax f x Cos az & = ~, cos cix + x sin ax+ a_ xr "
n
f x' Cos ax dz= cr sinaz- a f x f cot ax dx = 1 In j sin ax j + C
C sinaxdv
f cot- ax dx = -1 cot ax - x C "-1 Cl_-( CLr. f cot" ax dz = -cot - x - Cot"-2 a(n f +
f csc ax dx = -a In I csc ax + cot ax f
CSC 2 ax dz = -a cot ax + C
+C
n# 1
T-~
[ZCA 110]
7
T-4
A Brief Table of Integrals
93.
f sec" ax f sec ax tan ax dx = na + C, sin - ' ax dx = x sin - ' ax + n f
94 . 96. 98.
CSC"
f
ax dx =
* 101.
n-2
»-1
f
CSC"
, ax dx,
11 -"r
n ,-s 0
95.
+C
97.
axdr=7r+I sin
ax-
f .r" f
102. f e"., dx =
f
77
e"' + C
en.r xe o.i dx = -2 (ax - I) + C (1
CLr =
x"ho.r
-
b -'r 1
,fir-1hue CLY,
11
" x"+'(In ax)"' _ _r (In ax)rrr dx = n + 1 nr+ i
111 . x- '(In (x)"' dx = ( I n7c+) I 113 .
a
a
77 2.y
s -r
0
+
C
n
r "
717 x (In crx) r"-I dr, + 1 .l
+ C,
-1
7n
f
n
'7 I
f sinh" -2 ar dx, f cosh" -- ax
dr,
-
cr
In b
f f tank"-'- ax dr, Goth"-2 ax dx, 128. f coth" ax dx = _ Goth" - ' ax + 1)a f 129 . f sech ax dx = 1 sin - ' (tanh ax) + C
u f x"
_ t7
-I
ea.r
,
COs
br) + C
f x lnxar = In I In ax j + C E
n sinh ax + C
cu r cosh,- ax dx = sinh 2 + 2 + C 4a
n #0
f x cosh ax dr = a sinh cu - 1,- cosh ax + C f x" cosh ax dx = a' sinh ax - a f x"- ' sinh ax dx
124 . f coth cud., = 1 In I sinh ax + C 126 . n
l
e o.r dx
f sin bx dl = a-' +b - (a sin 1)x - b f In ax dx=xInax- .r+C ea.r
b
n ~ 0
122 .
f tanh cu dx = a In (cosh ax) + C 125. f tanh= ax dr = x - a tanh cu + C
b > 0,
+ C,
I
120 .
123 .
(n -
12
116 .
I
_tank"-' "i ax + (n - 1)a
ar
114 . f cosh ax de =
118. f cosh" ax cLr = cosh'' - ' ~x sinh ax + n ,7 119 . f x sinh ax dx = a cosh ax - 1 sinh ax + C a a2 121. f x" sinh ax dx = '~ cosh ax - ~ f x" - ' cosh ax dx
tanh" cu dr =
107 .
112 .
f sinh ax dx = a cosh cur + C
sinh tax x C sinh` ax dx = 4a - + E 117 . sinh" ax dx = sinh" - ' ax cosh ax _
-1
109 .
115 .
127.
ar + C,
Cos- ' ax dx = .r cos - ' ax -
105 . f _r " env dx = a1 x " ea.r
"r
f
f
as cot ax & = - csc" 77a
103 . f 1)".r dx =
-
f f b > 0, 106 . f x"b°''r ct In h cr In b ell, , (aCoshr+hsinbx)+C 108 . f e" Cos1b.r,Lr= , (t - + b110 .
f csc
n-r
77+1f V I - a-x2' , xdr a cos- I ax d r = cos ' ccr + 17c+ 1 7r + I r rr+i -i a -' x" dx .r" tan ax cLr = l1 + I tan crr - 7: + 1 ~ .'~ I +
104.
1
In (1 + a=x= ) + C tan -' ax dx = x tan - ' ax - 1 2C1
99 . f x°sin 100.
- csc"-=a(nax- cot1) ax
f coth= ax dx = x - I coth ax + C
1
7101 130 . f csch ax dx = Q In j tanh 2 + C t
232
[ZCA 110]
8
A Brief Table of Integrals
131. 133.
sech = ax dx = a tanh ax + C
J
132.
sech'(~1 ax lt)nh ax + n - 2 f sech"-- ax dr. sech" ax dr =
J
csch"-- ax Goth ax - n - 2 (csch" -- ax dx. 134 . f csch" ax cLc = (r1-1)a n-1J 135. 137. 139.
se sech" ax tanh ax dv = -
J
1 cl ax _ C., 7
e"s e"-' _ e -b.u e".` sinh by d., = 2 C. [c1 + b a - b] + J L'
x" -1 e-.` dv = 1'(n) = (n - 1)! .
.. 141. fsin" .c dc = fcos" .V dv = 0
0
11
r0 , a- T b=
n >0 1 - 3 - 5 . . . (n - 1) 6 . 11
J
csch = &Y dx =
-1 Goth ax + C
n '- 1 Il
T 1
cs'hc` ax + C. 136. J csch" ax Goth ccv dr = e br 138. J e"` cosh b.r dr = T e'" [a + b 140.
J0
e -°.,- dv = 1
%r. if 17 is an even integer .. ? 2 2
w4 - 6wf11-1) 3 .5 .7 . . . 11 . it n is an odd integer ? 3
-
-a0 0 0 0 >0
e
-izu
C. a - b] +
11
T0 a= T b2
, Z -5
UNIVERSITI SAINS MALAYSIA Peperiksaan Semester Pertama Sidang Akademik 2004/2005 Oktober 2004
ZGT 161/3 - Geologi I Masa : 3 jam
Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi DUA muka surat yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini. Jawab EMPAT soalan sahaja. Kesemuanya wajib dijawab dalam Bahasa Malaysia.
2 1.
(a)
Jelaskan, dengan bantuan contoh clan lakaran yang sesuai, Prinsip Keseragaman, Hukum Superposisi clan Hukum Keselanjaran Asal. (30/100)
(b)
Bincangkan struktur dalaman bumi berdasarkan (i) (ii)
2.
3.
4.
5.
[ZGT 161]
komposisi kimia sifat-sifat fizikal .
(70/100)
(a)
Huraikan, dengan lakaran-lakaran yang sesuai, struktur atom bagi siklosilikat, inosilikat clan fiosilikat. Namakan suatu contoh mineral untuk setiap struktur. (70/100)
(b)
Perihalkan TIGA contoh struktur sedimen yang menunjukkan sama ada sesuatu turutan batuan sedimen terbalik atau ticlak. (30/100)
(a)
Bincangkan proses-proses fizikal clan kimia yang dialami oleh sedimen terendap sebelum is menjadi batuan sedimen . (70/100)
(b)
Jelaskan TIGA kriteria mineralogi utama yang menjadi dasar bagi pengkelasan batuan igneus. (30/100)
(a)
Apakah maksudnya metamorfisme? Bincangkan syarat-syarat yang diperlukan untuk proses ini. Perihalkan metamorfisme sentuh serta hasilhasilnya. (80/100)
(b)
Takrifkan fosil. pemfosilan.
Bincangkan keadaan yang diperlukan untuk proses (20/100)
(a)
Terangkan mekanisme perlipatan fleksur, perlipatan ricih clan perlipatan aliran. (30/100)
(b)
Bincangkan pemuaian lantai-laut serta bukti-bukti untuknya .
- 000 O 000 -
(70/100)
