Antiderivatif
Teorema Cauchy-Goursat
Integral Kompleks (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:
[email protected],
[email protected]
(Pertemuan Minggu XII)
Antiderivatif
Teorema Cauchy-Goursat
Outline
1
Antiderivatif
2
Teorema Cauchy-Goursat
Antiderivatif
Teorema Cauchy-Goursat
Antiderivatif
R Meskipun secara umum nilai C f (z)dz bergantung pada lintasan C, namun ada fungsi-fungsi tertentu dimana nilai integral fungsi tersebut pada C tidak bergantung pada C. Untuk membuktikan pernyataan tersebut diperlukan konsep antiderivatif.
Antiderivatif
Teorema Cauchy-Goursat
Antiderivatif Diberikan suatu domain D. Fungsi F disebut antiderivatif fungsi f pada D jika F 0 (z) = f (z) pada D. Mengingat derivatif merupakan syarat perlu keanalitikan suatu fungsi dan derivatif suatu fungsi tunggal adanya, maka diperoleh teorema berikut. Theorem Diketahui fungsi f kontinu pada suatu domain D. Jika salah satu pernyataan di bawah ini benar, maka yang lain juga benar. (i) f mempunyai antiderivatif pada D. (ii) Jika z1 , z2 ∈ D dan C sebarang lintasan di dalam D dari z1 R sampai z2 , maka nilai C f (z)dz tidak bergantung pada C. (iii) Jika C sebarang lintasan tertutup di dalam D, maka R C f (z)dz = 0.
Antiderivatif
Teorema Cauchy-Goursat
Antiderivatif
Example Karena f (z) = 3z 2 + 1 mempunyai antiderivatif F (z) = z 3 + z + K pada seluruh bidang datar, maka Z
1+i
f (z)dz = F (1 + i) − F (1) = −4 + 2i 1
apapun lintasan yang menghubungkan 1 dan 1 + i yang dipilih.
Antiderivatif
Teorema Cauchy-Goursat
Teorema cauchy-Goursat
Suatu teorema yang sangat penting dalam integral kompleks adalah Teorema Cauchy-Goursat, yang sesungguhnya merupakan hasil penyempurnaan Teorema Cauchy. Theorem (Cauchy) Jika f analitik dan f 0 kontinu di dalam dan pada suatu lintasan (kontur) tertutup sederhana C, maka Z f (z)dz = 0 C
Antiderivatif
Teorema Cauchy-Goursat
Teorema cauchy-Goursat
Goursat dapat menunjukkan bahwa syarat kekontinuan f 0 pada Teorema Cauchy ternyata dapat dihilangkan. Sehingga, oleh Goursat Teorema Cauchy dapat direvisi menjadi teorema berikut ini. Theorem (Cauchy-Goursat) Jika f analitik di dalam dan pada suatu lintasan (kontur) tertutup sederhana C, maka Z f (z)dz = 0 C
Antiderivatif
Teorema Cauchy-Goursat
Teorema cauchy-Goursat Suatu domain D dikatakan terhubung sederhana jika setiap kontur tertutup sederhana di dalam D hanya melingkupi titik-titik di dalam D. Sebagai contoh, jika C adalah kontur tertutup sederhana, maka D = C ∪ int(C) merupakan domain terhubung sederhana. Sedangkan cincin {z : r ≤ |z| ≤ R} bukan suatu domain terhubung sederhana. Selanjutnya, Teorema Cauchy-Goursat dapat diperluas menjadi teorema berikut. Theorem Jika f analitik di dalam suatu domain terhubung sederhana D, maka intC f (z)dz = 0 untuk setiap kontur tertutup C di dalam D.
Antiderivatif
Teorema Cauchy-Goursat
Teorema cauchy-Goursat
Sebagai akibat langsung dari Teorema 5 adalah pernyataan berikut. Corollary Jika f analitik di dalam domain terhubung sederhana D, maka f mempunyai antiderivatif pada D.
Antiderivatif
Teorema Cauchy-Goursat
Teorema cauchy-Goursat Selanjutnya, Teorema Cauchy-Goursat bisa diperluas menjadi sebagai berikut. Theorem Diketahui: (i) C lintasan tertutup sederhana, arah positif, (ii) Ck , k = 1, 2, . . . , n, lintasan tertutup sederhana, arah positif, berada di dalam interior C, dan interior masing-masing tidak memeiliki titik berserikat. Jika f analitik di dalam dan pada C, kecuali di interior masing-masing Ck , maka Z f (z)dz + C
n Z X k =1 Ck
f (z)dz = 0
Antiderivatif
Teorema Cauchy-Goursat
Contoh
Example Jika C adalah kontur berbentuk lingkaran |z| = 1, maka Z ez dz = 0 2 C z +4 karena f (z) =
ez z 2 +4
analitik di dalam dan pada C.
Antiderivatif
Teorema Cauchy-Goursat
Contoh
Example Jika C, C1 , dan C2 berturut-turut menyatakan lintasan berbentuk lingkaran |z| = 5, |z − 1| = 41 , dan |z| = 41 , maka Z Z Z z +1 z +1 z +1 dz = dz + dz 2 2 2 C z (z − 1) C1 z (z − 1) C2 z (z − 1) karena f (z) = z 2z+1 analitik di dalam dan pada C, kecuali di (z−1) interior C1 ∪ C2 .
