INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI A. Rumus-rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri Tipe 1: Tipe 3: 1.

y  sin x  y'  cos x

1. y  sin n x  y'  n sin n1 x cos x

2.

y  cos x  y'   sin x

2. y  cosn x  y'  n cosn1 x sin x

3.

y  tan x  y'  sec2 x

3. y  tan n x  y'  n tan n1 x sec2 x

4.

y  cot x  y'   csc2 x

4. y  cot n x  y'  n cot n1 x csc2 x

5.

y  sec x  y'  sec x tan x

5. y  secn x  y'  n secn x tan x

6.

y  csc x  y'   csc x cot x

6. y  cscn x  y'  n cscn x cot x

Tipe 2:

Tipe 4:

1.

y  sin u  y'  cos u  u'

1. y  sin n u  y'  n sin n1 u cos u  u'

2.

y  cos u  y'   sin u  u'

2. y  cosn u  y'  n cosn1 u sin u  u'

3.

y  tan u  y'  sec2 u  u'

3. y  tan n u  y'  n tan n1 u sec2 u  u'

4.

y  cot x  y'   csc2 x

4. y  cot n u  y'  n cot n1 u csc2 u  u'

5.

y  secu  y'  sec u tan u  u'

5. y  secn u  y'  n secn u tan u  u'

6.

y  cscu  y'   cscu cot u  u

6. y  cscn u  y'  n cscn u cot u  u'

B. Rumus-rumus Fungsi Trigonometri 1. Rumus Kebalikan 1. sin x 

1 csc x

2. cos x 

1 sec x

2. cot x 

cos x sin x

3. tan x 

1 cot x

2. Rumus Perbandingan 1. tan x 

sin x cos x

3. Identitas Pythagoras 1. sin 2 x  cos 2 x  1

2. 1  tan 2 x  sec 2 x

3. 1  cot 2 x  csc 2 x

4. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap 1 (1  cos 2 x) 2 1 4. cos2 x  (1  cos 2 x) 2

1. sin 2x  2 sin x cos x

3. sin 2 x 

2. cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  2 cos 2 x  1  1  2 sin 2 x

5. Rumus-rumus Sinus dan Kosinus 1. 2.

2 sin A cos B  sin( A  B)  sin( A  B) 2 cos A sin B  sin( A  B)  sin( A  B)

3. 2 cos A cos B  cos(A  B)  cos(A  B) 4. 2 sin A sin B   cos(A  B)  cos(A  B)

C. Rumus-rumus Dasar Integral Fungsi Trigonometri Tipe 1: 1.  sin xdx   cos x  C 3.  tan xdx  ln sec x  C 2.

 cos xdx  sin x  C

4.

 cot xdx  ln sin x  C

 sec xdx  ln sec x  tan x  C 6.  csc xdx  ln csc x  cot x  C 5.

SOAL-SOAL DAN SOLUSINYA 1. Buktikan bahwa

 tan xdx  ln sec x  C

1 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

Bukti:

sin x

 tan xdx   cos xdx

Misalnya t  cos x , maka dt   sin xdx , sehingga sin x  dt 1 1 tan xdx  dx    ln t  C  ln  C  ln  C  ln sec x  C cos x t t cos x







2. Buktikan bahwa

(qed)

 cot xdx  ln sin x  C

Bukti: Alternatif 1:

cos x

 cot xdx   sin x dx

Misalnya t  sin x , maka dt  cos xdx , sehingga cos x dt cot xdx  dx   ln t  C  ln sin x  C sin x t Alternatif 2: π Misalnya x   y , maka dx  dy , sehingga 2







(qed)

 tan xdx  ln sec x  C π



π



 tan 2  y (dy)  ln sec 2  y   C



 cot ydy  ln csc y  C

 cot ydy   ln csc y  C  cot ydy  ln csc y  C  cot ydy  ln sin y  C atau  cot xdx  ln sin x  C Buktikan bahwa  sec xdx  ln sec x  tan x  C 1

3.




(qed)



sec x  tan x sec 2 x  sec x tan x dx dx  sec x  tan x sec x  tan x Misalnya sec x  tan x  t , maka sec x tan x  sec2 x dx  dt , sehingga





sec xdx  sec x 





sec x  tan x

 sec xdx   sec x  sec x  tan x dx   Alternatif 2:

sec



2



x  sec x tan x dx dt   ln t  C  ln sec x  tan x  C (qed) sec x  tan x t







sec x  tan x sec2 x  sec x tan x dx dx  sec x  tan x sec x  tan x Misalnya sec x  tan x  t , maka sec x tan x  sec2 x dx  dt , sehingga













sec x  tan x dx  sec x  tan x

 

sec



2



x  sec x tan x dx dt   ln t  C  ln sec x  tan x  C (qed) sec x  tan x t



Alternatif 3:

1

cos xdx 2 x

 sec xdx   cos x dx   1  sin


Misalnya sin x  t , maka cos xdx  dt , sehingga 1 cos xdx dt sec xdx  dx   2 cos x 1  sin x 1 t2 1 Uraikan bentuk sebagai berikut. 1 t2 1 A B   2 1 t 1 t 1 t 1  A(1  t )  B(1  t ) 1  ( A  B)  ( A  B)t A  B  1 .... (1) A  B  0 .... (2) 1 Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh A  B  2 1 1 dt dt dt 1 1 1 cos xdx cos xdx 2 2      ln(1  t )  ln(1  t ) sec xdx  dx   2 2 2 1 t 1 t 2 2 cos x 1 t cos x 1  sin x 1 1 t 1  sin x 1  sin x 1  sin x  ln  ln 1  t  C  ln  C  ln  C  ln  C 1 t 1 t 1  sin x 1  sin x 1  sin x













 ln

1  sin x 2 1  sin x 2







 C  ln

1  sin x 2 2

cos x

Alternatif 4:



 C  ln





1  sin x  C  ln sec x  tan x  C cos x





(qed)



2dt 1 1 1 Misalnya t  tan 12 x , maka dt  sec2 12 xdx  1  tan 2 12 x dx  1  t 2 dx , akibatnya dx  . 2 2 2 1 t2 sec2 12 x 1  tan 2 12 x 1 1 1 1 t2 sec x       2 1 2 1 2 2 cos x 2 cos2 12 x  1  1 2  sec 2 x 2  1  tan 2 x 1  t 2 1 sec 2 x Dengan demikian, 1 t2 2dt 2dt sec xdx    2 2 1 t 1 t 1 t2 1 Uraikan bentuk sebagai berikut. 1 t2 1 A B   2 1  t 1 t 1 t 1  A(1  t )  B(1  t ) 1  ( A  B)  ( A  B)t A  B  1 .... (1) A  B  0 …. (2) 1 Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh A  B  2 1 1 dt dt dt 1 1 1 cos xdx 2 2      ln(1  t )  ln(1  t ) sec xdx  dx  2 2 1 t 1 t 2 2 cos x 1 t 1  sin x 1 1 t 1  sin x 1  sin x 1  sin x  ln  ln 1  t  C  ln  C  ln  C  ln  C 1 t 1 t 1  sin x 1  sin x 1  sin x




















 ln

1  sin x 2 1  sin x 2

4. Buktikan bahwa

1  sin x 2

 C  ln

2

cos x

 C  ln

1  sin x  C  ln sec x  tan x  C (qed) cos x

 csc xdx  ln csc x  cot x  C






csc x  cot x csc2 x  csc x cot x dx dx  csc x  cot x csc x  cot x Misalnya csc x  cot x  t , maka  csc x cot x  csc2 x dx  dt , akibatnya csc x cot x  csc2 x dx  dt , sehingga csc x  cot x csc2 x  csc x cot x dx csc xdx  csc x  dx  csc x  cot x csc x  cot x  dt 1    ln t  C  ln  C t t 1 1 sin x  ln  C  ln  C csc x  cot x csc x  cot x sin x sin x sin x 1  cos x  ln  C  ln  C 1  cos x 1  cos x 1  cos x sin x(1  cos x) sin x(1  cos x)  ln  C  ln C 2 1  cos x sin 2 x 1  cos x  ln  C  ln csc x  cot x  C (qed) sin x Alternatif 2: csc x  cot x csc2 x  csc x cot x dx csc xdx  csc x  dx  csc x  cot x csc x  cot x Misalnya csc x  cot x  t , maka  csc x cot x  csc2 x dx  dt .







csc xdx  csc x 































csc x  cot x



 csc xdx   csc x  csc x  cot x dx  

csc



2



x  csc x cot x dx dt   ln t  C  ln csc x  cot x  C (qed) csc x  cot x t



Alternatif 3:

1

sin xdx sin xdx  2 x 1  cos2 x Misalnya cos x  t , maka  sin xdx  dt , akibatnya sin xdx  dt sehingga 1 sin xdx dt csc xdx  dx   2 sin x 1  cos x 1 t 2 1 Uraikan bentuk sebagai berikut. 1 t2 1 A B   2 1 t 1 t 1 t 1  A(1  t )  B(1  t ) 1  ( A  B)  ( A  B)t A  B  1 .... (1) A  B  0 .... (2) 1 Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh A  B  2

 csc xdx   sin x dx   sin 












1 1 dt dt 1 dt 1 1 sin xdx 2 2       ln 1  t  ln 1  t  C dx  2 2 1 t 1 t 2 2 sin x 1 t 1  cos x 1 1 t 1  sin x 1  sin x 1  sin x  ln 1  t  ln  C  ln  C  ln  C  ln  C 1 t 1 t 1  sin x 1  sin x 1  sin x

csc xdx 







1  sin x 2

 ln

1  sin x 2

 C  ln



1  sin x 2 2

cos x

Alternatif 4:

 C  ln





1  sin x  C  ln sec x  tan x  C cos x





(qed)



2dt 1 1 1 Misalnya t  tan 12 x , maka dt  sec2 12 xdx  1  tan 2 12 x dx  1  t 2 dx , akibatnya dx  . 2 2 2 1 t2 sec2 12 x 1  t 2 1 1 1 csc x      sin x 2 sin 12 x cos 12 x 2 sin 12 x 2 tan 12 x 2t 2 1  cos 2 x 1 cos 2 x Dengan demikian,



csc xdx 



sin 2 12 x 1 t2 2dt dt 1 2 1  ln C    ln t  C  ln tan x  C  ln tan x  C 2 2t t 2 cos2 12 x 1 t2



 

 

 ln

1  1  2 sin2 12 x 1  cos x 1  cos x  C  ln   C  ln 2 1 1  2 cos 2 x  1 1  cos x 1  cos x

 ln

1  cos x (1  cos x) 2  C  ln csc x  cot x  C  C  ln 2 sin x sin x

(1  cos x) 2 C 1  cos 2 x

Alternatif 5:

π  y , maka dx  dy , sehingga 2

Misalnya x 

 sec xdx  ln sec x  tan x  C  sec π y(dy)  ln sec π y  tan   csc ydy  ln csc y  cot y  C 1 2

1 2

1 2

π y   C

1

sin y

1

 csc ydy   ln csc y  cot y  C  ln csc y  cot y  C  ln csc y  cot y  sin y  C  ln

 ln

sin y(1  cos y) sin y(1  cos y) sin y sin y 1  cos y  C  ln  C  ln  C  ln  C 2 2 1  cos y 1  cos y 1  cos y 1  cos y sin y

1  cos y  C  ln csc y  cot y  C atau ln csc x  cot x  C (qed) sin y

Tipe 2: 1

1.

 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C

2.

 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C

3.

 tan( ax  b)dx  a ln sec(ax  b)  C

1

1

1

4.

 cot(ax  b)dx  a ln sin(ax  b)  C

5.

 sec(ax  b)dx  a ln sec(ax  b)  tan( ax  b)  C

6.

 csc(ax  b)dx   a ln csc(ax  b)  cot(ax  b)  C

1

1


SOAL-SOAL DAN SOLUSINYA Tentukan setiap integral berikut ini.

1. 2.

 sin(2x  5)dx   8cos(6  4x)dx

3. 12 tan(3x  8)dx

5.  4sec(2  6x)dx

4.  5 cot(10x  7)dx

6.

3

 4 csc(12x  8)dx

Solusi: 1

1.

 sin(2x  5)dx   2 cos(2x  5)  C

2.

  8cos(6  4x)dx  8  4  sin(6  4x)  C  2sin(6  4x)  C

3.

12 tan(3x  8)dx  3 ln sec(3x  8  C

4.

 5cot(10x  7)dx  5  10 ln (10x  7)  C  2 ln (10x  7)  C

5.

 48sec(2  6x)dx  48  6  ln sec(2  6x)  tansec(2  6x)  C  8ln sec(2  6x)  tansec(2  6x)  C

6.

 4 csc(12x  8)dx  4   12  ln csc(12x  8)  cot(12x  8)  C   16 ln csc(12x  8)  cot(12x  8)  C

 1

1

1

1

 1

3

3

1

1

Tipe 3: 1.

 sin ax cosbxdx  2  sin(a  b) x  sin(a  b) xdx

3. cos ax cosbxdx 

2.

 cosaxsin bxdx  2  sin(a  b) x  sin(a  b) xdx

4. sin ax sin bxdx 

1

1





1 cos(a  b) x  cos(a  b) xdx 2



1  cos(a  b) x  cos(a  b) xdx 2



SOAL-SOAL DAN SOLUSINYA Tentukan setiap integral berikut ini. 1.

 8sin 5x cos2xdx



2. cos 4x sin 2 xdx



3. 3cos7 x cos5xdx

4.

2

 5 sin 6x sin 4 xdx

Solusi: 1.

 8sin 5x cos2xdx  2  8sin5x  2x  sin5x  2xdx  4 sin 7x  sin 3xdx   7 cos7 x  3 cos3x  C

2.

 cos 4x sin 2xdx  2  sin4x  2x  sin4x  2xdx  2  sin 6 x  sin 2 xdx   12 cos6x  4 cos2x  C

3.

 3cos7 x cos3xdx  2  3cos7 x  3x  cos7 x  3xdx  2  cos10x  cos4 xdx  20 sin10x  8 sin 4x  C

4.

 5 sin 6x sin 4xdx  2  5  cos6x  4x  cos6x  4xdx  5   cos10x  cos2xdx

1

1



4

1

1

1

2

4

3

1 2

1

3

3

1

1 1 sin 7 x  sin 2 x  C 50 10

Tipe 4: 1 sin n1 x  C n 1 1 cosn x sin xdx   cosn 1 x  C n 1

1.

 sin

2.



n

x cos xdx 



4. cotn x csc2 xdx  

1 cotn 1 x  C n 1

1 5. secn x tan xdx  secn x  C n




 tan

3.

n

x sec2 xdx 

1 tan n1 x  C n 1

6.

 csc

n

x cot xdx  

1 cscn1 x  C n

SOAL-SOAL DAN SOLUSINYA Tentukan hasil dari setiap integral berikut ini.

1. 2.

 sin xcos xdx 12cos xsin xdx

3.  tan4 x sec2 xdx

2

3

4.

 cot

2

5. 12sec5 x tan xdx 6.  csc7 xcot xdx

x csc2 xdx

Solusi:

1 1 sin 2 1 x  C  sin3 x  C 2 1 3 1 3 3 cos31 x  C  3 cos4 x  C 12cos x sin xdx  12 cos xd cos x  12  3 1 1 1 tan 41 x  C  tan 5 x  C tan4 x sec2 xdx  tan4 xd tan x  4 1 5 1 1 cot21 x  C   cot3 x  C cot2 x csc2 xdx   cot2 xd cot x   2 1 3 1 sec41 x  C  24sec5 x  C 120sec5 x tan xdx  120sec4 xd sec x  120  4 1 1 1 csc61 x  C   csc7 x  C csc7 x cot xdx   csc6 xd csc x   6 1 7

1.

 sin

2.



3.



4.



5.



6.



2



x cos xdx  sin 2 xd sin x 











Tipe 5: 1.  sin n xdx 2.

 cos

n

 tan xdx 4.  cot xdx

 6.  csc

n

3.

5. secn xdx

n

xdx

n

xdx

SOAL-SOAL DAN SOLUSINYA 1 n 1 1. Jika I n  sin n xdx , buktikan bahwa I n  sin n xdx   sin n1 x cos x  I n2C . n n Bukti:



   sin





I n  sin n xdx dan I n2  sin n2 xdx

In

n1

x sin xdx

Misalnya u  sin n 1 x  du  (n  1) sin n2 x cos xdx dan dv  sin xdx  v   cos x , sehingga:





I n  sin n1 x sin xdx  sin n1 x( cos x)  ( cos x)(n  1) sin n2 x cos xdx  C

 x cos x  (n  1) sin x cos x  (n  1) sin

  sin n1 x cos x  (n  1) sin n2 x cos2 xdx  C

  sin n1   sin n1   sin I n  (n  1)I n   sin

n1

n1

n2

x(1  sin 2 x)dx  C

n 2

xdx  (n  1) sin n xdx  C



x cos x  (n  1)I n2  (n  1)I n  C

x cos x  (n  1)I n2  C


nI n   sin n1 x cos x  (n  1)I n2  C 1 n 1 I n  sin n xdx   sin n1 x cos x  I n2C n n 2. Selesaikanlah a. sin 2 xdx c. sin 6 xdx



b.

  sin

4

 d.  sin

xdx

8

(qed)

 sin f.  sin

e.

xdx

10

xdx

12

xdx

Solusi: a. Alternatif 1: 1 1 sin 2 x   cos 2 x 2 2 Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut. 2 C1 C 1 1 sin 2 x  a  b cos 2 x  221  2 210 cos x   cos 2 x 2 2 2 2 1 1  cos 2 x dx  1 dx  1 cos 2 xdx  1 x  1 sin 2 x  C sin 2 xdx  2 2 2 2 4 Alternatif 2: 1 n 1 I n  sin n xdx   sin n1 x cos x  I n2C n n 1 2 1 I 2  sin 2 xdx   sin 21 x cos x  I 2 2  C 2 2 1 1   sin x cos x  I 0  C 2 2 1 1   sin x cos x  sin 0 xdx  C 2 2 1 1   sin x cos x  dx  C 2 2 1 1   sin x cos x  x  C 2 2 b. Alternatif 1: 2 1 1 1 1 1 11 1 1 1   4 2 2 sin x  (sin x)    cos 2 x    cos 2 x  cos2 2 x   cos 2 x    cos 4 x  4 2 4 4 2 4 2 2 2 2   1 1 1 1 3 1 1   cos 2 x   cos 4 x   cos 2 x  cos 4 x 8 2 8 4 2 8 8

















Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut. 4 C2

2  4 C1 cos 2 x  4 C0 cos 4 x  3  1 cos 2 x  1 cos 4 x 8 2 8 2 2 41 2 41 1 3 1 1 3 1  sin 4 xdx    cos 2 x  cos 4 x dx  dx  cos 2 xdx  cos 4 xdx 8 2 8 8 8 2  3 1 1  x  sin 2 x  sin 4 x  C 8 4 32 Alternatif 2: sin 4 x  a  b cos 2 x  c cos 4 x 





41








1 n 1 I n  sin n xdx   sin n1 x cos x  I n2C n n 1 4 1 I 4  sin 4 xdx   sin 41 x cos x  I 4 2  C 4 4 1 3   sin 3 x cos x  I 2  C 4 4 1 3 3   sin x cos x  sin 2 xdx  C 4 4 1 3 3 1 1    sin x cos x    sin x cos x  x   C 4 4 2 2  1 3 3   sin 3 x cos x  sin x cos x  x  C 4 8 8 c. Alternatif 1: 3 3 1 1 1  1 3 sin 6 x  (sin 2 x) 3    cos 2 x    cos 2 x  cos2 2 x  cos3 2 x 8 8 2 2  8 8







1 3 31 1  11 1    cos 2 x    cos 4 x     cos 4 x  cos 2 x 8 8 82 2  82 2  1 3 3 3 1 1   cos 2 x   cos 4 x  cos 2 x  cos 4 x cos 2 x 8 8 16 16 16 16 5 7 3 1 1   cos 2 x  cos 4 x    2 cos 4 x cos 2 x 16 16 16 16 2 5 7 3 1   cos 2 x  cos 4 x  (cos 6 x  cos 2 x) 16 16 16 32 5 7 3 1 1   cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  cos 2 x 16 16 16 32 32 5 15 3 1   cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x 16 32 16 32 Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut. sin 6 x  a  b cos 2 x  c cos 4 x  d cos 6 x 6 C3 C C C  621  6 612 cos 2 x  6 611 cos 4 x  6 610 cos6x 2 2 2 2 5 15 3 1   cos 2 x  cos 4 x  cos6x 16 32 16 32 3 1 5 15 3 1  5 15  dx  cos 2 xdx  cos 4 xdx  cos 6 xdx   cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x dx  16 32 16 32 16 32  16 32  5 15 3 1  x  sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x  C 16 64 64 192 Alternatif 2: 1 n 1 I n  sin n xdx   sin n1 x cos x  I n2C n n 1 6 1 I 6  sin 6 xdx   sin 61 x cos x  I 62C 6 6 1 5   sin 5 x cos x  I 4C 6 6
















1 5   sin 5 x cos x  sin 4 xdx  C 6 6 1 5 1 3 3    sin 5 x cos x    sin 3 x cos x  sin x cos x  x   C 6 6 4 8 8  1 5 15 5   sin 5 x cos x  sin 3 x cos x  sin x cos x  x  C 6 24 48 16



d. Alternatif 1: 4

1 1  sin 8 x  (sin 2 x) 4    cos 2 x  2 2  1 1 3 1 1   cos 2 x  cos2 2 x  cos3 2 x  cos4 2 x 16 4 8 4 16 2 1 1 1 1 1 31 1   11 1    cos 2 x    cos 4 x     cos 4 x  cos 2 x    cos 4 x  16  2 2 16 4 82 2   42 2  1 1 1 1 1 1 3 3 1 1     cos 2 x   cos 4 x  cos 2 x  cos 4 x cos 2 x    cos 4 x  cos2 4 x  16 4 16 16 8 8 16  4 2 4  1 3 3 1 1 1 1 1   cos 2 x  cos 4 x    2 cos 4 x cos 2 x   cos 4 x  cos 2 4 x 4 8 16 8 2 64 32 64 17 3 7 1 1 1 1    cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  cos 2 x     cos 8x  64 8 32 16 64  2 2  17 3 7 1 1 1 1   cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  cos 2 x   cos 8 x 64 8 32 16 16 128 128 35 7 7 1 1   cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  cos 8 x 128 16 32 16 128

Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut. sin 8 x  a  b cos 2 x  c cos 4 x  d cos 6 x  e cos 8 x 8 C4 C C C C  821  8 813 cos 2 x  8 812 cos 4 x  8 811 cos6x  8 810 cos8x 2 2 2 2 2 35 7 7 1 1   cos 2 x  cos 4 x  cos6x  cos8x 128 16 32 16 128 7 1 1  35 7  sin 8 xdx    cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  cos 8x dx 32 16 128  128 16  35 7 7 1 1  dx  cos 2 xdx  cos 4 xdx  cos 6 xdx  cos 8 xdx 128 16 32 16 128 35 7 7 1 1  x  sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x  sin 8x  C 128 32 128 96 1024 Alternatif 2: 1 n 1 I n  sin n xdx   sin n1 x cos x  I n2C n n 1 8 1 I 8  sin 8 xdx   sin 81 x cos x  I 82C 8 8 1 7   sin 7 x cos x  I 6C 8 8




















1 7   sin 7 x cos x  sin 6 xdx  C 8 8 1 7 1 5 15 5    sin 7 x cos x    sin 5 x cos x  sin 3 x cos x  sin x cos x  x   C 8 8 6 24 48 16  1 7 35 105 35   sin 7 x cos x  sin 5 x cos x  sin 3 x cos x  sin x cos x  xC 8 48 192 384 128 e. Alternatif 1: 5 5 1 1  sin10 x  sin 2 x    cos 2 x  2 2  1 5 10 10 5 1   cos 2 x  cos2 2 x  cos3 2 x  cos4 2 x  cos5 2 x 32 32 32 32 32 32 2 1 5 10  1 1 5 1 1  10  1 1     cos 2 x    cos 4 x     cos 4 x  cos 2 x    cos 4 x   32 32 32  2 2 32  2 2  32  2 2  







2

1 1 1    cos 4 x  cos 2 x 32  2 2  1 5 10 10 10 10 5 1 1 1    cos 2 x   cos 4 x  cos 2 x  cos 4 x cos 2 x    cos 4 x  cos2 4 x   32 32 64 64 64 64 32  4 2 4  1 1 1 1    cos 4 x  cos2 4 x  cos 2 x 32  4 2 4  12 20 10 10 5 5 5 1   cos 2 x  cos 4 x  cos 4 x cos 2 x   cos 4 x  cos2 4 x  cos 2 x  64 64 64 64 128 64 128 128 1 1 cos 4 x cos 2 x  cos2 4 x cos 2 x 64 128 29 41 15 11 5 1   cos 2 x  cos 4 x  cos 4 x cos 2 x  cos2 4 x  cos2 4 x cos 2 x 128 128 64 64 128 128 29 41 15 11 5 1 1    cos 2 x  cos 4 x  (cos 6 x  cos 2 x)    cos 8x   128 128 64 128 128  2 2  1 1 1    cos 8x  cos 2 x 128  2 2  29 41 15 11 11 5 5 1   cos 2 x  cos 4 x  cos6 x  cos 2 x   cos8x  cos 2 x  128 128 64 128 128 256 256 256 1 cos8x cos 2 x 256 63 105 15 11 5 1 cos10x  cos6 x    cos 2 x  cos 4 x  cos6 x  cos8x  256 256 64 128 256 512 63 105 15 11 5 1 1   cos 2 x  cos 4 x  cos6 x  cos8x  cos10x  cos6 x 256 256 64 128 256 512 512 63 105 15 45 5 1   cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  cos 8 x  cos10x 256 256 64 512 256 512

Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut. sin 10 x  a  b cos 2x  c cos 4x  d cos 6x  e cos8x  f cos10x


10 C 5

2







10 C 4 101

cos 2 x 

10 C3 101

cos 4 x 

10 C 2 101

cos6x 

10 C1 101

cos8x 

10 C 0 101

cos10x 2 2 2 2 2 2 126 210 120 45 10 1   cos 2 x  cos 4 x  cos6x  cos8x  cos10x 512 512 512 512 512 512 63 105 15 45 5 1   cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  cos 8 x  cos10x 256 256 64 512 256 512 63 105 15 45 5 1 sin10 xdx  dx  cos 2 xdx  cos 4 xdx  cos 6 xdx  cos 8 xdx  cos10xdx 256 256 64 512 256 512 101















63 105 15 15 1 1 x sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x  sin 8 x  sin 10x  C 256 512 256 1024 2048 5120

Alternatif 2:

1 n 1 I n  sin n xdx   sin n1 x cos x  I n2C n n 1 10  1 I 10  sin10 xdx   sin101 x cos x  I 102C 10 10 1 9   sin 9 x cos x  I 8C 10 10 1 9 9   sin x cos x  sin 8 xdx  C 10 10 9 1 7 7 1 5   sin 9 x cos x    sin x cos x  sin x cos x  10 10  8 48 35 105 35  sin 3 x cos x  sin x cos x  x  C 192 384 128  1 9 21   sin 9 x cos x  sin 7 x cos x  sin 5 x cos x  10 80 160 21 63 63 sin 3 x cos x  sin 2 x  xC 128 256 256 f. Alternatif 1: 6 6 1 1  sin12 x  sin 2 x    cos 2 x  2 2  1 6 15 20 15 6 1   cos 2 x  cos2 2 x  cos3 2 x  cos4 2 x  cos5 2 x  cos6 2 x 64 64 64 64 64 64 64 2 1 6 15  1 1 15  1 1  20  1 1     cos 2 x    cos 4 x     cos 4 x  cos 2 x    cos 4 x   64 64 64  2 2 64  2 2  64  2 2  











2

3

6 1 1 1 1 1     cos 4 x  cos 2 x    cos 4 x  64  2 2 64  2 2   1 6 15 15 20 20 15  1 1 1    cos 2 x   cos 4 x  cos 2 x  cos 4 x cos 2 x    cos 4 x  cos2 4 x   64 64 128 128 128 128 64  4 2 4  6 1 1 1 2  1 1 3 3 2 1 3    cos 4 x  cos 4 x  cos 2 x    cos 4 x  cos 4 x  cos 4 x  64  4 2 4 64  8 8 8 8   17 32 15 20 15 15 15 6   cos 2 x  cos 4 x  cos 4 x cos 2 x   cos 4 x  cos2 4 x  cos 2 x  128 128 128 128 256 128 256 256 12 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

6 6 1 3 3 1 cos 4 x cos 2 x  cos2 4 x cos 2 x   cos 4 x  cos2 4 x  cos3 4 x 128 256 512 512 512 512 99 70 123 26 33 6   cos 2 x  cos 4 x  cos 4 x cos 2 x  cos2 4 x  cos2 4 x cos 2 x  512 256 512 128 512 256 1 cos3 4 x 512 99 70 123 26 cos6 x  cos 2 x  33  1  1 cos8x     cos 2 x  cos 4 x  512 256 512 256 512  2 2  6 1 1 1 1 1     cos8x  cos 2 x    cos8x  cos 4 x 256  2 2 512  2 2   99 70 123 26 26 33 33 6   cos 2 x  cos 4 x  cos6 x  cos 2 x   cos8x  cos 2 x  512 256 512 256 256 1024 1024 512 6 1 1 cos8x cos 2 x  cos 4 x  cos8 x cos 4 x 1024 512 1024 231 198 247 26 33 6   cos 2 x  cos 4 x  cos6 x  cos8x  (cos10x  cos6 x)  1024 512 1024 256 1024 1024 1 (cos12x  cos 4 x) 2048 231 198 247 26 33 6 6   cos 2 x  cos 4 x  cos6 x  cos8x  cos10x  cos6 x  1024 512 1024 256 1024 1024 1024 1 1 cos12x  cos 4 x 2048 2048 231 198 495 110 33 6 1   cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  cos 8 x  cos10x  cos12x 1024 512 2048 1024 1024 1024 2048 231 99 495 55 33 3 1   cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  cos 8 x  cos10x  cos12x 1024 256 2048 512 1024 512 2048

Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut. sin 12 x  a  b cos 2x  c cos 4x  d cos 6x  e cos8x  f cos10x  g cos12x 12 C 6 C C C C C C  1221  121215 cos 2 x  121214 cos 4 x  121213 cos6x  121212 cos8x  121211 cos10x  121201 cos12x 2 2 2 2 2 2 2 462 792 495 220 66 12 1   cos 2 x  cos 4 x  cos6x  cos8x  cos10x  cos12x 2048 2048 2048 2048 2048 2048 2048 231 99 495 55 33 3 1   cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  cos 8 x  cos10x  cos12x 1024 256 2048 512 1024 512 2048 231 99 495 55 33 sin12 xdx  dx  cos 2 xdx  cos 4 xdx  cos6 xdx  cos8xdx  1024 256 2048 512 1024 3 1 cos10xdx  cos12xdx 512 2048 231 99 495 55 33 3  x sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x  sin 8x  sin10x  1024 512 8192 3072 8192 5120 1 sin12x  C 24576 Alternatif 2:


















1 n 1 I n  sin n xdx   sin n1 x cos x  I n2C n n 1 12  1 I 12  sin12 xdx   sin121 x cos x  I 122C 12 12 1 11   sin11 x cos x  I 10C 12 12 1 11 11   sin x cos x  sin10 xdx  C 12 12 1 11 11  1 9 21 5   sin x cos x    sin 9 x cos x  sin 7 x cos x  sin x cos x  12 12  10 80 160 21 3 63 63  sin x cos x  sin x cos x  x  C 128 256 256  1 11 33 77 77   sin11 x cos x  sin9 x cos x  sin7 x cos x  sin5 x cos x  sin3 x cos x  12 120 320 640 512 231 231 sin 2 x  xC 1024 1024 3. Selesaikanlah







a. b.

 sin xdx  sin xdx

 sin d.  sin

c.

3

5

xdx

7

xdx

 sin f.  sin

e.

9 11

xdx xdx

Solusi: a.

 sin xdx   cos x  C Alternatif 1:





1 xdx  sin 2 x sin xdx  1  cos2 x sin xdx  sin xdx  cos2 x sin xdx   cos x  cos3 x  C 3 Alternatif 2: 1 1 1 3 3 3  sin xdx   1 cos x  3 cos x  C   cos x  3 cos x  C Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang nilainya sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial. Alternatif 3: 1 n 1 I n   sin n xdx   sin n1 x cos x  I n2C n n 1 3 1 I 3   sin 3 xdx   sin 31 x cos x  I 32C 3 3 1 2   sin 2 x cos x  I 1C 3 3 1 2 2   sin x cos x   sin x  C 3 3 1 2 2   sin x cos x  cos x  C 3 3 b. Alternatif 1:

 sin

 sin

3

5







       sin x  2 cos x sin x  cos x sin xdx   sin xdx  2 cos x sin xdx   cos 2

xdx  sin 4 x sin xdx  1  cos2 x sin xdx  1  2 cos2 x  cos4 x sin xdx 2

4

2

4

x sin xdx


  cos x 

2 1 cos3 x  cos5 x  C 3 5

Alternatif 2:

 sin

1 2 1 2 1 xdx   cos x  cos3 x  cos5 x  C   cos x  cos3 x  cos5 x  C 1 3 5 3 5 Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang

5

nilainya sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial. Alternatif 3:

1 n 1 I n  sin n xdx   sin n1 x cos x  I n2C n n



1 5 1 I 5  sin 5 xdx   sin 51 x cos x  I 52C 5 5



1 4   sin 4 x cos x  I 3  C 5 5 1 4   sin 4 x cos x  sin 3 xdx  C 5 5



1 4 1 2    sin 4 x cos x    sin 2 x cos x  cos x   C 5 5 3 3  1 4 8   sin 4 x cos x  sin 2 x cos x  cos x  C 5 15 15 c. Alternatif 1:

 sin

7







3

xdx  sin 6 x sin xdx  1  cos2 x sin xdx

   sin x  3 cos



 1  3 cos2 x  3 cos4 x  cos6 x sin xdx





2



x sin x  3 cos4 x sin x  cos6 x sin x dx





 sin xdx  3 cos2 x sin xdx  3 cos4 x sin xdx  cos6 x sin xdx 3 3 1   cos x  cos3 x  cos5 x  cos7 x  C 3 5 7

3 1   cos x  cos3 x  cos5 x  cos7 x  C 5 7 Alternatif 2:

 sin

7

1 3 3 1 xdx   cos x  cos3 x  cos5 x  cos7 x  C 1 3 5 7 3 1   cos x  cos3 x  cos5 x  cos7 x  C 5 7


Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang nilainya sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial. Alternatif 3:







1 6   sin 6 x cos x  I 5C 7 7 1 6   sin 6 x cos x  sin 5 xdx  C 7 7



1 6 1 4 8    sin 6 x cos x    sin 4 x cos x  sin 2 x cos x  cos x   C 7 7 5 15 15  1 6 8 16   sin 6 x cos x  sin 4 x cos x  sin 2 x cos x  cos x  C 7 35 35 35 d. Alternatif 1:

 sin

9







4

xdx  sin 8 x sin xdx  1  cos2 x sin xdx

   sin x  4 cos



 1  4 cos2 x  6 cos4 x  4 cos6 x  cos8 x sin xdx





2



x sin x  6 cos4 x sin x  4 cos6 x sin x  cos8 x sin x dx







 sin xdx  4 cos2 x sin xdx  6 cos4 x sin xdx  4 cos6 x sin xdx  cos8 x sin xdx   cos x 

4 6 4 1 cos3 x  cos5 x  cos7 x  cos9 x  C 3 5 7 9

Alternatif 2:

 sin

9

1 4 6 4 1 xdx   cos x  cos3 x  cos5 x  cos7 x  cos9 x  C 1 3 5 7 9

  cos x 

4 6 4 1 cos3 x  cos5 x  cos7 x  cos9 x  C 3 5 7 9









1 8   sin 8 x cos x  I 7C 9 9 1 8   sin 8 x cos x  sin 7 xdx  C 9 9



1 8 1 6 8 16    sin 8 x cos x    sin 6 x cos x  sin 4 x cos x  sin 2 x cos x  cos x   C 9 9 7 35 35 35  1 8 16 64 128   sin8 x cos x  sin6 x cos x  sin4 x cos x  sin2 x cos x  cos x  C 9 63 105 315 315 e. Alternatif 1:

 sin

11







5

xdx  sin10 x sin xdx  1  cos2 x sin xdx

   sin x  5cos



 1  5 cos2 x  10 cos4 x  10 cos6 x  5 cos8 x  cos10 x sin xdx 2





x sin x  10cos4 x sin x  10cos6 x sin x  5cos8 x sin x cos10 x sin x dx









 sin xdx  5 cos2 x sin xdx  10 cos4 x sin xdx  10 cos6 x sin xdx  5 cos8 x sin xdx 

 cos

10

xsin xdx

5 10 10 5 1   cos x  cos3 x  cos5 x  cos7 x  cos9 x  cos10 x  C 3 5 7 9 11

5 10 5 1   cos x  cos3 x  2 cos5 x  cos7 x  cos9 x  cos10 x  C 3 7 9 11 Alternatif 2:

 sin

11

1 5 10 10 5 1 xdx   cos x  cos3 x  cos5 x  cos7 x  cos9 x  cos10 x  C 1 3 5 7 9 11 5 10 5 1   cos x  cos3 x  2 cos5 x  cos7 x  cos9 x  cos10 x  C 3 7 9 11







I 11  sin11 xdx  

1 11  1 sin111 x cos x  I 112C 11 11




1 10 sin10 x cos x  I 9C 11 11



1 10 sin10 x cos x  sin 9 xdx  C 11 11



1 10 10  1 8 16 64 sin x cos x    sin 8 x cos x  sin 6 x cos x  sin 4 x cos x  sin 2 x cos x  11 11  9 63 105 315



128  cos x   C 315  

1 10 10 80 32 128 2 256 sin x cos x  sin8 x cos x  sin6 x cos x  sin4 x cos x  sin x cos x  cos x  C 11 99 693 231 693 693





4. Jika I n  cosn xdx , buktikan bahwa I n  cosn xdx 

1 n 1 cosn1 x sin x  I n2C . n n

Bukti:





I n  cosn xdx dan I n2  cosn2 xdx



I n  cosn1 x cos xdx Misalnya u  cosn 1 x  du  (n  1) cosn2 x( sin x)dx dan dv  cos xdx  v  sin x , sehingga:





I n  cosn1 x cos xdx  cosn1 x sin x  sin x(n  1) cosn2 x( sin x)dx  C



 cosn1 x sin x  (n  1) cosn2 x sin 2 xdx  C



 cosn1 x sin x  (n  1) cosn2 x(1  cos2 x)dx  C





 cosn1 x sin x  (n  1) cosn2 xdx  (n  1) cosn xdx  C

 cosn1 x sin x  (n  1) I n2  (n  1)I n  C I n  (n  1)I n  cosn1 x sin x  (n  1)I n2  C nI n  cosn1 x sin x  (n  1)I n2  C



I n  cosn xdx 

1 n 1 cosn1 x sin x  I n2C n n

(qed)

5. Selesaikanlah a.

 cos

b.

 cos

2

xdx

c.

 cos

4

xdx

d.

 cos

6

8

xdx

e.

 cos

10

xdx

xdx

f.

 cos

12

xdx

Solusi: a. Alternatif 1: 18 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

cos2 x 

1 1  cos 2 x 2 2


C 1 1 cos2 x  a  b cos 2 x  221  2 210 cos x   cos 2 x 2 2 2 2

 cos

xdx 

2

 2 1  cos 2xdx  2  dx  2  cos 2xdx  2 x  4 sin 2x  C 1

1

1

1

1

Alternatif 2:





1 2 1 I 2  cos2 xdx  cos21 x sin x  I 2 2  C 2 2



1 1  cos x sin x  I 0  C 2 2

1 1  cos x sin x  cos0 xdx  C 2 2



1 1  cos x sin x  dx  C 2 2



1 1  cos x sin x  x  C 2 2 b. Alternatif 1: 2

1 1 1 1 1  cos x  (cos x)    cos 2 x    cos 2 x  cos2 2 x 4 2 4 2 2  4

2

2



1 1 11 1 1 1  1 1  cos 2 x    cos 4 x    cos 2 x   cos 4 x 4 2 42 2 4 2 8 8 



3 1 1  cos 2 x  cos 4 x 8 2 8


cos4 x  a  b cos 2 x  c cos 4 x 

 cos

4

2  4 C1 cos 2 x  4 C0 cos 4 x  3  1 cos 2 x  1 cos 4 x 8 2 8 2 2 41 2 41 41

3 1 1 1 3 1  dx  cos 2 xdx  cos 4 xdx xdx    cos 2 x  cos 4 x dx  8 2 8 8 8 2 









3 1 1  x  sin 2 x  sin 4 x  C 8 4 32 Alternatif 2: 19 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014





1 4 1 I 4  cos4 xdx  cos41 x sin x  I 4 2  C 4 4



1 3  cos3 x sin x  I 2  C 4 4 1 3  cos3 x sin x  cos2 xdx  C 4 4



1 31 1   cos3 x sin x   cos x sin x  x   C 4 42 2  1 3 3  cos3 x sin x  cos x sin x  x  C 4 8 8 c. Alternatif 1: 3

3 1 1 1  1 3 cos x  (cos x)    cos 2 x    cos 2 x  cos2 2 x  cos3 2 x 8 8 2 2  8 8 6

2

 

3

1 3 31 1  11 1   cos 2 x    cos 4 x     cos 4 x  cos 2 x 8 8 82 2 8 2 2   

1 3 3 3 1 1  cos 2 x   cos 4 x  cos 2 x  cos 4 x cos 2 x 8 8 16 16 16 16



5 7 3 1 1  cos 2 x  cos 4 x    2 cos 4 x cos 2 x 16 16 16 16 2



5 7 3 1  cos 2 x  cos 4 x  (cos 6 x  cos 2 x) 16 16 16 32



5 7 3 1 1  cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  cos 2 x 16 16 16 32 32



5 15 3 1  cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x 16 32 16 32

Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut. cos6 x  a  b cos 2 x  c cos 4 x  d cos 6 x 6 C3

C C C 5 15 3 1  621  6 621 cos 2 x  6 6 11 cos 4 x  6 6 01 cos6x   cos 2 x  cos 4 x  cos6x 16 32 16 32 2 2 2 2

5

15

3

1



5

15

3

1

  16  32 cos 2x  16 cos 4x  32 cos 6x dx  16  dx  32  cos 2xdx  16  cos 4xdx  32  cos 6xdx 

5 15 3 1 x  sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x  C 16 64 64 192


INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

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