FUNGSI KOMPLEKS TRANSFORMASI PANGKAT
Makalah Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Fungsi Kompleks yang diampuh Oleh Ibu Indriati N.H
Kelompok 6: 1. Amalia Ananingtyas
(309312417513)
2. Pratiwi Dwi Warih S
(309312417506)
3. Prisca Abiyani
(309312422763)
4. Umi Hayik R L
(408312409120)
Universitas Negeri Malang Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Matematika November 2011
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam analisis kompleks diperkenalkan beberapa transformasi elementer,yaitu tranformasi linier (sebagai gabungan dari rotasi, kontraksi, dan translasi), transformasi pangkat (yang akan kita bahas dalam makalah ini), transformasi bilinear transformasi kebalikan beserta sifat-sifat pemetaan karakteristik untuk transformasi eksponensial, sin z, cos z. Pemahaman tentang konsep transformasi elementer diperlukan dalam membantu menganalisis suatu kurva secara geometris. Istilah transformasi dapat diartikan sebagai fungsi atau pemetaan. Sebagaimana diketahui, fungsi dari himpunan A ke himpunan B diartikan sebagai suatu aturan yang mengkaitkan setiap unsur di A dengan suatu unsur di B secara tunggal. Misalkan suatu fungsi disebut peta / bayangan dari fungsi, maka suatu titik
dibawah . Berdasarkan definisi
dimungkinkan mempunyai lebih dari satu
prapeta. Sebagai contoh, titik di bawah fungsi Suatu fungsi
memetakan (mengkaitkan)
mempunyai prapeta .
dapat dikatakan satu-satu (injektif) jika di setiap titik
berbeda pada domain
mempunyai peta titik yang berbeda. Dengan kata lain,
adalah fungsi satu-satu apabila
mengakibatkan
. Sebaliknya, fungsi yang tidak memenuhi syarat tersebut, dikatakan banyak-satu. 1.2 Perumusan Masalah 1. Bagaimana sifat-sifat pemetaan pada transformasi pangkat ? 2. Apa saja contoh dan non-contoh dari transformasi pangkat?
1.3 Tujuan Penulisan 1. Mengetahui sifat-sifat pemetaan pada transformasi pangkat sehingga dapat diterapkan pada soal-soal yang berkaitan dengan transformasi pangkat. 2. Mengetahui apa saja contoh dan non-contoh transformasi pangkat sehingga dapat memudahkan dalam pengerjaannya.
BAB II PEMBAHASAN Definisi. Suatu fungsi dengan
dinamakan fungsi
pangkat. Catatan : 1. Fungsi f tersebut merupakan fungsi menyeluruh, karena . 2. Untuk
, fungsi f bukanlah fungsi satu-satu sehingga tidak
mempunyai fungsi invers. Contoh: Non contoh:
karena ½
.
Sifat-sifat pemetaan tertentu pada transformasi pangkat
Fungsi
dapat dinyatakan dalam bentuk kutub yaitu, (1)
Dari sana kita melihat dengan mudah bahwa jika
Maka
Dengan kata-kata, Transformasi pangkat memetakan suatu tititk z dengan modulus r dan argument
ke suatu titik dengan modulus
dan argument
.
Sebagai contoh, di bawah
dengan
maka dipetakan ke
. Pada umumnya, di bawah (1), suatu sinar yang dipancarkan dari pusat sumbu koordinat dengan suatu sudut iklinasi bersudut inklinasi
dipetakan menjadi suatu sinar yang
. Suatu sektor lingkaran dengan jari-jari r bersudut pusat
ditransformasian ke sektor lingkaran dengan jari-jari Sebagai akibat, misalnya, di bawah ke setengah lingkaran atas bidang
bersudut pusat
.
,kuadran pertama bidang z dipetaakan , setengah lingkaran atas bidang z dipetakan
ke seluruh bidang w, dan jika kita mengambil seluruh bidang z maka kita akan menutupi bidang w dua kali. Lagi, dengan megeneralisasikan kasus khusus, kita melihat bahwa di bawah transformasi pangkat
,bidang z dipetakan ke
bidang w, n kali, yaitu setiap titik pada bidang w kecuali w = 0 merupakan bayangan n titik berbeda dari bidang z. kenyataan ini, tentu saja merupakan ungkapan geometrik terhadap kenyataan bahwa setiap bilangan bukan nol mempunyai n akar berbeda.( Perhatikan !)
nα
r 0
0
Bidang-w
Bidang-z Gambar 1. Transformasi
Contoh: Di bawah fungsi
, petakan titik !
Jawab:
ke bidang-w dengan domain
Tuliskan
Daerah pada bidang-z dipetakan menjadi pada bidang-w, kita dapatkan
Kita dapatkan
. Analog dengan cara di atas, kita dapatkan
Jadi di dapat
seperti gambar di bawah ini.
P
1
1 P’
A 0
1
-4
-1
0
1
Bidang-w
Bidang-z
Non Contoh: Di bawah fungsi
, petakan titik !
Jawab:
ke bidang-w dengan domain
Tuliskan
Daerah pada bidang-z dipetakan menjadi pada bidang-w, kita dapatkan
Kita dapatkan
. Analog dengan cara di atas, kita dapatkan
Jadi di dapat
seperti gambar di bawah ini.
Q
1
Q’
1
A’
A 0
0
1
1 Bidang-w
Bidang-z
Soal: 1. Carilah bayangan sektor Jawab: Karena
maka di dapat
di bawah .
!
2. a. Dengan menggunakan kenyataan bahwa uraian fungsi kuadrat menghasilkan dan , tunjukkan bahwa untuk fungsi ini b. Gunakan hasil dari a untuk menunjukkan bahwa, dibawah garisgaris mendatar ( ) dan tegak lurus ( ) dipetakan menjadi parabola. Jawab: a)
Jadi b) Misal
dan
Jadi garis-garis mendatar ( menjadi parabola.
.............................................1) . Substitusikan ke persamaan 1), di dapat
) dan tegak lurus (
) dipetakan
