Ms-2316_matek6_mf_feladat_es_megoldas_egyben_2012.qxd
2012.05.07.
16:54
Page 1
Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné
sokszínû
munkafüzet
6
Hatodik, változatlan kiadás Mozaik Kiadó – Szeged, 2012
Ms-2316_matek6_mf_feladat_es_megoldas_egyben_2012.qxd
2012.05.07.
16:55
Page 2
Szerzõk: CSORDÁS MIHÁLY általános iskolai tanár
KONFÁR LÁSZLÓ általános iskolai szakvezetõ tanár
KOTHENCZ JÁNOSNÉ általános iskolai tanár
KOZMÁNÉ JAKAB ÁGNES általános iskolai szakvezetõ tanár
PINTÉR KLÁRA fõiskolai adjunktus
VINCZE ISTVÁNNÉ általános iskolai szakvezetõ tanár
Bírálók: JUHÁSZ NÁNDOR általános iskolai tanár
PÁLFALVI JÓZSEFNÉ DR. tanszékvezetõ fõiskolai docens
Felelõs szerkesztõ: TÓTH KATALIN
Illusztrációk: ÁBRAHÁM ISTVÁN
KERETTANTERV: MOZAIK Kerettantervrendszer 17/2004 (V. 20.) OM Kerettanterv 17/2004 (V. 20.)
Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a mû bõvített, illetve rövidített változata kiadásának jogát is. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mû, sem annak része semmiféle formában nem sokszorosítható.
ISBN 978 963 697 524 1 Megoldáskötet: ISBN 978 963 697 572 2
ENGEDÉLYSZÁM: 14673 –18/2007
© MOZAIK KIADÓ, 2007
Útmutató a munkafüzet használatához A munkafüzet témakörei a tankönyvnek megfelelõ sorrendben követik egymást. Az egymásra épülõ feladatok jó gyakorlási lehetõséget biztosítanak, így segítik a tananyag megértését és elmélyítését. A gondolkodtatóbb feladatokat *-gal jelöltük, ezek megoldásához jó ötletekre van szükség.
1. OSZTHATÓSÁG Osztó, többszörös 1. Ábrázoljuk számegyenesen más-más színnel a) a 2 többszöröseit; 0
b) a 3 többszöröseit;
5
10
15
c) az 5 többszöröseit! 20
25
30
2. Jutka, Csaba és Gabi testvérek. A nyáron egy hónapot a nagyszüleiknél töltöttek. Június 30-án indultak otthonról, és aznap mindhárman felhívták a szüleiket. Ezután Jutka kétnaponként, Csaba háromnaponként, Gabi ötnaponként telefonált haza. Soroljuk fel azoknak a júliusi napoknak a dátumát, amikor hazatelefonáltak!
július 6., 12., 18., 24., 30.
a) Jutka és Csaba: c) Jutka és Gabi:
b) Csaba és Gabi:
........................................................................
július 10., 20., 30. ............................................................................
d) mindhárman:
július 15., 30.
.........................................................................
július 30. ..............................................................................
3. Írjuk a 32-nél kisebb természetes számokat a halmazábra megfelelõ részébe! 1
7
11
13
32-nél kisebb természetes számok 2 többszörösei
19
17
29
23
2
4
26
28
14 8
22 16
10
20
5
25
31
6 0
12
3
18 24 30
15
9
3 többszörösei
21
27
5 többszörösei
4. Egy villamosvégállomásról az egyik járat 12 percenként, a másik 15 percenként indul. Reggel 6-kor egyszerre indul mind a két járat. Délig hányszor indul errõl a végállomásról
31-szer (óránként 5-ször, 6 ¡ 5 = 30 és délben, 30 + 1 = 31).
a) a 12 percenként induló járat;
.....................................................................................................................................................................
b) a 15 percenként induló járat;
.....................................................................................................................................................................
c) együtt a két járat?
25-ször (óránként 4-szer, 6 ¡ 4 = 24 és délben, 24 + 1 = 25).
Minden órában. A délben indulóval együtt 7-szer.
.............................................................................................................................................................................................
A 12 percenként induló járat: ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; óránként 5-ször. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ A 15 percenként induló járat: ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; óránként 4-szer. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ A két járat együtt: ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 . ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 00
12
24
36
00
15
30
45
00
00
00
00
48
00
00
00
3
O S Z T H AT Ó S Á G
5. Írjuk a halmazábra megfelelõ részébe az 50-nél kisebb természetes számokat! Színezzük be az üresen maradó halmazt! Ha lehet, akkor rajzoljuk le úgy is a halmazokat, hogy ne legyen üresen maradó halmazrész! a) 50-nél kisebb természetes számok 50-nél kisebb természetes számok 13 14 17 14
1
4
2
5 7 8 10 11
16 17 20 22 23
13 19
16 7 8 10 11 19 20 22 1 3 többszörösei 3 9 15 21 23 6 többszörösei 39 36 42 27 0 6 12 45 33 48 18 24 30 46 25 26 28 29 40 43 47 31 32 34 35 37 38 41 44 49 2
3 többszörösei
3 21
9 27
15 33
39
0 6 12 18 24 30 36 42 48
6 többszörösei
45 25 26 28 29 40 43 46 47 31 32 34 35 37 38 41 49 44 b)
50-nél kisebb természetes számok
1 2
16 17 19 20 1 2 4 5 7 8 10 11 13 14 22 23 25 26 3 többszörösei 3 15 33 39 21 6 többszörösei
6 többszörösei 6 12 24 3 15 21 30 42 48 33 9 27 0 18 39 36 45 31 32 47 9 többszörösei 28 29 49 46 34 35 37 38 40 41 43 44
50-nél kisebb természetes számok
18 5 7 9 10 11 13 14 15 17 16 osztói
6 12 24 30 42 48
1 2 4 8 16
28
48 osztói
19 20 21 22 7 10 11 13 14 15 17 18 23 25 26 27 5 9 28 29 30 16 osztói 50-nél kisebb természetes számok
1
2 4 8
3 6
27
45
50-nél kisebb természetes számok
19 20 21 22 11 14 7 9 10 13 15 17 18 23 25 26 5 48 osztói 27 48 28 31 16 osztói 29 24 osztói 1 2 32 16 30 4 8 3 6 33 24 12 49 34 35 38 42 40 44 46 47 45 41 39 36 43 37
48 osztói
16
9
19 20 21 18 22 23 9 10 11 13 14 15 17 5 25 48 osztói 3 12 6 7 24 26 16 osztói 29 27 48 1 2 4 16 30 28 8 31 32 47 33 34 38 40 42 43 45 46 35 36 37 39 41 49 44
24 29 30 31 12 3 6 48 32 33 34 38 40 43 44 35 36 37 45 46 47 49 39 41 42 d)
9 többszörösei
50-nél kisebb természetes számok
21 22 23 25
26 27
0 18 36
31 32 34 47 44 37 38 41 49 46 28 29 35 43 40
20
19
5
50-nél kisebb természetes számok
16 17 19 20 4 5 7 8 10 11 13 14 22 23 25 26
3 többszörösei
c)
4
48
12 24
33 31 32 24 osztói 49 34 35 46 47 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
6. A szorzás alapján egészítsük ki a mondatokat! a) 13 ¡ 7 = À 9À 1 £ £
4 ¡ 17 = 68 £ À
91 -nek, mert található olyan .................. egész A 7 osztója ........
68 -nak osztója a .......... 17 , mert van olyan A ..........
91 -t kapunk. szám, amellyel a 7-et megszorozva ........
17 -t megszorozva ....... 68 -at kapunk. szám, amellyel a .......
többszöröse a 7-nek és a AÀ 9À 1 ........................................ £ £
a 4-nek és A 68 többszöröse ..............................
7-tel AÀ és 9À 1 osztható ................................... £ £ 4
b)
13
..........-nak.
13-mal . ..........................
egész ...............
a 17-nek
............................. .
4-gyel 17-tel A 68 osztható ................................. és ................................... .
Vizsgáljuk a maradékot! 1. A számegyenes nemnegatív felét feltekertük egy egységnyi oldalú a) háromszögre;
b) ötszögre. G 3, 8, 13, 18, ...
C 2, 5, 8, 11, ...
..., 19, 14, 9, 4 H
..., 9, 6, 3, 0 A
F 2, 7, 12, 17, ...
..., 15, 10, 5, 0 D
B 1, 4, 7, 10, ...
E 1, 6, 11, 16, ...
Melyik csúcshoz kerülnek a következõ számok?
9
¡3+
1
®
057 =
19 ¡ 3 +
0
®
083 =
27 ¡ 3 +
2
®
333 =
111 ¡ 3 +
0
®
a) 028 =
B csúcs À £ A csúcs £ À C csúcs £ À A csúcs £ À
b) 50 =
10 ¡ 5 +
0
®
68 =
13 ¡ 5 +
3
®
72 =
14 ¡ 5 +
2
®
99 =
19 ¡ 5 +
4
®
D csúcs À £ G csúcs £ À F csúcs £ À H csúcs £ À
Milyen szabályosság figyelhetõ meg az egyes csúcsokhoz írt számoknál? a)
A hármas maradékuk egyenlõ. Az ötös maradékuk egyenlõ. ................................................................................................................ b) ................................................................................................................ Az A csúcsnál lévõ számok À 3 -as maradéka £ A
C ...........
A H csúcsnál lévõ számok À 5 -ös maradéka £
0 .........
csúcsnál lévõ számok À 3 -as maradéka 2. £
4 ...........
G csúcsnál lévõ számok 5 -ös maradéka 3. A ........... £ À
2. Amelyik évben szeptember elseje péntekre esik, abban az évben péntekre esik még nyolcadika tizenötödike huszonkettedike , .................................................. huszonkilencedike . szeptember .................................................. , .................................................. , .................................................. 3. 1848. szökõév volt, február elsején kedd volt. Milyen napra esett március 1-je és március 15-e? szerda szerda Március elsején .................................................................... volt, március tizenötödikén ..................................................... volt. *4. Kati ötször akkora számot írt le, mint Dóri. Töltsük ki a táblázatot, majd döntsük el, hogy igazak-e az alábbi állítások? Írjuk a megfelelõ I (igaz) vagy H (hamis) betût az állítások elõtti négyzetbe! a Dóri által írt szám
7
26
15
16
3
a Kati által írt szám
35
130
75
80
15
a két leírt szám összege
42
156
90
96
18
a két leírt szám különbsége
28
104
60
64
12
245
3380
1125
1280
45
a két leírt szám szorzata
1 3 0 ¡ 2 6 7 5 ¡ 1 5 1 6 ¡ 8 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 6 0 + 3 7 5 1 2 8 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 8 0 + 7 1 1 2 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 3 8 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ I À £ H £ À
A két leírt szám összegének hatos maradéka 0.
I À £
A két leírt szám szorzatának ötös maradéka 0.
A két leírt szám különbségének négyes maradéka 2.
5
O S Z T H AT Ó S Á G
5. Állapítsuk meg az adott számok 11-es maradékát! ¡ 11 +
7
b) 112 =
10 ¡ 11 +
2
c) 240 =
21 ¡ 11 +
9
368 =
33 ¡ 11 +
5
429 =
39 ¡ 11 +
0
485 =
44 ¡ 11 +
1
576 =
52 ¡ 11 +
4
670 =
60 ¡ 11 + 10
723 =
65 ¡ 11 +
8
a) 084 =
7
1 0 ¡ 1 1 = 1 1 0 4 2 9 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ µ 3 3 0 2 0 ¡ 1 1 = 2 2 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¡ 3 0 1 = 3 3 0 9 9 1 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 0 ¡ 1 1 = 4 4 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 0 ¡ 1 1 = 5 5 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 0 ¡ 1 1 = 6 6 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ tizenegy -féle lehet. Hányféle 11-es maradéka lehet egy természetes számnak? A 11-es maradék ........................................... Írjunk fel a 84; 112; 240; 368; 429; 485; 576; 670; 723 számok segítségével három-három olyan összeget, amelyek 11-es maradéka 0! (Egy szám egy összegben csak egyszer forduljon elõ!) a) kéttagú összegek:
84 + 576; 112 + 240; 485 + 670
............................................................................................................................................................................................
b) háromtagú összegek:
84 + 576 + 429; 112 + 240 + 429; 485 +670 + 429; 84 + 368 + 670; .....................................................................................................................................................................................
112 + 368 + 576; 112 + 485 + 723; 240 + 368 + 723; 576 + 670 + 723 ....................................................................................................................................................................................................................................... c) négytagú összegek:
84 + 240 + 368 + 485; 84 + 368 + 429 + 670; 84 + 485 + 576 + 670; ........................................................................................................................................................................................
84 + 112 + 240 + 576; 240 + 368 + 429 + 723; 112 + 429 + 485 + 723; ....................................................................................................................................................................................................................................... 429 + 576 + 670 + 723; 240 + 485 + 576 + 723 ....................................................................................................................................................................................................................................... Írjunk fel a felsorolt számok segítségével öt olyan kéttényezõs szorzatot, amelyek 11-es maradéka 0!
¡ 429; 112 ¡ 429; 240 ¡ 429; 368 ¡ 429; 429 ¡ 485; 429 ¡ 576; 429 ¡ 670; 429 ¡ 723 84 .............................................................................................................................................................................................................................................. Írjunk fel a felsorolt számok segítségével három-három olyan kéttagú összeget, amelyek 11-es maradéka
112 + 485; 240 + 368; 576 + 670
a) 3;
.................................................................................................................................................................................................................................
b) 6!
368 + 485; 112 + 576; 84 + 670; 240 + 723 .................................................................................................................................................................................................................................
6. Egy majolikagyárban az elkészült tányérokat polcokra rakják. Három polcon ugyanolyan tányérok vannak, az elsõn 147, a másodikon 138, a harmadikon pedig 155. A három polcon lévõ tányérokat hatosával csomagolják. Hány tányér marad ki, ha
Az elsõ polcon 3, a harmadikon 5 tányér marad ki.
a) a tányérokat polconként csomagolják;
................................................................................................................................................
b) az összes tányért együtt csomagolják?
2 tányér marad ki. ...............................................................................................................................................
a) 1 3 8 = 2 3 ¡ 6 + 0 1 4 7 = 2 4 ¡ 6 + 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 5 5 = 2 5 ¡ 6 + 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ b) 1 4 7 + 1 3 8 + 1 5 5 = 4 4 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 4 0 = 7 3 ¡ 6 + 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6
7. Alakítsuk az adott törteket tizedes törtté úgy, hogy a számlálót elosztjuk a nevezõvel! Állapítsuk meg, hogy milyen számjegy áll a tizedesvesszõ utáni 100. helyen! 39 ¡ ¡ 5 a) = 5 ¢ 7 = 0,7 14285 b) = 39 ¢ 110 = 110 7
¡¡ 0,35 4
3 9 ¢ 1 1 0 = 0, 3 5 4 5 ¢ 7 = 0, 7 1 4 2 8 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 9 0 5 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Hatjegyû szakasz ismétlõdik. 6 0 0 1 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 0 0 3 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 0 2 0 1 0' 0' ¢ 6 = 1 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 0 4 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Kétjegyû a szakasz, ami ismétlõdik. 4 0 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Páros számú helyen az 5 áll. 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ A szakasz 4. számjegye áll a 100. helyen, ez a 2. A tizedesvesszõ utáni 100. helyen az 5 áll. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¡
¡
¡ ¡
8. Kössük össze a bekarikázott számot azokkal a szorzatokkal, amelyek annak többszörösei! a)
b) 3¡6¡7
2 ¡ 3 ¡ 17
18
5¡6¡9 5¡7¡9
2 ¡ 8 ¡ 15
12 ¡ 15
24
8 ¡ 12
6 ¡ 11 ¡ 12
3 ¡ 12
3¡7¡8
4¡9¡5 2 ¡ 3 ¡ 16
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 9. Írjuk az alábbi összegek mellé, hogy oszthatók vagy nem oszthatók a megadott számmal! (Csak akkor számoljunk, ha nem tudjuk másképpen eldönteni!) a) 8-cal
osztható a 8 ¡ 12 + 4 ¡ 38 ............................................................. ; a 2 ¡ 24 + 8 ¡ 9
b) 4-gyel
a 9 ¡ 2 + 12 ¡ 5
c) 11-gyel a 8 ¡ 9 + 3 ¡ 9
nem osztható
...............................................................;
osztható
..................................................................;
a 2 ¡ 18 + 7 ¡ 4
osztható
...............................................................
osztható
...............................................................
osztható a 5 ¡ 11 + 7 ¡ 22 .............................................................
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 10. Oszthatók-e az alábbi különbségek az adott számmal? Írjuk a megfelelõ betût a táblázatba: O (osztható), N (nem osztható)! 3-mal
2-vel
6-tal
9 ¡ 12 µ 3 ¡ 4
O
O
O
6¡7µ2¡3
O
O
O
különbség
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 7
O S Z T H AT Ó S Á G
11. Soroljuk fel, hogy a 18; 37; 48; 22 számok közül melyeket írhatjuk a téglalapba, hogy teljesüljön a feltétel! osztható 3-mal
=
37; 22 .........................................
b)
+ 23 + 15 osztható 4-gyel
=
18; 22 .........................................
c)
+ 16 + 51 osztható 5-tel
=
18; 48 .........................................
osztható 6-tal
=
22 .........................................
+ 17 osztható 7-tel
=
18 .........................................
+ 17 + 42 osztható 8-cal
=
37 .........................................
+ 63 osztható 9-cel
=
18 .........................................
osztható 9-cel
=
18 .........................................
a) 13 + 22 +
d) 17 + 45 + e) 42 + f) g) 45 + h) 78 + 21 +
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
12. Soroljuk fel, hogy a 29; 31; 62; 77 számok közül melyeket írhatjuk a téglalapba, hogy teljesüljön a feltétel! a) 83 µ
osztható 3-mal
=
29; 62; 77 .........................................
b) 81 µ
osztható 4-gyel
=
29; 77 .........................................
c)
µ 17
osztható 5-tel
=
62; 77 .........................................
d)
µ 19
osztható 6-tal
=
31 .........................................
e) 91 µ
osztható 7-tel
=
77 .........................................
f ) 85 µ
osztható 8-cal
=
29; 77 .........................................
g) 85 µ
osztható 9-cel
=
31 .........................................
h) 121 µ
osztható 11-gyel
=
77 .........................................
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
*13. Határozzuk meg a 9; 10; 14; 16 számok négyes maradékát! Írjunk fel olyan két- és háromtényezõs szorzatokat, amelyek tényezõi az adott számok, és a szorzat négyes maradéka 0! A 9 négyes maradéka:
1 ...............................................................
A 10 négyes maradéka:
2 ............................................................
2 ............................................................
A 16 négyes maradéka:
0 ............................................................
A 14 négyes maradéka:
9 ¡ 16; 10 ¡ 16; 14 ¡ 16; 10 ¡ 14 Kéttényezõs szorzatok: ......................................................................................................................................................................................... Háromtényezõs szorzatok:
9 ¡ 10 ¡ 14; 9 ¡ 10 ¡ 16; 9 ¡ 14 ¡ 16; 10 ¡ 14 ¡ 16
.................................................................................................................................................................................
*14. Peti és Panni vásárolni mentek az írószerboltba. Az egyiküknél 1000 Ft, a másikuknál 1005 Ft volt. Mindketten csak az akciós termékekbõl vásároltak, de egymástól teljesen függetlenül. A végén Petinek 345, Panninak 350 forintja maradt. Melyikük költött el több pénzt? Miután minden áruért páros számú forintot kell fizetni, akinek 1000 Ft-ja volt, annál ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ maradt 350 Ft, akinek 1005 Ft-ja volt, annál a 345 Ft. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 0 0 0 1 0 0 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ µ µ 3 5 0 3 4 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 5 0 6 6 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Peti 660 Ft-ot költött. Panni 650 Ft-ot költött. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
Válasz:
Peti költött többet. Pl.: Panni: 2 ¡ 56 + 66 + 68 + 74 + 132 + 198 vagy 56 + 3 ¡ 198. ............................................................................................................................................................................................................................
Peti: 2 ¡ 56 + 66 + 6 ¡ 68 + 74 vagy 2 ¡ 56 + 2 ¡ 68 + 82 + 132 + 198. .............................................................................................................................................................................................................................................. 8
Oszthatósági szabályok 1. A megadott számokat húzzuk alá, ha oszthatók 2-vel, és karikázzuk be, ha oszthatók 5-tel! Mit mondhatunk azokról a számokról, amelyeket alá is húztuk és be is karikáztuk? 0;
32;
150;
256;
1200;
1420;
1733;
1935;
2006;
Az alá is húzott és be is karikázott számok
2310;
10 025
az adott számok halmaza
2-vel és 5-tel is oszthatók. .....................................................................................................................
2-vel osztható számok
4258
32
Írjuk a számokat a halmazábra megfelelõ részébe!
0
2006 10-zel ..........................
4258;
1200 150 2310 1420 1935
osztható számok
1733
256
10 025
5-tel osztható számok
2. Soroljuk fel az összes olyan számjegyet, amelyet a jelek helyére írva teljesülnek az alábbi feltételek! 43À Ð
56Ç ×5
127Ã Ó20
osztható legyen 2-vel
0; 2; 4; 6; 8
—
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
osztható legyen 5-tel
0; 5
a szám
osztható legyen 10-zel
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
0
—
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
2-vel Azok a természetes számok, amelyek 10-zel oszthatók, ..................................... és
5-tel
.......................................
is oszthatók.
3. Bontsuk fel az adott számokat kéttagú összegre a példa alapján, és állapítsuk meg a számok 2-es, 5-ös és 10-es osztási maradékát! 2-es
5-ös
10-es
az adott szám osztási maradéka
000 078 = 7 ¡ 10 + 8
0
3
8
000 154 =
15 ¡ 10 + 4
0
4
4
00 3975 =
397 ¡ 10 + 5
1
0
5
057 600 =
5760 ¡ 10 + 0
0
0
0
074 771 =
7477 ¡ 10 + 1
1
1
1
103 526 =
10 352 ¡ 10 + 6
0
1
6
4. Soroljuk fel az 5 , 7 , 0 , 4 számkártyákból kirakható összes olyan négyjegyû számot, amely osztható a) 2-vel;
5740; 5470; 4570; 4750; 7540; 7450; 5704; 5074; 7054; 7504 .........................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................................................
b) 5-tel!
5740; 5470; 4570; 4750; 7540; 7450; 4075; 4705; 7045; 7405 ..........................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................................................
9
O S Z T H AT Ó S Á G
5. A megadott számokat húzzuk alá, ha oszthatók 4-gyel, és karikázzuk be, ha oszthatók 25-tel! Mit mondhatunk azokról a számokról, amelyeket alá is húztuk és be is karikáztuk? 0;
15;
25;
32;
75;
116;
150;
152;
300;
725;
Az alá is húzott és be is karikázott számok
1300;
7875;
7964;
8012;
90 000
az adott számok halmaza
4-gyel és 25-tel is oszthatók. .....................................................................................................................
4-gyel osztható számok
32 152
Írjuk a számokat a halmazábra megfelelõ részébe!
300 1300 90 000 150 25 75
100-zal osztható számok
7875
0
7964 ..........................
116 8012
15
725
25-tel osztható számok
6. Soroljuk fel azokat a számjegyeket, amelyeket a jelek helyére írva teljesülnek az alábbi feltételek! 74Â Ò
357Ä Ô
osztható legyen 4-gyel
0; 4; 8
2; 6
osztható legyen 25-tel
—
5
00; 25; 50; 75
osztható legyen 100-zal
—
—
00
a szám
69Á ÑÀ Ð
08; 12; 16; 20; 24; ... 88; 92; 96
00; 04; ...
4-gyel és Azok a természetes számok, amelyek 100-zal oszthatók, .....................................
25-tel ....................................
is oszthatók.
7. Bontsuk fel az adott számokat kéttagú összegre a példa alapján, és állapítsuk meg a szám 4-es, 25-ös és 100-as osztási maradékát! 4-es
25-ös
100-as
az adott szám osztási maradéka
00 1368 = 13 ¡ 100 + 68
0
18
68
00 2028 =
20 ¡ 100 + 28
0
3
28
00 3850 =
38 ¡ 100 + 50
2
0
50
00 7975 =
79 ¡ 100 + 75
3
0
75
012 400 =
124 ¡ 100 + 0
0
0
0
013 040 =
130 ¡ 100 + 40
0
15
40
561 000 =
5610 ¡ 100 + 0
0
0
0
8. Írjuk le azokat a 2 , 3 , 5 , 7 számkártyákból kirakható négyjegyû számokat, amelyek oszthatók a) 4-gyel;
5732; 7532; 3752; 7352; 3572; 5372 ......................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................
b) 25-tel!
3725; 7325; 2375; 3275 .......................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................
10
9. Szorozzunk egyszerûen 25-tel!
Ellenõrzés:
Számítsuk ki, mennyi 25 ¡ 24! 1. A 24-et szorozzuk elõször 100-zal (azaz 4¡ 25-tel). 100 ¡ 24 = 2400. 2. Az így kapott számból a 25-szöröst úgy kapjuk, hogy osztunk 4-gyel. 2400 ¢ 4 = 600. Végezzük el fejben ezzel a módszerrel a következõ szorzásokat: .......................
3000
b) 25 ¡ 48 =
..........................
1600 ..........................
d) 25 ¡ 36 =
900 ..........................
a) 25 ¡ 120 = c) 25 ¡ 64 =
1200
Ellenõrizzünk írásbeli szorzással!
2 5 ¡ 2 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ÀÀÀ 5 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ÀÀÀ 6 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ÀÀÀ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
10. A megadott számokat húzzuk alá, ha oszthatók 8-cal, és karikázzuk be, ha oszthatók 125-tel! Mit mondhatunk azokról a számokról, amelyeket alá is húztuk és be is karikáztuk? 0; 32; 75; 120; 250; 344; 375; 500; 568; 625; 750; 1000; 1875; 3000; 3720; 4500; 7008
az adott számok halmaza
32
Az alá is húzott és be is karikázott számok
8-cal és 125-tel is oszthatók .....................................................................................................................
120
7008
Írjuk a számokat a halmazábra megfelelõ részébe!
1000-rel ..........................
75
8-cal osztható számok
568
344 0
3720 250
1000
500 625
375 3000 750 4500 1875
125-tel osztható számok
osztható számok
11. Mondjuk meg osztás nélkül az alábbi számok 3-as és 9-es osztási maradékát! az adott szám
összeg alak
9-es maradék
3-as maradék
2+1+2=5
2
2 ¡ 999 + 2 + 99 + 1 + 4 ¡ 9 + 2
2138
2000
+ 100 + 36 + 2
100
99 + 1
1
1
140
99 + 1 + 4 ¡ 9 + 4
5
2
210
2 ¡ 99 + 2 + 9 + 1
3
0
470
4 ¡ 99 + 4 + 7 ¡ 9 + 7
2
2
1321
999 + 1 + 3 ¡ 99 + 3 + 2 ¡ 9 + 2 + 1
7
1
5068
5 ¡ 999 + 5 + 6 ¡ 9 + 6 + 8
1
1
12. A megadott számokat húzzuk alá, ha oszthatók 3-mal, és karikázzuk be, ha oszthatók 9-cel! 0;
39;
1575;
48; 1602;
57; 5400;
81;
96;
7536;
123;
húztuk
mert
333;
8901
Amely számokat bekarikáztuk, azokat ...............................................,
125;
alá is
.............................
a 9-cel osztható
.....................................................
számok 3-mal is oszthatók.
.....................................................................................................................
Készítsünk halmazábrát, és írjuk bele a fenti számokat!
az adott számok halmaza
3-mal osztható számok
39 48 9-cel osztható számok 0 57 96 81 333 1575 1602 5400 8901 123 7536 11
O S Z T H AT Ó S Á G
13. Soroljuk fel a 2 , 3 , 4 számkártyákból kirakható összes olyan háromjegyû számot, amelyik osztható 6-tal! 342; 432; 234; 324 .............................................................................................................................................................................................................................................. 14. Írjunk a betûk helyére olyan számjegyeket, hogy a számok oszthatók legyenek 1; 4; 7 000 77a a = ......................................................................................................................................................................................... a) 3-mal; 00 35b8
b=
76c 86d
c
2; 5; 8 ........................................................................................................................................................................................ 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
2 5 8
1 4 7
0 3 6 9
2 5 8
1 4 7
0 3 6 9
2 5 8
1 4 7
0 3 6 9
3
d
6 9
4
b) 6-tal; 000 77a
a=
.........................................................................................................................................................................................
00 35b8
b=
........................................................................................................................................................................................
76c 86d
d
0
2
4
6
8
c
0; 3; 6; 9
1; 4; 7
2; 5; 8
0; 3; 6; 9
1; 4; 7
2; 5; 8
4
c) 9-cel!000 77a
a=
.........................................................................................................................................................................................
00 35b8
b=
........................................................................................................................................................................................
76c 86d
c
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
d
0; 9
8
7
6
5
4
3
2
1
0; 9
2
15. Döntsük el, hogy melyik állítás igaz, melyik hamis! Írjuk a megfelelõ I vagy H betût a négyzetbe! H Minden 3-mal osztható szám osztható 6-tal. H Van olyan szám, amelyik 6-tal osztható, de 3-mal nem. À £ £ À I Amelyik szám 9-cel osztható, az osztható 3-mal is. À H Nincs olyan szám, amelyik 9-cel és 6-tal is osztható. £ À £ 16. Írjuk fel a 9 , 6 , 7 , 2 számkártyákból kirakható a) 2-vel osztható kétjegyû számokat;
92; 62; 72; 96; 76; 26 ..........................................................................................................................................................................................
háromjegyû számokat;
972; 962; 792; 762; 692; 672; 976; 926; 796; 726; 296; 276 .................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................
négyjegyû számokat;
9762; 9672; 7962; 7692; 6972; 6792; 9726; 9276; 7926; 7296; 2976; 2796
..................................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................................
b) 3-mal osztható kétjegyû számokat;
96; 69; 72; 27
..........................................................................................................................................................................................
háromjegyû számokat;
972; 927; 792; 729; 297; 279; 672; 627; 762; 726; 276; 267 ..................................................................................................................................................................................
c) 4-gyel osztható kétjegyû számokat;
96; 92; 76; 72
..........................................................................................................................................................................................
háromjegyû számokat; négyjegyû számokat!
12
796; 792; 976; 972; 296; 276; 692; 672
..................................................................................................................................................................................
7296; 2796; 7692; 6792; 9276; 2976; 9672; 6972 .....................................................................................................................................................................................
17. Készítsünk halmazábrát az alábbi halmazokkal, és írjuk bele az alaphalmaz elemeit! Vizsgáljuk meg, hogy lehetne-e a halmazokat másképpen rajzolni! Ha lehet, rajzoljuk le! a) Alaphalmaz = {34; 46; 52; 68; 100; 111; 204; 356; 1526} A = {2-vel osztható számok} Alaphalmaz B = {4-gyel osztható számok} Alaphalmaz
111
A
111
46
A
34
46
1526
52
68 100 204 356
B
1526 B
52
100
34
68
204
356
b) Alaphalmaz = {40; 64; 76; 125; 140; 160; 192; 400; 1096; 1328; 7688} C = {4-gyel osztható számok} Alaphalmaz D = {8-cal osztható számok} Alaphalmaz
C
125
76
C
76 140
40 1096 1328 64 400 192 7688 160
1096
D
125 140 40 64
192
D
1328
7688
c) Alaphalmaz = {50; 65; 72; 75; 90; 125; 180; 475; 1355; 5600} E = {5-tel osztható számok} Alaphalmaz F = {25-tel osztható számok} Alaphalmaz E
180 90 65 50 475 5600 125 1355 75
F
90
160
72
E
72
400
180 50
1355
65 F
475 75
125
5600
A fentiek alapján döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! Írjuk a megfelelõ I vagy H betût az állítások elõtti négyzetekbe!
H À £ I £ À H £ À H £ À I £ À
Ha egy szám osztható 2-vel, akkor osztható 4-gyel is. Ha egy szám osztható 4-gyel, akkor osztható 2-vel is. Ha egy szám nem osztható 8-cal, akkor nem osztható 4-gyel sem. Amelyik szám 5-tel osztható, az osztható 25-tel is. Minden 25-tel osztható szám osztható 5-tel.
18. Soroljuk fel mindazokat az osztókat, amelyekkel az alábbi számok a hiányzó számjegytõl függetlenül oszthatóak! 00 14Â Ò6:
1; 2 ........................................................................................................................................................................................................................
00 3Ä Ô48:
1; 2; 4 ........................................................................................................................................................................................................................
14À Ð 560:
1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40 ........................................................................................................................................................................................................................
073 Á Ñ25:
1; 5; 25 ........................................................................................................................................................................................................................
36Ç × 000:
1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40; 50; 100; 125; 200; 250; 500; 1000 ........................................................................................................................................................................................................................ 13
O S Z T H AT Ó S Á G
19. Egy szám pontosan akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegyébõl álló szám osztható 4-gyel. I. Ha egy szám osztható 4-gyel, akkor az utolsó két számjegyébõl álló szám osztható 4-gyel. II. Ha egy szám utolsó két számjegyébõl álló szám osztható 4-gyel, akkor a szám osztható 4-gyel. Az elõzõ minta alapján egészítsük ki a mondatokat! a) Egy szám pontosan akkor osztható 25-tel, ha
az utolsó két számjegyébõl álló szám osztható 25-tel. ..............................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................
az utolsó két számjegyébõl álló szám osztható 25-tel. I. Ha egy szám osztható 25-tel, akkor ................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................................................
II. Ha egy szám utolsó két számjegyébõl álló szám osztható 25-tel, akkor
a szám osztható 25-tel.
...................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................
b) Egy szám pontosan akkor osztható 8-cal, ha
az utolsó három számjegyébõl álló szám ................................................................................................................................
osztható 8-cal. ....................................................................................................................................................................................................................................... I. Ha egy szám osztható 8-cal, akkor
az utolsó három számjegyébõl álló szám osztható 8-cal. ....................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................
II. Ha egy szám utolsó három számjegyébõl álló szám osztható 8-cal, akkor
a szám osztható 8-cal. .............................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................
c) Egy szám pontosan akkor osztható 125-tel, ha
az utolsó három számjegyébõl álló szám ............................................................................................................................
osztható 125-tel. ....................................................................................................................................................................................................................................... I. Ha egy szám osztható 125-tel, akkor
az utolsó három számjegyébõl álló szám osztható 125-tel.
................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................
II. Ha egy szám utolsó három
számjegyébõl álló szám osztható 125-tel, akkor a szám ....................................................................................................................................................................
osztható 125-tel. ....................................................................................................................................................................................................................................... d) Egy szám pontosan akkor osztható 3-mal, ha
a számjegyeinek összege osztható 3-mal. ..............................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................
I. Ha egy szám osztható 3-mal, akkor
a számjegyeinek összege osztható 3-mal. ..................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................
II. Ha egy szám számjegyeinek összege osztható 3-mal, akkor
a szám osztható 3-mal. ..........................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................
e) Egy szám pontosan akkor osztható 9-cel, ha
a számjegyeinek összege osztható 9-cel. ................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................
I. Ha egy szám
számjegyeinek összege osztható 9-cel, akkor a szám osztható 9-cel. ....................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................
II.
Ha egy szám osztható 9-cel, akkor a számjegyeinek összege osztható 9-cel.
.................................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................
14
Prímszámok, összetett számok 1. Az eratoszthenészi szita segítségével keressük meg a 100 és 300 közötti prímszámokat! 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300
2. Pótoljuk a hiányzó számokat úgy, hogy az adott számok prímtényezõs felbontását kapjuk! 72
3
84
9
¡
8
¡ 3
¡ 2
¡ 4
2
2
4
¡
¡ 2
¡
100
21 3
¡
7
2
4
¡
25
¡ 2
¡
5 ¡ 5
¡ 2
2 2 2 3 3 72 = ............................................
2 2 3 7 84 = ............................................
2 2 5 5 100 = ....................................
3. Végezzük el az adott számok törzstényezõs (prímtényezõs) felbontását! 2 12 2 6 2 3 3 1 24
24 =
2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 3 £££££££££
3 25 5 5 5 1 75
75 =
3 ¡ 5 ¡ 5 £££££££££
2 15 3 5 5 1 30
30 = 120
60 30 15 5 1 120 =
2 ¡ 3 ¡ 5 £££££££££ 2 2 2 3 5 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 5 £££££££££ 15
O S Z T H AT Ó S Á G
Az adott számok törzstényezõs felbontása segítségével állapítsuk meg, hogy hányszorosa a
2 2 2 3 24 = .........................................................
a) 24-nek a 2¡2¡2¡3¡5
2¡2¡2¡3¡3
2¡2¡2¡2¡3¡5
5-szöröse ....................................................
3-szorosa ....................................................
....................................................
2
5 = 10-szerese
2 3 5 30 = .........................................................
b) 30-nak a 2¡3¡5¡7
2¡2¡3¡5¡5
7-szerese ....................................................
....................................................
2
2 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 5 ¡ 11
5 = 10-szerese
2
11 = 22-szerese
....................................................
3 5 5 75 = .........................................................
c) 75-nek a 2¡3¡5¡5
3¡3¡5¡5
2¡2¡3¡5¡5¡7
2-szerese ....................................................
3-szorosa ....................................................
....................................................
2
2
7 = 28-
2 2 2 3 5 120 = .........................................................
d) 120-nak a 2¡2¡2¡2¡3¡5
2¡2¡2¡3¡3¡5¡5
2-szerese ................................................
.......................................................
3
5 = 15-szöröse
2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 5 ¡ 7 ¡ 11
7
11 = 77-szerese
..........................................................
¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤
4. A számok prímtényezõs felbontása segítségével írjuk fel az összes osztójukat prímtényezõs szorzat alakban! Az osztók elõállítása
24
30
75
120
Minden számnak osztója
1
1
1
1
2; 3
2; 3; 5
3; 5
2; 3; 5
2 prímtényezõ szorzata
2 ¡ 2; 2 ¡ 3
2 ¡ 3; 2 ¡ 5; 3¡5
3 ¡ 5; 5 ¡ 5
2 ¡ 2; 2 ¡ 3; 2 ¡ 5; 3 ¡ 5;
3 prímtényezõ szorzata
2 ¡ 2 ¡ 2; 2 ¡ 2 ¡ 3
2 ¡ 3¡ 5
3 ¡ 5¡ 5
2 ¡ 2 ¡ 2; 2 ¡ 2 ¡ 3; 2 ¡ 2 ¡ 5; 2 ¡ 3 ¡ 5;
4 prímtényezõ szorzata
2¡2¡2¡3
—
—
2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 3; 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 5; 2 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 5;
5 prímtényezõ szorzata
—
—
—
2¡2¡2¡3¡5
Osztók száma összesen
8
8
6
16
A prímszám osztók
5. Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! Írjuk a megfelelõ I (igaz) vagy H (hamis) betût az állítások elõtti négyzetbe!
H À £ H £ À I £ À H £ À 16
Van két olyan prímszám, amelyek szorzata is prím. Minden prímszám páratlan. Van olyan prímszám, amelyiknél a 2-vel nagyobb szám is prím. Nincs olyan prímszám, amelyiknél a 3-mal nagyobb szám is prím.
A legnagyobb közös osztó 1. Kössük össze azokat kék és szürke alapon lévõ prímtényezõs szorzatokat, amelyeknek van 1-nél nagyobb közös osztójuk! 2¡3
2¡5
3¡5
5¡7
2¡2¡3
7 ¡ 7 ¡ 13
2¡2¡2
3¡7
2. Kössük össze azokat a prímtényezõs szorzatokat és számokat, amelyeknek nincs 1-nél nagyobb közös osztójuk (relatív prímek)! 3¡5¡7
2¡3¡5
7 ¡ 13
2¡2¡2
9
22
26
15
3. Keressük meg a 72 és a 84 összes osztóit, és írjuk be
72 osztói
a halmazábrába!
36
1
1; 2; 3; 4; 6; 12 ...............................................................
A 72 és a 84 legnagyobb közös osztója:
24
18 72
A 72 és a 84 közös osztói:
8
12 ................................
9
3
2 4 12 6
7
21
14
84 osztói
84
28 42
4. Bontsuk prímtényezõk szorzatára az adott számokat! 3 19 19 1
3 21 3 7 7 1
57
57 =
63
3 ¡ 1 9 £££££
63 =
3 ¡ 3 ¡ 7 £££££
2 42 2 21 3 7 7 1
2 38 2 19 19 1 76
76 =
84
2 ¡ 2 ¡ 1 9 £££££££
84 =
2 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 7 £££££££
Határozzuk meg a prímtényezõs felbontás alapján az adott számok legnagyobb közös osztóját!
3
7 = 21
(57; 63) =
3 ..........................................................................................
2
2=4
(63; 76) =
..........................................................................................
(63; 84) =
..........................................................................................
(76; 84) =
..........................................................................................
1
Egyszerûsítsük a következõ törteket!
63 = 84
1
3 ⋅ 21 = 3 4 ⋅ 21 4 ...................................................................................................
57 = 63
1
1
76 = 84
1
4 ⋅ 19 = 19 4 ⋅ 21 21 ................................................................................................... 1
1
3 ⋅ 19 = 19 3 ⋅ 21 21 ...................................................................................................
76 = 63
nem egyszerûsíthetõ ................................................................................................... 17
O S Z T H AT Ó S Á G
5. Állapítsuk meg az adott számok legnagyobb közös osztóját, és egyszerûsítsük a törteket! 1 (64; 81) = ................................................. a) 64 2 81 3 32 16 8 4 2 1
27 9 3 1
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 64 = ..........................................................
b) 74
37 1
63 21 7 1
2 37 74 = .......................................................... c) 343
49 7 1
125 25 5 1
7 7 7 343 = ..........................................................
nem egyszerûsíthetõ ..........................................................
(74; 189) =
3 3 3 7
1
..............................................
74 = nem egyszerûsíthetõ 189 .........................................................
3 3 3 7 189 = .......................................................... 625
7 7 7
64 = 81
3 3 3 3 81 = .......................................................... 189
2 37
3 3 3
1 (343; 625) = ............................................
5 5 5 5
625 = nem egyszerûsíthetõ 343 .........................................................
5 5 5 5 625 = ..........................................................
Ha két szám prímtényezõs felbontásában nincs közös prímtényezõ, akkor a két szám legnagyobb közös
1 . Ezeket a számpárokat osztója ...............................
relatív prím
.....................................................................................
Ha egy tört számlálója és nevezõje relatív prím, akkor a tört
számoknak nevezzük.
tovább nem
...................................................................
egyszerûsíthetõ.
6. Színezzük azonos színûre azokat a számpárokat, amelyeknek ugyanannyi a legnagyobb közös osztójuk! 91; 143
120; 156
105; 180
150; 255
169; 260
240; 252
150 = 2 ¡ 3 ¡ 5 ¡ 5 (150; 255) = 15 91 = 7 ¡ 13 (91; 143) = 13 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 255 = 3 ¡ 5 ¡ 17 143 = 11 ¡ 13 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 169 = 13 ¡ 13 (169; 260) = 13 120 = 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 5 (120; 156) = 12 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 260 = 2 ¡ 2 ¡ 5 ¡ 13 156 = 2 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 13 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 240 = 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 5 (240; 252) = 12 105 = 3 ¡ 5 ¡ 7 (105; 180) = 15 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 252 = 2 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 3 ¡ 7 180 = 2 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 3 ¡ 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
*7. A törtek egyszerûsítéséhez (különösen nagy számok esetén) más módszereket is használhatunk. a) A számláló és a nevezõ legnagyobb közös osztójával ezek összege is osztható. 36 Például egyszerûsítsük a törtet! 64 Adjuk össze a számlálót és a nevezõt! 36 + 64 = 100. Ha a tört egyszerûsíthetõ, akkor a 100 valamelyik osztójával lehet egyszerûsíteni. 100 osztói: 1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100. Mivel a számláló és a nevezõ végzõdése nem 0 és nem 5, ezért a 2 és a 4 osztókat vizsgáljuk. Közülük a nagyobb a 4. A 36 = 4 ¡ 9 és a 64 = 4 ¡ 16, ezért 4-gyel lehet egyszerûsíteni:
36 4⋅9 9 = = . 64 4 ⋅ 16 16
18
Egyszerûsítsük a következõ törteket! Ha tudjuk, alkalmazzuk a fenti módszert! 1
1
66 = 34
2 ⋅ 33 = 33 2 ⋅ 17 17 ................................................................................................
125 = 5 ⋅ 25 = 5 3 ⋅ 25 3 75 .............................................................................................
49 = 91
7 ⋅7 = 7 7 ⋅ 13 13 ................................................................................................
52 = 2 ⋅ 26 = 2 3 ⋅ 26 3 78 .............................................................................................
1 1
1
1 1
1
b) Ha egy tört egyszerûsíthetõ egy számmal, akkor a számláló és a nevezõ különbsége is osztható azzal 126 a számmal. Például egyszerûsítsük a törtet! 90 Vonjuk ki a nagyobb számból a kisebbet! 126 µ 90 = 36. A 126 és a 90 közös osztója a különbségüknek is osztója. Ha a tört egyszerûsíthetõ, akkor a 36 valamelyik osztójával lehet egyszerûsíteni. A 36 osztói: 1; 2; 3; 4, 6; 9; 12; 18; 36. A 36 nem osztója a 90-nek, de a 18 osztója a számlálónak és a nevezõnek is, ezért 18-cal lehet egyszerûsíteni.
126 7 ⋅ 18 7 = = . 90 5 ⋅ 18 5 Egyszerûsítsük a következõ törteket!
222 = 185
1
169 = 195
6 ⋅ 37 = 6 5 ⋅ 37 5 .................................................... 1
2 2 2 ¤¤¤¤ µ 1 8 5 ¤¤¤¤ 3 7 ¤¤¤¤
1
13 ⋅ 13 = 13 13 ⋅ 15 15 ....................................................
711 = 632
1
1 9 5 ¤¤¤¤ µ 1 6 9 ¤¤¤¤ 2 6 ¤¤¤¤
1
9 ⋅ 79 = 9 8 ⋅ 79 8 .................................................... 1
7 1 1 ¤¤¤¤ µ 6 3 2 ¤¤¤¤ 7 9 ¤¤¤¤
c) Megkereshetjük a számláló és a nevezõ közös prímtényezõit egyszerre is. Például egyszerûsítsük a
210 törtet! 294
Leírjuk a számokat, és megkeressük a legkisebb közös prímszámot, majd a következõt, míg a kapott hányadosok legnagyobb közös osztója 1 nem lesz (relatív prímek lesznek)! 210 105 35
294 147 49
5
7
A tört 2 ¡ 3 ¡ 7 = 42-vel egyszerûsíthetõ.
2 3 7
210 5 ⋅ 42 5 = = . 294 7 ⋅ 42 7
relatív prímek
Egyszerûsítsük a következõ törteket!
126 = 210
1
3 ⋅ 42 = 3 5 ⋅ 42 5 ....................................................
260 = 156
1
2 63 105 3 21 35 7 3 5
126
210
1
5 ⋅ 52 = 5 3 ⋅ 52 3 ....................................................
210 = 462
1
260
130 65 5
2 78 2 39 13 3
156
1
5 ⋅ 42 = 5 11⋅ 42 11 .................................................... 1
2 105 231 3 35 77 7 5 11 210
462
19
O S Z T H AT Ó S Á G
A legkisebb közös többszörös 1. Gabi minden harmadik ütemre tapsol, Éva pedig minden negyedik ütemre dobol. Hányadik ütemre hallatszik együtt a taps és a dob? Karikázzuk be a táblázatban azt az ütemet, amikor Gabi tapsol, és Éva dobol! Gabi
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Éva
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
12. és a 24. ............................................................................................................................
ütemekben.
12. ütemben. A 3 és a 4 legkisebb közös többszöröse: [3; 4] = Elõször hallatszik együtt a ...............
12 ......................... .
Egyszerre hallatszik a taps és a dob a
2. Andris kéthetenként, Balázs háromhetenként jár szerdán a könyvtárba. Ezen a héten együtt mentek. Hány hét múlva mehetnek ismét együtt, ha megtartják ezt az ütemezést?
2, 4, .......... 6, 8 , .......... 10 , .......... 12 , .......... 14 hét múlva megy ismét könyvtárba. Andris .......... 3, 6 , 9, 12 15 18 21 .........., .........., .........., .......... hét múlva megy ismét könyvtárba. Balázs .......... 6 , .......... 12 , .......... 18 hét múlva. Egyszerre mennek .......... 6 hét múlva mennek egyszerre. A 2 és a 3 legkisebb közös többszöröse: [2; 3] = Legközelebb .......... 3. Keressük meg az adott számok legkisebb közös többszörösét! 2 2 2 3 a) 24 = ............................................................................................................................................ 40 =
2
[24; 40] = b) 45 =
2
2
5
............................................................................................................................................
3
2
2
2
3
2
2 2 2 3
3
45
5
2
2
3
5
.........................................................................................................................................
4. Keressük meg a 15 és a 21 legkisebb közös többszörösét! 3 5 7 = 105 [15; 21] = ....................................................................................................................................... Végezzük el a törtek összeadását és kivonását a lehetséges legkisebb közös nevezõvel! a)
7 5 + = 49 + 25 = 74 105 105 105 15 21 ................................................................................................................................
b)
11 2 µ = 77 µ 10 = 67 105 105 105 15 21 ................................................................................................................................
5. Végezzük el a kijelölt mûveleteket a lehetséges legkisebb közös nevezõvel!
20
2 2 2 5
5=
15 5 1
3 3 5
120
3 5
21
2 2 2 3 3 5 = 360 [45; 120] = ..............................................................................................................................
a) 1
40
20 10 5 1
................................................................................................................................
............................................................................................................................................
120 =
24
12 6 3 1
6
................ .
5 3 7 µ + = 34 µ 9 + 7 = 32 = 4 = 1 1 24 24 24 24 3 3 12 8 24 ..................................................................................................................
b)
13 7 8 µ + = 13 µ 40 + 28 = 1 60 60 60 60 60 12 15 ....................................................................................................................
c)
9 7 3 µ + = 36 µ 14 + 75 = 97 100 100 100 100 25 50 4 .....................................................................................................................
d)
5 1 3 µ + = 625 µ 8 + 60 = 677 1000 1000 1000 1000 8 125 50 ..................................................................................................................
15
5 1
60 30 15 5 1
7 1
2 2 2 3 5
3 7
6. Írjuk a színes téglalapokba a két szám legkisebb közös többszörösének prímtényezõs szorzat alakját! Kössük össze azokat a különbözõ színû téglalapokat, amelyekben a számok legkisebb közös többszöröse egyenlõ!
1 2 = 2 ¡ 2 ¡ 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 5 = 5 ¡ 7 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 0 5 = 3 ¡ 5 ¡ 7 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 6 = 2 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 5 = 3 ¡ 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 8 = 2 ¡ 2 ¡ 7 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 0 = 2 ¡ 2 ¡ 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 1 = 3 ¡ 7 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 5 = 3 ¡ 3 ¡ 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
[35; 36] [12; 35]
2 ¡2 ¡3 ¡3 ¡5 ¡7
2¡2¡3¡5¡7
[15; 28]
2¡2¡3¡5¡7 [20; 21] [12; 105]
2¡2¡3¡5¡7
2¡2¡3¡5¡7
[28; 45]
2 ¡2 ¡3 ¡3 ¡5 ¡7
7. Határozzuk meg! 7 (14 = 2 7, 21 = 3 7) a) (14; 21) = ................................................................................................................................ [14; 21] =
2
3
7 = 42
................................................................................................................................
(14; 21) ¡ [14; 21] = 14 ¡ 21 =
294
..........................................................................................................
294
..................................................................................................................................
6 (18 = 2
3
3, 30 = 2
2
5 = 90
3
5)
b) (18; 30) =
................................................................................................................................
[18; 30] =
................................................................................................................................
3
3
(18; 30) ¡ [18; 30] = 18 ¡ 30 =
540 ..........................................................................................................
540
..................................................................................................................................
50 (100 = 2
2
5
5, 150 = 2
2
5 = 300
3
5
c) (100; 150) =
...........................................................................................................................
[100; 150] =
...........................................................................................................................
2
3
(100; 150) ¡ [100; 150] =
5
15 000 ...............................................................................................
15 000 100 ¡ 150 = ............................................................................................................................. Írjuk le az észrevételeinket!
Két szám szorzata egyenlõ a legnagyobb közös osztójának és legkisebb közös többszörösének .............................................................................................................................................................................................................................................. szorzatával. .............................................................................................................................................................................................................................................. 8. Egy cégnél a tervezési osztály vezetõje átlagban havi 1000 km-t, a kivitelezési részlegvezetõ havi 4000 km-t, a cégvezetõ havi 2500 km-t tesz meg az autójával. Hány hónap múlva viszik az autóikat újra egyszerre a szervizbe, ha azokat 20 000 kilométerenként kötelezõ szervizelni, és most éppen mindhármuk autója a szervizben van? A tervezési osztályvezetõ a 20.; 40.; 60.; 80.; ... hónapban, ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ a kivitelezési részlegvezetõ az 5.; 10.; 15.; 20.; 25.; 30.; 35.; 40.; ... hónapban, ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ a cégvezetõ pedig a 8.; 16.; 24.; 32.; 40.; ... hónapban szervizel. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ [20; 5; 8] = 40 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
Válasz:
A 40. hónapban viszik újra együtt a szervizbe az autójukat. ............................................................................................................................................................................................................................ 21
O S Z T H AT Ó S Á G
Vegyes feladatok 1. Keressük meg azt a legkisebb pozitív egész számot, amelyik a pozitív egyjegyû számok mindegyikével osztható! Ez a szám osztható ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2-vel, 3-mal, 4 = 2 ¡ 2-vel, 5-tel, 6 = 2 ¡ 3-mal, 7-tel, 8 = 2 ¡ 2 ¡ 2-vel és 9 = 3 ¡ 3-mal. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Ezért a szám prímtényezõs alakja: ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 3 ¡ 5 ¡ 7 = 2520. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Tehát a legkisebb olyan szám, amelyik az egyjegyû pozitív számok mindegyikével osztható, a 2520. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
2. Milyen számjegyeket írhatunk a betûk helyére, hogy az x 206 y szám osztható legyen a) 6-tal;
b) 15-tel;
x
y
x
1; 4; 7 0
2; 5; 8 0; 3; 6; 9 1; 4; 7 2; 5; 8
c) 36-tal; y
1; 4; 7 0 2; 5; 8 5
2 4 6 8
x
d) 45-tel? y
1 0 6 4 2 8
x
y
1 0 5 5
3. Írjuk be a négyzetekbe a 0; 1; 2; ... ; 9 számokat úgy, hogy a beírt számok összege minden sorban osztható legyen 5-tel!
0 1 2 3
9 5
4
8 6
7
Mivel mindegyik sorban a számjegyek összege osztható 5-tel, olyan összeget ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ kell felírni, amely 0-ra vagy 5-re végzõdik. Például: ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 10 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Ezek alapján már elvégezhetõ a számpiramis kitöltése. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
*4. Egy 400-nál kisebb létszámú iskolában a felsõ tagozatosok száma eggyel több, mint az alsó tagozatosoké. Az iskolai ünnepségen úgy akarják leültetni a gyerekeket, hogy minden sorban ugyanannyian legyenek. Ha négy, öt vagy hat sorba ültetnék õket, akkor kimaradna 1 gyerek. Ezért hét sorba ültetik a tanulókat, mert így nem marad ki egy sem. Hány alsós és hány felsõs gyerek jár ebbe az iskolába? Ha a kimaradó 1 gyereket nem vesszük figyelembe, akkor az iskola létszáma osztható 4-gyel, 5-tel és 6-tal. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Ezért keressük a 4, az 5 és a 6 legkisebb közös többszörösét. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 = 2 ¡ 2, 6 = 2 ¡ 3, [4; 5; 6] = 2 ¡ 2 ¡ 3 ¡ 5 = 60. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Ezután megnézzük, hogy 60 többszöröseihez 1-et adva, melyik osztható 7-tel. A 61 nem, a 121, nem, a 181 nem, ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ a 241 nem, a 301 igen. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 301 = 150 + 151. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
Válasz:
22
150 alsós és 151 felsõs gyerek jár ebbe az iskolába.
............................................................................................................................................................................................................................
*5. Határozzuk meg a legkisebb olyan pozitív egész számot, amelyik 5-tel osztva 4, 7-tel osztva 6, 9-cel osztva pedig 8 maradékot ad! Ha a keresett számhoz 1-et adnánk, akkor az így kapott számnak osztója lenne az 5, a 7 és a 9 is. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Megkeressük az 5, 7 és 9 legkisebb közös többszörösét. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ [5; 7; 9] = 315, a számunk ennél 1-gyel kisebb: 315 µ 1 = 314. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Ellenõrzés: 314 = 62 ¡ 5 + 4; 314 = 44 ¡ 7 + 6; 314 = 34 ¡ 9 + 8. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Tehát a feltételeknek megfelelõ legkisebb szám a 314. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
*6. Leírtuk a számokat 1-tõl 20-ig. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 a) Válasszunk ki a felsorolt számok közül egy 3-nál nagyobb prímszámot! Írjuk be a táblázat elsõ oszlopába! Szorozzuk össze a kiválasztott szám szomszédait! Melyik számmal osztható biztosan a szorzat? a prímszám
a kisebb szomszéd
a nagyobb szomszéd
a két szomszédos szám szorzata
a szorzat prímtényezõs felbontása
5
4
6
24
2¡2¡2¡3
7
6
8
48
2¡2¡2¡3
11
10
12
120
2¡2¡2¡3
13
12
14
168
2¡2¡2¡3
19
18
20
360
2¡2¡2¡3
2 4 2 4 8 2 1 2 0 2 1 6 8 2 3 6 0 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 2 2 2 4 2 6 0 2 8 4 2 1 8 0 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 2 1 2 2 3 0 2 4 2 2 9 0 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 3 6 2 1 5 3 2 1 3 4 5 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 3 3 5 5 7 7 1 5 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 1 1 5 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Mely számokkal osztható biztosan egy 3-nál nagyobb prímszám két szomszédjának szorzata?
...................
2....................................................................................................................................................................................................................................... 2 2 3 = 24-gyel. b) Fel lehet-e osztani a felsorolt számokat két csoportra úgy, hogy a két csoportban lévõ számok a) összege; b) szorzata egyenlõ legyen? Ha igen, írjuk le a két csoportban lévõ számokat! a) 1 + 20 + 2 + 19 + 3 + 18 + 4 + 17 + 5 + 16 = 5 ¡ 21 = 105 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 + 15 + 7 + 14 + 8 + 13 + 9 + 12 + 10 + 11 = 5 ¡ 21 = 105 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ b) Mivel az adott számok között vannak olyan prímszámok, amelyek csak az egyik csoportban fordulhatnak elõ, ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ így nem érhetõ el, hogy a két csoportban a számok szorzata egyenlõ legyen. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
23
H O G YA N O L D J U N K M E G F E L A D A T O K A T ?
2. HOGYAN OLDJUNK MEG FELADATOKAT? Mi a kérdés? 1. Sári és Nóra matricákat gyûjtenek. Sárinak 20, Nórának 60 matricája van. Egészítsük ki a hiányos kérdéseket úgy, hogy ugyanaz legyen rájuk a válasz, mint az eredeti kérdésre! a) Hányszorosa Nóra matricáinak száma Sári matricái számának?
Sári matricáinak számát, hogy Mennyivel kell megszorozni ...................... Mennyivel kell
Sári
......................
elosztani .....................................................
Nóra
......................
matricáinak számát kapjuk?
Nóra matricáinak számát, hogy Sári matricáinak számát kapjuk?
matricáinak számát hányszorosára kell növelni, hogy
Nóra
.........................
matricáinak számát kapjuk?
b) Hányszorosa Sári matricái számának kettejük összes matricáinak száma?
Sári matricáinak számát, hogy Mennyivel kell megszorozni ............ Mennyivel kell
szorozni ..............................
Sári és Nóra ................................
matricáinak számát kapjuk?
Sári matricáinak számát, hogy kettejük összes matricáinak számát kapjuk?
Sári matricáinak számát hányszorosára kell növelni, hogy kettejük összes ................................. matricáinak számát kapjuk?
..............
c) Mennyivel több Nóra matricáinak száma Sári matricáinak számánál?
Sári matricáinak számát, hogy Mennyivel kell megnövelni .................... Mennyivel kell
Nóra
.........................
növelni
....................................................
Nóra ...........................
matricáinak számát kapjuk?
Sára matricáinak számát, hogy Nóra matricáinak számát kapjuk?
matricáinak számát mennyivel kell csökkenteni, hogy
Sári
.....................
matricáinak számát kapjuk?
2. Mikor 10 éves voltam, édesapám 36 éves volt. Két év múlva, mikor édesanyám volt 36 éves, megszületett az öcsém. Válaszoljunk az alábbi kérdésekre!
12 évvel. a) Hány évvel vagyok idõsebb az öcsémnél? ............... 36 éves volt, én .................. 12 éves voltam. b) Amikor az öcsém született, az édesanyám ............... háromszorosa Ekkor az én életkoromnak az édesanyám életkora a ............................................................. volt. c) Mennyi volt a családtagok életkorának összege µ az öcsém születésekor;
12 + 36 + 38 + 0 = 86 ...........................................................................................................................................................................
µ az öcsém 6 éves korában?
86 + 4
6 = 86 + 24 = 110
....................................................................................................................................................................
3. A szülõi munkaközösség kirándulást szervez egy 6.-os osztálynak 30 fõre. A kiadások tervezésekor 2-2 reggelit, ebédet és vacsorát számolnak. Egy reggeli 250 Ft; egy ebéd 800 Ft; egy vacsora pedig 650 Ft. Az útiköltség oda-vissza fejenként 5800 Ft. Tegyünk fel kérdéseket a feladattal kapcsolatban, és válaszoljunk! Például: ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ a) Mennyibe kerül az étkezés és az útiköltség 1-1 fõre? ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 ¡ (250 + 800 + 650) + 5800 = 2 ¡ 1700 + 5800 = 3400 + 5800 = 9200 Ft. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 fõ részére az útiköltség és az étkezés 9200 Ft-ba kerül. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
24
b) Mennyi a 30 fõ étkezési és útiköltsége? ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 30 ¡ 9 200 = 276 000 Ft. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Az útiköltség és az étkezés 276 000 Ft a 30 fõ részére. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
4. Egy téglatest egy csúcsba futó éleinek hossza centiméterben mérve egész szám, szorzatuk pedig 27. Készítsünk rajzot! A következõ kérdések közül melyikre tudunk A) számolás nélkül válaszolni; B) számolás után válaszolni? a) b) c) d)
b), d)
.....................................................................................
1.
a), c) .......................................................................................
Mekkora lehet a téglatest felszíne? Mekkora lehet a téglatest térfogata? Mennyi lehet a téglatest egy csúcsba futó éleinek hossza? Melyik egész számnál biztosan kisebb a téglatest leghosszabb éle?
Válaszoljunk a kérdésekre!
a) A1 = 6 3 3 = 54 cm2. ......................................................................................................................................................... 2
A2 = 2 (1 3 + 1 9 + 3 9) = 78 cm . ......................................................................................................................................................... 2
A3 = 2 1 1 + 4 1 27 = 110 cm . .........................................................................................................................................................
2.
3.
.........................................................................................................................................................
b) V1 = V2 = V3 = 27 cm3. ......................................................................................................................................................... .........................................................................................................................................................
c) Az egy csúcsba futó élek hossza: ......................................................................................................................................................... 1. test: 3 cm; 3 cm; 3 cm ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2. test: 1 cm; 3 cm; 9 cm ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3. test: 1 cm; 1 cm; 27 cm ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ d) 28 cm-nél biztosan kisebb a téglatest leghosszabb éle. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
5. Egy téglatest egy csúcsába futó éleinek hossza három egymást követõ egész szám. A téglatest élei hosszának összege 84 cm. Karikázzuk be annak a kérdésnek a betûjelét, amelyikre számolás nélkül tudunk válaszolni! Válaszoljunk a kérdésekre! a) Osztható-e 3-mal az egy csúcsba futó három él hosszának összege? b) Az egy csúcsba futó három él hosszának összege páros vagy páratlan szám? c) Mennyi a téglatest egy-egy élének hossza? a) 84 ¢ 4 = 21. Osztható 3-mal az egy csúcsba futó három él hosszának összege. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ b) Páratlan szám az egy csúcsba futó három él hosszának összege. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ c) A téglatest éleinek hossza: 6 cm; 7 cm; 8 cm. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
25
H O G YA N O L D J U N K M E G F E L A D A T O K A T ?
Vizsgáljuk meg az adatokat! 1. Magdit elküldte az édesanyja a 250 m távolságra lévõ boltba, ahol 430 Ft-ot fizetett. Hazavitte az árut, majd elment a 800 méterre lakó barátnõjéhez, akivel a fagyizóban mindketten kétgombócos fagyit vettek, fejenként 180 Ft-ért. Mennyit költött Magdi a boltban és a fagyizóban összesen? Ha van a szövegben olyan adat, amely a kérdés megválaszolásához felesleges, azt húzzuk át! A kérdés megválaszolásához szükséges adatok: Megoldás:
430 Ft; 180 Ft.
................................................................................................................................
430 Ft + 180 Ft = 610 Ft. .....................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................
Válasz:
Magdi 610 Ft-ot költött a boltban és a fagyizóban összesen. ............................................................................................................................................................................................................................
2. Egy hangyabolyból 25 hangya szétszéledt. Négy hangya a teraszon talált 20 morzsát. Mind a négy hangya legalább 3, legfeljebb 6 morzsát cipelt el. Hány morzsát vitt el az a hangya, amelyiknek a legkevesebb jutott a 20 morzsából, ha a négy közül két hangya 5-5 morzsát cipelt el? Van-e felesleges adat? Ha van, húzzuk át! 20 µ 2 ¡ 5 = 10 morzsa maradt két hangyának. A két hangya egyike sem vihetett 5 morzsát sem és 7 morzsát sem. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Így a 10 = 4 + 6 felbontásból következik, hogy a legkevesebb morzsát cipelõ hangya 4 morzsát vitt. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
3. Egy gyümölcsöskertben 5 szilvafa, 2 almafa, 3 körtefa és 1 sárgabarackfa van. A tulajdonos minden évben lejegyezte a leszedett gyümölcs tömegét. A fia diagramot készített az édesapja feljegyzései alapján. a) Hány kilogramm alma termett a gazdánál ebben a három évben összesen?
55 + 50 + 85 = 190 kg. ...................................................................................................................
2005-ben. b) Melyik évben termett több sárgabarack, mint alma? ........................
tömeg (kg) 90 80
sárgabarack
70 60 50 40
.......................
30
Alma: 50 kg, sárgabarack: 70 kg. ............................................................................................................................................
20
Mennyi alma és mennyi sárgabarack termett ekkor?
alma
10
c) A három év alatt alma vagy sárgabarack termett több?
Sárgabarack: 35 + 70 + 45 = 150 kg. ............................................................................................................................................
2004
2005
2006
év
Almából termett több ebben a három évben. ....................................................................................................................................................................................................................................... 4. Zsolt 9 matricája 1000 Ft-nál kevesebbe került. 10 ugyanilyen matrica 1100 Ft-nál többe került volna. Mennyi az ára egy ilyen matricának? 9 matrica ára < 1000 Ft. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Mivel 10 matrica ára > 1100 Ft , ezért 1 matrica ára > 110 Ft. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Ha 1 matrica 112 Ft lenne, akkor 9 matrica 9 ¡ 112 = 1008 Ft lenne, ami több, mint 1000 Ft. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
Válasz:
26
Egy matrica ára 111 Ft. ............................................................................................................................................................................................................................
Az itt következõ feladatokban nem szerepelnek számok. A megoldás során a hiányzó számokat jelekkel helyettesítjük. Határozzuk meg, hogy melyik jel melyik mennyiséget jelöli! Adjunk meg valós értékeket, és számoljunk! Válaszoljunk a kérdésekre! Ð À Ô Ä 5. Csaba egy közepes pizzát rendelt .................... -féle rátéttel. Egy közepes pizza alapára ...................................... forint. × Ç Mennyit fizetett Csaba a pizzáért, ha mindegyikféle rátét .................................. forintba kerül? A megoldáskor így számolunk:  Ò=Ä Ô + (À Ð¡Ç ×) A jelek jelentése:
Valós adatok megadása:
közepes pizza alapára Ô : ................................................................ Ä
...............................................
Ft
rátétek száma Ð : ................................................................ À
...............................................
Ft
1 rátét ára × : ................................................................ Ç
...............................................
Ft
a pizza ára a rátétekkel Ò : ................................................................ Â
...............................................
Ft
Válasz:
...................................................................................................................
..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
6. Miklós vonalas telefonon hívta fel az egyik unokatestvérét. A távolsági hívás kapcsolási díja
Ò Â ..........................
Ô Ä Ð À forint, a beszélgetés percdíja pedig ......................... forint. Mennyibe kerül a hívása, ha ....................... percig beszélt? A következõ egyenlõségek közül keretezzük be azt, amelyik leírja a feladat megoldását! Â=Ä Ò Ô¡À ÐµÇ ×;
Â=Ç Ò ×µÄ Ô¡À Ð;
Ç=Ä × Ô¡À е Ò;
A jelek jelentése:
Valós adatok megadása:
kapcsolási díj Ò : ................................................................ Â
...............................................
Ft
percdíj Ô : ................................................................ Ä
...............................................
Ft
beszélgetés ideje Ð : ................................................................ À
...............................................
Ft
a beszélgetés költsége × : ................................................................ Ç
...............................................
Ft
Válasz:
...................................................................................................................
..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................
Ç=Â × Ò+Ä Ô¡À Ð
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
7. Az egyik sportszerboltban egy hétig akciósan árulták a gördeszkát és a térdvédõt. A gördeszkát Â Ò forint,
a térdvédõt pedig Ä Ô forint kedvezménnyel adták. Egy hét alatt À Ð darab gördeszkát és Ç × darab térdvédõt adtak el. Mennyi árkedvezményt adtak a vásárlóknak ezen a héten a két áruért? Írjuk le jelekkel a megoldást kifejezõ egyenlõséget, ha az összes árkedvezmény Á Ñ forint volt! A jelek jelentése:
egy gördeszka árkedvezménye
Â: Ò
..........................................................................................................
Ä: Ô
egy térdvédõ árkedvezménye ..........................................................................................................
À: Ð
az eladott gördeszkák száma ..........................................................................................................
Ç: ×
az eladott térdvédõk száma ..........................................................................................................
Á : Az összesen adott árkedvezmény ezen a héten. Ñ Így számoltunk:
Ñ=À Á × Ä Ô. Ð Â Ò+Ç .........................................................................................................................................................................................................
27
H O G YA N O L D J U N K M E G F E L A D A T O K A T ?
Következtessünk visszafelé! 1. Gondoltam egy kétjegyû számot. Hozzáadtam 5-öt, megszoroztam 20-szal, elvettem belõle 100-at, elosztottam 20-szal, majd felcseréltem a számjegyeket, így 53-at kaptam. Melyik számra gondoltam? 20
+5
35
¢ 20
µ100
40
800
µ5
¢ 20
700
35
53
47
74
20
+100
Próbáljuk ki más gondolt számmal is!
47
52
+5
1040
20
940
µ100
¢ 20
Meg tudjuk-e mondani a kapott számból, hogy mi a gondolt szám? Ha igen, bûvészkedjünk!
2. Gondoltam egy számot, megszoroztam 4-gyel, hozzáadtam 36-ot, elosztottam 2-vel, kivontam belõle 25-öt, így 7-et kaptam.
4
x Melyik számra gondoltam?
28 ¢4
7
¢2
+36
64 µ 36
µ 25
32 2
7 +25
................................................................................................................................................................................
7 4 = 28 28 + 36 = 64 64 ¢ 2 = 32 32 µ 25 = 7 Ellenõrzés: .................................................................................................................................................................................................................... Válasz:
A 7-re gondoltam.
............................................................................................................................................................................................................................
3. Az óra végét jelzõ kicsöngetéskor a tanterembõl kiment a tanulók fele és még 3 gyerek, majd a maradék fele és még 3 gyerek. Ezután már csak a két hetes maradt az osztályban. Hány gyerek jár ebbe az osztályba, ha senki sem hiányzott? µ3
¢2
26
x
13 2
10 +3
µ3
¢2
5 2
2 +3
Ellenõrzés:
26 ¢ 2 = 13 Válasz:
13 µ 3 = 10
10 ¢ 2 = 5
5µ3=2
26 gyerek jár az osztályba. ............................................................................................................................................................................................................................
4. A diák színjátszók fesztiválját az idén 4 naposra tervezik. Az elsõ napon 5, a második napon 4 iskolai társulat mutatkozik be. A harmadik napon a maradék társulatok harmada lép színpadra. Így a negyedik napra 6 elõadás marad. Hány iskolai társulat lép fel a fesztiválon összesen?
1. nap
2. nap
5 elõadás
4 elõadás
3. nap
6 elõadás
1. nap 5 elõadás; 2. nap 4 elõadás; 3. nap 3 elõadás; 4. nap 6 elõadás. 5 + 4 + 3 + 6 = 18 társulat. Ellenõrzés:
Az 1. nap 5 társulat, a 2. nap 4 társulat lép fel. Marad 18 µ (5 + 4) = 9 társulat. A 3. nap 9 ¢ 3 = 3 társulat lép fel. A 4. napra 9 µ 3 = 6 társulat elõadása marad. Válasz:
28
Összesen 18 iskolai társulat lép fel a fesztiválon. ............................................................................................................................................................................................................................
5. Erzsinek verset kellett tanulnia. Csütörtökön megtanulta az összes versszak egyharmadát, pénteken a maradék versszakok felét, így szombatra és vasárnapra már csak 4 versszak maradt. Hány versszakos volt a vers? Hány versszakot tanult meg csütörtökön?
Ennyi verset kellett megtanulni: Csütörtökön megtanulta: maradt: Pénteken megtanulta:
4 versszak
maradt:
Pénteken és csütörtökön is 4 versszakot tanult meg; 4 + 4 + 4 = 12 versszakból áll a vers. Ellenõrzés:
Csütörtökön megtanult 12 ¢ 3 = 4 versszakot, maradt 8 versszak. Pénteken megtanult 8 ¢ 2 = 4 versszakot, maradt 4 versszak. Válasz:
A vers 12 versszakos és csütörtökön 4 versszakot tanult meg. ............................................................................................................................................................................................................................
*6. Egy titkárnõnek hétfõn reggel kiadta a fõnöke, hogy a héten kinek kell levelet küldenie. A titkárnõ hétfõn és kedden megírta a leveleket. Szerdán feladta a levelek felét és még egy fél levelet. Csütörtökön feladta a maradék levelek felét és még egy fél levelet. Pénteken feladta a maradék felét és még egy fél levelet, így végzett a munkájával. Hány levelet kellett összesen feladnia a héten? A pénteken feladott levelek:
A fél levél
+ a maradék levelek fele
Így péntekre maradt 1 levél
.
.
A csütörtökön feladott levelek:
A fél levél
és a péntekre maradt 1 levél
+ a maradék levelek fele
Így csütörtökre maradt 3 levél
.
.
A szerdán feladott levelek:
A fél levél
és a csütörtökre maradt 3 levél
+ a levelek fele
.
Összesen:
7 levél
.
Ellenõrizzük a megoldást! a feladott levelek száma
a megmaradt levelek száma
Szerda
4
3
Csütörtök
2
1
Péntek
1
0
Válasz:
A titkárnõnek összesen 7 levelet kellett feladnia. ............................................................................................................................................................................................................................ 29
H O G YA N O L D J U N K M E G F E L A D A T O K A T ?
Készítsünk ábrát! 1. Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz (I), melyik hamis (H), ha tudjuk, hogy 5 + 7 = 12! I À £ B) À I £ C) À I £ D) À I £ E) À H £ A)
A 12 héttel több, mint az 5. A 7-hez 5-öt kell adni, hogy 12 legyen. A 12-nél héttel kisebb szám az 5. Az 5-nél 7-tel nagyobb szám a 12. A 12 hétszerese az 5-nek.
2. Készítsünk ábrát, és az alapján döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz (I), melyik hamis (H)! A varázslók földjén a két legkisebb pénzegység: az alig és a bagó. 1 bagó 6 aligot ér.
I À £ B) À I £ C) À I £ D) À I £ E) À H £ A)
Egy bagó hatszorosa az 1 alignak.
1 bagó
1 bagó meg 2 alig az 8 alig. Egy bagó hatodrésze 1 alig. Egy alig hatszorosa 1 bagó.
1 alig
Egy bagó 6-tal nagyobb egy alignál.
3. Készítsünk ábrát, és az alapján döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz (I), melyik hamis (H)! A vufle 7-tel nagyobb a vaflénál.
I À £ B) À I £ C) À I £ D) À I £ E) À H £ A)
A vufle 7-tel több, mint a vafle.
1 vufle
A 7-hez vaflét kell adni, hogy vufle legyen. A vufléból 7-et elvéve vaflét kapunk.
1 vafle
A vaflénál 7-tel nagyobb a vufle.
7
A vufle hétszerese a vaflénak.
4. Albert, Bálint és Csaba megszámolták a zsebpénzüket. Albertnek 5-ször annyi, Bálintnak 3-szor annyi pénze volt, mint Csabának. Hármójuknak együtt 4500 Ft-juk volt. Hány forintjuk volt külön-külön? Készítsünk ábrát!
Albert: Bálint: Csaba:
4500 Ft
4500 ¢ 9 = 500 Csaba: 500, Bálint: 1500, Albert: 2500
Ellenõrzés:
500 + 1500 + 2500 = 4500 Csabának 500 Ft-ja, Bálintnak 1500 Ft-ja, Albertnek 2500 Ft-ja volt. Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................ ..............................................................................................................................................................................................................................................
5. Lacinak több pénze van, mint Pistának. Ha mindketten elköltenek a pénzükbõl annyit, mint Pista pénzének a fele, akkor Lacinak háromszor annyi pénze lesz, mint Pistának. Eredetileg hányszorosa Laci pénze Pista pénzének?
Az elköltés után Lacinak háromszor annyi pénze marad, mint Pistának. Ábrázolva: Pista: Laci: A maradék pénz Pista pénzének fele, így annyit költöttek el, amennyi Pistának maradt. Eredetileg a pénzük: Laci: Pista:
Válasz:
30
Eredetileg Laci pénze Pista pénzének a kétszerese. ............................................................................................................................................................................................................................
6. Írjunk szöveges feladatot a rajzokhoz! Oldjuk is meg, és válaszoljunk a kérdésre! b)
? 9
Bea:
Feladat:
Ádám: 548
60 Bence:
Feladat:
..........................................................................................
Anna:
a)
?
..........................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
Válasz:
Válasz:
............................................................................................
............................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
7. Hány forinttal indult Marci az írószerboltba, ha vett a testvérének egy tollat 360 Ft-ért, magának egy radírt 150 Ft-ért, és még megmaradt a pénzének az
1 része? 3
360 + 150 Ft
360 + 150 = 510
1 rész 3
510 ¢ 2 = 255 510 + 255 = 765
Ellenõrzés:
765 µ 510 = 255 és 765 ¢ 3 = 255 Válasz:
Marci 765 Ft-tal indult az írószerboltba. ............................................................................................................................................................................................................................
8. Dóri délután kihegyezett a színes ceruzáiból 3-at, majd a még ki nem hegyezettek harmadát, ezután még a maradék felét, az utolsó hármat azonban csak az edzés után tudja befejezni. Hány színes ceruzája van Dórinak? Készítsünk ábrát!
3 ceruza
Rajzoljuk le egy szakasszal az összes ceruzát!
harmad
A rajzról leolvasható, hogy Dórinak összesen
fele 3
12 színes ceruzája van.
Ellenõrzés:
Kihegyezett 3-at, maradt 12 µ 3 = 9, majd ennek a harmadát, 9 ¢ 3 = 3-at. Maradt 9 µ 3 = 6 hegyezetlen ceruza. Ennek a fele 6 ¢ 2 = 3, maradt 6 µ 3 = 3 ceruza hegyezése edzés utánra. Dórinak 12 színes ceruzája van. Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................ 31
H O G YA N O L D J U N K M E G F E L A D A T O K A T ?
Tartsunk egyensúlyt! 1. Gabi egy kétkarú mérleggel méreget otthon. A mérleg akkor kerül egyensúlyba, ha az egyik serpenyõbe 3 poharat és 25 dkg tömeget, a másik serpenyõbe pedig egy tálat tesz. Ha a tálba beleteszi a tolltartóját, akkor a 3 pohár mellett 55 dkg tömegnek kell lennie, hogy a mérleg egyensúlyban legyen. Hány dekagramm Gabi tolltartója? Rajzoljuk le a mérleget a serpenyõbe tett tömegekkel! 1. eset
2. eset
Megoldás: 5 dkg 10 dkg
Válasz:
5 dkg
20 dkg
10 dkg
20 dkg
20 dkg
20 dkg
Gabi tolltartója 30 dkg tömegû. ............................................................................................................................................................................................................................
2. Az ábrán látható mérleg egyensúlyban van, a zsákok tömege egyenlõ. Hány dekagramm tömegû egy zsák? Rajzoljunk! 5 dkg 5 dkg
20 dkg
10 dkg
20 dkg
20 dkg
5 dkg
10 dkg
5 dkg
20 dkg 20 dkg
20 dkg
20 dkg
Ellenõrzés: Határozzuk meg minden esetben, hogy hány dekagramm van összesen a serpenyõkben!
80 ........................ Válasz:
dkg
80 ........................
dkg
50 ........................
dkg
50 ........................
dkg
20 ........................
dkg
20 ........................
dkg
Egy zsák tömege 10 dkg.
............................................................................................................................................................................................................................
3. Az ábrán látható mérleg egyensúlyban van. A téglák egyenlõ tömegûek. Hány kilogramm tömegû 1 tégla? Rajzoljunk! (
: egész tégla; 500
500 g
1 kg
1 kg
g
1 kg 500 g
: fél tégla.) 500
500 g
1 kg
1 kg
g
1 kg 500 g
500 g
Ellenõrzés:
4 és fél
...........................
Válasz:
kg
4 és fél
...........................
kg
2 és fél
...........................
kg
2 és fél
...........................
kg
fél
...........................
kg
fél
...........................
kg
Egy tégla tömege 1 kg. ............................................................................................................................................................................................................................
*4. Kelemen bácsi 10 láda paradicsomot vitt ki a piacra. Miután eladott 130 kg-ot, 4 teli láda és 20 kg paradicsom maradt. Hány kilogramm paradicsom volt egy ládában, ha mindegyikbe ugyanannyit tett?
1 láda
20 kg
130 kg maradt
130 kg + 20 kg = 150 kg
150 ¢ 6 = 25 kg paradicsom van egy ládában. Ellenõrzés:
Maradt 4 láda + 20 kg, azaz 4 ¡ 25 + 20 = 120 kg. Eladott 130 kg-ot. 120 + 130 = 250 kg paradicsom volt és 25 ¡ 10 is 250. Válasz:
32
A ládákban 25 kg paradicsom volt külön-külön. ............................................................................................................................................................................................................................
5. A mérleg egyensúlyban van. Mennyi 1 doboz tömege? 1kg 1 kg
2kg 1kg
2kg 2kg 2kg
Gábor megoldása:
+
2kg 1 kg
1 kg
Marika megoldása:
=
+
2kg 2kg 2kg 1 kg 1 kg 1 kg
+
2kg 1 kg
=
+
=
+
2kg 2kg 1 kg 1 kg
+
2kg 1 kg
=
2kg 2kg 2kg 1 kg 1 kg 1 kg
2kg 2kg 2kg 1 kg 1 kg 1 kg
=
2kg 2kg 1 kg 1 kg
=
2kg 2kg 1 kg 1 kg
=
2kg 1 kg
=
2kg 1 kg
Ki hibázott? Javítsuk ki!
Gábor hibázott.
6. Egy iskolai könyvtárban az egyik polcra 16 ugyanolyan matematikakönyv és 8 egyforma fizikakönyv fér el. Egy másik elrendezésben ugyanezekbõl a könyvekbõl 10 fizika- és 12 matematikakönyv tölti meg a polcot. Hány matematikakönyvvel lehet telerakni ezt a polcot? Rajzoljunk!
1. elrendezés:
2. elrendezés:
m m m m m m m m m m m m m m m m
m m m m m m m m m m m m
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
Ha leveszünk a két elrendezésben felrakott könyvekbõl 8 fizika- és 12 matematikakönyvet, akkor az 1. elrendezésben 4 matematika-, a 2. elrendezésben 2 fizikakönyv marad. Így 1 fizikakönyv helyén 2 matematikakönyv fér el. Az 1. elrendezésben a 8 fizikakönyv helyére 16 matematikakönyv tehetõ. Ellenõrzés:
1. elrendezés: 16m + 8f = 16m + 16m = 32m, 2. elrendezés: 12m + 10f = 12m + 20m = 32m. Válasz:
32 ugyanolyan matematikakönyv rakható a polcra.
............................................................................................................................................................................................................................
*7. A gazdák a vásárban cserélgetik az áruikat. Gáspár gazda 1 kisbárányt ad 2 kakasért és 1 jércéért, majd 3 kakast cserél 1 kisbárányra és 1 jércére. Hány jércét ér 1 kisbárány?
(1.) 1 kisbárány = 2 kakas + 1 jérce (2.) 1 kisbárány + 1 jérce = 3 kakas Az (1.) felhasználásával a (2.): 2 kakas + 1 jérce + 1 jérce = 3 kakas, amibõl 1 kakas = 2 jérce. Ezt visszahelyettesítve az (1.)-be: 1 kisbárány = 4 jérce + 1 jérce, tehát 1 kisbárány = 5 jérce. Ellenõrzés:
1 kisbárány + 1 jérce = 6 jérce, és 3 kakas = 6 jérce. Válasz:
1 kisbárány 5 jércét ér. ............................................................................................................................................................................................................................ 33
H O G YA N O L D J U N K M E G F E L A D A T O K A T ?
Ellenõrizzünk! 1. Az alábbi mûveletek eredményei közül melyik nem páros? Próbáljuk eldönteni a mûvelet elvégzése nélkül! Karikázzuk be a betûjelét! Indokoljunk! A) 4873 µ 2987 B) 5684 + 3795 + 819
C) 763 ¡ 69
D) 532 ¡ 697
E) 7622 ¢ 2
A) Két páratlan szám különbsége páros. B) Két páratlan szám összege páros, tehát 3795 + 819 páros, két páros szám összege pedig páros. C) Két páratlan szám szorzata páratlan. D) Egy páros és egy páratlan szám szorzata páros. E) 7000 ¢ 2 + 600 ¢ 2 + 20 ¢ 2 + 2 ¢ 2 = páros + páros + páros + páratlan, tehát páratlan. 2. Az alábbi mûveletek eredményei közül melyik páros? Próbáljuk eldönteni a mûvelet elvégzése nélkül! Karikázzuk be a betûjelét! Indokoljunk! A) 197 + 573 + 49 B) 5978 µ 346
C) 4960 ¡ 27
D) 548 ¢ 2
E) 5418 ¢ 2
A) Három páratlan szám összege páratlan. B) Két páros szám különbsége páros. C) Egy páros és egy páratlan szám szorzata páros. D) 500 ¢ 2 + 40 ¢ 2 + 8 ¢ 2 = páros + páros + páros, tehát páros. E) 5000 ¢ 2 + 400 ¢ 2 + 10 ¢ 2 + 8 ¢ 2 = páros + páros + páratlan + páros, tehát páratlan. 3. Mennyi a (198 + 198 + 198 + 198 + 198) ¡ 2 mûveletsor eredménye? Próbáljuk eldönteni fejben való számolással! Karikázzuk be a betûjelét! A) 396
B) 990
C) 1980
198 + 198 + 198 + 198 + 198 = 5 5
198
2 = 198 5 2 = 198
D) 3960
E) 4180
198
10 = 1980
10
4. Mennyi a (96 + 96 + 96 + 96) ¡ 25 mûveletsor eredménye? Próbáljuk eldönteni fejben való számolással! Karikázzuk be a betûjelét! A) 4800
B) 2400
96 + 96 + 96 + 96 = 4 4
96
C) 960
D) 9600
E) 96 000
96
25 = 96 4 25 = 96
100 = 9600
100
5. Mennyi a (68 + 68 + 68 + 68 + 68 + 68 + 68 + 68) ¡ 125 mûveletsor eredménye? Próbáljuk eldönteni fejben való számolással! Karikázzuk be a betûjelét! A) 3400
B) 17 000
C) 6800
68 + 68 + 68 + 68 + 68 + 68 + 68 + 68 = 8 8
68
125 = 68
8 125 = 68 1000
34
D) 34 000
68
1000 = 68 000
E) 68 000
6. Egy számnak és a szám felének az összege 33. Páros vagy páratlan a szám háromszorosa?
A szám: A szám fele:
33
A számnak és a felének az összege a szám másfélszerese. A szám másfélszeresének a kétszerese a szám háromszorosa. Ezért 33
2 = 66, ami páros szám.
Ellenõrzés:
A szám háromszorosa 66, így a szám 22, a fele 11; 22 + 11 = 33. A szám háromszorosa páros szám. Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................ 7. A hétfejû sárkányoknak hét fejük és három farkuk, a háromfejû sárkányoknak három fejük és hét farkuk van. Páros vagy páratlan számú farka van három hétfejû és hét háromfejû sárkánynak összesen?
Két páratlan szám szorzata páratlan, ezek összege pedig páros.
Ellenõrzés:
3 hétfejû sárkánynak 3 Válasz:
3 = 9 farka, 7 háromfejû sárkánynak 7
7 = 49 farka van. 9 + 49 = 58.
3 hétfejû és 7 háromfejû sárkánynak összesen páros számú farka van. ............................................................................................................................................................................................................................
8. Egy szobában 3 és 4 lábú székek vannak. Minden széken ül valaki, így 7 fejet és 38 lábat számolhatunk össze. Hány háromlábú szék van a szobában?
Ha minden széken ül valaki, akkor minden székhez vagy 5 vagy 6 láb tartozik. Ha minden székhez 5 láb tartozna, akkor akkor 7
5 = 35 láb lenne. Mivel 38 láb van, ezért 3 székhez 6 láb tartozik.
Így 3 négylábú és 4 háromlábú szék van.
Ellenõrzés:
A 3 négylábú széknek 12, a 4 háromlábú széknek 12, a 7 embernek 14 lába van. 12 + 12 + 14 = 38. Válasz:
A szobában 4 háromlábú szék van.
............................................................................................................................................................................................................................
9. Tibi egy tollat és egy tolltartót vett 1290 Ft-ért. A tolltartó 250 Ft-tal volt drágább, mint a toll. Mennyibe kerül A toll ára:
A tolltartó ára:
250 Ft
a toll és a tolltartó külön-külön?
1290 Ft
Ha az összegbõl elvesszük a 250 Ft-ot, amennyivel drágább a tolltartó, akkor a toll árának a kétszeresét kapjuk: 1290 µ 250 = 1040, 1040 ¢ 2 = 520. A toll ára 520 Ft, a tolltartó ára 520 + 250 = 770 Ft. Ellenõrzés:
520 + 770 = 1290 Ft az összár. 770 µ 520 = 250 Ft az árak közti különbség. A toll 520 Ft, a tolltartó 770 Ft. Válasz: ............................................................................................................................................................................................................................ 35
A RACIONÁLIS SZÁMOK I.
3. A RACIONÁLIS SZÁMOK I. Az egész számok (ismétlés) 1. Jelöljük a számegyenesen azokat az egész számokat, amelyek a) abszolút értéke nagyobb, mint 7; µ10
µ5
0
+5
+10
µ5
0
+5
+10
0
+5
+10
b) ellentettje kisebb, mint 7; µ10
c) ellentettje µ5-nél nagyobb és +9-nél kisebb! µ10
µ5
2. A µ73; 111; 0; µ1; +13; 7; +1; 9; µ21 számok közül soroljuk fel azokat, amelyek megfelelnek a feltételnek! a) nemnegatívak:
111; 0; +13; 7; +1; 9 ....................................................................................................................................................................................................
0; µ1; 7; +1; 9 b) abszolút értékük kisebb 10-nél: ................................................................................................................................................................ c) ellentettjük nagyobb 10-nél:
µ73; µ21
.......................................................................................................................................................................
3. A µ63; µ35 és µ78 számok közül írjuk le azt, amelyik µ78 µ35 a) a legkisebb: .............................................................................. ; b) a legnagyobb: ......................................................................... ; µ35 µ78 c) ellentettje a legkisebb: ........................................................ ; d) ellentettje a legnagyobb: ................................................... ; e) abszolút értéke a legkisebb:
µ35
........................................... ;
f ) abszolút értéke a legnagyobb:
µ78
...................................... !
4. Rendezzük növekvõ sorrendbe az adott számokat! µ|+6|; µ(µ28); µ34; µ(+8); |µ5|; µ143
µ143 < µ34 < µ(+8) < µ |+6| < |µ5| < µ(µ28) .............................................................................................................................................................................................................................................. 5. Két különbözõ egész szám abszolút értékének összege 36. A két egész szám a számegyenesen egyenlõ távolságra van a nullától. a) Ábrázoljuk a két számot a számegyenesen! µ18
0
18
36 egységnyi távolságra vannak. b) Milyen távolságra vannak egymástól a számegyenesen? ........................................................................................................ c) Mennyi a két szám összege?
µ18 + (+18) = 0
.....................................................................................................................................................................
6. Adottak a következõ számok: µ29; 13; µ7; 0; 42; µ1; 1; µ13. 42 > 13 > 1 > 0 > µ1 > µ7 > µ13 > µ29 a) Írjuk le a számokat csökkenõ sorrendbe! .......................................................................................................................................... b) Írjuk le a számok ellentettjét!
29; µ13; 7; 0; µ42; 1, µ1; 13
......................................................................................................................................................................
c) Írjuk az ellentetteket csökkenõ sorrendbe!
36
29 > 13 > 7 > 1 > 0 > µ1 > µ13 > µ42
........................................................................................................................................
Az egész számok összeadása, kivonása (ismétlés) 1. Kössük össze az egyenlõket! µ143 µ 28
µ143 µ (µ28)
µ143 + 28
µ171
µ115
µ115
µ143 + (+28)
µ143 + (µ28)
µ143 µ (+28)
µ115
µ171
µ171
2. A +24 , µ18 , µ72 , +19 számkártyákból válasszunk ki hármat (ahányféleképpen ezt meg tudjuk tenni), majd adjuk össze õket, és az összegbõl vegyük el a negyedik számot!
µ 6 6 µ ( + 1 9 ) =µ 8 5 + 2 4 + ( µ 1 8 ) + ( µ 7 2 ) =µ 6 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ + 2 5 µ ( µ 7 2 ) =+ 9 7 + 2 4 + ( µ 1 8 ) + ( + 1 9 ) =+ 2 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ µ 2 9 µ ( µ 1 8 ) =µ 1 1 + 2 4 + ( µ 7 2 ) + ( + 1 9 ) =µ 2 9 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ µ 1 8 + ( µ 7 2 ) + ( + 1 9 ) =µ 7 1 µ 7 1 µ ( + 2 4 ) =µ 9 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3. Pótoljuk a hiányzó elõjeleket és mûveleti jeleket, majd végezzük el a mûveleteket! µ134 µ65 (À (µ75) µ ( À µ 27) + ( À µ 38) = (µ27) µ (+38) = ......................... µ 75) + ( À µ 59) = ..................... + 59) = ( À £ £ £ £ £ µ900 83 (+56) + (+27) = ( + 56) µ (µ27) = ............................ (µ183) + (µ717) = ( µ 183) µ (+717) = .................
£ À
£ À
£ À
£ À
4. Rajzoljunk nyilakat az ábrába úgy, hogy a nyíl arra a mûveletre mutasson, amelynek az eredménye nagyobb! µ15 + (µ100) +100 µ (µ15)
115
A legkisebb szám:
µ100 + (+15)
µ85
µ85
µ15 + (µ100) = µ115
........................................................................
a virág közepén lévõ szám. Írjuk be a szirmokba a hiányzó számokat! µ58 130
95 µ100
µ58 13 157
72
µ45 117
µ18
µ85
µ27
µ25
31
97
172
85
+15 + (µ100)
5. Az egy virágsziromban lévõ számok összege
µ23
µ15 µ (µ100)
µ115
525 µ45
µ570 38
µ76 µ134 89
µ83
A legnagyobb szám:
100 µ (µ15) = 115
...................................................................
7 2 µ ( µ 5 8 ) =+ 1 3 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 7 2 µ ( + 1 5 7 ) =µ 8 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ( µ 4 5 ) µ ( µ 5 8 ) =+ 1 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ( µ 4 5 ) µ ( + 5 2 5 ) =µ 5 7 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 37
A RACIONÁLIS SZÁMOK I.
6. Írjunk kéttagú összegeket és különbségeket úgy, hogy az A halmazból választjuk az elsõ, a B halmazból pedig a második tagot!
A
B
µ57
µ26
µ57
µ19 +48
a) Írjuk le az összes lehetséges összeget, és számítsuk is ki!
µ69
µ32
(µ19) + (µ57) = µ76 (µ57) + (µ57) = µ114 (+48) + (µ57) = µ9 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ (µ19) + (µ26) = µ45 (µ57) + (µ26) = µ83 (+48) + (µ26) = +22 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ (µ19) + (µ69) = µ88 (µ57) + (µ69) = µ126 (+48) + (µ69) = µ21 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ (µ19) + (µ32) = µ51 (µ57) + (µ32) = µ89 (+48) + (µ32) = +16 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
b) Írjuk le az összes lehetséges különbséget, és számítsuk is ki! (µ19) µ (µ57) = +38 (µ57) µ (µ57) = 0 (+48) µ (µ57) = +105 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ (µ19) µ (µ26) = +7 (µ57) µ (µ26) = µ31 (+48) µ (µ26) = +74 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ (µ19) µ (µ69) = +50 (µ57) µ (µ69) = +12 (+48) µ (µ69) = +117 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ (µ19) µ (µ32) = +13 (µ57) µ (µ32) = µ25 (+48) µ (µ32) = +80 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
7. Írjuk a virágszirmokba a hiányzó számokat, ha a középen lévõ szám az egy sziromban lévõ két szám különbsége! a) A megadott szám a kisebbítendõ µ37 +20
µ7 +11 µ31
+43
µ49
µ18
+215 +233
+13 +31
b) A megadott szám a kivonandó
+61
µ133
+60
+19
+42
µ7 µ25
µ62
µ76 57
µ38 µ100 µ43
µ67
µ5
µ49
µ76
+215
µ19
+77 +20 +43
µ18
µ76
+25
µ19
+24
+19
+197 +42 +13 µ5
+52 57
µ5 +38 µ19
+76 +14 µ43
( µ 7 ) µ ÀÀ = ( µ 1 8 ) ÀÀ µ ( µ 7 ) = ( µ 1 8 ) ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ( + 4 3 ) µ ÀÀ = ( µ 1 8 ) ÀÀ µ ( + 4 3 ) = ( µ 1 8 ) ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ( + 4 2 ) µ ÀÀ = ( µ 1 8 ) ÀÀ µ ( + 4 2 ) = ( µ 1 8 ) ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ( + 2 0 ) µ ÀÀ = ( + 5 7 ) ÀÀ µ ( + 2 0 ) = ( + 5 7 ) ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ( µ 5 ) µ ÀÀ = ( + 5 7 ) ÀÀ µ ( µ 5 ) = ( + 5 7 ) ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ( µ 1 9 ) µ ÀÀ = ( + 5 7 ) ÀÀ µ ( µ 1 9 ) = ( + 5 7 ) ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 38
Összevonás az egész számok körében 1. Írjuk le az összeadásokat röviden, majd számítsuk ki! 3µ6+8=5 a) (+3) + (µ6) + (+8) = ...................................................................... b) (µ18) + (µ9) + (µ43) =
µ18 µ 9 µ 43 = µ70
................................................................
c) (µ6) + (µ114) + (+48) =
µ6 µ 114 + 48 = µ72 ..............................................................
1 2 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ µ 4 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 7 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
2. Írjuk le elõször összeadás alakban, majd röviden, és végezzük el az összevonást! (+78) + (µ13) + (+22) = 78 µ 13 + 22 = 87 a) (+78) µ (+13) µ (µ22) = ........................................................................................................................................................................... b) (µ36) µ (µ94) µ (+143) =
(µ36) + (+94) + (µ143) = µ36 + 94 µ 143 = µ85 ........................................................................................................................................................................
c) (µ107) µ (+59) µ (µ523) =
(µ107) + (µ59) + (+523) = µ107 µ 59 + 523 = 357
.....................................................................................................................................................................
µ 1 7 9 + 9 4 =µ 8 5 µ 3 6 µ 1 4 3 =µ 1 7 9 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ µ 1 6 6 + 5 2 3 = 3 5 7 µ 1 0 7 µ 5 9 =µ 1 6 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3. Írjuk le zárójel nélkül! Végezzük el az összevonásokat! µ52 µ 31 µ 24 = µ107 a) (µ52) µ (+31) + (µ24) = ........................................................................................................................................................................... b) (+82) + (µ42) µ (µ13) + (µ40) =
82 µ 42 + 13 µ 40 = 13 .......................................................................................................................................................
c) (µ23) µ (µ55) + (µ64) µ (+35) =
.......................................................................................................................................................
µ23 + 55 µ 64 µ 35 = µ67
4 2 1 2 2 8 2 9 5 5 2 2 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ + + µ µ 1 3 4 0 8 2 5 5 3 1 6 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ + 2 4 + 3 5 9 5 8 2 1 3 6 7 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 0 7 1 2 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
µ
4. Döntsük el, hogy igaz-e az egyenlõség! Amelyik hibás, azt javítsuk ki! Végezzük el az összevonást! 22 a) (+36) µ (+24) µ (µ10) = +36 µ 24 µ 10 = ............................................................................................................................ .......................................................................................................................................................................................................................................
b) (µ15) + (µ33) µ (+42) =µ15 µ 33 µ 42 =
µ90
................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................
c) (+19) µ (µ41) µ (+28) + (µ42) = 19 + 41 µ 28 µ 42 =
µ10
................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5. Írjuk csökkenõ sorba az eredményeket! µ7 µ 1 = µ8
µ7 µ 4 = µ11
µ7 + 4 = µ3
7 µ 14 = µ7
4 µ 7 = µ3
µ3 = µ3 > µ7 > µ8 > µ11 .............................................................................................................................................................................................................................................. 39
A RACIONÁLIS SZÁMOK I.
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
6. Írjuk a mûveletsorok közé a megfelelõ relációjelet! a)
µ5 + 17 µ 42
b)
µ2 µ 9 µ 28
< À £ = £ À < £ À > £ À
c) µ7 µ (µ5 + 3) d) 75 µ (42 µ 57)
5 µ 17 + 42 µ2 + 9 µ 46 µ9 µ (µ3 µ 5) 75 µ 42 µ 57
7. Írjuk a téglalapokba a megfelelõ számokat! a)
µ9
µ2
µ11
+7
µ4
µ4
µ8
+8
0
b)
+6
µ17
µ11
µ9
µ20
+8
µ12
µ12
µ24
c)
µ8
µ9
µ17
µ10
µ27
µ11
µ38
µ12
µ50
8. Kössük össze az egyenlõket! a)
b)
µ29 + 4 µ 15
µ16 µ 15
µ29 µ 11
µ40
µ31
µ40
µ20 + 4 µ 24
µ16 µ 8 µ 7
µ40
µ31
µ26 µ 17
µ18 µ 25
µ25 µ 20
µ26 + 20
µ43
µ43
µ45
µ6
19 µ 25
µ25 + 18
µ26 µ 19
µ26 + 19
µ6
µ7
µ45
µ7
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 9. Húzzuk át azt, amelyik nem ugyanannyi! a) b) c)
(+73) µ (µ27)
(+73) + (+27)
+100
73 µ 27
(µ56) + (µ48)
µ56 µ 48
(µ56) µ (+48)
µ56 + 48
µ104
100 µ (+99)
µ100 µ (µ99)
µ100 + (+99)
µ1
µ100 + 99
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 40
10. Írjuk le egyszerûbben, majd a tagok célszerû csoportosításával végezzük el az összevonást! µ38 + 27 + 138 = µ38 + 138 + 27 = 100 + 27 = 127 a) (µ38) + (+27) µ (µ138) = ........................................................................................................................................................................ .......................................................................................................................................................................................................................................
b) (+45) µ (µ402) + (+55) µ (+502) =
45 + 402 + 55 µ 502 = 45 + 55 + 402 µ 502 =
.................................................................................................................................................
= 100 µ 100 = 0 ....................................................................................................................................................................................................................................... µ217 µ 83 + 166 + 334 = µ300 + 500 = 200 c) (µ217) µ (+83) µ (µ166) + (+334) = ............................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................................................................................
11. Írjuk a megfelelõ mûveleti jelet vagy elõjelet a négyzetekbe úgy, hogy az egyenlõség teljesüljön! a) (+10) µ ( À µ 3) À + (µ17) = µ4 £ £ b) (µ24) À µ (µ37) + ( À + 19) = +32 £ £ c) (+72) + ( À µ 45) À µ ( +47) = µ20 £ £
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
12. Írjunk a téglalapba olyan egész számot, amelyre teljesül az egyenlõség! a)
8
µ 2 µ 11 = µ5
c) µ12 µ 5 + 7 = µ20 +
b) 87 µ
10
182 µ 5 = µ100
d) µ38 µ (µ4 µ
35 ) = +1
a) ÀÀ µ 1 3 = µ 5 b) 8 2 µ ÀÀ = µ 1 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ÀÀ = 1 8 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ÀÀ = 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ c) µ 1 0 = µ 2 0 + ÀÀ d) µ 3 4 + ÀÀ = + 1 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ÀÀ = 1 0 ÀÀ = 3 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 13. Pótoljuk úgy az elõjeleket, hogy a reláció teljesüljön! Számítással igazoljuk döntésünket! a)
+48
+30
µ2
µ20
(+14)µ( À µ 25)+( À µ 25)+( À µ 9) > (+14)µ( À µ 9) + 9) > (+14)µ( À + 25)+( À + 9) > (+14)µ( À + 25)+( À £ £ £ £ £ £ £ £
1 4 + 2 5 + 9 = 4 8 1 4 µ 2 5 + 9 =µ 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 4 + 2 5 µ 9 = 3 0 1 4 µ 2 5 µ 9 =µ 2 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ b)
µ61
µ45
µ29
µ13
(µ37)+( À µ 8)µ( À µ 8)µ( À µ 16) < (µ37)+( À µ 16) + 16) < (µ37)+( À + 8)µ( À + 16) < (µ37)+( À + 8)µ( À £ £ £ £ £ £ £ £
µ 3 7 µ 8 + 1 6 =µ 2 9 µ 3 7 µ 8 µ 1 6 =µ 6 1 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ µ 3 7 + 8 + 1 6 =µ 1 3 µ 3 7 + 8 µ 1 6 =µ 4 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 41
A RACIONÁLIS SZÁMOK I.
Az egész számok szorzása 1. Töltsük ki a táblázat üres helyeit! x
y
x¡y
µ3 ¡ x
µ2
+8
µ16
+6
µ7
+6
µ42
µ9
µ5
+4 µ10
µ5 ¡ x ) ¡ y (µ
|x |¡¡ y
x ¡ |y |
+80
+16
µ16
+21
+210
+42
µ42
+45
+27
µ225
µ45
µ45
µ3
µ12
µ12
+60
µ12
+12
+2
µ20
+30
+100
+20
µ20
2. Állapítsuk meg a hiányzó szabályt, és töltsük ki a táblázatot! a)
a= b)
a
µ7
+10
µ1
0
+15
µ15
µ5
+4
...............................
(b µ 4) ¢ 2
b
µ10
+24
+2
+4
+34
µ26
µ6
+12
µ72
c
µ12
+3
µ9
µ1
+36
µ3
+18
µ6
d
+6
µ24
+8
+72
µ2
+24
µ4
+12
b=2¡a+4
c¡d=
.......................
3. Pótoljuk a hiányzó számokat úgy, hogy a virág közepén az egyes szirmokon található számok szorzata álljon! µ9 +16 µ2 +72 +18
µ30 µ6 µ10
+12 µ144
µ12
µ18
+9
+30
µ36 +4
+15
+180
+6
µ16
µ8
+12
µ9 µ20
µ4 µ45
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
4. Pótoljuk a hiányzó számokat! ¡(µ2)
µ3 µ 2
¡ (µ10)
+10
¡(µ3)
µ25 ¡ (+4)
+300
¡ (+30)
¡(+20) ¡ (µ60)
5. Határozzuk meg a hiányzó szorzótényezõket! +9 ¡(µ8) ¡(µ6)
+48 ¡(µ1)
¡(µ4)
¡(µ3)
µ6 ¡ (µ2) ¡(µ1)
+3 ¡ µ4
42
µ3 ¡ +12
¡(+4)
¡(µ2)
+24 ¡(µ1)
µ12 ¡ µ4
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
6. Számítsuk ki a szorzatokat! A C E
B
(µ2) ¡ (µ2) ¡ (µ3) ¡ (+5)
(µ1) ¡ (µ2) ¡ (+10)
D
(+3) ¡ (µ2) ¡ (+7)
(µ24) ¡ (µ6) ¡ (+100)
F
(µ17) ¡ (+9)
(+1225) ¡ (+83) ¡ 0
Melyik szorzatra teljesül, hogy µ50-nél nagyobb és +20-nál nem na-
B; C; F gyobb? .......................................................................................................................................... 7. Írjuk a nyilakra, hogy a szorzat hányszorosa a középre írt számnak! (+15) ¡ (µ15) ¡ (µ16)
(+7) ¡ (µ59) ¡ (µ101) ¡ 0 ¡
(µ16) ¡ (µ9)
¡ (µ3)
¡ (µ75)
0
¡ (µ3)
µ48 ¡ (µ10)
(+8) ¡ (+18)
¡ (+50)
(+5) ¡ (µ8) ¡ (µ12)
(µ24) ¡ (µ100) ¡ (µ1)
A: (µ2) ¡ (µ2) ¡ (µ3) ¡ (+5) = µ60 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ B: (µ1) ¡ (µ2) ¡ (+10) = +20 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ C: (+3) ¡ (µ2) ¡ (+7) = µ42 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ D: (µ24) ¡ (µ6) ¡ (+100) = +14400 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ E: (µ17) ¡ (+9) = µ153 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ F: (+1225) ¡ (+83) ¡ 0 = 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 48 = 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 2 ¡ 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 15 ¡ 15 ¡ 16 = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ = 3¡5¡3¡3¡5¡2¡2¡2¡2= ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ =2¡2¡2¡2¡3¡5¡5¡3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
48 75 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
8. Végezzük el a mûveleteket! Ügyeljünk a mûveletvégzés sorrendjére! (µ115) ¡ 2 µ (µ70) = µ230 + 70 = µ160 a) (µ127 + 12) ¡ 2 µ 7 ¡ (µ10) = ................................................................................................................................................................. (µ127 + 24 µ 7) ¡ (µ10) = µ110 ¡ (µ10) = +1100
b) (µ127 + 12 ¡ 2 µ 7) ¡ (µ10) =
.................................................................................................................................................................
c) µ127 + (12 ¡ 2 µ 7) ¡ (µ10) =
.................................................................................................................................................................
d) µ127 + 12 ¡ (2 µ 7) ¡ (µ10) =
.................................................................................................................................................................
(µ127) + 17 ¡ (µ10) = µ127 + (µ170) = µ297
e) (µ127 + 12) ¡ (2 µ 7) ¡ (µ10) =
(µ127) + 12 ¡ (µ5) ¡ (µ10) = µ127 + 600 = +473 (µ115) ¡ (µ5) ¡ (µ10) = µ115 ¡ 50 = µ5750
.............................................................................................................................................................
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 9. Válaszoljunk egy mûveletsorral, és határozzuk meg a végeredményt! a) Melyik az a szám, amelyik a µ169 és a 47 különbségének és a µ209 15-szörösének az összege?
µ169 µ 47 + (µ209) ¡ 15 = µ216 µ 3135 = µ3351 ....................................................................................................................................................................................................................................... Ez a szám a µ3351. ....................................................................................................................................................................................................................................... b) Melyik az a szám, amelyik a µ78 és a µ20 szorzatának 100-szorosánál 196-tal nagyobb szám ellentettje?
[(µ78) ¡ (µ20) ¡ 100 + 196] = µ[15 600 + 196] = µ15 796 ....................................................................................................................................................................................................................................... Ez a szám a µ15 796. ....................................................................................................................................................................................................................................... 2 0 9 ¡ 1 5 3 1 3 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 0 4 5 + 2 1 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 1 3 5 3 3 5 1 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 43
A RACIONÁLIS SZÁMOK I.
Az egész számok osztása 1. Számoljuk ki a hányadost, és indokoljunk! (+78) ¢ (+2) = +39 , mert +39 ¡ (+2) = +78
(µ135) ¢ (+15) = µ9 , mert µ9 ¡ (+15) = µ135
(µ111) ¢ (µ3) = +37 , mert +37 ¡ (µ3) = µ111
(+175) ¢ (µ25) = µ7 , mert µ7 ¡ (µ25) = +175
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2. Töltsük ki a táblázatot! x
y
x¢y
µ6) (x + y ) ¢ (µ
µ6) (x µ y ) ¢ (µ
µ6) x µ y ¢ (µ
µ6) µ y ¢ (µ µ6) x ¢ (µ
µ24
+12
µ2
+2
+6
µ22
+6
µ54
µ18
+3
+12
+6
µ57
+6
+60
µ30
µ2
µ5
µ15
+55
µ15
µ156
+78
µ2
+13
+39
µ143
+39
+72
µ12
µ6
µ10
µ14
+70
µ14
[µ54 + (µ18)] ¢ (µ6) = µ72 ¢ (µ6) = +12 [µ54 µ (µ18)] ¢ (µ6) = (µ36) ¢ (µ6) = +6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ µ54 µ (µ18) ¢ (µ6) = µ54 µ 3 = µ57 (µ54) ¢ (µ6) µ (µ18) ¢ (µ6) = 9 µ 3 = +6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ +60 ¢ (µ6) µ (µ30) ¢ (µ6) = µ10 µ 5 = µ15 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ [µ156 µ (+78)] ¢ (µ6) = (µ234) ¢ (µ6) = 39 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ µ156 µ (+78) ¢ (µ6) = µ156 µ (µ13) = µ156 + 13 = µ143 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ µ156 ¢ (µ6) µ (+78) ¢ (µ6) = 26 µ (µ13) = 26 + 13 = 39 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ +72 ¢ (µ6) µ (µ12) ¢ (µ6) = µ12 µ (+2) = µ12 µ 2 = µ14 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
3. Határozzuk meg az ismeretlen tényezõt, és írjuk a téglalapba! a) (µ7) ¡(µ9) ¡ µ2 = µ126
b) (+3) ¡(µ13) ¡(+5) ¡ µ4 = +780
c) (µ10)¡ µ4 ¡(µ23)¡(µ30) = +27 600
( µ 1 0 ) ¡ ( µ 2 3 ) ¡ ( µ 3 0 ) =µ 6 9 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 7 6 0 0 ¢ 6 9 0 0 = 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 0 0 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 44
4. Írjuk a megfelelõ számokat az üres helyekre! a)
¢(µ8)
864
¢(µ3)
µ108
+36
¢(µ9)
µ4
¢(+5)
µ3
¢(+24) ¢(µ216)
b) µ225
+75
¢(µ3)
µ15
¢(µ5)
¢(+15) ¢(+75)
5. Írjuk a nyílra a megfelelõ számot! +24 µ12 ¢(µ18) ¢ (µ3)
µ72
+108
¢ (+9)
¢ (+2) ¢ (µ6)
(µ8) ¡ (µ27)
¢(µ72)
¢(+36)
¢(µ12)
µ3
µ36
+6
µ18
6. Írjuk az üres helyekre a megfelelõ egész számokat! ¢(µ6)
µ1296
+216
¢ (µ3)
µ72
¢(+3)
¢(+8)
µ432
µ9
¢ (+8)
¢ (µ3) ¢ (+3)
µ54
¢(µ6)
µ18
+3
8' 6' 4 ¢ 8 = 1 0 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 6 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 2' 5 ¢ 3 = 7 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 7 ¡ 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 1 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 2' 9' 6 ¢ 6 = 2 1 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 9 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
7. Írjunk a jelek helyére olyan egész számot vagy számokat, hogy teljesüljön a reláció! µ17; µ18; µ19; µ20; µ21; … a) (µ34) ¢ (µ2) + Â Ò< Ò = .................................................................................................................................. Â =0 b) [(+27) ¡ (µ2) µ (+72)] ¢ À Ð = µ18
Ð= À
+7 ..................................................................................................................................
c) [(µ273) ¢ (+21)] ¡ Ç × > +100
×= Ç
..................................................................................................................................
µ8; µ9; µ10; µ11; …
µ 5 4 µ 7 2 =µ 1 2 6 2 7' 3 ¢ 2 1 = 1 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ( ) µ 1 3 ¡ µ 8 =+ 1 0 4 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 8. Számoljunk az utasításoknak megfelelõen! µ329 +
µ546
µ217 µ7 +6
¢ ¡
µ42
+13
5 4' 6 ¢ 4 2 = 1 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 2 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 45
A RACIONÁLIS SZÁMOK I.
A tizedes törtek összevonása
¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤
1. Pótoljuk a hiányzó számokat! a)
b)
+(µ1,7)
µ2,15
+3,6
5,3
+(+5,95)
+3,8
µ (µ1,7)
µ(+5,95)
2. Színezzük azonos színûre az egyenlõket! 17,5 µ (9,6 + 2,1) = 17,5 µ 9,6 µ 2,1 =
17,5 µ 11,7 = +5,8
17,5 µ 9,6 + 2,1 =
...............................................................
7,9 µ 2,1 = +5,8
17,5 µ 2,1 µ 9,6 =
...............................................................
............................................................
...............................................................
7,9 + 2,1 = +10,0 15,4 µ 9,6 = +5,8
3. Írjuk a megfelelõ relációjelet az összegek, különbségek közé! Számolással igazoljuk döntésünk helyességét! a)
(µ4,3) + (µ5,2)
c) (µ7,25) µ (µ6,4)
= À £ < £ À
µ4,3 µ 5,2
b) (µ10,1) + (+4,2)
7,25 µ 6,4
d) (µ7,309) µ (+5,8)
> À £ = £ À
µ10,1 µ 4,2 µ7,309 µ 5,8
a) µ4,3 µ 5,2 = µ9,5 b) µ10,1 + 4,2 = µ5,9; µ10,1 µ 4,2 = µ14,3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ c) µ7,25 + 6,4 = µ0,85; 7,25 µ 6,4 = 0,85 d) µ7,309 µ 5,8 = µ13,109 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
4. Pótoljuk a hiányzó számokat! a) µ4,13 µ 5,8 +2,4 µ1,73 µ 5,8 +2,4 +0,67 µ 5,8 +2,4
+3,07 µ 5,8
+ 7,2
b)
7,5 µ 10,6
+2,4
7,5 µ
+2,4
8,2
7,5 µ
5,8
+2,4
7,5 µ
3,4
+ 7,2
4,13 µ 2,4 = 1,73 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2,4 µ 1,73 = 0,67 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 10,6 µ 2,4 = 8,2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤
5. Írjunk a téglalapba olyan számot, amelyre teljesül az egyenlõség! a) µ6,7 + 2,3 µ µ0,25 = µ4,15 b) 7,89 µ 23,1 = µ10 + µ5,21 c) µ1,293 + 5,8 µ 6,107 = µ1,6
a) µ6,7 + 2,3 = µ4,4 b) 23,1 µ 7,89 = 15,21 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ c) 6,107 µ 5,8 = 0,307; 1,6 µ 0,307 = 1,293 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
6. Melyik a kakukktojás? Húzzuk át! µ13 + 9,85
µ10,8 + 7,65
µ10,8 + 12,05
µ20,6 + 17,45
µ15,2 + 12,05
1 3, 0 1 0, 8 1 2, 0 5 2 0, 6 1 5, 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ µ µ µ 1 0, 8 µ 1 7, 4 5 µ 1 2, 0 5 9, 8 5 7, 6 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3, 1 5 3, 1 5 1, 2 5 3, 1 5 3, 1 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 7. Írjuk egymás után a betûjeleket az eredmények növekvõ sorrendje szerint! A
µ30,03 µ 3,33
µ33,36
B
µ30,33 µ 303,3
µ333,63
C
µ3,033 µ 30,03
µ33,063
D
µ303,03 µ 0,33
µ303,36
E
µ0,303 µ 30,03
µ30,333
B
Szorzás a tizedes törtek körében 225 ¡ 128 = 28 800 1. A szorzat változásai alapján pótoljuk a hiányzó számokat! 2880 2880 a) 22,5 ¡ 128 = ........................................ b) 225 ¡ 12,8 = ........................................ c) 22,5 ¡ 12,8 =
288 2,25 ¡ 128 = ........................................ 0,225 ¡ 128 =
28,8
.....................................
0,0225 ¡ 128 =
2,88
..................................
288 225 ¡ 1,28 = ........................................ 225 ¡ 0,128 =
2,25 ¡ 1,28 =
28,8
2,88
2,88
......................................
0,225 ¡ 12,8 =
.....................................
225 ¡ 0,0128 =
288
......................................
0,225 ¡ 0,128 =
..................................
2,88
...................................
0,0288
.................................
2 2 5 ¡ 1 2 8 2 2 5 ¡ 1 2, 8 0, 2 2 5 ¡ 0, 1 2 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 5 0 4 5 0 4 5 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 8 0 0 1 8 0 0 1 8 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 8 8 0 0 2 8 8 0, 0 0, 0 2 8 8 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2. Írjunk úgy számokat az üres helyekre, hogy az egyenlõség fennmaradjon! a) (µ7,2) ¡ (µ2,4) = (µ3,6) ¡ µ4,8 = +14,4 ¡ (+1,2) = (+1,8) ¡ +9,6 = (µ0,72) ¡
µ24
b) (µ1,6) ¡ +0,8 = µ12,8 ¡ (+0,1) = (µ6,4) ¡ (+0,2) = (µ3,2) ¡ +0,4 = µ0,8 ¡ (+1,6)
7, 2 ¡ 2, 4 6, 4 ¡ 0, 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 4 4 1, 2 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 8 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 7, 2 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3. Pótoljuk a hiányzó számokat! a)
µ4
¡(µ2,5)
+10
¡(+6,6)
+66
¡(µ3,4)
µ224,4
¡(µ16,5) ¡(+56,1)
b)
2,5 ¡ 0,4
¡(µ2)
2,5 ¡ (µ0,8)
¡(µ2)
µ5 ¡(µ0,8)
¡(µ10)
µ40
¡ (+4) ¡ (µ40)
6 6 ¡ 3, 4 2, 5 ¡ 6, 6 1 6, 5 ¡ 3, 4 2, 5 ¡ 0, 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 9 8 1 5 0 4 9 5 2, 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 6 4 1 5 0 6 6 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 2 4, 4 1 6, 5 0 5 6, 1 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4. Színezzük azonos színûre az egyenlõket! µ15,516 (µ2,9 + 15,83) ¡ (µ1,2) = ................................................ 2,9 ¡ 1,2 µ 15,83 =
µ12,35
...............................................................
µ15,516 15,83 ¡ (µ1,2) + 1,2 ¡ 2,9 = ............................................ (2,9 µ 15,83) ¡ 1,2 =
µ15,516
...........................................................
1 5, 8 3 1 2, 9 3 ¡ 1, 2 1 5, 8 3 ¡ 1, 2 2, 9 ¡ 1, 2 1 8, 9 9 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ µ µ 2, 9 2 5 8 6 3 1 6 6 5 8 3, 4 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 2, 9 3 1 5, 5 1 6 1 8, 9 9 6 3, 4 8 1 5, 5 1 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 47
A RACIONÁLIS SZÁMOK I.
5. Végezzük el a kijelölt mûveleteket a nyíl irányába! A startnál vagy a célnál lévõ szám a nagyobb? Mennyivel? 9, 8 ¡ 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 8, 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 8, 8 ¡ 0, 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 9, 4 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 9, 4 ¡ 0, 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 4, 7 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
START ¡(µ1,5)
+4
+(µ16)
¡(µ9,8)
µ6
+58,8
¡ (+2)
¡(µ0,5)
µ12
µ29,4 ¡ 0,5 + (µ2,7)
µ14,7 CÉL
Válasz:
A startnál lévõ szám a nagyobb, 18,7-del. ............................................................................................................................................................................................................................
6. A méteráruboltban maradék anyagokat vettünk. (Ebbõl már nem vágnak le.) Az árak és a hosszak az ábrán láthatók. a) Melyik anyag volt a legdrágább? b) Mennyit fizettünk összesen, ha mind a hármat megvettük?
ballon: t/m 1350 F
1,45 m
: selyem t/m 1470 F
szövet: t/m 1980 F
0,8 m
1,85 m
1 3 5 0 ¡ 1, 4 5 1 9 8 0 ¡ 0, 8 1 4 7 0 ¡ 1, 8 5 1 9 5 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 4 0 0 1 5 8 4, 0 1 1 7 6 0 1 5 8 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 7 5 0 7 3 5 0 + 2 7 2 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 9 5 7, 5 0 2 7 1 9, 5 0 6 2 6 2 3, 1 2 5 ¢ 1, 2 5 = 2, 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 1 2,' 5 ¢ 1 2 5 = 2, 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 2 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Válasz:
a) A selyem anyag volt a legdrágább. b) Készpénzes fizetés esetén a kerekítés miatt ............................................................................................................................................................................................................................
összesen 6260 Ft-ot fizettünk. .............................................................................................................................................................................................................................................. 7. A diszkontáruházban elõre csomagolt zöldségeket szeretnénk venni. Írjuk a fizetendõ összeget az árcédulákra a megfelelõ helyre! Elég lesz-e a pénzünk, ha 1000 Ft van nálunk? FABATKA DISZKONT
D R Á G A FA L V A
IDARED ALMA MAGYAR KG I.O. Csomagolás napja: 2007.02.22.
Fogyasztható: 2007.02.27.
Ft/kg 332
789636 970949
FABATKA DISZKONT
D R Á G A FA L V A
BANÁN PANAMAI KG I.O. Csomagolás napja: 2007.02.22.
Tömeg: 1,215 kg
Fogyasztható: 2007.02.28.
Ft/kg 369
FABATKA DISZKONT
D R Á G A FA L V A
PARADICSOM MAGYAR KG I.O. Csomagolás napja: 2007.02.22.
Fogyasztható: 2007.02.25.
Ft/kg 689
Tömeg: 0,970 kg
Tömeg: 0,410 kg
ÁR:
ÁR:
ÁR:
403 Ft
358 Ft
282 Ft
789123 970009
789456 970039
3 3 2 ¡ 1, 2 1 5 3 6 9 ¡ 0, 9 7 0 6 8 9 ¡ 0, 4 1 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 6 4 3 3 2 1 2 7 5 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 3 2 2 5 8 3 0 6 8 9 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 6 6 0 3 5 7, 9 3 0 2 8 2, 4 9 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 0 3, 3 8 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Válasz:
48
403 + 358 + 282 = 1043, tehát nem lesz elég az 1000 Ft ezeknek az áruknak a kifizetéséhez. ............................................................................................................................................................................................................................
8. Utazás elõtt 30 svájci frankot és 50 eurót szeretnénk váltani. Az interneten azt olvastuk, hogy a közelünkben levõ két bank az alábbi árfolyamokon veszi, illetve árulja a svájci frankot (CHF) és az eurót (EUR). Melyik bankban érdemesebb pénzt váltanunk, ha nincs idõnk mindkettõbe bemenni? Mennyi pénzt takarítunk meg, ha a „jó” bankot választjuk? CHF
EUR
Bank vétel
eladás
vétel
eladás
Top Bank
151,29
163,89
245,31
257,89
Hiper Bank
149,80
159,80
244,44
259,56
Válasz:
Top Bankban: 30 ¡ 163,89 = 4 916,7 Ft ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 50 ¡ 257,89 = 12 894,5 Ft ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ összesen: » 17 811 Ft ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Hiper Bankban: 30 ¡ 159,80 = 4 794 Ft ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 50 ¡ 259,56 = 12 978 Ft ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ összesen: 17 772 Ft ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
A kerekítés miatt 17 810 µ 17 770 = 40 Ft, azaz a Hiper Bankban 40 Ft-tal kevesebbet fizetünk.
............................................................................................................................................................................................................................
9. Egy gyermekjáték csomagolásához az ábrán látható méretek alapján dobozokat készítenek. a) A doboz legnagyobb lapjaira µ teljes nagyságban µ színes matricát ragasztanak. Hány négyzetdeciméter területûek a matricák? b) A doboz legkisebb lapjaira embléma kerül. Hány négyzetdeciméter a gyártó emblémája, ha az pontosan illeszkedik a lapra? c) Két dobozt úgy csomagolnak egy átlátszó fóliával egybe, hogy minden matrica és embléma látsszon. Hány négyzetdeciméterrel kevesebb a két doboz együttes felszíne így, mint két doboz felszínének összege? d) Mennyi a térfogata a két összecsomagolt doboznak?
4 dm
T2
a
T1
T3 c
b
5,5 dm
2,3 dm
Elõször kiszámítjuk a doboz éleinek hosszát. a + b + c = 5,5 dm, és a + c = 4 dm, így b = 1,5 dm. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ a = 2,3 dm µ b = 2,3 dm µ 1,5 dm, tehát a = 0,8 dm. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ c = 4 dm µ a = 4 dm µ 0,8 dm, tehát c = 3,2 dm. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ a) T = c ¡ b = 3,2 dm ¡ 1,5 dm = 4,8 dm . Tehát a matricás lapok 4,8 dm területûek. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ b) T = a ¡ b = 0,8 dm ¡ 1,5 dm = 1,2 dm . Tehát az emblémával ellátott lapok 1,2 dm területûek. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ c) Az együttes felszín az egymáson lévõ két lap területösszegével csökken. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ T = a ¡ c = 0,8 dm ¡ 3,2 dm = 2,56 dm . ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Tehát az összecsomagolt dobozok együttes felszíne 2 ¡ 2,56 dm = 5,12 dm -rel kevesebb, ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ mint a két doboz felszínének összege. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ d) Az együttes térfogat: V = 2 ¡ a ¡ b ¡ c = 2 ¡ 0,8 dm ¡ 1,5 dm ¡ 3,2 dm = 7,68 dm . ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1
2
3
2
2
2
2
2
2
2
3
49
A RACIONÁLIS SZÁMOK I.
Osztás a tizedes törtek körében 1. Számítsuk ki a hányadost, és figyeljük meg a változását! 1,726 a) 86,3 ¢ 50 = .......................................... 8 6,' 3 ¢ 5 0 = 1, 7 2 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 17,26 b) 86,3 ¢ 5 = ............................................. 3 6 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 172,6 1 3 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ c) 86,3 ¢ 0,5 = ......................................... 3 0 0 8 ' 6,' 3 ¢ 5 = 1 7, 2 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1726 d) 86,3 ¢ 0,05 = ...................................... 0 3 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 17260 1 3 e) 86,3 ¢ 0,005 = ................................... ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
2. Számítsuk ki a hányadost, és figyeljük meg a változását! 250 a) 625 ¢ 2,5 = .......................................... 6 2, 5 ¢ 2, 5 = 2 5 6 2 5 ¢ 2, 5 = 2 5 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 25 b) 62,5 ¢ 2,5 = .........................................
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 2' 5 ¢ 2 5 = 2 5 6 2' 5' 0 ¢ 2 5 = 2 5 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 2 5 1 2 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0,025 e) 0,0625 ¢ 2,5 = ................................... ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
2,5 c) 6,25 ¢ 2,5 = ......................................... 0,25 d) 0,625 ¢ 2,5 = ......................................
3. Számítsuk ki a hányadost, és figyeljük meg a változását! 4 a) 256 ¢ 64 = ............................................ 2 5 6 ¢ 6 4 = 4 2 5, 6 ¢ 6, 4 = 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 b) 25,6 ¢ 6,4 = ......................................... 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 2 5 6 ¢ 6 4 = 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ c) 2,56 ¢ 0,64 = ...................................... 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
d) 0,256 ¢ 0,064 =
.................................
e) 0,0256 ¢ 0,0064 =
4
...........................
4. A virág közepén a szirmokban lévõ két szám szorzata áll. Határozzuk meg a hiányzó számokat! µ1,8 +16 µ12 µ0,9
µ2,5 +1,25 µ40
µ28,8
+0,72
+0,125
+1,44
+12,5
+32 µ20 +0,8 µ36
50
µ25
µ
0
+0,5 µ3,125
5 ,2
+0, 625
+2,4
µ6,25 +1,25 µ2,5
µ5
6, 2 5 ¡ 0, 5 2 8, 8 ¢ 1, 8 = 1 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3, 1 2 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 8 ¢ 2 8 1 8 = 1 6 ' ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 0 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3, 1 2 5 ¢ 1, 2 5 = 2, 5 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 1 2,' 5 ¢ 1 2 5 = 2, 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 2 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
5. Határozzuk meg a hiányzó számokat!
µ240
+100
¢(µ1,5)
µ2000
¢(µ0,18)
¢(+3,6) ¢(+4,5)
5¡(µ8)¡(µ9) ¢(+7,2)
+80
¢(µ0,36)
+50
µ1000
5 ¡ 8 ¡ 9 = 3 6 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 6 0 ¢ 4, 5 = 8 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 6 0' 0 ¢ 4 5 = 8 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
6. Pótoljuk a hiányzó számokat! a) µ43,2
¢0,4
µ108
¢(µ0,6)
+180
¢4,5
+40
¢(µ2,5)
µ0,8
¢(µ0,24) ¢(µ1,08)
b) µ0,144
¢1,2
µ0,12
¢(µ0,06)
2
¢(µ0,072) ¢ 0,18
1 8 0 ¢ 4, 5 = 4 0 a) 0, 2 4 ¡ 4, 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 9 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 8 ¢ 1 0 0 4 5 = 4 0 1 2 0 ' ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 0 0 1, 0 8 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ b) 1, 2 ¡ 0, 0 6 0, 0 7 2 ¡ 2, 5 1, 2 ¡ 0, 1 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0, 0 7 2 1 4 4 2 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 6 0 0, 1 4 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0, 1 8 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ *7. Végezzük el a kijelölt mûveleteket! Írjuk a nyilakra a hiányzó számokat! a)
8,64 ¢ (µ5,4)
¢(µ0,4)
b)
µ22,5 ¢ (µ9)
¢ 2
4,32 ¢ 1,08
¢(µ20)
µ4,32 ¢ 21,6
¢ (µ2)
µ4,32 ¢ (µ43,2)
µ11,25 ¢ (µ9)
¡ (µ3)
µ11,25 ¢ 3
¡ (µ2)
µ11,25 ¢ (µ1,5)
8, 6 4 ¢ 5, 4 = 1, 6 4, 3 2 ¢ 1, 0 8 = 4 4, 3 2 ¢ 2 1, 6 = 0, 2 a) ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 8 6,' 4 ¢ 5 4 = 1, 6 4 3 2 ¢ 1 0 8 = 4 4 3,' 2 ¢ 2 1 6 = 0, 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 2 4 0 4 3 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ b) 2 2,' 5 ¢ 9 = 2, 5 1 1,' 2 ' 5 ¢ 9 = 1, 2 5 1 1,' 2 ' 5 ¢ 3 = 3, 7 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 5 2 2 2 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 4 5 1 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 51
T E N G E LY E S S Z I M M E T R I A
4. TENGELYES SZIMMETRIA A tengelyes szimmetria 1. Rajzoljuk meg a közlekedési táblák szimmetriatengelyeit! Nézzünk utána, mit jelentenek a táblák! a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
2. Rajzoljuk meg az alábbi zászlók szimmetriatengelyeit! Mely országok zászlait ismered fel? a)
b)
c)
Európai Unió
d)
Szomália vagy Vietnam
e)
f)
Japán
Egyesült Királyság
g)
Csehország
Finnország
h)
pl. Franciaország, Írország
Grúzia
3. Az alábbi alakzatok közül melyik szimmetrikus a berajzolt tengelyre? Karikázzuk be a betûjelét! t (A)
(B)
t (C)
(D)
t
t
t (E)
(F)
(G) t
52
t
4. Írjunk fel olyan pontpárokat, amelyek a(z)
y
a) x tengelyre szimmetrikusak:
E
A — L; D — M; E — K; F — J; G — I .......................................................................................
t
.......................................................................................
F
A
D
.......................................................................................
H
G
B
C
b) y tengelyre szimmetrikusak:
B — G; C — H; K — O
.......................................................................................
x
.......................................................................................
N
.......................................................................................
I
M J
c) t tengelyre szimmetrikusak:
L
B — J; C — K; E — H; F — G; L — N
.......................................................................................
K
.......................................................................................
O
.......................................................................................
5. Egészítsük ki a rajzokat úgy, hogy tengelyesen szimmetrikus alakzatot kapjunk! t
t
t
6. Három négyzet alakú papírlapot kétszer összehajtottunk, majd kivágtuk belõlük az (A), (B) és (C) ábra szerinti mintákat. Melyik számozott alakzatot kapjuk, ha a papírlapokat széthajtjuk? Kössük össze a megfelelõket!
(A)
1.
(B)
2.
(C)
3.
4.
53
T E N G E LY E S S Z I M M E T R I A
A tengelyesen szimmetrikus háromszögek 1. Rajzoljuk meg a háromszögek szimmetriatengelyeit!
1.
3.
2.
4.
7. 6.
5.
8.
2. a) Másoljuk át az alábbi háromszögeket egy papírra, és vágjuk ki õket! Hajtogatással keressük meg a háromszögek szimmetriatengelyeit! Rajzoljuk be az alábbi háromszögekbe is a hajtogatással kapott tengelyeket!
4. 5. 2.
1. 6. 3.
b) Írjuk be a halmazábra megfelelõ részébe a megfelelõ háromszögek sorszámát! c) A fenti háromszögekre vonatkozóan melyik állítás igaz (I), melyik hamis (H)?
I £ À H À £ H £ À I £ À 54
Amelyik háromszögnek három oldala egyenlõ, annak három szimmetriatengelye van. Amelyik háromszögnek van derékszöge, annak van szimmetriatengelye is. Amelyik háromszögnek pontosan egy szimmetriatengelye van, annak minden szöge hegyesszög. Van közöttük olyan háromszög, amelyiknek nincs szimmetriatengelye.
háromszögek
3. van szimmetriatengelye
1.
2. 5.
3 szimmetriatengelye van
6.
4.
3. Három tengelyesen szimmetrikus háromszöget egy-egy egyenes mentén kettévágtunk. Keressük meg az összeillõ részeket!
5. 1.
3.
2.
4.
6.
Másoljuk át papírra a részeket, vágjuk ki õket, majd állítsuk össze a tengelyesen szimmetrikus háromszögeket, és ragasszuk be a munkafüzetbe! Megoldás:
4.
3. 2. 6.
5.
1.
4. Tengelyesen szimmetrikusak-e az alábbi háromszögek? a) Az egyik oldala 4,8 cm, a másik oldala ennek a fele, a kerülete pedig 12 cm. Válasz:
Igen, ha a szára 4,8 cm, az alapja 2,4 cm.
.....................................................................................................................................................................................................................
b) Az egyik oldala kétszer akkora, mint a másik, a harmadik oldala pedig az elõzõ két oldal összegének a fele. Válasz:
Nem, mert mindhárom oldal különbözõ. .....................................................................................................................................................................................................................
c) A kerülete valamelyik oldalhosszának a háromszorosa. Válasz:
Igen, ez a háromszög egyenlõ oldalú. .....................................................................................................................................................................................................................
a) K = 12 cm 2 ¡ 2,4 + 4,8 ¹ 12, ezért a háromszög szára a 4,8 cm. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ a = 4,8 cm 2 ¡ 4,8 + 2,4 = 9,6 + 2,4 = 12. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ b = 2,4 cm ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ a a a c) egyik oldal b) ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
másik oldal K ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ harmadik oldal ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
5. Az alábbi szögek közül melyik lehet egy egyenlõ szárú háromszög szárszöge vagy alapon fekvõ szöge? g a
a, b, g a) szárszöge: .................................................................................................... a b) alapon fekvõ szöge: ............................................................................... c) Melyik szög maradt ki mindkét felsorolásból?
d
d b
........................
55
T E N G E LY E S S Z I M M E T R I A
A tengelyesen szimmetrikus sokszögek és a kör 1. Rajzoljuk be annak a sokszögnek a szimmetriatengelyét, amelyik tengelyesen szimmetrikus!
1.
2.
4.
3.
7.
5.
8.
6.
2. Ábrázoljuk derékszögû koordináta-rendszerben a következõ pontokat, majd rendre kössük össze õket!
7
y
D = D’
6
C’
C
5
A(0; 2); B(3; 3); C(3; 5); D(0; 7)
4
A kapott pontokból képezzük az A’; B’; C’; D’ pontokat úgy, hogy a megfelelõ pont elsõ koordinátájának vegyük az ellentettjét, a második koordinátáját pedig hagyjuk változatlanul!
3
B’
2
B A = A’
1 µ8 µ7 µ6 µ5 µ4 µ3 µ2 µ1
0; 2 )
1
µ1
A(0; 2)
¯
A’(
B(3; 3)
¯
B’(µ3;
3)
C(3; 5)
¯
C’(µ3;
5)
µ4
D(0; 7)
¯
D’(
0; 7 )
µ5
2
3
4
5
6
7
8 x
µ2 µ3
µ6 µ7
Tengelyesen szimmetrikus-e az ABCDC’B’ sokszög? Válasz:
Igen, tengelyesen szimmetrikus az y-tengelyre. ............................................................................................................................................................................................................................
3. Válasszunk ki a háromszögrácson megadott K
pontok közül négyet-négyet úgy, hogy azok szimmetrikus négyszögeket határozzanak meg! a) deltoidok: BCIA;
ABJI; IGHK; AJIK; BCJI;
H
A
.......................................................
G
I
KJIG; JCDG; GDEF; JDGI; KJGH; AJGK ............................................................................................. b) húrtrapézok:
IJCG; ICDG; JCEF; AGHK;
...............................................................
B
J
F
KAJH; IJCD ............................................................................................. C
56
D
E
4. a) Rajzoljuk meg az alábbi négyszögek szimmetriatengelyeit!
1.
4. 2.
3.
5.
7. 6.
b) Írjuk be a halmazábra megfelelõ részébe a megfelelõ négyszögek sorszámát!
tengelyesen szimmetrikus négyszögek átlói egyenlõk
c) Az állítások a fenti négyszögekre vonatkoznak. Melyik állítás igaz (I), melyik hamis (H)?
H À £ I £ À H £ À H £ À I £ À H £ À H £ À
Amelyik négyszögnek minden oldala egyenlõ, az négyzet. Amelyik négyszög deltoid, annak átlói merõlegesek egymásra. Amelyik négyszög átlói merõlegesek egymásra, az deltoid. Amelyik négyszögnek van párhuzamos oldalpárja, az rombusz.
1.
Amelyik négyszög rombusz, annak van párhuzamos oldalpárja.
5.
Amelyik négyszögnek két-két szemközti szöge egyenlõ, az téglalap.
2.
4.
3.
6.
két-két szomszédos oldala egyenlõ
Amelyik négyszög átlói felezik egymást, az húrtrapéz.
5. Ábrázoljuk a derékszögû koordináta-rendszerben az alábbi pontokat:
7 6
A(µ2; µ2); B(µ6; 1); C(µ1; 1)!
5 4
Vegyünk fel úgy egy negyedik pontot, hogy a négy pont egy tengelyesen szimmetrikus négyszög négy csúcsa legyen! Keressünk több megoldást! Tengelyesen szimmetrikus négyszögek:
D(µ5; µ2): ADBC négyszög húrtrapéz .................................................................................................... E(0; µ1): AECB négyszög konvex deltoid .................................................................................................... F(µ3; 0): AFCB négyszög konkáv deltoid ....................................................................................................
y
3 2
C
B
1
F µ8 µ7 µ6 µ5 µ4 µ3 µ2 µ1
D
A
µ1
µ2
1
2
3
4
5
6
7
8 x
E
µ3 µ4 µ5 µ6 µ7
57
T E N G E LY E S S Z I M M E T R I A
6. Rajzoljunk a háromszögrácsra szabályos sokszögeket!
7. Töltsük ki az alábbi táblázatot!
egyenlõ oldalú háromszög
négyzet
szabályos ötszög
szabályos hatszög
szabályos nyolcszög
A sokszög szimmetriatengelyeinek száma
3
4
5
6
8
Egy oldalának hossza (mm)
15
13
10
8
6
A sokszög kerülete (mm)
45
52
50
48
48
A sokszög neve
a) Rajzoljuk be pirossal a csúcsra illeszkedõ, kékkel a csúcsra nem illeszkedõ szimmetriatengelyeket!
b) Egészítsük ki a mondatokat! Amelyik szabályos sokszögnek van csúcson nem átmenõ szimmetriatengelye, annak van ........................
58
oldalpárja. Ahány oldalú a szabályos sokszög,
annyi .............................................
párhuzamos ..............................
szimmetriatengelye van.
8. A szabályos hatszöget átlóinak berajzolásával szabályos három-
D
szögekre bontottuk. Adjunk meg csúcsaival olyan sokszöget, amelyik a) szabályos háromszög:
ABO; BCO; CDO; DEO; EFO; AOF .......................................................................................
C
E
........................................................................................................................................ ;
ABCO; BCDO; CDEO; DEFO; EFAO; FABO ....................................................................................................................
b) rombusz:
O
........................................................................................................................................ ;
c) húrtrapéz:
ABCD; BCDE; CDEF; DEFA; EFAB; FABC
..................................................................................................................
B
F
........................................................................................................................................ !
A
9. Az elõzõ ábra segítségével írjunk fel a végpontjaik megadásával olyan szakaszokat, amelyek a körnek a) húrjai:
AB; BC; CD; DE; EF; FA; AD; BE; CF ..................................................................................................................................................................................................................... ;
b) sugarai:
OA; OB; OC; OD; OE; OF ................................................................................................................................................................................................................. ;
c) átmérõi:
AD; BE; CF ................................................................................................................................................................................................................ !
10. Az ábrán megjelöltük egy kör középpontját és négy kerületi pontját. Adjuk meg az összes olyan egyenlõ szárú háromszöget, amelyek csúcsai a megadott pontok!
P
Q
OSR; OSQ; OSP; ORQ; ORP; OQP ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................
O
R
S
11. Döntsük el az állításokról, hogy melyik igaz (I), melyik hamis (H)! I Az átmérõ a kör leghosszabb húrja. £ À H A kör húrja a körlap két tetszõleges pontját összekötõ szakasz. £ À I A kör átmérõjének hossza kétszer akkora, mint a sugár hossza. £ À I Ha a kör középpontját és a körvonal két tetszõleges pontját összekötjük, mindig egyenlõ szárú három£ À szöget kapunk.
I À £
A kör sugara a kör középpontját és a körvonal tetszõleges pontját összekötõ szakasz.
12. Melyik a kakukktojás? Karikázzuk be a sorszámát! a)
t
1.
4.
t
2.
t 3.
5.
6.
t
t
b) 1.
2.
3.
4.
5.
6.
t
59
T E N G E LY E S S Z I M M E T R I A
A körzõ és vonalzó használata 1. Vegyük körzõnyílásba az A és B pontok távolságát, majd rajzoljunk egy-egy körvonalat az A és B pontok körül! Jelöljük ki a körívek C és D metszéspontját! Mit tudunk mondani az ABCD négyszög oldalairól?
C
A
B
D
A négyszög oldalai:
egyenlõ hosszúak
A négyszög neve:
.....................................................................
rombusz
.........................................................................
2. Mérjük fel az ABC háromszög oldalainak hosszát egymás után
C
az alábbi félegyenesre a félegyenes kezdõpontjából! b
a
A c
F
b
a
B
c
kerületét A három oldal felmérése után megkaptuk a háromszög .......................................................................................................... . 11,7 cm. A háromszög kerülete, K = .................... 3. Mérjük meg az ABCD négyszög kerületét az egyes oldalainak
C
c
megmérése nélkül!
D b
d A a
G
a
b
11,7 cm. A négyszög kerülete, K = .................... 60
c
d
B
Merõleges egyenesek szerkesztése 1. Szerkesszük meg a CD szakasz felét, majd a felének is a felét! Színezzük be a CD szakasz Vázlat:
Szerkesztés:
3 részét! 4
C
Terv:
E
D
2. a) Szerkesszük meg az AB szakasz felezõmerõlegesét! b) Jelöljünk ki a szakaszfelezõ merõlegesen három pontot (K; L és M)! E három pont köré rajzoljunk olyan köröket, amelyek áthaladnak az AB szakasz két végpontján! Színezzük különbözõ színnel a három kör sugarát! Vázlat:
Szerkesztés:
M
B
L Terv: A
K
3. Szerkesszünk az e egyenes A pontjába az e egyenesre merõleges a, a B pontjába az e egyenesre merõleges b egyenest! Vázlat:
Szerkesztés:
b a
B
Terv:
e
A
Írjuk le az adott egyenesek helyzetét!
a
^ e; b ^ e; a || b. 61
T E N G E LY E S S Z I M M E T R I A
4. Szerkesszünk a P ponton átmenõ, az e egyenesre merõleges g egyenest! Vázlat:
Szerkesztés:
g e
Terv:
P
5. Szerkesszünk négyzetet, melynek oldalai 4 cm hosszúak! Vázlat:
Szerkesztés:
a
D
C
A
B
Terv:
*6. Szerkesszünk négyzetet, melynek egyik átlója az e egyenesre illeszkedik, egyik csúcsa pedig az adott A pont! Vázlat:
Szerkesztés:
A
Terv:
e
B D
C 62
Párhuzamos egyenesek szerkesztése 1. Szerkesszünk az A ponton keresztül párhuzamost az a egyenessel! Vázlat:
Szerkesztés:
b
A
Terv:
a
2. Szerkesszünk az e egyenessel párhuzamos egyenest, amely tõle 25 mm távolságra van! Szerkesztés:
f
25 mm Terv:
A
B
e
Vázlat:
25 mm
g
3. Szerkesszünk az f egyenessel párhuzamosan egyenest, amely tõle AB távolságra van! Vázlat:
Szerkesztés:
A
B
g Terv: f
h 63
T E N G E LY E S S Z I M M E T R I A
4. Szerkesszünk olyan rombuszt, amelynek az ábra szerinti AB szakasz az egyik oldala, az e egyenes pedig az egyik oldalegyenese! Vázlat:
Szerkesztés:
D2
A
D1
Terv:
C1 A szerkesztés elemzése (diszkusszió):
e
C2
B
ABC D egybevágó ABC D -vel, így egy megoldás van.
1 1 2 2 .......................................................................................................................................................
5. Szerkesszünk téglalapot, ha a két szomszédos oldala 3,4 cm és 5 cm! Vázlat:
Szerkesztés:
Terv:
A szerkesztés elemzése (diszkusszió):
D1
C1
A
B
D2
C2
ABC D egybevágó ABC D -vel, így egy megoldás van.
1 1 2 2 .......................................................................................................................................................
6. Szerkesszünk olyan négyzetet, amelynek kerülete az EF szakasz! Vázlat:
Szerkesztés:
F
A
Terv: E
64
a
B
Szögfelezés, szögmásolás, szögszerkesztés 1. Szerkesszük meg az adott szögek szögfelezõit! Vázlat:
a)
b)
a b
2
a
a
b
2
2
2
b
Terv:
c)
d) g
d
g
2
2
g
d
2
2
d
2. Adott az a és b szög. Szerkesszük meg a két szög összegét! Vázlat:
Szerkesztés: b
a
Terv:
a +b C
3. Szerkesszük meg az elõzõ feladatban adott a és b összegét úgy, hogy a közös szár az O kezdõpontú f félegyenes legyen! Vázlat:
Szerkesztés:
a +b Terv:
b a
O
f
65
T E N G E LY E S S Z I M M E T R I A
4. Szerkesszük meg az adott két szög különbségét, a bµa szöget! Szerkesztés:
Vázlat:
b
a
Terv:
b µa
b a C
5. Szerkesszük meg a) az e félegyenes E pontjába a háromszög belsõ szögeinek összegét; Szerkesztés:
C g
b a
A
e
a
g E
b B
b) a g félegyenes G pontjába a négyszög belsõ szögeinek összegét! Szerkesztés:
D d
A
g
a
b
C
g
b B
a G
g
d
6. Szerkesszünk a megadott félegyenesre a) a = 90°-os szöget; Vázlat:
Szerkesztés:
Terv: E e
66
b) b = 135°-os szöget; Vázlat:
Szerkesztés:
Terv:
135° F f
135° = 180° µ 45° vagy 90° + 45° c) 105°-os szöget! Vázlat:
Szerkesztés:
105°
Terv:
105° = 90° + 15° vagy 120° µ 15° 7. Szerkesszünk szélrózsát, azaz szerkesszük meg a fõ- és mellékvilágtájak irányát! (Az északi irányt berajzoltuk.) Vázlat:
Szerkesztés: É
ÉNy
Terv:
ÉK
Ny
K
DNy
DK D 67
T E N G E LY E S S Z I M M E T R I A
Alakzatok tengelyes tükörképének szerkesztése 1. Szerkesszük meg az alábbi alakzatoknak a t tengelyre vonatkozó tükörképét! a)
P; Q; R
b)
t
e; f
e
t
F = F´ P
E´
E
P´
e´ R
= R´
f´
f
F F´ Q´ G
Q
G´ c)
AB; CD; EF
d)
t
a; b; g
t
B´
A´
a´
B
A
C´
a
B´
A
A´
C
B
C´ C
b´
b
D´
D
D´
D E E´
G g
g´
F´= E
68
F
= E´
F
G´ F´
2. Szerkesztéssel tükrözzük a t tengelyre az adott alakzatokat! a)
ABC; EFG
G
A´ B´
F=
E´= E
F´
C´= C
t
B
G´ A
b)
ABCD; EFGH
E´
F´
C
D´= D t
B=
H´
B´
G´ H G
A
E F
c)
k1 ; k2 ; k3
k3
r3 k1 Q
r1 O
P´
t
Q´
P
r2 O´ k2
69
T E N G E LY E S S Z I M M E T R I A
Tengelyesen szimmetrikus sokszögek szerkesztése 1. Szerkesszünk egyenlõ szárú háromszöget, melynek a kerülete 10 cm, az alapja 4 cm! Vázlat:
Szerkesztés:
A b
Terv:
B
A szerkesztés elemzése (diszkusszió):
a
C
E
D
A háromszög megszerkeszthetõ, mert a 2b > a.
.......................................................................................................................................................
2. Kriszti nem emlékezett arra, hogy milyen tengelyesen szimmetrikus négyszöget kellett szerkesztenie, de megtalálta a szerkesztés lépéseit. Készítsünk vázlatot, és végezzük el a szerkesztést! A szerkesztés lépései: 1. Felvesszük az AB = 3,7 cm hosszú szakaszt. 2. Az A végpontba az AB félegyenesre, a B végpontba a BA félegyenesre ugyanabba a félsíkba 105°-os szöget szerkesztünk. 3. Az így keletkezett szögszárakra az A és B pontokból felmérünk 3 cm-t (C és D pontok). 4. Összekötjük a C és D pontokat. Vázlat:
Szerkesztés:
C
D Terv:
A
A szerkesztés elemzése (diszkusszió):
70
B
A feladatnak egy megoldása van. .......................................................................................................................................................
Az alábbi feladatok megoldásakor az adott t tengely felhasználásával végezzük a szerkesztéseket!
3. Szerkesszünk egyenlõ szárú háromszöget, ha annak szimmetriatengelye a t egyenes, a) és két csúcspontja A és C; Vázlat:
Szerkesztés:
t A
Terv:
B C
A szerkesztés elemzése (diszkusszió):
Ha a C pont nem a tengelyre esik, akkor van megoldás.
................................................................................................................................................
b) adott a B csúcspontja, az alapon fekvõ szöge pedig b; Vázlat:
Szerkesztés:
t
b
A Terv:
C b B
A szerkesztés elemzése (diszkusszió):
Egy háromszög szerkeszthetõ.
................................................................................................................................................
c) szárszöge az a szög, szárának hossza pedig b! Vázlat:
Szerkesztés:
4 a
b
C
3 t
b a 2
A
a 2
Terv:
b
B A szerkesztés elemzése (diszkusszió):
A feladatnak egy megoldása van. ................................................................................................................................................ 71
T E N G E LY E S S Z I M M E T R I A
4. Szerkesszünk rombuszt, ha adott a t tengelye, és két csúcsa A és B! Vázlat:
Szerkesztés:
t A
B
Terv:
A szerkesztés elemzése (diszkusszió):
A feladatnak egy megoldása van. ................................................................................................................................................
5. a) Szerkesszünk deltoidot, ha adott a t tengelye, a szimmetriatengelyre illeszkedõ átlója 5 cm, az A pontból kiinduló oldalai 2,5 cm hosszúak, és a B csúcs az f egyenesen van ( f ª t )! Vázlat:
Szerkesztés: f
B2
B1
t
Terv:
A
C
D2 D1 A szerkesztés elemzése (diszkusszió):
A feladat két megoldása: az AB CD és az AB CD deltoid.
1 1 2 2 ................................................................................................................................................
b) Szerkesszünk deltoidot, ha adott a t tengelye, a szimmetriatengelyre illeszkedõ átló 3 cm, a másik átló 5 cm, az A pontból kiinduló két oldala pedig 3 cm! Vázlat:
Szerkesztés:
t
B2 D2 A
Terv:
B1 D1 C A szerkesztés elemzése (diszkusszió):
72
A feladat két megoldása: az AB CD és az AB CD deltoid.
1 1 2 2 ................................................................................................................................................
c) Szerkesszünk deltoidot, ha adott a szimmetriatengelyre illeszkedõ f átlója, és két oldala a és b! Vázlat:
Szerkesztés:
a
f b
D a b A
Terv:
f C
a
t
b B A szerkesztés elemzése (diszkusszió):
A feladatnak egy megoldása van.
................................................................................................................................................
6. Szerkesszünk húrtrapézt, ha adott a t tengelye, a) és szára az AD szakasz; Vázlat:
Szerkesztés:
t
D
C
Terv: A
B
A szerkesztés elemzése (diszkusszió):
A feladatnak egy megoldása van.
................................................................................................................................................
b) az A pont az egyik csúcspontja, az A csúcsban lévõ szög a = 75°-os, a szára pedig 3 cm-es! Vázlat:
Szerkesztés:
t
D C b b
Terv:
A
75° B
A szerkesztés elemzése (diszkusszió):
A feladatnak egy megoldása van. ................................................................................................................................................ 73
A RACIONÁLIS SZÁMOK II.
5. A RACIONÁLIS SZÁMOK II. A törtekrõl tanultak ismétlése 1. Írjuk a számokat a számegyenes megfelelõ pontjához! 5 ; 12
1 ; 3
7 2 ; 1 ; 6 3
1 5 3 12
0
7 ; 4
1 3 ; 2 6 4
3 4
7 6
1
1
2 7 3 4
2
1 6
2
2. Keressük meg a 0 helyét a számegyeneseken! a) 1 2
1 4
0
3 4
b) 1 2 = 3 6
0
1 3 = 2 6
c) 7 10
0
4 5
3. Írjuk be a körökbe az adott számokat, ha a nyíl a kisebb számra mutat! 85 ; 100
7 ; 10
9 ; 2
1 5
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 7 70 = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 10 100 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 9 450 = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 100 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 20 = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 100 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
1 5
9 2
7 10
85 100 4. Végezzünk bõvítést! a)
1 2
=
3 6
=
4
6
=
8
=
12
10 20
=
20
b)
40
4 5
=
8 10
=
12 15
=
20
=
25
32
=
40
40
50
5. Egyszerûsítsük az adott törteket! a)
18 54
=
9 27
=
3
9
=
1 3
b)
27 36
=
9
=
12
3 4
c)
24 60
=
12
=
30
4 10
=
2
5
6. Írjuk a törtek közé a megfelelõ (<; >; =) relációjeleket! a)
3 7 < ; £ À 5 10
b)
1 3 > ; £ À 3 10
c) 4
= £ À
8 ; 2
d)
7 4 < ; £ À 6 3
e)
5 8 < ; £ À 8 5
f)
7 4 > £ À 4 7
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 10 7 14 = = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 30 6 12 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 9 4 16 = = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 10 30 3 12 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 74
7. Bõvítsük a törteket úgy, hogy azonos legyen a nevezõjük, majd az adott törteket írjuk növekvõ sorba! 7 ; 8
9 ; 12
5 ; 3
3 ; 4
3 8
5 ; 2
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 7 21 9 18 5 40 3 18 5 60 3 9 = ; = ; = ; = ; = ; = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 8 24 12 24 3 24 4 24 2 24 8 24 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 9 3 7 5 5 < = < < < ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 8 12 4 8 3 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 8. Pótoljuk a hiányzó mérõszámot, mértékegységet! 4 48 perc óra = ................. 5 3 2 d) ................. m = 150 cm a)
b)
7 óra nap = 56 ........................... 3
e) 2
3 2 275 m = ........................... dm2 4
c)
9 9 hét = ........................... nap 7
f)
7 8
3
m .................
= 875 dm3
9. Kössük össze a keretben lévõ mennyiségeket úgy, hogy a nyíl a kisebb felé mutasson! 31 2 m = 12 dm 5 25
25 1 dm = 6 dm 4 4
5 m = 25 dm 2 2 km = 40 dm 500
47 7 dm dm = 2 20 20
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 20000 km = dm = 40 dm ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 500 500 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 31 310 2 m= dm = 12 dm ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 25 25 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 47 dm 20 A legkisebb: .....................................................................................
2 km 500 A legnagyobb: ................................................................................
10. Írjuk az alábbi tömegeket a körökbe úgy, hogy a nyíl a nagyobb tömegre mutasson! 4 t; 1000
80 dkg;
3 kg; 4
19 kg; 20
7 kg 5
4 t 1000 3 kg 4
80 dkg
19 kg 20
7 kg 5
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 4000 t= kg = 4 kg ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1000 1000 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 80 4 80 dkg = kg = kg ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 100 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 75 19 95 kg = kg kg = kg ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 100 20 100 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 7 140 kg = kg ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 100 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 75
A RACIONÁLIS SZÁMOK II.
Mûveletek törtekkel (ismétlés) 1. Írjuk le a szabályt, majd töltsük ki a táblázatot! x
1 2
3 5
4 6
3 4
3 8
0
10 11
4 7
x=
..........................................................
y
4 8
2 5
1 3
1 4
5 8
1
1 11
3 7
y=
..........................................................
1µy 1µx
2. A számok összege minden virágsziromban ugyanannyi. Írjuk a virág közepére ezt az összeget, majd pótoljuk a szirmok hiányzó számait! 2
33 2 40 4 5
3
1 3 8 1 2
3
7 8
3 4
1 4
5 8
9 40
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 7 6 7 13 5 2 + =2 + =2 =3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 8 8 8 8 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 2 25 16 9 3 µ =3 µ =3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 8 5 40 40 40 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 4 25 32 65 32 33 3 µ =3 µ =2 µ =2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 8 5 40 40 40 40 40 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
3 3 8
1 2
2 5
1 4
3 8
5 3 kg és kg 8 4 7 4 1 volt, Ágiéban pedig kg, kg és 2 kg. Jutka vagy Ági vitt nagyobb tömegû árut? Mennyivel? 5 5 10
3. Két testvér, Jutka és Ági bevásároltak. A Jutka kosarában lévõ áruk tömege 1 kg, másfél kg,
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 3 5 12 6 5 7 Jutka: 1 kg + kg + kg + kg = 1 kg + kg + kg + kg = 3 kg. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 4 8 8 8 8 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 7 4 1 14 8 1 3 Ági: kg + kg + 2 kg = kg + kg + 2 kg = 4 kg. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 5 10 10 10 10 10 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 7 12 35 52 35 17 4 µ3 =4 µ3 =3 µ3 = . ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 10 8 40 40 40 40 40 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Válasz:
Ági vitt nagyobb tömegû árut, 17 kg-mal.
40 ............................................................................................................................................................................................................................
4. Töltsük ki az üresen maradt helyeket! 5 1 + 2 3
+
1 2
1 3 +3
.........
+
1 3
2 3 +3
.........
+
31 + 2 3
1 4
4 .........
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5. Írjuk a megfelelõ relációjelet az összegek közé!
76
⎛ 4 1⎞ 2 a) ⎜ + ⎟ + ⎝5 2⎠ 3
= £ À
4 ⎛ 1 2⎞ +⎜ + ⎟ 5 ⎝2 3⎠
⎛ 4 1⎞ ⎛ 2 1⎞ b) ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ ⎝5 2⎠ ⎝3 2⎠
> £ À
⎛ 4 1⎞ 2 ⎜ + ⎟+ ⎝5 2⎠ 3
⎛ 4 1⎞ 2 c) ⎜ − ⎟ + ⎝5 2⎠ 3
> À £
⎛ 4 1⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎜ − ⎟+⎜ − ⎟ ⎝5 2⎠ ⎝3 2⎠
⎛ 4 1⎞ ⎛ 2 1⎞ d) ⎜ − ⎟ + ⎜ + ⎟ ⎝5 2⎠ ⎝3 2⎠
= À £
⎛ 4 1⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎜ + ⎟+⎜ − ⎟ ⎝5 2⎠ ⎝3 2⎠
6. Írjuk a megfelelõ relációjelet a különbségek közé! ⎛ 17 1 ⎞ 3 a) ⎜ − ⎟ − ⎝ 8 2⎠ 4 c)
< £ À
17 ⎛ 3 1 ⎞ −⎜ − ⎟ 8 ⎝4 2⎠
b)
17 ⎛ 3 1 ⎞ ⎛ 17 1 ⎞ ⎛ 3 1 ⎞ −⎜ + ⎟ £ < ⎜ − ⎟−⎜ − ⎟ 8 ⎝4 2⎠ À ⎝ 8 2⎠ ⎝4 2⎠
⎛ 17 1 ⎞ 3 ⎜ + ⎟− ⎝ 8 2⎠ 4
⎛ 17 1 ⎞ ⎛ 3 1 ⎞ d) ⎜ + ⎟ − ⎜ + ⎟ ⎝ 8 2⎠ ⎝4 2⎠
= £ À
17 ⎛ 3 1 ⎞ −⎜ − ⎟ 8 ⎝4 2⎠
> À £
⎛ 17 1 ⎞ ⎛ 3 1 ⎞ ⎜ − ⎟−⎜ + ⎟ ⎝ 8 2⎠ ⎝4 2⎠
7. Végezzük el a számításokat, és kössük össze az egyenlõket! a)
22 6
1 1 2 37 + + = 30 3 2 5 3µ
3 1 7 µ = 6 2 3
6µ
4 2 µ1= 3 3 3
2
⎛8 ⎞ ⎛8 ⎞ ⎜ + 1⎟ − ⎜ − 1⎟ = 2 ⎝7 ⎠ ⎝7 ⎠
1
3 18
1
7 30
b) 2¡
5 3 + ¡4= 4 8 4
1
1
1 1 1 + ¢3= 1 2 3 2
2+
2+
5 5 ¢4= 2 8 2
⎛7 3⎞ 9 49 ⎜ − ⎟− ¢ 4 = 20 ⎝2 5⎠ 5
1 2 5 8
49 20 4
a) ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 1 2 10 15 12 37 3 1 18 9 2 7 + + = + + = 3µ µ = µ µ = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 2 5 30 30 30 30 2 3 6 6 6 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 8 7 8 7 15 1 14 4 4 1 2 µ = =2 + µ µ = 6 µ µ 1= 5 µ = 5 µ 1 = 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 7 7 (7 7) 7 7 7 3 3 3 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ b) ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 5 3 5 8 2¡ + ¡4= + = =4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 8 2 2 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 1 4 1 8 1 9 3 1 1 + ¢ 3= + = + = =1 =1 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 2 3 6 6 6 6 6 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 5 5 2+ ¢4=2+ =2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 8 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ (72 µ 53) µ 59 ¢ 4 = 1035 µ 106 µ 209 = 1029 µ 209 = 5820 µ 209 = 4920 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
*8. Keressük meg azokat a számokat, amelyek összege 1 2
5 6
7 10
3 4
7 6
9 8
1 3
1 5
4 5
6 8
6 16
5 4
13 10
1 4
2 3
5 5
3 ! Színezzük azonos színûre a párokat! 2
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 9 15 6 12 = = = = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 6 10 4 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 5 5 2 7 4 3 6 Párok: és ; és ; és ; és ; ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 5 6 3 10 5 4 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 7 1 9 6 1 13 5 1 és ; és ; és ; és . ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 3 8 16 5 10 4 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 77
A RACIONÁLIS SZÁMOK II.
9. Egy füzet méreteit mutatja az ábra. Hány centiméter a füzet fedõlapjának a kerülete? 1 cm 5
a = 20
1 b = a + 8 cm K =2¡a+2¡b ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 1 1 7 b = 20 cm + 8 cm K = 2 ¡ 20 cm + 2 ¡ 28 cm ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 2 5 10 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 14 7 cm K = 40 + 56 cm b = 28 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 10 10 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 K = 97 cm ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5
a b 8
Válasz:
1 cm 2
A füzet fedõlapjának kerülete 97 4 cm.
5 ............................................................................................................................................................................................................................
10. a) Jelöljük be a számegyenesen a
4 felét, kétszeresét! Írjuk le mûvelettel! 3 2 3
0
4 2 ¢2= 3 3
2¡
4 8 = 3 3
Hányszorosa a
b) Jelöljük be a számegyenesen a
9 ¢3= 3 8 8
3¡
11. Két szám (x és y) átlaga
4 Négyszerese. kétszerese a felének? ......................................................... 3
9 harmadát, háromszorosát! Írjuk le mûvelettel! 8
3 8
0
8 3
4 3
27 8
9 8
9 = 27 8 8
Hányszorosa a
9 Kilencszerese. háromszorosa a harmadának? ..................................... 8
3 . Számítsuk ki a hiányzó számokat! 4
x
1 2
1 3
2 5
5 4
9 8
11 8
y
1
7 6
11 10
1 4
3 8
1 8
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 3 ⇒ x+y= (x + y ) ¢ 2 = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 1 9 2 7 µ = µ = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 3 6 6 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 2 15 4 11 µ = µ = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 5 10 10 10 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
*12. Mely számok hiányoznak az üres helyekrõl? a)
7 8
+
7 5
=2
11 40
b)
7 8
+
3 4
+
5
3
=3
7 24
c)
(
3 5
µ
1
10
(
¡2 =1
a) ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 11 7 11 35 51 35 16 2 7 2 µ =2 µ =1 µ =1 =1 = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 40 8 40 40 40 40 40 5 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ b) ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 7 7 3 7 7 6 7 13 79 39 40 5 3 µ + =3 µ + =3 µ = µ = = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 24 ( 8 4 ) 24 ( 8 8 ) 24 8 24 24 24 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ c) ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 1 1 6 1 5 6 1 5 µ = µ = µ = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 À 2 10 À 10 10 10 10 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
78
A negatív törtek 1. Ábrázoljuk a számegyenesen az adott törteket! µ
1 3 ; µ ; 2 4
2 5 ; µ ; 3 6
1 ; 2
3 ; 4
6 3 2 4 ; µ ; µ ; µ 6 2 3 4 µ
µ3
µ2
µ
4 5 2 µ µ 4 6 3
µ1
3 2
µ
3 4
6 6 µ
1 2
1 2
0
23 34
1
µ 1 = 1; µ3 = 3 ; µ2 = 2 ; µ4 = 6 2 2 4 4 3 3 4 6 Írjuk fel az egyenlõ abszolút értékû törteket! ........................................................................................................................................... µ5 ; µ3 ; µ2 ; µ 1 6 4 3 2 Soroljuk fel az adott törtek közül a µ1-nél nagyobb negatív törteket! ..................................................................................... 1 µ3 2 2 A legkisebb negatív tört: ........................................................... A legkisebb pozitív tört: .............................................................
2. Keressük meg a számegyenesen az adott számok helyét az ábrázolt két tört segítségével! a) µ
1 ; 4
1 3 ; µ ; 0; 2 4 µ
3 ; 2
3 4 µ1
3 2
µ
3 4
µ
1 2
µ
1 4
0
1 2
3 4
3 2
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 2 3 6 = = ; ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 4 2 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ b) µ
1 1 ; µ ; 0; 3 6 µ
5 6
1 5 3 ; µ ; µ 6 6 4 µ
3 4
µ
2 3
µ
1 2
µ
1 3
µ
1 6
0
1 6
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 4 1 2 3 9 5 10 2 8 1 6 = ; = ; = ; = ; = ; = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 12 6 12 4 12 6 12 3 12 2 2 12 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3. a) Írjuk az adott törteket növekvõ sorba! 8 7 1 ; µ ; µ ; 5 4 2
2 ; 3
9 3 ; µ 2 4
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 8 32 1 10 3 15 7 21 2 8 9 54 µ =µ ; µ =µ ; µ =µ ; = ; = ; = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 20 2 20 4 20 4 12 3 12 2 12 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ µ8 < µ3 < µ 1 < 2 < 7 < 9
5 4 2 3 4 2 ....................................................................................................................................................................................................................................... b) Írjuk fel minden tört ellentettjét, majd az ellentetteket is írjuk növekvõ sorba! µ7 ; 8 ; 1; µ2 ; µ9 ; 3 µ9 < µ7 < µ2 < 1 < 3 < 8 4 2 5 4 2 3 3 2 2 4 4 5 ....................................................................................................................................................................................................................................... c) Írjuk fel a törtek abszolút értékét, majd az abszolút értékeket is írjuk növekvõ sorba! 7 = 7 ; µ8 = 8 ; µ 1 = 1; 2 = 2 ; 9 = 9 ; µ3 = 3 4 4 5 5 2 2 3 3 2 2 4 4 ....................................................................................................................................................................................................................................... µ 1 < 2 < µ3 < µ8 < 7 < 9 2 3 4 5 4 2 .......................................................................................................................................................................................................................................
79
A RACIONÁLIS SZÁMOK II.
4. Írjuk a törtek közé a megfelelõ relációjelet! a) µ
1 3 < ; £ À 2 4
b) µ
3 7 >µ ; £ À 5 10
c) µ
e) µ
2 4 =µ ; £ À 3 6
f) µ
9 9 >µ ; £ À 100 10
g)
1 3 >µ ; £ À 4 2
2 3 >µ ; £ À 3 2
d) µ
5 8 >µ ; £ À 8 5
h) µ
7 7 <µ ; £ À 3 4
d) ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 25 8 64 5 µ =µ ; µ =µ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 8 40 5 40 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ h) ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 28 7 21 7 µ =µ ; µ =µ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 12 4 12 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
5. Végezzük el a mûveleteket, és kössük össze az egyenlõket! µ
4 1 ¡2µ 5 2
2 3 ¢ (µ5) + 5 4
59 2
µ2
1 10
(−21) ⋅ ⎜⎛−
4 5⎞ − ⎟ ⎝ 7 6⎠
1 4
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 1 8 1 16 5 21 1 µ ¡ 2 µ =µ µ =µ µ = µ = µ2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 2 5 2 10 10 10 10 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 2 3 8 5 1 ¢ (µ5) + = µ + = = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 5 20 20 20 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 5 24 35 59 59 (µ21) ¡ (µ µ ) = (µ21) ¡ (µ µ ) = (µ21) ¡ (µ ) = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 7 6 42 42 42 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6. Jelöljük be a vonalakra a nyíl hegyét úgy, hogy a nyíl a nagyobb számra mutasson! Írjuk a nyílra, hogy mennyivel nagyobb! µ3
µ2 +
µ1
+1
3 2
80
+ µ2
+ µ2
2 3
1 2
1 3
1 3
1 3
+ +
1 3
2 3 µ1
2 3
µ2
2 3
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 3 µ2 = µ2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 2 µ2 = µ2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 1 5 7 5 7 2 µ1 µ (µ2 ) = µ µ (µ ) = µ + = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 3 3 3 3 3 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
Tört szorzása törttel 1. Végezzük el a mûveletet, és írjuk a megfelelõ szorzatot, illetve szorzótényezõt az üres helyre! µ2
¡
µ2 3
1 3
¡µ
1 2
3 4
( )
¡ µ1 4
¡µ
µ1 4
1 2
¡ 1 8
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 2 ⎛ 3⎞ 1 ¡ = µ ¡ ⎜µ ⎟ = ¡ = ¡ ¡ = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 4 3 4 2 8 3 ⎝ 4⎠ 2 4 2 8 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1
1
1
2
1
1
1
1
2. Töltsük ki a táblázatot!
4
1 3
¡
2 3
5 6
10 11
µ
3 5
2 5
1 2
6 11
µ1 5
1 2
3
15 = 3 3 4 4
45 = 4 1 11 11
µ
5 9
1
µ1 3
2 3
µ1
µ6 7
1
µ 3 = µ1 1 µ 5 = µ2 1 2 2 2 2
3 7
15 = 7 1 2 2
µ7
1 2
µ 9 = µ4 1 2 2
µ 45 = µ6 3 µ135 = µ33 3 7 4 7 4
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 2 3 5 3 ⎛ 1⎞ 2 1 3 10 6 1 = ¡ = ; ¡ = ; ¡ ; ¡ ⎜µ ⎟ = µ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 6 5 11 5 2 11 5 ⎝ 3⎠ 5 3 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 ⎛ 5⎞ 3 5 1 3 2 3 ⎛ 3⎞ 9 6 1⎞ 3 ⎛ 15 ⎞ 3 ⎛ 10 ⎞ 3 ⎛ ¡ ⎜µ ⎟ = µ ; ¡1 = ¡ = 1; ¡ ⎜µ1 ⎟ = ¡ ⎜µ µ ; ¡ ⎜µ7 ⎟ = ¡ ⎜µ µ ⎟= ⎟= ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 ⎝ 9⎠ 5 3 5 ⎝ 7 ⎠ 5 ⎝ 2 ⎠ 3 5 3 5 ⎝ 7⎠ 2 7 2⎠ 5 ⎝ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 9 ⎛ 1⎞ 9 5 9 2 45 3 15 1 10 9 10 1 2 1 5 1 ⎛ 1⎞ = 4 ¡ = ¡ = 3; 4 ¡ = ¡ = ; 4 ¡ = ¡ ; 4 ¡ ⎜µ ⎟ = ¡ ⎜µ ⎟ = µ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 11 2 3 11 2 ⎝ 3⎠ 2 2 3 2 6 2 6 4 2 11 2 ⎝ 3⎠ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 9 ⎛ 5⎞ 9 5 1 ⎛ 5⎞ 5 1 2 15 1 ⎛ 3⎞ 9 ⎛ 10 ⎞ 45 4 ¡ ⎜µ ⎟ = ¡ ⎜µ ⎟ = µ ; 4 ¡ 1 = ¡ = ; 4 ¡ ⎜µ1 ⎟ = ¡ ⎜µ ⎟ =µ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 ⎝ 7 ⎠ 2 ⎝ 9⎠ 2 ⎝ 9⎠ 2 2 3 2 3 2 2 ⎝ 7⎠ 7 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 ⎛ 1 ⎞ 9 ⎛ 15 ⎞ 135 4 ¡ ⎜µ7 ⎟ = ¡ ⎜µ ⎟ = µ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 ⎝ 2⎠ 2 ⎝ 2 ⎠ 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
3
1
1
1
1
1
1
5
3
3
1
2
1
3
2
1
3
1
5
1
1
3. Hasonlítsuk össze a szorzatokat! Írjuk a megfelelõ relációjelet a négyzetbe! 2 3 ⋅ 3 4
> À £
−
⎛ 2 1⎞ ⎛ 5 ⎞ c) ⎜ − + ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ ⎝ 5 3⎠ ⎝ 8⎠
= À £
2 ⎛ 5⎞ 1 ⎛ 5⎞ − ⋅ ⎜− ⎟ + ⋅ ⎜− ⎟ 5 ⎝ 8⎠ 3 ⎝ 8⎠
a)
−
4 3 ⋅ 3 2
b)
5 ⎛ 3⎞ 2 6 ⎛ 5⎞ 7 ⋅ ⎜− ⎟ ⋅ > ⋅ ⎜− ⎟ ⋅ £ 6 ⎝ 5⎠ 7 À 5 ⎝ 3⎠ 2
1⎞ ⎛3 d) ⎜ − 1 ⎟ : (−2) 2⎠ ⎝4
> À £
−
3 1 − 1 : (−2) 4 2
81
A RACIONÁLIS SZÁMOK II.
Tört osztása törttel 1. Kössük össze a reciprokokat! Amelyiknek nincs itt a reciproka, azt karikázzuk be, és írjuk le a reciprokát! µ
5 6
µ
6 5
3 4
2
1 2
3,4
µ
4 3
µ1
1 5
2,5
5 2
3
1 2
rec. rec. rec. rec. 6 rec. → 5 ; 5 → 2 ; 3,4 = 17 → 5 ; 2,5 = 5 → 2 ; 3 1 = 7 → 2 5 6 5 2 5 2 2 5 17 7 2 ..............................................................................................................................................................................................................................................
2. Írjunk az üres helyekre számokat úgy, hogy a szirmok két részében lévõ számok szorzata 1 legyen!
5 3 2 7
µ
3 5
7 8 µ 8 7
µ6 µ
1 2 7 2
0 5
—
1 6
µ1,15
5 8
µ
8 21
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 10 1 ¢ 2,3 = 10 ¢ 23 = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 23 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 78 39 7,8 = = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 10 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 115 100 20 µ1,15 = µ → µ =µ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 100 115 23 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
µ11 µ 1 11 20 µ1 µ 23 µ1
1
5 39 µ7,8
0,125 10 23
rec.
8
2,3
3. Következtessünk visszafelé! 2 Gondoltam egy számot, megszoroztam µ2-vel, a szorzatból kivontam -ot, a különbséget elosztottam 3 1 µ4-gyel, és µ -et kaptam. Melyik számra gondoltam? 2
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 2 1 µ → +2 → +2 → µ1 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 3 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Ellenõrzés: ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 2 1 µ1 → + 2 → µ2 → µ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 3 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ +
¡(µ 4 )
¢(µ 2 )
µ
¡(µ 2 )
Válasz:
2 3
2 3
¢(µ 4 )
A µ1 1-ra gondoltam.
3 ............................................................................................................................................................................................................................
4. Határozzuk meg az ismeretlen tényezõt, és írjuk a téglalapba! a)
3 ⎛ 2⎞ 5 ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ µ5 = 4 ⎝ 3⎠ 2
b) µ
7 3 3 ¡ 11 ¡ = µ3 5 10 14
a) b) ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 7 3 3 3 2 1 = ¡ ¡ = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 14 10 4 3 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 5 3 33 3 µ ¡ (µ5) = µ ¡ 11= µ = µ3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 2 10 10 10 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
82
1
1
2
1
1
2
5. Töltsük ki a táblázatot! osztó osztandó 2 3
1 5
2 3
2 3
µ
3 2
5
5 6
1 2
1
µ4 9
2 15
4 5
4 3
µ5 9
µ2 11
µ1
µ3
µ
4 7
µ6 7
8 21
µ4 35
µ 24 35
µ 8 =µ1 1 7 7
10 21
12 77
1
1 2
9 =21 4 4
µ1
3 10
9 5
3
µ5 4
µ9 22
4
3 5
69 = 6 9 10 10
µ 46 = µ3 1 15 15
23 25
138 = 5 13 25 25
46 = 9 1 5 5
µ 23 = µ3 5 µ 69 = µ114 6 55 6 55
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 2 4 3 6 1 2 3 3 9 3 2 23 3 69 µ ¢ =µ ¡ =µ ; 1 ¢ = ¡ = ; 4 ¢ = ¡ = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 7 3 7 2 7 2 3 2 2 4 5 3 5 2 10 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 ⎛ 3⎞ 2 ⎛ 2⎞ 4 4 ⎛ 3⎞ 4 ⎛ 2⎞ 8 46 3 ⎛ 3 ⎞ 23 ⎛ 2 ⎞ 1 ⎛ 3⎞ 3 ⎛ 2 ⎞ ¢ ⎜µ ⎟ = ¡ ⎜µ ⎟ = µ ; µ ¢ ⎜µ ⎟ = µ ¡ ⎜µ ⎟ = ; 1 ¢ ⎜- ⎟ = ¡ ⎜µ ⎟ = µ1; 4 ¢ ⎜µ ⎟ = ¡ ⎜µ ⎟ = µ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 ⎝ 2⎠ 3 ⎝ 3⎠ 9 7 ⎝ 2⎠ 7 ⎝ 3 ⎠ 21 2 ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 3 ⎠ 5 ⎝ 3⎠ 15 5 ⎝ 2⎠ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 2 1 2 4 4 1 4 1 3 1 3 3 23 1 23 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¢5= ¡ = ; µ ¢ 5 =µ ¡ =µ ; 1 ¢5= ¡ = ; 4 ¢5= ¡ = 3 3 5 15 7 7 5 35 2 2 5 10 5 5 5 25 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 5 4 4 5 24 1 5 2 6 4 6 3 6 9 3 5 23 6 138 1 ¢ = ¢ = ¡ = ; µ ¢ =µ ¡ =µ ; ¡ = ; 4 ¢ = ¡ = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 5 2 5 3 6 5 7 6 7 5 35 2 6 5 5 6 5 5 25 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 1 2 4 4 1 8 1 1 4 3 3 1 23 46 1 ¢ = ¡ 2 = 3; ¢ = ¡2= ; µ ¢ =µ ¡ 2 =µ ; 4 ¢ = ¡2= 2 3 2 3 3 7 2 7 7 2 2 5 2 5 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 ⎛ 1⎞ 2 ⎛ 5⎞ 5 4 ⎛ 1⎞ 4 ⎛ 5 ⎞ 10 ¢ ⎜µ1 ⎟ = ¡ ⎜µ ⎟ = µ ; µ ¢ ⎜µ1 ⎟ = µ ¡ ⎜µ ⎟ = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 ⎝ 5⎠ 3 ⎝ 6⎠ 9 7 ⎝ 5⎠ 7 ⎝ 6 ⎠ 21 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 ⎛ 5⎞ 1 ⎛ 1⎞ 5 3 ⎛ 1 ⎞ 23 ⎛ 5 ⎞ 23 1 ¢ ⎜µ1 ⎟ = ¡ ⎜µ ⎟ = µ ; 4 ¢ ⎜µ1 ⎟ = ¡ ⎜µ ⎟ = µ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 ⎝ 6⎠ 2 ⎝ 5⎠ 2 ⎝ 6⎠ 4 5 ⎝ 5⎠ 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 ⎛ 2⎞ 2 4 ⎛ 2⎞ 2 ⎛ 3⎞ 4 ⎛ 3 ⎞ 12 ¢ ⎜µ 3 ⎟ = ¡ ⎜µ ⎟ = µ ; µ ¢ ⎜µ 3 ⎟ = µ ¡ ⎜µ ⎟ = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 ⎝ 11⎠ 3 ⎝ 3⎠ 11 7 ⎝ 3⎠ 7 ⎝ 11⎠ 77 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 ⎛ 2⎞ 3 ⎛ 3 ⎞ 9 3 ⎛ 2 ⎞ 23 ⎛ 3 ⎞ 69 1 ¢ ⎜µ 3 ⎟ = ¡ ⎜µ ⎟ = µ ; 4 ¢ ⎜µ 3 ⎟ = ¡ ⎜µ ⎟ = µ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 ⎝ 3 ⎠ 2 ⎝ 11⎠ 22 5 ⎝ 3⎠ 5 ⎝ 11⎠ 55 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2
1
2
1
1
1
1
3
1
1
1
1
1
2
3
3
1
1
2
1
1
1
83
A RACIONÁLIS SZÁMOK II.
6. Írjuk az üres helyekre a megfelelõ számokat! a)
¢
4 3
¢
1 2 ¢
b)
20 7
2 3
¢
10 24
25 21
2 3
¢
3 4
¢
5 8
¢
3 4
¢
5 6
¢
c)
3 4
5 6
8 9
4 5
¢
¢
14 25
2 3
9 8
4 3
15 14
3 5
¢
2 3
¢
4 5
3 4 ¢
15 16
¢
2 5
15 16
d)
8 7
8 15
¢
9 10
5 6
2 3
¢
9 8
¢
7 4
7 5
9 14
7 9
5 6
a) ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 8 2 4 2 3 1 1 2 1 3 3 3 9 2 ¢ = ¡ = ; ¢ = ¡ = ; ¢ = ¡ = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 4 4 9 3 3 2 2 3 2 2 4 4 8 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 25 24 2 14 2 25 25 25 10 40 20 = ¡ = ; = = = ¢ ¢ ¡ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 21 10 3 25 21 21 24 14 3 14 7 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ b) ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 16 5 16 5 6 8 5 5 3 3 15 4 5 15 ¡ = = = = ; ¢ = ¡ = ; ¢ ¡ ¢ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 15 8 5 4 15 9 8 6 4 4 16 5 6 16 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ c) ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 8 2 5 8 4 2 2 3 2 2 4 2 5 5 ¢ = ¡ = ; ¢ = ¡ = ; ¢ = ¡ = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 15 4 5 3 15 3 5 5 5 3 3 5 3 4 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 15 16 5 7 15 15 15 8 5 9 = = ¢ = ¡ = ; ¢ ¡ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 7 14 15 6 9 14 14 16 7 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ d) ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 9 14 9 14 3 5 9 9 9 7 3 2 3 3 9 7 3 6 9 9 = = ; ¢ = ¡ = ; ¢ ¡ ¢ = ¡ = ; ¢ = ¡ = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 5 10 9 9 8 4 6 10 10 14 5 4 3 4 2 8 8 14 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1
1
2
1
1
7
5
8
7
2
1
2
1
3
1
3
1
4
1
8
4
1
1
5
3
3
2
1
1
1
5
1
2
1
3
1
2
3
2
8
7
1
1
7
1
7
5
1
4
1
7. Számoljunk az utasításnak megfelelõen! a)
84
1 2
1 2
1 2
1 2
¡
+
1 4
1
b)
2 5
c)
1 10
4 10
+
1 2
4 6
¡
1 2
1 2
5 2
µ
1 5
3 2
4 3 +
1
µ
1 4
2
¢
+
¡
+
¡
1 4
1
µ1 10
21 2
µ1 2
¢
¢
µ10
µ5
6. ARÁNYOSSÁG Az egyenes arányosság 1. Táncosok érkeznek a színpadra, és párokat alakítanak. Töltsük ki a táblázatot, és ábrázoljuk koordinátarendszerben a táncospárok számának (y) és a táncosok számának (x) kapcsolatát! (x páros természetes szám.) táncosok száma
0
2
4
6
8
10 12
táncospárok száma
0
1
2
3
4
5
6
táncospárok száma
8 7 6 5
Egyenes arányosságot fejeznek-e ki az összetartozó
Igen. számpárok? ....................................................................................... Ahányszor több táncos érkezik a színpadra, Miért? .....................................................................................................
4 3 2 1
annyiszor több a táncospár. ....................................................................................................................
2
4
6
8
10 táncosok száma
2. Olajat öntünk egy edénybe. 1 cm3 olaj tömege 0,9 g. Töltsük ki a az edénybe töltött olaj térfogatát és tömegét tartalmazó táblázatot! Ábrázoljuk derékszögû koordináta-rendszerben az összetartozó mennyiségeket!
2
3
térfogat (cm3)
0
tömeg (g)
0 0,9 1,35 1,8 2,7 4,5 6,3 9
1
1,5
5
7
tömeg (g)
10 9,0
7,2
Milyen arányosság van az olaj tömege és térfogata között? Miért?
5,4
Egyenes arányosság.
..................................................................................................
Ahányszorosára változik az olaj térfogata,
.....................................................................................................
annyiszorosára változik a tömege. ....................................................................................................................
3,6
1,8
.................................................................................................................... 2
4
6
8
10
térfogat (cm3)
3. Egy hernyó araszol egy tízemeletes ház falán felfelé. Mikor észrevettük, már 2 m magasan volt. Megállapítottuk, hogy egyenletesen halad, és 10 percenként 1 métert tesz meg felfelé. Milyen magasan lesz 10; 15; 20; 25; 30; 35 perc múlva? Készítsünk táblázatot, és ábrázoljuk derékszögû koordináta-rendszerben a hernyó földtõl mért magassága (y) és az eltelt idõ (x) közti összefüggést! eltelt idõ (perc)
0
10
15
20
25
30
35
magasság (m)
2
3
3,5 4 4,5 5 5,5
magasság (m)
10 9 8 7 6
Egyenes arányosság van-e a két mennyiség között?
Nincs egyenes arányosság.
..................................................................................................
Az összetartozó mennyiségek hányadosa Miért? ..................................................................................................... nem egyenlõ. Például: 3 ≠ 4 ≠ 5 . .................................................................................................................... 10 20 30 ....................................................................................................................
5 4 3 2 1 10
20
30
40
50
idõ (perc)
85
ARÁNYOS SÁG
4. Egy felfújható gyermekmedencét vízzel töltünk fel. A vízszint emelkedését a grafikon mutatja. Egyenletesen emelkedett-e a víz szintje?
Igen.
........................
a víz magassága (cm)
50 45
A feltöltés kezdete után 5 perc elteltével
40
10 .................................
cm a vízmagasság;
35
20 ...............................
cm a vízmagasság.
30
10 perc elteltével
25 20
30 cm a vízmagasság
15 ...............................
perc elteltével;
20 perc elteltével; 40 cm a vízmagasság ............................... 50 cm a vízmagasság
25 ...............................
15 10 5 5
perc elteltével.
10
15
20
25
idõ (perc)
5. Az elõzõ medencébõl a nap végén leengedjük a vizet. A víz egyenletesen folyik ki úgy, hogy 10 percenként 10 cm-rel lesz alacsonyabb a víz szintje. Készítsünk táblázatot, és ábrázoljuk a koordináta-rendszerben a vízmagasság és az eltelt idõ összefüggését! 0
idõ (perc) vízmagasság (cm)
50
10 20 30 40 50 40 30 20 10
0
a víz magassága (cm)
55 50 45
Egyenes arányosság van-e az összetartozó mennyiségek között? Miért?
Nincs egyenes arányosság. ...................................................................................
Az összetartozó mennyiségek hányadosa
.....................................................................................................
40 35 30 25
nem állandó. Például: 10 ≠ 30 . ....................................................................................................................
20
....................................................................................................................
10
40
20
15
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
idõ (perc)
6. Egy kocsi kereke 5 fordulattal 9,5 métert tesz meg. Mekkora utat tesz meg a kerék 7 fordulattal?
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 7 5 fordulattal 9,5 m ⏐ 7 ¡ ⏐ ¡ a két mennyiség között egyenes arányosság van ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 ↓ 7 fordulattal x m↓ 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 7 9, 5 ¡ = 13,3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1,9
1
Válasz:
7 fordulattal 13,3 métert tesz meg a kocsi kereke. ............................................................................................................................................................................................................................
7. A boltban 8 db kivi 336 Ft-ba kerül. Mennyit fizetünk 2, 5, 7, 18 kiviért? Készítsünk táblázatot! A kivik száma (db) 3 3' 6 ¢ 8 = 4 2 8 2 5 7 1 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ A kivik ára (Ft) 1 6 3 3 6 8 4 2 1 0 2 9 4 7 5 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
84 Ft-ot; 5 kiviért ................ 210 Ft-ot; 7 kiviért ................ 294 Ft-ot; 18 kiviért ................ 756 Ft-ot fizetünk. Válasz: 2 kiviért ................ 86
8. Egy kerékpáros egyenletesen haladva 5 perc alatt 2,4 km-t tesz meg. Hány kilométert tesz meg 17 perc alatt, ha mozgása továbbra is egyenletes?
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 perc alatt 2,4 km ⏐ 17 17 a két mennyiség között egyenes arányosság van ¡ ⏐ ¡ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 ↓ 17 perc alatt x km ↓ 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 17 2, 4 ¡ = 8,16 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Válasz:
17 perc alatt 8,16 kilométert tesz meg.
............................................................................................................................................................................................................................
9. A Szeged és Csongrád közötti 70 km-es távolságot a sétahajó 4 óra alatt teszi meg. Válaszoljunk a grafikon alapján a következõ kérdésekre! a) Ha a hajó Szegedrõl 7 óra 30 perckor indul, körülbelül hány kilométerre lesz Csongrádtól 9 órakor?
távolság (km) Csongrád 70
65 60
».............................................................. 26 km.
55 50
b) Hány órakor lesz a hajó Szegedtõl 35 km-re?
45
9.............................................................. óra 30 perckor.
35
40
30
c) Hány kilométert tesz meg átlagosan a hajó óránként?
25
17,5 kilométert. ..............................................................
15
20
10 5 Szeged
1
2
3
4
idõ (óra)
Ábrázoljuk a koordináta-rendszerben annak a hajónak az útját, amelyik Csongrádról az elsõ hajóval egy idõben indul, és 3 óra 15 perc alatt ér Szegedre! Hány kilométerre lesz a két hajó Szegedtõl, amikor elhaladnak egymás mellett?
31,4 kilométerre. ...........................................................
10. Van 1 kg rizsünk és egy mérõedényünk. Hogyan tudnánk az edény segítségével 40 dkg rizst kimérni? (A 2. ábra azt mutatja, hogy az 1 kg rizs hogyan tölti meg az edényt.)
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 kg rizs 1200 ml ⏐ 4 4 ¡ ⏐ ¡ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 10 ↓ 0,4 kg rizs x ml ↓ 10 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 = 480 1200 ¡ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 10 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
1.
2.
A mérõedénybe 480 milliliternyi, azaz kb. 0,5 liternyi rizst kell kimérni. .............................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................................................................................................................
87
ARÁNYOS SÁG
A fordított arányosság 1. A konzervgyárban az elkészült meggybefõttet üvegekbe akarják tölteni. A 850 ml ûrtartalmú üvegekbõl 3600 darabra lenne szükség. Hány üvegbe töltik a befõttet, ha 720 ml-es üvegeket használnak? Ellenõrzés: ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 72 ⏐ 850 ml-es üveg 3600 db ⏐ 72 a két mennyiség között ¡ ¢ 850 ¡ 3600 720 ¡ 4250 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 85 ↓ 720 ml-es üveg x db ↓ 85 fordított arányosság van 2550 2880 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5100 1440 72 85 85 3060000 3600 3600 ¢ = 3600 ¡ = 100 ¡ = 50 ¡ 85 = 4250 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 85 72 2 3060000 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
Válasz:
720 ml-es üvegbõl 4250 db kell.
............................................................................................................................................................................................................................
2. Egy virágoskertbe rózsatöveket telepítenek úgy, hogy minden sorba ugyanannyi tõ legyen. Ha 10 sorba ültetik a rózsákat, akkor 6 tõ kerül egy sorba. Hány rózsatõ kerülne egy-egy sorba, ha ugyanannyi rózsatövet 2; 3; 4; 5; 6; 12; 15 sorba ültetnének el? Készítsünk táblázatot! sorok száma
10
rózsatövek száma
6
2
3
4
5
6
12 15
egy sorba ültetett rózsatövek száma
45 40
30 20 15 12 10 6
4
35 30
Ábrázoljuk az összetartozó értékeket derékszögû koordináta-rendszerben!
25 20 15
Milyen arányosság van a sorok száma és a sorokba ültetett rózsák száma között?
10 5 sorok száma
Fordított arányosság. ...........................................................................................................
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
3. Pótoljuk a hiányzó mértékegységeket, illetve mérõszámokat úgy, hogy az egyenlõség teljesüljön! a) 16,5 kg = 1650 dkg b) 437,5 dkg = 4,375 kg c) 7,06 km = 7060 m d) 18,25
m
g) 2,8 óra =
= 182,5 dm
168
perc
e) 173,5 m2 = 3 h) 3 óra = 4
17350 dm2
f ) 89,7 dm3 = 0,0897
225
i) 6 perc =
perc
0,1
m3
óra
fordított Egyenlõ mennyiségek esetén a mérõszám és mértékegység között ................................................. arányosság van. *4. Az A jelû kocka lefestéséhez 15 dkg festékre van szükség. Hány dekagramm festék kell a B jelû kocka lefestéséhez, ha annak élei háromszor akkorák?
A
B
Válasz:
Legyen az A jelû kocka egy élének hossza x, ekkor a felszín: 6 ¡ x ¡ x. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ A B jelû kocka felszíne a 3 x élhosszúsággal számolva: ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 ¡ 3 x ¡ 3 x = 6 ¡ 9 ¡ x ¡ x. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Tehát a B jelû kocka felszíne 9-szer akkora, mint az A jelû kocka felszíne, ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ezért festékbõl is 9-szer akkora mennyiség kell, azaz 9 ¡ 15 dkg = 135 dkg. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
A B jelû kocka lefestéséhez 135 dkg festék kell.
............................................................................................................................................................................................................................
Egyenes vagy fordított arányosság van az él hossza és a szükséges festékmennyiség között?
Az élhossz és a szükséges festékmennyiség közötti arányosság nem egyenes és nem fordított arányosság. .............................................................................................................................................................................................................................................. 88
Az arány 1. Norbi terepasztalt készít. A terepasztalon 5 cm annak a felüljárónak a magassága, amely a valóságban 6 m. a) Írjuk fel a terepasztal kicsinyítésének az arányát! A felüljáró valódi magasságához viszonyítunk.
600 cm, ennek az 1 cm A 6 m = ............
1
-szorosa, az 5 cm
600
5
-szorosa.
600
5 ¢ .................... 600 . Így a modell és a felüljáró valódi magasságának aránya .......... 5 ¢ .................... 600 = 1 ¢ .................... 120 . Norbi terepasztalán a kicsinyítés aránya .......... b) Mekkora ezen a terepasztalon az a víztorony, amelynek a valódi magassága 48 m?
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 4 2 2 48 ¡ = = m = 40 cm A víztorony magassága tehát 40 cm. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 120 10 5 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4
10
c) Mekkora a valódi magassága annak a háznak, amely a terepasztalon 9 cm? A valóságban minden méret 120-szor nagyobb. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 120 ¡ 9 cm = 1080 cm = 10,8 m. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ A ház valódi magassága tehát 10,8 m. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
d) Keressünk adatokat különbözõ modelljátékokról!
2. Határozzuk meg az alábbi térkép és a méretarány alapján a következõ városok légvonalbeli távolságát! Rajzoljunk be a térképvázlatba további városokat, és végezzünk számításokat! 1: 20 000 000
London
Párizs
Budapest Szeged Zágráb
Budapest µ London távolság a térképen távolság a valóságban
A méretarány miatt: ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 cm = 20 000 000 cm = 200 km ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 mm = 20 km ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 7 3 ¡ 2 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 4 6 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 9 ¡ 2 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 3 8 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 7 ¡ 2 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 4 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 6 ¡ 2 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 2 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
Szeged µ Párizs
London µ Párizs
Szeged µ Zágráb
7,3 cm
6,9 cm
1,7 cm
1,6 cm
1460 km
1380 km
340 km
320 km 89
ARÁNYOS SÁG
3. Egy esõs hét egymást követõ napjain a meteorológiai
a csapadék mennyisége (mm)
állomáson a lehullott csapadék mennyiségét oszlopdiagramon ábrázolták. a) Írjuk az egyes oszlopokra a lehullott csapadék mennyiségét!
12
12
b) Hányszorosa a hétfõn mért mennyiségnek a µ kedden mért mennyiség;
16
16
8
8
12-szerese
...............................................
4
4
µ pénteken mért mennyiség;
...........................................
6-szorosa
1
µ vasárnap mért mennyiség?
...........................................
1-szerese
H
c) Hányszorosa a kedden mért mennyiségnek a 8 -szerese 12 µ szerdán mért mennyiség; ..............................................
6
1 K
Sze
Cs
P
Szo
V
16 = 4 -szorosa 12 3 µ csütörtökön mért mennyiség? ..........................................
4. Líviának 50, Balázsnak 20, Daninak pedig 85 forintja van. Hányszorosa
50 = 5 -szerese 20 2 a) Lívia pénze Balázs pénzének? ......................................... 85 = 17 -szerese 50 10 b) Dani pénze Lívia pénzének? ............................................. 20 = 4 -szerese 85 17 c) Balázs pénze Dani pénzének? .........................................
Mennyi az aránya
50 ¢ ......... 20 = ......... 5 ¢ ......... 2
Lívia és Balázs pénzének?
.........
Dani és Lívia pénzének?
.........
85 ¢ ......... 50 = ......... 17 ¢ ......... 10
20 ¢ ......... 85 = ......... 4 ¢ ......... 17 Balázs és Dani pénzének? ......... 50 = 10 -szerese 155 31 d) Hányszorosa Lívia pénze a három gyerek összes pénzének? .............................................................................................. 50 ¢ Mennyi az aránya Lívia és a három gyerek összes pénzének? ..........
155 = ............ 10 ¢ ............ 31
..........
e) Mennyi a három gyerek pénzének aránya? Írjuk fel a legegyszerûbb formában!
50 ¢ .................. 20 ¢ .................. 85 = .................. 10 ¢ .................. 4 ¢ Lívia pénze ¢ Balázs pénze ¢ Dani pénze = .................. 5. Egy tanár táblázatba foglalta a kijavított dolgozatok eredményeit. a) Hányszorosa az ötösök száma a többi eredményjegynek?
17 .................
5-ös
4-es
3-as
2-es
1-es
5 tanuló
8 tanuló
6 tanuló
3 tanuló
2 tanuló
5 -szorosa 5 -szorosa 8 6 Az ötösök száma a négyesek számának ............................................ , a hármasok számának ........................................ , 5 -szorosa 5 -szerese 3 2 a kettesek számának .............................................................. , az egyesek számának ................................................................... b) Írjuk fel a következõ arányokat! ötösök száma ¢ négyesek száma = ötösök száma ¢ kettesek száma =
5¢8
ötösök száma ¢ hármasok száma =
5¢3
ötösök száma ¢ egyesek száma =
.............................
................................
6. Írjuk fel az arányokat két pozitív egész szám arányaként! 1 3 a) ¢ = 5 5
1¢3
........................
7 3 b) ¢ = 8 4
7¢6
........................
90
0,7
.............................
b) 3 ¢ 8 =
0,375
................................
c) 7 ¢ 6 =
5¢2
................................
¡
4 5 25 ¢ 28 c) ¢ = ........................ 5 7
7. Írjuk fel az arányok tizedes tört alakját! a) 7 ¢ 10 =
5¢6
............................
¡ 1,16
................................
7 ¢ 6 = 1, 1 6 ¤¤¤¤¤¤¤ 1 0 ¤¤¤¤¤¤¤ 4 0 ¤¤¤¤¤¤¤ 4 ¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤
8. Határozzuk meg az ábrán látható négyzetek adataiból a következõ arányokat! 1. 2.
a
3.
4.
b c d
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
a) a négyzetek oldalainak aránya: a¢b=
1¢2 ...............................
b¢c=
4¢5 ...............................
c¢d=
5¢6 ...............................
3¢1 ...............................
d¢a=
b) a négyzetek kerületeinek aránya:
¢16 = 1¢ 2 K1 ¢ K2 = 8...........................
¢20 = 4 ¢5 K2 ¢ K3 = 16 ...........................
¢24 = 5 ¢6 K3 ¢ K4 = 20 ...........................
K4 ¢ K1 =
24 ¢8 = 3 ¢1 ...........................
T4 ¢ T1 =
............................
c) a négyzetek területeinek aránya: T1 ¢ T2 =
4 ¢16 = 1¢4
T2 ¢ T3 =
............................
16 ¢ 25
............................
T3 ¢ T4 =
25 ¢ 36
............................
36 ¢4 = 9 ¢1
Írjuk fel a következõ helyiségek alapterületének az arányát a legegyszerûbb alakban! a) Tnappali ¢ Tgyerekszoba =
16 ¢ 16 = 1 ¢ 1
..................................................................................
3¢9=1¢3 b) Tkamra ¢ Tkonyha = ............................................................................................. 7,5 ¢ 15 = 1 ¢ 2 c) T ¢T = ................................................................................ fürdõszoba
gyerekszoba
fürdõszoba
konyha
ebédlõ
kamra
9. Az ábrán egy magánház alaprajza látható.
elõszoba nappali
terasz hálószoba
hálószoba
d) Telõszoba ¢ Tterasz =
10 ¢ 25 = 2 ¢ 5
..........................................................................................
*10. A kördiagramot felhasználva válasszuk ki a kakukktojást! Jelöljük csillaggal! (Használjunk szögmérõt!) A ¢ B = 45 ¢ 90 B¢D=6¢7
C ¢ D = 120 ¢ 105
C¢B=4¢3
B ¢ A = 15 ¢ 6
D¢A=7¢3
*
C
B
D A
D ¢ B = 21 ¢ 18
A ¢ C = 9 ¢ 24
B ¢ C = 45 ¢ 60
A = 4 5° B = 9 0° C = 1 2 0° D = 1 0 5° ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 0 5 ¢ 4 5 = 7 ¢ 3 1 0 5 ¢ 9 0 = 2 1 ¢ 1 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 5 ¢ 1 2 0 = 9 ¢ 2 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ *11. Mekkora az ábrán látható négyzetek területének aránya?
A
B
C
D
E
F
G
1 ¢ ............... 2 ¢ ............... 5 ¢ ............... 8 ¢ ............... 10 ¢ ............... 13 ¢ ............... 17 TA ¢ TB ¢ TC ¢ TD ¢ TE ¢ TF ¢ TG = ............... 91
ARÁNYOS SÁG
Arányos osztás 1. Egy 150 cm hosszúságú lécet az asztalos úgy akar kettévágni, hogy a két rész hosszának aránya 3 ¢ 7 legyen. Milyen hosszú lesz egy-egy darabja? Rajzoljunk! 150 cm
45 cm 105 cm A 150 cm-t 3 + 7 = 10 egyenlõ részre kell osztani, így egy egységnyi rész hossza 150 ¢ 10 = 15 cm. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Ekkor a lécbõl 3 ¡ 15 = 45 cm hosszúságú részt levágva a két rész aránya 45 ¢ 105 = 3 ¢ 7. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
Válasz:
A lécbõl egy 45 cm-es részt kell levágni, a másik darab így 105 cm-es lesz.
............................................................................................................................................................................................................................
2. Egy magyar nagyváros lakóinak száma közelítõen 160 000. A legnagyobb lakótelepen és a többi városrészben élõk aránya 1 ¢ 7. Hányan élnek ezen a lakótelepen?
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Tehát a legnagyobb lakótelepen 20 000, a többi városrészben pedig 7 ¡ 20 000 = 140 000 lakos él. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
A 160 000 lakost 1 + 7 = 8 egyenlõ részre kell osztani, így egy egység 160 000 ¢ 8 = 20 000.
Válasz:
A legnagyobb lakótelepen 20 000 lakos él.
............................................................................................................................................................................................................................
3. Laci és Luca társasjátékot játszanak. Az gyõz, akinek a játék befejezésekor magasabb az összpontszáma. Töltsük ki a táblázatot a következõk ismeretében! a) Az elsõ játszmában kettejük együttes pontszáma 200. A Laci és Luca által kapott pontok aránya 1 ¢ 3. b) A 2. játszmában a 250 ponton 1 ¢ 1 arányban osztoztak. c) A 3. játszmában pontszámaik aránya 3 ¢ 2, és Laci szerzett 50 ponttal többet. d) A 4. játszmában Laci és Luca pontjainak aránya 5 ¢ 4 volt, és Luca ugyanannyi pontot szerzett, mint a 3. játszmában.
Laci
Luca
1. játszma
50
150
2. játszma
125
125
3. játszma
150
100
4. játszma
125
100
összpontszám
450
475
a) A 200 pontot 1 + 3 = 4 részre kell osztani, azaz egy egység 50 pont. Laci: 50 pont, Luca: 3 ¡ 50 = 150 pont. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ b) A 250 pontot 1 + 1 = 2 részre kell osztani, azaz egy egység 125 pont. Laci és Luca is 125 pontot szerzett. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ c) Az 50 pont éppen egy egységnyi különbséget jelent. Laci: 3 ¡ 50 = 150 pont, Luca: 2 ¡ 50 = 100 pont. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ d) A 100 pontot 4 részre kell osztani, azaz egy egység 25 pont. Laci: 5 ¡ 25 = 125 pont, Luca: 4 ¡ 25 = 100 pont. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
Laci összpontszáma:
450 .....................................................
pont.
Luca összpontszáma:
475 ...................................................
pont.
Írjuk fel a kettejük összpontszámának arányát tovább nem egyszerûsíthetõ formában! Laci összpontszáma ¢ Luca összpontszáma =
92
450 ¢ 475 = 18 ¢ 19
.....................................................................................................................................
7. SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS A törtrész kiszámítása 1. Hányad része a téglalap területének a szürke terület?
3. 1.
6.
5.
4. 2.
8 = 2 rész 28 7
16 = 4 rész 28 7
...........
1 2
...........
1 2
rész
...........
12 = 3 rész 28 7
rész
...........
10 = 5 rész 28 14
...........
...........
2. Rajzoljunk olyan deltoidot, amelynek három csúcsa A, B és C, a D csúcs rácsponton van, és a deltoid területe a téglalap területének a(z) A
A
D
B
A
D
B
C
A
D
B
C
D
B
C
C
3 része; 7
2 része; 7
3 része! 14
3 ¡ (24 ¢ 2)
2 ¡ 24 3
1 része; 2
3. Kössük össze az egyenlõket! 2 -a 3
24-nek a
24-nek a
36
8
3 -e 2
24 µ
1 ¡ 24 3
4. Írjuk az üres helyekre a megfelelõ számokat! a)
3 7
3 4
része
12
28
b)
¡9 4
4 9
¡7 5
4 9
része
9 4
része a szám
része
¡9 4
540 ¡4 9
4 9
9 4
része
része
40 4 9
-szerese.
Egy szám
9 4
7 ¡1 3
90 ¡4 9
része
21
¡5 3
20
Egy szám
1 3
része
15
¡3 4 45
része
7 5
része
9
3 ¡ 7
9 4
5 3
része
¡9 4
¡4 9
4 9
része
240 része a szám
9 4
-szerese.
93
SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS
5. Írjuk le egy mûvelettel, és számítsuk is ki! 9 1 3 9 1 3 3 8 3 6 9 3 -nek az része: 5 ⋅ 4 = 20 b) 1 -nek a része: 15 ⋅ 4 = 5 ⋅ 4 = 5 5 4 5 4 ................................................................ ................................................................
a)
c) 2
9 1 1 7 1 7 1 1 9 5 9 9 -nek a része: 2 2 ⋅ 5 = 2 ⋅ 5 = 2 d) -nek a része: 7 ⋅ 4 = 4 5 2 7 4 ................................................................ ...................................................................
e) 3
4 1 4 1 19 5 19 -nek a 2 része: 3 5 ⋅ 2 2 = 5 ⋅ 2 = 2 5 2 .............................................................
f) 1
1 5 1 5 6 5 -nek a része: 1 5 ⋅ 6 = 5 ⋅ 6 = 1 5 6 ................................................................
6. A téglalap egyik oldalának hossza 45 cm, a másik oldalának hossza 60 cm. a) Mekkora a téglalap területe?
T................................................................................................................................................................ = a ¡ b = 45 cm ¡ 60 cm = 2700 cm2. Válasz:
2
A téglalap területe 2700 cm . ..............................................................................................................................................
6 4 részére, a 60 cm-es oldalát részére 5 5 változtatjuk. Számítsuk ki a területét! Hányszorosára változik a területe?
b) A téglalap 45 cm-es oldalát
a
b
T = 36 cm ¡ 72 cm = 2592 cm2.
.......................................................................................................................................................................................................................................
Válasz:
A téglalap területe 24 -szörösére változik.
25 .....................................................................................................................................................................................................................
c) A 45 cm-es oldalt
4 5 részére, a 60 cm-est részére változtatjuk. Számítsuk ki a téglalap területét! Hány5 4
szorosára változik a területe?
T = 36 cm ¡ 75 cm = 2700 cm2.
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................
Válasz:
2
A téglalap területe 2700 cm , tehát nem változik. .....................................................................................................................................................................................................................
4 5 ¡ 6 0 3 6 ¡ 7 2 3 6 ¡ 7 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 7 0 0 2 5 2 2 5 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 7 2 1 8 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 5 9 2 2 7 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 6 5 45 ¡ = 36; 60 ¡ = 72; 60 ¡ = 75 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 5 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2592 288 96 48 24 4 6 24 = = = = ; ¡ = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2700 300 100 50 25 5 5 25 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 9
12
1
15
1
1
3 része talált a gyûrûbe. Hány kosarat dobott Bence, ha összesen 8 48 alkalommal célozta meg a kosarat?
7. Bence kosárlabdázik. A dobásainak
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 48 ¡ = 18 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6
1
Válasz:
94
Bence 18 kosarat dobott. ...........................................................................................................
Az egész rész kiszámítása 1. Pótoljuk a hiányzó számokat! a)
b)
2 része 3
57
c)
3 része 4
104
38
78
¢2 3
7 része 5
4
5,6
¢3 4
¢7 5
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 56 5 2 3 3 4 7 38 ¢ = 38 ¡ = 57; 78 ¢ = 78 ¡ = 104; 5,6 ¢ = ¡ =4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 10 7 2 3 3 4 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 19
26
1
1
8
1
2
1
2. Julcsi és Márti dobókockával játszottak. A játékot az nyerte, aki kevesebb dobással ért célba. Julcsi a dobásainak 2 1 részében dobott 6-ost, Márti pedig részében. Mindketten 6-szor dobtak 6-ost. Ki nyerte a játékot? 25 12 1 rész 6, 12 rész 12 ¡ 6 = 72. 12 12 Julcsi dobásainak száma: ..................................................................................................... 2 rész 6, 25 rész (6 ¢ 2) ¡ 25 = 75. 25 25 Márti dobásainak száma: ...................................................................................................... Válasz:
Julcsi nyerte a játékot. ..............................................................................................................................................
¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤
3. Válaszoljunk a kérdésekre a diagramok alapján! Határozzuk meg a kérdéses mennyiségeket! a) A színezett rész a 2004-ben hazánkban kiadott szépirodalmi könyvek példányszámát mutatja. Hány könyv jelent meg 2004-ben összesen?
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 3 rész 9 407 000 könyv, rész 9 407 000 ¡ 3 = 28 221 000. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Válasz:
9 407 000
Összesen 28 221 000 példányszámú szépirodalmi könyv
.......................................................................................................................................
jelent meg 2004-ben. ......................................................................................................................................................... b) A szépirodalmi könyvek között a francia és olasz szerzõk mûvei összesen 246 000 példányban jelentek meg. Mekkora példányszámban jelentek meg az angol szerzõk mûvei 2004-ben?
példányszám (ezer db)
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 3 3 rész 246 000, 1 rész 246 000 ¢ = 246 000 ¡ = 328 000. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 4 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 82 000
1
Válasz:
2004-ben 328 000 példányszámban jelentek meg
.......................................................................................................................................
angol szerzõk mûvei. .........................................................................................................................................................
francia és olasz
angol
1 részét fizette ki fûtésre, 5 ennek negyedét pedig áramra. Mennyi volt a család havi jövedelme és a fûtésszámlája februárban, ha az áramszámla 9500 Ft volt?
c) Egy család a február havi jövedelmének
9 5 0 0 ¡ 4 3 8 0 0 0 ¡ 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 8 0 0 0 1 9 0 0 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Válasz:
A februári fûtésszámla 38 000 forint, a havi jövedelem
.......................................................................................................................................
190 000 forint. .........................................................................................................................................................
havi jövedelem áramszámla fûtésszámla
95
SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS
A százalék fogalma 1. Írjuk fel százalékban az adott törtrészeket! a)
c)
e)
4 25 9 5 7 8
16
rész =
100
180
rész =
rész =
rész = 16
100
875 1000
%
b)
7 20
rész = 180 %
d) 1
rész = 87,5 %
f)
rész =
43 100
113 250
35 100
143
rész =
rész =
35 %
rész =
100
452 1000
rész = 143 %
rész = 45,2 %
2. Fejezzük ki százalékban a tizedes tört alakban megadott törtrészeket! a) 0,75 rész = 75 %
b) 0,57 rész = 57 %
c) 2,5 rész = 250 %
d) 1,225 rész = 122,5 %
3. Nem minden tört bõvíthetõ század, ezred stb. nevezõjû törtté. Ha az ilyen törtrészeket akarjuk átírni százalék alakba, akkor úgy járunk el, hogy a tört alakban felírt számot tizedes törtté alakítjuk. Ahány századrész a tizedes tört, annyi százalék a törtrész! ¡ ¡ 5 ¢ 6 = 0, 8 3 7 ¢ 1 8 = 0, 3 8 5 Pl.: rész » 0,833 rész » 83,3% 5 0 7 0 6 2 0 1 6 0 2 rész » 0,667 rész » 66,7% 2 1 6 3 A kerekítés szabályainak megfelelõen dolgozunk. A fentiek alapján írjuk fel az adott törtrészeket százalék alakban! 7 5 a) rész » 233,3 % c) rész » 45,5 % 3 11 b)
2 9
rész » 22,2 %
d)
7 18
rész » 38,9 %
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¡ ¡ ¡ 5 ¢ 1 1 = 0, 4 5 7 ¢ 3 = 2, 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 0 1 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 0 1 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¡ 5 2 ¢ 9 = 0, 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
4. Írjuk fel az alábbi százalékokat tovább már nem egyszerûsíthetõ törtrész alakban, majd tizedes tört alakban! a) 20% = c)
5% =
e) 1,5% =
20
1
0,2 rész rész = ...............
b)
0,05 rész rész = ...............
d) 150% =
15 3 0,015 rész rész = rész = ............... 1000 200 ............... ...............
f ) 0,6% =
100 ............... 5 100 ...............
rész = rész =
5 ............... 1 20 ...............
25% =
25 100 ............... 150 100 ...............
rész = rész =
1 4 ............... 3 2 ...............
0,25 rész rész = ............... 1,5 rész rész = ...............
6 3 0,006 rész rész = rész = ............... 1000 500 ............... ...............
5. Az alábbi téglalapoknak hány %-a van, illetve nincs színezve? a)
b)
c)
színezve van:
30
színezve van:
60
%
nincs színezve:
70
színezve van:
28
%
nincs színezve:
40
%
%
nincs színezve:
72
%
%
6. Színezzük az alábbi téglalapok adott százalékát! a)
b)
50%
96
c)
25%
d)
10%
e)
75%
f)
5%
80%
A százalékérték kiszámítása 1. Írjuk a ruhák mellé az új árat!
3 456 Ft a) A súlyzó ára az árváltozás után: ...................................... b) A hátizsák ára az árváltozás után: c) A szemüveg ára az árváltozás után: e) A kesztyû ára az árváltozás után:
591 Ft
.............................
11 250 Ft
...................................
9999 Ft
..................................
4194 Ft d) A sisak ára az árváltozás után: ......................................... f ) A görkorcsolya ára az árváltozás után:
13 722 Ft
.......................
5 7 6 0 ¡ 0, 6 1 6 6 6 5 ¡ 0, 6 9 8 5 ¡ 0, 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 4 5 6, 0 9 9 9 9, 0 5 9 1, 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 9 9 0 ¡ 0, 6 1 8 7 5 0 ¡ 0, 6 2 2 8 7 0 ¡ 0, 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 1 9 4, 0 1 1 2 5 0, 0 1 3 7 2 2, 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2. A húsboltban ezen a héten minden húsárut 20-25-30%-kal olcsóbban vásárolhatunk meg.
Hány forintért kaphatjuk meg a fenti áruk kilóját? (A rajzon az eredeti ár látható.)
585 forint/kilogramm
a) Fõzõkolbász:
..............................................................................
c) Sertésköröm:
..............................................................................
b) Egész kacsa:
588 forint / kilogramm
..............................................................................
152 forint/kilogramm
7 8 0 ¡ 0, 7 5 8 4 0 ¡ 0, 7 1 9 0 ¡ 0, 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 4 6 0 5 8 8, 0 1 5 2, 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 9 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 8 5, 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 97
SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS
3. A következõ esetekben az adott 10 cm-es szakasz a 100%. Vizsgáljuk meg, hogyan változik a szakasz hossza az alábbi esetekben! 10 cm
a) A
100%
B
Növeljük az AB szakasz hosszát az 50%-ával! Rajzoljuk le a kapott A'B' szakaszt!
A'
B'
150 %-a az AB szakasznak. Az A'B' szakasz .................... Csökkentsük az A'B' szakaszt az 50%-ával! Rajzoljuk le az így kapott A''B'' szakaszt!
A''
B''
7,5 cm, ez .................... 75 %-a az eredeti AB szakasznak. Az A''B'' szakasz hossza .................... 10 cm
b) C
100%
D
Csökkentsük a CD szakasz hosszát az 50%-ával! Rajzoljuk le a kapott C'D' szakaszt!
C'
D'
50 %-a a CD szakasznak. A C'D' szakasz .................... Növeljük a C'D' szakaszt az 50%-ával! Rajzoljuk le az így kapott C''D'' szakaszt!
C''
D''
7,5 cm, ez .................... 75 %-a az eredeti CD szakasznak. Az C''D'' szakasz hossza .................... 10 cm
c) E
100%
F
Csökkentsük az EF szakasz hosszát a 20%-ával! Rajzoljuk le a kapott E'F' szakaszt!
E'
F'
80 %-a az EF szakasznak. Az E'F' szakasz .................... Növeljük az E'F' szakaszt a 25%-ával! Rajzoljuk le az így kapott E''F'' szakaszt!
E''
F ''
10 cm, ez .................... 100 %-a az eredeti EF szakasznak. Az E''F'' szakasz hossza .................... 98
4. A magyarországi háztartások fogyasztásáról készült az alábbi diagram
ruházkodás
(Magyar statisztikai zsebkönyv, 2004). Az átlagos háztartásban a család havi összjövedelme 180 000 Ft. a) Mennyit költ egy család havonta élelmiszerre? b) Mennyit költ lakásfenntartásra?
55 800 Ft-ot.
..........................................
32400 Ft-ot.
............................................................................
c) Mennyivel költ többet egyéb kiadásokra, mint közlekedésre és hírközlési szolgáltatásra?
7 200 Ft-tal.
...............................................................................................
5%
élelmiszerek
31% 18% lakásfenntartás
6% testápolás, egészségügy
22% egyéb
d) Az egészségügyi és testápolási cikkeknél hány forinttal költ keve-
18%
1 800 Ft-tal.
közlekedés, hírközlés
sebbet ruházkodásra?
...............................................................................................
1 8 0 0 0 0 ¡ 0, 3 1 a) ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 4 0 0 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 5 8 0 0, 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ b) 1 8 0 0 0 0 ¡ 0, 1 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 4 4 0 0 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 2 4 0 0, 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 8 0 0 0 0 ¡ 0, 0 4 c) 2 2 % µ 1 8 % = 4 % ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 7 2 0 0, 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ d) 6 % µ 5 % = 1 % 1 8 0 0 0 0 ¡ 0, 0 1 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 8 0 0, 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5. Két boltban hirdetnek akciót hangszervásárlásra. Ugyanarra a típusú szaxofonra az egyikben a 318 000 Ft-ból 20% engedményt adnak, a másikban a szaxofon eredeti ára 10%-kal több, de itt 30% a kedvezmény. Hol érdemes megvenni a szaxofont? Az elsõ boltban a kedvezményes ár: 318 000 ¡ 0,8 = 254 400. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 1 8 0 0 0 ¡ 0, 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 5 4 4 0 0, 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ A második boltban az eredeti ár: 318 000 ¡ 1,1 = 349 800. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 1 8 0 0 0 ¡ 1, 1 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 1 8 0 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 4 9 8 0 0, 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ A második boltban a kedvezményes ár: 349 800 ¡ 0,7 = 244 860. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 4 9 8 0 0 ¡ 0, 7 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 4 4 8 6 0, 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
Válasz:
A szaxofont ott érdemes megvásárolni, ahol eredetileg drágább volt. ............................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................
99
SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS
6. A BarcelonaµReal Madrid focimeccsen a Barcelona 22 lövésébõl 10 ment kapura, és ennek 40%-a lett gól, a Real Madrid 25 lövésébõl pedig 11 ment kapura, és a lövések 16%-ából lett gól. Mennyi lett a mérkõzés eredménye? A Barcelona góljainak száma: 10 ¡ 0,4 = 4. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ A Real Madrid góljainak száma: 25 ¡ 0,16 = 4. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 5 ¡ 0, 1 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 5 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4, 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
Válasz:
A focimeccs végeredménye 4 ¢ 4 lett.
............................................................................................................................................................................................................................
*7. Egy polgármester büszkén meséli, hogy az õ lakóhelyén minden lakos olvas újságot. A lakosok 67%-a olvassa a helyi lapot, 9%-a a tudományos magazint, 13%-a a bulvár sajtó lapjait bújja, 11%-a pedig a környezetvédelmi folyóiratot böngészi. Ez összesen 67% + 9% + 13% + 11% = 100%. Hol a hiba ebben a gondolatmenetben?
A hiba ott van, hogy van olyan lakos, aki két- vagy többféle újságot is olvashat. Így nem megfelelõ .............................................................................................................................................................................................................................................. az az okoskodás, hogy összeadjuk a különbözõ újságokat olvasók százalékos megoszlását. .............................................................................................................................................................................................................................................. Ami biztos, hogy a lakosoknak legalább a 67%-a olvas újságot. .............................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................................................................................................................
8. A vonalkódos árcédulán az áru egységára, tömege és ára látható. Mennyit fizetünk az áruért a pénztárnál, ha ezen a napon 25%-os árkedvezményt adnak a paprikára és csak ezt vásároltuk? Gyûjtsünk árcédulákat, és találjunk ki hasonló feladatot!
3 2 8 ¡ 0, 7 5 8 9 9 ¡ 0, 3 6 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 2 9 6 2 6 9 7 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ÉTKEZÉSI PAPRIKA MAGYAR KG I.O. 1 6 4 0 5 3 9 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 4 6, 0 0 4 4 9 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 2 8, 1 3 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 328 Ft 789636 970149 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ FABATKA DISZKONT
D R Á G A FA L V A
Csomagolás napja: 2007.02.22.
Fogyasztható: 2007.02.27.
Ft/kg 899
Tömeg: 0,365 kg
ÁR:
Válasz:
100
245 Ft-ot fizetünk a paprikáért. ............................................................................................................................................................................................................................
A százalékalap kiszámítása 1. Az évzárón elhangzott, hogy az iskola összes tanulója közül 66 lett kitûnõ. Ez a tanulók létszámának 15%-a. Hány tanuló jár ebbe az iskolába? 15% 66 tanuló 6 6 ¢ 1 5 = 4, 4 4 4 0 ¡ 0, 1 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1% 66 ¢ 15 = 4,4 6 0 2 2 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 100% 100 ¡ 4,4 = 440 6 6, 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Ellenõrzés: 440-nek a 15%-a 440 ¡ 0,15 = 66 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
Válasz:
Ebbe az iskolába 440 tanuló jár. ............................................................................................................................................................................................................................
2. Egy mezõgazdasági kutatóintézet 3 parcellájának bizonyos százalékát learatták, és megmérték a betakarított termés tömegét. Mennyi az egyes parcellákon a várható termés, ha a szürke rész a learatott területet mutatja? Írjuk be az egyes parcellákba, hogy hány százalék a learatott terület! a)
28
%
28,7 kg a várható termés: 102,5 kg
b)
35
%
46,9 kg a várható termés: 134 kg
c)
124,8 kg
78
%
a várható termés: 160 kg
2 8 ' 7 ' 0 ¢ 2 8 = 1 0 2, 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 7 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 4 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 6' 9' 0 ¢ 3 5 = 1 3 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 1 9 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 4 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 2 4' 8' 0 ¢ 7 8 = 1 6 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 6 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
3. Egy vidéki iskola felsõ tagozatosai között felmérést végeztek, hogy ki hová szeretne menni kirándulni. A kördiagram mutatja, hogy melyik kiránduláson hány százaléka venne részt a tanulóknak. a) Egészítsd ki a diagramot! b) Hány felsõ tagozatos van, ha tudjuk, hogy 94-en szeretnének
Ebben az iskolában a felsõ tagozatosok Budapestre utazni? .................................................................................................
vonattal Budapestre
busszal madárlesre
200-an vannak. ............................................................................................................................................. c) Mennyivel többen mennének madárlesre, mint kerékpártúrára?
26-tal többen mennének madárlesre. ............................................................................................................................................. d) Legalább hány felnõtt kísérõ kell összesen a csoportokhoz, ha a kerékpárosoknál 10 tanulónként, a többi esetben 20 tanulónként
Legalább 12 kísérõ kell. kell legalább 1 felnõtt kísérõ? .............................................................................
28%
47
% 15% 10%
kerékpártúrára
múzeumba gyalogosan
a) 100 µ (10 + 15 + 28) = 100 µ 53 = 47 b) 94 ¢ 0,47 = 9400 ¢ 47 = 200 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ c) 28% µ 15% = 13%; 200 ¡ 0,13 = 26 d) Kerékpártúrázók száma: 200 ¡ 0,15 = 30 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Kísérõk száma: 3 + 1 + 3 + 5 = 12 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
101
SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS
4. Mennyi volt az eredeti ár, ha a kedvezményt mutatja a megfelelõ százalék? áru
régi ár
új ár
kedvezmény
könyv
1500 Ft
1350 Ft
10%
autó
2780 Ft
2224 Ft
20%
legó
14100 Ft
9870 Ft
30%
660 Ft
396 Ft
40%
kártya
90% 1350 Ft 1 3' 5' 0 ¢ 9 = 1 5 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 10% 1350 ¢ 9 = 150 4 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 100% 10 ¡ 150 = 1500 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 80% 2224 Ft 2 2' 2' 4 ¢ 4 = 5 5 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 20% 2224 ¢ 4 = 556 2 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 100% 5 ¡ 556 = 2780 2 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 70% 9870 Ft 9' 8' 7' 0 ¢ 7 = 1 4 1 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 10% 9870 ¢ 7 = 1410 2 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 100% 10 ¡ 1410 = 14100 0 7 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 60% 396 Ft 3' 9' 6 ¢ 3 = 1 3 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 20% 396 ¢ 3 = 132 0 9 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 100% 5 ¡ 132 = 660 0 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
5. Egy utazási iroda közvélemény-kutatásán az egyik kérdés az volt, hogy a megkérdezett volt-e már szabadtéri színházi elõadáson. A megkérdezettek közül 585-en mondták azt, hogy többször is voltak. Hányan jelölték be a másik két választ?
1300 · 0,25 = 325 fõ. Nem voltam: ....................................................................................... Egyszer voltam:
A lehetséges válaszok százalékos megoszlását leolvashatjuk a diagramról. Írjuk a kördiagramba a hiányzó százalékot! Hányan válaszoltak a kérdésre összesen? Összesen
Nem voltam.
1300 · 0,3 = 390 fõ. ...............................................................................
1300 ........................................
25% Többször is voltam.
45
% 30% Egyszer voltam.
fõ válaszolt a kérdésre.
1 3 0 0 ¡ 0, 2 5 1 3 0 0 ¡ 0, 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 45% 585 fõ 2 6 0 0 3 9 0, 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1% 585 ¢ 45 = 13 6 5 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 100% 100 ¡ 13 = 1300 3 2 5, 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Ellenõrzés: 3 2 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 8' 5 ¢ 4 5 = 1 3 3 9 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ + 1 3 5 5 8 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 1 3 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
100 µ (30 + 25) = 100 µ 55 = 45
102
A százalékláb kiszámítása 1. Az 1 tonnának a(z) 1 %-a; 10 kg = ...................... 1350 kg =
135 ................
%-a;
2. Az 1 órának a 100 %-a; 60 perc = .................. 3 perc =
5 ....................
%-a;
3. Az 1 méternek a(z) 10 %-a; 1 dm = ....................... 15 %-a; 15 cm = .....................
4 ......................
%-a;
100 kg =
0,1 .........................
%-a;
75 kg =
40 kg = 1 kg =
50 %-a; 30 perc = ..................
10 ...................
%-a;
800 kg =
80 ...................
%-a;
7,5 ......................
%-a;
599 kg =
59,9 ...................
%-a.
25 %-a; 15 perc = ..................
75 %-a; 45 perc = .................. 90 perc =
10 ....................
%-a;
20 %-a; 12 perc = ..................
50 .......................
%-a;
15 dm =
150 ....................
%-a;
1 cm =
50 %-a; 50 cm = .....................
1 mm =
0,1 ......................
%-a;
70 mm =
6 perc =
5 dm =
150 ..................
%-a.
1 .......................
%-a;
7 ...................
%-a.
4. Hány százalékos volt az áremelés? 100% 12 000 Ft Ellenõrzés: 1 2 0 0 0 ¡ 1, 0 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1% 120 Ft 9 6 0 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 12 960 ¢ 120 = 108, tehát az új ár 108% 1 2 9 6 0, 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 2 9' 6 0 ¢ 1 2 0 = 1 0 8 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 9 6 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
Válasz:
8%-os volt az áremelés. ...................................................................................................................................
5. Kanadában a Sziklás-hegység porhó fedte lankáin gyakoriak a motorosszán-versenyek. 50 évvel ezelõtt a motoros szánok óránként 25 km-t tettek meg, ma már akár 90 km-t is meg tudnak tenni. Hány %-kal nõtt a motoros szán óránként megtett útja a kezdetekhez képest? Keressük meg a térképen a Sziklás-hegységet! 100% 25 km 9 0 ¢ 2 5 = 3, 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ x% 90 km 1 5 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ x = (90 ¢ 25) ¡ 100 = 360, tehát 360%-ra nõtt óránként a megtett út 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
Válasz:
260%-kal tehet meg ma több utat egy motoros szán óránként. ............................................................................................................................................................................................................................
6. Hány százalékos volt az árcsökkentés, ha az irodai széket 15 000 Ft helyett 1800 Ft-tal olcsóbban tudjuk megvásárolni? 100% 15 000 Ft ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ x% 1 800 Ft ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ x = (1 800 ¢ 15 000) ¡ 100 = 12, tehát 12%-os az árcsökkentés ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 8 0 0 ¢ 1 5 0 0 0 = 0, 1 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 8 0 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 0 0 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
Válasz:
Az árcsökkenés 12%-os volt. ................................................................................................................................... 103
SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS
7. Az egyik hatodik osztályban mindenki írt dolgozatot. A dolgozatok eredményét a diagram mutatja. A tanulók 24%-a írt 5-öst. a) Számítsuk ki, hogy az osztály tanulóinak hány százaléka írt 5-ös dolgozatot! ................................................................ b) Hány százalékkal írtak többen 4-es dolgozatot, mint 2-est?
28%-kal. .......................................................................................................
osztálylétszám: 1 + 3 + 5 + 10 + 6 = 25 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 6 24 a) 5-ös dolgozatok: rész, tehát 24%. = ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 25 100 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 7 28 = b) 10 µ 3 = 7; rész, tehát 28%. ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 25 100 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
a tanulók száma
9 8 7 6 5 4 3 2 1 1-es
2-es
3-as
4-es
5-ös
8. Állapítsuk meg, hogy melyik játékra hány %-os a kedvezmény!
4 2 0 1 2 5 5 2 9 9 0 3 8 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ µ 3 7 8 µ 1 0 0 8 µ 2 6 9 1 µ 3 2 3 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 2 2 4 7 2 9 9 5 7 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 5 0 0 2 5 4 6 0 5 8 0 0 1 7 4 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ µ µ µ µ 2 1 2 5 2 0 3 6 8 4 3 5 0 1 3 0 5 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 7 5 5 0 9 2 1 4 5 0 4 3 5 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 4 7 ¢ 1 2 5 5 = 0, 1 9 6 5 7 ¢ 3 8 0 = 0, 1 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 4 7 0 5 7 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 2 1 5 0 4 3 5 ¢ 1 7 4 0 = 0, 2 5 1 9 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 8 5 5 0 4 3 5 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 0 2 0 8 7 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Ellenõrzés: 3 + 9 + 6 + 4 + 2 = 2 4 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ A kedvezmény a különbözõ játékok esetén: a) kulcstartó: e) kesztyû:
104
10 % ....................
15 % .........................
b) labda:
19,6 ............................. %
c) baseballsapka:
20 % g) teáskanna: f ) görkorcsolya: .............
10 % .........
25 % ...................
d) ernyõ:
15 % .............................
h) mp3 lejátszó:
25 % .............
9. Egy községben felmérték, hogy a lakosok milyen arányban veszik igénybe a különbözõ társaságok mobiltelefon-szolgáltatását. Az arányt a kördiagram mutatja. a) Írjuk fel az alábbi arányokat! (Használjunk szögmérõt!)
90 ¢ 120 = 3 ¢ 4 ; B ¢ A = .................................................... 120 ¢ 150 = 4 ¢ 5 ; C ¢ B = .................................................... A¢B¢C=
150 ¢ 120 ¢ 90 = 5 ¢ 4 ¢ 3
A
.......................................................................................................................
társaság
b) A mobiltelefont használó lakosok hány százaléka használja az alábbi szolgáltatásokat? Kerekítsünk! 41 2 % ≈ 41,7% 33 1 % ≈ 33,3% 25% A: ...................................... ; B: ...................................... ; C: .......................................... 3 3
B társaság
C társaság
c) Ha a mobiltelefont használó lakosok 720-an vannak, hányan veszik igénybe az egyes szolgáltatókat?
300 240 ; B: ...................................... ; C: A: ......................................
180
..........................................
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 100 25 1 100 ¢ (5 + 4 + 3) = 100 ¢ 12 = = =8 Ellenõrzés: 3 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 12 3 3 2 4 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 5 2 1 4 1 1 8 ¡ 5 = 40 = 41 ; 8 ¡ 4 = 32 = 33 ; 8 ¡ 3 = 25 + 1 8 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 3 3 3 3 3 3 7 2 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 720 ¢ 12 = 60; 60 ¡ 5 = 300; 60 ¡ 4 = 240; 60 ¡ 3 = 180 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 10. Egy 24 fõs osztály történelemdolgozatának eredményét láthatjuk
elégtelen
az ábrán.
8,3 %
1 a) Az osztály tanulóinak része jeles; 3 része jó; 8 8 ............ 1 része közepes; 1 része elégséges; 1 része elégtelen. 4 6 12 ............ ............
elégséges
jeles
12,5 %
16,7 %
b) A különbözõ érdemjegyet kapott tanulók száma:
3 tanuló; jó: ................. 9 tanuló; közepes: ................. 6 tanuló; jeles: ................. 4 2 elégséges: .................... tanuló; elégtelen: .................... tanuló.
25 % közepes
37,5 % jó
c) Pótoljuk a diagramon a százalékos megoszlást!
¡
¡
1 ¢ 1 2 = 0, 0 8 3 1 ¢ 6 = 0, 1 6 3 ¢ 8 = 0, 3 7 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 0 0 1 0 3 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¢ 4 0 1 8 = 0, 1 2 5 4 0 6 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 1 0 4 4 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ d) Készítsünk oszlopdiagramot a dolgozatok eredményérõl! a tanulók száma
9 8 7 6 5 4 3 2 1 elégtelen elégséges közepes
jó
jeles
105
SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS
8. VALÓSZÍNÛSÉG, STATISZTIKA Biztos esemény, lehetséges esemény 1. Dobjunk két dobókockával 100-szor! Adjuk össze a felsõ lapokon lévõ pöttyök számát! Az összeget minden esetben jelöljük vonalkával a táblázat második sorában, majd számláljuk meg, hányszor dobtunk egy-egy összeget! (A táblázat egy elvégzett kísérlet eredményeit tartalmazza.) a dobott számok összege
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
összesen
2
5
10
11
21
17
12
9
6
6
1
az esetek ennyi %-ában dobtuk ezt az összeget
2
5
10
11
21
17
12
9
6
6
1
ezt az összeget dobtuk
Ábrázoljuk derékszögû koordináta-rendszerben a dobott összegek gyakoriságát! ( ) A fenti táblázat alapján egészítsük ki a következõ mondatokat!
6 összeg A legnagyobb gyakorisággal a(z) ............ fordult elõ. A legkisebb gyakorisággal a(z) fordult elõ.
12 összeg
..............
2. Ha két dobókockával dobunk, és a felsõ lapokon lévõ pöttyök számát összeadjuk, akkor az alábbi állítások közül melyik biztos (B), melyik lehetséges (L), és melyik lehetetlen (N) esemény?
B À £ N £ À L £ À L £ À
Az összeg nem nagyobb, mint 12. Az összeg 2-nél kisebb. Van két olyan összeg, amelyek gyakorisága egyenlõ. Az összeg osztható 5-tel.
a dobott összeg gyakorisága
25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
a dobott számok összege
2
3. Ismételjük meg az elõzõ dobássorozatot!
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Töltsük ki a táblázatot! a dobott számok összege
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
összesen
3
8
8
9
21
9
17
6
7
7
5
az esetek ennyi %-ában dobtuk ezt az összeget
3
8
8
9
21
9
17
6
7
7
5
ezt az összeget dobtuk
Ábrázoljuk az eredményt a fenti koordináta-rendszerben más színnel! Hasonlítsuk össze a két diagramot! ( )
Mindkét esetben a 6-os és a 8-as dobás fordult elõ legtöbbször, a 2-es és a 12-es dobás pedig legkevesebbszer. .............................................................................................................................................................................................................................................. (Az „elmélet” szerint a legnagyobb gyakorisága a 7-es dobásnak lenne, de a véletlen kísérletek ezt csak elég nagy dobásszám esetén igazolják.) ..............................................................................................................................................................................................................................................
106
Diagramok 1. A következõ kördiagramok közül melyik tartozik az oszlopdiagramhoz? Karikázzuk be a betûjelét! a)
b)
c)
2. a) Ábrázoljuk kördiagramon, hogy egy osztály tanulóinak harmada barna szemû, negyede kék szemû, a többiek pedig zöld szemûek. barna szemû
b) Hányan járnak összesen az osztályba, ha 10 zöld szemû tanuló van?
kék szemû
+ = = ⇒ 10 tanuló rész ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 4 12 12 12 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 12 10 ¢ = 10 ¡ = 24 tanuló jár az osztályba ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5 12 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1
1
4+3
7
5
zöld szemû
2
1
3. Ábrázoljuk az adatokat oszlopdiagramon vagy kördiagramon! Az ábrázolásnál értelemszerûen kerekítsünk! a) Magyarországon 2004-ben a 3-6 éves korosztályban a gyerekek száma 418 900, az óvodásoké 365 700 volt.
általános iskolás gyerek
300 200 100
óvodás gyerek
9 8 0 2 0 0 2 % = 7, 2° ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ µ 9 6 0 6 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 9 6 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 9 6 0 0 ¢ 9 8 0 2 0 0 = 0, 0 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 9 6 0 0 0 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
400
összes gyerek
A 6-12 éves korosztályban a gyerekek száma 980 200, az általános iskolások száma 960 600 volt.
ezer fõ
3–6 éves gyerekek
6–12 éves gyerekek
b) A Szerencsejáték Rt. legismertebb gépi játékainak forgalma Magyarországon 2000-ben a táblázatban látható. Készítsünk oszlopdiagramot az adatokból! játék
forgalom (millió forintban)
ötös lottó
20 550
skandináv lottó
11 442
hatos lottó
10 330
tippmix
9092
kenó
4141
totó
2612
forgalom (millió Ft)
20
15
10
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
5
ötös
skandináv
hatos
tippmix
kenó
totó
107
VA L Ó S Z Í N Û S É G , S TAT I S Z T I KA
4. Egy 32 fõs osztályban a fiúk és a lányok számának aránya 3 ¢ 5. a) Hány fiú jár az osztályba? b) Készítsünk kördiagramot!
fiúk
4 5 ¡ 3 3 6' 0 ¢ 8 = 4 5 3 2 ¢ 8 = 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 3 5 4 0 4 ¡ 3 = 1 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 ¡ 5 = 2 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Válasz:
lányok
Az osztályba 12 fiú jár. .....................................................................................................................................................
5. Egy 30 fõs osztályban a gyerekek 60%-a ebédel az iskolában. a) Ebbõl az osztályból hányan ebédelnek az iskolában? b) Készítsünk kördiagramot!
3 0 ¡ 0, 6 3 6 0 ¡ 0, 6 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 8, 0 2 1 6, 0 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Válasz:
az iskolában ebédel
nem az iskolában ebédel
18-an ebédelnek az iskolában. .....................................................................................................................................................
6. Egy autókereskedésben a két hónap alatt eladott piros, ezüstmetál és fekete autók aránya 3 ¢ 8 ¢ 4. a) Hány ezüstmetál autót adtak el, ha ezekbõl a színekbõl összesen 45 autót értékesítettek? b) Készítsünk kördiagramot! piros
3 + 8 + 4 = 1 5 3 6 0 ¢ 1 5 = 2 4 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 4 5 ¢ 1 5 = 3 2 4 ¡ 3 = 7 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¡ 8 3 = 2 4 2 4 ¡ 8 = 1 9 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Válasz:
ezüstmetál fekete
24 ezüstmetál autót adtak el.
.....................................................................................................................................................
7. Írjuk le az egymásnak megfelelõ arányok és diagramok jeleit! 1
2¢1
2
4¢5
3
3¢2
4
7¢3¢5
5
2¢3¢5
A) B) C) D) E)
a)
b)
Egymásnak megfelelnek:
108
c)
d)
e)
1 — C — e; 2 — D — c; 3 — A — a; 4 — B — b; 5 — E — d ....................................................................................................................................................................................
Grafikonok a jégkrémek száma
1. Az alábbi táblázat azt mutatja, hogy egy 7 órakor elindított
1600
jégkrémkészítõ gép mennyi jégkrémet készített adott idõre.
1200
8 óra
idõpont
9 óra
10 óra
11 óra 800
adott idõre elkészült jégkrémek száma (db)
300
600
900
1200
400
Becsüljük meg, hogy 12 órára hány jégkrém készül el, ha a gép ugyanúgy mûködik tovább! Ábrázoljuk!
8
9
10
11
idõ (óra)
12
2. Egy üres 200 literes tartályba vizet engedünk. A víz egyenletesen folyik a tartályba, percenként 20 liter. Hány liter víz lesz a tartályban 1, 2, 3, ... 12 perc múlva? Egészítsük ki a táblázatot! eltelt idõ (perc) a tartályban lévõ víz mennyisége (liter)
1
2
3
4
20
40
60
80
5
6
7
9
10
11
12
100 120 140 160 180 200 200 200
Ábrázoljuk az adatokat koordináta-rendszerben!
a víz térfogata a kádban (liter)
Milyen arányosság van az eltelt idõ és a tartályban lévõ víz
200
Egyenes arányosság van. (A 10. percig) ..............................................................................................
150
........................................................................................................................................
100
Kétszer, háromszor több idõ alatt kétszer, háromszor Miért? .........................................................................................................................
50
ûrtartalma között?
8
annyi víz van a tartályban. ........................................................................................................................................
eltelt idõ (perc) 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
........................................................................................................................................
3. Zoli és Robi 300 méterre laknak egymástól. Egyszerre, egyenletesen mozogva indulnak el egymás felé ugyanazon az úton. Zoli kocog, Robi gyalogol.
Robi mozgását mutatja. Zoli , míg a 2. ................... Az 1. félegyenes ................... 2 perc múlva találkoznak. Indulásuk után ................. 100 métert tesz meg percenként. Zoli ................. 50 métert tesz meg percenként. Robi .................
450 400 350 300 250 200 150 100 50
200 m-t tett meg, Robi pedig ............. 100 m-t. A találkozásukig Zoli .............
1000
10 percig. a) Hány percig gyalogoltak együtt? ........................................................ b) Hány métert tettek meg együtt?
200 métert.
..........................................................
c) Hány perc alatt ért haza az elbúcsúzás után Szilvi?
1
2 1
4. Kinga és Szilvi együtt indulnak haza az iskolából. Útjukat a grafikon mutatja.
út (m)
800
2
3
4
5
idõ (perc)
út (m) Kinga Szilvi
600
15.
................
200 méterre. d) Milyen messze lakik Kinga Szilvitõl? .................................................
400 200
e) Milyen messze lakik Szilvi és Kinga az iskolától?
800 méterre. Szilvi: ...........................................
Kinga:
1000 méterre. .................................................
5
10
15
20
25 idõ (perc)
109
VA L Ó S Z Í N Û S É G , S TAT I S Z T I KA
Az átlag 1. Egy 24 fõs osztályban a 24 pontos dolgozat pontszámait és az egyes pontszámokat elért tanulók számát mutatja az alábbi táblázat. pontszám
24
23
22
20
16
15
13
12
9
5
tanulók száma
3
2
3
3
1
5
2
2
2
1
elégséges
elégtelen
jeles
érdemjegy
jó
közepes
Az elért érdemjegyek:
8 tanuló; jó ............ 4 tanuló; közepes ............ 9 tanuló; elégséges ............ 2 tanuló; elégtelen ............ 1 tanuló. jeles ............ Számítsuk ki a dolgozatok átlagát! Az átlag:
3,67 ...........................................................................................................................................
Számítsuk ki a dolgozatok százalékos megoszlását!
33,3 % ; jó ...................... 16,7 % ; közepes ...................... 37,5 % ; elégséges ...................... 8,3 % ; elégtelen ...................... 4,2 % . jeles ......................
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 8 ¡ 5 + 4 ¡ 4 + 9 ¡ 3 + 2 ¡ 2 + 1 ¡ 1 40 + 16 + 27 + 4 + 1 88 11 2 átlag: = = = =3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 24 24 24 3 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 9 3 2 1 8 1 4 1 = = 0,375; elégséges: = = 0,083 jeles: = = 0,333; jó: = = 0,167; közepes: ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 24 8 24 12 24 3 24 6 Döntsük el, hogy melyik igaz (I), melyik hamis (H) az alábbi állítások közül!
I À £ I £ À H £ À H £ À
Az osztály fele négyes vagy ötös jegyet kapott. 2 Az osztály -ának négyesnél nem jobb az eredménye. 3 Több tanuló kapott az átlagnál jobb osztályzatot, mint rosszabbat. 1 A kettesek száma több, mint a tanulók számának része. 10
2. Folytassuk a megkezdett sorozatot még négy taggal! 95 ; .............. 107 ; .............. 119 ; .............. 131 35; 47; 59; 71; 83; .............. a) Az elsõ három tag átlaga:
47
.....................................................................
Igen. b) Tagja-e a sorozatnak az elsõ három tag átlaga? ..................... c) Az elsõ négy tag átlaga:
53
........................................................................
d) Tagja-e a sorozatnak az elsõ négy tag átlaga? e) Az elsõ kilenc tag átlaga:
Nem.
........................
83 ......................................................................
f ) Tagja-e a sorozatnak az elsõ kilenc tag átlaga?
Igen. ......................
g) Számítsuk ki, és írjuk a megfelelõ relációjelet az átlagok közé! az utolsó három tag átlaga:
119
> £ À
az utolsó öt tag átlaga:
107
g) Soroljuk fel a sorozatnak azokat az elemeit, amelyek átlaga
110
95:
59, 71, 83, 95, 107, 119, 131 ................................................................................................... ;
71:
35, 47, 59, 71, 83, 95, 107 ................................................................................................... ;
1 4' 1 ¢ 3 = 4 7 3 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 1 4 7 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ + 5 9 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 4 1 2 1' 2 ¢ 4 = 5 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ + 1 2 7 1 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 1 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 8 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 9 5 7 4' 7 ¢ 9 = 8 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 0 7 2 7 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 1 1 9 1 3 1 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ + 1 3 1 1 1 9 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ + 1 0 7 7 4 7 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 3 5 7 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 9 5 3' 5' 7 ¢ 3 = 1 1 9 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ + 5 8 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 2 7 5 3 5 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ 5' 3' 5 ¢ 5 = 1 0 7 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
35, 47, 59, 71, 83 59: ................................................................................................... !
TARTALOM 1. Oszthatóság Osztó, többszörös
......................................................................................................................................................................................
3
Vizsgáljuk a maradékot!
........................................................................................................................................................................
5
Oszthatósági szabályok
........................................................................................................................................................................
9
.......................................................................................................................................................
15
.................................................................................................................................................................
17
Prímszámok, összetett számok A legnagyobb közös osztó
.........................................................................................................................................................
20
.........................................................................................................................................................................................
22
A legkisebb közös többszörös Vegyes feladatok
2. Hogyan oldjunk meg feladatokat? Mi a kérdés?
...................................................................................................................................................................................................
24
Vizsgáljuk meg az adatokat!
..............................................................................................................................................................
26
Következtessünk visszafelé!
..............................................................................................................................................................
28
........................................................................................................................................................................................
30
Készítsünk ábrát!
................................................................................................................................................................................
32
................................................................................................................................................................................................
34
Tartsunk egyensúlyt! Ellenõrizzünk!
3. A racionális számok I. Az egész számok (ismétlés)
.............................................................................................................................................................. .......................................................................................................
37
...................................................................................................................................
39
.................................................................................................................................................................
42
....................................................................................................................................................................
44
Az egész számok összeadása, kivonása (ismétlés) Összevonás az egész számok körében Az egész számok szorzása Az egész számok osztása
36
A tizedes törtek összevonása
...........................................................................................................................................................
46
...................................................................................................................................................
47
.....................................................................................................................................................
50
..........................................................................................................................................................................
52
Szorzás a tizedes törtek körében Osztás a tizedes törtek körében
4. Tengelyes szimmetria A tengelyes szimmetria
A tengelyesen szimmetrikus háromszögek
........................................................................................................................... .............................................................................................................
56
........................................................................................................................................................
60
A tengelyesen szimmetrikus sokszögek és a kör A körzõ és vonalzó használata
54
Merõleges egyenesek szerkesztése
...........................................................................................................................................
Párhuzamos egyenesek szerkesztése
......................................................................................................................................
Szögfelezés, szögmásolás, szögszerkesztés
......................................................................................................................
Alakzatok tengelyes tükörképének szerkesztése
.............................................................................................................
Tengelyesen szimmetrikus sokszögek szerkesztése
.....................................................................................................
61 63 65 68 70
Ms-2316_matek6_mf_feladat_es_megoldas_egyben_2012.qxd
2012.05.07.
16:56
Page 112
5. A racionális számok II. A törtekrõl tanultak ismétlése
............................................................................................................................................................
74
Mûveletek törtekkel (ismétlés)
..........................................................................................................................................................
76
.............................................................................................................................................................................................
79
A negatív törtek
..................................................................................................................................................................................
81
.....................................................................................................................................................................................
82
Tört szorzása törttel Tört osztása törttel
6. Arányosság ........................................................................................................................................................................
85
.............................................................................................................................................................................
88
.............................................................................................................................................................................................................
89
Az egyenes arányosság A fordított arányosság Az arány
Arányos osztás
.............................................................................................................................................................................................
92
7. Százalékszámítás A törtrész kiszámítása
............................................................................................................................................................................. ...................................................................................................................................................................
95
...................................................................................................................................................................................
96
Az egész rész kiszámítása A százalék fogalma
93
A százalékérték kiszámítása A százalékalap kiszámítása A százalékláb kiszámítása
..............................................................................................................................................................
97
................................................................................................................................................................ 101 ................................................................................................................................................................... 103
8. Valószínûség, statisztika Biztos esemény, lehetséges esemény
....................................................................................................................................... 106
Diagramok
........................................................................................................................................................................................................ 107
Grafikonok
........................................................................................................................................................................................................ 109
Az átlag
............................................................................................................................................................................................................... 110
Kiadja a Mozaik Kiadó, 6723 Szeged, Debreceni u. 3/B. · Tel.: (62) 470-101, 554-664 Drótposta: [email protected] · Honlap: www.mozaik.info.hu · Felelôs kiadó: Török Zoltán Grafikus: Deák Ferenc · Mûszaki szerkesztô: Szentirmai Péter, Horváth Péter, Becsei György Készült a Dürer Nyomda Kft.-ben, Gyulán · Felelôs vezetô: Kovács János MTerjedelem: 14,42 (A/5) ív · Tömeg: 345 g · 2012. május · Raktári szám: MS-2316 M
