BAB III TURUNAN FUNGSI

BAB III TURUNAN FUNGSI

Standar Kompetensi Mahasiswa memahami konsep turunan fungsi dan teknik-teknik yang dapat digunakan untuk menentukan turunan, baik fungsi eksplisit y  f (x ) maupun fungsi implisit f ( x, y )  0 .

Kompetensi Dasar Setelah mempelajari pokok bahasan turunan fungsi, diharapkan mahasiswa: 1. Dapat menentukan turunan fungsi dengan menggunakan definisi turunan fungsi. 2. Dapat menentukan turunan fungsi dengan menggunakan teorema turunan. 3. Dapat menentukan turunan fungsi dengan menggunakan dalil rantai 4. Dapat menentukan turunan fungsi

f ( x, y )  0 dengan menggunakan kaidah

diferensial. 5. Dapat menentukan turunan fungsi parametrik. 6. Dapat menentukan turunan fungsi trigonometri. 7. Dapat menentukan turunan fungsi siklometri. 8. Menentukan turunan ke-n fungsi y  f (x ) . 9. Menentukan turunan ke-n fungsi f ( x, y )  0 .

Bab III buku ini memuat hal-hal pokok yang berkaitan dengan turunan fungsi, antara lain (1) pengertian dan sifat turunan, (2) aturan rantai, (3) turunan fungsi implisit dan parametrik, (4) turunan fungsi trigonometri dan siklometri, (5) turunan tingkat tinggi.

3.1 Pengertian dan Sifat Turunan Pembahasan tentang turunan dalam tulisan ini dibedakan menjadi dua kelompok besar yaitu, turunan fungsi berbentuk y  f (x ) dan fungsi berbentuk f ( x, y )  0 . Pada pengembangan selanjutnya terdapat beberapa turunan fungsi, diantaranya adalah fungsi parametrik, fungsi sikolometri dan fungsi trigonometri.

Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-

87

Untuk lebih memudahkan pemahaman bagi pembaca, masalah pertama yang dibahas adalah turunan fungsi berbentuk y  f (x ) . Perhatikan gambar berikut. Y

L1

Q ( x  f ( x), f ( x  x ))

y  f (x ) P( x, f ( x )) L

x

x  x

X

Gambar 3.1

Pada gambar 3.1 di atas, garis L menyinggung kurva y  f (x ) di titik

P( x, f ( x )),`sedangkan garis L1 melalui titik ( x, f ( x )) dan titik ( x  x, f ( x  x )). Jika x mendekati nol, maka garis L1 akan mendekati garis L, sehingga gradien garis L1

akan mendekati gradien garis L. Hal ini dapat dinyatakan dalam bentuk limit sebagai berikut:

f ( x  x )  f ( x ) x

mL  lim mL1  lim x  0

Misal

x  0

( x  x )  t  x  t  x

Jika x  0 maka

tx

Sehingga bentuk lim

x  0

lim

t x

.................... (1) .

f (t )  f ( x ) tx

f ( x  x )  f ( x ) dapat ditulis dengan cara lain berbentuk x

.......... .........( 2 )


88

Bentuk (1) dan (2) tersebut di atas didefinisikan sebagai turunan pertama fungsi dari fungsi eksplisit y  f (x ) dan dinotasikan dengan

Khusus pada notasi

dy df ( x ) , y' , , atau f ' ( x ) . dx dx

dy d  y   Dy , D disebut operator diferensial.  dx dx

Secara geometris, turunan fungsi y  f (x ) merupakan kemiringan (gradien) yang dinotasikan dengan m dari garis singgung kurva fungsi tersebut di sebarang titik, misal x  x o . Dengan demikian gradien kurva y  f (x ) di titik x  x o dapat dinyatakan dengan:

f ( xo  x)  f ( xo ) x

m  lim

x 0

Karena turunan didefinisikan dengan menggunakan limit sedangkan limit fungsi bisa tidak ada, maka fungsi mungkin tidak mempunyai turunan di beberapa titik tertentu. Sebagai contoh, perhatikan fungsi nilai mutlak f ( x)  x , yang grafiknya diberikan dalam gambar di bawah ini. Y y  x

yx

X

Gambar 3.2 Jika kita memperhatikan gambar 3.2 di atas dengan cermat, maka kita akan dapatkan bahwa grafik fungsi nilai mutlak di atas berupa garis lurus, yang sebelah kanan sumbu y adalah berupa garis y = x sedangkan yang sebelah kiri sumbu y berupa garis y = -x. Garis di kanan dan kiri sumbu y mempunyai gradien yang berbeda,


89

sehingga patut dicurigai bahwa fungsi

f ( x)  x

tidak mempunyai turunan di

perpotongan kurva dengan sumbu y, yaitu titik (0,0).

Pembuktian bahwa fungsi

f ( x)  x tidak mempunyai turunan di titik (0,0) diberikan di bawah ini.

Karena

lim

 0

f ( 0  x )  f ( 0 ) | x |  | 0 | x  lim  lim  lim 1  1 x  0 x  0 x x  0 x x

dan

lim

x 0

f (0  )  f (0) | x |  | 0 |  x  lim  lim  lim (1)  1 , x 0 x x0 x x0  x

maka

lim

x  0

f ( 0  x )  f (0 ) f (0  x )  f ( 0 )  lim , x 0 x x

sehingga f ' (0)  lim

x 0

f (0  x )  f (0 ) tidak ada. x

Contoh: 1) Tentukan garis singgung kurva y  x 2 di titik (2,4) Jawab Gradien garis singgung kurva y  x 2 di titik (2,4) adalah m = f ' (2)  lim

x 0

f (2  x )  f (2) ( 2  x ) 2  2 2  lim  lim (4  x)  4 . x  0 x 0 x x

Oleh karena itu persamaan garis singgungnya adalah y  y 0  m( x  x0 )  y  4  4( x  2)  y  4 x  4

2) Tentukan apakah di x  0 fungsi y  x 2 mempunyai turunan ? Jawab Karena f ' (0)  lim

x  0

f (0  x)  f (0) ( x ) 2  0 2  lim  lim x  0 , maka x 0 x  0 x x

y  x 2 mempunyai turunan di x = 0.


90

Jika dalam menentukan turunan secara langsung dengan menggunakan definisi turunan, maka akan terdapat kesulitan-kesulitan dan memerlukan waktu yang relatif lebih lama. Untuk itu, diperlukan cara lain di samping dengan menggunakan definisi secara langsung, yaitu dengan menggunakan sifat dan rumus turunan. Berikut diberikan beberapa sifat penting dalam pencarian turunan suatu fungsi. Misal f (x ) dan g (x) fungsi-fungsi yang dapat diturunkan dan k sebarang bilangan real maka: 1. Aturan turunan fungsi konstanta Jika y  k maka

dy 0 dx

Bukti Menurut definisi turunan

 lim x 0

kk x

0 x 0 x

 lim =0

2. Aturan turunan fungsi identintas Jika y  x maka

dy 1 dx


dy f ( x  x )  f ( x )  lim dx x 0 x  lim

x 0

( x  x)  x x

x x 0 x

 lim =1


91

3. Aturan pangkat Jika y  x n maka

dy  nx n 1 dx


dy f ( x  x )  f ( x )  lim dx x 0 x

( x  x ) n  x n x 0 x

 lim

x n  nx n 1 x 

n ( n 1) 2

x n 2 (x) 2  ...  ( x) n  x n  lim x 0 x n( n  1) n 2 n( n  1)( n  2) n3 2   x nx n 1  x x  x x  ...  ( x ) n 1  2 6   lim   0 x n(n  1) n 2    lim  nx n 1  x x  ...  (x) n1  x 0 2    nx n1 4. Aturan turunan perkalian fungsi dengan konstanta Jika y  kf (x ) maka

dy  kf ' ( x) dx


dy f ( x  x)  f ( x)  lim dx x 0 x kf ( x  x)  kf ( x) x 0 x

 lim

k  f ( x  x)  f ( x)  x 0 x

 lim

 lim k lim x 0

x 0

 f ( x  x)  f ( x) x

 kf ' ( x)


92

5. Aturan jumlah Jika y  f ( x )  g ( x ) maka

dy  f ' ( x )  g ' ( x) dx


dy f ( x  x)  f ( x)  lim dx x 0 x  lim

 f ( x  x)  g ( x  x    f ( x)  g ( x) x

x 0

 lim

 f ( x  x)  f ( x)   g ( x  x)  g ( x) x

x 0

 lim

x 0

 f ( x  x)  f ( x)  lim g ( x  x)  g ( x) x

x 0

x

 f ' ( x)  g ' ( x)` 6. Aturan selisih Jika y  f ( x )  g ( x ) maka

dy  f ' ( x )  g ' ( x) dx


dy f ( x  x)  f ( x)  lim dx x 0 x  lim

 f ( x  x)  g ( x  x    f ( x)  g ( x) x

x 0

 lim

 f ( x  x)  f ( x)   g ( x  x)  g ( x)  x

x 0

 lim

x 0

 f ( x  x)  f ( x)  lim g ( x  x)  g ( x) x

x 0

x

 f ' ( x)  g ' ( x)`


93

7. Aturan hasil kali. Jika y  f ( x ) g ( x ) maka

dy  f ' ( x) g ( x)  g ' ( x) f ( x)  f ( x) g ' ( x)  f ' ( x) g ' ( x ) dx


dy f ( x  x)  f ( x)  lim dx x 0 x

 f ( x  x) g ( x  x)   f ( x) g ( x)

 lim

x

x 0

 f ( x  x) g ( x  x    f ( x) g ( x)    f ( x  x) g ( x)    f ( x  x) g ( x)

 lim

x

x  0

 lim

f ( x  x)g ( x  x)  g ( x)   g ( x) f ( x  x)  f ( x)  x

 lim

f ( x  x)g ( x  x)  g ( x)  g ( x) f ( x  x)  f ( x)   lim x 0 x x

x 0

x 0

 lim f ( x  x ). lim x  0

x  0

g ( x  x)  g ( x)  lim g ( x). lim  f ( x  x)  f ( x)  x

x  0

x  0

x

 f ( x) g ' ( x)  g ( x) f ' ( x)

8. Aturan hasil bagi. Jika y 

f ( x) dy f ' ( x ) g ( x )  f ( x ) g ( x) , g ( x )  0 maka  g ( x) dx g 2 ( x)


dy f ( x  x)  f ( x)  lim dx x 0 x f ( x  x ) f ( x )  g ( x  x ) g ( x )  lim x 0 x

 lim

x0

f ( x  x) g ( x)  f ( x) g ( x  x) x g ( x  x) g ( x)


94

 lim

f ( x  x ) g ( x )  f ( x ) g ( x  x )  g ( x ) f ( x )  g ( x ) f ( x ) x g ( x  x) g ( x ) 

 lim

g ( x ) f ( x   x )  f ( x )   f ( x )  g ( x   x )  g ( x )  x  g ( x  x ) g ( x ) 

 x 0

x 0

 lim g ( x). lim x 0



x 0

 f ( x  x)  g ( x)   lim x

x  0

f ( x). lim

x  0

g ( x  x)  g ( x) . lim x

1 x 0 g ( x  x ) g ( x )

g ( x) f ' ( x)  f ( x) g ' ( x) , g ( x)  0 g 2 ( x)

9. Fungsi Majemuk n

Jika y   f ( x)  maka

dy n1  n f ( x )   f ' ( x)  dx

Contoh 1. Tentukan turunan fungsi di bawah ini. a)

y  x 8  12 x 5  4 x 4  10 x 3  6 x  5 Jawab dy d 8 d 5 d 4 d 3 d d  x  12 x 4 x  10 x  6  x   5 dx dx dx dx dx dx dx

 

 

 

 

 8 x 7  60 x 4  16 x 3  30 x 2  6

b)

x2  x  2 y x3  6 Jawab

x 2  x  2 aturan pembagian u      y '  , u  x 2  x  2, v  x 3  6 3 v x 6 3 u ' v  uv ' (2 x  1)( x  6)  ( x 2  x  2).3 x 2 y'   v2 ( x 3  6) 2 y


95

y' 

c)

 x 4  2 x 3  6 x 2  12 x  6

x3  62

y  ln x

Jawab Berdasarkan definisi turunan dy f ( x  x )  f ( x ) ln( x  x )  ln x  lim  lim x 0 dx x 0 x x

x  x x  lim x 0 x  x  ln 1   1 x    lim  lim ln(1  xx ) h x 0 x 0 x ln

1 x x   k  x      ln  lim 1   x    x0   1 1  ln e x  x

d) y  1  2 x Jawab Menurut definisi turunan y  f (x )

dy f ( x  x)  f ( x )  lim dx x0 x  lim

x 0

1  2( x  x )  1  2 x x

1  2( x  x )  1  2 x 1  2( x  x )  1  2 x . . x  0 x 1  2( x  x )  1  2 x 1  2( x  x)  (1  2 x)  lim x  o x 1  2( x  x )  1  2 x  lim



X




96

 lim

x 0



2 1  2( x  x )  1  2 x

2 2 1  2x



1 1  2x 

 1  2 x 

1 2

x  3x 2 e) y  5 x Jawab Misal u  x  3x 2 maka u '  1  6 x v  5  x maka v'  1

Menurut sifat 7 jika y  Diperoleh y ' 



u u ' v  uv ' maka y '  v v2

(1  6 x )(5  x )  ( x  3 x 2 )(1) (5  x) 2

5  31x  6 x 2  x  3x 2 25  10 x  x 2

3 x 2  30 x  5  2 x  10 x  25 f) Jika h(x) = xg(x) dan g(3) = 5 dan g’(3) = 2, carilah h’(3). Jawab

h( x)  xg ( x) aturan  perkalian  h' ( x)  1.g ( x)  xg ' ( x) h ' (3)  g (3)  3 g ' (3)  11

3.2

Aturan Rantai (Chain Rule) Aturan rantai umumnya digunakan untuk menentukan turunan fungsi yang n

bentuk umumnya y   f ( x)  atau y  f  g (x)  .


97

Di bawah ini diberikan aturan rantai yang digunakan untuk menentukan turunan fungsi. Jika f (x ) dan g (x) keduanya mempunyai turunan, dan h = f o g adalah fungsi komposisi yang didefinisikan oleh h(x) = f(g(x)), maka h mempunyai turunan, yaitu h’ yang dinyatakan oleh h ’(x) = f ’(g(x)). g ’(x) Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x) keduanya fungsi yang mempunyai turunan, maka dy dy du  . dx du dx

Bukti:

h( x  t )  h(t ) f ( g ( x  t ))  f ( g ( x ))  lim t t t 0 t 0  f ( g ( x  t ))  f ( g ( x)) g ( x  t )  g ( x )   lim  .  g ( x  t )  g ( x) t t  0 

h' ( x )  lim

f ( g ( x  t ))  f ( g ( x)) g ( x  t )  g ( x) . lim g ( x  t )  g ( x) t t 0 t 0 f ( g ( x )  p)  f ( g ( x )) g ( x  t )  g ( x)  lim . lim p t p 0 t 0  f ' ( g ( x )) g ' ( x)  lim

Contoh 1. Jika y  e x ` maka

dy  ex dx

Bukti aturan rantai y  e x  x  ln y   1 

2. Jika y  a x ` , a  1 1 maka

1 . y'  y'  y  e x y

dy  a x ln a dx

Bukti y  a x `  x  a log y


98

=

Sehingga dx 

ln y ln a 1 1 dx 1 . dy   ln a y dy y ln a

Dengan aturan rantai

dy 1   y ln a  a x ln a dx dx dy

3. Jika y  a log a, x  0, a  1, maka

dy 1  dx x ln a

Bukti nomor 3 ditinggalkan penulis sebagai latihan bagi pembaca.

3.3. Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Parametrik Turunan Fungsi Implisit Fungsi implisit adalah fungsi yang secara umum ditulis dalam bentuk

f ( x, y )  0 Contoh: 1. x 2  y 2  25  0 2. x 2 y  xy 2  2  0 3. x 2  y 2  2 x  y  1  0 4. cos xy  y  0 Rumus-rumus turunan yang telah dijabarkan pada pasal sebelumnya berlaku jika fungsi dinyatakan dalam bentuk eksplisit atau y  f (x ) , sedangkan untuk fungsi yang dinyatakan dalam bentuk implisit yaitu fungsi yang bentuk umum penulisannya

f ( x, y )  0 , turunannya dapat ditentukan dengan menggunakan kaidah diferensial, yaitu dengan cara mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi tersebut. Perhatikan beberapa contoh berikut:


99

1. Tentukan

dy dari x 2  y 2  4  0 dx

Jawab Dengan aturan diferensial masing-masing variabel diperoleh  d ( x 2 )  d ( y 2 )  d ( 4)  d ( 0)

 2 xdx  2 ydy  0  0  xdx  ydy  0 

dy x  dx y

2. Tentukan

dy dari x 2 y  xy 2  2  0 dx

 d ( x 2 y )  d ( xy 2 )  d (2)  d (0)

     2 xdx. y  x dy   dx. y  x 2 ydy   0  2 xy  y dx  x  2 xy dy  0

 d ( x 2 ) y  x 2 d ( y )  d ( x) y 2  xd ( y 2 )  0  0 2

2

2

2

 (2 xy  y 2 )dx  ( x 2  2 xy )dy dy 2 xy  y 2   2 dx x  2 xy

3.

Tentukan

dy dari y  dx

x x x

Jawab Untuk menentukan

dy dari fungsi di atas, maka bentuk fungsinya diubah terlebih dx

dahulu menjadi bentuk implisit, dan diperoleh: y

x x x

 y8  x7  0 Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel diperoleh d ( y 8 )  d ( x 7 )  d ( 0)

Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-100

 8 y 7 dy  7 x 6 dx  0  8 y 7 dy  7 x 6 dx dy 7 x 6  dx 8 y 7

Sehingga

Latihan soal Tentukan 1. y 

dy fungsi-fungsi berikut ini. dx

4x 1 x2

2. 2 xy  3 y 2  2 xy  3  0 3. y  1 

2 sin x

4. y  cos 2 (2 x  1)  0 5. y  1 

2 1 x2

6. y  sec(1  x)

3

2

7. cos( xy )  2 x  3 y 2  0 8. yx  x 2  3 y  1  0 9.

y cos( xy )  2 x  3 y 2  0

10. y  sin 4 1  x 11. cos xy  y  0

Turunan Fungsi Parametrik Fungsi parametrik adalah fungsi yang secara umum ditulis dalam bentuk y  f (x ) dengan x  x(t ) dan y  y (t )

atau


 x  x(t )   y  y(t ) Contoh  x  2t  1 1.  2 y  t  t

 x  sin t  cos t 2.  y  1 t Turunannya dapat ditentukan dengan menurunkan masing-masing bagian, selanjutnya gunakan aturan rantai. Contoh: Tentukan

dy dari fungsi parametrik dibawah ini. dx

 x  2t  1 1.  2 y  t  t

Jawab Jika variabel x dan y diturunkan terhadap parameter t, maka diperoleh dx dy  2 dan  2t  1 . dt dt

Karena yang dicari adalah

dy maka dengan menggunakan aturan rantai diperoleh: dx

dy dy dy dt 2t  1  .  dt  dx dt dx dx 2 dt

 x  sin (2t  1) 2.   y  1  3t Jawab Jika variabel x dan y diturunkan terhadap parameter t, maka diperoleh


dy 3 dx   2 cos(2t  1) dan . dt dt 2 1  3t Karena yang dicari adalah


3 dy dy dy dt dt 3 1  3t  .   2 1  3t   . dx dt dx dx 2 cos(2t  1) 2 cos(2t  1) dt

 x  ln(3t  4) 3.   y  1  2t Jawab Jika variabel x dan y diturunkan terhadap parameter t, maka diperoleh

dy 1 dx 3   dan . dt 3t  4 dt 1  2t Karena yang dicari adalah


dy  1 dy dy dt dt 1  2t   (3t  4) .  .   3 dx dt dx dx 3 1  2t dt 3t  4

Soal-soal Tentukan

dy fungsi parametrik berikut ini. dx

1  x  2 4t  3 1)  y  t2  t  2   x  3 sin 2 t  2 cos 3 t 2)  y  2 1 t 23  t  x  2t  3)  3  y  t 2  2t  3 


 x  sin t  cos t 4)  y  1 t  x  ln sin t  cos t  5)  y  3 1 t  x  2 sin 2t  6)  33 2 t t 2 y   2

3.4

Turunan Fungsi Trigonometri dan Siklometri Rumus dasar dari turunan trigonometri adalah turunan fungsi sinus dan cosinus,

sedangkan turunan fungsi trigonometri yang lainnya dan turunan fungsi siklometri dapat ditentukan dengan rumus turunan sinus dan cosinus, sifat turunan, dan aturan rantai. Tentukan

dy untuk dx

1. y  sin x Jawab Menurut definisi turunan

y  sin x  y '  lim

x 0

y  sin x

f ( x  x)  f ( x) sin( x  x)  sin x  lim x 0 x x

2 cos  lim

x  0

 2 lim cos x  0

2 x  x x sin 2 2 x 2 x  x lim h0 2

x 2 . 1  2 cos x.1. 1 x 2 2 2

sin

 cos x 2. y  cos x Jawab . y  cos x  y '  lim

x  0

f ( x  x )  f ( x ) cos( x  x )  cos x  lim h0 x x


 2 sin  lim

x  0

 2 lim sin x  0

2 x  x x sin 2 2 x 2 x  x lim h0 2

x 2 . 1  2 sin x.1. 1 x 2 2 2

sin

  sin x 3. Turunan fungsi trigonometri yang lain. a) y  tan x b) y  cot x c) y  sec x d) y  csc x e) y  arcsin x

y  arctan x

f)

g) y  arc sec x h) y  sin 4 (e x  ln x )

y  e x sin 2 ( x 2  1)

i) Jawab

sin x aturan pembagian cos x cos x  sin x.( sin x)      y '   sec 2 x 2 cos x cos x

a.

y  tan x 

b.

y  cot x 

c.

y  sec x 

1 0.(cos x )  1.( sin x ) aturan pembagian      y '   sec x tan x cos x cos 2 x

d.

y  csc x 

1 0.(sin x )  1.(cos x) aturan pembagian      y '    csc x cot x sin x sin 2 x

e.

y  arcsin x  x  sin y    1  y ' cos y  y ' 

cos x aturan pembagian  sin x (sin x)  cos x.(cos x )    y '    csc 2 x 2 sin x sin x

aturan rantai

1 1  cos y 1 x2

1 x`

1 x2

y


Gambar 3.3 f.

1

aturan rantai

y  arctan x  x  tan y    1  y ' sec 2 y  y '  cos 2 y 

1 x2

x2 1

x 1

y

Gambar 3.4 g.

aturan rantai

y  arc sec x  x  sec y    1  y ' sec y tan y y '  cos y cot y 

1 x x2 1

x

x2 1 y 1

Gambar 3.5

h.

y  sin 4 (e x  ln x) aturan  rantai   y  u 4 , u  sin( e x  ln x ), u  sin v, v  e x  ln x dv 1 du d dv 1  ex  ,  (sin v)  v ' cos v  (e x  ) cos( e x  ln x ) dx x dx dv dx x 4 du du 1 1 y'  .  4u 3 (e x  ) cos( e x  ln x )  4(e x  ) cos(e x  ln x ) sin 3 (e x  ln x ) du dx x x

i. Bukti de x d sin 2 ( x 2  1) sin 2 ( x 2  1)  e x dx dx x 2 2 x 2 2  e sin ( x  1)  e .2 sin( x  1). cos( x  1).2 x

rantai dan perkalian y  e x sin 2 ( x 2  1) aturan      y ' 

 e x sin 2 ( x 2  1)  2 xe x .2 sin( x 2  1) cos( x 2  1)  e x sin 2 ( x 2  1)  2 xe x sin 2( x 2  1)


3.5

Turunan Tingkat Tinggi Jika y  f (x ) fungsi yang dapat diturunkan, maka y '  f ' ( x) juga berupa

fungsi. Jika y '  f ' ( x) mempunyai turunan, maka y ' '  f ' ' ( x ) adalah turunan kedua dari y  f (x ) dan seterusnya. Turunan ke-n suatu fungsi dinyatakan dengan

dny dx n

Untuk n = 2 dinotasikan dengan

d 2 y d  dy      D 2 y  y ' '  f ' ' ( x) 2 dx  dx  dx


d3y d  d2y    D 3 y  y ' ' '  f ' ' ' ( x)   dx 3 dx  dx 2 


d4y d d3y   3   D 4 y  y ( 4)  f ( 4 ) ( x) 4 dx  dx  dx

Dan seterusnya. Bentuk-bentuk di atas dinamakan turunan tingkat tinggi atau turunan ke-n.

Contoh: 1. Carilah

d2y dx 2

dari :

a.

x 2  y 2  25

b.

y  ln t , x  e t

c.

y  et

2

t

, x  ln e t  1

2. Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini: a.

y  e kx

b.

y  ln x

Penyelesaian :


1. Dari contoh-contoh sebelumnya telah diperoleh

dy dari x2 + y2 = 25, adalah dx

dy x  . dx y d2y

Karena

dx

2



d  dy  d  x       dx  dx  dx  y 

Dan mengingat y adalah fungsi dari x, dengan aturan pembagian dan aturan rantai, diperoleh

d  x     dx  y  Jadi

d2y dx 2



y.

x dx dy y.1  x.   x. y y.2  x 2 dx dx     y2 y2 y3

y.2  x 2 y3

d2y 2. Tentukan dx 2 x  et a.   y  ln t

dy 1 1 dy dy dt 1  .  dt  tt  tt  t dx dt dx dx e e te dt

 dy  d   dy   dx  d  2 d y d  dy  dx dt       .  dt = 2 dx dx  dx  dt dx dx dt

Oleh

karena



2

d y dx 2



d  dy  d  1  e t  te t 1 t     t    2 2t   2 t dt  dx  dt  te  t e t e

dan

dx  et dt

maka

1 t t 2 et   1  t . et t 2 e 2t

2 b. y = e t  t , x = ln (et +1)


dy 2 (2t  1)e t t dy dt t t2 = = ( 2 t  1 )( e  1 ) e  dx dx et dt (e t  1)

 dy  d  2 d y dx    2 dx dx

 dy  d   dx  dt dx dt 2

2

2(e t  1)e t  (2t  1)e t  t  2t (2t  1)(e t  1)e t = et (e t  1)

= 2(e t  1) 2 e t

2

t

2

2

 (2t  1)(e t  1)e t  2t (2t  1)(e t  1) 2 e t

2

t

3. a. y  e kx  y '  ke kx  y ' '  k 2 e kx  y ' ' '  k 3 e kx  ...  y ( n)  k n e kx b. y  ln x  y ' 

1 1 ( 1) 2 (1) 2 (1) n 1 ( n)  y ' '  ( 1) 2  y ' ' '    ...  y  x x 1.2 x 3 2! x 3 (n  1)! x n

Soal-soal 1) Tentukan kemiringan pada kurva fungsi berikut di titik yang diberikan. a.

y

1 di titik (0,1) x 1

b.

y

1 di titik dengan x  1 x 1

c.

y  1  2 x  3x 2 di titik x = 1, -

d. y 

1 x2

1 1 dan 2 4

, di titik (1,1)

2) Tentukan apakah fungsi di bawah ini mempunyai turunan pada titik yang diberikan. a. y  x  1 di x = 1 b.

y  x 2  4 di x = 2


c.

 x 2  1, x  1  f ( x)   di x = 1 3  x 2 , x  1 

d.

 x 2  1, x  2  f ( x)   di x = 2 8 x  x 2  9, x  2 

3) Masing-masing bentuk limit di bawah ini menyatakan turunan suatu fungsi

y  f (x ) . Tentukan bentuk fungsi dan turunan fungsi. a) b) c) d)

1  x  1 x

lim

x  0

( x  x) 9  x x  0 x lim lim

x  0

cos 2( x  x )  cos 2 x x

sin( x  x)  sin x x  0 x

 lim

4) Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan turunan fungsi-fungsi berikut:

 f ( y)  y



a. G ( s )  s 2  s  1 s 2  2 b.

c. h( x) 

2





 1 2 y  7 

ax  b cx  d

d. y  a 

b c  x x2

5) Carilah persamaan garis singgung pada kurva di titik yang diberikan. 2x , di titik (1, 1) x 1

a.

y

b.

y  x  x , di titik (1, 2)


c.

y

x , di titik (4 ; 0,4) x 1

d. y  x x , di titik (1, 1)

6) Carilah titik pada kurva y  x 3  x 2  x  1 yang garis singgungnya mendatar. a) Gunakan aturah hasil kali sebanyak dua kali untuk membuktikan bahwa jika

f , g dan g fungsi-fungsi yang mempunyai turunan, maka berlaku ( fgh)  f ' gh  fg ' h  fgh' b) Gunakan bagian (a) untuk menentukan turunan fungsi





y  x x 4  x  1 2 x  3

x1000  1 x 1 x  1

7) Tentukan nilai lim

8) Tulislah fungsi komposisi dalam bentuk f(g(x)). Tentukan fungsi sebelah dalam u = g(x) dan fungsi sebelah luar y = f(u). Kemudian carilah a.

y  ( x 2  4 x  6) 2

b.

y  1  x3

c.

y  x2  7x

dy dx

3

9) Carilah turunan fungsi-fungsi berikut a.

y  3x  2 (5 x 2  x  1)12

b.

y  (s 2  1) 4 s 3  1

10

10) Carilah turunan pertama dari fungsi di bawah ini : a.

xy  ln y  1

b. ln x  xy  e y  3 c. cos( x  y )  e yx  x


d. ln xy  ln ( x  y )  e x e. e yx  x ln y  sin 2 x

11) Carilah nilai turunan pertama dari fungsi di bawah ini pada titik yang diberikan a.

xy  ln y  x di (0,1)

b. x  xy  2 y  1  0 di (1,0) c.

x 3 y  y 3 x  30 di (1,3)

d. x 2 y 2  4 xy  12 y di (2,1) e.

x  xy  2 y  4  0 di (1,1)

13)Carilah turunan pertama fungsi yang diberikan a.

y  ln t 2  1, x  e t

b.

y  et

c.

y  e t  2, x  e t  5

2

1

, x  ln( e t  1)

d. y  e t  ln t , x  e t  4 e.

y  te 2t  t , x  e t  t

f.

y  t 3  2t , x  3t 2  5

14)Carilah turunan kedua untuk fungsi-fungsi di bawah ini a. 3 x 3  3x 2 y  8 xy 2  2 y 3  0 b. xy  y 3  2 c.

x3  4 y 2  3

d. y  x 3 3 x e.

y  x 3 ln( x 2  1)

d2y 15) Carilah nilai dari fungsi di bawah ini pada titik yang diberikan dx 2 a. x 3  y 3  3 xy di (0,0)


b. x 2 y  4 y 3  4 di (2,1) c. x 2  y 2  25 di (3,4) d. x 2  y 2  25 di (3,4) x

16) Carilah turunan ke n, untuk n=3 dan 4 dari fungsi di bawah ini: a.

y  sin x

b.

y  cos x

c.

y  sin( ax  b)

d. y  cos( px  q )

17) Carilah turunan dari fungsi di bawah ini: a.

2 y  e arctan( x  5)

b.

y  arccos(e x  5 x)

c.

y  e x arcsin(ax 2  b)

d. y  arc sec(a px  q  e sin x )



BAB III TURUNAN FUNGSI

Recommend Documents