BAB 2 ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA

BAB 2 ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA

Analisis data, khususnya estimasi parameter dalam regresi multivariat, banyak melibatkan operasi matriks. Dalam bab ini akan dibahas teori matriks yang banyak terkait dengan statistika.

Kompetensi Setelah membaca bab ini, pembaca diharapkan memahami aljabar matriks, turunan yang berkaitan dengan matriks serta menggunakannya dalam statistika, khususnya dalam analisis regresi. 51

BAB 2. ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA

52

2.1

Materi

1. Definisi dan jenis matriks 2. Operasi matriks 3. Kebergantungan linier 4. Bentuk kuadrat dan turunannya 5. Aplikasi R untuk matriks

2.2

Defenisi dan Jenis Matriks

Definisi 2.1. Matriks adalah kumpulan unsur yang disusun dalam baris dan kolom yang berbentuk persegi panjang. Matriks biasanya dinotasikan dengan huruf besar tebal, misalnya A, B, sedangkan unsur-unsurnya bisa berupa bilangan atau huruf kecil. Banyaknya baris dan kolom matriks disebut ordo matriks matriks. Matriks yang memiliki n baris dan m kolom,dikatakan berordo n × m dan dinotasikan dengan An×m = [aij ]. Dalam hal ini, aij adalah unsur yang berada pada baris ke i dan kolom ke j dengan i = 1, 2, · · · , n dan j = 1, 2, 3, · · · , m. Contoh 2.1. Matriks A berikut adalah matriks yang berordo 4 ×3; ⎛ ⎜ ⎜ A=⎜ ⎝

3 4 5 1 3 6 7 10 20 5 7 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Beberapa matriks khusus yang banyak digunakan dalam statistika diantaranya adalah matriks bujur sangkar, matriks diagonal, matriks

ANALISIS REGRESI DENGAN R (ANRER)

2.2. DEFENISI DAN JENIS MATRIKS

53

skalar dan matriks simetrik. Definisi formal masing- masing jenis matriks tersebut dapat dilihat pada buku-buku teks standar yang membahas matriks. Definisi 2.2. Matriks bujur sangkar (square matrix), adalah matriks dengan banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya, yaitu n = m. Pada matriks bujur sangkar, unsur unsur yang berada pada baris dan kolom dengan nomor sama disebut diagonal utama (yaitu: aii , i = 1, 2, · · · , n.) Contoh 2.2.

⎛

⎞ 3 14 5 ⎜ ⎟ B = ⎝ 11 3 6 ⎠ 7 10 20

Definisi 2.3. Matriks diagonal adalah matriks yang semua unsurnya, selain unsur-unsur pada diagonal utamanya, adalah nol, yaitu aij = 0 untuk setiap i = j. Contoh 2.3.

⎛

⎞ 3 0 0 ⎜ ⎟ D=⎝ 0 0 0 ⎠ 0 0 2

Definisi 2.4. Matriks skalar adalah matriks diagonal yang semua unsurnya sama, tetapi tidak sama dengan 0. Contoh 2.4.

⎛

⎞ 3 0 0 ⎟ ⎜ C=⎝ 0 3 0 ⎠ 0 0 3

Definisi 2.5. Matriks identitas I adalah matriks skalar yang semua unsurnya 1



54

Contoh 2.5.

⎛

⎞ 1 0 0 ⎜ ⎟ I=⎝ 0 1 0 ⎠ 0 0 1

Definisi 2.6. Matriks nol (0) adalah matriks yang semua unsurnya adalah 0. Definisi 2.7. Matriks simetris adalah matriks yang unsur-unsurnya simetris terhadap diagonal utama, yaitu aij = aji untuk setiap i dan j. Contoh 2.6. ⎛

⎞ 3 1 5 ⎜ ⎟ A=⎝ 1 2 0 ⎠ 5 0 4 Contoh 2.7. Dalam statistika, matriks simetris yang banyak ditemukan adalah matriks korelasi (R) dan matriks varians-kovarians atau matriks ragamkoragam(V). ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ σ12 σ12 · · · σ1n 1 r12 · · · r1n ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ σ21 σ22 · · · σ2n ⎟ ⎜ r21 1 · · · r2n ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ R=⎜ . .. .. ⎟ dan V = ⎜ .. .. .. ⎟ .. .. ⎟ . . . . . ⎠ . . ⎠ ⎝ . ⎝ . rn1 r2n · · ·

1

σn1 σ2n · · ·

σn2

Selain matriks-matriks umum di atas, dalam statistika ada yang disebut matriks desain X. Matriks ini merupakan matriks yang menghubungkan parameter β dengan peubah- peubah penjelas Xj . Pada ANALISIS REGRESI DENGAN R (ANRER)

2.3.

OPERASI MATRIKS DAN SIFAT-SIFATNYA

55

umumnya model yang dipergunakan selalu mengandung konstanta sehingga kolom pertama matriks X biasanya beranggotakan 1. ⎛

⎞ 1 x11 x12 · · · x1p ⎜ ⎟ ⎜1 x21 x22 · · · x2p ⎟ ⎜ ⎟ X = ⎜. .. .. .. ⎟ . . . . . ⎝ ⎠ 1 xn1 xn2 · · · xnp

2.3

Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya

Operasi matriks yang penting yang banyak dipergunakan dalam statistika diantaranya adalah operasi uner yaitu: invers dan transpos dan operasi biner yaitu penjumlahan dan perkalian.

2.3.1

Operasi uner

Untuk melakukan operasi uner diperlukan cukup satu matriks. Operasi yang termasuk uner adalah operasi invers baik untuk penjumlahan maupun perkalian dan operasi transpos. Definisi 2.8. Invers penjumlahan suatu matriks A ditulis −A, adalah matriks yang unsur-unsurnya adalah negatif dari unsur-unsur matriks A Contoh 2.8.

⎛

⎞ ⎛ ⎞ −3 −1 −5 3 1 5 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Jika A = ⎝ 1 −2 2 0 ⎠. 0 ⎠ , maka −A = ⎝ −1 5 0 −4 −5 0 4



56

Definisi 2.9. Transpos matriks A (berordo m×n) ditulis AT adalah matriks berordo n × m yang diperoleh dengan menukar baris matriks A menjadi kolom dan sebaliknya, yaitu jika B = AT , maka bij = aji . Contoh 2.9. ⎛ ⎞ 4 5 4 1 2 ⎜ ⎟ T Jika A = ⎝1 7⎠ maka A = 5 7 4 2 4 Hasil 2.1. Jika A adalah matriks simetris, maka A = AT Definisi 2.10. Invers perkalian suatu matriks A ditulis A−1 , adalah matriks yang jika dikalikan dengan A menghasilkan matriks identitas yaitu A.A−1 = A−1 .A = I.

2.3.2

Operasi biner

Dalam operasi matriks secara simbolik kita akan banyak menggu

nakan notasi . dan . Untuk itu dalam subbab ini akan dibahas secara sepintas kedua notasi tersebut. Definisi 2.11. n

f (xi ) = f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xi ) + · · · + f (xn ).

i=1

Sifat-sifat operator Sigma diberikan dalam hasil berikut ini. Hasil 2.2. Sifat- sifat operator Sigma adalah 1. Jika k adalah suatu konstanta, maka

n

k = nk.

i=1


2.3.


57

2. Jika k adalah suatu konstanta, dan f adalah fungsi dalam xi maka n n kf (xi ) = k f (xi ). i=1

i=1

3. Jika k1 , k2 adalah konstanta dan f (xi ) = x2i + k1 xi + k2 , maka n

f (xi ) =

i=1

1

Bukti:

n

n

x2i

+ k1

n

i=1

+nk2 .

i=1

=k

+k+ · · · + k

i=1 k

n

2

= nk.

n

i=1 kf (xi )

= kf (x1 ) + kf (x2 ) + · · · + kf (xn ) = k(f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn )) n =k f (xi ). i=1

3

n

i=1 f (xi )

= = =

= =

n

x2i + k1 xi + k2

i=1 x21 + k1 x1 + k2 + · · · + x2n + k1 xn + x21 + · · · + x2n + k1 x1 + · · · + k1 xn + k2

n i=1 n i=1

x2i +

n

k2

+ · · · + k2 n

k1 xi + nk2

i=1

x2i + k1

n

xi + nk2 .

i=1

Untuk lebih meringkas notasi, kadang-kadang jumlah untuk seluruh rentangan indeks hanya dinotasikan dengan tanda titik (.) untuk



58

indeks tersebut, misalnya xi. = x.j =

n j=1 m

xij xij .

i=1

Jika operator merupakan penjumlahan yang berulang, maka operator untuk perkalian berulang disebut operator yang didefinisikan seperti berikut ini. Definisi 2.12. n

f (xi ) = f (x1 ) × f (x2 ) × · · · × f (xi ) × · · · × f (xn ).

i=1

Sedangkan sifat-sifat operator dinyatakan dalam hasil berikut. Hasil 2.3. Sifat- sifat operator adalah: • jika k adalah suatu konstanta, maka

n

k = kn ;

i=1

• jika k adalah suatu konstanta, dan f adalah fungsi dalam xi maka n n kf (xi ) = k n f (xi ); i=1

i=1

• jika k1 , k2 adalah konstanta dan f (xi ) = (x2i )(k1 xi )(k2 ), maka n

f (xi ) =

i=1

Pembuktian hasil

operator .

n i=1

x2i

×

k1n

n

xi × k2n .

i=1

di atas analog dengan pembuktian sifat- sifat


2.3.


59

Penjumlahan Matriks Matriks yang bisa dijumlahkan (ditambah dan dikurangi) adalah matriks yang berdordo sama. Matriks yang berordo sama disebut Konformabel (conformable terhadap penjumlahan. Penjumlahan matriks dilakukan dengan menjumlahkan unsur unsur yang seletak, yaitu unsur unsur yang terletak pada baris dan kolom yang sama atau yang mempunyai indeks yang sama. Definisi 2.13. Jika A = (aij ) dan B = (bij ) i = 1, 2, · · · , m; j = 1, 2, · · · , n maka A + B adalah matriks C yang berordo m×n dengan unsur unsurnya adalah cij = aij + bij . Contoh 2.10. Jika

maka

⎞ ⎞ ⎛ 3 5 6 8 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A = ⎝ 8 4 ⎠ dan B = ⎝2 4 ⎠ , 3 10 6 10 ⎛

⎛

⎞ ⎛ ⎞ 3+6 5+8 9 13 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A + B = ⎝8 + 2 4 + 4 ⎠ = ⎝10 8 ⎠ . 6 + 3 10 + 10 9 20

Definisi 2.14. Selisih dua matriks didefinisikan sebagai jumlah dengan negatif matriks pengurang, yaitu A − B = A + (−B). Hasil 2.4. Sifat- sifat penting dari penjumlahan matriks adalah A+B=B+A komutatif A+0=0+A identitas A + (−A) = 0 invers A + (B + C) = (A + B) + C assosatif distribusi transpus (A + B)T = AT + BT



60

Perkalian matriks Perkalian matriks bisa dilakukan apabila banyaknya kolom matriks terkali sama dengan banyaknya baris matriks pengali. Matriks-matriks yang dapat dikalikan disebut matriks-matriks yang conformable terhadap perkalian. Selain perkalian dengan sesama matriks, matriks juga dapat dikalikan dengan skalar. Definisi 2.15. Hasil kali suatu matriks dengan suatu skalar adalah matriks yang unsur- unsurnya adalah hasil kali setiap unsur matriks dengan skalar tersebut, yaitu kA = (kaij ) . Contoh 2.11. ⎛

⎞ ⎛ ⎞ 3 −2 −6 9 −6 −18 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3⎝ 1 2 0 ⎠=⎝ 3 6 0 ⎠. −5 0 4 −15 0 12

Definisi 2.16. Hasil kali dua matriks adalah matriks yang berordo sedemikian sehingga barisnya sama dengan baris matriks yang dikalikan dan kolomnya sama dengan kolom matriks pengali. Unsur unsur dari matriks pengali merupakan kombinasi linier dari baris matriks terkali dengan kolom dari matriks pengali. Jadi jika Am×n Bn×p , maka Cm×p = AB dengan cik = ai1 b1k + ai2 b2k + · · · + ain bnk n = aij bjk . j=1

Contoh 2.12. Jika

⎛

⎞ ⎛ ⎞ 3 −2 −6 3 −1 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A=⎝ 1 2 0 ⎠ dan B = ⎝ 5 2 0 ⎠, −5 0 4 0 2 4 ANALISIS REGRESI DENGAN R (ANRER)

2.3.


61

maka AB adalah ⎛ (3)(3) + (−2)(5) + (−6)(0) (3)(−1) + (−2)(2) + (−6)(2) ⎜ = ⎝ (1)(3) + (2)(5) + (0)(0) (1)(−1) + (2)(2) + (0)(2) (−5)(3) + (0)(5) + (4)(0) (−5)(−1) + (0)(2) + (4)(2) ⎞ (3)(2) + (−2)(0) + (−6)(4) ⎟ (1)(2) + (2)(0) + (0)(4) ⎠ (−5)(2) + (0)(0) + (4)(4) ⎛ ⎞ −1 −19 −18 ⎜ ⎟ = ⎝ 13 3 2 ⎠. −15 13 6 Hasil 2.5. Sifat-sifat operasi perkalian yang penting di antaranya adalah: 1. nonkomutatif, yaitu secara umum AB = BA; 2. assosiatif, yaitu (AB)C = A(BC); 3. distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu A(B + C) = AB + AC. 4. distributif transpos terhadap perkalian, yaitu (AB)T = BT AT .

2.3.3

Determinan dan Invers Matriks

Definisi 2.17. Determinan dari suatu matriks bujur sangkar A, dinotasikan dengan |A| atau det(A), adalah fungsi skalar yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga merupakan jumlah hasil kali



62

unsur- unsur yang sejajar diagonal utama dikurangi jumlah unsurunsur yang sejajar diagonal lain. Dalam bentuk notasi |A| =

n

aii +

i=1

− a11

n

ai,i+1 + · · · + a1n

i=1 n−1

n−1

ai+1,i −

i=1

n

an+1−i,i − · · ·

i=1

an+2−i,i .

i=2

Definisi 2.18. Matriks yang determinannya tidak nol disebut matriks nonsinguler, sedangkan matriks yang determinannya 0 disebut matriks singuler. Contoh 2.13. ⎛ ⎞ 3 4 1 ⎜ ⎟ Jika A = ⎝5 7 6⎠ , maka det A adalah 3 2 5 |A| = (3)(7)(5) + (4)(6)(3) + (1)(5)(2) − (3)(7)(1) − (5)(4)(5) − (3)(2)(6) = 105 + 72 + 10 − 21 − 100 − 36 = 187 − 157 = 30 Definisi 2.19. Teras(trace) suatu matriks bujur sangkar adalah jum

lah unsur diagonal utama dari matriks tersebut, yaitu tr(A) = ni=1 aii . Contoh 2.14. Dari

⎛

⎞ −1 −19 −18 ⎜ ⎟ A = ⎝ 13 3 2 ⎠, −15 13 6 ANALISIS REGRESI DENGAN R (ANRER)

2.4. KEBERGANTUNGAN LINIER DAN RANK MATRIKS

63

maka tr(A) = −1 + 3 + 6 = 8. Untuk matriks bujur sangkar beordo 2, cara mencari invers adalah sebagai berikut. a c Hasil 2.6. Jika A = , maka b d • | A |= ac − bd d −c 1 −1 • A = |A| −b a Contoh 2.15. Bertikut adalahcontoh matriks bujur sangkar berordo 2 × 2 dan inversnya A= maka A

2.4

−1

1 = 4

1 2 , −1 2

2 −2 1/2 −1/2 = 1 1 1/4 1/4

Kebergantungan Linier dan Rank Matriks

Dalam statistika pada umumnya kolom-kolom matriks mewakili peubah - peubah acak yang bisa saling bebas atau tidak saling bebas satu sama lain. Kondisi ini akan mempengaruhi apakah matriks yang akan dihasilkan mempunyai rank penuh atau tidak, apakah matriks yang dihasilkan akan mempunyai invers atau tidak. Definisi 2.20. Suatu kolom dari matriks A dikatakan bergantung linier dengan kolom-kolom lainnya jika dia dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari kolom-kolom lainnya tersebut.



64

Definisi 2.21. Rank suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya maksimum kolom yang saling bebas linier. Definisi 2.22. Suatu matriks dikatakan mempunyai rank penuh jika ranknya sama dengan banyaknya kolom Hasil 2.7. Suatu matriks bujur sangkar akan nonsingular jika mempunyai rank penuh, sebaliknya akan singular jika tidak mempuyai rank penuh. Contoh 2.16. ⎛

⎞ 3 4 1 ⎜ ⎟ Matriks A = ⎝5 7 6⎠ adalah matriks nonsingular dengan rank 3 2 5 ⎛ ⎞ 3 4 1 ⎜ ⎟ penuh 3. Tetapi B = ⎝18 7 6⎠ tidak mempunyai rank penuh 15 2 5 karena kolom pertama merupakan 3× kolom ketiga dan karenanya B adalah matriks singular dan tidak memiliki invers. Penyelesaian konkrit dari kegergantungan ini dapat dihitung dengan membentuk sistim persamaan homogen antara kolom-kolom matriks dan mencari apakah sistem persamaan homogen tersebut mempunyai atau tidak penyelesaian tidak nol. Hasil 2.8. Jika matriks Anp bukan matriks bujur sangkar (n < p), paling tidak ada (p − n) kolom yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari kolom lainnya. Dengan demikian maka A tidak akan mempunyai rank penuh. Contoh 2.17. ⎛

3 4 ⎜ Matriks A = ⎝5 7 3 2 besar dari banyaknya

⎞ 1 1 ⎟ 6 1⎠ mempunyai banyak kolom yang lebih 5 1 baris, karena itu pasti salah satu dari kolom


2.4. KEBERGANTUNGAN LINIER DAN RANK MATRIKS

65

yang ada dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari yang lainnya. Secara aljabar hal ini mengandung pengertian bahwa sistim persamaan ak1 + b + k2 + ck3 + dk 4 = 0, dengan kj adalah kolom ke j, mempunyai penyelesaian dimana sekalar a, b, c, d tidak semuanya sama dengan nol. 3a + 4b + c + d = 0

(1)

5a + 7b + 6c + d = 0

(2)

3a + 2b + 5c + d = 0

(3)

Selanjutnya (1)-(3) dan (2)-(3) akan menghasilkan 2b + −4c = 0

(4)

2a + 5b + c = 0

(5)

Persamaan (4) menghasilkan hubungan b = 2c yang dapat disubstitusikan ke (5) 2a + 10c + c7 = 0 2a + 11c = 0 a=−

11 c (7) 2

Selanjutnya jika (7) disubstitusikan ke persamaan (1) akan menghasilkan −33 c + 8c + c + d = 0 2 33 15 d = c − 9c = c 2 2


66


Jadi sistim persamaan ini mempunyai penyelesaian yang bersifat parametrik, salah satu diantaranya adalah untuk c = 2, maka diperoleh b = 4, a = −11, d = 15. Dalam statistika, jika X adalah matriks desain yang kolomnya menunjukkan peubah-peubah penjelas dan barisnya merupakan sampel, untuk menjamin agar X mempunyai rank penuh, maka banyaknya sampel selalu diusahakan jauh lebih banyak dari banyaknya peubah penjelas yang menjadi perhatian.

2.5

Bentuk Kuadrat dan Diferensial Matriks

Definisi 2.23. Misalkan ⎛ ⎞ ⎛ x1 a11 a12 · · · an1 ⎜ x ⎟ ⎜ ⎜ 2 ⎟ a21 a22 · · · an2 ⎜ ⎜ ⎟ x = ⎜ x3 ⎟ dan A = ⎜ .. .. .. ⎜ .. ⎜ ⎟ . . . ⎝ . ⎝ ··· ⎠ an1 an2 · · · ann xn

⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠

⎛

⎡ ⎤ ⎞ n n ⎣ maka Q = xT Ax = ⎝ xj aij ⎦ xi ⎠ ; merupakan matriks 1 ×1 i=1

j=1

(skalar) yang disebut matriks bentuk kuadrat. Matriks A pada umumnya merupakan matriks simetrik, misalnya matriks korelasi ataupun matriks ragam - koragamnya. Dalam statistika Definisi 2.24. Matriks bentuk kuadrat Q disebut definit positif apabila Q > 0 untuk setiap x = 0 dan Q = 0 jika dan hanya jika x = 0. Selanjutnya matriks A dari Q disebut matriks positif definit.


2.5.

BENTUK KUADRAT DAN DIFERENSIAL MATRIKS

67

Definisi 2.25. Matriks bentuk kuadrat Q disebut semi definit positif apabila Q ≥ 0 untuk setiap x = 0 dan Q = 0 paling tidak untuk satu x = 0. Selanjutnya matriks A dariQ disebut matriks positif semi definit. sering diperlukan turunan suatu matriks terhadap sekelompok peubah dalam satu vektor. Pada dasarnya turunan satu peubah terhadap suatu vektor adalah adalah suatu vektor atau matriks yang unsur-unsurnya adalah turunan peubah pertama terhadap peubah unsur-unsur vektor penurun sedemikain sehingga posisi unsurnya sesuai dengan posisi unsur yang diturukan dan unsur penurun. Definisi 2.26. Misalkan ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ x=⎜ ⎜ ⎜ ⎝

x1 x2 x3 .. .

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ dan g = g(x) ⎟ ⎟ ⎠

xn maka

⎛ ⎜ ⎜ ∂g ⎜ =⎜ ∂x ⎜ ⎜ ⎝

dan

⎞

∂g ∂x1 ∂g ∂x2 ∂g ∂x3

.. .

∂g ∂xn

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ∂g = ∂xT

∂g ∂x

T

∂g ∂x1 ∂g ∂x2 ∂g ∂x3

⎜ ⎜ ⎜ =⎜ ⎜ ⎝ ···

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

∂g ∂xn



68

Contoh 2.18.

Jika g = (2x1 + 5x2 ), dan x = ∂g = ∂x

x1 x2 2 5

, maka

Contoh 2.19. Jika

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ g=⎜ ⎜ ⎜ ⎝

g1 g2 g3 .. .

⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ , dan x = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

gn maka yang dapat dilakukan adalah n × p atau

⎛

x1 x2 x3 .. .

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎠

xp ∂g yang menghasilkan matriks ∂xT

∂gT yang menghasilkan matriks p × n. ∂x ⎛ dg1 /dx1 dg1 /dx2 · · · dg1 /dxp ⎜ dg /dx dg /dx · · · dg /dx ⎜ 2 1 2 2 2 p ⎜ ∂g ⎜ dg3 /dx1 dg3 /dx2 · · · dg3 /dxp = ⎜ ∂xT .. .. .. ⎜ .. . ⎝ . . .

dgn /dx1 dgn /dx2 · · · dgn /dxp Contoh 2.20. x1 1 2 Misalkan x = dan A = maka 2 1 x2 x1 + 2x2 ; 1. Ax = 2x1 + x2 ANALISIS REGRESI DENGAN R (ANRER)

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

2.5.


69

2. xT Ax = x1 (x1 + 2x2 ) + x2 (2x1 + x2 ) = x21 + 4x1 x2 + x22 yang merupakan bentuk kuadrat; ⎛ ⎞ ∂(x1 + 2x2 ) ∂(x1 + 2x2 ) ∂Ax ⎜ 1 2 ⎟ ∂x ∂x 1 2 3. =⎝ = = A; ∂(2x1 + x2 ) ∂(2x1 + x2 ) ⎠ ∂xT 2 1 ∂x1 ∂x2 4. Turunan xT Ax terhadap x adalah ⎞ ⎛ ∂(x21 + 4x1 x2 + x22 ) ⎟ ∂xT Ax ⎜ ∂x1 ⎟ =⎜ 2 2 ⎝ ∂(x1 + 4x1 x2 + x2 ) ⎠ ∂x ∂x2 2x1 + 4x2 = 4x1 + 2x2 1 2 x1 =2 x2 2 1 = 2Ax; 5. Karena xT Ax pada dasarnya adalah suatu skalar, maka dapat juga diturunkan terhadap xT . ∂xT Ax ∂(x21 + 4x1 x2 + x22 ) ∂(x21 + 4x1 x2 + x22 ) = ∂xT ∂x1 ∂x2 = 2x1 + 4x2 4x1 + 2x2 1 2 = 2 x1 x2 2 1 = 2xT A; 6. berdasarkan hasil butir 3 dan 4 di atas maka, maka diperoleh ∂ 2 xT Ax ∂ 2 xT Ax = 2A. = ∂xT ∂x ∂x∂xT ANALISIS REGRESI DENGAN R (ANRER)


70

Hasil 2.9. Misalkan A adalah matriks simetrik berordo n × n dan x adalah vektor baris berordo n, maka 1.

∂xT A ∂Ax =A = ∂x ∂xT

∂xT Ax = 2Ax ∂x ∂ 2 xT Ax 3. = 2A ∂xT ∂x 2.

Contoh 2.21.

2 1 x1 , sedangkan x1 = 2t1 + 3t2 dan Misalkan A = ,x= x2 1 3 2 3 , maka: x2 = 3t1 + t2 , jika t = 3 1 ∂x = B; ∂tT ∂Ax 2(2t1 + 3t2 ) + 3t1 + t2 2x1 + x2 = , sehingga = 2. Ax = ∂xT x1 + 3x2 2t1 + 3t2 + 3(3t1 + t2) A dan ∂Ax ∂Ax ∂x 7 7 2 1 2 3 3. = = = AB = . ∂tT ∂xT ∂tT 11 6 1 3 3 1

1. x = Bt dan

Hasil di atas dapat diperluas pada hasil berikut. Bukti umum dari hasil berikut tidak dibahas dalam buku ini. Hasil 2.10. Misalkan y adalah vektor peubah yang merupakan fungsi dari x, yaitu merupakan hasil perkalian antara x dengan suatu matriks simetrik dan F adalah matriks peubah yang merupakan fungsi


2.5.


71

dari y, yaitu hasil kali y dengan suatu matriks simetrik, maka berlaku sifat turunan rantai sebagai berikut: ∂F ∂F ∂y ∂F ∂F ∂yT = atau = ∂x ∂yT ∂x ∂x ∂y ∂x Contoh 2.22. Misalkan X, Y dan β adalah matriks-matriks sedemikian sehingga Q = (Y − Xβ)T (Y − Xβ) adalah suatu bentuk kuadrat (matriks 1 × 1). Tentukan 1. ∂Q/∂β 2. ∂ 2 Q/ (∂β T ∂β) Jawab: Q = (Y − Xβ)T (Y − Xβ) = YT − β T XT (Y − Xβ) T = YT Y − β T XT Y − β T XT Y + β T XT Xβ mengingat β T XT Y adalah matriks 1×1, maka identik dengan trasposnya dan persamaan di atas menjadi Q = YT Y − 2β T XT Y + β T XT Xβ. Maka ∂Q = 0 − 2XT Y + 2XT Xβ ∂β = 2 XT Xβ − XT Y = −2 XT Y − XT Xβ = −2XT (Y − Xβ) , dan ∂2Q = 2XT X. T ∂β ∂β



72

Contoh 2.23. Misalkan X, Y dan β adalah matriks-matriks sedemikian sehingga Q = (Y − Xβ)T V−1 (Y − Xβ) adalah suatu bentuk kuadrat (matriks 1 × 1), dengan V adalah matriks simetrik. Tunjukkan bahwa ∂Q = −2XT V−1 (Y − Xβ) , dan ∂β ∂2Q = 2XT V−1 X. ∂β T ∂β

2.6

Aplikasi R untuk Operasi Matriks

Untuk aplikasi R tentang matriks dan operasinya, selain menggunakan beberapa fungsi yang telah didefinisikan secara internal, pembaca dapat juga mencari paket/library yang berkaitan dengan matriks. Beberapafungsi R terkait matriks diberikan pada Tabel 2.1

2.6.1

Mendefinisikan matriks

Matriks dapat didefinisikan dengan beberapa cara yaitu: 1. memberikan data elemen matriks (c(a11, a21, a31, ..., a21, a22, ...) yang selanjutnya disusun dalam bentuk baris dan kolom. Ingat bahwa R akan melengkapi seluruh baris kolom 1 baru melengkapi kolom 2 dan seterusnya. >x<-seq(1,10,1) >xmat<-matrix(x,2,5)


2.6. APLIKASI R UNTUK OPERASI MATRIKS

No 1 2

3 4 5 6

73

Tabel 2.1: Fungsi R terkait matriks perintah R Keterangan matrix(c,b,k) menyusun matriks berordo b × k diag(M) menyusun matriks diagonal, atau mengambildiagonal dari matriks bujur sangkar t(M) transpos matriks M A*B perkalian unsur-unsur pada baris dan kolom yang bersesuaian A%*%B perkalian dua matriks yang konformabel solve(M) menghitung inverse matriks M

>ymat<-matrix(x,5,2) >xmat [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] 1 3 5 7 9 [2,] 2 4 6 8 10 > ymat [,1] [,2] [1,] 1 6 [2,] 2 7 [3,] 3 8 [4,] 4 9 [5,] 5 10

2. menjadikan matriks data yang sudah tersusun dalam bentuk baris dan kolom dengan perintah as.matrix(). Untuk matriks berukuran besar, mungkin tidak praktis mencetak seluruh el-


74


emennya, tetapi kita bisa memeriksa dimensi/ordonya dengan dim(). Pada contoh berikut data kecepatan dan jarak tempuh mobil yang berupa tabel dengan 50 baris dan 2 kolom didefinisikan menjadi matriks berordo 50 ×2. >data(cars) >x<-as.matrix(cars) >dim(x) [1] 50 2 >amat<-x%*%t(x) >bmat<-t(x)%*%x >dim(amat) [1] 50 50 >dim(bmat) [1] 2 2 3. beberapa matriks didefinisikan secara khusus diantaranya adalah (a) matriks dengan elemen yang sama, misalnya k dengan ordo m × n. >matrix(0,2,3) [,1] [,2] [,3] [1,] 0 0 0 [2,] 0 0 0 >matrix(1,2,3) [,1] [,2] [,3] [1,] 1 1 1 [2,] 1 1 1



75

>matrix(5,2,3) [,1] [,2] [,3] [1,] 5 5 5 [2,] 5 5 5

(b) matriks diagonal atau matriks identitas. > diag(1,3) [,1] [,2] [,3] [1,] 1 0 0 [2,] 0 1 0 [3,] 0 0 1 > diag(2,3) [,1] [,2] [,3] [1,] 2 0 0 [2,] 0 2 0 [3,] 0 0 2 >diag(c(1,2,3,4,5)) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] 1 0 0 0 0 [2,] 0 2 0 0 0 [3,] 0 0 3 0 0 [4,] 0 0 0 4 0 [5,] 0 0 0 0 5 Sebaliknya jika diag() dilakukan pada matrik bujur sangkar, maka fungsi ini akan mengekstrak diagonal matriks tersebut. > diag(bmat)



76

speed dist 13228 124903

2.6.2

Operasi Matriks dengan R

Beberapa operasi matriks yang dapat dilakukan yang terkait dengan kebutuhan statistika diantaranya adalah perkalian matriks, determinan ((det()) invers dan transpose matriks. xmat%*%ymat [,1] [,2] [1,] 95 220 [2,] 110 260 > ymat%*%xmat [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] 13 27 41 55 69 [2,] 16 34 52 70 88 [3,] 19 41 63 85 107 [4,] 22 48 74 100 126 [5,] 25 55 85 115 145 >det(xmat%*%ymat) [1] 500 > solve(xmat%*%ymat) [,1] [,2] [1,] 0.52 -0.44 [2,] -0.22 0.19 > det(ymat%*%xmat)



77

[1] 0 > solve(ymat%*%xmat) #tes walau kita tahu det=0. Error in ... system is exactly singular Untukmatriks yang berordo sama, ada kalanya diperlukan hasil perkalian dari unsur-unsur seletak. Pada R perkalian ini dinotasikan dengan A*B. Berikut adalah contoh perkalian tersebut. > A.mat<-matrix(c(2,3,4,1),2,2) > B.mat<-matrix(c(1,3,2,5),2,2) > A.mat [,1] [,2] [1,] 2 4 [2,] 3 1 > B.mat [,1] [,2] [1,] 1 2 [2,] 3 5 > A.mat*B.mat [,1] [,2] [1,] 2 8 [2,] 9 5 > B.mat*A.mat [,1] [,2] [1,] 2 8 [2,] 9 5 Jadi perkalian tersebut di atas bersifat komutatif (A* B=B*A). Akan tetapi, tidak demikian halnya dengan perkalian umum matriks,



78

seperti pada contoh berikut, yang pada umumnya A%*% B = B%*% A > B.mat%*%A.mat [,1] [,2] [1,] 8 6 [2,] 21 17 > A.mat%*%B.mat [,1] [,2] [1,] 14 24 [2,] 6 11 Berikut adalah matriks pada Contoh 2.15 yang dihitung dengan R. > A<-matrix(c(1,-1,2,2),2,2) > print(A) [,1] [,2] [1,] 1 2 [2,] -1 2 > solve(A) [,1] [,2] [1,] 0.50 -0.50 [2,] 0.25 0.25

2.7

Bacaan Lebih Lanjut

Referensi umum mengenai matriks dapat dijumpai pada buku-buku teks tentang matriks atau aljabar linier. Namun tidak banyak referensi yang membahas turunan matriks/ vektor terutama yang terkait


2.8. RINGKASAN

79

dengan statistika. Pembahasan dalam bab ini, terutama mengenai aplikasi matriks dalam statistika, dapat dijumpai pada Timm (1975, Bab 1), Searle (1982), Harville (1997), dan Neter et al. (1985).

2.8

Ringkasan

Beberapa halpenting terkait matriks perlu dipahamidenganbaik diantaraya seperti berikut ini. 1. Matriks adalah kumpulan unsur yang disusun dalam baris dan kolum sehingga membentuk persegi panjang. 2. Operasi matriks ada yang bersifat uner (negatif dan transpos) dan bersifat biner(penjumlahan dan perkalian). 3. Matriks yang dapat dilakukan operasi tertentu dikatakan konformabel untuk operasi tersebut. 4. Operasi penjumlahan bersifat asosiatif, memiliki identitas 0, memiliki invers, dan komutatif. 5. Operasi perkalian secara umum memehuhi sifat asosiatif, matriks bujur sangkar memiliki identitas, beberapa diantaranya memiliki invers. 6. Suatu kolom dari matriks A dikatakan bergantung linier dengan kolom-kolom lainnya jika dia dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari kolom-kolom lainnya tersebut. 7. suatu matriks bujur sangkar dikatakan memiliki rank penuh jika semua kolomnya bebas(tidak bergantung) linier dengan kolom lainnya.



80

8. Matriks bujursangkar yang memiliki invers disebut matriks nonsinguler, matriks ini memiliki rank penuh dan determinan tidak nol. 9. Bentuk yT Ay dengan ymatriks peubah, dan A matriks konstanta, disebut matriks bentuk kuadrat.

2.9

Latihan Soal-soal

Kerjakan soal-soal berikut secara sendir atau berkelompok. 1. Sebutkan definisi matriks berikut dan beri masing- masing satu (1) contoh. (a) Matriks diagonal (b) Matriks skalar (c) Matriks simetrik (d) Matriks nonsinguler. 2. Buatlah dua buah matriks (A, B), masing- masing berordo 2×2 , selanjutnya hitung (a) AB (b) BA (c) A−1 3. Selidiki apakah matriks-matriks berikut mempunyai rank kolom lengkap atau tidak. ⎞ ⎛ 1 2 4 ⎜3 3 6 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ (a) A = ⎜2 4 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝5 5 3 ⎠ 6 2 −1 ANALISIS REGRESI DENGAN R (ANRER)

2.9.

LATIHAN SOAL-SOAL

⎛

1 ⎜5 ⎜ ⎜ (b) B = ⎜2 ⎜ ⎝6 3 ⎛ 3 ⎜1 ⎜ ⎜ (c) C = ⎜5 ⎜ ⎝6 2

81

⎞ 2 4 1 5 3 0⎟ ⎟ ⎟ 4 1 2⎟ ⎟ 2 −1 −4⎠ 3 6 0 3 6 3 2 4 1 5 3 0 2 −1 4 4 1 2

4. Diketahui

dan

⎞ 3 −1 1 1⎟ ⎟ ⎟ 0 1⎟ ⎟ 3 5⎠ 5 10

⎞ 1 2 4 ⎟ ⎜ A = ⎝2 3 6 ⎠ 4 6 1 ⎛

⎛ ⎞ x ⎜ ⎟ x = ⎝y ⎠ z

Tentukan (a) Q = XT AX (b)

∂Q ∂x

(c)

∂2Q ∂xT ∂x

baik dengan cara menurunkan unsur-unsurnya maupun dengan cara keseluruhan dengan cara matriks.



82

5. Diketahui

⎞ 3 2 4 ⎟ ⎜ A = ⎝2 3 5⎠ . 4 6 1 ⎛

Definisikan A pada R, selanjutnya tentukan: (a) AT (b) AT A (c) AAT −1 (d) AAT −1 (e) AT A


BAB 2 ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA

Recommend Documents