ALJABAR LINEAR ELEMENTER

BAHAN AJAR

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana

Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada

Desember, 2012

ii

Daftar Isi

1 Sistem Persamaan Linear dan Matriks 1.1

1.2

1.3

1

Sistem Persamaan Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1

Pengertian Sistem Persamaan Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2

Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Sistem Homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Matriks dan Operasi Matriks

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1

Pengertian Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Operasi Penjumlahan Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.3

Perkalian Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.4

Transpos Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Perkalian Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1

Operasi Perkalian Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2

Sifat-sifat Operasi Perkalian Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 iii

iv

DAFTAR ISI 1.4

1.5

Matriks Invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1

Matriks Invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2

Sifat-sifat Matriks Invers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Penilaian Penguasaan Materi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Determinan

25

2.1

Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2

Determinan Matriks Bujursangkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3

Sifat-Sifat Determinan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4

Beberapa Aplikasi Determinan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5

2.4.1

Perhitungan Invers Matriks: Rumus Adjoint . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.2

Perhitungan Solusi Sistem Persamaan Linear . . . . . . . . . . . . . . 36


3 Ruang Vektor R2 dan R3

43

3.1

Vektor dan Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2

Norma dan Jarak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3

Hasil Kali Titik di R2 dan R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4

Sudut Antara Dua Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5

Hasil Kali Silang di R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

DAFTAR ISI

v

3.6

Generalisasi ke Rn

3.7

Basis dan Dimensi di Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.8


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Transformasi Linear

65

4.1

Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2

Transformasi Linear dari Rn ke Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3

Ruang Nol, Ruang Baris dan Ruang Kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4

Matriks Representasi Transformasi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.5

Beberapa Jenis Transformasi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.6


5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

81

5.1

Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2

Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Ruang Eigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.3

Contoh Kegunaan Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Ruang Eigen . . . . . . . . 85

5.4


Bab 1 Sistem Persamaan Linear dan Matriks Dalam bab ini termuat dua Pokok Bahasan yaitu Sistem Persamaan Linear dan Matriks, dengan masing-masing Sub-pokok Bahasan sebagai berikut : 1. Sistem Persamaan Linear: (a.) Pengertian Sistem Persamaan Linear (SPL). (b.) Contoh pemodelan menggunakan SPL. (c.) Operasi baris elementer (OBE) dan bentuk eselon baris tereduksi. (d.) Eliminasi Gauss-Jordan sebagai cara mencari penyelesaian SPL. 2. Matriks : (a.) Pengertian matriks, jenis-jenis matriks dan komponen suatu matriks. (b.) Matriks elementer dan sifatnya. (c.) Operasi-operasi matriks dan sifat-sifatnya. Materi-materi dalam bab ini disampaikan dalam 4 minggu perkuliahan. 1

2

BAB 1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

1.1 1.1.1

Sistem Persamaan Linier Pengertian Sistem Persamaan Linier

Seperti sudah diketahui, persamaan 2y + x = 3 dapat digambarkan sebagai garis lurus pada bidang datar. Jika diberikan dua persamaan berikut : 2y + x = 3

(1.1)

−y + 3x = 6,

(1.2)

maka untuk mencari penyelesaiannya secara geometris dapat dilakukan dengan cara mencari titik perpotongan dua garis tersebut. Faktanya, titik perpotongan tersebut tidak selalu ada, karena dua garis tersebut mungkin saja paralel. Atau bisa terjadi titik potongnya ada sebanyak tak hingga banyak karena dua garis tersebut berimpit. Kemungkinan ketiga adalah titik potongnya tunggal, yaitu jika kedua garis tersebut berpotongan tepat di satu titik. Persamaan linier secara umum mempunyai bentuk a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b,

(1.3)

dengan ai dan b adalah bilangan-bilangan real, i = 1, 2, . . . , n. Dalam persaman linear (1.1.1) termuat n buah variabel yaitu x1 , x2 , . . . , xn . Yang dimaksud penyelesaian persamaan linear dengan n variabel adalah bilangan-bilangan real x1 = r1 , x2 = r2 , . . . , xn = rn yang memenuhi persamaan linier tersebut. Sistem persamaan linier adalah koleksi sebanyak berhingga persamaan-persamaan linier. Bentuk umum sistem persamaan linier dengan m persamaan dan n variabel adalah sebagai berikut : a11 x1 a21 x1

+a12 x2 +a22 x2

+··· +···

am1 x1 +am2 x2 + · · ·

+a1n xn +a2n xn

= b1 = b2 .. .

+amn xn = bm

(1.4)

1.1. SISTEM PERSAMAAN LINIER

3

Yang dimaksud penyelesaian sistem persamaan linear dengan n variabel adalah bilanganbilangan real x1 = r1 , x2 = r2 , . . . , xn = rn yang memenuhi semua persamaan linier dalam sistem persamaan linier tersebut. Sistem persamaan linier (1.1.1) mempunyai matriks yang bersesuaian yang disebut matriks yang diperluas atau augmented matrixsebagai berikut  a11 a12 · · · a1n |  a21 a22 · · · a2n |  [A|b] =  ..  . am1 am2 · · · amn |

:

 b1 b2   .  bm

Contoh 1.1.1 Dua persamaan dalam (1.1) merupakan contoh sistem persamaan linier. Penyelesaian sistem persamaan (1.1) adalah x =, y =

Contoh 1.1.2 Carilah penyelesaian sistem persamaan linear dengan 3 persamaan dan 3 variabel berikut ini :

x

−z = 2 −y +2z = −2 −x +y = 1.

Dengan menggunakan substitusi variabel x = 2 + z ke dalam persamaan ketiga diperoleh y − z = 3, sehingga sistem persamaan tersebut tereduksi menjadi : −y +2z = −2 y −z = 3. Dengan menjumlahkan kedua persamaan tersebut diperoleh z = 1. Selanjutnya dengan substitusi pada persamaan-persamaan linier tersebut diperoleh nilai x = 3 dan y = 4. Jadi penyelesaian yang dicari adalah x = 3, y = 4 dan z = 1.

Contoh 1.1.3 Dengan cara yang sama seperti Contoh (1.1.2) dapat dicari penyelesaian sistem persamaan linear berikut ini: x1 −2x2 +3x3 +x4 = −3 2x1 −x2 +3x3 −x4 = 0.

4


Perhatikan langkah-langkah yang dilakukan untuk mencari penyelesaian yang dimaksud. Berikut ini sistem persamaan linier tersebut disajikan bersamaan dengan matriks yang diperluas. ·

x1 −2x2 +3x3 +x4 = −3 2x1 −x2 +3x3 −x4 = 0

1 −2 3 1 | −3 2 −1 3 −1 | 0

¸

Pertama-tama variabel x1 dieliminasi dari persamaan kedua dengan cara mengurangi persamaan tersebut dengan 2 kali persamaan pertama. Hasilnya adalah sebagai berikut: · ¸ x1 −2x2 +3x3 +x4 = −3 1 −2 3 1 | −3 . 3x2 −3x3 −3x4 = 6 0 3 −3 −3 | 6 Selanjutnya persamaan kedua dikalikan dengan x1 −2x2 +3x3 +x4 = −3 x2 −x3 −x4 = 2

1 3

·

sehingga diperoleh: 1 −2 3 1 | −3 0 1 −1 −1 | 2

¸ .

Dengan demikian variabel x2 pada persamaan pertama bisa dieliminasi dengan cara menambah persamaan pertama dengan 2 kali persamaan kedua. · ¸ 1 0 1 −1 | 1 x1 +x3 −x4 = 1 . 0 1 −1 −1 | 2 x2 −x3 −x4 = 2 Sistem terakhir yang diperoleh bisa dengan mudah dicari penyelesaiannya. Dengan menagmbil x3 dan x4 bilangan-bilangan real sebarang, misalnya r dan s berturut-turut, maka x1 dan x2 dapat ditentukan : x1 = 1 − r + s, x2 = 2 + r + t.

Dalam Contoh 1.1.2 sistem persamaan linier tersebut mempunyai tak berhingga banyak penyelesaian. Variabel-variabel x3 dan x4 disebut variabel bebas, sedangkan x1 dan x2 disebut variabel tak bebas.

1.1.2

Eliminasi Gauss

Perhatikan bahwa langkah-langkah dalam Contoh (1.1.2) pada dasarnya dapat dibedakan menjadi 3 macam :

1.1. SISTEM PERSAMAAN LINIER

5

1. menukar letak dua persamaan; 2. mengalikan suatu persamaan dengan skalar tak nol; 3. menambah suatu persamaan dengan kelipatan persamaan yang lain. Langkah-langkah tersebut berpengaruh pada matriks yang diperluas [A|b] yang selanjutnya dikenal dengan sebutan operasi baris elementer yang dibagi menjadi 3 : 1. menukar letak dua baris; 2. mengalikan suatu baris dengan skalar tak nol; 3. menambah suatu baris dengan kelipatan baris yang lain. Operasi-operasi baris elementer tersebut mempunyai tujuan membawa matriks yang diperluas menjadi matriks dengan bentuk lebih sederhana, atau lebih tepatnya dibawa ke bentuk eselon baris tereduksi . Suatu matriks dikatakan mempunyai bentuk eselon baris treduksi jika memiliki ciri-ciri sebagai berikut: 1. jika ada baris yang terdiri dari nol semua, maka baris tersebut diletakkan pada baris yang paling bawah; 2. entri tak nol pertama dari kiri adalah 1 dan disebut 1 utama; 3. untuk baris yang lebih bawah, letak 1 utama berada lebih ke kanan daripada baris yang lebih atas. Contoh matriks dengan bentuk eselon baris diberikan sebagai berkut:   · ¸ · ¸ 1 2 0 0 1 0 1 −1 1 1 −2 ,  0 1 −1 −1  , . 0 1 −1 −1 2 0 1 0 0 0 0 Proses menghasilkan bentuk eselon baris ini disebut eliminasi Gauss. Selanjutnya untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linier digunakan eliminasi Gauss ini. Jika kolom yang memuat 1-utama entrinya semua nol kecuali 1-utama maka matriks tersebut disebut bentuk eselon baris tereduksi dan prosesnya disebut eliminasi Gauss-Jordan.

6


Contoh 1.1.4 Sistem persamaan linier di bawah ini akan dicari penyelesaiannya menggunakan eliminasi Gauss.

x1 +x2 −x3 = 1 3x1 −x2 +x3 = 0 x1 −3x2 +3x3 = −2

Operasi baris elementer yang diterapkan pada matriks yang diperluas adalah sebagai berikut:       1 1 −1 | 1 1 1 −1 | 1 1 1 −1 | 1  3 −1 1 | 0  →  0 −4 4 | −3  →  0 −4 4 | −3  1 −3 3 | −2 0 −4 4 | −3 0 0 0 | 0     1 0 0 | 41 1 1 −1 | 1 →  0 1 −1 | 34  →  0 1 −1 | 43  . 0 0 0 | 0 0 0 0 | 0 Dengan demikian sistem persamaan linier tersebut mempunyai 1 variabel bebas yaitu x3 . Penyelesaiannya adalah 1 3 x1 = , x2 = + t, x3 = t. 4 4 Berikut adalah contoh sistem persamaan linier yang tidak mempunyai penyelesaian.

1.1.3

Sistem Homogen

Sistem persamaan linier disebut homogen jika suku yang memuat konstanta adalah nol. Jadi sistem persamaan yang terbentuk menjadi demikian: a11 x1 a21 x1

+a12 x2 +a22 x2

+··· +···

am1 x1 +am2 x2 + · · ·

+a1n xn +a2n xn

= 0 = 0 .. .

(1.5)

+amn xn = 0

Karena suku konstantanya nol semua, maka sistem persamaan linier homogen ini selalu mempunyai penyelesaian, yaitu x1 = x2 = · · · = xn = 0. Pertanyaannya adalah apakah sistem persamaan tersebut juga mempunyai penyelesaian tak nol. Untuk menjawab pertanyaan ini, metode mencari penyelesaian sistem persamaan non homogen bisa tetap diterapkan.

1.2. MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS

7

Contoh 1.1.5 Carilah penyelesaian sistem persamaan linier homogen berikut ini : x1 +2x2 +x3 −x4 +3x5 = 0 x1 +2x2 +2x3 +x4 +2x5 = 0 2x1 +4x2 +2x3 −x4 +7x5 = 0 Proses Eliminasi Gauss-Jordan bisa diterapkan dalam sistem persamaan ini. Berikut adalah langkah-langkahnya.       1 2 0 −3 4 | 0 1 2 1 −1 3 | 0 1 2 1 −1 3 | 0  1 2 2 2 −1 | 0  2 −1 | 0  →  0 0 1 1 2 | 0 → 0 0 1 0 0 0 1 1 | 0 0 0 0 1 1 | 0 2 4 2 −1 7 | 0 

 1 2 0 0 7 | 0 →  0 0 1 0 −3 | 0  . 0 0 0 1 1 | 0 Dari bentuk eselon baris tereduksi yang dihasilkan, diperoleh x1 +2x2 x3 x4

+7x5 = 0 −3x5 = 0 +x5 = 0

Dengan mengambil x2 = t dan x5 = r, maka diperoleh sistem persamaan linier homogen tersebut mempunyai penyelesaian tak nol juga. Lengkapnya, penyelesaian yang dicari adalah: x1 = −2t − 7r, x2 = t, x3 = 3r, x4 = −r, x5 = r.

1.2 1.2.1

Matriks dan Operasi Matriks Pengertian Matriks

Matriks adalah sekumpulan angka, yang menyatakan bilangan-bilangan real, yang disusun menyerupai persegi panjang. Contoh matriks-matriks adalah sebagai berikut :  5    −10 1 6 2 2 −3 0  0 £ ¤ 0  ,C = 0 0 0 0 0  0 4 −1 5  , B =  A=  −12 15  −2 1 − 13 7 1 −1

8


Komponen yang penting dalam sebuah matriks adalah banyaknya baris dan banyaknya kolom. Jika A melambangkan suatu matriks dan matriks tersebut mempunyai baris sebanyak m dan kolom sebanyak n, maka matriks A tersebut dikatakan mempunyai ukuran atau order m × n. Dari contoh di atas, matriks A mempunyai ukuran 3 × 4, matriks B mempunyai ukuran 4 × 2 dan matriks C mempunyai ukuran 1 × 5. Matriks A selanjutnya bisa dinyatakan secara lebih rinci dengan mendata anggotaanggotanya sebagai berikut : A = [aij ] dengan i = 1, 2, . . . , m dan j = 1, 2, . . . , n. Adapun m menyatakan banyaknya baris dan n menyatakan banyaknya kolom.

Contoh 1.2.1 Diberikan matriks A yang berukuran 3 × 3 berikut ini :   1 2 −3 A =  4 8 −1  , −2 1 −3 maka a11 = 1, a23 = −1 dan a31 = −2.

Yang dimaksud dengan matriks nol adalah matriks yang semua entrinya adalah 0, antara lain

1.2.2

 0 0 0 0  0  £ ¤  0 0 0 0 , 0 0 0 ,  0  , [0], 0 0 0 0 





Operasi Penjumlahan Matriks

Dua buah matriks dapat dioperasikan dengan cara menjumlahkan keduanya. Syarat agar penjumlahan ini dapat dilakukan adalah ukuran matriks-matriks tersebut harus sama. Lebih jelasnya diberikan dalam definisi berikut ini.


9

Definisi 1.2.2 Jika diberikan matriks-matriks A = [aij ] dan B = [bij ] yang masing-masing berukuran m × n, maka A + B = [aij + bij ]. Hasil jumlahan dua matriks berukuran m×n tersebut berupa matriks berukuran m×n dengan entri-entrinya merupakan penjumlahan entri-entri matriks A dan B yang bersesuaian. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut. Contoh 1.2.3 Diberikan matriks-matriks A dan B yang masing-masing berukuran 4 × 2 · ¸ · ¸ 0 1 2 −3 4 −2 1 −3 A= ,B = . 4 −2 1 −3 3 −4 8 −1 Hasil jumlahan A dan B adalah · ¸ · ¸ 0+4 1 + (−2) 2 + 1 −3 + (−3) 4 −1 3 −6 A+B = = . 4 + 3 −2 + (−4) 1 + 8 −3 + (−1) 7 −6 9 −4 Dari suatu matriks A = [aij ] dapat dibentuk −A = [−aij ], Untuk A seperti pada Contoh (1.2.3) diperoleh · ¸ 0 −1 −2 3 −A = −4 2 −1 3 Karena penjumlahan matriks melibatkan penjumlahan bilangan-bilangan real pada masingmasing entrinya, maka sifat-sifat operasi penjumlahan matriks juga dipengaruhi sifat-sifat operasi penjumlahan bilangan real. Proposisi 1.2.4 Jika A, B dan C adalah matriks-matriks yang ukurannya sama, maka berlaku : (a.) A + B = B + A; (b.) (A + B) + C = A + (B + C); (c.) 0 + A = A + 0 = A; (d.) A + (−A) = 0.

10


1.2.3

Perkalian Skalar

Selain penjumlahan dua matriks, dikenal juga operasi antara skalar dengan matriks yang definisinya sebagai berikut :

Definisi 1.2.5 Jika diberikan matriks-matriks A = [aij ] berukuran m × n dan bilangan real k, maka kA = [kaij ].

Dengan kata lain, hasil kali matriks A dan skalar k berupa matriks yang entri-entrinya k-kali entri-entri matriks A. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Contoh 1.2.6 Diberikan skalar k = 2 dan matriks A sebagai berikut :   8 −2 −1 0 0 10 −12  . A= 2 4 −1 3 −6 Hasil kali A dan k adalah     2.8 2.(−2) 2.(−1) 2.0 16 −4 −2 0 2.0 2.10 2.(−12)  =  4 0 20 −24  . kA = 2A =  2.2 2.4 2.(−1) 2.3 2.(−6) 8 −2 6 −12 Untuk operasi perkalian matriks dan skalar ini diperoleh sifat-sifat sebagai berikut :

Proposisi 1.2.7 Diberikan matriks A dan B yang berukuran sama, k dan h adalah bilanganbilangan real. Pernyataan berikut berlaku : (a.) k(A + B) = kA + kB; (b.) (k + h)A = kA + hA; (c.) k(hA) = (kh)A; (d.) 1A = A.


1.2.4

11

Transpos Matriks

Jika diberikan A yaitu matriks berukuran m × n, maka dapat diperoleh matriks lain, sebut saja B, yang berukuran n × m dengan cara merubah baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i matriks B. Matriks B ini dinamakan transpos matriks A, yang dinotasikan dengan At . Jadi jika A = [aij ], maka At = [aji ].

Contoh 1.2.8 Diberikan matriks A berikut ini   6 −4 1 0 7 22 20  . A= 5 −7 2 11 13 Transpos matriks tersebut adalah 

 6 5 −7  −4 7 2   At =   1 22 11  . 0 20 13

Selanjutnya diberikan sifat-sifat yang diperoleh dari suatu transpos matriks terhadap operasioperasi yang lain, yaitu jumlahan dan perkalian dengan skalar.

Proposisi 1.2.9 Misalkan A dan B adalah matriks-matriks yang ukurannya sama, k adalah suatu bilangan real. Pernyataan-pernyataan berikut berlaku : (a.) (At )t = A; (b.) (A + B)t = At + B t ; (c.) (kA)t = kAt .

12


1.3 1.3.1

Perkalian Matriks Operasi Perkalian Matriks

Jika suatu matriks mempunyai ukuran khusus yaitu m × 1 atau 1 × n, maka disebut vektor . Matriks dengan ukuran m × 1

    

x1 x2 .. .

    

xm disebut vektor kolom, sedangkan matriks dengan ukuran 1 × n £

x1 x2 . . . x n

¤

disebut vektor baris. Definisi-definisi tersebut akan digunakan untuk membahas operasi perkalian dua buah matriks dalam bagian ini. Diberikan matriks A = [aij ] dengan ukuran m × n dan matriks B = [bij ] dengan ukuran n × p. Hasil kali matriks A dan B adalah AB = [cij ], dengan cij =

n X

aik bkj .

k=1

Perhatikan bahwa cij merupakan hasil kali entri-entri baris ke-i matriks A dan kolom kej matriks B. Dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Untuk lebih jelasnya oerhatikan contoh berikut. Diberikan matriks-matriks :   0 1 9    1 0 −3  1 2 0 3 7      1  0 −3 , B =  0 −4 A = 5 −3 1 ,  3 1 −5  0 1 0 −4 1 8 6 −3

1.3. PERKALIAN MATRIKS

13

Akan dihitung hasil kali baris-baris di A dan kolom-kolom di B. Sebagai contoh, akan dihitung hasil kali vektor baris ke-2 dari matriks A dan vektor kolom ke-3 dari matriks B, yang nantinya akan menjadi entri baris ke-2 dan kolom ke-3 dari matriks AB.   9   £ ¤  −3   5 −3 1 0 −3  c23 =  1   −5  −3 = 5.9 + (−3)(−3) + 1.1 + 0.(−5) + (−3)(−3) = 45 + 9 + 1 + 0 + 9 = 64. Langkah-langkah tersebut dilakukan terus terhadap semua vektor-vektor baris matriks A dan vektor-vektor kolom matriks B, sehingga diperoleh hasil:   1 2 0 AB =  5 −3 1  0 1 0

1.3.2

Sifat-sifat Operasi Perkalian Matriks

Terkait dengan perkalian matriks, terdapat matriks khusus yang disebut matriks identitas, sebagai berikut : 





1 ¸ · 1 0 0  0 1 0 , I4 =  I3 =  0 1 0  , I2 =  0 0 1 0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

 0 0   0  1

Berikut adalah sifat-sifat perkalian matriks yang dikaitkan dengan operasi-operasi yang lain, misalnya penjumlahan, perkalian dengan skalar dan transpos.

Proposisi 1.3.1 Diberikan matriks A, B dan C dengan ukuran sedemikian sehingga berlaku operasi-operasi penjumlahan dan perkalian, k adalah skalar. Pernyataan-pernyataan berikut berlaku: (a.) IA = A dan BI = B;

14

BAB 1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS (b.) (AB)C = A(BC); (c.) A(B + C) = AB + AC; (d.) (B + C)A = BA + CA; (e.) k(AB) = (kA)B = A(kB); (f.) (AB)t = B t At ; (g.) Jika AB = I dan CA = I, maka B = C.

Setelah dipelajari pada matriks=matriks bisa dilakukan operasi perkalian, sekarang akan ditinjau keterkaitannya dengan sistem persamaan linier. Perhatikan kembali persamaan 1.1.1. Sistem persamaan tersebut dapat dipandang sebagai perkalian matriksmatriks berikut:

    

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

··· ··· .. .

a1n a2n .. .

am1 am2 · · ·

amn

    

x1 x2 .. .





    =  

xn

b1 b2 .. .

    

bm

atau secara ringkas dapat dinotasikan sebagai Ax = b dengan

   A= 

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

··· ··· .. .

a1n a2n .. .

am1 am2 · · ·

amn





    ,x =   

x1 x2 .. . xn





    ,b =   

b1 b2 .. .

   . 

bm

Matriks A disebut matriks koefisien,matriks x disebut matriks variabeldan matriks b disebut matriks konstanta. Perlu diingat kembali bahwa cara mencari penyelesaian suatu sistem persamaan linear adalah menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan. Operasi baris elementer juga dapat dilakukan pada matriks identitas. Misalnya menukar letak dua buah baris:     1 0 0 0 0 1 I3 =  0 1 0  →  0 1 0  = E. 0 0 1 1 0 0

1.4. MATRIKS INVERS

15

Matriks yang dihasilkan dari operasi baris elementer pada matriks identitas disebut matriks elementer, dengan notasi E. Contoh  2  0 0

matriks elementer yang lain adalah :    0 0 1 0 0 1 0 , 0 1 3  0 1 0 0 1

Pada saat dilakukan suatu operasi baris elementer pada sebuah matriks, hal ini juga berarti matriks tersebut dikalikan dari kiri dengan suatu matriks elementer dari operasi baris elementer yang bersesuaian. Jika pada matriks A berikut dilakukan operasi baris elementer yaitu baris pertama ditukar letaknya dengan baris ketiga, maka diperoleh matriks A0 di bawah ini:     −2 3 7 5 0 2 A =  0 3 −4  →  0 3 −4  = A0 . 5 0 2 −2 3 7 Matriks A0 juga dapat diperoleh dengan cara   0 0 1 5 A0 = EA =  0 1 0   0 1 0 0 −2

:

   0 2 −2 3 7 3 −4  =  0 3 −4  . 3 7 5 0 2

Dengan demikian sejumlah berhingga operasi baris elementer yang diterapkan pada suatu matriks sama artinya dengan mengalikan sebanyak berhingga matriks-matriks elementer yang bersesuaian dengan matriks tersebut. Jika bentuk yang dicari adalah bentuk eselon baris tereduksi B dari matriks A, maka dapat diilustrasikan sebagai berikut: B = Ek Ek−1 . . . E2 E1 A.

1.4 1.4.1

Matriks Invers Matriks Invers

Diberikan matriks bujursangkar A yang berukuran n × n. Jika terdapat matriks bujursangkar C sehingga AC = CA = I, maka C disebut invers matriks A.

16


Contoh 1.4.1 Matriks berikut

·

¸

3 −7 −2 5

A=

mempunyai invers karena dapat ditemukan matriks · ¸ 5 7 C= 2 3 sehingga

· AC =

3 −7 −2 5

¸·

¸

5 7 2 3

· =

¸

1 0 0 1

Tetapi pada umumnya tidak setiap matriks bujursangkar mempunyai invers. Berikut adalah contoh matriks yang tidak mempunyai invers.

Contoh 1.4.2 Akan dibuktikan matriks berikut tidak mempunyai invers: · ¸ 2 1 A= . 0 0 Andaikan terdapat matriks

· C=

sehingga

· AC =

maka dipenuhi

·

2 1 0 0

¸·

a b c d

a b c d

2a + c 2b + d 0 0

¸

¸

¸

· = ·

=

1 0 0 1

1 0 0 1

¸ ,

¸ .

Hal ini menyebabkan kontradiksi karena pada entri baris ke-2 kolom ke-2 dari AC tidak sama dengan 1.

Selanjutnya akan dibahas cara mencari invers suatu matriks bujursangkar. Jika diberikan matriks bujursangkar A berukuran n×n, maka dengan menerapkan operasi baris elementer sebanyak berhingga akan dicapai bentuk eselon baris tereduksi. Hal tersebut digambarkan sebagai berikut: A → E1 A → E2 E1 A → · · · → Ek Ek−1 . . . E1 A.

1.4. MATRIKS INVERS

17

Jika bentuk eselon tereduksi matriks A, yaitu perkalian matriks yang paling kanan, berupa matriks identitas, maka artinya: Ek Ek−1 . . . E1 A = In . Namakan U = Ek Ek−1 . . . E1 , sehingga U A = In , yang berarti U adalah invers matriks A. Secara teknis, langkah pertama untuk mencari invers matriks A adalah dibentuk matriks berikut [ A | In ] dengan In adalah matriks identitas. Selanjutnya jika dengan beberapa langkah operasi baris elementer diperoleh : [ In | A−1 ], maka invers matriks A bisa ditemukan. Contoh 1.4.3 Akan dicari invers matriks berikut:   1 1 0 1  −1 0 1 −1   .  5 7 3 5  2 5 6 1    1 1 0 1 | 1 0 0 0 1 1  −1 0 1 −1 | 0 1 0 0   0 1   →   5 7 3  0 2 5 | 0 0 1 0  2 5 6 1 | 0 0 0 1 0 3    1 0 −1 1 | 0 −1 0 0 1 0  0 1   1 0 | 1 1 0 0  0 1 → →   0 0  0 0 1 0 | −7 −2 1 0  0 0 3 −2 | −5 −3 0 1 0 0    1 0 1 0 0 1 | −7 −3 1 0    0 1 0 0 | 8 3 −1 0  0 1 →  →    0 0 1 0 | −7 −2 1 0 0 0 3 1 − 0 0 0 1 | −8 − 23 0 0 2 2 Jadi invers matriks yang dicari adalah  1 1 − 32 − 12 2  8 3 −1 0   −7 −2 1 0 3 3 − 12 −8 − 2 2

  . 

| 1 0 | 1 1 | −5 0 | −2 0

0 1 0 0 1 0 0 −2

| −7 −3 1 | 8 3 −1 | −7 −2 1 | 16 3 −3

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 1 0

 0 0   0  1

0 1 1 0 3 0 6 −2

 0 0   0  1  1

| 1 − 23 − 12 2 | 8 3 −1 0  . | −7 −2 1 0  3 − 21 | −8 − 32 2

18


1.4.2

Sifat-sifat Matriks Invers

Sifat-sifat invers suatu matriks diberikan dalam proposisi berikut ini.

Proposisi 1.4.4 Pernyataan-pernyataan berikut berlaku: (a.) Jika A mempunyai invers, maka A−1 juga mempunyai invers; (b.) Jika A dan B masing-masing mempunyai invers, maka AB juga mempunyai invers dan (AB)−1 = B −1 A−1 ; (c.) Jika A mempunyai invers, maka At juga mempunyai inversdan (At )−1 = (A−1 )t .

1.5

Penilaian Penguasaan Materi

Kompetensi yang diharapkan dari mahasiswa setelah mengikuti perkuliahan dengan materi pada bab ini adalah: 1. Menjelaskan pengertian SPL; 2. Memodelkan masalah nyata menjadi SPL; 3. Menjelaskan dan menggunakan OBE; 4. Menjelaskan pengertian bentuk eselon baris suatu matriks; 5. Menggunakan metode eliminasi Gauss Jordan untuk mencari penyelesaian suatu SPL; 6. Menjelaskan definisi dan jenis-jenis matriks serta komponen suatu matriks; 7. Menjelaskan keistimewaan matriks elementer; 8. Menjelaskan operasi-operasi matriks dan membuktikan sifat-sifatnya; 9. Menjelaskan definisi invers suatu matriks; 10. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat invers suatu matriks; 11. Menghitung invers suatu matriks.

1.5. PENILAIAN PENGUASAAN MATERI

19

Adapun contoh-contoh soal yang digunakan untuk menguji kompetensi mahasiswa adalah sebagai berikut: 1.

(a.) Berikan gambaran jika suatu matriks sama dengan transposnya. Matriks demikian disebut matriks simetris. (b.) Berikan gambaran jika suatu matriks sama dengan negatif transposnya. Matriks demikian disebut matriks simetris miring.

2. Diberikan matriks-matriks berikut :  2 1 1 1 0 −2 2  −4 −3 2  . ,B =  1 0 ,C =  0 3 A =  3 −1 3 2  2 0 −1  3 3 6 0 1 −3 3 4 4 2 3 −1 8 

1 2







1 2



1 8 3 2 3 4

Hitunglah (a.) A + B. (b.) −3A + 2B. (c.) C t . (d.) (6B)t . 3. Tentukan matriks A jika diketahui · 2A −

1 0 −2 4 7 3

¸t



 2 0 =  −3 4  0 8

4. Tentukan a, b, c dan d jika · ¸ · ¸ a b b−c c (a.) = c d d 1 · ¸ · ¸ · ¸ a b 1 (b.) 3 −2 = b 0 4 5. Tentukan bentuk eselon baris dari matriks-matriks berikut : (a.)



 1 −1 2 1 −3  2 0 1 −4 2 . −2 7 −2 5 1

20

BAB 1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS (b.)

     

−1 −1 0 −4 1

(c.)

 1 0 −1 0 1 −1   0 2 4  . 5 2 1  3 −6 0



 3 2 0  5 3 5 . 2 5 6

6. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut : (a.) 3x1 −2x2 +6x5 = 1 −x1 +3x2 +x3 +4x4 +3x5 = −2 x1 −3x2 +4x3 −6x4 +2x5 = 4 (b.) 3x1 x1 10x1 5x1

+2x2 +6x2 +x2 +2x2

+2x3 −4x3 −x3 −x3

−5x4 −2x4 −x4 −9x4

= = = =

2 3 8 2

7. Buktikan bahwa matriks berikut tidak mempunyai invers untuk bilangan real manapun

     

0 b 0 0 0

a 0 d 0 0

0 c 0 f 0

0 0 e 0 h

0 0 0 g 0

   .  

8. Jika kurva f (x) = ax3 + bx2 + cx + d melalui titik-titik (0, 10), (1, 7), (3, −11) dan (4, −14), tentukan koefisien-koefisien · ¸ persamaan kurva tersebut. 1 0 . Tentukan matriks-matriks elementer E1 dan E2 9. Diberikan matriks A = −5 2 sehingga E2 E1 A = I. 10. Jika diberikan



A−1

 1 0 2 =  1 2 1 . 3 5 3

(a.) Tentukan matriks X sehingga



 2 −1 0 . AX =  1 0 −3


21

(b.) Tentukan matriks X sehingga · XA =

2 3 −1 −1 0 5

¸ .

22


Bibliografi [1] Anton, H. and Rorres, C., 2000, Elementary Linear Algebra, John Wiley and Sons Inc. [2] DeFranza, J. and Gagliardi, D., 2009, Introduction to Linear ALgebra, McGraw-Hill Int. Edition, Boston. [3] Nicholson., W.K., 2001, Elementary Linear Algebra, McGrw-Hill Book Co., Toronto.

23

24

BIBLIOGRAFI

Bab 2 Determinan Dalam bab ini termuat dua Pokok Bahasan yaitu Invers Matriks dan Determinan, dengan masing-masing Sub-pokok Bahasan sebagai berikut : 1. Invers Matriks: (a.) Pengertian invers matriks. (b.) Sifat invers matriks. (c.) Menghitung invers matriks menggunakan matriks elementer. 2. Determinan: (a.) Pengertian determinan matriks. (b.) Sifat determinan matriks. (c.) Menghitung determinan matriks menggunakan ekspansi kofaktor. Materi-materi dalam bab ini disampaikan dalam 3 minggu perkuliahan.

2.1

Latar Belakang

Sudah diketahui bahwa matriks bujursangkar A disebut matriks invertibel jika ada matriks B yang memenuhi AB = BA = I dengan I adalah matriks identitas. Selain itu dapat 25

26

BAB 2. DETERMINAN

ditunjukkan bahwa jika ada matriks B yang memenuhi AB = BA = I, maka matriks B tersebut tunggal yang selanjutnya disebut matriks invers dari matriks A dan dinotasikan dengan A−1 . Matriks berukuran 2 × 2 berikut

· A=

a11 a12 a21 a22

¸

mempunyai invers jika dan hanya jika a11 a22 − a12 a21 6= 0 dan invers matriks A adalah · ¸ 1 a22 −a12 −1 A = a11 a22 − a12 a21 −a21 a11 Nilai a11 a22 − a12 a21 telah dikenal sebagai determinan matriks A2×2 . Tentu saja timbul pertanyaan, apakah fakta pada matriks bertipe 2×2 tersebut dapat diperluas pada sebarang matriks berukuran berukuran n × n?. Pada bab ini akan dibahas tentang hal tersebut.

2.2

Determinan Matriks Bujursangkar

Untuk matriks A berukuran 3 × 3 berikut   a11 a12 a13 A =  a21 a22 a23  a31 a32 a33 jika a11 6= 0 maka dapat dilakukan dua kali operasi baris yakni baris ke 2 dan ke 3 masingmasing dikalikan a11 sehingga diperoleh 

   a11 a12 a13 a11 a12 a13  a11 a21 a11 a22 a11 a23  ∼  0 a11 a22 − a11 a21 a11 a23 − a11 a21  a11 a31 a11 a32 a11 a33 0 a11 a32 − a12 a31 a11 a33 − a13 a31 Mengingat A invertibel maka salah satu diantara a11 a22 − a11 a21 dan a11 a32 − a12 a31 tidak bernilai nol. Misalkan a11 a22 −a11 a21 6=, maka jika baris ke 3 dikalikan dengan a11 a22 −a11 a21 akan diperoleh   a11 a12 a13   0 a11 a22 − a11 a21 a11 a23 − a11 a21 0 (a11 a22 − a11 a21 )(a11 a32 − a12 a31 ) (a11 a22 − a11 a21 )(a11 a33 − a13 a31 )

2.2. DETERMINAN MATRIKS BUJURSANGKAR

27

selanjutnya dengan mengurangkan baris ke 3 dengan (a11 a32 − a12 a31 ) kali baris ke 2 akan diperoleh matriks   a11 a12 a13  0 a11 a22 − a11 a21  a11 a23 − a11 a21 0 0 (a11 a22 − a11 a21 )(a11 a33 − a13 a31 ) − (a11 a32 − a12 a31 )(a11 a23 − a11 a21 ) nilai komponen pada posisi baris ke 3 kolom ke 3, yakni (a11 a22 − a11 a21 )(a11 a33 − a13 a31 ) − (a11 a32 − a12 a31 )(a11 a23 − a11 a21 ) akan sama dengan a1 1∆ dengan ∆ = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 − a13 a22 a31 Mengingat A invertibel maka ∆ 6= 0. Selanjutnya ∆ disebut determinan matriks A3×3 .

Untuk memperumum pengertian determinan ke bentuk yang lebih besar, akan dilakukan ekspresi determinan matriks berukuran 3 × 3 dalam bentuk determinan matriks berukuran 2 × 2. ∆ = a11 a22 a·33 + a12 a23¸a31 + a13 a21 · a32 − a11 a¸23 a32 − a12·a21 a33 − a13¸a22 a31 a22 a23 a21 a23 a21 a22 = a11 det − a12 det + a13 det a32 a33 a31 a33 a31 a32 Untuk mempersingkat, ∆ dapat diekspresikan dengan bentuk sebagai berikut ∆ = a11 detA11 − a12 detA12 + a13 detA13 . Matriks A1j adalah matriks berukuran 2 × 2 yang diperoleh dengan menghapus baris ke-1 dan kolom ke-j. Untuk sebarang matriks A berukuran n × n, Aij adalah matriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j. Secara recursive dapat didefinisikan pengertian determinan untuk sebarang matriks bujursangkar bertipe n × n. Definisi lengkapnya diberikan di bawah ini.

Definisi 2.2.1 Misalkan An×n = [aij ]. Determinan matriks A didefinisikan sebagai berikut: 1+n det(A) = a a1n det A1n 11 det A11 − a12 det A12 + · · · + (−1) P n 1+j a1j A1+j = j=1 (−1)

28

BAB 2. DETERMINAN

Contoh 2.2.2 Hitung determinan matriks   1 5 0 A =  2 4 −1  0 −2 0 Jawab: det(A) = a11 detA·11 − a12 detA ¸ 12 + a13 detA · 13 ¸ · ¸ 4 −1 2 −1 2 4 = 1 det − 5 det + 0 det −2 0 0 0 0 −2 = 1(0 − 2) + 5(0 − 0) + 0(−4 − 0) = −2 Terkait dengan ekspresi pendefinisian determinan matriks bujur sangkar berikut akan didefinisikan pengertian co-faktor suatu matriks bujur sangkar. Definisi 2.2.3 Misalkan A = [aij ] adalah matriks bujursangkar bertipe n × n. Co-faktor (i, j) dinotasikan dengan Cij = (−1)i+j detAij . Ekspansi co-faktor sepanjang baris pertama adalah det(A) =

Pn

1+j a1j A1j j=1 (−1)

Proposisi 2.2.4 Determinan matriks A berukuran n × n dapat dihitung dengan menggunakan ekspansi sebarang baris atau sebarang kolom sebagai berikut: (a.) Ekspansi baris ke-i, det(A) =

Pn

i+j aij Aij j=1 (−1)

(b.) Ekspansi kolom ke-j, det(A) =

Pn

i+j aij Aij i=1 (−1)

Contoh 2.2.5 Gunakan ekspansi co-faktor sepanjang baris ke 3 untuk menghitung determinan matrik A berikut:



 1 5 0 A =  2 4 −1  0 −2 0

2.2. DETERMINAN MATRIKS BUJURSANGKAR

29

3+3 det(A) = (−1)3+1 a·31 det A31¸− (−1)3+2 a32 det a33 det· A33 ¸ · A12 + (−1) ¸ 5 0 1 0 1 5 = 1 1 det − (−2) det + 0 det 4 −1 2 (−1) 2 4 = 0 + 2(−1) + 0 = −2

Proposisi (2.2.4) menunjukkan bahwa perhitungan determinan matriks menggunakan ekspansi baris atau kolom akan sangat bermanfaat untuk matriks yang banyak memuat nol. Untuk efisiensi dalam perhitungan jelas perhitungan akan menjadi lebih singkat apabila kita memilih baris atau kolom dengan komponen terbanyak.

Contoh 2.2.6 Hitung determinan matriks berukuran 5 × 5 berikut   3 −7 8 9 −6  0 2 −5 7 3     0 0 1 5 0 A=    0 0 2 4 −1  0 0 0 −2 0 Untuk matriks di atas, jelas perhitungan paling efisien apabila kita memilih ekspansi sepanjang kolom ke-1 atau ekspansi baris ke-4. Dengan ekspansi sepanjang kolom ke-1 akan diperoleh 

 2 −5 7 3  0 1 5 0   − 0C21 + 0C31 − 0C41 + 0C51 det(A) = 3 det   0 2 4 −1  0 0 −2 0 sehingga dengan menggunakan ekspansi kolom ke-1 lagi akan diperoleh   1 5 0 det(A) = 3.2. det  2 4 −1  . 0 −2 0 Dari contoh sebelumnya diperoleh determinan   1 5 0 det  2 4 −1  = −2. 0 −2 0 Jadi diperoleh det(A) = 3.2.(−2) = −12. Dari contoh di atas dapat disimpulkan dalam proposisi berikut.

30

BAB 2. DETERMINAN

Proposisi 2.2.7 Jika A adalah matriks segitiga atas, maka determinan A merupakan hasil kali unsur-unsur diagonal utamanya.

2.3

Sifat-Sifat Determinan

Pada Bab 1 telah dipelajari tentang Operasi Baris Elementer (dan Operasi Kolom Elementer). Dari ekspansi determinan akan didapat proposisi berikut yang menunjukkan pengaruh operasi baris atau kolom terhadap nilai determinan.

Proposisi 2.3.1 Misalkan A adalah matriks bujursangkar berukuran n × n. 1. Jika matriks B adalah suatu matriks yang diperoleh dengan menambah suatu baris (kolom) matriks A dengan hasil kali skalar baris (kolom) baris yang lain, maka determinan B= determinan A. 2. Jika matriks B adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan suatu baris (kolom) dengan skalar tak nol α kali baris (kolom) baris yang lain, maka det B = α det A. 3. Jika matriks B adalah suatu matriks yang diperoleh menukar 2 buah baris yang berlainan, maka det B = − det A.

Dengan Proposisi (2.3.1) dapat dihitung determinan suatu matriks dengan menggunakan Operasi Baris (Kolom) Elementer.

Contoh 2.3.2 Hitung determinan matriks A berikut ini: 

 1 −4 2 det  −2 8 −9  −1 7 0

2.3. SIFAT-SIFAT DETERMINAN

31

Strateginya adalah dilakukan operasi baris elementer untuk membawa matriks A ke bentuk matriks segitiga atas. 

 1 −4 2 det(A) = det  −2 8 −9  −1 7 0   1 −4 2 0 −5  = det  0 0  −1 7 1 −4 2 = det  0 0 −5  0 3 2   1 −4 2 2  = − det  0 3 0 0 −5 = −(1)(3)(−5) = 15

Contoh 2.3.3 Hitung determinan matriks

 2 −8 6 8  3 −9 5 10   det   −3 0 1 −2  1 −4 0 6 

Untuk menyederhanakan perhitungan, terlebih dahulu dilakukan operasi baris elementer sedemikian hingga pada posisi (1, 1) (baris pertama kolom pertama) entrinya bernilai 1, sehingga diperoleh 

 2 −8 6 8  3 −9 5 10   det(A) = det   −3 0 1 −2  1 −4 0 6

32

BAB 2. DETERMINAN 

1 −4 3  3 −9 5 det(A) = 2 det   −3 0 1  1 −4 0 1 −4 3  0 3 −4 = 2 det   0 −12 10  0 0 −3 1 −4 3  0 3 −4 = 2 det   0 0 −6  0 0 −3 1 −4 3  0 3 −4 = 2 det   0 0 −6 0 0 0 = 2.1.3.(−6).1 = −36

 4 10   −2  6  4 −2   10  2 4 −2   2  2  4 −2   2  1

Dari proses perhitungan determinan menggunakan operasi baris elementer, khususnya jika dibandingkan dengaan penentuan invers matriks menggunakan operasi baris elementer, maka akan didapatkan proposisi berikut:

Proposisi 2.3.4 Matrik bujursangkar A invertibel jika dan hanya jika determinan A 6= 0

Selain itu, mengingat nilai determinan suatu matriks dapat dihitung baik menggunakan ekspansi baris ataupun ekspansi kolom maka dapat disimpulkan determinan suatu matriks bujur sangkar akan sama dengan nilai determinan matriks transposnya seperti dinyatakan dalam proposisi berikut:

Proposisi 2.3.5 Misalkan A matriks bujursangkar, maka det(AT ) = det(A).

Seperti sudah dibahas didepan bahwa terdapat hubungan antara determinan suatu matriks bujursangkar A, dengan matriks hasil operasi baris (kolom) elementer. Selain itu pada Bab I juga sudah diperkenalkan pengertian matriks elementer yaitu matriks yang diperoleh

2.3. SIFAT-SIFAT DETERMINAN

33

dengan melakukan satu kali operasi baris (kolom) elementer. Disamping itu pada Bab I, juga sudah diterangkan tentang apa makna operasi baris (kolom) elementer dalam kaitannya dengan perkaalian matriks, diantaranya dikatakan bahwa jika B adalah matriks yang diperoleh dengan melakukan satu kali operasi baris elementer dari satu matriks A, maka B = EA dengan E adalah matriks elementer yang diperoleh dengan melakukan satu kali operasi baris elementer terhadap matriks I. Untuk melihat hubungan antara determinan matriks B dengan matriks A, kita akan tinjau 3 jenis operasi baris elementer. Misalkan yang dilakukan adalah operasi Operasi Baris Elementer Tipe 1: yaitu B adalah matriks yang diperoleh dengan menukar dua baris berlainan dari satu matriks A, maka akan diperoleh det B = − det A sehingga diperoleh det B = (−1) det A sementara itu det E = − det I = −1. Selain itu B = EA, dengan demikian akan diperoleh det(EA) = det(E) det(A). Dengan cara analog akan dapat ditunjukkan untuk operasi baris elementer tipe yang lain. Dengan kenyataan akan dapat ditunjukkan bahwa untuk sebarang matriks bukur sangkar yang berukuran sama.

Proposisi 2.3.6 Jika A dan matriks B adalah matriks-matriks bujursangkar dengan ukuran yang sama, maka det(AB) = det(A) det(B).

Bukti. Pembuktian akan dibedakan untuk dua kasus: Kasus 1. Matriks A invertibel. Menurut sifat matriks invertibel yang seperti diuraikan pada Bab I, dengan serangkaian (berhingga) operasi baris elementer A akan dapat diubah menjadi matriks identitas. Dengan demikian terdapat matriks elementer E1 , E2 , E3 , · · · , En sedemikian hingga A = E1 , E2 , E3 , · · · , En I.

34

BAB 2. DETERMINAN

Dengan demikian, akan diperoleh

AB = E1 , E2 , E3 , · · · , En IB = E1 , E2 , E3 , · · · , En B

sehingga dengan menggunakan n-kali pengulangan akan diperoleh

det(AB) = = = .. . = = = = =

det(E1 , E2 , E3 , · · · , En B) det(E1 ) det(E2 , E3 , · · · , En B) det(E1 ) det(E2 ) det(E3 , · · · , En B) .. . det(E1 ) det(E2 ) det(E3 ), · · · , det(En−1 ) det(En B) det(E1 ) det(E2 )(E3 ), · · · , (En−1 ) det(En B) det(E1 )(E2 )(E3 ), · · · , (En−1 )(En B) det(E1 )(E2 )(E3 ), · · · , (En−1 I)(En B) det(A) det(B)

Kasus 2. Matriks A tidak invertibel. Hal ini berarti det A = 0, dengan demikian untuk menunjukkan bahwa det AB = det A det B, cukup bila dapat ditunjukkan bahwa det(AB) = 0 atau yang ekivalen dengan meunjukkan bahwa AB juga tidak invertibel. Andaikan AB invertibel, maka ada (AB)−1 yang memenuhi (AB)(AB)−1 = I. Dengan demikian menggunakan Kasus 1 akan diperoleh

det(AB)(AB)−1 = det(I)

yang berarti det(AB) det(AB)−1 = 1

dengan demikian det(AB) 6= 0. Kontradiksi dengan pengandaian bahwa matriks AB invertibel.

2.4. BEBERAPA APLIKASI DETERMINAN

2.4 2.4.1

35

Beberapa Aplikasi Determinan Perhitungan Invers Matriks: Rumus Adjoint

Determinan dapat dihitung menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang sebarang baris yang dapat dinyatakan sebagai berikut. det(A) = a11 det A11 − a12 det A12 + ··· det(A) = −a21 det A21 + a22 det A22 + ··· .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . n+1 n+2 det(A) = (−1) an1 det An1 + (−1) an2 det An2 + · · ·

+ (−1)1+n a1n det A1n + (−1)2+n a2n det A2n .. .. . . + (−1)n+n ann det Ann

Dari formula tersebut akan diperoleh   det A 0 ··· 0  0 det A · · · 0     .. .. .. ..  =  . . . .  0 0 · · · det A   a11 a12 · · · a1n det A11 − det A21 ···  a21 a22 · · · a2n   − det A12 + det A22 ···    .. .. .. ..   .. .. ..  . . . .  . . . an1 an2 · · · ann (−1)1+n det A1n +(−1)2+n det A2n · · · Dengan menotasikan matriks  det A11 − det A21 ···  − det A + det A ··· 12 22   .. .. ..  . . . 1+n 2+n (−1) det A1n (−1) det A2n · · ·

(−1)n+1 det An1 (−1)n+2 det An2 .. .

(−1)n+1 det An1 (−1)n+2 det An2 .. .

    

(−1)n+n det Ann     = Adj(A) 

(−1)n+n det Ann

akan diperoleh det(A)In×n = A Adj(A) dengan Adj berarti adjpint . Akhirnya diperoleh Rumus Adjoint yang disajikan dalam proposisi berikut ini.

Proposisi 2.4.1 Jika A invertibel, maka A−1 =

1 Adj(A) det(A)

36

BAB 2. DETERMINAN

dan untuk mempermudah penotasian komponen-komponen Adj(A), dinotasikan sebagai berikut:   C11 C21 · · · Cn1  C12 C22 · · · Cn2    Adj(A) =  .. .. .. ..   . . . .  C1n C2n · · · Cnn dengan Cij = (−1)i+j det(Aij )

Contoh 2.4.2 Tentukan invers matriks A berikut:   2 1 3 A =  1 −1 1  1 4 −2 Untuk menghitung A−1 , terlebih · ¸ −1 1 C11 = + det = −2, · 4 −2¸ 1 3 = 14, C21 = − det · 4 −2 ¸ 1 3 = 4, C31 = + det −1 1

dahulu dihitung masing-masing nilai Cij berikut · ¸ · 1 1 1 C12 = − det = 3, C13 = + det 1 −2 ¸ · 1 · 2 2 3 = −7, C23 = − det C22 = + det 1 −2 · ¸ · 1 2 3 2 C32 = − det = 1, C33 = + det 1 1 1

¸ −1 = −2 4¸ 1 = −7 4 ¸ 1 = −3 −1

Kemudian dibentuk Adj(A) sebagai berikut 

 −2 14 4 Adjoint(A) =  3 −7 1  5 −7 −3

Kemudian dengan rumus adjoint diperoleh    1  2 −2 14 4 −7 1 7 1  3 1 . 3 −7 1  =  14 − 12 14 A−1 = 14 5 1 3 5 −7 −3 − 2 − 14 14

2.4.2

Perhitungan Solusi Sistem Persamaan Linear

Jika A matriks invertibel maka sistem persamaan linear An×n xn×1 = bn×1 akan mempunyai solusi tunggal yakni: xn×1 = A−1 bn×1 .

2.4. BEBERAPA APLIKASI DETERMINAN

37

Dengan demikian akan diperoleh xn×1 =

1 Adjoint(A)bn×1 . det(A)

Jika komponen x dan b dituliskan secara lengkap akan diperoleh     x1 b1  x2   b2  1     Adjoint(A)  ..   ..  =  .  det(A)  .  xn bn yakni akan diperoleh     

x1 x2 .. .





 1    =   det(A) 

xn

C11 C21 · · · C12 C22 · · · .. .. .. . . . C1n C2n · · ·

Cn1 Cn2 .. .

    

Cnn

b1 b2 .. .

   . 

bn

Dengan demikian akan diperoleh 1 x1 = det(A) (b1 C11 + b2 C21 + · · · 1 x2 = det(A) (b1 C12 + b2 C22 + · · · .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . 1 (b1 C1n + b2 C2n + · · · xn = det(A)

+ bn Cn1 ) + bn Cn2 ) .. .. . . + bn Cnn )

Untuk mempermudah pemahaman digunakan notasi berikut : ∆1 = b1 C11 + b2 C21 + · · · ∆2 = b1 C12 + b2 C22 + · · · .. .. .. .. .. .. . . . . . . ∆n = b1 C1n + b2 C2n + · · ·

+ bn Cn1 + bn Cn2 .. . vdots + bn Cnn

Dari ekspresi di atas nampak bahwa ∆1 = det A1 dengan A1 adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan mengganti kolom ke-1 dengan b, yakni

   A1 =  

b1 a12 · · · b2 a22 · · · .. .. .. . . . bn an2 · · ·

a1n a2n .. . ann

    

38

BAB 2. DETERMINAN

Secara analog ∆2 = det A2 dengan A2 adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan mengganti kolom ke-2 dengan b, yakni

   A2 = det A2 =  

a11 b1 · · · a21 b2 · · · .. .. .. . . . an1 bn · · ·

a1n a2n .. .

    

ann

dan ∆n = det An dengan An adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan mengganti kolom ke-n dengan b, yakni

   An =  

a11 a12 · · · a21 a22 · · · .. .. .. . . . an1 an2 · · ·

b1 b2 .. .

   . 

bn

Dari penjelasan di atas, akan diperoleh proposisi berikut, Proposisi 2.4.3 Jika A invertibel, maka sistem persamaan linear An×n xn×1 = xn×1 mempunyai penyelesaian tunggal

det A1 x1 = det(A) det A2 x2 = det(A) .. .. . . det An xn = det(A)

Contoh 2.4.4 Gunakan Aturan Cramer untuk menghitung solusi sistem persamaan linear 3x1 − 2x2 = 6 −5x1 + 4x2 = 8 Sistem persamaan linear di atas dapat dituliskan dengan dengan bentuk Ax = b, dengan · ¸ 3 −2 A = · −5 ¸ 4 x1 x = · x2¸ 6 b = 8


39

Terlebih dahulu dihitung det(A), det A1 , dan det2 sebagai berikut: · ¸ 3 −2 det A = det = 3.4 − (−2)(−5) = 12 − 10 = 2 · −5 4¸ 6 −2 det A1 = det = 6.4 − (−2)(8) = 25 + 16 = 20 · 8 4 ¸ 3 6 det A2 = det = 3.8 − (6)(−5) = 24 + 30 = 27 −5 8 sehingga dengan Aturan Cramer diperoleh: det A1 x1 = det(A) = 27 = 13, 5 2 det A2 48 x2 = det(A) = 2 = 24

2.5


Kompetensi yang diharapkan dari mahasiswa setelah mengikuti perkuliahan dengan materi pada bab ini adalah: 1. Menjelaskan definisi determinan matriks; 2. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat determinan matriks dalam kaitannya dengan OBE; 3. Menghitung determinan matriks menggunakan ekspansi kofaktor; 4. Menghitung invers matriks menggunakan determinan. Adapun contoh-contoh soal yang digunakan untuk menguji kompetensi mahasiswa adalah sebagai berikut: 1. Diberikan matriks berikut



 8 2 1 1  3 −4 −3 2   A=  4 2 0 −1  2 3 −1 3

(a.) Carilah semua minor matriks A. (b.) Carilah semua kofaktor matriks A.

40

BAB 2. DETERMINAN (c.) Hitunglah determinan matriks A. (d.) Hitunglah invers matriks A menggunakan determinannya.

2. Dengan Aturan Cramer, hitunglah penyelesaian sistem persamaan linear pada soal nomor 3b di Bab 1. 3. Buktikan matriks berikut 

 cos θ sin θ 0 B =  − sin θ cos θ 0  0 0 1 mempunyai invers untuk semua nilai θ kemudian carilah B −1 . 4. Buktikan jika det(A) = 1 dan semua entri A adalah bilangan bulat, maka semua entri A−1 juga bilangan bulat. 5. Diketahui determinan matriks berikut   a b c det  d e f  = −6. g h i Tentukan



 d e f (a.) det  g h i . a b c   −3a −3b −3c . d e f (b.) det  g − 4d h − 4e i − 4f

6. Tentukan nilai k sehingga matriks berikut tidak mempunyai invers: · ¸ k − 3 −2 (a.) A = . −2 k − 2   1 2 4 (b.) A =  3 1 6 . k 3 2


41

42

BIBLIOGRAFI

Bab 3 Ruang Vektor R2 dan R3 Dalam bab ini termuat dua Pokok Bahasan yaitu Ruang Euclid dan Vektor-vektor yang Membangun dan Bebas Linear, dengan masing-masing Sub-pokok Bahasan sebagai berikut : 1. Ruang Euclid: (a.) Definisi Ruang Euclid. (b.) Operasi-operasi vektor yang berlaku di Ruang Euclid. (c.) Hasil kali dalam pada Ruang Euclid. (d.) Proyeksi vektor. 2. Vektor-vektor yang Membangun dan Bebas Linear (a.) Pengertian kombinasi linear dan kaitannya dengan SPL. (b.) Himpunan pembangun dan kaitannya dengan SPL. (c.) Himpunan yang bebas linear dan kaitannya dengan SPL. (d.) Basis dalam Ruang Euclid. (e.) Definisi rank dan dimensi pada Ruang Euclid. Materi-materi dalam bab ini disampaikan dalam 5 minggu perkuliahan. 43

BAB 3. RUANG VEKTOR R2 DAN R3

44

3.1

Vektor dan Skalar

Dalam matematika dikenal dua besaran pokok yaitu skalar dan vektor. Bab ini akan membahas besaran vektor dan sifat-sifatnya. Vektor mempunyai ciri khas selain mempunyai besar juga mempunyai arah. Di dalam ruang vektor R2 suatu vektor a mempunyai dua komponen yang dinotasikan dengan ¸ · a1 atau a = (a1 , a2 )t . a= a2 Komponen-komponen tersebut menentukan arah vektor a. Adapun besar atau panjangnya dinyatakan dengan notasi kak dan dicari dengan rumus q kak = a21 + a22 . yang merupakan terapan Prinsip Phytagoras. Secara analog untuk vektor-vektor di R3 dapat dinyatakan dengan   a1 a =  a2  atau a = (a1 , a2 , a3 )t . a3 dan rumus jarak yang berlaku adalah q kak =

Contoh 3.1.1

a21 + a22 + a23 .

1. Diberikan a = (−1, 2)t vektor di R2 . Panjang vektor itu adalah kak =

p

(−1)2 + 22 =

√

1+4=

√

5.

2. Diberikan a = (2, 0, −3)t vektor di R3 . Panjang vektor itu adalah kak =

p √ √ 22 + 0 + (−3)2 = 4 + 9 = 13.

Untuk pembahasan selanjutnya, definisi maupun sifat-sifat yang dipelajari adalah untuk vektor-vektor di R3 dengan pengertian bahwa vektor-vektor di R2 merupakan kejadian khusus.

3.1. VEKTOR DAN SKALAR

45

Vektor-vektor dalam R3 maupun R2 dapat dioperasikan secara aljabar, yaitu dijumlahkan (dikurangkan) dan dikalikan dengan suatu bilangan real. Untuk sebarang dua vektor di R3 yaitu a = (a1 , a2 , a3 )t dan b = (b1 , b2 , b3 )t hasil jumlah kedua vektor tersebut adalah 

     a1 b1 a1 + b1 a + b =  a2  +  b2  =  a2 + b2  . a3 b3 a3 + b3 Jika α suatu bilangan real sebarang, maka hasil kali α dan a adalah     a1 αa1 αa = α  a2  =  αa2  . αa3 a3 Terkait dengan dua operasi tersebut, ada vektor-vektor khusus yang mempunyai sifat istimewa. Vektor-vektor tersebut adalah 

   a1 −a1 −a = −1  a2  =  −a2  a3 −a3 dan

 0 0 =  0 . 0 

Sifat-sifat operasi-operasi tersebut yang bisa dibuktikan ditulis dalam proposisi berikut ini.

Proposisi 3.1.2 Diberikan a, b dan c masing-masing vektor di R3 . Berlaku sifat-sifat berikut : (a.) a + b = b + a. (b.) a + (−a) = 0. (c.) a + 0 = 0 + a = a. (d.) a + 0 = 0 + a = a. (e.) α(a + b) = αa + αb. (f.) (α + β)a = αa + βa.


46

Bukti. Bukti sifat-sifat ini menggunakan definisi operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Akan diberikan satu contoh, sementara bukti selebihnya    a1 b1 a + b =  a2  +  b2 a3 b3   a 1 + b1  a 2 + b2  = a 3 + b3   b1 + a 1 =  b2 + a 2  b3 + a 3    b1 a1    b2 + a2 = b3 a3

3.2

diserahkan kepada pembaca.  

 .

Norma dan Jarak

Selanjutnya akan dibahas sifat-sifat vektor lebih lanjut, terutama yang terkait dengan besar atau panjang vektor. Panjang suatu vektor, yang selanjutnya lebih dikenal dengan sebutan norm vektor, mempunyai peranan cukup penting dalam aljabar vektor karena bermula dari pengertian norm inilah diturunkan definisi jarak dan sudut. Jika ada dua vektor di R3 misalnya a = (a1 , a2 , a3 )t dan b = (b1 , b2 , b3 )t , maka jarak dua vektor tersebut adalah : d(a, b) = ka − bk =

p (a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2 + (a3 − b3 )2 .

Dari definisi jarak ini bisa dilihat bahwa panjang suatu vektor pada dasarnya adalah jarak vektor tersebut dengan vektor nol, yaitu q p 2 2 2 kak = ka − 0k = (a1 − 0) + (a2 − 0) + (a3 − 0) = a21 + a22 + a23 . Beberapa sifat norm suatu vektor adalah sebagai berikut.

Proposisi 3.2.1 Diberikan a, b dan c masing-masing vektor di R3 . Berlaku :

3.3. HASIL KALI TITIK DI R2 DAN R3

47

(a.) ka + bk ≤ kak + kbk. (b.) ka − bk + kb − ck ≤ ka − ck.

3.3

Hasil Kali Titik di R2 dan R3

Ada dua cara untuk mengalikan dua buah vektor, yaitu hasil kali titik (dot product) dan hasil kali silang (cross product). Pada subbab ini akan dibicarakan terlebih dahulu hasil kali titik, sementara untuk hasil kali silang akan dibicarakan kemudian.

Definisi 3.3.1 Diberikan dua vektor di R2 yaitu a = (a1 , a2 )t dan b = (b1 , b2 )t . Hasil kali titik (dot product)a dan b adalah a · b = a1 b1 + a2 b2 .

Definisi 3.3.1 menyatakan hasil kali titik pada ruang vektor R2 . Sedangkan untuk definisi hasil kali titik pada ruang vektor R3 diperoleh secara analog dengan menambahkan satu komponen lagi, sebagai berikut: a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 , untuk setiap a = (a1 , a2 , a3 )t dan b = (b1 , b2 , b3 )t di R3 . Contoh 3.3.2

1. Diberikan a = (1, −2)t dan b = (−3, 0)t . Hasil kali titik dari a dan b

adalah a · b = 1.(−3) + (−2).0 = −3. 2. Diberikan a = (−2, 7, −3)t dan b = (3, 1, 4)t . Hasil kali titik dari a dan b adalah a · b = (−2).3 + 7.1 + (−3).4 = −11.

Beberapa sifat yang dapat diturunkan dari definisi hasil kali titik di R2 dan R3 , seperti tercantum dalam proposisi berikut.


48

Proposisi 3.3.3 Diberikan dua vektor di R2 (atau R3 ) yaitu a = (a1 , a2 )t dan b = (b1 , b2 )t . Pernyataan-pernyataan berikut berlaku : 1. a · b = b · a. 2. a · a ≥ 0 dan a · a = 0 jika dan hanya jika a = 0. 3. (αa + βb) · c = αa · c + βb · c. 4. |a|2 = a · a. Bukti. Bukti yang diberikan di bawah ini dilihat untuk vektor-vektor di R3 , adapun untuk R2 merupakan kejadian khusus. 1. Ambil a, b ∈ R3 dengan a = (a1 , a2 , a3 )t dan b = (b1 , b2 , b3 )t . a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = b1 a1 + b2 a2 + b3 a3 = b · a. 2. Ambil a ∈ R3 dengan a = (a1 , a2 , a3 )t . a · a = a1 a1 + a2 a2 + a3 a3 = a21 + a22 + a23 ≥ 0

Dari perhitungan tersebut dengan mudah dapat dibuktikan bahwa a · a ≥ 0 dan a · a = 0 jika dan hanya jika a = 0. Untuk pernyataan-pernyataan yang lain bukti diserahkan kepada pembaca.

3.4

Sudut Antara Dua Vektor

Jika dua vektor a dan b dengan posisi masing-masing titik pangkalnya bertemu, maka akan terbentuk sudut θ di antara dua vektor tersebut dengan 0 ≤ θ ≤ π. Kemudian dengan

3.4. SUDUT ANTARA DUA VEKTOR

49

menggunakan Aturan Cosinus diperoleh sifat berikut ini.

Proposisi 3.4.1 Jika θ adalah sudut yang terbentuk dari dua vektor tak nol a dan b, maka a · b = kakkbk cos θ.

Bukti. Akan dihitung terlebih dahulu ka−bk2 dengan dua cara kemudian hasilnya dibandingkan. Pertama akan dihitung menggunakan Aturan Cosinus pada sudut segitiga yang terbentuk dari dua vektor tersebut. ka − bk2 = kak2 + kbk2 − 2kakkbk cos θ. Di pihak lain dapat juga dihitung ka − bk2 = (a − b) · (a − b) = a·a−a·b−b·a+b·b = kak2 − 2a · b + kbk2 . Dari kedua perhitungan tersebut diperoleh kak2 + kbk2 − 2kakkbk cos θ = kak2 − 2a · b + kbk2

(3.1)

kakkbk cos θ = a · b.

(3.2)

Proposisi 3.4.1 menunjukkan kaitan antara sudut dua buah vektor dan hasil kali titik antara keduanya. Kalau ditinjau kembali persamaan 3.2 akan diperoleh cara untuk menghitung besar sudut yang terbentuk dari dua buah vektor sebagai berikut : cos θ =

a·b . kakkbk

(3.3)

Contoh 3.4.2 Akan dicari sudut antara vektor-vektor berikut a = (−1, −2, 1)t dan b = (2, 1, 1)t . Menggunakan Proposisi 3.4.1 dapat dihitung sudut yang terbentuk sebagai berikut


50 :

a·b kakkbk −1.2 + (−2).1 + 1.1 √ = √ 1+4+1 4+1+1 −3 = √ √ 6 6 −3 1 = =− . 6 2

cos θ =

Untuk 0 ≤ θ ≤ π diperoleh θ =

2π 3

= 120o .

Selanjutnya untuk mengetahui jenis-jenis sudut yang terbentuk dari dua vektor dapat dicek dari syarat-syarat berikut : a·b>0

⇔

θ sudut lancip

a·b=0

⇔

θ=

a·b<0

⇔

θ sudut tumpul

π 2

Dua vektor dikatakan saling ortogonalatau saling tegak lurus jika sudut dua vektor tersebut sama dengan π2 . Secara mudah dapat dibuktikan akibat berikut. Akibat 3.4.3 Diberikan a dan b masing-masing vektor tak nol di R3 . Vektor a dan b saling tegak lurus jika dan hanya jika a · b = 0. Misalnya diberikan dua vektor a dan b dengan b 6= 0. Dari kondisi tersebut vektor a dapat dinyatakan sebagai jumlahan dua vektor, yaitu a = c1 + c2

(3.4)

dengan c1 sejajar dengan vektor b dan c2 tegak lurus dengan vektor b. Karena c1 sejajar dengan b, maka c1 bisa dinyatakan sebagai kelipatan dari b atau dengan kata lain terdapat skalar k sehingga c1 = kb.

3.5. HASIL KALI SILANG DI R3

51

Dari persyaratan bahwa c2 tegak lurus dengan b dan dari persamaan 3.4 yang berarti c2 = a − c1 , diperoleh 0 = c2 · b = (a − c1 ) · b = (a − kb) · b = a · b − k(b · b) = a · b − kkbk2 . Sehingga dapat diperoleh kkbk2 = a · b atau k =

a·b . kbk2

Akibatnya, c1 = kb =

a·b b kbk2

dan vc2 dapat dicari menggunakan hubungan c2 = a − c1 . Vektor c1 disebut proyeksi a pada b dan dinyatakan sebagai c1 = proyb a. Contoh 3.4.4 Akan ditentukan proyeksi vektor va = (3, −1)t pada b = (−2, 3)t . Misalnya c1 = proyb a, maka a·b 3.(−1) + (−2).3 c1 = b= 2 kbk 4+9

3.5

·

−2 3

¸

−9 = 13

·

−2 3

¸

· =

18 13 −27 13

¸ .

Hasil Kali Silang di R3

Selain hasil kali titik dua buah vektor yang hasilnya berupa skalar, ada jenis perkalian vektor yang lain yang menghasilkan vektor pula. Hasil kali ini hanya bisa didefinisikan pada ruang vektor R3 . Diberikan vektor a = (a1 , a2 , a3 )t dan b = (b1 , b2 , b3 )t di R3 . Vektor   a2 b3 − b2 a3 a × b =  −(a1 b3 − b1 a3 )  a1 b2 − b1 a2 disebut hasil kali silang atau cross product vektor a dan b.

(3.5)


52

Perhatikan bahwa vektor a × b merupakan vektor yang tegak lurus baik dengan a maupun b. Hal ini dapat dengan mudah dibuktikan. Selanjutnya perhatikan vektor-vektor di R3 berikut ini:       1 0 0      i = 0 ,j = 1 ,k = 0 . 0 0 1 Setiap vektor di R3 dapat dinyatakan sebagai   a1  a2  = a1 i + a2 j + a3 k. a3 Dengan demikian hasil kali silang  i  a × b = det a1 b1 · a2 = det b2

pada 3.5 dapat dinyatakan sebagai berikut :  j k a2 a3  b2 b3 ¸ · ¸ · ¸ a3 a1 a3 a1 a2 i + det j + det . b3 b1 b3 b1 b2

Contoh 3.5.1 Diberikan vektor-vektor di R3 sebagai berikut a = (2, 0, 1)t dan b = (−3, 4, 1)t . Hasil kali silang dua vektor tersebut adalah     −4 i j k a × b = det  2 0 1  = −4i − (−1)j + 8k =  1  . 8 −3 4 1 Dari hasil tersebut dapat dibuktikan bahwa a × b tegak lurus dengan masing-masing a dan b.

Berikut ini akan dibahas beberapa sifat hasil kali silang.

Proposisi 3.5.2 Diberikan vektor-vektor a, b, c di R3 . Berlaku sifat-sifat berikut : (a.) a · (b × c) = det[a, b, c]. (b.) a × 0 = 0 = 0 × a. (c.) a × b = −(b × a).

3.6. GENERALISASI KE RN

53

(d.) (ka) × b = k(a × b) = a × (kb). (e.) a × (b + c) = (a × b) + (a × c). (f.) (b + c) × a = (b × a) + (c × a).

Proposisi 3.5.3 Identitas Lagrange Jika a dan b dua vektor di R3 , maka ka × bk2 = kak2 kbk2 − (a · b)2 .

Bukti. Bukti dapat dilakukan dengan menggunakan definisi hasil kali titik dan hasil kali silang.

Akibat dari Identitas Lagrange tersebut adalah sebagai berikut : ka × bk2 = kak2 kbk2 − (a · b)2 = kak2 kbk2 − (kakkbk cos θ)2 = kak2 kbk2 (1 − cos2 θ) = (kakkbk sin θ)2 , sehingga ka × bk = kakkbk sin θ. Interpretasi geometris dari fakta ini adalah hasil kali silang dua buah vektor sama dengan luas jajarangenjang yang terbentuk dari dua vektor tersebut.

3.6

Generalisasi ke Rn

Pada bab terdahulu sudah dibahas bagaimana definisi yang berlaku di R2 dapat diperluas ke R3 dengan menambah satu komponen pada vektor-vektornya. Dengan pengertian yang analog, beberapa definisi di R3 dapat pula diperumum ke R4 dan seterusnya, sehingga secara umum dapat diperoleh perumuman definisi di Rn .


54

Sebelum membahas lebih lanjut tentang masalah ini terlebih dahulu diberikan definisi Rn sebagai berikut :    Rn = { 

x1 x2 .. .

    | xi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n, n ∈ N}. 

xn Di dalam ruang vektor Rn suatu vektor a mempunyai n komponen yang dinotasikan dengan   a1  a2    a =  ..  atau a = (a1 , a2 , . . . , an )t .  .  an Komponen-komponen tersebut menentukan arah vektor a. Adapun besar atau panjangnya dinyatakan dengan notasi kak dan dicari dengan rumus q kak = a21 + a22 + · · · + a2n .

Seperti halnya vektor-vektor di R3 maupun R2 , vektor-vektor di Rn pun dapat dioperasikan secara aljabar, yaitu dijumlahkan (dikurangkan) dan dikalikan dengan suatu bilangan real. Untuk sebarang dua vektor di Rn yaitu a = (a1 , a2 , . . . , an )t dan b = (b1 , b2 , . . . , bn )t hasil jumlah kedua vektor tersebut adalah    a1  a2      a + b =  ..  +   .   an

b1 b2 .. .





    =  

a1 + b1 a2 + b2 .. .

   . 

n an + bn ¯ Jika α suatu bilangan real sebarang, maka hasil kali α dan a adalah     αa1 a1  a2   αa2      αa = α  ..  =  ..  .  .   .  αan an Sifat operasi-operasi tersebut yang bisa dibuktikan ditulis dalam proposisi berikut ini.

3.6. GENERALISASI KE RN

55

Proposisi 3.6.1 Diberikan a, b dan c masing-masing vektor di Rn . Berlaku sifat-sifat berikut : (a.) a + b = b + a. (b.) a + (−a) = 0. (c.) a + 0 = 0 + a = a. (d.) a + 0 = 0 + a = a. (e.) α(a + b) = αa + αb. (f.) (α + β)a = αa + βa.

Definisi 3.3.1 menyatakan hasil kali titik pada ruang vektor R2 . Sedangkan untuk definisi hasil kali titik pada ruang vektor Rn diperoleh secara analog sebagai berikut: a · b = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn , untuk setiap a dan vb di Rn .

Contoh 3.6.2 Diberikan a = (1, −2, 0, 0, 1)t dan b = (−2, −3, 2, 0, 1)t vektor-vektor di R5 . Hasil kali titik dari a dan b adalah a · b = 1.(−2) + (−2)(−3) + 0 + 0 + 1.1 = 5.

Beberapa sifat yang dapat diturunkan dari definisi hasil kali titik di Rn tercantum dalam proposisi berikut.

Proposisi 3.6.3 Diberikan dua vektor di Rn a dan b. Pernyataan-pernyataan berikut berlaku : 1. a · b = b · a. 2. a · a ≥ 0 dan a · a = 0 jika dan hanya jika a = 0. 3. (αa + βb) · c = αa · c + βb · c.


56 4. |a|2 = a · a.

Selanjutnya cara untuk menghitung besar sudut yang terbentuk dari dua buah vektor di Rn analog dengan rumus 3.3 sebagai berikut : cos θ =

3.7

a·b . kakkbk

(3.6)

Basis dan Dimensi di Rn

Basis dan dimensi merupakan definisi yang penting dalam Rn pada umumnya. Pengertian basis terkait erat dengan definisi-definisi berikut. Diberikan himpunan bagian tak kosong S = {s1 , s2 , . . . , sk } di Rn . Yang dimaksud kombinasi linier vektor-vektor di S adalah α1 s1 + α2 s2 + . . . + αk sk untuk suatu α1 , α2 , . . . , αk di R. Suatu himpunan bagian di Rn , misalnya S = {s1 , s2 , . . . , sk } dikatakan membangun Rn jika untuk setiap a di Rn dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear vektor-vektor di S. Atau dengan kata lain terdapat skalar αi sehingga a = α1 s1 + α2 s2 + . . . + αk sk . Atau sering juga dinotasikan Rn = span{S} = span{s1 , s2 , . . . , sk }. Himpunan S tersebut dikatakan bebas linier jika untuk setiap skalar αi yang memenuhi α1 s1 + α2 s2 + . . . + αk sk = 0 berakibat αi = 0 untuk semua αi . Jika ada himpunan yang bebas linier sekaligus membangun, maka himpunan tersebut disebut basis .

3.7. BASIS DAN DIMENSI DI RN

57

Untuk mengetahui apakah vektor-vektor dalam suatu himpunan bersifat bebas linier dapat dikembalikan ke masalah mencari solusi suatu sistem persamaan linier homogen. Selain itu, untuk mengetahui apakah himpunan vektor-vektor membangun ruang vektornya merupakan masalah mencari solusi dari suatu sistem persamaan linier. Untuk lebih jelasnya akan diberikan beberapa contoh berikut.

Contoh 3.7.1 Dalam ruang vektor R3 terdapat vektor-vektor       0 0 1      i = 0 ,j = 1 ,k = 0  1 0 0 yang merupakan basis di R3 . Dua sifat yang harus dipenuhi oleh suatu basis dapat dibuktikan sebagai berikut. (a.) Sebarang a = (a1 , a2 , a3 ) di R3 selalu dapat dinyatakan sebagai         a1 1 0 0        a = a2 = a1 0 + a2 1 + a3 0  = a1 i + a2 j + a3 k. a3 0 0 1 (b.) Jika dibentuk kombinasi linear α1 i + α2 j + α3 k = 0      1 0 0 0 α1  0  + α2  1  + α3  0  =  0  0 0 1 0 





maka sama artinya dengan pernyataan berikut :      1 0 0 α1 0  0 1 0   α2  =  0  . 0 0 1 α3 0

(3.7)

Dengan memandang persamaan 3.7 sebagai sistem persamaan linear homogen dan dengan fakta bahwa matriks koefisiennya invertibel, maka sistem tersebut hanya mempunyai solusi trivial, yaitu     0 α1  α2  =  0  . α3 0 Jadi terbukti vektor-vektor i, j, k bebas linier.


58

Untuk selanjutnya notasi yang akan digunakan di R3 adalah e1 = i, e2 = j, e3 = k. Dalam kasus umum, notasi vektor kolom ei di Rn mempunyai arti suatu vektor yang entrinya semua 0 kecuali entri ke-i. Contoh 3.7.2 Dalam ruang vektor R4 akan dilihat apakah vektor-vektor berikut bebas linier.



  1 2  2   1   S = {  3 , 0 0 1

 

  0 3   1   2 , ,   1   2 2 −1

Pertama dibentuk kombinasi linier berikut :      1 2  2   1       α1   3  + α2  0  + α3  0 1

  0  1   + α4    1 2

yang sama artinya dengan kondisi berikut :   1 2 0 3  2 1 1  2     3 0 1 2  0 1 2 −1

  } 

  3 0  0 2  = 2   0 −1 0

  α1 0   α2   0 = α3   0 α4 0

   

  . 

Bentuk eselon baris terseduksi dari matriks koefisien sistem persamaan linier tersebut adalah



1  0   0 0

0 1 0 0

 0 1 0 1   1 −1  0 0

Dari matriks tersebut terlihat bahwa tidak semua kolomnya memuat 1 utama, sehingga kolom keempat dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari kolom-kolom yang lain. Jadi vektor-vektor penyusun matriks tersebut tidak bebas linier.

Contoh 3.7.3 Perhatikan kembali himpunan S dalam Contoh 3.7.2. Akan diselidiki apakah   1  −4   a=  3  ∈ span{S}. 5

3.7. BASIS DAN DIMENSI DI RN

59

Untuk menyelesaikan masalah ini sama dengan mencari skalar-skalar α1 , α2 , α3 , α4 yang memenuhi



  1  2    + α2  α1   3   0

Sehingga diperoleh



1  2   3 0

  2  1   + α3   0  1 2 1 0 1

  0  1   + α4   1  2

 0 3 α1   1 2   α2 1 2   α3 α4 2 −1

  3 1   2   −4 = 2   3 −1 5

  . 

 1   −4   =   3 . 5 



Sudah disebutkan pada Contoh 3.7.2 bahwa bentuk eselon baris terseduksi dari matriks koefisien sistem persamaan linier tersebut adalah  1 0 0 1  0 1 0 1   0 0 1 −1 0 0 0 0

  . 

Akibatnya terhadap sistem persamaan linier yang terkait adalah sistem tersebut mempunyai solusi yang tak hingga banyak. Kesimpulannya a ∈ span{S}.

Pengertian membangun dan bebas linier juga bisa diterapkan pada suatu himpunan bagian Rn yang disebut ruang bagian. Definisinya adalah sebagai berikut. Definisi 3.7.4 Himpunan bagian tak kosong T di Rn disebut ruang bagian jika memenuhi: (a.) untuk setiap t, s ∈ T berlaku t + s ∈ T ; (b.) untuk setiap t ∈ T dan α ∈ R berlaku αt ∈ T . Contoh 3.7.5 Diberikan himpunan bagian di R3 berikut S = {(s, 0, 0)t | s ∈ R}. Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa S merupakan ruang bagian R3 . Terhadap sebarang ruang bagian T di Rn pengertian basis analog dengan pengertian basis pada ruang vektor Rn .


60

3.8


Kompetensi yang diharapkan dari mahasiswa setelah mengikuti perkuliahan dengan materi pada bab ini adalah: 1. Menjelaskan pengertian Ruang Euclid sebagai perumuman ruang geometri berdimensi 2 dan 3. 2. Menjelaskan dan menggunakan operasi-operasi vektor dalam Ruang Euclid; 3. Membuktikan sifat-sifat operasi vektor dalam Ruang Euclid; 4. Menjelaskan dan menghitung hasil kali dalam pada Ruang Euclid; 5. Membuktikan sifat-sifat hasil kali dalam pada Ruang Euclid. 6. Menghitung dan menggunakan proyeksi suatu vektor pada vector lain; 7. Menjelaskan pengertian kombinasi linear vektor-vektor dalam suatu Ruang Euclid; 8. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat kombinasi linear vektor-vektor dalam suatu Ruang Euclid; 9. Menjelaskan pengertian vektor-vektor pembangun dalam suatu Ruang Euclid; 10. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat vektor-vektor pembangun dalam suatu Ruang Euclid; 11. Menjelaskan pengertian vektor-vektor bebas linear dalam suatu Ruang Euclid; 12. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat vektor-vektor bebas linear dalam suatu Ruang Euclid; 13. Menjelaskan pengertian basis dan dimensi dalam Ruang Euclid; 14. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat basis dalam suatu Ruang Euclid. Adapun contoh-contoh soal yang digunakan untuk menguji kompetensi mahasiswa adalah sebagai berikut:

3.8. PENILAIAN PENGUASAAN MATERI 1. Diberikan vektor-vektor di R4 berikut ini :    1 2  0  −2    u=  1  , v =  −3 −1 −4

61

 3    ,w =  7    −4  2 



(a.) Hitunglah besar vektor u. (b.) Hitunglah jarak vektor v dan w. (c.) Hitunglah u · w. 2. Buktikan jika u, v, w masing-masing adalah vektor di Rn dan k sebarang skalar, maka (a.) u · (kv) = k(u · v). (b.) u · (v + w) = u · v + u · w. 3. Tentukan apakah vektor-vektor di R3 berikut       5 1 0 u =  2  , v =  3  , w =  −0  1 −3 −2 (a.) membangun R3 ; (b.) bebas linear. 4. Dalam ruang vektor R5 didefinisikan himpunan bagian :   u1 T := {u ∈ R5 | u =  u1 + u2 }. 2u2 Selidiki apakah T subruang di R3 . 5. Diberikan vektor-vektor u = (−3, 1, 2), v = (4, 0, −8) dan w = (6, −1, −4). (a.) Tentukan komponen-komponen 6u + 2v. (b.) k3v − 2w + 5uk. (c.) Tentukan skalar-skalar c1 , c2 dan c3 sehingga c1 u + c2 v + c3 w = (2, 0, 4). 6. Buktikan bahwa jika v ortogonal dengan w1 dan w2 , maka v ortogonal dengan k1 w1 + k2 w2 untuk setiap skalar k1 dan k2 .


62

7. Diketahui S adalah himpunan semua kombinasi linear vektor-vektor v1 , v2 , . . . , vk di ruang Euclid Rn dan T adalah himpunan semua kombinasi linear vektor-vektor v1 , v2 , . . . , cvk dengan c ∈ R skalar tak nol. Buktikan S = T . 8. Diketahui S = {v1 , v2 , . . . , vn } adalah himpunan vektor-vektor tak nol di Rn yang saling tegak lurus. Buktikan vektor-vektor tersebut bebas linear. 9. Diberikan S dan T himpunan-himpunan bagian tak kosong di Rn . Didefinisikan S + T = {s + t | s ∈ S, t ∈ T }. Jika S = Span(u1 , u2 , . . . , uk ) dan T = Span(v1 , v2 , . . . , vt ), buktikan S + T = Span(u1 , u2 , . . . , uk , v1 , v2 , . . . , vt ).


63

64

BIBLIOGRAFI

Bab 4 Transformasi Linear Dalam bab ini termuat Pokok Bahasan Transformasi Linear dengan Sub-pokok Bahasan sebagai berikut : (a.) Definisi transformasi linear dan contoh-contohnya. (b.) Beberapa sifat transformasi linear. (c.) Matriks yang mewakili transformasi linear. Materi-materi dalam bab ini disampaikan dalam sekali perkuliahan.

4.1

Latar Belakang

Jika A adalah matriks berukuran 2 × 3 dengan komponen-komponen bilangan real, maka untuk setiap x di R3 hasil perkalian A dengan x yaitu Ax akan berada di R3 . Jadi dapat disimpulkan bahwa untuk setiap x ∈ R3 , terdapat dengan tunggal b ∈ R2 sedemikian hingga b2×1 = A2×3 x3×1 . Dari kenyataan tersebut disimpulkan bahwa dari matriks A2×3 dapat didefinisikan fungsi atau pemetaan berikut T : R3 → R2 dengan defisini T (x) = A2×3 x3×1 , untuk setiap x3×1 ∈ R3 . 65

66

BAB 4. TRANSFORMASI LINEAR Selain itu mengingat A(x + y) = Ax + Ay

dan A(αx) = αA(x) ∀x, y ∈ R3 dan ∀α ∈ R. Sifat tersebut dapat ditulis dengan fungsi T sebagai berikut: ∀x, y ∈ R3 dan ∀α ∈ R berlaku T (x + y) = T (x) + T (y) dan T (αx) = αT (x). Sifat itu dapat diinterpretasikan bahwa T mempunyai sifat:

1. Peta dari jumlah dua buah vektor di R3 sama dengan jumlah dari masing-masing petanya. 2. Peta dari hasil kali sebarang skalar dengan sebarang vektor di R3 sama dengan skalar kali peta vektor tersebut.

Artinya T mengawetkan hasil operasi penjumlahan pada R3 ke penjumlahan pada R2 dan T mengawetkan hasil operasi pergandaan skalar dengan vektor pada R3 ke pergandaan skalar dengan vektor di R2 . Pada bab ini akan dibahas suatu fungsi atau pemetaan yang mempunyai sifat-sifat tersebut.

4.2

Transformasi Linear dari Rn ke Rm

Definisi 4.2.1 Fungsi T : Rn → Rm disebut transformasi linear jika ∀x, y ∈ R3 dan ∀α ∈ R berlaku

1. T (x + y) = T (x) + T (y)

4.2. TRANSFORMASI LINEAR DARI RN KE RM

67

2. T (αx) = αT (x).

Dari definisi tersebut dan uraian pada latar belakang di atas, dapat disimpulkan bahwa setiap matriks Am×n = [aij ] dengan komponen-komponen bilangan real akan mendefinisikan transformasi linear T dari ruang vektor Rn ke ruang vektor Rm : T : Rn → Rm dengan definisi T (x) = Ax untuk semua x ∈ Rn . 

     · ¸ 1 −3 3 3 2      3 5 , u = 2 , dan c = 2 , Contoh 4.2.2 Misalkan A = , b = −1 −1 7 −5 5 dan didefinisikan transformasi linear T : R2 → R3 dengan definisi 

   ¸ 1 −3 · x1 − 3x2 x1 5  T (x) = Ax =  3 =  3x1 + 5x2  x2 −1 7 −x1 + 7x2 untuk semua x ∈ R2 .

1. Tentukan nilai dari T (u) 2. Tentukan x ∈ R2 yang petanya oleh T sama dengan vektor b 3. Apakah ada lebih dari satu x yang petanya oleh T samadengan b? 4. Apakah c berada dalam Im(T )?

68

BAB 4. TRANSFORMASI LINEAR

Contoh 4.2.3 Tunjukkan bahwa pemetaan T : R4 → R2 , dengan definisi   x1 · ¸  x2  x1 + x2 − x3   T = x3  x1 − x2 + x4 x4   x1  x2  4  untuk setiap   x3  ∈ R merupakan transformasi linear. x4 Pada proposisi berikut akan ditunjukkan bahwa jika T merupakan transformasi linear dari Rn ke ruang vektor Rm , maka T tidak hanya mengawetkan operasi penjumlahan dan perkalian skalar dengan vektor, tetapi juga mengawetkan vektor nol, mengawetkan negatif dari vektor, serta mengawetkan kombinasi linear.

Proposisi 4.2.4 Jika pemetaan T : Rn → Rm merupakan transformasi linear, maka

1. T (ORn ) = ORm 2. T (−x) = −T (x) 3. T (αx + βy) = αT (x) + βT (y)

untuk semua x, y ∈ Rn dan α, β ∈ R. Selanjutnya dapat dibuat himpunan semua elemen dalam x ∈ Rn yang oleh T dipetakan ke ORm , yang disebut dengan kernelT yaitu Ker(T ) = {x ∈ Rn | T (x) = ORm }. Selain itu juga dapat dibentuk Im(T ) yakni himpunan semua elemen y ∈ Rm yang mempunyai kawan di Rn , yakni Im(T ) = {y ∈ Rm | (∃x ∈ Rn )T (x) = y}. Dari sifat T (ORn ) = ORm jelas bahwa Ker(T ) 6= ∅ sebab ORn ∈ Ker(T ) dan Im(T ) 6= ∅ sebab ORm ∈ Im(T ).

4.3. RUANG NOL, RUANG BARIS DAN RUANG KOLOM

69

Proposisi 4.2.5 Jika pemetaan T : Rn → Rm merupakan transformasi linear, maka 1. Ker(T ) merupakan subruang di Rn ; 2. Im(T ) merupakan subruang di Rm .

4.3

Ruang Nol, Ruang Baris dan Ruang Kolom

Perhatikan bahwa jika Am×n = [aij ] dengan komponen-komponen bilangan real dan didefinisikan transformasi linear T dari ruang vektor Rn ke ruang vektor Rm sebagai berikut T : Rn → Rm dengan definisi T (x) = Ax untuk semua x ∈ Rn , maka (a.) Kernel(T ) tidak lain adalah himpunan semua x ∈ Rn yang memenuhi Ax = 0, jadi Kernel(T ) merupakan himpunan semua penyelesaian sistem persamaan linear homogen Ax = 0. Selanjutnya KernelT disebut Ruang Nol A. Ax = 0 (b.) Image(T ) tidak lain adalah himpunan  a11 a12  a21 a22  Ax =  .. ..  . . am1 am2 sehingga akan diperoleh    Ax =  

semua Ax dengan x ∈ Rn . Mengingat   · · · a13 x1   · · · a23    x2  .. ..   ..  . .  .  · · · amn xn

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a13 xn a21 x1 + a22 x2 + · · · + a23 xn .. .

    

am1 x1 +am2 x2+ · · · +amn xn  a1n a12 a11  a2n  a22   a21       = x1  ..  + x2  ..  + · · · + xn  ..  .  .   .  amn am2 am1 = x1 K1 (A) + x2 K2 (A) + · · · + xn Kn (A)

    

70

BAB 4. TRANSFORMASI LINEAR dimana Ki menotasikan kolom ke-i dari matriks A. Jadi nampak bahwa Image(A) tidak lain adalah himpunan semua kombinasi linear dari kolom-kolom matriks A, sehingga sering disebut sebagai Ruang Kolom matriks A yang dinotasikan dengan RK(A) yang tidak lain adalah himpunan RK(A) = {x1 K1 (A) + x2 K2 (A) + · · · + xn Kn (A) | x1 , x2 , · · · , xn ∈ R} (c.) Dengan cara yang sama kita dapat menghimpun semua kombinasi linear dari semua baris-baris matriks A yakni himpunan RB(A) = {y1 B1 (A) + y2 B2 (A) + · · · + yn Bm (A) | y1 , y2 , · · · , ym ∈ R} T yang tidak lain adalah himpunan semua y1×m Am×n dengan y1×m ∈ Rm

Berikut akan dibicarakan basis dari masing-masing subruang di atas dan teknik menghitung basis dan dimensinya. Salah satu hal penting dari ruang kolom dan ruang baris suatu matriks adalah mereka tidak berubah pada saat dilakukan operasi kolom atau operasi baris. Hal tersebut dituangkapkan dalam lemma berikut: Lemma 4.3.1 Misalkan A adalah suatu matriks berukuran m × n atas R. 1. Jika dengan menggunakan serangkaian operasi baris elementer A → B maka RB(A) = RB(B). 2. Jika dengan menggunakan serangkaian operasi kolom elementer A → C maka RK(A) = RK(C). Dengan Lemma 4.3.1 dapat disimpulkan basis dari RB(A) sama dengan basis dari RB(B) dan basis dari RK(A) sama dengan basis dari RK(B). Dengan demikian dimensi dari RB(A) sama dengan dimensi dari RB(B), dan dimensi dari RK(A) sama dengan dimensi dari RK(B). Contoh 4.3.2 Tentukan basis dari ruang U = span{[1 1

− 2 4],

[2 5 4

− 2], [1 7 14

− 16]}

4.3. RUANG NOL, RUANG BARIS DAN RUANG KOLOM

71

Nampak bahwa U tidak lain adalah RB(A) dengan matiks A adalah matriks   1 1 −2 4  2 5 4 −2  . 1 7 14 −16 Dengan menggunakan operasi baris elementer akan diperoleh     1 1 −2 4 1 1 −2 4  2 5 4 −2  ∼  0 3 8 −10  ∼ 1 7 14 −16 0 6 16 −20     1 1 −2 4 1 1 −2 4  0 3 8 −10  ∼  0 1 8 −10  3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 dari sini akan diperoleh bahwa himpunan {[1 1

− 2 4],

[0 1

8 3

−10 ] 3

merupakan basis dari RB(A) = U .

Contoh 4.3.3 Hitung basis dan dimensi ruang nol  1 −2 1  A = −1 2 0 2 −4 1

matriks berikut  1 1 . 0

Jika X berada di ruang nol A maka X adalah solusi Sistem Persamaan Linear Homogem AX = 0, dengan demikian X dapat diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaam linear homogem AX = 0 yakni dengan menggunakan eliminasi Gauss. 

   1 −2 1 1 1 −2 1 1 1 2 ∼ A =  −1 2 0 1  ∼  0 0 2 −4 1 0 0 0 −1 −2   1 −2 0 −1  0 0 1 2  0 0 0 0 Dengan demikian akan diperoleh 1x1 − 2x2 + 0x3 − 1x4 = 0 0x1 + 0x2 + 1x3 + 2x4 = 0

72


dengan mendefinisikan parameter-parameter x2 = s dan x4 = t, maka akan diperoleh x1 = 2s + t dan x3 = −2t dengan demikian akan diperoleh 

  2s + t 2  s   1   X=  −2t  = s  0 t 0





 1     + t 0 .   0  −2

   1 2    1   dan X2 =  0 . Dan dapat Jadi X berada pada span{X1 , X2 } dengan X1 =   0   0  −2 0 ditunjukkan bahwa {X1 , X2 } bebas linear, jadi {X1 , X2 } adalah basis dari Ruang Nol (A), 

sehingga sekaligus dapat disimpulkan bahawa dimensi dari Ruang Nol A adalah 2. Secara umum dapat ditunjukan teorema berikut yang menunjukkan hubungan antara dimensi image A dan dimensi ruang nol A.

Proposisi 4.3.4 Jika A adalah matriks berukuran m × n maka dimensi

4.4

(imageA)

+

dimensi

(RuangN olA) =

n

Matriks Representasi Transformasi Linear

Sudah dibahas bahwa setiap transformasi linear Am×n akan mendefinikasn transformasi linear dari Rn → Rm . Pertanyaan adalah apakah sebaliknya juga berlaku, yakni apakah setiap transformasi linear dari Rn → Rm menentukan sutau matriks berukuran m × n atas R? Untuk menjawab pertanyaan itu, mari kita lihat pertanyaan berikut pada contoh berikut:

4.4. MATRIKS REPRESENTASI TRANSFORMASI LINEAR

73

·

¸ · ¸ 1 0 Contoh 4.4.1 Sudah diketahui bahwa B = {e1 = , e2 = } merupakan basis 0 1 dari R2 . Pertanyaannya adalah bisakah dibuat transformasi linear T : R2 → R3   5 −3 sedemikian hingga T (e1 ) =  −7  , T (e2 ) =  8 . 2 0 

· Mengingat setiap x =

x1 x2



¸ ∈ R2 dapat dinyatakan dengan x = x1 e 1 + x2 e 2

Selanjutnya, mengingat T transformasi linear maka dia mengawetkan kombinasi linear, sehingga diperoleh T (x) = T (x1 e1 + x2 e2 ) = x1 T(e1 ) +x2 T (e 2)  −3 5 = x1  −7  + x2  8  2   0 5x1 − 3x2 =  −7x1 + 8x2  . 2x1 + 0x2 Nampak bahwa T (x) dapat diekspresikan dalam bentuk matriks sebagai berikut:   ¸ 5 3 · x 1 T (x) =  −7 8  = Ax x2 2 0 Kolom pertama dari matriks A adalah T (e1 ) dan kolom kedua dari matriks A adalah T (e2 ). Sehingga ekspresi di atas dapat dinyatakan sebagai berikut:

T (x) =

£

T (e1 ) T (e2 )

¤

·

x1 x2

¸ = Ax

Pembahasan pada contoh diatas menunjukkan sifat yang dinyatakan pada proposisi berikut: Proposisi 4.4.2 Jika T : Rn → Rm adalah transformasi linear, maka terdapat dengan tunggal matriks A sedemikian hingga T (x) = Ax,

∀x ∈ Rn

74


Ambil sebarang x di Rn Rn , maka x dapat dinyatakan secara tunggal x = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en     1 0 0  0   1   0        dengan B = {e1 =  ..  , e2 =  ..  , · · · , en =  .. }. Dengan sifat mengawetkan  .   .   .  0 0 1 kelinearan transformasi linear T diperoleh: 



T (x) = T (x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en ) = x1 T (e1 ) + x2 T (e2 ) + · · · + xn T(en ) x1 £ ¤  x2 T (e1 ) T (e2 ) · · · T (en )  .. =  . xn

    = Ax 

Pembaca diminta untuk membuktikan ketunggalan matriks tersebut. Selanjutnya matriks A=

£

T (e1 ) T (e2 ) · · ·

T (en )

¤

disebut Matriks Standar Transformasi Linaer T . Contoh 4.4.3 Tentukan matriks standar transformasi linear T : R2 → R2 dengan definisi T (x) = 3x, ∀x ∈ R2 . Terlebih dahulu dihitung T (e1 ) dan T (e2 )

¸ 3 T (e1 ) = 3e1 = · 0 ¸ 0 T (e2 ) = 3e2 = 3 ·

dengan demikian diperoleh A=

£

T (e1 ) T (e2 )

¤

· =

3 0 0 3

¸

Contoh 4.4.4 Tentukan matriks standar transformasi linear T : R2 → R3 dengan definisi   ¸ · 3x1 + x2 x1 =  5x1 + 7x2  T x2 x1 + 3x2 ¸ · x1 ∈ R2 . ∀ x2

4.5. BEBERAPA JENIS TRANSFORMASI LINEAR

75

Matriks standar transformasi linear T tidak lain adalah matriks berukuran 3 × 2 dengan kolom-kolomnya adalah T (e1 ) dan T (e2 ), yakni 

 3 1 £ ¤ A = T (e1 ) T (e2 ) =  5 7  1 3 nampak jelas bahwa T (x) = Ax untuk semua x ∈ R2 .

4.5

Beberapa Jenis Transformasi Linear

Pada bagian ini akan dibicarakan beberapa jenis transformasi linear dan ciri-ciri yang terkait dengan matriks standarnya. Seperti diketahui bahwa jika T : Rn → Rm adalah suatu pemetaan maka tidak harus semua elemen di Rm punya kawan di Rn . Jika y ∈ Rm mempunyai kawan di Rm maka kawannya tunggal. Dari hal tersebut dapat didefinisikan pengertian transformasi linear onto (pada atau surjektif) dan transformasi linear satu-satu (injektif) seperti disajikan dalam definisi sebagai berikut:

Definisi 4.5.1 Misalkan T : Rn → Rm adalah suatu transformasi linear

1. T disebut transformasi linear pada (onto atau surjektif ) jika untuk setiap eleman di Rm mempunyai kawan di Rn , yakni (∀y ∈ Rm )(∃x ∈ Rn )T (x) = y 2. T disebut transformasi linear satu-satu (injektif ) jika untuk setiap eleman di Rm bilaman mempunyai kawan di Rn , maka kawannya tunggal, yakni (∀x1 , x2 ∈ Rn )(T (x1 ) = T (x2 ) ⇒ x1 = x2 )

Berikut ini adalah suatu sifat yang memberikan ciri-ciiri transformasi linear bersifat onto, dan transformasi linear bersifat satu-satu.

76


Proposisi 4.5.2 Misalkan T : Rn → Rm transformasi linear dan A adalah matriks standar transformasi linear T maka

1. T merupakan pemetaan surjektif jika dan hanya jika kolom-kolom A membangun Rn , yakni RK(A) = Rn . 2. T merupakan pemetaan surjektif jika dan hanya jika setiap y ∈ Rm dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear kolom-kolom A. 3. T merupakan pemetaan injektif jika dan hanya jika T (x) = 0 hanya mempunyai penyelesaian trivial 4. T merupakan pemetaan injektif jika dan hanya jika kolom-kolom dari A bebas linear.

4.6


Kompetensi yang diharapkan dari mahasiswa setelah mengikuti perkuliahan dengan materi pada bab ini adalah: 1. Menjelaskan definisi transformasi linear; 2. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat transformasi linear; 3. Menghitung matriks representasi suatu transformasi linear. Adapun contoh-contoh soal yang digunakan untuk menguji kompetensi mahasiswa adalah sebagai berikut: 

     1 1 1 3      1 ,v = 1 ,w = 0 }. 1. Diberikan basis dalam R sebagai berikut {u = 1 0 0 Kemudian diketahui T : R3 → R3 adalah transformasi linear yang memenuhi       2 3 −1 T (u) =  −1  , T (v) =  0  , T (u) =  5  . 4 1 1


77

   x1 x1 (a.) Tentukan rumus umum untuk T ( x2 ) untuk sebarang  x2  ∈ R3 . x3 x3   3 (b.) Gunakan hasil pada (a) untuk menentukan T ( −2 ). 4 

2. Diberikan transformasi linear T : R3 → R3 yang diwakili oleh matriks   1 3 4  3 4 7 . −2 2 0 (a.) Carilah KerT . (b.) Carilah ImT . 3. Diberikan transformasi linear T yang diwakili oleh matriks   1 4 5 0 9  3 −2 1 0 −1  .   −1 0 −1 0 −1  2 3 5 1 8 Carilah rank dan nulitas T . 4. Diberikan transformasi linear T : Rn → Rm dan {v1 , v2 , . . . , vn } adalah basis di Rn . Jika T merupakan pemetaan yang surjektif, buktikan {T (v1 ), T (v2 ), . . . , T (vn )} adalah basis di Rm . 5. Diberikan transformasi linear berikut     x x − y + 2z T  y  =  2x + 3y − z  . z −x + 2y − 2z (a.) Tentukan vektor-vektor di R3 yang dipetakan ke vektor 0 oleh T . (b.) Diberikan vektor



 7 w =  −6  . −9

Tentukan apakah ada vektor v ∈ R3 sehingga T (v) = w. 6. Diberikan matriks A berukuran m × n atas lapangan F . Selanjutnya didefinisikan transformasi linear berikut τA : F n → F m dengan aturan perkawanan τA (x) = Ax untuk setiap x ∈ F n . Buktikan:

78

BAB 4. TRANSFORMASI LINEAR (a.) τA injektif jika dan hanya jika rk(A) = n; (b.) τA surjektif jika dan hanya jika rk(A) = m.

7. Diberikan matriks A berukuran m × n dan matriks B berukuran m × k. Selanjutnya R(A) dan R(B) berturut-turut menyatakan range A dan range B. Sementara N (A) dan N (B) berturut-turut menyatakan ruang null A dan ruang null B. Jelaskan mengapa dim N (A|B) = dim N (A) + dim N (B) + dim (R(A) ∩ R(B)).


79

80

BIBLIOGRAFI

Bab 5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Dalam bab ini termuat Pokok Bahasan Transformasi Linear dengan Sub-pokok Bahasan vektor karakteristik, nilai karakteristik dan diagonalisasi. Materi dalam bab ini disampaikan dalam sekali pertemuan.

5.1

Latar Belakang

Sudah diketahui bahwa jika A adalah matriks bujur sangkar bertipe n×n dengan komponenkomponennya adalah bilangan real dan 0 adalah vektor nol pada ruang Euclid Rn , maka akan berlaku A(0) = 0 yakni terdapat skalar 1 6= 0 sedemikian hingga A(0) = 1.0. Hal itu berakibat bahwa A(0) dapat dinyatakan sebagai kelipatan dari 0. Hal ini menimbulkan pertanyaan apakah hal tersebut berlaku juga untuk sebarang vektor tak nol di Rn ? Hal ini jelas tidak berlaku, sebagai contoh, jika diambil matriks A berikut µ A=

1 6 5 2

81

¶

82

BAB 5. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN µ

¶ 3 maka untuk vektor v = tidak ada skalar λ yang memenuhi A(v) = λ.v, sebab µ ¶ µ ¶ −2 −9 3 Av = 6= λ 11 −2 µ ¶ 6 Sementara itu untuk vektor u = untuk λ = −4 akan diperoleh Au = −4u −5 Dari kenyataan tersebut berikut ini akan didefinisikan pengertian nilai eigen, vektor eigen dan ruang eigen serta beberapa contoh manfaatnya.

5.2

Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Ruang Eigen

Definisi 5.2.1 Misalkan A adalah suatu matriks bujur sangkar bertipe n × n. (a.) Skalar λ disebut nilai eigen matriks A jika terdapat vektor tak nol v di Rn yang memenuhi A(v) = λ.v. (b.) Selanjutnya, jika λ merpakan nilai eigen matriks A, maka vektor v di Rn yang memenuhi A(v) = λ.v. dsebut Vektor Eigen matriks A yang berkorespondensi dengan nilai eigen λ.

Dari definisi di atas dapat disimpulkan beberapa hal berikut. Syarat agar skalar λ merupakan nilai eigen matriks A adalah terdapat vektor tak nol v di Rn yang memenuhi A(v) = λ.v. Hal ini ekuivalen dengan mengatakan bahwa skalar λ merupakan nilai eigen matriks A jika ada vektor tak nol v di Rn yang memenuhi A(v) = λ.I.v. atau ada vektor tak nol v di Rn yang memenuhi A(v) − λ.I.v. = 0

5.2. NILAI EIGEN, VEKTOR EIGEN DAN RUANG EIGEN

83

yang ekivalen dengan mengatakan bahwa λ merupakan nilai eigen matriks A jika ada vektor tak nol v di Rn yang memenuhi λ merupakan nilai eigen matriks A jika ada vektor tak nol v di Rn yang memenuhi (A − λ.I).v. = 0 hal ini bermakna bahwa syarat perlu dan cukup agar λ merupakan nilai eigen matriks A adalah Sistem Persamaan Linear Homogen pada persamaan terakhir di atas mempunyai solusi Non Trivial. Dari pembahasan pada Bab I, diperoleh sifat sebagai berikut:

Proposisi 5.2.2 Skalar λ merupakan nilai eigen matriks A jika dan hanya jika det(A − λI) = 0.

Mengingat det(A − λI) merupakan polinomial berderajat n maka dapat disimpulkan bahwa λ merupakan nilai eigen matriks A jika dan hanya jika λ merupakan akar dari persamaan det(A − λI) = 0. Selanjutnya sukubanyak det(A − λI) disebut sukubanyak karakteristik matriks A dan dituliskan dengan notasi cA (λ). Untuk suatu nilai eigen λ dari matriks A, dapat dihimpun semua vektor eigen dari matriks A yang dinotasikan dengan E(λ) = {v ∈ Rn | A(v) = λ.I.v.}. Jadi E(λ) tidak lain adalah himpunan solusi sistem persamaan linear homogen A−λ.I).v. = 0, dengan menggunakan syarat perlu dan cukup suatu subruang, dapat ditunjukan bahwa E(λ) merupakan subruang dalam Rn .

Contoh 5.2.3 Untuk matriks

µ A=

5 −2 4 −1

¶

dapat dihitung nilai eigen dari matriks A dengan langkah sebagai berikut:

84

BAB 5. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN (a.) Hitung polinomial karakteristik matriks A yakni cA (λ) = det(A − λI) µ ¶ 5−λ −2 = det( ) 4 −1 − λ = (5 − λ)(−1 − λ) − (−2)(4). Sehingga diperoleh cA (λ) = λ2 − 4λ + 3. (b.) Hitung akar-akar dari polinomial karakteristik matriks A, yakni λ yang memenuhi cA (λ) = λ2 − 4λ + 3 = 0. Diperoleh dua nilai karakteristik A yakni λ1 = 3 dan λ2 = 1.

Selanjutnya untuk nilai-nilai karakteristik tersebut akan dapat dihitung vektor-vektor karakteristiknya, sebagai berikut: (a.) Untuk λ1 = 3, akan diperoleh E(λ1 ) = {v ∈ R2 | A(v) = λ1 .I.v.}. (b.) Sedangkan λ2 = 1 akan diperoleh

Contoh 5.2.4 Dapat ditunjukan bahwa matriks  4 −1  2 1 A= 2 −1

A3×3 berikut  6 6  8

mempunyai λ = 2 sebagai salah satu nilai eigennya. Dan dapat dihitung bahwa penyelesaian umum sistem persamaan homogen (A − 2I)v = 0 dapat dinyatakan sebagai     1 −3 v = t 2  + s 0  0 1 dengan demikian Ruang Eigen Matriks A yang berkorespondensi dengan λ = 2 dapat dinyatakan dengan



   1 −3 E(λ1 ) = {t  2  + s  0  | t, s ∈ R}. 0 1

5.3. CONTOH KEGUNAAN NILAI EIGEN, VEKTOR EIGEN DAN RUANG EIGEN85 Pada teorema berikut disajikan sifat-sifat yang dapat dipakai untuk menghitung nilai eigen dari suatu matriks dengan lebih mudah, dan njuga suatub teorema yang akan dipakai untuk menunjukkan salah satu kegunaan dari nilai eigen dan vektor eigen.

Proposisi 5.2.5 Nilai eigen dari matriks diagonal adalah elemen-elemen dari diagonal utamanya.

Bukti Tanpa mengurangi keumuman bukti, untuk menyederhanakan akan dibuktikan untuk matriks diagonal berukuran 3 × 3. Jika A adalah matriks diagonal berukuran 3 × 3, maka A − λI mempunyai bentuk 

   a11 a12 a13 λ 0 0 A − λI =  0 a22 a23  −  0 λ 0  0 0 a33 0 0 λ sehingga akan diperoleh 

 a11 − λ a12 a13 0 a22 − λ a23  = (a11 − λ)(a22 − λ)(a33 − λ) det(A − λI) = det( 0 0 a33 − λ dengan demikian diperleh nilai eigen dari A adalah λ1 = a1 1, λ2 = a2 2, dan λ3 = a3 3

Proposisi 5.2.6 Jika v1 , v2 , · · · , vr adalah vektor eigen-vektor eigen dari nilai eigen nilai eigen yang berbeda λ1 , λ2 , · · · , λr , maka himpunan {v1 , v2 , · · · , vr } bebas linear.

5.3

Contoh Kegunaan Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Ruang Eigen µ

Jika D =

5 0 0 3

¶ , maka dengan mudah dapat dihitung µ 2

D =

5 0 0 3

¶µ

5 0 0 3

¶

µ =

52 0 0 32

¶

86

BAB 5. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

dan

µ 3

D =

5 0 0 3

¶µ

secara umum akan diperoleh

52 0 0 32 µ

k

D =

¶

5k 0 0 3k

µ =

53 0 0 33

¶

¶

untuk sebarang bilangan bulat positif k. Jika A = P DP −1 dengan P matriks invertibel dan D matriks diagonal akan diperoleh A2 = (P DP −1 )(P DP −1 ) = P D(P −1 P )DP −1 = P D(I)DP −1 ) = P DDP −1 ) = P D2 P −1 ) secara umum akan diperoleh Ak = P Dk P −1 nampak bahwa jika A = P DP −1 maka penghitungan Ak juga akan mudah. Matriks A dengan sifat A = P DP −1 untuk suatu matriks invertibel P disebut dengan matriks yang dapat didiagonalkan (diagonalizable matrix). Pada bagian berikut akan ditunjukkan salah satu manfaatn dari vektor eigen suatu matriks untuk mengidentifikasi apakah suatu matriks dapat didiagonalkan atau tidak.

Proposisi 5.3.1

(i) Matriks bertipe n × n dapat didiagonalkan jika dan hanya jika A

mempunyai n vektor eigen yang bebas linear. (ii) Matriks A = P DP −1 dengan D matriks diagonal jika dan hanya jika kolom-kolom P adalah vektor eigen vektor eigen yang bebas linaer dari A. (iii) Matriks A dapat didiagonalkan jika dan hanya jika terdapat basis Rn yang anggotaanggotanya merupakan vektor-vektor eigen A.

Bukti. Misalkan P adalah matriks yang kolom-kolomnya adalah {v1 , v2 , · · · , vn }, dan misalkan λ1 , λ2 , · · · , λn adalah unsur-unsur diagonal matriks D, maka AP = A[v1 , v2 , · · · , vn ] = [Av1 , Av2 , · · · , Avn ]

5.3. CONTOH KEGUNAAN NILAI EIGEN, VEKTOR EIGEN DAN RUANG EIGEN87 sementara itu akan dipunyai    PD = P  

λ 0 .. .

0 ··· λ ··· .. . ··· 0 0 ···

0 0 .. .

    = [λ1 v1 , λ2 v2 , · · · , λn vn ] 

λ

Jika A = P DP −1 yang ekuivalen dengan mangatakan AP = P D, maka akan diperolah persamaan [Av1 , Av2 , · · · , Avn ] = [λ1 v1 , λ2 v2 , · · · , λn vn ] yang berarti Av1 = λ1 v1 ,

Av2 = λ2 v2 , · · · ,

Avn = λn vn

Selanjutnya, mengingat P invertibel maka diperoleh vektor kolom nya yakni v1 , v2 , · · · , vn bebas linear, dan mengingat kolom-kolom tersebut tak nol maka diperoleh masing-masing v1 , v2 , · · · , vn merupakan vektor eigen dari berkorespondensi dengan nilai eigen λ1 , λ2 , · · · , λn .

Contoh 5.3.2 Diagonalkan matriks berikut, jika  1 3  −3 −5 A= 3 3

mungkin  3 −3  . 1

Untuk melakukan perintah tersebut, akan dilakukan 4 (empat) langkah berikut: (a.) Tentukan nilai eigen matriks A. Dengan perhitungan yang sederhana akan diperoleh suku banyak karakteristik A adalah cA (λ) = det(A − λI) = −λ3 + −3λ2 + 4 = −(λ − 1)(λ + 2)2 dengan demikian diperolah nilai eigen λ1 = 1, dan λ2 = λ3 = −2. (b.) Menentukan 3 vektor eigen yang bebas linear dari A. Diperlukan 3 vektor eigen sebab matriks A bertipe 3 × 3. Dengan perhitungan-perhitungan terkait dengan

88

BAB 5. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN pencarian solusi sistem persamaan linear homogen (A − λI)v = 0 untuk masingmasing nilai eigen tersebut akan diperoleh, vektor eigen yang berkorespondensi dengan λ1 = 1 adalah



 1 v1 =  −1  1

sedangkan untuk nilai eigen λ2 = λ3 = −2 akan diperoleh vektor eigen     −1 −1 v2 =  1  , v 3 =  0  0 1 dan dapat dicek bahwa {v1 , v2 , v3 } bebas linear. (c.) Bentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah {v1 , v2 , v3 }, yakni   1 −1 −1 0 . P = [v1 , v2 , v3 ] =  −1 1 1 0 1 (d.) Bentuk matriks D yang komponen diagonalnya adalah nilai eigen dari matriks A, yaitu



 1 0 0 D =  0 −2 0  . 0 0 −2

Setelah ke empat langkah selesai, maka ada baiknya dilakukan pengecekan apakah benar A = P DP −1 . Namun untuk menghindari perhitungan P −1 pengecekan dapat dilakukan dengan menghitung apakah AP = P D. Dengan perhitungan sederhana dapat dicek bahwa      1 3 3 1 −1 −1 1 2 2 0  =  −1 −2 0  AP =  −3 −5 −3   −1 1 3 3 1 1 0 1 1 0 −2 dan



    1 −1 −1 1 0 0 1 2 2 0   0 −2 0  =  −1 −2 0  P D =  −1 1 1 0 1 0 0 −2 1 0 −2

Contoh 5.3.3 Diagonalkan matriks berikut, jika  2 4 A =  −4 −6 3 3

mungkian.  3 −3  . 1

5.3. CONTOH KEGUNAAN NILAI EIGEN, VEKTOR EIGEN DAN RUANG EIGEN89 Suku banyak karakteristik A adalah cA (λ) = det(A − λI) = −λ3 + −3λ2 + 4 = −(λ − 1)(λ + 2)2 dengan demikian diperolah nilai eigen λ1 = 1, dan λ2 = λ3 = −2. Namun demikian vektor eigen dari A untuk λ1 = 1 adalah



 1 v1 =  −1  1 sedangkan untuk nilai eigen λ2 = λ3 = −2 akan diperoleh vektor eigen   −1 v2 =  1  0 dan tidak ada lagi nilai eigen yang lain yang bebas linear dengan {v1 , v2 } sehingga tidak mungkin kita mendapatkan basis R3 yang merupakan vektor eigen - vektor eigen matriks A. Disimpulkan bahwa A tidak dapat didiagonalkan. Berikut ini dikemukakan proposisi yang memebrikan syarat cukup agar suatu matriks A dapat didiagonalkan. Proposisi 5.3.4 Jika matriks An×n mempunyai n nilai eigen yang berbeda, maka A dapat didiagonalkan. Bukti. Misalakn An×n mempunyai n nilai eigen yang berbeda, sebut λ1 , λ2 , · · · , λn dan misalkan v1 , v2 , · · · , vn masing-masing adalah vektor eigen yang berkorespondensi dengan nilai eigen tersebut. Maka menurut Proposisi 5.3.1 {v1 , v2 , · · · , vn } bebas linear di Rn . Dengan demikian {v1 , v2 , · · · , vn } membentuk basis dalam {v1 , v2 , · · · , vn }Rn . Hal ini berakibat bahwa A dapat didiagonalkan. Contoh 5.3.5 Tunjukkan bahwa matriks   5 −8 1 A =  0 0 7 . 0 0 02 Mengingat A merupakan matriks segitiga atas, dengan mudah diperoleh nilai eigennya adalah unsur-unsur diagonalnya yakni λ1 = 5, λ2 = 0, dan λ3 = −2 yang semuanya berbeda. Dengan demikian menggunakan Proposisi 5.3.4, A dapat didiagonalkan.

90

5.4



Kompetensi yang diharapkan dari mahasiswa setelah mengikuti perkuliahan dengan materi pada bab ini adalah: 1. Menjelaskan definisi vektor karakteristik dan nilai karakteristik suatu matriks; 2. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat vektor karakteristik dan nilai karakteristik suatu matriks; 3. Melakukan diagonalisasi pada matriks yang dapat didiagonalkan; 4. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat matriks yang dapat didiagonalkan. Adapun contoh-contoh soal yang digunakan untuk menguji kompetensi mahasiswa adalah sebagai berikut: 1. Hitunglah nilai karakteristik dan vektor karakteristik matriks berikut ini   −1 −2 −2 2 1 . A= 1 −1 −1 0 2. Tunjukkan bahwa persamaan karakteristik matriks A yang berukuran 2 × 2 dapat dinyatakan sebagai λ2 − tr(A)λ + det(A) = 0, dengan tr(A) menyatakan trace A. 3. Carilah matriks invertibel P yang mendiagonalkan matriks berikut   −1 4 −2 0 . B =  −3 4 −3 1 3 4. Hitunglah C n jika



 3 −1 0 2 −1  . C =  −1 0 −1 3

5. Diketahui matriks persegi A yang berukuran n × n merupakan matriks invertibel. Jika λ adalah nilai karakteristik matriks A, buktikan:


91

(a.) λ 6= 0, (b.) 1/λ adalah nilai karakteristik untuk A−1 . 6. Diberikan matriks persegi A yang berukuran n × n. Jika matriks invertibel P merupakan matriks yang mendiagonalkan A, tentukan matriks yang mendiagonalkan At .

92



93

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

Recommend Documents